Теория чисел — это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами

1, 2, 3…,

которые также называют натуральными числами.

Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называются вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией». Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счетных досках.

Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным времяпровождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конструкцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики.

Некоторые следы размышлений о числах в давние времена можно обнаружить в суеверных предрассудках, связанных с числами. Среди чисел есть «счастливые», которым нужно отдавать предпочтение и радоваться при встрече с ними, и «несчастливые», которых нужно остерегаться, как дурного глаза. Мы обладаем обширными сведениями о нумерологии в античной Греции, мыслях и предрассудках, связанных с символическим значением различных чисел. Например, нечетные числа, большие единицы, символизировали мужское начало, а четные — женское; таким образом, число 5 — сумма первого мужского и первого женского чисел — символизировало супружество или союз.

Желающие познакомиться с более развитой «теорией» магических чисел могут сделать это, прочтя восьмую книгу «Республики» Платона. Такая «наука» мало что дает в смысле математических идей, но она содержит умение обращаться с числами и их свойствами. Как мы дальше увидим, некоторые замечательные проблемы в теории чисел, до сих пор занимающие умы математиков, берут свое начало из греческого учения о магических числах.

До сих пор у нас нет оснований считать себя выше предрассудков, связанных с числами. Вероятно, у каждого есть знакомые, которые ни за что не посадят за стол 13 гостей, а как мало в гостиницах США этажей и комнат с номером 13. По существу, мы не знаем, откуда взялись подобные «табу» на числа. Существует множество всевозможных объяснений, но большинство из них совершенно безосновательны. Например, в «Библии» записано, что на Тайной вечере было 13 гостей, разумеется, тринадцатым был Иуда. Если же заметить, что многие предметы считаются дюжинами, а число 13 дает «чертову дюжину», т. е. лишний предмет, то это соображение имеет больший реальный смысл.

В «Библии», особенно в «Ветхом Завете», особую роль играет число 7, в древнегерманском фольклоре часто встречаются числа 3 и 9, индусы же, как видно из их мифологии, неравнодушны к числу 10.

Примером ранней теории чисел может служить задача Пифагора. Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике длины сторон удовлетворяют соотношению Пифагора

z² = x² + y², (1.3.1)

где z — длина гипотенузы. Это дает возможность в прямоугольном треугольнике вычислить длину одной стороны, если известны две другие. Между прочим, то, что эту теорему назвали в честь греческого философа Пифагора, не совсем справедливо: она была известна вавилонянам почти за 2000 лет до Пифагора.

Иногда все длины сторон x, y, z в (1.3.1) выражаются целыми числами. Простейший случай,

x = 3, y = 4, z = 5, (1.3.2)

был найден на вавилонских глиняных табличках. Этому случаю можно дать следующее истолкование. Предположим, что у нас есть веревочное кольцо с узелками или метками, расположенными на равных расстояниях и делящими кольцо на 12 частей. Тогда, если мы растянем кольцо на трех колышках, вбитых на поле, так, чтобы получился треугольник со сторонами 3 и 4, то третья сторона будет иметь длину 5, а противоположный ей угол будет прямым (рис. 1). Часто можно прочесть в книгах по истории математики, что именно этот метод построения прямого угла использовался египетскими землемерами или «натягивателями веревки» при размежевании полей по окончании разлива Нила. Однако вполне возможно, что это один из мифов, которых так много в истории науки; у нас нет документов, подтверждающих это предположение.

Рис 1.

В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как

3² = 9, 7² = 49, 10² = 100,

и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как

2³ = 8, 3³ = 27, 5³ = 125.

Рис. 2.

Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого наследства, оставленного древнегреческими мыслителями. Греки предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение с = аb рассматривалось как площадь с прямоугольника со сторонами a и b. Также можно было рассматривать a•b как число точек в прямоугольной таблице с а точками на одной стороне и b точками на другой. Например, 20 = 4•5 есть число точек в прямоугольной таблице на рис. 2.

Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представлять в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом — в виде цепочки точек, лежащих в одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую — пяти (рис. 3).

• • • • •

Рис. 3.

Такие числа греки называли простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.

Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры. Последовательные треугольные числа изображены на рис. 4.

Рис. 4.

В общем случае n-е треугольное число задается формулой

Т_n = ½ n (n+1), n = 1, 2, 3… (1.4.1)

У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом

1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16 и т. д. (1.4.2)

Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения проиллюстрируем на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рис. 5.

Рис. 5.

Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел,

1, 5, 12, 22, 35. (1.4.3)

Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой

p_n= ½ (3n² — n). (1.4.4)

Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника, и мы не будем больше тратить времени на их обсуждение. Фигурные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.

Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,

1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т. д.

Чтобы доказать это соотношение, достаточно лишь взглянуть на рис. 6, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.

Рис. 6.

Система задач 1.4.

1. Докажите по индукции общую формулу (1.4.1) для треугольных чисел.

2. Докажите формулу (1.4.4) для пятиугольных чисел.

3. Докажите, что произвольное k-угольное число выражается формулой

½ k (n² - n) — n² + 2n.

Если вы играли в «шафлборд»[1], вы можете вспомнить, что девять квадратов, на которых вы размещаете свои фишки, занумерованы числами от 1 до 9, расположенными так, как на рис. 7. Здесь числа в каждом столбце и в каждой строчке, а также в каждой из диагоналей, дают при сложении одно и то же число 15.

Рис. 7.

В общем случае магическим квадратом является расположение чисел от 1 до n² в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и диагонали дают одинаковую сумму s, называемую магической суммой.

Пример магического квадрата с 4² = 16 числами изображен на рис. 8. Магическая сумма для него равна 34.

Рис. 8.

Для каждого числа n существует только одна магическая сумма s, которую легко найти. Так как сумма чисел в каждом столбце равна s, а столбцов — n, то сумма всех чисел в магическом квадрате равна ns.

Но сумма всех чисел от 1 до n² равна

1 + 2 +… + n² = ½ (n² + 1) n²,

что следует из формулы для суммы n членов арифметической прогрессии. Так как

n  s = ½ (n² + 1) n²,

то

s = ½ n (n² + 1). (1.5.1)

Таким образом, если число n задано, то число s определено. Магические квадраты могут быть построены для любого числа n, которое больше 2; читатель легко может убедиться, что их не существует для n = 2.

Во времена средневековья странные свойства этих квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носил, от многих несчастий. Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (она помещена на фронтисписе нашей книги). Этот квадрат воспроизведен с большим увеличением на рис. 9; при этом мы получили также возможность увидеть, как во времена Дюрера изображались цифры. Средние числа в последней строке изображают год, — 1514, в котором, как мы знаем, была создана эта гравюра. Возможно, что Дюрер, положив в основу именно эти числа, нашел остальные методом проб и ошибок. Можно доказать, что при n = 3 имеется лишь один магический квадрат, а именно квадрат, изображенный на рис. 7. Докажем этот факт. Для этого напишем числовой квадрат 3 × 3 в общем виде

x1  y1  z1

x2  y2  z2

x3  y3  z3

и выясним, какими могут быть эти девять чисел.

Рис. 9.

Вначале покажем, что центральное число y₂ должно равняться 5. Из формулы (1.5.1) следует, что при n = 3 магическая сумма s равна 15. Просуммируем теперь числа во второй строке, втором столбце и обеих диагоналях. В эту сумму каждое число, кроме числа y₂, входит по одному разу; число у₂ входит четыре раза, так как оно содержится в каждой из четырех сумм. Поэтому, так как каждая сумма равна s, то

4s = 4 × 15 = 60 =

= x₂ + y₂ + z₂ + y₁ + y₂ + y₃ + x₁ + у₂ + z₃ + z₁ + y₂ + x₃ = Зy₂ + x₁ + x₂ + x₃ + y₁ + y₂ + y₃ + z₁ + z₂ + z₃ =

= 3y₂ + 1 + 2 +… + 9 = 3y₂ + 45.

Следовательно,

Зy₂ = 60–45 = 15 и y₂ = 5.

В таблице

x1  y1  z1

x2   5  z2

x3  y3  z3

число 9 не может стоять в углу, так как, если, например, x₁ = 9, то z₃ = 1 (потому что s = 15), т. е. мы получили бы таблицу

9  y1  z1

x2  5  z2

x3  y3  1

Каждое из четырех чисел y₁, z₁, x₂, х₃ должно быть меньше шести, так как y₁ + z₁ = х₂ + х₃ = 6. Но у нас осталось лишь три числа, меньших шести, а именно: 2, 3 и 4. Таким образом, получилось противоречие. Отсюда мы делаем вывод, что число 9 должно находиться в середине строки или столбца, поэтому наш квадрат может быть записан так:

x1  9  z1

x2  5  z2

x3  1  z3

Число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 9, так как тогда сумма чисел в этой строке была бы больше пятнадцати; точно так же число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 1, так как тогда оставшееся в этой строке число должно было бы быть также семеркой. Таким образом, 7 не может находиться в углу, и мы можем считать, что наш квадрат имеет следующий вид:

x1  9  z1

7   5  z2

x3  1  z3

Числа, находящиеся в одной строке с числом 9 — это 2 и 4, так как иначе сумма в этой строке была бы больше пятнадцати. Далее, число 2 должно быть в том же столбце, что и число 7, так как если бы там стояло 4, то третье число в этом столбце было бы тоже 4. Используя это наблюдение, мы можем определить место каждого из двух оставшихся чисел 6 и 8, в результате получаем магический квадрат, изображенный на рис. 7.

Для больших значений n можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII веках, и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни. Бенджамин Франклин[2] был страстным любителем магических квадратов. Он позже признавался, что, будучи служащим Законодательного Собрания штата Пенсильвания, он скрашивал скучные часы на службе составлением причудливых магических квадратов и даже магических кругов, в которых числа «стоят на переплетающихся окружностях, причем сумма чисел на каждой из окружностей одна и та же. Следующий эпизод взят нами из Собрания сочинений Бенджамина Франклина[3].

О магических квадратах Б. Франклина стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области.

«Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 × 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств» (рис. 10).

Рис. 10.

Б. Франклин упоминает только некоторые свойства своего квадрата. Мы предлагаем читателю найти и другие его свойства. Например, очевидно, что s равняется 260, а сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130, что составляет половину от 260. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260; сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10, а далее по наклонному ряду, идущему, от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260. То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному выше.

«Потом Логан показал мне старую книгу по арифметике, изданную в формате кварто[4] и написанную, я думаю, неким Штифелем (Михаил Штифель, «Arithmetica integra», Нюренберг, 1544). В этой книге был помещен квадрат 16 × 16, в который, по его мнению, был вложен колоссальный труд. Но если я не ошибаюсь, он имел лишь обычное свойство, т. е. обладал постоянной суммой, равной 2056 в каждом ряду: горизонтальном, вертикальном и диагональном.

Не желая уступить Штифелю даже в размерах квадрата, я, вернувшись домой, в тот же вечер составил квадрат 16 × 16, который помимо всех свойств моего квадрата 8 × 8, т. е. наличия постоянной суммы 2056 во всех аналогичных рядах и диагоналях, имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4 × 4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратиков большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее ни положили, на большом квадрате будет одна и та же, и равна тому же самому числу 2056».

Магический квадрат Б. Франклина перед вами (рис. 11) и вы можете сами проверить его замечательные свойства.

Рис. 11.

Б. Франклин по праву гордился своим творением, что видно из продолжения его письма: «На следующее утро я послал этот квадрат нашему другу, который через несколько дней вернул его в ответном письме со следующими словами: „Я возвращаю тебе твой удивительный, а может быть, самый изумительный магический квадрат, в котором…", но этот комплимент слишком экстравагантен, и поэтому ради него, а также ради самого себя, мне не следует его повторять. К тому же это и необязательно, так как я не сомневаюсь, что вы охотно согласитесь, что этот квадрат 16 × 16 является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом». Более подробные сведения о построении магических квадратов можно найти в книгах: Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969 и И. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.

Система задач 1.5.

1. Мог ли Дюрер использовать вместо своего квадрата, изображенного на рис. 9, какие-либо другие квадраты, в которых тот же год фигурировал таким же образом?

2. Дюрер прожил до 1528 г. Смог ли бы он датировать какую-нибудь из своих более поздних картин таким же способом?

Рис. 12. Репродукция магического круга Франклина. Оригинал, выполненный в цвете, был продан частному коллекционеру на аукционе в Нью-Йорке.

3. Изучите некоторые свойства магического круга Б. Франклина (рис. 12).

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,

в то время как другие, например,

3, 7, 13, 37,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (2.1.1)

является произведением двух чисел a и b, то мы называем а и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 • с = с • 1. (2.1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (2.1.2), то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 2.1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, — это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (2.1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c, так как в противном случае мы получили бы

ab > √с • √с,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие — √с.

Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.

Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с, то это число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с.

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000. Наша таблица 1 содержит все простые числа до 1000.

Таблица 1

Простые числа среди первой тысячи чисел

Некоторые энтузиасты-вычислители уже подготовили таблицы простых чисел, превосходящих 10 000 000. Но, по-видимому, не имеет большого смысла идти на значительные затраты и усилия, чтобы опубликовать эти таблицы. Лишь в очень редких случаях математику, даже специалисту в теории чисел, приходится решать вопрос о том, является ли какое-то большое число простым. Кроме того, большие числа, о которых математик хочет узнать, являются они составными или простыми, не берутся им произвольно. Числа, которые он хочет исследовать, обычно появляются в специальных математических задачах, и, таким образом, эти числа имеют очень специфическую форму.

В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких очевидных делителей, как 2, 3, 5, 7, и проверить, являются ли они простыми числами. Этот способ, как мы вскоре убедимся, не очень эффективен. Теперь эта погоня утихла, она идет только в одном направлении, оказавшемся удачным.

Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида

М_р = 2^p - 1, (2.2.1)

где р — другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах, которые мы рассмотрим позже. Свое название они получили в честь французского монаха Мерена Мерсенна (1588–1648), который много занимался проблемой совершенных чисел.

Если начать вычислять числа (2.2.1) для различных простых чисел р, то видно, что не все они оказываются простыми. Например,

М₂ = 2² — 1 = 3 = простое,

М₃ = 2³ — 1 = 7 = простое,

М₅ = 2⁵ — 1 = 31 = простое,

М₇ = 2⁷ — 1 = 127 = простое,

М₁₁ = 2¹¹ — 1 = 2047 = 23 89.

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел М_p для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение. То, что с этой работой все-таки можно справиться уже для довольно больших чисел, объясняется существованием эффективных способов выяснения простоты для чисел такого вида.

В исследовании чисел Мерсенна можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 году, когда Леонард Эйлер[5] установил, что число М₃₁ является простым. К этому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна, соответствующих значениям

р = 2, р = 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, p = 19, р = 31.

Эйлерово число M₃₁ оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 году французский математик Лукас установил, что огромное число

М₁₂₇ = 170141183460469231731687303715884105727

является простым числом. Ну и число! С 39 цифрами. Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями р, указанными выше, а также значениями

р = 61, р = 89, р = 107.

Эти 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины. Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна.

Затем задача была переложена на плечи ЭВМ. Создание все более высокопроизводительных ЭВМ дало возможность продолжить поиск новых простых чисел Мерсенна. Д. X. Лемер установил, что значения

р = 521, р = 607, р = 1279, р = 2203, р = 2281

дают простые числа Мерсенна. Дальнейшие поиски также увенчались успехом. Ризель (1958) показал, что

р = 3217,

дает простое число Мерсенна, а Гурвиц (1962) нашёл еще два таких значения:

р = 4253, р = 4423.

Огромного успеха добился Гиллельс (1964), который нашел простые числа Мерсенна, соответствующие значениям

р = 9689, р = 9941, р = 11213.

Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М₁₂₇, как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M₁₁₂₁₃, является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа.

Вместо нахождения количества цифр числа М_р = 2^p — 1 рассмотрим эту задачу для числа М^р + 1 = 2^р.

Эти два числа имеют одинаковое количество цифр, так как если бы число М^р + 1 имело на одну цифру больше, то оно должно было бы оканчиваться на 0. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 266….

в котором последняя цифра в каждом числе может быть только одним из чисел

2, 4, 8, 6.

Чтобы найти количество цифр числа 2^p, вспомним, что Ig 2^p = p lg 2. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,30103, откуда

lg 2^p = p lg 2 = р • 0,30103.

Для р = 11213 получаем

lg 2¹¹²¹³ = 3375,449…,

и так как характеристика этого числа равна 3375, то мы приходим к выводу, что число 2^p имеет 3376 цифр.

Итак, мы можем сказать следующее.

Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. (Здесь слова «в настоящее время» имеют существенное значение.) Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения.

Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами Ферма являются

F₀ = 2^2° + 1 = 3,

F₁ = 2^2¹+ 1 = 5,

F₂ = 2^2² + 1 = 17,

F₃ = 2^2³ + 1 = 257,

F₄ = 2^2ˆ4 + 1 = 65 537.

В соответствии с этой последовательностью общая формула для простых чисел Ферма должна иметь вид

F_n= 2^2ⁿ+1. (2.3.1)

Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не проводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма

F₅ = 4 294 967 297 = 641 6 700 417

не является простым, что и показывает приведенная запись. Возможно, что этим история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче, задаче построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 13). Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником.

Рис 13.

Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной 

1/n  360° 

каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и этот n-угольник.

Древние греки очень хотели найти методы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Разумеется, они умели строить простейшие из них — равносторонний треугольник и квадрат. С помощью повторного деления пополам центрального угла они могли также построить правильные многоугольники с

4, 8, 16, 32…,

3, 6, 12, 24…

вершинами. Кроме того, они умели строить правильный пятиугольник, и следовательно, также правильные многоугольники с

5, 10, 20, 40…

вершинами. Был также получен еще один тип правильного многоугольника. Центральный угол в правильном 15-угольнике равен

1/15 360° = 24°,

и он может быть получен с помощью утла в 72°, соответствующего правильному пятиугольнику, и угла в 120°, соответствующего правильному треугольнику, если удвоить первый угол и вычесть из него второй. Следовательно, мы можем построить правильные многоугольники с 15, 30, 60, 120… сторонами.

В таком состоянии проблема оставалась до 1801 года, когда вышла работа по теории чисел молодого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777–1855) «Арифметические исследования». Она открыла новую эпоху в математике. Гаусс превзошел греческих геометров не только в том, что указал метод построения циркулем и линейкой правильного 17-угольника, но и пошел гораздо дальше. Для всех чисел n он определил, какие n-угольники могут быть построены таким образом, а какие нет. Сейчас мы опишем результаты, полученные Гауссом.

Выше мы отмечали, что из правильного n-угольника можно получить правильный 2n-угольник, деля каждый центральный угол пополам. С другой стороны, из 2n-угольника можно получить n-угольник, используя лишь каждую вторую вершину. Это показывает, что достаточно провести поиск правильных многоугольников, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, только среди многоугольников с нечетным числом вершин. Гаусс доказал, что правильный n-угольник с нечетным числом вершин может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда, и только тогда, если число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма.

Что это нам дает для небольших значений n? Очевидно, что 3-угольник и 5-угольник могут быть построены, в то время как 7-угольник не может, так как 7 не является простым числом Ферма. Не может быть построен и 9-угольник, так как 9 = 3 • 3 является произведением двух равных простых чисел Ферма.

Открытие Гаусса, естественно, возродило интерес к числам Ферма (2.3.1). За последнее столетие были предприняты поистине героические поиски, вручную, без помощи машин, новых простых чисел Ферма. В настоящее время эти вычисления продолжаются со все возрастающей скоростью с помощью ЭВМ. Однако до сих пор результаты были отрицательными. Ни одного нового простого числа Ферма не было найдено и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.

Как мы уже говорили, существуют таблицы простых чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Как можно было бы подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была, в известном смысле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математиком из Александрии. Его схема состоит в следующем: напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 1415

       2   2   2  3  2     2      2  3

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число, начиная с 2 (кроме самого числа 2), т. е. чётные числа 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркивая каждое из них. После этой операции первым неподчёркнутым числом будет число 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставив число 3 неподчёркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15…; некоторые из них уже были подчеркнуты, поскольку они являются чётными. На следующем шаге первым неподчёркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчёркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20, 25…; как и раньше, часть из них уже оказалась подчёркнутой. Теперь — наименьшим неподчёркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчёркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми.

Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу решета. В действительности, можно продвинуться гораздо дальше по ряду простых чисел, если использовать для их хранения память ЭВМ. Подобным образом, в Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до 100 000 000.

Небольшое изменение метода решета позволит нам получить большую информацию. Предположим, что всякий раз, впервые подчеркивая числа, мы будем подписывать под ним простое число, с помощью которого оно отсеивается. Тогда 15 и 35 были бы записаны как

15, 35

 3   5

и т. д., как это показано на последовательности, выписанной выше. Таким образом, мы не только указали простые числа, но и для каждого составного числа привели наименьшее простое число, являющееся его делителем. Такой список чисел называется таблицей делителей. Таблица делителей является более сложной, чем таблица простых чисел. Чтобы немного упростить ее, обычно из нее исключают те составные числа, у которых простые делители малы, например, 2, 3, 5, 7. Самая большая такая таблица была вычислена на ЭВМ Д. X. Лемером и содержит все числа, вплоть до 10 000 000.

Как мы видели, решето Эратосфена может быть использовано для построения таблиц простых чисел и таблиц делителей. Однако оно может быть использовано и для теоретических исследований. Многие важные результаты в современной теории чисел были получены методом решета. Приведем результат, известный еще Евклиду:

Существует бесконечное число простых чисел.

Доказательство. Предположим, что существует только k простых чисел:

2, 3, 5…, р_k.

Тогда в решете не оказалось бы неподчёркнутых чисел, больших, чем р_k. Но это невозможно, так как произведение этих простых чисел

р = 2 • 3 • 5 • … • р_k

будет отсеиваться k раз, по разу для каждого простого числа, поэтому следующее число р + 1 не может быть подчеркнуто ни для одного из них.

Любое составное число с может быть записано в виде произведения с = ab, причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше, чем с; например,

72 = 8 • 9, 150 = 10 • 15.

При разложении числа с на множители один из них, и даже оба (а и b) могут оказаться составными. Если а — составное, то разложение на множители можно продолжить:

а = a₁ • a₂, с = a₁ • a₂ • b.

Примерами этого могут служить рассмотренные выше числа

72 = 2 • 4 • 9, 150 = 2 • 5 • 15.

Этот процесс разложения на множители можно продолжить до тех пор, пока он не закончится; это должно произойти, так как делители становятся все меньше и меньше, но не могут стать единицей. Когда ни один из делителей нельзя уже будет разложить на множители, то все делители будут простыми числами.

Таким образом мы показали, что

Каждое целое число, большее 1, является простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение числа на множители может быть выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число р₁, делящее число с, так что с = р₁с₁. Если с₁ — составное число, то по таблице делителей найдем наименьшее простое число р₂, делящее с₁, так что

c₁ = р₂ • с₂,   c = p₁ • p₂ • с₂.

Затем найдем наименьший простой делитель числа с₂ и т. д.

Но главное здесь то, что независимо от способа разложения числа на простые множители результат всегда будет одним и тем же, различаясь лишь порядком их записи, т. е. любые два разложения числа на простые множители содержат одни и те же простые числа; при этом каждое простое число содержится одинаковое число раз в обоих разложениях.

Этот результат мы можем кратко выразить следующим образом:

разложение числа на простые множители единственно.

Возможно, что вы так часто слышали об этой так называемой «основной теореме арифметики» и пользовались ею, что она представляется вам очевидной, но это совсем не так. Эта теорема может быть доказана несколькими различными способами, однако ни один из них не тривиален. Здесь мы приведём доказательство, используя способ «от противного», который часто называют его латинским названием reductio ad absurdum (приведением к абсурду). Этот способ заключается в следующем: предположив ложность теоремы, которую нужно доказать, показывают, что это предположение приводит к противоречию.

Доказательство. Предположим, что наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с₀. Для небольших чисел, скажем, меньших 10, истинность теоремы можно установить прямой проверкой. Число с₀ имеет наименьший простой множитель р₀, и мы можем записать:

c₀ = p₀ d₀.

Так как d₀ < c₀, то число d₀ единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа c₀ на простые множители, содержащее число р₀, единственно.

А так как, по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа c₀ на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число р₀. Наименьшее простое число в этом разложении мы обозначим через р₁ и запишем

c₀ = p₁d₁. (3.1.1)

Так как p₁ > p₀, то d₁ < d₀ и, следовательно, p₀d₁ < c₀. Рассмотрим число

c₀' = c₀ — p₀d₁ = (p₁ - p₀) • d₁. (3.1.2)

Так как оно меньше, чем число c₀, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые множители числа c₀ состоят из простых множителей чисел p₁ - p₀ и d₁. Так как число c₀ делится на p₀, то из выражения (3.1.2) следует, что число c₀' также делится на p₀. Следовательно, p₀ должно быть делителем либо числа d₁, либо p₁ - p₀. Но любой простой делитель числа d₁ больше, чем p₀, так как p₁ — наименьшее простое число в разложении (3.1.1). Таким образом, остается единственная возможность: p₀ должно быть делителем числа p₁ - p₀ и, следовательно, оно делит p₁. Итак, мы пришли к противоречию, потому что p₁ является простым числом и не может делиться на другое простое число p₀.

Выше мы отмечали, что единственность разложения числа на простые множители совсем не очевидна. В действительности, существуют «арифметики», в которых аналогичная теорема не выполняется. Простейшим примером такой арифметики может служить арифметика четных чисел

2, 4, 6, 8, 10, 12…

Некоторые из них могут быть разложены на два четных множителя, а другие — нет; последние мы называем чётно-простыми числами. Это числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4:

2, 6, 10, 14, 18….

Очевидно, что каждое четное число либо является четно-простым, либо записывается в виде произведения чётно-простых чисел. Но такое разложение на чётно-простые числа не всегда будет единственным. Например, число 420 может быть разложено на четно-простые числа различными способами:

420 = 6 • 70 = 10 • 42 = 14 • 30.

Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600. Это разложение

3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5

может быть записано как

3600 = 2⁴ • 3² • 5².

Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать

n = p₁^α₁ • p₂^α₂ • …. • р_r^α_r, (3.2.1)

где p₁, p₂ …. р_r — различные простые множители числа n, причем число p₁ входит α₁ раз, p₂ входит α₂ раз и т. д.

Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

3600 = d • d₁.

Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида

d = 2^δ₁ • 3^δ₂ • 5^δ₃,

при этом показатели степени могут принимать значения:

δ₁ = 0, 1, 2, 3, 4;

δ₂ = 0, 1, 2;

δ₃ = 0, 1, 2.

Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно

(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.

Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.

n = d • d₁

то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n, а именно: p₁…, р_r. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d = p₁^δ₁ • p₂^δ₂ • …. • р_r^α_r, (3.2.2)

Простое число p₁ может содержаться не более α₁ раз, как и в самом числе n; аналогично — для p₂ и других простых чисел. Это значение для числа δ₁ мы можем выбрать α₁ + 1 способом:

δ₁ = 0, 1…, α₁;

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α₁ + 1 значений, которые может принимать число δ₁, может сочетаться с любым из α₂ + 1 возможных значений числа δ₂ и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой

τ(n) = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1). (3.2.3)

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α₁ = 2. Таким образом,

n = p₁².

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2² = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α₁ + 1, т. е. α₁ = q — 1 и n = р₁^q-1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2^q-1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

возможно только тогда, когда

α₁ = 3, α₂ = 0 или α₁ = α₂ = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p₁³, n = p₁p₂;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α₁ = 5, α₂ = 0 или α₁ = 2, α₂ = 1.

Это дает две возможности:

n = p₁⁵, n = p₁²p₂;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p₁ = 2, p₂ = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части[6] чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1 + 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

далее число 496:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2  3 = 2(2² — 1),

28 = 2²  7 = 2²(2³ — 1),

496 = 24  31 = 2⁴(2⁵ — 1).

Это наталкивает нас на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

Р = 2^p-1(2^p — 1) = 2^р q, (3.4.1)

где

q = 2^p — 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р, включая само число Р, очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 2²…, 2^р-1,

q, 2q, 2²q…, 2^р-1q.

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 +… + 2^р-1 + q(1 + 2 +… + 2^р-1),

которая равна

(1 + 2 +… + 2^р-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2^р-1) 2^р

Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,

S = 1 + 2 +… + 2^р-1,

то умножьте эту сумму на 2:

2S = 2 + 2² +… +2^р-1 + 2^р,

а затем, вычтя S, получите

S = 2^p — 1 = q.

Таким образом, сумма всех делителей числа Р есть

2^pq = 2 • 2^p-1q,

а сумма всех делителей, кроме самого числа Р = 2^p-1q, равна

2 2^p-1q — 2^p-1q = 2^p-1q = Р.

Итак, наше число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. В § 2 второй главы говорилось, что известно всего 23 простых числа Мерсенна, следовательно, мы знаем также и 23 совершенных числа. Существуют ли другие виды совершенных чисел? Все совершенные числа вида (3.4.1) являются четными, можно доказать, что любое четное совершенное число имеет вид (3.4.1). Остается вопрос: существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, и вопрос о существовании нечетных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. Если бы удалось обнаружить такое число, то это было бы крупным достижением. Вы можете поддаться соблазну найти такое число, перебирая различные нечетные числа. Но мы не советуем этого делать, так как по последним сообщениям Брайена Такхермана из IBM[7] (1968), нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 36 знаков.

Дружественные числа также входят в наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости. В действительности греки знали всего лишь одну пару таких чисел, а именно:

220 = 2² • 5 • 11, 284 = 2² • 71.

Суммами их делителей являются соответственно

1 + 2 + 4 + 5 +10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Эта пара дружественных чисел оставалась единственной известной до тех пор, пока Пьеру Ферма не удалось найти следующую пару:

17 296 = 2⁴ • 23 • 47, 18 416 = 2⁴ • 1151.

Поиски пар дружественных чисел чрезвычайно удобно вести с помощью ЭВМ. Для каждого числа n при помощи машины определяются все делители этого числа (≠ n) и их сумма m. После этого производится такая же операция с числом m. Если при этом вновь получается первоначальное число n, то пара чисел (n, m) оказывается дружественной. Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в табл. 2. При помощи этого метода, как нетрудно видеть, одновременно «вылавливаются» и совершенные числа. Если возникает желание продолжать поиски дальше, то, конечно, это можно сделать, но придется затратить большое количество машинного времени.

Таблица 2

Дружественные числа до 100 000

В действительности мы очень мало знаем о свойствах пар дружественных чисел, однако, можно на основе наших таблиц высказать несколько предположений. Например, отношение одного из них к другому, по-видимому, должно все больше и больше приближаться к 1 по мере того, как они увеличиваются. Из таблицы видно, что эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными, но не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел n ≤ 1 3 000 000 000.

Откровенно говоря, мы надеемся, что многое в этой главе окажется для вас знакомым.

В ней рассматриваются понятия, с которыми вы познакомились в школе, как только научились обращаться с обыкновенными дробями. Единственным оправданием включения этого материала является желание освежить его в вашей памяти. Мы также надеемся, что приведенное изложение материала явится более систематическим, чем то, к которому вы привыкли.

Возьмем некоторую дробь а/b, отношение двух целых положительных чисел а и b. Обычно мы стараемся привести ее к простейшему виду, т. е. мы стараемся сократить множители, общие для а и b.

Эта операция не изменяет значения дроби, например,

24/36 = 8/12 = 2/3.

Общим делителем двух натуральных чисел а и b называется натуральное число d, которое является множителем как числа а, так и числа b, т. е.

a = d • а₁, b = d • b₁.

Если число d — общий делитель чисел а и b, то он также делит числа а + b и а — b, так как

а + b = а₁d + b₁d = (а₁ + b₁) d,

а — b = а₁d — b₁d = (а₁ — b₁) d.

Когда известны разложения чисел а и b на простые множители, нетрудно найти все их общие делители. Выпишем эти два разложения на простые множители:

а = р₁^α₁ • … • р_r^α_r, b = р₁^β₁ • … • р_r^β_r. (4.1.1)

Здесь мы договариваемся записывать разложения чисел а и b так, как если бы они имели одинаковые простые множители

р₁, p₂…, р_r

но с условием, что мы допускаем возможность использования показателя степени, равного 0. Например, если p₁ делит число а, но не делит число b, мы полагаем, что в формуле (4.1.1) β₁ = 0. Таким образом, если

а = 140, b = 110, (4.1.2)

то

а = 2² • 5¹ • 7¹ • 11⁰, b = 2¹ • 5¹ • 7⁰ • 11¹. (4.1.3)

Из формулы (4.1.1) следует, что любой делитель d числа а может иметь простыми множителями только числа p_i, которые встречаются в числе а и каждое из них содержится в степени δ_i, не превосходящей соответствующей степени α_i в числе а. Аналогичные условия имеют место и для любого делителя d числа b. Поэтому общий делитель d чисел а и b может иметь в качестве простых множителей только числа p_i, которые встречаются одновременно в числах а и b, а степень δ_i числа p_i в d не может превосходить меньшей из двух степеней: α_i и β_i.

Из этого обсуждения мы можем сделать вывод: любые два натуральных числа а и b имеют наибольший общий делитель d₀. Простыми множителями p_i числа d₀ являются те, которые одновременно встречаются в числах а и b, а степень числа р_i в числе d₀ есть меньшее из двух чисел α_i и β_i.

Пример. Возьмем два числа, указанных в (4.1.2), имеющие разложения на простые множители (4.1.3); очевидно, что

d₀ = 2¹ 5¹ = 10.

Так как степень простого числа p_iв наибольшем общем делителе по крайней мере не меньше, чем у любого другого общего делителя, то мы получаем характеристическое свойство:

Любой общий делитель d делит наибольший общий делитель d₀.

Наибольший общий делитель двух чисел настолько важен, что для него существует специальное обозначение:

d₀ = D(a, b). (4.1.4)

Число 1 является общим делителем для любой пары чисел а и b. Может случиться, что единица будет единственным их общим делителем, т. е.

d₀ = D(a, b) = 1. (4.2.1)

В этом случае мы говорим, что числа а и b взаимно простые.

Пример. (39, 22) = 1.

Если числа имеют общий делитель, больший единицы, то они также имеют общий простой делитель.

Итак, два числа могут быть взаимно простыми только тогда, когда они не имеют общих простых множителей, поэтому условие (4.2.1) означает, что числа а и b не имеют общих простых множителей, т. е. все их простые множители различны.

Вернемся к началу этой главы, где мы приводили дробь а/b к простейшему виду. Если d₀ есть наибольший общий делитель чисел а и b, то мы можем написать

a = a₀d₀, b = b₀d₀. (4.2.2)

Тогда

a/b = a₀d₀/b₀d₀ = a₀/b₀. (4.2.3)

В формуле (4.2.2) числа а₀ и b₀ не могут иметь простых общих множителей, в противном случае числа а и b имели бы общин множитель, больший, чём d₀. Следовательно,

D(a₀, b₀) = 1. (4.2.4)

Это означает, что для второй дроби в формуле (4.2.3) дальнейшее сокращение невозможно.

Одним из часто применяемых свойств взаимно простых чисел является следующее.

Если произведение ab делится на число с, которое взаимно просто с числом b, то число а делится на с.

Доказательство. Так как число с делит произведение ab, то простые множители числа с содержатся среди простых множителей чисел а и b. Но так как D(b, c) = 1, то их не может быть среди множителей числа b. Таким образом, все простые множители числа с делят число а, но не делят число b, и они появляются в числе а в степенях, не меньших, чем в числе с, так как число с делит ab.

Позже мы используем другой факт.

Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом,

ab = c², D(a, b) = 1, (4.2.5)

то числа а и b являются квадратами:

а = а₁², b = b₁². (4.2.6)

Доказательство. Для того чтобы некоторое число было квадратом, необходимо и достаточно, чтобы все степени в разложении его на простые множители были четными. Так как числа а и b — взаимно простые (4.2.5), то любой простой множитель из с² содержится либо в а, либо в b, но не в обоих; отсюда простые множители чисел а и b должны иметь четные степени.

Вновь вернемся к нашим дробям а/b. Если а > b, то дробь является числом, большим 1, и мы часто разделяем ее на целую часть и правильную дробь, меньшую единицы.

Примеры. Мы пишем

32/5 = 6 + 2/5 = 6 2/5, 63/7 = 9 + 0/7 = 9.

В общем случае мы используем деление с остатком

чисел а и b (a ≥ b), а именно:

a = qb + r, где 0 ≤ r ≤ b—1. (4.3.1)

Рис. 14.

Очевидно, что это всегда возможно. Действительно, рассмотрим числа 0, 1, 2… на числовой прямой (рис. 14). Где-то на этой прямой расположено число а. Начиная от точки 0 станем отмечать точки b, 2b, Зb и т. д. до точки qb такой, что qb не больше, чем а, в то время как (q + 1)b уже больше а. Расстояние от точки qb до точки а и есть r. Мы называем число r остатком при делении (4.3.1), a q — частным. Это частное q встречается столь часто, что имеется специальный символ для его обозначения:

q = [a/b].

Этот символ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа а/b. Для примеров, приведенных выше, получим

[32/5] = 6, [63/7] = 9.

В предыдущем разделе мы исследовали наибольший общий делитель двух натуральных чисел а и b:

d₀ = D(a, b). (4.3.2)

Чтобы найти число d₀, мы полагали, что мы знаем разложения чисел а и b на простые множители. Однако нахождение таких разложений может оказаться очень трудным занятием для больших чисел. Существует совсем другой метод для нахождения наибольшего общего делителя, который не использует подобных разложений. Он основан на следующем:

Если a = qb + r, где 0 ≤ r ≤ b—1, то

D(a, b) = d = D(r, b). (4.3.3)

Доказательство. Запишем

d₀ = D(a, b), d₁ = D(r, b).

Таким образом, доказательство соотношения (4.3.3) означает доказательство того, что d₀ = d₁. Любой общий делитель чисел а и b также делит число

r = а — qb.

Следовательно, число r делится на d₀.

Так как число d₀ является делителем как числа r, так и числа b, то оно должно делить и число d₁ = D(b, r); отсюда d₁ ≥ d₀. С другой стороны, в соответствии с соотношением (4.3.1) любой общий делитель чисел r и b делит число а, откуда число d₁ делит число а. Так как число d₁ делит также и число b, то оно должно делить и число d₀ = D(a, b), следовательно, d₀ ≥ d₁. Из сказанного следует, что d₀ = d₁.

Пример. 1066 = 5 • 200 + 66; следовательно, (1066, 200) = (66, 200).

Этот результат, сформулированный в утверждении (4.3.3), дает нам простой метод вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Вместо поисков наибольшего общего делителя чисел а и b достаточно найти наибольший общий делитель чисел r и b. Эта задача более проста, так как число r меньше, чем каждое из чисел а и b. Чтобы найти наибольший общий делитель чисел r и b, мы вновь воспользуемся тем же методом и разделим число b на r:

b = q₁r + r₁,

где r₁ меньше каждого из чисел b и r. В соответствии с правилом (4.3.3) мы получаем

d₀ = D(a, b) = D(b, r) = D(r, r₁).

Далее, таким же способом обращаемся с числами r и г₁ и т. д. В результате получаем последовательность пар чисел, каждая из которых имеет один и тот же наибольший общий делитель:

d₀ = D(a, b) = D(b, r) = D(r, r₁) = D(r₁, r₂) =… (4.3.4)

Так как остатки постоянно уменьшаются, то эта последовательность должна закончиться после получения остатка r_k+1 = 0. Это происходит при делении

r_k-1 = q_k+1r_k + 0,

т. е. число r_k делит число r_k-1. Тогда

D(r_k-1, r_k) = r_k,

и из (4.3.4) видим, что

d₀ = D(а, b) = r_k.

Другими словами, число d₀ равно первому из остатков, который делит предшествующий ему остаток.

Пример. Найдем наибольший общий делитель чисел 1970 и 1066. Когда мы разделим одно число на другое и продолжим этот процесс дальше, как было выше рассказано, то найдем

1970 = 1 • 1066 + 904,

1066 = 1 • 904 + 162,

904 = 5 • 162 + 94,

162 = 1 • 94 + 68,

94 = 1 • 68 + 26,

68 = 2 •  26 + 16,

26 = 1 • 16+ 10,

16 = 1 • 10 + 6,

10 = 1 • 6 + 4,

6 = 1 • 4 + 2,

4 = 2 • 2 + 0.

Следовательно, (1970, 1066) = 2.

Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида, так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. Этот метод очень удобен для применения в вычислительных машинах.

Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби

c/a, d/b,

мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.

Пример.

2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.

Вообще, чтобы получить сумму

c/a + d/b,

мы должны найти общее кратное для чисел а и b, т. е. число m, на которое делятся как число а, так и b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab; в результате получаем в качестве суммы дробей

c/a + d/b = cb/ab + da/ab = (cb + da)/ab.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b. Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

а = р₁^α₁ • … • р_r^αr, b = р₁^β₁ •… • р_r^βr. (4.4.1)

Число m, которое делится одновременно на числа а и b, должно делиться на каждый простой делитель p_i чисел а и b и содержать его в степени μ_i не меньшей, чем большая из двух степеней α_i и β_i. Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее

m₀ = р₁^μ₁ • … • р_r^μr, (4.4.2)

в котором каждый показатель степени μ_i равен большему из чисел α_i и β_i. Очевидно, что число m₀ является наименьшим общим кратным и любое другое общее кратное чисел а и b делится на m₀. Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение

m₀ = K(a, b). (4.4.3)

Пример.а = 140, b = 110. Разложение на простые множители этих чисел таково:

a = 2²  5¹ • 7¹ • 11⁰, b = 2¹ • 5¹ • 7⁰ • 11¹,

следовательно,

К(а, b) = 2² 5¹ • 7¹ • 11¹ = 1540.

Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:

ab = D(a, b) K(a,b). (4.4.4)

Доказательство. Перемножив два числа из (4.4.1), получим

аb = p₁^α₁+β₁ … • p_r^α_r+β_r. (4.4.5)

Как мы отмечали, степень числа р_i в D(a, b) является меньшей из двух чисел α_i и β_i, а в числе К(а, b) она большая из них. Предположим, что α_i ≤ β_i. Тогда степень числа р_i в числе D(a, b) равна α_i, а в К(а, b) равна β_i; следовательно, в их произведении

D(a, b) К(а, b)

она равна α_i + β_i, что в точности равняется степени в произведении (4.4.5). Это показывает справедливость соотношения (4.4.4).

Пример. а = 140, b = 110, D(a, b) = 10, К(а, b) = 1540.

ab = 140 •  110 = 10 • 1540 = D(a, b) К(а, b).

Из правила (4.4.4) вытекает, что если а и b взаимно простые, то их произведение равно их наибольшему общему кратному; действительно, в этом случае D(a, b) = 1 и поэтому ab = K(а, b).

Во введении (§ 3, гл. 1) мы упоминали об одной из древнейших теоретико-числовых задач: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, т. е. найти все целочисленные решения уравнения

х² + y² = z². (5.1.1)

Эта задача может быть решена с использованием лишь простейших свойств чисел. Прежде чем приступить к ее решению, проведем некоторые предварительные исследования. Тройка целых чисел

(х, у, z), (5.1.2)

удовлетворяющая уравнению (5.1.1), называется пифагоровой тройкой. Отбросим тривиальный случай, когда одна из сторон треугольника равна нулю.

Ясно, что если множество (5.1.2) является пифагоровой тройкой, то любая тройка чисел

(kx, ky, kz), (5.1.3)

получающаяся умножением каждого из этих чисел на некоторое целое число k, также будет пифагоровой, и наоборот. Таким образом, при поиске решений достаточно ограничиться нахождением простейших треугольников, длины сторон которых не имеют общего множителя k > 1. Например, тройки

(6, 8, 10), (15, 20, 25)

являются пифагоровыми тройками, получающимися из простейшего решения (3, 4, 5).

В простейшей тройке (x, у, z) не существует общего множителя для всех трех чисел. В действительности справедливо более сильное утверждение: никакие два числа из простейшей тройки не имеют общего множителя, т. е.

D(x, y) = 1, D(x, z) = 1, D(y, z) = 1. (5.1.4)

Чтобы доказать это, предположим, что, например, х и у имеют общий делитель. Тогда они имеют общий простой делитель р. В соответствии с (5.1.1) число р должно также делить и r. Итак, (х, у, z) не может быть простейшей тройкой. Такие же рассуждения применимы для доказательства остальных двух утверждений.

Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что

x = 2a +1, y = 2b + 1.

После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число

x² + y² = (2a + 1)² + (2b + 1)² = 2 + 4а + 4a² + 4b + 4b² = 2 + 4 (а + а² + b + b²),

делящееся на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z² делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z² делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z² делится на 4.

Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.

Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде

x² = z² — y² = (z + y)(z — y). (5.2.1)

Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа

х, z + y, z — y

четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить

(1/2 x)² = 1/2 (z + y) 1/2 (z — y). (5.2.2)

Обозначим

m₁ = 1/2 (z + y), n₁ = 1/2 (z — y); (5.2.3)

тогда уравнение (5.2.2) перепишется как

(1/2 x)² = m₁n₁. (5.2.4)

Числа m₁ и n₁ взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что

d = D(m₁, n₁)

есть наибольший общий делитель чисел m₁ и n₁. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа

m₁ + n₁ = z, m₁ — n₁ = y.

Но единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому

d = D(m₁, n₁) = 1. (5.2.5)

Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m₁ и n₁ являются квадратами

m₁ = m², n₁ =, D(m, n) = 1. (5.2.6)

Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m² и n² вместо m₁ и n₁ соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);

получим

m² = 1/2 z + 1/2 y, n² = 1/2 z — 1/2 y, m²n² = 1/4 x²,

т. е.

x = 2mn, y = m² — n², z = m² + n². (5.2.7)

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х² + у² = z².

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) (m, n) = 1,

(2) m > n, (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х² + у² = z². Если число р делит х, то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть

m = 11, n = 8.

Наши условия выполнены, и мы находим, что

х = 176, у = 57, z = 185.

В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n.

Таблица 3

Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.

Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у. В соответствии с (5.2.7)

y = m² — n² = (m + n)(m — п), (5.3.1)

где m и n—числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).

В уравнении (5.3.1) множители (m + n) и (m — n) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители

а = m + n, b = m — n (5.3.2)

оба нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р, то число р должно было бы делить каждое из чисел

а + b = m + n + (m — n) = 2m

и

а — b = m + n — (m — n) = 2n,

т. е. р должно было бы делить числа m и n. Но это невозможно, так как D(m, n) = 1.

Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя

y = a  b, a > b, D(a, b) = 1. (5.3.3)

Из (5.3.2) получаем

m = 1/2 (a + b), n = 1/2 (a — b). (5.3.4)

Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и b = m — n. Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m² — n².

Пример. Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:

у = 15 • 1 = 5 • 3.

Первое из них дает

m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,

а второе

m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.

Пусть, далее, задана сторона х. Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2mn должно делиться на 4. Если разложить число х/2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m, а меньший — n.

Пример. Возьмем х = 24; тогда

1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.

Первое разложение дает

m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,

а второе

т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.

Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем

z = m² + n². (5.3.5)

т. е. число z есть сумма квадратов чисел m и n, удовлетворяющих условиям (5.2.8).

Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

z = a² + b²? (5.3.6)

На время забудем все ограничения на числа а и b. Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:

0 = 0² + 0², 1 = 1² + 0², 2 = 1² + 1², 4 = 2² + 0², 5 = 2² + 1², 8 = 2² + 2², 9 = 3² + 0², 10 = 3²+1².

Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.

Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.

Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,

5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4²+1², 29 = 5² + 2².

Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.

Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4n + 3, т. е.

q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…

Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а² и b² оба делятся на 4, отсюда и а² + b² делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2k + 1, b = 2l + 1, то а² + b² = 4k² + 4k + 1 + 4l² + 4l + 1 = 4 (k² + l² + k + l) + 2, поэтому а² + b² имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2k + 1, b = 2l, то а² + b² = 4k² + 4k + 1 + 4l² и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4n + 3.

Чтобы закончить наше исследование для простых чисел, заметим, что 2 = 1² + 1².

Для того чтобы проверить, является ли составное число z суммой двух квадратов, разложим его на простые множители

z = p₁^α₁p₂^α₂ •… • p_k^α_k. (5.3.7)

Число z оказывается суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда каждое простое число p_i вида 4п + 3 входит в разложение в четной степени.

Примеры. Число z = 198 = 2 • З² • 11 не является суммой двух квадратов, так как 11 имеет вид 4n + 3 и входит в разложение в первой степени.

Число z = 194 = 2 • 97 является суммой двух квадратов, так как ни один из его простых множителей не является числом вида 4n + 3. Действительно, z = 13² +5².

Вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения всех чисел z, которые могут быть гипотенузами простейших треугольников Пифагора. Такое число z должно быть представимо в виде z = m² + n², где числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8). Необходимым и достаточным условием для этого является следующее: каждый из простых множителей числа z должен иметь вид 4n + 1. Доказательство этого утверждения мы вновь опускаем.

Примеры.z = 41. Это число легко представить в виде суммы двух квадратов искомого вида, z = 5² + 42, так что m = 5, n = 4 и x = 40, у = 9, z = 41 выражают длины сторон соответствующего треугольника.

z = 1105 = 5 • 13 • 17. Существуют четыре представления этого числа в виде суммы двух квадратов:

1105 = ЗЗ² + 4² = 32² + 9² = 31² + 12² = 24² + 23².

Стороны соответствующих треугольников вычислите самостоятельно.

Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)

х = 2mn, у = m² — n², z = m² + n².

Например, можно искать треугольники Пифагора с заданной площадью А. Если такой треугольник является простейшим, то его площадь равна

А = 1/2 ху = mn (m — n) (m + n). (5.3.8)

Здесь три из четырех множителей нечетны. Нетрудно видеть, что они попарно взаимно простые. Поэтому, чтобы найти все возможные значения чисел m и n, можно выделить из числа А два взаимно простых нечетных множителя k и k (k > l), положив

m + n = k, m — n = l,

что дает

m = 1/2 (k + l), n = 1/2 (k — l).

После этого мы проверяем, удовлетворяют ли эти числа условиям (5.3.8).

Рассуждения несколько упрощаются, если заметить, что два множителя в выражении (5.3.8) могут равняться 1 только в единственном случае:

m = 2, n = 1, A = 6.

Действительно, два множителя в (5.3.8) могут быть равны 1, только если

n = m — n = 1,

что и дает указанное выше значение.

Пример. Найдем все треугольники Пифагора с площадью А = 360. Разложение числа А на простые множители таково: A = 2³  3² • 5. Число А может быть единственным образом записано в виде произведения четырех взаимно простых множителей: А = 8 • 1 • 5 • 9. Если мы ищем простейший треугольник, то m + n = 9. Однако если m = 8, то n = 1 и m — n = 7, но А не делится на 7, а вторая возможность (n = 8, m = 1) исключается условием > n. Поэтому такого треугольника не существует.

Этот результат не исключает возможности существования треугольников с площадью А = 360, не являющихся простейшими. Следующее соображение может быть использовано в общем случае для нахождения треугольников заданной площади, не являющихся простейшими. Если длины всех сторон треугольника имеют общий делитель d, т. е. могут быть записаны как

dx, dy, dz,

то его площадь равна

А = 1/2 dx dy = d²mn (m — n) (m + n).

Таким образом, число d² является множителем числа А и, если число d есть наибольший общий делитель длин сторон, то число

А₀ = A/d² = mn (m — n) (m + n)

должно быть площадью простейшего треугольника.

Применим полученный результат к только что рассмотренному случаю А = 360. У этого числа существуют три множителя, являющиеся квадратами;

d₁ = 4, d₂ = 9, d₃ = 36.

Соответственно находим

A/d₁ =90 = 2 • 3² • 5, A/d₂ = 40 = 2³ • 5, A/d₃ = 10 = 2 • 5.

Не существует способов написать число 40 или 10 в виде произведения четырех взаимно простых множителей, а число 90 может быть представлено в таком виде, причем единственным образом, а именно:

90 = 1 • 2 • З² • 5.

(В числе сомножителей 1 может встречаться не более одного раза, за исключением случая m = 2, n = 1, А = 6.) Так как наибольшим множителем является 9, то мы должны взять m + n = 9. Однако, перебирая все возможные значения m = 1, 2, 5, получим соответственно n = 8, 7, 4. Условие m > n исключает все случаи, кроме m = 5, n = 4, для которого, однако, mn (m + n) (m — n) ≠ 90. Итак, мы получили, что не существует ни простейшего, ни иного треугольника Пифагора с площадью А = 360.

Можно было бы затронуть еще много других вопросов, но упомянем лишь об одном из них. Периметр треугольника равен

c = x + y + z; (5.3.9)

для простейшего треугольника Пифагора получаем

с = 2mn + (т² — n²) + (m² + n²) = 2n (m + n).

Мы предоставляем читателю самому отыскать метод нахождения всех треугольников Пифагора с заданным периметром. Не пренебрегайте рассмотрением

числовых примеров.

Мы решили задачу построения всех треугольников Пифагора. Это ведет нас к исследованию более общих связанных с ней задач. Естественным обобщением задачи Пифагора является задача Герона, названная по имени древнегреческого математика Герона, жившего в Александрии: найти все треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также выражаются целыми числами. Эта задача отличается от задачи Пифагора тем, что условие наличия прямого угла заменено требованием целочисленности площади. Очевидно, что всякий треугольник Пифагора удовлетворяет условиям задачи Герона.

Для проверки того, является ли данный треугольник треугольником Герона, проще всего применить формулу Герона для площади треугольника,

где с — это периметр треугольника, определенный в (5.3.9). Хотя известно значительное число треугольников Герона, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники. Приведем несколько из них (не прямоугольных):

x = 7 y = 15 z = 20

    9     10     17

   13     14     15

   39     41     50

Мы не можем закончить рассказ о треугольниках Пифагора, не упомянув об одной из самых знаменитых проблем математики, гипотезе П. Ферма:

для n > 2 не существует натуральных чисел x, у, z таких, что

хⁿ + уⁿ = zⁿ.

Эта идея пришла к Ферма в то время, когда он изучал перевод с греческого «Арифметики» Диофанта. В этой книге в основном рассматриваются задачи, в решении которых применяются формулы для нахождения треугольников Пифагора. Читая эту книгу, Ферма делал пометки на нолях.

Ферма был взволнован своим «открытием», он верил, что у него есть удивительное доказательство, и сожалел, что не может его записать, так как поля слишком узки. С тех пор эта задача занимает математиков. Для нахождения доказательства изобретались самые искусные методы; этот поиск привел к открытию новых фундаментальных теорий в математике. Используя теоретические разработки и вычисления на ЭВМ, было показано, что теорема Ферма справедлива для многих значений степени n. В настоящее время мы знаем, что этот результат выполняется для всех значений n, удовлетворяющих неравенству 3 ≤ n ≤ 4002.

Попытки самых выдающихся математиков в течение столетий найти общее доказательство оказались тщетными. Поэтому распространилось мнение, что Ферма, несмотря на свой бесспорный талант, стал жертвой самообмана. Как бы ни широки были поля книги, маловероятно, что его доказательство было бы верным.

Конечно, вы имеете право попробовать свои силы в доказательстве этой теоремы, но предупреждаем, что еще ни одна теорема в математике не имела столько неправильных доказательств, как теорема Ферма. Лишь некоторые из них принадлежат хорошим математикам, остальные — дилетантам. Доказательства «последней теоремы Ферма» продолжают появляться в почте известных математиков, занимающихся теорией чисел. Большинство из этих доказательств сопровождается письмами с требованием о немедленном всемирном признании и выплате денежной премии, установленной одним немецким математиком (эта премия давно уже обесценилась в результате инфляции).

Система задач 5.3.

1. Найдите все такие треугольники Пифагора, у которых длина одной из сторон равна: а) 50, б) 22.

2. Используя условие представимости числа в виде суммы двух квадратов, определите, какие из чисел 100, 101…, 110 могут быть представлены в таком виде. Если возможно, найдите все представления. Какое из этих чисел может быть гипотенузой простейшего треугольника Пифагора?

3. Могут ли быть треугольниками Пифагора треугольники с площадями А = 78, A = 120, А = 1000?

4. Найдите все треугольники Пифагора с периметрами с = 88, с = 110.

«Все есть число» — учили древние пифагорейцы[8]. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас сегодня в повседневной жизни. Огромные числа появляются, когда считаем мы, и тогда, когда считают нас. В нашу жизнь прочно вошли: номера домов, квартир, телефонов, счетов, почтовые индексы. Каждый день наполнен потоком счетов, чеков и других бухгалтерских документов. Государственный бюджет исчисляется в миллиардах, а горы статистических данных являются принятым доводом в спорах. Эти цифры «крутятся» в компьютерах, которые анализируют состояние производства, следят за траекториями спутников и исследуют атомные ядра со скоростью до одного миллиарда операций в секунду.

Ко всему этому вела длинная дорога, начавшаяся с первых попыток человека систематизировать окружающие его числа, когда они стали столь большими, что их нельзя уже было посчитать на пальцах. Были перепробованы различные способы группировки чисел; большинство из них осталось на обочине этого пути, не выдержав конкуренции с другими системами. К настоящему времени, по счастью, наша десятеричная, или десятичная, система счисления, основанная на группировании десятками, принята почти всюду; в некотором отношении эта система, по-видимому, случайно, оказалась той золотой серединой, которая одинаково хорошо удовлетворяет разнообразным требованиям при работе с числами.

Нет необходимости подробно описывать эту систему. Первые два года обучения в школе дают нам на всю жизнь почти подсознательное знание того, что означает последовательность цифр, например,

75 = 7 • 10 + 5,

1066 = 1 • 10³ + 0 • 10² + 6 • 10 + 6,

1970 = 1 • 10³ + 9 • 10² + 7 • 10 + 0.

И вообще, в системе, основанной на числе 10,

_________________

аn аn-1 … a2 а1 a0 (6.1.1)

означает число

N = a_n • 10ⁿ + a_n-1•10^n-1 +….. + a₂ • 10² + a₁ • 10 + a₀, (6.1.2)

где коэффициенты, или цифры, а_i могут принимать следующие значения:

а_i = {0, 1…. 9}. (6.1.3)

Число b = 10 называется основанием этой системы. Индо-арабская числовая система пришла в Европу с Востока около 1200 г. нашей эры, и с тех пор не оспаривалась. Она известна как позиционная система, так как место каждой цифры определяет ее значение; использование символа 0 дает возможность просто и безболезненно обозначать пустующее место. Более того, оказалось, что эта система очень удобна при арифметических операциях с числами: сложении, вычитании, умножении и делении.

Известны различные другие системы, которыми пользовались народы мира, чтобы навести порядок среди чисел. Но почему и как возникли эти системы? Ответы на эти вопросы большей частью затерялись в туманном прошлом человечества.

Никто не сомневается, что широко используемая группировка десятками объясняется тем, что люди считали на пальцах. Довольно странно, что сохранилось мало свидетельств того, что человек считал на одной руке; пятеричная система встречается исключительно редко. Но в то же время очень часто встречаются примеры двадцатеричной системы. Не нужно иметь семи пядей во лбу, чтобы понять, что в этой системе в процессе счета участвуют пальцы как рук, так и ног. Из этих двадцатеричных систем счисления, возможно, самая известная — система племени майя, но и в Европе такие системы были широко распространены несколько столетий назад. Двадцатеричная система прослеживается во французском языке в числах от 80 до 100, что можно увидеть из следующих примеров:

80 = quatre-vingts = четыре раза по двадцать,

90 = quatre-vingts-dix = четыре раза по двадцать и десять

91 = quatre-vingts-onze = четыре раза по двадцать и одиннадцать

и так далее.

Менее известно, что в датском языке счет парами десятков процветает вплоть до наших дней. Эта древняя система, которая ранее была широко распространена среди германских племен, столь оригинальна, что мы не можем не привести хотя бы несколько ее деталей.

При счете до 20 естественно использовать такие термины, как:

tredsindstyve = три раза по двадцать,

firsindstyve = четыре раза по двадцать,

femsindstyve = пять раз по двадцать.

Но система становится более сложной, если условиться, что всякий раз, когда мы просчитаем несколько полных двадцаток, а затем еще десяток, объявлять, что находимся на половине следующей двадцатки; например,

90 = halvfemsindstyve = половина пятой двадцатки.

Чтобы закончить наше описание, следует сказать, что в датском языке количество единиц ставится перед количеством десятков, что приводит к числовым конструкциям типа

93 = treoghalvfemsindstyve = три и половина пятой двадцатки.

Ясно, что в любой цивилизации, насыщенной числами, подобно нашей, такие системы обречены. Способ записи чисел, при котором единицы ставятся перед десятками, особенно неприятен. Такая система была также распространена в Англии до XVIII века: вместо twenty-three (двадцать три) обычно говорили three and twenty (три и двадцать). В Норвегии лишь несколько лет назад парламент специальным законом отменил использование такой системы в школах и всех официальных сообщениях. Однако подобная система продолжает процветать в Германии, что приводит к многочисленным числовым ошибкам, например, при набирании номера телефона.

С давних времен до наших дней астрономы пользуются древней вавилонской шестидесятеричной системой (с основанием 60). Правда, сейчас ее достоинства уменьшились, но мы все же придерживаемся этой системы при отсчете времени и углов в минутах и секундах. Мы не знаем, почему вавилоняне ввели столь большое основание в свою систему, можно лишь предположить, что эта система возникла как комбинация двух систем с различными основаниями, скажем, 10 и 12, у которых наименьшее общее кратное равно 60.

Теперь скажем несколько слов о математических вопросах, связанных с использованием систем с различными основаниями. При основании b мы записываем целое число

N = c_nbⁿ + c_n-1b^n-1 +… + с₂b² + с₁b + с₀  (6.2.1)

так же, как и в (6.1.2), с той разницей, что здесь коэффициенты с, могут принимать значения

с_i = 0, 1…, b — 1, (6.2.2)

вместо значений, приведенных в (6.1.3). Для краткости можно записать число N из (6.2.1) в сокращенной форме

(с_n, с_n-1…, с₂, с₁, с₀)_b, (6.2.3)

Американское общество сторонников двенадцатеричной системы предложило изменить нашу десятеричную систему на более эффективную и удобную, как они думают, систему с основанием 12. Те, кто предлагает эту систему, указывают, что было бы выгоднее иметь систему с основанием, делящимся на числа 2, 3, 4 и 6, так как процесс деления на эти часто встречающиеся делители упрощается. Доводы такого типа привели бы нас к шестидесятеричной системе, основание которой, число 60, делится на числа

2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.

В ряде стран многие вещи все еще считают дюжинами и гроссами (т. е. дюжинами дюжин) и естественно, что для них двенадцатеричная система является вполне возможной. Для перехода в двенадцатеричную систему нужно было бы ввести двенадцать новых символов, что потребует для их разработки столь же много усилий, сколько потребовалось для создания десятеричной системы. Некоторые энтузиасты считают, что необходимо ввести новые символы лишь для 10 и 11, но такой способ не учитывает неудобств, возникающих в период перехода: никто не будет понимать, например, означает ли запись 325

3 • 10² + 2 • 10 + 5 = 325

или

3 • 12² + 2 • 12 + 5 = 461.

Для того чтобы получить представление о том, как меняется количество знаков в числе в зависимости от системы счисления, возьмем число

10ⁿ — 1 = 99… 9 (n раз) = N (6.3.1)

в десятеричной системе. Это самое большое число с n знаками. Чтобы найти m — количество знаков при записи этого числа при основании b — мы должны определить m как целое число, для которого выполняются неравенства

b^m > 10ⁿ — 1 ≥ b^m-1. (6.3.2)

Это условие может быть также записано в виде

b^m ≥ 10ⁿ > b^m-1.

Возьмем логарифмы этих трех чисел. Вспомнив, что lg 10 = 1, получим, что

m lg b ≥ n > (m — 1) lg b.

В свою очередь эти неравенства могут быть переписаны в виде

m ≥ n/lg b > (m — 1); (6.3.3)

таким образом, m является первым целым числом не меньшим, чем n/lg b.

Отсюда делаем вывод, что, грубо говоря, m — новое количество знаков, может быть получено делением числа n на lg b.

Примеры. Пусть вновь n будет количеством знаков числа в десятичной системе. Для b = 2 мы имеем: lg 2 = 0,30103, таким образом, количество цифр в двоичной системе приблизительно равно 3,32 n. Когда b = 60, мы имеем: lg 60 = 1,778, отсюда количество знаков приблизительно равно 0,56 n, т. е. немного больше, чем половина количества знаков в десятичной системе.

Ясно, что короткими числами удобнее оперировать. Но, с другой стороны, числа при больших основаниях имеют ряд недостатков. Во-первых, нужно иметь названия и обозначения для b различных цифр, чего обычно нет для больших значений b. Например, в вавилонской шестидесятеричной системе считали единицы до 60, группируя их по десять, как показано на рис. 15.

Рис. 15.

Это означает в действительности, что эта система расщеплялась на подсистемы с десятеричной записью. Аналогичная ситуация существует в двадцатеричной системе народа майя. Здесь цифры до 20 считались пятерками, как показано на рис. 16.

Рис. 16.

Вторым и гораздо большим недостатком является трудность, возникающая при попытках вычислений с помощью обычных методов. Когда мы выполняем действие умножения, то пользуемся знанием наизусть таблицы умножения, т. е. знанием произведений всех десяти цифр. Эта таблица Пифагора, как ее называют во многих странах, вдалбливалась нам в течение первых школьных лет, и знаем мы ее почти автоматически. Это знание не столь тривиально, как мы склонны думать. Из средневековых арифметических манускриптов ясно видно, что умножение было на грани высшей математики, а деление больших чисел было в действительности редким искусством. Но можно привести и гораздо более поздние примеры.

Самюэль Пепис, известный благодаря своему дневнику, был в возрасте около тридцати лет и служил клерком канцелярии лорда-хранителя печати, когда летом 1662 года он решил, что он должен знать кое-что из математики, по крайней мере основы арифметики, чтобы самостоятельно проверять счета. Заметим, что он тогда уже получил степени бакалавра и магистра в Кембридже. В то время было довольно обычным, что хорошо образованный английский джентльмен совершенно не владеет повседневными расчетами; эти расчеты могли перепоручаться младшим счетоводам.

4 июля 1662 года Пепис записывает в своем дневнике: «Вскоре придет мистер Купер, помощник капитана на „Ройял Чарльз", у которого я собираюсь учиться математике, и сегодня мы начнем; он очень способный человек, я полагаю, что не найдется дела, которое способно полностью его удовлетворить. После часа занятий арифметикой (я пытался выучить таблицу умножения) мы расстались с ним до завтра».

Каждый день и рано утром и поздно вечером Пепис учил проклятую таблицу умножения, с трудом продвигаясь вперед при поддержке своего моряка-учителя. Например, 9 июля он записывает: «Встал в четыре часа утра и снова упорно учу таблицу умножения, которая для меня является главной трудностью арифметики». Так продолжалось несколько дней, пока 11 июля он смог записать: «Встал в четыре часа утра и упорно работал над таблицей умножения, которой я теперь почти овладел». Пепис хорошо использовал полученные с таким трудом знания во всех все более важных постах, на которые он назначался. Однако может показаться слишком быстрым его продвижение, когда вы узнаете, что он был избран членом знаменитой Британской академии наук — Королевского общества — спустя два с половиной года после того, как выучил таблицу умножения.

Мы привели эту историю, которая никоим образом не является уникальной, чтобы подчеркнуть: запоминание таблицы умножения в те дни не было обычным этапом математического знания. Таким образом, мы видим, что использование в нашей арифметике чисел с небольшим основанием дает ряд преимуществ, как механических, так и интеллектуальных. Например, когда основанием является число b = 3, то в таблице умножения

  | 0 1 2

  |________ 

0 | 0 0 0

1 | 0 1 2

2 | 0 2 (1,1)3

существует только единственное нетривиальное умножение, а именно: 2 • 2 = 4 = (1, 1)₃.

Для b = 2 мы имеем совершенно тривиальную таблицу

  | 0 1

  |____

0 | 0 0

1 | 0 1

Система задач 6.3.

1. Доказать, что количество нетривиальных умножений цифр (получающееся отбрасыванием умножений на 0 и 1) в системе с основанием b равно 1/2 (b — 1) (b — 2).

2. Чему равна сумма всех элементов в таблице умножения? Проверьте для b = 10.

Обсудим несколько задач, связанных с системами счисления, которые имеют отношение к выбору оснований систем счисления, удобных для машинного счета. Предположим, что мы имеем дело с обычным настольным арифмометром, который работает при помощи сцепленных числовых колес, каждое из которых имеет 10 цифр: 0, 1, … 9. Если имеется n колес, то мы можем представить все числа вплоть до

N = 99…9 (n раз), (6.4.1)

как и в (6.3.1).

Предположим теперь, что в качестве основания мы взяли число b, отличное от 10, но продолжаем рассматривать числа до N. Тогда мы должны иметь m колес, где m — целое число, удовлетворяющее условиям (6.3.2) и (6.3.3). Как и в (6.3.4). число m является целым числом, равным числу n/lg b или следующим за ним. Так как каждое колесо несет b цифр, то количество цифр, записанных на колесах, приближенно равно

D = n  b/lg b.

Можно теперь спросить: какое нужно выбрать число b, чтобы получить наименьшее количество чисел, записанных на колесах? Чтобы найти наименьшее значение числа D, в формуле (6.4.2) необходимо лишь исследовать функцию

f(b) = b/lg b (6.4.3)

для различных оснований b = 2, 3, 4… С помощью таблицы логарифмов получаем значения

 b    2    3    4    5    6

f(b) 6,64 6,29 6,64 7,15 7,71

Последующие значения для f(b) еще больше; например, f(10) = 10, как уже отмечалось. Мы заключаем, что для таких арифмометров имеет место следующее утверждение.

Наименьшее общее число цифр на арифмометре достигается при b = 3.

Видно, что для b = 2 и b = 4 общее число цифр не на много больше; в этом смысле маленькие основания имеют преимущество.

Рассмотрим небольшое изменение этой задачи. Обычные счеты того типа, который иногда используется для обучения детей счету, имеют несколько металлических спиц с девятью[9] подвижными косточками на каждой из них, чтобы отмечать цифры чисел. С таким же успехом можно провести параллельные прямые на листе бумаги и отмечать цифры соответствующим количеством спичек, или же подобно древним начертить эти прямые на песке и отмечать цифры камешками.

Но вернемся к счетам. Если имеется n спиц и на каждой по 9 косточек, то можно представить вновь все целые числа с п знаками вплоть до числа N, записанного в (6.4.1). Теперь зададим следующий вопрос: можно ли, взяв другое основание b, сделать счеты более компактными, т. е. обойтись меньшим количеством косточек?

При основании b количество косточек на каждой спице будет b — 1. Как и прежде, для того чтобы счеты имели ту же вместимость N, количество знаков или спиц должно определяться соотношением (6.3.4). Это дает значение

E = n/lg b  (b — 1) (6.4.4)

в качестве приближения для общего количества косточек. Чтобы найти, когда это число принимает наименьшее возможное значение, мы должны исследовать функцию

g(b) = (b — 1)/lg b (6.4.5)

для различных значений числа b = 2, 3… Значение функции g(b) для небольших значений числа b даны в таблице

  b   2    3    4    5    6

g(b) 3,32 4,19 4,98 5,72 6,43

Для больших значений числа b функция продолжает возрастать, поэтому мы заключаем, что необходимое количество косточек на счетах будет минимально при b = 2.

Можно интерпретировать этот результат с другой точки зрения. Предположим, что мы отметили цифры нашего числа, используя спички или камешки, расположенные на прямых линиях. В десятичной системе будет от 0 до 9 отметок на каждой прямой. Это дает в среднем по 4,5 спички на каждой прямой для наугад взятых чисел; следовательно, числа с n знаками потребуют в среднем 4,5 n спичек, когда они укладываются произвольно.

Посмотрим, какое время потребуется, чтобы уложить эти спички на места. Имея в виду какое-нибудь расположение, предположим, что потребуется одна секунда, чтобы уложить одну спичку. Тогда общее время, требуемое для того, чтобы уложить все спички, будет в среднем составлять приблизительно 4,5 n секунд.

Предположим, что мы изменили наше основание на число b и допустим ту же самую вместимость для представления чисел. В таком случае на каждой прямой будет от 0 до b — 1 спичек, следовательно, в среднем 1/2 (b — 1) из всего количества спичек. Как мы упоминали несколько раз, мы будем иметь приблизительно n/lg b прямых. Отсюда делаем вывод, что среднее время, требуемое для представления числа с n знаками, составляет примерно

n/lg n  1/2 • (b — 1) = 1/2 E

секунд, здесь Е есть выражение из (6.4.4). Так как это время было минимальным для b = 2, мы также можем сделать вывод:

среднее время, необходимое для установления числа с помощью спичек на прямых, минимально для b = 2.

До появления электронных вычислительных машин всюду при вычислениях безраздельно господствовала десятичная система. Интерес к другим системам носил либо исторический, либо познавательный характер. Существовало лишь несколько отдельных задач, которые наиболее удачно формулировались с использованием двоичной или троичной систем счисления. Одним из излюбленных примеров в книгах по теории чисел является игра «Ним»[10]. К тому времени, когда появилось много различных типов компьютеров, возникла задача сделать устройство ЭВМ как можно более компактным и эффективным. Это привело к тщательному изучению систем счисления с целью нахождения более подходящей системы. По ряду причин, некоторые из которых мы обсудили в предыдущем параграфе, двоичная система была признана предпочтительной. Единственным ее недостатком явилось то, что для большинства из нас требуются немалые усилия для того, чтобы чувствовать себя в ней «как дома», так как мы были воспитаны в других традициях. Следовательно, поскольку числа, которые должны вводиться в компьютеры, обычно записаны в десятичной системе, то требуется начальное устройство, переводящее их в двоичную систему, а ответы в конце концов должны быть выражены в десятичной системе, как уступка менее математически подготовленным членам общества.

Разумеется, двоичная система, используемая в ЭВМ, является той же самой системой, которую мы обсуждали в предыдущем параграфе, однако используемая терминология носит более технический оттенок. Двоичные цифры 0, 1 называются битами, что является сокращением английского выражения Binary digiTs (двоичные цифры). Так как существуют лишь две возможности: 0 и 1 в каждой позиции, то часто говорят об элементе с двумя состояниями.

Если следовать общему правилу, изложенному в § 2 этой главы, то представление данного числа в двоичной системе довольно просто. Например, возьмем N = 1971. Повторное деление на b = 2 дает

1971 = 985 • 2 + 1,

985 = 492 • 2 + 1,

492 = 246 • 2 + 0,

246 = 123 • 2 + 0,

123 = 61 • 2 + 1,

61 = 30 • 2 + 1,

30 = 15 • 2 + 0,

15 = 7 • 2 + 1,

7 = 3 • 2 + 1,

3 = 1 • 2 + 1,

1 = 0 • 2 + 1,

Следовательно,

1971₁₀ = (1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1)₂.

Ранее мы отмечали, что в двоичной системе числа имеют более длинные выражения, следовательно, становится труднее с первого взгляда оценить величину числа. По этой причине в языке ЭВМ часто используется восьмеричная система счисления (с основанием 8). Это является лишь незначительным изменением двоичной системы, которое получается разбиением бит в числе на группы по три. Это можно представить себе как систему с основанием

b = 8 = 2³.

Коэффициентами при этом являются восемь чисел

0 = 000, 4 = 100, 1 = 001, 5 = 101, 2 = 010, 6 = 110, 3 = 011, 7 = 111.

В качестве иллюстрации возьмем число 1971 из рассмотренного выше примера; в восьмеричной системе оно представляется как

1971 = 011, 110, 110, 011 = (3, 6, 6, 3)₈.

Таким образом, этот способ записи незначительно отличается от предыдущего. В действительности, такое деление на группы нам хорошо знакомо по обычным десятичным числам: при записи и произнесении большого числа мы обычно делим его цифры на группы по три, например,

N = 89 747 321 924.

Таким образом, можно сказать, что это является представлением нашего числа при основании b = 1000= 10³.

В компьютерах иногда используются и другие представления чисел. Предположим, что мы хотим записать десятичное число, скажем, N = 2947, в ЭВМ, работающей в двоичной системе. Тогда, вместо того чтобы полностью менять N на двоичное число, можно было бы изменить лишь цифры этого числа

2 = 0010,

9 = 1001,

4 = 0100,

7 = 0111

и, таким образом,

N = 0010, 1001, 0100, 0111.

Такие числа известны как кодированные десятичные числа. Этот метод иногда называется «системой 8421», так как эти десятичные цифры представляются в виде сумм двоичных единиц

0 = 0000, 1 = 0001, 2 = 0010,

2² = 4 = 0100, 2³ = 8 = 1000.

Такие кодированные десятичные числа неудобны для всех видов вычислений, но не всегда целью ЭВМ являются вычисления. Тем же образом, любая буква алфавита или любой другой символ могут быть приписаны какому-нибудь двоичному числу. Это означает, что любое слово или предложение можно запоминать как двоичное число. Таким образом, если бы мы были соответствующим образом натренированы и имели бы дело со столь же подготовленной аудиторией, то могли бы общаться лишь с помощью бит.

Существует множество видов игр с числами, некоторые из которых были известны еще в средние века. Большинство из них не представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они подобно магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами. Некоторые из них проиллюстрируем примерами.

Перед вами телеграмма, посланная школьником домой, с настоятельной просьбой:

  S E N D

  M O R E

_________

M O N E Y[11]

Будем рассматривать эту схему, как сложение двух четырехзначных чисел SEND и MORE, в сумме дающих число MONEY. Каждая буква означает определенную цифру. Задача состоит в том, чтобы определить, какие это цифры. Так как всего 10 цифр, то в каждой такой задаче может фигурировать не более 10 букв, в этом примере 8. В идеальном случае задача должна иметь единственное решение.

В нашем примере очевидно, что M = 1, так как М — первая цифра либо суммы S + М, либо S + M+1, где S и М — числа, не превосходящие числа 9. Тогда для числа S имеются две возможности:

S = 9 или S = 8,

так как либо S + 1, либо S + 1 + 1 есть двузначное число. Установим сначала, что S не может быть цифрой 8, ибо, если бы S было 8, то должен был бы быть перенос из колонки сотен, что дает

S + M + 1 = 8 + 1 + 1 = 10

при сложении в колонке сотен. Следовательно, О должно было бы быть нулем и наше послание читалось бы так:

  8 Е N D

  1 0 R Е

_________

1 0 N Е Y

Но, исследуя колонку сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе Е + 0 = Е, а не N), и так как Е ≤ 9, то

E + 0 + 1 = 10.

Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что О = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание теперь читается так:

  9 Е N D

  1 0 R E

_________

1 0 N Е Y

Так как Е ≠ N, то сложение в колонке сотен приводит к условию E + 1 = N,

и

  9  Е E+1 D

  1  0  R Е

____________

1 0 E+1 Е Y

Сложение в колонке десятков дает либо

E + 1 + R = 10 + E, либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.

Первый случай невозможен, так как он дает R = 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае R = 8, и послание читается так:

  9  Е Е+1 D

  1  0  8  E

____________

1 0 E+1 Е  Y

И наконец, сумма в колонке единиц такова:

D + E = 10 + Y.

Для трех букв D, E, Y остаются только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел из них равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и N = E + 1 = 7 = D.

Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12, являются 5 и 7. Так как Е ≠ 7, то это означает, что D = 7, Е = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:

  9 5 6 7

  1 0 8 5

_________

1 0 6 5 2

Этот процесс довольно сложен, во многих случаях можно получить решение гораздо более простым путем.

Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.

Прежде чем мы обратимся к понятию сравнения, сделаем одно замечание о числах, которые будем изучать в этой главе. Мы начали эту книгу, заявив, что будем рассматривать целые положительные числа 1, 2, 3…, и в предыдущих главах мы ограничивались только этими числами и дополнительным числом 0. Но теперь мы достигли стадии, на которой целесообразно расширить наши границы, рассматривая все целые числа:

0, ±1, ±2, ±3….

Это никоим образом не повлияет на наши предыдущие понятия; далее, когда мы будем говорить о простых числах, делителях, наибольших общих делителях и тому подобном, мы будем считать их целыми положительными числами.

Теперь вернемся к языку сравнений. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на число m, мы выражаем это записью

a ≡ b (mod m) (7.1.1)

которая читается так:

а сравнимо с b по модулю m.

Делитель m мы предполагаем положительным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (7.1.1) означает, что

a — b = mk, где k — целое число. (7.1.2)

Примеры.

1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 3;

2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9  4;

3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8  (-2);

4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 3.

Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать

a ≡ 0 (mod m),

так как это означает, что

а — 0 = а = mk,

где k — некоторое целое число. Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать

a ≡ 0 (mod 2).

Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению

а ≡ 1 (mod 2).

Эта несколько странная терминология является довольно обычной для математических работ.

Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства:

a ≡ a (mod m); (7.2.1)

это является следствием того, что

а — а = m — 0,

a ≡ b (mod m) означает, что и b a (mod m). (7.2.2)

Это следует из того, что b — a = — (а — b) = m(—k).

Из

а ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m) (7.2.3)

следует, что а ≡ c (mod m), потому что первые два утверждения означают, что

а — b = mk, b — с = ml,

поэтому

а — с = (а — b) + (b — с) = m (k + l).

Пример. Из того, что 13 ≡ 35 (mod 11) и 35 ≡ — 9 (mod 11) следует, что 13 ≡ — 9 (mod 11).

Мы говорили, что сравнения похожи по своему свойству на равенства. В действительности, мы можем рассматривать равенства как тип сравнения, а именно, сравнения по модулю 0. По определению,

а ≡ b (mod 0)

означает, что

a — b = 0  k = 0

или

а = b.

Вы почти никогда не встретите такую форму сравнения для записи уравнений в математической литературе. Но существует другое сравнение, очевидно, довольно тривиальное, которое иногда используется. Когда модуль есть число m = 1, мы имеем, что

a ≡ b (mod 1)   (7.2.4)

для любой пары целых чисел а и b, так как это означает, что

a — b = 1  k = k (7.2.5)

есть целое число. Но предположим теперь на мгновение, что а и b — произвольные вещественные числа, необязательно целые. Тогда тот факт, что они сравнимы по модулю 1, означает, что их разность есть целое число, т. е. эти два числа имеют одинаковую дробную часть.

Пример. 8 1/3 ≡ 1 1/3 (mod 1), или

8,333… ≡ 1,333… (mod 1).

Вернемся к свойствам обычных сравнений целых чисел; с этого момента мы будем всегда считать, что модуль является целым числом т ≥ 2.

Мы можем разделить числовую ось, начиная от начала координат в обоих направлениях на отрезки длиной m, как на рис. 17. Тогда каждое целое число а, положительное или отрицательное, попадает на один из этих отрезков или на одну из точек деления; таким образом, мы можем записать

a = km + r, (7.2.6)

где k — некоторое целое число, а r— одно из чисел

0, 1, 2…, m — 1. (7.2.7)

Рис. 17.

Это является незначительным обобщением деления положительных чисел, описанного в § 3 главы 4. Здесь мы также называем число r в формуле (7.2.6) остатком при делении числа а на число m или остатком по модулю m.

Примеры.

1) а = 11, m = 7, 11 = 7  1 + 4,

2) а = —11, m = 7, —11 = 7  (—2) + 3.

Деление (7.2.6) может быть также записано как сравнение

а ≡ r (mod m). (7.2.8)

Таким образом, каждое число сравнимо со своим остатком по модулю m. В приведенных выше примерах мы имеем

11 ≡ 4 (mod 7), — 11 ≡ 3 (mod 7).

Никакие два остатка в (7.2.7) не сравнимы по (mod m), так как разность между любыми двумя из них меньше, чем m. Поэтому два числа, которые не сравнимы по (mod m), должны иметь разные остатки. Итак, мы делаем вывод:

сравнение а ≡ b(mod m) выполняется тогда и только тогда, когда числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на число m.

Существует другой способ представления этого сравнения. Предположим на мгновение, что а и b — целые положительные числа. Мы видели при обсуждении системы чисел в § 2 главы 6, что когда число а записано при основании m,

а = (а_n…, а₁, а₀)_m,

то последняя цифра а₀ является остатком числа а при делении его на число m. Если мы используем этот факт, чтобы иначе выразить нашу интерпретацию сравнения, то можно сказать:

сравнение а ≡ b (mod m) выполняется для целых (положительных) чисел а и b тогда и только тогда, когда числа а и b имеют одинаковые последние цифры в записи при основании m.

Например,

37 ≡ 87 (mod 10),

так как эти два числа имеют одну и ту же последнюю цифру в десятичной системе чисел.

Система задач 7.2.

1. Найдите остатки —37(mod 7), — 111 (mod 11), — 365 (mod 30).

Из алгебры мы помним, что уравнения можно складывать, вычитать, умножать. Точно такие же правила справедливы для сравнений. Предположим, что мы имеем сравнения

a ≡ b (mod m), с ≡ d (mod m). (7.3.1)

По определению, это означает, что

a = b + mk, c = d + ml, (7.3.2)

где k и l — целые числа. Сложим уравнения (7.3.2).

В результате получаем

а + с = b + d + m (k + l),

что можем записать как

а + с ≡ b + d (mod m); (7.3.3)

другими словами, два сравнения можно складывать. Таким же образом можно показать, что одно сравнение можно вычитать из другого, т. е. что

a — c ≡ b — d (mod m). (7.3.4)

Пример.

11 ≡ —5 (mod 8) и 7 = — 9 (mod 8). (7.3.5)

Складывая их, получаем

18 ≡ — 14 (mod 8),

а вычитая,

4 ≡ 4 (mod 8).

Оба эти сравнения справедливы.

Можно также перемножить два сравнения. Из (7.3.1) и (7.3.2) следует, что

ac = bd + m(kd + bl + mkl),

таким образом,

ас ≡ bd (mod m). (7.3.6)

Пример. Когда два сравнения из (7.3.5) перемножены, получается

77 = 45 (mod 8).

Сравнение a ≡ b (mod m) может быть умножено на любое целое число с, при этом получаем

ас ≡ bc (mod m). (7.3.7)

Это можно рассматривать как частный случай умножения сравнений (7.3.6) при с = d. Его можно также рассматривать как прямое следствие из определения сравнения.

Пример. Когда первое сравнение из (7.3.5) умножается на 3, получаем, что

33 = -15 (mod 8).

Возникает естественный вопрос: в каком случае можно в сравнении (7.3.7) сократить общий множитель с и получить при этом верное сравнение

a ≡ b (mod m)?

Именно здесь сравнения отличаются от уравнений. Например, верно, что

22 ≡ -2 (mod 8),

но сокращение на множитель 2 дало бы сравнение

11 ≡ -1 (mod 8),

которое неверно.

В одном важном случае сокращение допустимо:

если ас ≡ bc (mod m), то a ≡ b (mod m) при условии, что числа m и с взаимно просты.

Доказательство. Первое сравнение означает, что

ас — bc = (а — b) с = mk.

Если D(m, с) = 1, то отсюда следует, что а — b делится на m в соответствии с результатом, доказанным в § 2 главы 4.

Пример. В сравнении

4 ≡ 48 (mod 11)

мы можем сократить на множитель 4, так как D(11, 4) = 1. Это дает

1 ≡ 12 (mod 11).

Система задач 7.3.

1. Придумайте еще несколько примеров на использование изложенных правил действий со сравнениями.

Предположим вновь, что имеется сравнение

a ≡ b (mod m).

Как мы только что видели, можно умножить это сравнение на себя, получив

а² ≡ b² (mod m).

Вообще можно, умножив это сравнение на себя нужное количество раз, получить

aⁿ ≡ bⁿ (mod m)

для любого целого положительного числа m.

Пример. Из сравнения

8 ≡ -3 (mod 11)

после возведения в квадрат следует сравнение

64 ≡ 9 (mod 11),

а после возведения в куб получаем сравнение

512 ≡ -27 (mod 11).

Многие результаты теории сравнений связаны с остатками высоких степеней чисел, поэтому покажем, как можно продолжить процесс возведения в степень. Предположим, например, что мы хотим найти остаток сравнения

3⁸⁹ (mod 7).

Одним из путей для выполнения этого является повторное возведение в квадрат. Мы находим:

9 = 3² ≡ 2 (mod 7),

3⁴ ≡ 4,

3⁸ ≡ 16 ≡ 2,

3⁶⁴ ≡ 4 (mod 7).

Так как

89 = 64 + 16 + 8 + 1 = 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 1,

то отсюда следует, что

3⁸⁹ = 3⁶⁴ • З¹⁶ • З⁸ • 3 = 4 • 4 • 2 • 3 ≡ 5 (mod 7).

Таким образом, остаток (по модулю 7) есть 5, или, говоря другими словами, в соответствии с изложенным в § 2, последняя цифра числа З⁸⁹, записанного в системе счисления при основании 7, равна 5.

В действительности, для того чтобы найти этот остаток, мы записали показатель степени

89 = 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 1 = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1)

в двоичной системе счисления. Повторным возведением в квадрат мы нашли остатки (по модулю 7) тех степеней числа 89, которые сами являются степенями числа 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Соответствующий метод можно использовать для любых других оснований. Однако в частном случае бывает возможность упростить вычисление, если заметить особенности этого случая. Например, в случае, разобранном выше, мы можем отметить, что

3³ ≡ -1 (mod 7),

З⁶ ≡ 1 (mod 7),

откуда заключаем, что

3⁸⁴ = (3⁶)¹⁴ ≡ 1 (mod7).

Поэтому

3⁸⁹ = 3⁸⁴ • 3³ • 3² ≡ 1 • (-1) • 2 = -2 ≡ 5 (mod 7),

как и раньше.

В качестве другой иллюстрации сказанного можно рассмотреть числа Ферма, с которыми мы познакомились в § 3 гл. 2:

F_n= 2^2ⁿ+1.

Первые пять чисел Ферма таковы:

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537.

Отсюда можно высказать предположение:

десятичная запись всех чисел Ферма, за исключением F₀ и F₁ оканчивается цифрой 7.

Докажем с помощью сравнений, что это действительно так. Очевидно, что оно равносильно утверждению, что числа

2^2ⁿ, n = 2, 3…

оканчиваются цифрой 6. Это можно доказать по индукции. Заметим, что

2^2² = 16 ≡ 6 (mod 10),

2^2³ = 256 ≡ 6 (mod 10),

2^2ˆ4 = 65536 ≡ 6 (mod 10),

Более того, если мы возводим в квадрат число 2^2ˆk, то результатом будет число

Предположим, что для некоторого значения t

;

возводя в квадрат это сравнение, мы находим, что

,

что и требовалось.

Из алгебры мы знаем правила возведения бинома в степень:

(x + у)¹ = х + у,

(х + у)² = x² + 2xy + y²,

(x + y)³ = х³ + Зx²y + Зху² + у³,

(x + у)⁴ = х⁴ + 4х³у + 6х²у² + 4ху³ + у⁴ (7.5.1)

и вообще

(х + у)^p = х^р + C_p¹x^p-1y + С_р²х^р-2y² +… + у^р. (7.5.2)

Здесь первый и последний коэффициенты равны единице. Средними биномиальными коэффициентами являются

C_p¹ = p/1, С_р² = p(p-1)/(1  2), С_р³ = p(p-1)(p-2)/(1 • 2 • 3)… (7.5.3)

и вообще

С_р^r= p(p-1)(p-2)… (p — r + 1)/(1 2… r), (7.5.4)

Так как эти коэффициенты получаются в результате последовательного умножения на бином (х + у), то ясно, что они являются целыми числами.

С этого момента будем считать, что р — простое число. Чтобы записать эти коэффициенты в целочисленном виде, необходимо сократить все общие множители знаменателя

1 • 2 • 3 •… • r

и числителя

p(p-1)(p-2)… (p — r + 1)

Однако знаменатель не содержит простого множителя р, поэтому после сокращения число р останется множителем в числителе. Мы делаем вывод.

Все биномиальные коэффициенты (кроме первого и последнего) в выражении (7.5.2) делятся на р, если р — простое число.

Пусть теперь х и у в выражении (7.5.2) будут целыми числами. Если мы рассмотрим формулу (7.5.2) как сравнение по модулю р, то можно сделать вывод, что для любых целых чисел х и у и простого р

(х + у)^p ≡ х^р + у^р (mod p). (7.5.5)

В качестве примера возьмем р = 5:

(х + у)⁵ = х⁵ + 5х⁴у + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + у⁵.

Так как все средние коэффициенты делятся на 5, то

(х + у)⁵ ≡ х⁵ + у⁵ (mod 5)

в соответствии с (7.5.5).

Из сравнения (7.5.5) можно сделать важные выводы. Применим его для случая х = у = 1. Получаем

2^p = (1 + 1)^p ≡ 1^p + 1^p = 2 (mod p).

Возьмем затем х = 2, у = 1 и найдем, что

3^p = (2 + 1)^p ≡ 2^p + 1^p;

теперь, используя предыдущий результат, 2^p ≡ 2 (mod p), получаем

2^p + 1^p ≡ 2 + 1 ≡ (mod p).

Итак, 3^p ≡ 3 (mod p). Далее для х = 3, у = 1 получаем

4^p ≡ 4 (mod p).

Используя этот процесс, можно доказать по индукции, что а^p ≡ a (mod p) для всех значений числа

а = 0, 1…. р -1. (7.5.6)

Случаи a = 0 и а = 1 очевидны. Так как каждое число сравнимо (mod р) с одним из остатков, записанных в (7.5.6), мы делаем вывод:

для любого целого числа а и любого простого числа р

a^p ≡ a (mod p). (7.5.7)

Это утверждение обычно называют теоремой Ферма, хотя некоторые авторы называют ее малой теоремой Ферма, чтобы отличить от последней теоремы Ферма, или гипотезы Ферма, о которой мы упоминали в § 3 главы 5.

Пример. Для р = 13 и а = 2 мы находим: 13 = 8+ 4 + 1, т. е. 2¹³ = 2⁸⁺⁴⁺¹ = 2⁸  2⁴ • 2¹. Так как 2⁴ = 16 ≡ 3 (mod 13), 2⁸ ≡ 9(mod 13), то

2¹³ = 2⁸ • 2⁴ • 2 ≡ 9 • 3 • 2 ≡ 2 (mod 13),

как и утверждает теорема Ферма.

В соответствии с правилом сокращения для сравнений, сформулированном в конце § 3, мы можем сократить общий множитель а в обеих частях записи теоремы Ферма (7.5.7) при условии, что число а взаимно просто с числом р, являющимся модулем сравнения. Это дает следующий результат:

если а является целым числом, не делящимся на простое число р, то

a^p-1 ≡ 1 (mod p). (7.5.8)

Этот результат также называют теоремой Ферма.

Пример. Когда а = 7, р = 19, мы находим, что

7² = 49 ≡ 11 (mod 19)

7⁴ ≡ 121 ≡ 7 (mod 19),

7⁸ ≡ 49 ≡ 11 (mod 19),

7¹⁶ ≡ 121 ≡ 7 (mod 19),

и это дает

a^p-1 = 7¹⁸ = 7¹⁶ • 7² ≡ 7 • 11 ≡ 1 (mod 19),

что соответствует утверждению (7.5.8).

В качестве приложения теоремы Ферма вновь рассмотрим треугольники Пифагора, обсужденные в гл. 5 и докажем следующее утверждение:

произведение длин сторон треугольника Пифагора делится на 60.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать это для простейших треугольников. В соответствии с формулой (5.2.7), это произведение есть

Р = 2mn (m² — n²) (m² + n²) = 2mn (m⁴ — n⁴).

Число Р делится на 60 тогда и только тогда, когда оно делится на 4, на 3 и на 5. Так как одно из чисел m и n четно, то 2mn, а следовательно, и число Р, делится на 4. Оно делится на 3, если хотя бы одно из чисел m или n делится на 3, но если ни одно из них не делится на 3, то Р все же будет делиться на 3, так как из условий (7.5.8), а также D(m, 3) = 1 и D (n, 3) = 1 следует, что m² ≡ 1 (mod 3) и n² ≡ 1 (mod 3), так что

m² — n² ≡ 1 – 1 = 0 (mod 3).

Аналогично, число Р делится на 5. Это очевидно, если m или n делится на 5. Если ни одно из них не делится на 5, то вновь по теореме Ферма (7.5.8) получаем

m⁴ — n⁴ ≡ 1 – 1 = 0 (mod 5).

Как мы уже упоминали, создателем теории сравнений был немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Его знаменитая работа по теории чисел «Арифметические исследования» появилась в 1801 году, когда ему было 24 года. В первых главах этой книги рассказывается о теории сравнений. Однако здесь следует упомянуть, что следы теории сравнений можно обнаружить за несколько столетий до Гаусса. Некоторые из них присутствуют в древних правилах проверки арифметических вычислений. Они составляют существенную часть инструкции по арифметическим операциям эпохи Ренессанса. Некоторые из них используются до сих пор, а из всего того, что нам известно об их происхождении, можно сказать, что их корни лежат в античности.

Мы не знаем, каким образом эти правила были впервые введены, однако попытаемся указать один из возможных путей, на котором они могли быть открыты. Вернемся к временам счетных досок. На таком абаке каждая цифра в числах, которые участвовали в вычислениях, обычно выкладывалась с помощью фишек, камней, палочек или орехов, причем каждая группа отмечала количество единиц, десятков, сотен и т. д. в соответствии с местом их нахождения. В нашей десятичной системе число

N = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 +… + a₂10² + a₁10 + a₀ = (a_n, a_n-1…, a₂, a₁, a₀)₁₀ (8.1.1)

потребовало бы для своей записи

S_N = a_n + a_n-1 +… + а₂ + а₁ + а₀ (8.1.2)

фишек. Это число мы называем суммой цифр числа N.

Теперь предположим, что мы хотим выполнить на доске простое действие, а именно: сложить два числа N и M. Тогда мы должны отметить на доске также второе число

M = (b_m, b_m-1, …, b₂, b₁, b₀)₁₀,

у которого на тех же линиях лежит

S_M = b_m + b_m-1 + … + b₂ + b₁ + b₀

складываемых фишек. На некоторых линиях может теперь лежать больше, чем по 9 фишек. Операция, необходимая для нахождения числа N + М, состоит в замене десяти фишек на одной линии одной фишкой на следующей линии. И так нужно продолжать до тех пор, пока такой процесс возможен. На каждом шаге заменяют десять фишек одной-единственной и таким образом происходит потеря девяти фишек на доске. Итак, мы видим, что если сложение выполнено правильно, то число фишек, остающихся на доске, должно удовлетворять условию

S_N+M ≡ S_N + S_M (mod 9), (8.1.3)

т. е. количество фишек, находящихся на доске, должно отличаться от первоначального общего числа фишек на число, кратное 9. Эта проверка (8.1.3) до сих пор сохранила свое старое название «выбрасывание девяток».

После того как это правило было открыто, не составило труда заметить, что оно также применимо при сложении нескольких чисел, при вычитании и при умножении; в последнем случае, в соответствии с (8.1.3),

S_M S_N ≡ S_MN (mod 9). (8.1.4)

Теоретическое доказательство этих правил является легкой задачей при использовании сравнений. Очевидно, что

1 ≡ 1, 10 ≡ 1, 10² ≡ 1, 10³ ≡ 1… (mod 9); (8.1.5)

таким образом, из (8.1.1) и (8.1.2) мы делаем вывод, что

N ≡ S_N (mod 9).    (8.1.6)

Поэтому из правил сравнений, которые мы установили в § 3 главы 7, ясно, что

S_N ± S_M ≡ N ± М ≡ S_{N ± M},

S_N• S_M = N •M ≡ S_N•M (mod 9).

Правило «выбрасывания девяток» чаще всего применяется к умножению. Возьмем в качестве примера числа

M = 3119, N = 3724 (8.1.7)

и их произведение

М • N = 11 614 156.

Это вычисление не может быть верным, так как если бы оно было верным, то мы имели бы, что

M ≡ S_M ≡ 3 + 1 + 1 + 9 ≡ 5 (mod 9),

N ≡ S_N ≡ 3 + 7 + 2 + 4 ≡ 7(mod 9)

и MN ≡ S_MN ≡ 1 + 1 + 6 + 1 + 4 + 1 +5 + 6 ≡ 7 (mod 9).

Но 5 • 7 = 35 ≠ 7 (mod 9).

В действительности же это произведение равно MN = 11 615 156.

В средневековых школах ученики имели строгий наказ обязательно проводить проверку своих упражнений. Поэтому в рукописях, сохранившихся с тех времен, мы видим множество знаков, похожих на эмблему из скрещенных костей. Такой знак для нашего примера выглядит так, как на рис. 18.

Рис. 18.

Здесь числа 5 и 7, лежащие слева и справа, означают остатки чисел М и N (по модулю 9), а верхнее число 8 является остатком вычисленного произведения MN. Оно должно проверяться с помощью произведения остатков начальных чисел, записываемого в нижней части.

Здесь

5 • 7 = 35 ≡ 8 (mod 9).

Рис. 19.

Такая проверка «скрещенных костей» была совершенно обычной в ранних изданиях учебников арифметики (рис. 19), например, в английских учебниках семнадцатого и восемнадцатого веков. Конечно, существует возможность, что вычисления содержат ошибку, необнаруживаемую методом «выбрасывания девяток», но тогда мы знаем, что ошибка является «ошибкой по модулю 9».

Ясно, что и при другом основании системы счисления можно использовать простейшую проверку. Для числа

M = m_nbⁿ + m_n-1b^n-1 +… + m₂b² + m₁b + m₀,

записанного при основании b, как и в (8.1.5), мы имеем

1 ≡ 1, b ≡ 1, b² ≡ 1… (mod (b — 1));

поэтому, как и раньше,

М ≡ S_M = m_n + m_n-1 +… + m₂ + m₁ + m₀ (mod (b — 1)),

и проверочное правило остается прежним.

Это, по-видимому, совершенно тривиальное замечание применимо даже в нашей обычной десятичной системе. Мы упоминали в § 5 главы 7, что если мы разобьем цифры десятичного числа на группы по три, то тогда эта группировка может рассматриваться как представление числа при основании b = 10³ = 1000. Аналогично, если группировать цифры в пары, то это соответствует представлению числа при основании b = 10² = 100.

Рис. 20.

Взяв числа 3119 и 3724 вновь в качестве примера и записав

M = 31 19, N = 37 24, MN = 11 61 51 56,

мы находим

M ≡ 31 + 19 = 50 (mod 99), N ≡ 37 + 24 = 61 (mod 99),

MN ≡ 11 +61+ 51+56 = 179 ≡ 80 (mod 99).

Здесь наша проверка «скрещенных костей» будет такой, как на рис. 20, потому что, как легко видеть, 50 • 61 ≡ 80 (mod 99).

Эта проверка более эффективна, чем «выкидывание девяток», потому что модули в этом случае гораздо больше и вероятность, что ответ будет правильным, соответственно гораздо больше. Другими словами, «ошибка по модулю 99» менее вероятна, чем «ошибка по модулю 9».

Многие задачи астрономии и хронологии, связанные с периодичностью, могут быть сформулированы в терминах теоретико-числовых понятий. Возьмем простой пример: определение дня недели, который падает на заданный день. Дни недели повторяются с периодом 7, поэтому вместо обычных названий мы можем дать каждому дню номер:

воскресенье = 0,

понедельник = 1,

вторник     = 2,

среда       = 3,

четверг     = 4,

пятница     = 5,

суббота     = 6.

Если мы это сделаем, то каждому целому числу соответствует день недели, а именно: день, определяемый его остатком по модулю 7.

Если бы мы имели благоприятнейшую ситуацию, при которой количество дней в году делилось на 7, то все даты падали бы на одни и те же дни ежегодно, и составление расписаний было бы гораздо проще, а издатели календарей имели бы меньше работы. Однако количество дней в году равно

365 ≡ 1 (mod 7),

за исключением високосных лет, в которых количество дней

366 ≡ 2 (mod 7).

Это показывает, что для обычного года номер W дня недели заданной даты в следующем году увеличится на 1, например, если в этом году 1 января — воскресенье, то в следующем году он будет падать на понедельник. Это не слишком сложно, однако, эта простая схема нарушается високосными годами. Это происходит каждый четвертый год, тогда номер дня недели увеличивается на 2. Более того, возникает дополнительная трудность из-за того, что добавочный день високосного года прибавляется не в начале или конце года, а 29 февраля. Поэтому, для удобства, в общей формуле для вычисления W, которую мы дадим ниже, договоримся считать март — первым месяцем, апрель — вторым и т. д., при этом январь будет одиннадцатым месяцем, а февраль — двенадцатым месяцем предшествующего года.

Но на этом наши трудности не кончаются. В юлианском календаре, введенном по указу Юлия Цезаря, было принято, что год точно равен 365 1/4 дня, в соответствии с правилом високосного года. Однако это не совсем правильно, так как астрономический год в действительности равен 365,2422 дня.

Эта маленькая ошибка вызвала постепенный сдвиг сезонов по отношению к календарю, например, в шестнадцатом веке день весеннего равноденствия (первый день весны) пал на 11 марта вместо 21 марта, как это должно было быть.

Чтобы исправить положение, в 1582 году папа Григорий XIII после долгих колебаний произвел реформу календаря в странах с католическим вероисповеданием. В том году было опущено 10 дней, а именно, пятницу 5 октября стали считать пятницей 15 октября. Более того, для корректирования календаря были введены следующие григорианские правила для високосных лет.

Годы столетий

1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300…,

в которых количество столетий не делится на 4, не считаются високосными годами. Оставшиеся годы столетий

1600, 2000, 2400…

продолжают считаться високосными годами. Получается очень хорошее приближение к правильной длине года, однако капельку длиннее. Было предложено не считать годы 4000, 8000… високосными вопреки григорианскому правилу; но так как этот вопрос еще открыт и не имеет отношения к ближайшему будущему, то мы не будем это принимать в нашей формуле.

Предположим теперь, что нам задана дата: d-й день в m-м месяце (где m определяется так, как было указано выше), в году, равном

N = c • 100 + Y, (8.2.1)

где с—количество столетий, а Y — номер года в столетии. Тогда можно доказать, что наш номер дня недели определяется при помощи сравнения

W ≡ d + [1/5 (13m -1)] + Y + [1/4 Y] + [1/4 c] — 2с (mod 7). (8.2.2)

Квадратные скобки, фигурирующие в этой формуле, были введены в § 3 главы 4 для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего числа, стоящего внутри этих скобок.

Пример. День Пирл-Харбора[12], 7 декабря 1941 г. Здесь

d = 7, m = 10, с = 19, Y = 41,

так что

W = 7 + 25 + 41 + 10 + 4 — 38 ≡ 0 (mod 7).

т. е. это было в воскресенье.

Пример. Каким днем недели будет 1 января 2000 года? Здесь

d = 1, m = 11, с = 19, Y = 99

и

W = 1 + 28 + 1 + 3 + 4 — 38 ≡ 6 (mod 7);

таким образом, первый день следующего столетия[13] будет субботой.

При пользовании этой формулой следует помнить, что ее нельзя применять для того периода, когда еще не был введен григорианский календарь. В Англии и английских колониях он был введен в 1752 году, при этом из календаря было опущено одиннадцать дней: 3 сентября стали считать 14 сентября по новому стилю[14].

Оставшаяся часть этого параграфа предназначена для тех, кто хотел бы познакомиться с выводом формулы (8.2.2). Вывод формулы проведем в два этапа. Во-первых, определим номер дня недели для 1 марта произвольного N-го года в формуле (8.2.1). Начнем отсчет от некоторого года, скажем, от 1600-го, и обозначим номер дня недели для 1 марта этого года через d₁₆₀₀. Можно было бы узнать номер этого дня из архивных документов, но можно обойтись и без этого, а получить его, как результат рассуждений.

Если бы не было високосных лет, то мы могли бы найти d_N — номер дня недели 1 марта N-то года, просто добавляя по одному дню к d₁₆₀₀ для каждого из прошедших лет. Это дает число

d₁₆₀₀ + (100с + Y — 1600) (mod 7). (8.2.3)

Принимая во внимание високосные годы и предполагая, что они следуют регулярно каждый четвертый год, мы должны прибавить к первому выражению еще следующее:

[1/4 (100с + Y — 1600)] = 25с — 400 + [1/4 Y]. (8.2.4)

Однако это чуть больше, чем нужно, потому что год окончания каждого столетия обычно не бывает високосным, и ввиду этого мы должны вычесть число

с—16. (8.2.5)

Но мы должны еще учесть следующее исключение: если с — номер столетия, делится на четыре, то год 100 с считается високосным. Таким образом, нужно добавить последнюю поправку

[1/4 (с -16)] = [1/4 с] — 4. (8.2.6)

Теперь мы сложим выражение (8.2.3) и (8.2.4), вычтем (8.2.5) и прибавим (8.2.6). Это даст нам номер дня недели 1 марта N-гo года в виде выражения

d_N ≡ d₁₆₀₀ + 124с + Y — 1988 + [1/4 с] + [1/4 Y] (mod 7).

Чтобы упростить его, мы приводим числа по модулю 7 и таким образом получаем

d_N ≡ d₁₆₀₀ — 2с + Y + [1/4 с] + [1/4 Y] (mod 7). (8.2.7)

Применим эту формулу к 1968 году, в котором 1 марта падает на пятницу, следовательно, d₁₉₆₈ = 5.

Здесь с = 19, [1/4 c] = 4, Y = 68, [1/4 Y] = 17,

и мы находим d₁₉₆₈ = 5 ≡ d + 2 (mod 7).

Это даст нам, что d₁₆₀₀ = 3, следовательно, 1 марта 1600 года было средой. Когда мы вставим полученное значение в (8.2.7). мы придем к формуле

d_N = 3 — 2с + Y + [1/4 с] + [1/4 Y] (mod 7) (8.2.8)

для номера дня недели 1 марта N-го года.

Вторым этапом будет определение количества дней по модулю 7 от 1 марта до произвольно взятого дня этого года. Так как количество дней в месяце

меняется, то для этого требуется некоторая хитрость. Начнем с нахождения количества дней, которые нужно прибавить к номеру дня 1 марта, чтобы получить номер дня 1 числа любого другого месяца по модулю 7.

Так как в марте 31 день, то для получения номера 1 апреля нужно добавить 3, для получения номера 1 мая мы должны добавить 3 + 2 дней, так как в апреле 30 дней. Продолжая рассмотрение для последующих месяцев, мы получаем добавочные слагаемые в виде следующей таблицы:

В качестве другого простого применения теории сравнений можно рассмотреть составление расписаний соревнований, проходящих по круговой системе, подобных тем, которые составляются во всех видах соревнований от шахмат до футбола.

Обозначим количество участников (или команд) через N. Если число N — нечетное, то в каждом туре соревнований невозможно разбить все команды на пары — каждый раз одна из команд будет свободна от игры. Мы можем обойти эту трудность, добавив фиктивную команду T₀ и составляя расписание для (N + 1)-й команды, включая команду Т₀. В каждом туре команда, которой выпадает играть с командой Т₀, будет свободна от игры.

Из сказанного следует, что можно считать количество команд N четным числом. Каждой команде мы сопоставим число

х = 1, 2…, N—1, N.

Общее количество туров, которое должна сыграть каждая команда, равно N — 1.

Предположим теперь, что х принадлежит множеству {1, 2…, N-1}. (8.3.1)

В качестве противника команды х в r-м туре мы назначим команду с номером у, из множества (8.3.1), где число y_r удовлетворяет сравнению

x + y_r ≡ r (mod (N — 1)). (8.3.2)

Чтобы увидеть, что при этом разные команды х имеют разных противников, заметим, что сравнение

x + y_r ≡ r ≡ x' + y_r (mod (N — 1))

означает, что

x ≡ x' (mod (N — 1))

или х = x', так как эти числа принадлежат множеству (8.3.1).

Единственная сложность возникает в том случае, когда х = y_r, и таким образом в формуле (8.3.2) получаем

2x ≡ r (mod (N — 1)). (8.3.3)

Существует лишь одно значение х во множестве (8.3.1), для которого выполняется это соотношение. Действительно, если

2x ≡ r ≡ 2x' (mod (N — 1)),

то отсюда следует, что

2(x — x') ≡ 0 (mod (N — 1)),

или

х = х' (mod (N — 1)),

так как N — 1 — нечетное число. Решение сравнения (8.3.3) на множестве (8.3.1) всегда существует, а именно:

x = r/2, если r — четное,

x = (r + N — 1) / 2, если r—нечетное.

С помощью соотношения (8.3.2) мы приписали в r-м туре для каждой команды х ее противника, за исключением номера х₀, который удовлетворяет условию (8.3.3). Команда х₀ в этом туре будет встречаться с командой, имеющей номер N.

Осталось показать, что в результате такого подбора любая команда в каждом туре r = 1, 2…, N играет с различным противником. Сначала мы удостоверимся в этом для команды с номером N, имеющей в некотором смысле особое положение. В r-м туре она играет с командой х₀, определяемой из соотношения (8.3.3). Предположим, что s ≠ r; тогда в s-м туре N-я команда играет с командой, имеющей номер x'₀, удовлетворяющий соотношению

2x'₀ ≡ s (mod (N — 1)).

При этом не может случиться, что х₀ = х', так как это привело бы к тому, что

2х₀ = 2х'₀ ≡ r ≡ s (mod (N — 1))

и, следовательно, r = s.

Теперь рассмотрим различных противников команды х, принадлежащей множеству (8.3.1). С командой, имеющей номер N, эта команда играет только один раз, а именно в туре r₀, где r₀ определяется из сравнения

2x ≡ r₀ (mod(N — 1)).

Предположим теперь, что r ≠ r₀ и s ≠ r₀. Тогда противники команды х в r-м и s-м турах будут определяться из соотношения (8.3.2):

х + у_r ≡ r (mod (N—1)) и х + y_s = s (mod (N —1)). Вновь из равенства y_r = y_s будет следовать r = s, откуда мы делаем вывод, что y_r ≠ y_s.

Построим таблицу соревнований, проходящих по круговой системе, для N = 6 команд с помощью изложенного метода. Проведя несколько простых вычислений, получим приведенную ниже таблицу. На пересечении r-й строки и x-го столбца стоит номер того противника команды с номером х, с которым она играет в r-м туре.

r \ х 1 2 3 4 5 6

 1    5 4 6 2 1 3

 2    6 5 4 3 2 1

 3    2 1 5 6 3 4

 4    3 6 1 5 4 2

 5    4 3 2 1 6 5

Система задач 8.3.

1. Постройте таблицу для N = 8 игроков.

2. Покажите, что когда r = 2, команды 1, 2…, N встречаются с командами N, N — 1…, 2, 1 соответственно.

3. Почему команда с номером N—1 в r-м туре играет всегда с r-й командой, за исключением r = N—1? С какой командой она играет в этом исключительном случае?

4. Убедитесь, что если в соответствии с формулой команда х в r-м туре играет с командой у, то команда у в этом туре играет с командой х.

В заключение обсудим применение сравнений в качестве метода определения того, является ли некоторое большое число простым или составным. Этот очень эффективный метод особенно хорош, когда речь идет о некотором числе, выбранном наугад. Он основан на малой теореме Ферма (7.5.8).

Пусть N — исследуемое число. Выберем небольшое число а взаимно простое с N. Удобно в качестве числа а брать некоторое небольшое простое число, не являющееся делителем числа N, например, 2, 3 или 5. Если бы N было простым числом, то для него было бы справедливо сравнение

а^N-1 ≡ 1 (mod N), (8.4.1)

в соответствии с малой теоремой Ферма. Следовательно, если мы проверим это сравнение (8.4.1) и убедимся, что оно не выполняется, то можно утверждать, что число N является составным.

Пример. Возьмем N = 91 и выберем а = 2. Тогда

a^N-1 = 2⁹⁰ = 2⁶⁴ • 2¹⁶ • 2⁸ • 2²

Более того,

2⁸ = 256 ≡ -17 (mod 91),

2¹⁶ = (2⁸)² ≡ (-17)² = 289 ≡ 16 (mod 91),

2³² = (2¹⁶)² ≡ (16)² = 256 ≡ -17 (mod 91),

2⁶⁴ = (2³²)² ≡ (-17)² = 289 ≡ 16 (mod 91),

так что

2⁹⁰ = 2⁶⁴ • 2¹⁶ • 2⁸ • 2² ≡ 16 • 16 • (-17) • 4 ≡ 64 ≠ 1 (mod 91).

Отсюда делаем вывод, что число N составное. И действительно, 91 = 7 • 13.

Наш пример слишком прост, чтобы на нем увидеть действительную силу метода. Составив соответствующую программу для ЭВМ, можно таким способом установить, что некоторые очень большие числа являются составными. К сожалению, этот метод не указывает на то, какие именно множители имеет данное число, следовательно, во многих случаях мы знаем, что число составное, однако не имеем представления о его делителях.

В особенности это относится к числам Ферма

F_n= 2^2ⁿ+1,

которые мы обсуждали в § 3 главы 2. Как мы уже отмечали, они являются простыми для n = 0, 1, 2, 3, 4. Чтобы проверить число

F₅ = 2^2ˆ5 + 1 = 2³² + 1 = 4294967297

с помощью теоремы Ферма, можно взять а = 3. Если бы F₅ было простым числом, мы бы имели, что

З^2ˆ32 ≡ 1 (mod F₅). (8.4.2)

Чтобы вычислить остаток степени в левой части сравнения, мы должны возвести число 3 в квадрат 32 раза и всякий раз привести полученный результат по модулю F₅. Мы избавим читателя от подробностей. Можно найти, что сравнение (8.4.2) не выполняется, следовательно, число F₅ является составным. Известный множитель 641 был найден путем проб. Тот же самый метод был использован для того, чтобы показать, что несколько больших чисел Ферма не являются простыми. Для некоторых из них нам известны множители, а для других нет.

Если сравнение (8.4.1) выполняется для некоторого числа а, взаимно простого с числом N, то число N может как быть простым, так и не быть им. При этом случаи, когда сравнение выполняется для составного числа N, являются исключительными, поэтому при выполнении сравнения мы можем быть почти уверены в том, что число N — просто. Однако для многих целей хотелось бы знать наверняка, является ли данное число простым. Это удается сделать с помощью усовершенствованного метода, основанного на следующем замечании: N является простым числом в том случае, если сравнение (8.4.1) выполняется для степени N — 1, но не выполняется ни для какой степени, являющейся делителем числа N — 1.

Имеется другой подход, эффективный для не слишком больших чисел N. Возьмем а = 2. Американские математики Пуль и Лемер нашли с помощью ЭВМ все значения чисел N ≤ 100 000, исключительные в том смысле, что выполняется сравнение

2^N-1 ≡ 1 (mod N), (8.4.3)

но число N является составным. Такие числа N иногда называют псевдопростыми. Для каждого из этих чисел N были указаны также наибольшие простые множители.

С помощью таблиц Пуля и Лемера можно определить простоту любого числа N ^ 100 000 000. Сначала проверяется выполнимость сравнения (8.4.3). Если это сравнение не выполняется, то число N — составное. Если же это сравнение выполняется и число N есть в таблицах, то оно также составное, и мы можем прочесть в таблицах его простой множитель. И наконец, если сравнение (8.4.3) выполняется и числа N нет в таблицах, то оно простое.

Наименьшим составным числом, удовлетворяющим сравнению (8.4.3), является

N = 341 = 11 • 31.

В пределах 1000 существуют еще два таких числа,

а именно:

N = 561= 3 • 11 • 17,

N = 645 = 3 • 5 • 43.

Число 561 является замечательным, так как соответствующее сравнение (8.4.1) выполняется для каждого целого числа а, взаимно простого с числом N. Мы называем такие особые числа числами, имеющими свойство Ферма. По таким числам в последнее время было проведено огромное количество исследований.