Сколько раз, гуляя по тропе вдоль ручья или реки, мы задавались вопросом: почему поток вместо кратчайшего пути (прямой линии) петляет из стороны в сторону? Конечно, некоторые его части почти прямые – из-за особенностей рельефа местности или проложенного человеком русла. Однако, когда водный поток свободно распространяется по равнине, обычно он вырисовывает петли и изгибы. Иногда образующиеся петли повторяются относительно регулярно (илл. 1). Как объяснить появление этих излучин, или меандров?

Одним из первых, кто задумался о причинах формирования этих изгибов, был Альберт Эйнштейн. В 1926 году он представил Прусской академии наук доклад без каких-либо уравнений, озаглавленный «Причины образования извилин в руслах рек и так называемый закон Бэра». В чем же суть этого знаменитого закона? Основываясь на наблюдениях выдающихся географов XIX века, естествоиспытатель Карл Бэр пришел к выводу, что в Северном полушарии, в равнинной местности, правый берег рек обычно более крут, чем левый, а в Южном полушарии все наоборот: левый берег круче правого.

Прежде чем перейти к изучению излучин рек и формы берегов, Эйнштейн предлагает поставить небольшой опыт, воспроизводящий повседневное привычное нам действие: размешать ложечкой сахар в чашке чая. В этом эксперименте Эйнштейна заинтересовало явление, которое на первый взгляд кажется противоречащим здравому смыслу: вызываемое ложкой вращение жидкости создает вертикальные вихри (илл. 2). Чтобы их увидеть, Эйнштейн добавляет в воду чаинки. При размешивании жидкости ложкой видно, что чаинки собираются в центре дна чашки (илл. 3). Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно!

1. Излучины реки Снейк («Змея»), США

Вот как Эйнштейн объясняет это явление: в результате вращения на жидкость действует центробежная сила, отбрасывающая ее от оси вращения, и она тем сильнее, чем быстрее вращение (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»). У стенок чашки жидкость тормозится трением, поэтому вращается немного медленнее, чем в центре чашки. «В частности, – добавляет Эйнштейн, – угловая скорость вращения, а следовательно, и центробежная сила у дна чашки меньше, чем у краев. Таким образом возникает циркуляция жидкости, показанная на илл. 2, которая и заставляет чаинки собираться в центре чашки».

2. При размешивании воды в чашке ложечкой в жидкости образуются вертикальные вихри

3. Опыт Эйнштейна. Воду с чаинками размешивают ложечкой (а). Вскоре чаинки собираются в центре стакана (b) и в конечном итоге опускаются на дно (c). Их движение доказывает наличие вертикальных вихрей, хотя их существование, кажется, противоречит интуиции

4. Циркуляция воды на изгибе реки по Эйнштейну. Центробежная сила, направленная от внутреннего берега к внешнему, действует в каждой точке жидкости. Но вблизи дна ее действие уменьшается из-за трения, и в основном потоке возникает вертикальная циркуляция. Она захватывает песок с внешнего берега и относит во внутреннюю часть меандра

Теперь проанализируем движение воды в той части реки, где она образует излучину. Оно аналогично движению воды в чашке, отмечает Эйнштейн. Так же как жидкость в ходе эксперимента тормозилась стенками чашки, скорость потока уменьшается трением в непосредственной близости от дна: таким образом, центробежная сила, направленная наружу от поворота, здесь меньше, чем у поверхности. Таким образом, возникает вертикальная циркуляция, обращенная во внешнюю сторону излучины около поверхности и внутрь вблизи дна (илл. 4).

Это завихрение переносит внутрь изгиба землю и гальку, которые вымывает из внешнего берега. На внутреннем берегу образуется намыв точно так же, как возникал «нанос» чаинок в центре дна чашки в предыдущем опыте. В обоих случаях, когда вода поднимается и под действием силы тяжести оставляет все, что влекла за собой, происходит осаждение. Эрозия внешнего берега и намыв на внутреннем берегу постепенно превращают едва заметный изгиб в меандр с крутым внешним и пологим внутренним берегом. Вследствие продолжающейся эрозии русло реки, скорее всего, в конце концов сольется у начала и конца изгиба и возникнет остров (илл. 5 и 6).

5. Изгиб реки, поначалу умеренный (1), постепенно увеличивается, образуя излучину с отложением нанесенного песка на внутреннем берегу (2), а затем приводит к образованию острова или озера в форме подковы (3)

Вышеизложенные соображения делают понятным различие между формой внешнего и внутреннего берегов в излучине, но это еще не все. Как объяснить закон Бэра, согласно которому формы правого и левого берегов различны не только на излучинах? И как объяснить наблюдения географов, которые указывают, что в Северном и Южном полушариях крутость берегов противоположна? Читатель уже догадывается, что здесь, вероятно, играет важную роль вращение Земли, мы вернемся к нему в главе 4, «Возвращение к закону Бэра».

6. Меандр Сены в Лез-Андели, вид на замок Шато-Гайар и остров. Внешний берег крутой, а внутренний – пологий

Форма русла реки во многом зависит от рельефа местности, по которой река протекает. В районе с неоднородным ландшафтом река петляет, избегая неровностей и выбирая путь с наибольшим уклоном. Но и на равнине прямолинейность русла не сохраняется. Небольшой обвал земли или падение дерева на берегу заставляют поток образовать изгиб, который может постепенно увеличиваться, образуя меандр в соответствии с описанным выше процессом.

Какую именно форму обычно принимают меандры реки, текущей по равнине? В 1960-х годах геологи пришли к выводу, что каждая извилина имеет специфическую форму – такую, которую принимает гибкий стержень, если его согнуть, приблизив концы друг к другу (илл. 7). Она представляет собой эйлерову кривую, названную так в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783), который первым решил эту задачу. Работа Эйлера по-прежнему широко цитируется в руководствах о прочности балок – те начинают изгибаться, если слишком сильно надавить на их концы (см. врезку в главе 1, «Опыт с продольным изгибом»).

7. Форма, принимаемая упругим стержнем, концы которого зафиксированы в A и B, называется кривой Эйлера. Угол Ѳ между касательной и прямой AB позволяет определить кривизну dѲ/ds, производную от Ѳ относительно пути, пройденного по кривой. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну стержня, то есть минимизирует интеграл ∫(dѲ/ds)²ds, где Ѳ – угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s – длина вдоль кривой. Интеграл берется вдоль всего стержня

Это заключение согласуется с ранее проведенными лабораторными экспериментами, в которых моделировался процесс эволюции русла реки «в идеальных условиях». Оказалось, что в изначально прямолинейном русле очень быстро образуются меандры, хорошо описываемые кривой Эйлера (илл. 8a). Очевидно, что в природе поведение русла реки существенно сложнее «лабораторного» русла (например, из-за неровной местности). И все же подобные структуры, обычно периодические, возникают естественным образом, когда река течет по равнине (илл. 8b). Как правило, чем шире река, тем больше на ней излучин.

Термин «меандры» породила очень извилистая турецкая река Большой Мендерес (тур. Büyük Menderes), название которой происходит от греческого Μαιανδροs («меандрос»). Помимо излучин реки, меандрами называют также извилистые потоки, которые образуются на поверхности ледников, или океанические течения, такие как Гольфстрим.

Для всех этих явлений, происходящих в однородных средах, случайные процессы способствуют образованию более или менее периодических излучин, однако причины их возникновения различны.

8. а. Меандры, появившиеся в лабораторных условиях в первоначально прямолинейном канале, проложенном в однородной рыхлой среде. Через несколько часов под действием эрозии он изгибается и появляются меандры. Соответствующая кривая Эйлера обозначена пунктиром.

b. Форма природной реки (Потомак в Поу-Поу, США) и ее приближение эйлеровой кривой (пунктирная линия)

Опыт с продольным изгибом

Возьмем плоскую пластиковую линейку, поставим ее на стол и надавим на верхний конец. Пока приложенная сила невелика, линейка остается прямой (см. илл. ниже). Но при определенном давлении линейка сгибается: это явление называется продольным изгибом. Оно возникает, когда сила, действующая на концы, превышает некоторый предел, который тем ниже, чем длиннее и гибче линейка. Очевидно, архитекторы и строители не должны превышать этот предел, когда, например, подпирают террасу металлическими опорами…

В нашем опыте, когда сила воздействия превысила этот предел, линейка согнулась вправо. Но с той же вероятностью она могла бы согнуться и влево! Эту ситуацию можно сравнить с выбором, стоящим перед путешественником, который оказался на незнакомой развилке. Физическое явление, которое открывает две равновероятные возможности изменения какого-либо параметра, ученые называют бифуркацией (от лат. bifurcus – «раздвоенный»).

Явление продольного изгиба

a. До тех пор, пока вертикальная сила F, прилагаемая к линейке, остается меньше предела F₀, линейка не деформируется.

b. Как только F > F₀, линейка начнет сгибаться (и даже может сломаться, если сила станет слишком большой).

c. Изменение угла Ѳ₀, который образует вертикальная линейка в зависимости от величины силы F. Когда последняя достигает величины F₀, линейка может изогнуться вправо (Ѳ₀ > 90˚) или влево (Ѳ₀ < 0): кривая изменения угла Ѳ₀ имеет две ветви, которые создают бифуркацию

В большое озеро обычно впадает много водных потоков. Например, в Женевское озеро втекает не только Рона, но и небольшие реки, такие как Дранс на юге и Вёвеж на севере. А вытекает из него одна Рона. И это общее утверждение: независимо от количества впадающих в озеро рек, из него никогда не вытекает более одной! Как это объяснить?

Причина заключается в том, что вода из озера вытекает по самому глубокому (низкому) руслу, которое она находит. Если не принимать во внимание исключительные случаи паводков, то обычно поверхность воды в озере находится на уровне самого низкого из возможных мест вытекания, поэтому из него выходит только один поток. Даже если из озера в данный момент вытекает несколько рек, такая ситуация будет нестабильной: ее можно наблюдать только на недавно сформировавшихся озерах. Действительно, самый глубокий поток с более быстрым течением вызовет и более сильную эрозию. В результате его пропускная способность будет увеличиваться, что приведет к снижению уровня озера. Поэтому другие русла будут постепенно мелеть и в конце концов заполнятся грязью. Таким образом, из всех вытекающих из одного озера рек «выживает» только самая глубокая.

9. Дельта Роны. Подходя к Средиземному морю, река разделяется на несколько рукавов

Аналогичными свойствами обладают и реки. Хорошо известно, что реки способны сливаться (когда одна впадает в другую), в то время как разветвляются они очень редко. Поток воды повсюду следует по пути с наибольшим уклоном, и маловероятно, что в каком-то месте этот путь раздвоится. Лишь одна специфическая область является исключением: это устье реки, то есть место ее впадения в море, водохранилище, озеро или другую реку. Здесь река иногда разделяется на несколько рукавов, образуя дельту (илл. 9). Дело в том, что вдали от моря поток выстраивает свой путь через складки местности, которые формировались долгие миллионы лет. В дельте же, напротив, река сама формирует свои берега, при этом вынося песок в море и перекрывая этими отложениями свой путь.

Итак, река добралась до моря, и эта глава подходит к концу! Мы еще вернемся на морской берег в главе 5, чтобы обсудить другое удивительное природное явление – прилив.

За последние 20 лет огромное, постоянно растущее количество данных перемещается с одного континента на другой благодаря оптоволоконным кабелям, пересекающим океаны (илл. 1). На илл. 2 показан путь сообщения, отправленного с вашего компьютера или телефона американскому или японскому коллеге. Конечно, эти световые волны слабеют во время пути, но затухание относительно невелико, а необходимое количество промежуточных станций удивительно мало.

Оказывается, что океан способен выступать в качестве акустического волновода. Это удивительное явление обнаружили советские и американские ученые в 1940-х годах: звуковые волны, распространяющиеся в океане, иногда обнаруживаются в тысячах километров от их источника! В одном из самых впечатляющих экспериментов звук подводного взрыва у побережья Австралии обогнул половину земного шара и был зарегистрирован на уединенном архипелаге Атлантического океана – Бермудских островах. Звуковой сигнал прошел под водой более 19 600 км – абсолютный рекорд!

1. Пучок оптических волокон в защитной оболочке. Оптические волокна из стекла или пластика имеют в диаметре 125 мкм

2. Распространение светового луча в оптоволокне. Передаваемый луч много раз отражается от границы между сердцевиной и оболочкой и таким образом направляется по волокну. Данные кодируются изменением интенсивности света

Интенсивность звукового сигнала падает по мере удаления от источника. Действительно, излучаемая источником энергия распределяется равномерно во всех направлениях. При этом в отсутствие затухания общая энергия звуковой волны остается неизменной. На расстоянии R от источника эта энергия распределяется по площади сферы, пропорциональной R². Таким образом, интенсивность звука при удалении от источника падает по закону 1/R² (илл. 3). И это еще не учитывая рассеивающих явлений, поглощения и диффузии в среде, где распространяется звук!

Чтобы австралийский взрыв был услышан на Бермудских островах, интенсивность дошедшей туда волны должна оказаться достаточно заметной. А для этого необходимо, чтобы излучаемая источником волна была направлена на архипелаг и не рассеивалась в других направлениях. Чтобы волна распространялась соответствующим образом, нужно, чтобы у волновода были полностью отражающие стенки: непроницаемые и не поглощающие звук.

На каком же принципе основывается этот «акустический волновод» в океане? Можно предположить, что он аналогичен принципу оптических волноводов, который предполагает полное внутреннее отражение волн от стенок (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Значит, происходит полное отражение акустических волн на границе между водой и воздухом? Нет! Скорость звука в воде намного выше, чем в воздухе (в холодном Гренландском море она составляет в среднем 1411 м/с, в теплом Средиземном море – 1554 м/с, в то время как скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 335 м/с). Это означает, что вода для звука является средой гораздо менее «плотной», чем воздух, – ситуация, прямо противоположная случаю распространения света.

3. Интенсивность звука, издаваемого говорящим, уменьшается как 1/R² по мере удаления от него, при отсутствии препятствий или фокусировки звука в одном направлении

Отсюда следует, что условия полного отражения для звуковой волны, распространяющейся из воды в воздух, не соблюдаются. Когда исходящая от дна моря звуковая волна доходит до поверхности, всегда возникают преломленная и отраженная волны. Еще одно следствие: в случае акустической волны преломленный луч не отклоняется от вертикали, а, наоборот, приближается к ней.

Значит, предположение, что поверхность океана может быть отражающей поверхностью, неверно? Не так быстро! Фактически доля энергии, которая преломляется на границе между водой и воздухом, во многом зависит от угла падения и соотношения скоростей между средами. В случае очень разных скоростей, как в нашей ситуации, интенсивность преломленной (вышедшей в воздух) волны невелика вне зависимости от угла падения. Таким образом, на поверхности океана отражение почти полное: доказано, что не более 1 % интенсивности падающей звуковой волны, распространяющейся почти горизонтально, проходит из воды в воздух. Следовательно, поверхность океана, похоже, способна хорошо отражать звук из глубин…

4. Пример направленного распространения акустических волн в воздухе. Дети делятся секретом… Держа руку у рта, девочка предотвращает распространение звукового сигнала во всех направлениях

Так что же, мы, наконец, нашли объяснение распространения звука на большие расстояния в океанах? Увы, нет – по двум причинам. Во-первых, часть энергии все равно теряется каждый раз, когда звуковой луч попадает на поверхность океана. Во-вторых, она почти всегда неровная, что препятствует отражению звуковой волны. В конечном счете поверхность океана, за исключением случаев штиля, не может сформировать верхнюю границу природного океанического волновода, который мы пытаемся разыскать. Что касается дна океана, то оно еще меньше подходит для образования такой границы. Донные отложения не отражают звук, а, наоборот, склонны поглощать его. Таким образом, стенки океанического проводника звука должны находиться где-то между дном и поверхностью… именно здесь мы их и обнаружим! Чтобы продолжить наше расследование, давайте подробнее рассмотрим процесс распространения звука в океане.

В такой жидкости, как морская вода, скорость звука зависит от ее свойств, которые неодинаковы в разных частях океана. Здесь и находится ключ к решению нашей задачи! В зависимости от содержания соли, температуры и давления воды, скорость звука варьирует от 1400 до 1540 м/с. Например, давление на глубине возрастает, что, как правило, делает звук быстрее. Также звук распространяется быстрее при более высокой температуре. Но более плотная холодная вода опускается на дно океана. Эти два противодействующих эффекта объясняют изменение скорости звука в зависимости от глубины (илл. 5). В непосредственной близости от поверхности резкое понижение температуры сначала приводит к постепенному уменьшению скорости звука c. На больших глубинах изменение температуры не так ощутимо, преобладает эффект увеличения давления, и это приводит к возрастанию c по мере приближения ко дну. Глубина z_m чаще всего составляет от 1000 до 1200 м, но может достигать и 2000 м на низких широтах, где теплым остается более толстый слой воды. В высоких широтах, наоборот, z_m может составлять всего 500 или даже 200 м, или еще меньше в полярных регионах. Изменение солености в зависимости от глубины, как правило, незначительно и не оказывает заметного эффекта.

5. Пример изменения скорости звука с в океане в зависимости от глубины. В результате повышения давления и понижения температуры по мере приближения ко дну скорость достигает минимума на глубине z_m, чаще всего около 1000 м

Теперь рассмотрим звуковой луч, источник которого находится на глубине z_m. Независимо от того, пойдет ли он вверх или вниз, в области, в которой он оказывается, скорость звука выше, чем на оси. Таким образом, в результате последовательного прохождения слоев воды на своем пути звуковой луч постепенно искривляется, вплоть до скользящего падения под таким углом, для которого происходит полное отражение (см. врезку). Тогда он начинает искривляться в направлении увеличения (или уменьшения) глубины, пока снова не достигнет глубины z_m, где изменение скорости звука меняет знак. Таким образом, луч движется по зигзагообразной траектории между двумя плоскостями (илл. 6).

Эти две плоскости эквивалентны верхней и нижней границам волновода, у которого нет боковых стенок. Тем не менее благодаря описанному явлению звук способен распространяться в океане на большие расстояния. Наконец-то мы закончили расследование!

Не все исходящие из источника звуковые лучи попадают в этот «океанический волновод». Первоначально звук из источника распространяется во всех направлениях, и превращение его в «звуковой луч» зависит от угла, образующегося между ним и вертикалью. Если этот угол достаточно велик, то звуковой луч распространяется безгранично. Если же угол слишком мал, звуковой луч достигнет поверхности или дна океана. Но дно океана неровное, и оно, как и поверхность (кроме редких моментов, когда она совершенно спокойна), рассеивает звук. Таким образом, море, как правило, может послужить волноводом только для звуковых лучей, которые не достигают ни поверхности, ни дна океана. На практике существуют «акустические каналы», по которым звук передается на большие расстояния, и «теневые зоны», куда звук никогда не попадает.

Изучение распространения звука в океанах серьезно интересовало британских и американских ученых во время Второй мировой войны. Тогда речь шла об обнаружении немецких подводных лодок раньше, чем они подплывут достаточно близко, чтобы атаковать американские или английские суда. Акустическое обнаружение подводных лодок с помощью сонаров сыграло важную роль в битве за Атлантику: в 1943 году, после тяжелых потерь, союзники сумели уничтожить значительное количество немецких подлодок, установив тем самым свое превосходство на море.

6. Акустический луч (красный), излучаемый на глубине z_m, проходит между двумя плоскостями, от которых он полностью отражается. Зависимость скорости звука от глубины c (z) в океане представлена зеленой кривой. Значения z₁ и z₂ (считаем, что глубина равна 0 на поверхности) зависят от угла падения луча на глубине z_m и определяются законом Снеллиуса: c (z₁) = c (z₂) = c_m/sin α (z_m)

Простая модель

Интересно рассмотреть случай, когда скорость звука c – простая функция глубины z. Например, функция, имеющая минимум в z_m: c (z) = c (z_m) + k (z – z_m) ², где k – константа. В этом случае кривая, иллюстрирующая изменение скорости звука в зависимости от глубины (зеленая на илл. 5 и 6), является параболой. На самом деле это приближение почти всегда справедливо для глубин z, близких к z_m. Звуковой луч, немного отклоняющийся от горизонтали, следует по синусоиде, период которой не зависит от угла падения, так что все звуковые лучи в одной вертикальной плоскости сходятся в точках оси z = z_m (илл. 7). Эти точки аналогичны фокусам оптических приборов, таких как линзы, в которых сходятся падающие световые лучи, поэтому наблюдается явление фокусировки звуковых волн. Параболическая форма кривой хорошо описывает изменение скорости звука в зависимости от частоты в глубинах океана. Однако, поскольку кривая c (z) на практике не является параболой, то фокусировка звука не идеальна.

Заключение

Когда звук излучается на соответствующей глубине в море, значительная часть звуковой энергии оказывается заперта в «акустических каналах». Достаточное ли это объяснение для прохождения звука от Австралии до Бермудских островов? Попробуем подсчитать. Хотя рассмотренный нами механизм описывает именно распространение звука в океане, остаются возможными еще два направления. Звуковая волна, излучаемая в середине океана, проходит в течение времени t расстояние R порядка с_зв.t, где с_зв. – средняя скорость звука в воде, скажем, 1500 м/с. Даже если предполагается, что потери равны нулю, энергия звуковой волны должна распределяться по всей, примерно цилиндрической, поверхности зоны 2πRh, где разница в глубине h между верхней и нижней границами канала может достигать глубины океана. Таким образом, интенсивность звука уменьшается как 1/R по мере удаления от источника. Это происходит не так резко, как затухание, пропорциональное 1/R² звука в воздухе (илл. 3), но и оно едва ли оставляет надежду на то, что звук, раздавшийся в Австралии, будет услышан на Бермудах. Однако если приемник звука находился в точке фокуса, где сходятся звуковые лучи (илл. 7), а величина h невелика, то в принципе отголосок взрыва мог быть услышан. Кроме того, можно допустить, что колебания солености и температуры в толще океана на пути звуковых лучей создают и вертикальные отражающие стенки, препятствующие рассеянию энергии звуковой волны. И все же удивительно, что звук достигает Бермудских островов в обход мыса Доброй Надежды, учитывая дополнительное поглощение энергии, например, пузырьками воздуха или планктоном.

7. Явление фокусировки звуковых лучей

8. Пример миража в Ливийской пустыне. По мере приближения к раскаленному песку солнечные лучи встречают все более горячий воздух (и, следовательно, среду с уменьшающимся показателем преломления): таким образом, они, как и звуковые лучи на илл. 7, все сильнее отклоняются вплоть до отражения. Наблюдателю кажется, что в продолжении этих отраженных лучей он видит воду

Распространение звука в естественных подводных каналах – не единственный случай волновода, созданного природой. Еще несколько примеров связаны со спецификой распространения электромагнитных волн. Наиболее эффектны миражи, которые возникают из-за непрямолинейного распространения света в очень неравномерно нагретой атмосфере (илл. 8). Кроме того, можно вспомнить короткие радиоволны, которые распространяются на большие расстояния благодаря отражению в ионосфере – верхней области атмосферы на высоте от 60 до 800 км. При определенных условиях радиоприемник может принимать радиопередачи из других стран.

Море и небо дарят нам разнообразные цвета, вдохновившие многих художников. Аркадий Рылов воспроизвел эти цвета на картине, выставленной в Третьяковской галерее в Москве (илл. 1). Белые хмурые облака плывут по небу всех оттенков синего. Поверхность моря более темная, подошвы волн – почти черные, а гребни местами образуют белые «барашки».

Количество «барашков» и высота волн зависят от скорости ветра. Эта информация имеет важное значение для моряков: для определения скорости ветра они пользуются эмпирической таблицей, которую разработал британский адмирал сэр Фрэнсис Бофорт (1774–1857) (см. главу 2). На картине Рылова наличие небольшого количества «барашков» свидетельствует о ветре 12–19 км/ч, то есть 7–10 морских узлов. Такой ветер считается слабым и соответствует силе в 3 балла по шкале Бофорта.

1. «В голубом просторе», картина художника-символиста Аркадия Рылова (1870–1939)

Шкала Бофорта

Представление о скорости ветра можно получить не только с помощью шкалы Бофорта, но и по контрасту между яркостью моря и неба. Они одинаковы, когда на море штиль, а горизонт едва различим. Как правило, легчайшего ветра достаточно, чтобы встревожить поверхность воды и создать контраст: небо ярче моря, горизонт выглядит как четкая линия. Это явление было изучено несколько десятилетий назад российскими учеными на борту исследовательского судна «Дмитрий Менделеев»

Яркость морской поверхности зависит от угла наблюдения. Действительно, луч света, падающий на поверхность моря, как частично преломляется, так и частично отражается (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Интенсивность отраженного луча зависит, в частности, от показателя преломления воды и угла падения. Чем острее угол, тем сильнее отражение. Поэтому поверхность моря кажется более яркой у горизонта, чем вблизи наблюдателя.

А что насчет его цвета? Цвет поверхности практически непредсказуем, так как зависит от многих факторов, таких как глубина моря, положение солнца, цвет неба, наличие взвешенных частиц и водорослей и т. д. Все эти факторы влияют на отражение света от поверхности, его рассеяние и поглощение в воде. И все же море чаще всего синее. Причина в том, что вода поглощает меньше света в диапазоне между 400 и 500 нм (синего), чем в остальной части видимого спектра (см. ниже). Да, вода поглощает мало синего! Стакан воды выглядит совершенно прозрачным. Но начиная с толщины в несколько метров вода начинает заметно поглощать свет.

Цветовое зрение

Различные области электромагнитного излучения и их применение. Узкая область между 400 и 800 нм (то есть на частотах между 800 и 400 ТГц) соответствует видимому спектру. Каждое излучение, или «спектральный цвет», обладает своей длиной волны λ, которая связана с частотой υ отношением λ = c/υ, где c – скорость света в вакууме

Человеческий глаз чувствителен к электромагнитному излучению волн длиной от 400 до 800 нм (см. илл.). Объекты кажутся цветными, либо когда они излучают свет, будучи достаточно нагретыми (как кусок раскаленного железа), либо когда они освещены и «рассеивают» (иными словами, возвращают) часть полученного света извне. Свет, попадающий в глаза, обычно полихроматичен, то есть содержит излучения с различными длинами волны в разных пропорциях. Эта композиция и определяет воспринимаемый нами цвет. Таким образом, объект, поглощающий все световое излучение, кажется черным; объект, излучающий электромагнитное излучение всех длин волн от 400 до 800 нм с сопоставимой интенсивностью, выглядит белым.

В глазу цветовое восприятие обеспечивается клетками, называемыми колбочками, которые выстилают заднюю поверхность сетчатки. Существует три типа колбочек (см. илл.), передающих сигналы в мозг, который интерпретирует их и получает визуальное ощущение цвета. Воспринимаемые цвета не ограничиваются цветами радуги или «спектральными цветами», которые возникают вследствие разложения белого света. Пурпурный, например, получается путем объединения красного (около 680 нм) и синего (около 480 нм) света. Кроме того, один и тот же воспринимаемый цвет может соответствовать свету самых разных композиций. Например, объект может казаться желтым, когда он излучает монохроматический свет длиной волны около 580 нм, или излучает свет видимого диапазона, лишенный своей сине-фиолетовой части, или даже комбинацию красного и зеленого светов.

Чувствительность трех типов колбочек в зависимости от длины волны

В то время как предсказать цвет моря непросто, цвет неба в хорошую погоду легко объясняется физическими принципами, выявленными английским физиком лордом Рэйли (Рэлеем) (1842–1919). В отсутствие облаков цвет неба определяется результатом взаимодействия солнечного излучения с компонентами атмосферы Земли, а именно с неоднородностями (флуктуациями) плотности молекул азота и кислорода.

Как эти молекулы ведут себя, попав в поле солнечного излучения? Рассмотрим монохроматический свет, обладающий заданной длиной волны λ. Он представляет собой колеблющиеся в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения света, с частотой υ магнитное и электрическое поля. Под действием колеблющегося электрического поля электроны в молекулах также колеблются с частотой υ. В результате и сама молекула становится маленьким излучателем, испуская свет той же частоты, что и падающая волна. Это похоже на то, как излучает электромагнитные радиоволны теле- или радиоантенна. В случае молекул и солнечного света длина его волны оказывается много большей размера молекул, и такое рассеяние называется «рассеянием Рэлея». Расчеты показывают, что интенсивность рассеянного света оказывается пропорциональной четвертой степени частоты υ⁴ (или 1/λ⁴). Это утверждение называется законом Рэлея – Джинса (илл. 2).

2. Рассеяние света молекулами и закон Рэлея. Под воздействием падающего монохроматического света (a) молекулы переизлучают свет той же длины волны во всех направлениях. Синему цвету соответствует длина волны около 450 нм, а красному – около 650 нм. (b) Согласно закону Рэлея, четвертая степень отношения 650/450 равна 4,3, то есть интенсивность рассеяния синего примерно в 4 раза выше, чем красного

Как все это связано с цветом неба? Согласно закону Рэлея, рассеяние электромагнитных волн оказывается значительно интенсивнее для высоких частот по сравнению с низкими. Это означает, что молекулы атмосферы сильнее рассеивают синий цвет, чем красный, зеленый или желтый. Таким образом, наших глаз преимущественно достигают именно световые лучи синего цвета. Вот почему небо синее! Следуя этому рассуждению, можно было бы предположить, что небо должно быть фиолетовым, так как фиолетовое излучение обладает более высокой частотой, чем синее. В действительности в спектре солнечного излучения доля фиолетового меньше, чем синего. Кроме того, и максимальная чувствительность человеческого глаза находится в области зеленого (555 нм). В результате фиолетовая часть спектра солнечного излучения оказывается подавленной в восприятии человеческого глаза, и небо видится синим (см. главу 3, «Цветовое зрение»).

3. a. Днем чистое небо кажется синим, так как молекулы атмосферы сильно рассеивают синюю компоненту солнечного излучения.

b. На закате доходящий до нас солнечный свет преодолевает гораздо более толстый слой атмосферы, и небо пламенеет

На закате небо над горизонтом принимает красивый розовый оттенок (илл. 3). Этот цвет также обусловлен рассеянием солнечного света в атмосфере. Поскольку свет распространяется во всех направлениях, то до нас доходит лишь его часть, а остальное возвращается в пространство. Часть солнечной энергии, возвращающаяся за пределы земной атмосферы, невелика, однако для некоторых явлений она может оказаться существенной (илл. 4). В видимом излучении разница между энергией, получаемой поверхностью земли и верхними слоями атмосферы, обусловлена прежде всего рассеянием. Так, мы видим, что в дневное время энергия, получаемая на земле, меньше падающей на верхние слои атмосферы примерно на 25 % в синем и на 10 % – в красном диапазонах. На закате эти пропорции изменяются, поскольку свету приходится преодолевать гораздо большую толщу атмосферы (илл. 5). Таким образом, синий свет почти целиком рассеивается, и наблюдатель на земле видит в основном красный.

Как только солнце исчезает за горизонтом, постепенно наступает ночь. Цвет неба в ночное время – совсем иной вопрос (см. главу 3, «Тайны безлунной ночи»).

Как можно увидеть на картине Рылова (см. илл. 1 в главе 3), облака бывают белые, серые или черноватые, в зависимости от их толщины и места, откуда их наблюдают. В любом случае они непрозрачны: солнце не видно сквозь облака, а солнечный свет оказывается более или менее интенсивным в зависимости от их толщины. Он доходит до нас, рассеянный каплями воды, из которых состоит облако. Такое рассеяние намного более интенсивно, чем рассеяние на флуктуациях плотности молекул кислорода и азота, которое мы описали выше. Почему?

4. Световая энергия, получаемая верхними слоями атмосферы (желтый) и на уровне моря (красный) в дневное время с учетом рассеяния и поглощения. Отметки «H₂O» и «O₂» обозначают диапазон поглощения воды и кислорода соответственно. Энергия, отложенная по оси ординат, выражается в ваттах на кв. м поверхности, в то время как длины волн на оси абсцисс измеряются в нанометрах

Причина в том, что большие объекты рассеивают свет намного сильнее, чем маленькие. Например, если капля воды содержит миллион молекул (и имеет диаметр около 0,04 мкм), она рассеивает свет почти в миллион миллионов раз интенсивнее, чем миллион отдельных молекул! Получается, что если в капле миллиард молекул, то она рассеивает свет в миллиард миллиардов раз больше, чем такое же число изолированных молекул? Нет! Диаметр этой капли составляет порядка 0,4 мкм – величина существенная по сравнению с длиной волны видимого света. Закон «голубого неба» Рэлея в этом случае неприменим, поскольку переизлучение света каждой из молекул воды, находящейся в капле, случайно по фазе. Последнее обстоятельство приводит к ослабляющей интерференции этих вторичных волн – явлению, о котором мы поговорим чуть позже. Расчет интенсивности рассеяния электромагнитного излучения на сфере произвольного радиуса R был впервые выполнен немецким физиком Густавом Ми в 1908 году. Точный результат представляется бесконечной суммой слагаемых. Для небольшой капли (R << λ) в этой сумме можно сохранить лишь первое слагаемое, которое и соответствует рассеянию Рэлея. Чем больше капля, тем больше количество слагаемых, которые следует учитывать. При R >> λ расчет упрощается: в этом случае применяется геометрическая оптика. Согласно очевидным геометрическим соображениям, количество энергии света, падающей на сферу, пропорционально ее сечению, то есть R². Таким образом, на большую каплю падает больше энергии, чем на меньшую; в меру квадрата своего радиуса она больше света и переизлучает. Кроме того, оказывается, что общая интенсивность света, рассеиваемого большой каплей, не зависит от длины падающей волны. Именно это и объясняет тот факт, что при падении на систему капель белого света и рассеянный свет также оказывается белым. Итак, облака белые, потому что белым является освещающий их солнечный свет!

5. Испускаемое Солнцем излучение с большими длинами волн в красной части спектра рассеивается меньше, чем излучение с короткими длинами волн в синей части. Поэтому в сумерках падающий под малым углом синий луч сильно рассеивается в атмосфере и доходит до Земли приглушенным, в отличие от красного. Днем же все цвета солнечного излучения достигают земной поверхности. (Пропорции не соблюдены.)

Тайны безлунной ночи

Без Луны ночное небо черное, с разрозненными звездами. Это кажется нормальным. Но в небе колоссальное количество звезд, может быть, даже бесконечное. Бесконечное число звезд должно производить бесконечное сияние. Что, если черное небо – признак конца Вселенной? Именно это предположил немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века. В XIX веке другой немец, Генрих Ольберс, заметил, что ближайшие звезды, вероятно, скрывают более далекие, поэтому, даже если Вселенная бесконечна, ее светимость будет не бесконечной… но все же очень большой! На сегодняшний день объяснение этого парадокса заключается в том, что Вселенная имеет конечный возраст. Она появилась в результате Большого взрыва, характеризующегося высокой плотностью и температурой и произошедшего 13,8 миллиардов лет назад. После этого Вселенная начала расширяться. В результате длина световых волн, излучаемых далекими галактиками, смещается к красному концу спектра. Кроме того, при наблюдении за отдаленными объектами из-за конечности скорости света мы «обгоняем время»: галактики предстают перед нами в том состоянии, в котором они были, когда миллиарды лет назад испускали свет, который до нас доходит сейчас. Начиная с определенного расстояния мы возвращаемся к эпохе, очень близкой к Большому взрыву, когда первые галактики еще не родились и Вселенная была темной: мы достигаем «космологического горизонта» – границ наблюдаемой Вселенной. Таким образом, мы не можем наблюдать всю Вселенную, будь она конечной или бесконечной, и ночное небо кажется черным.

На самом деле оно не совсем черное, а наполнено электромагнитным излучением гораздо большей длины волны, чем видимый свет (порядка миллиметра вместо микрометра). Это низкочастотное излучение, невидимое для глаз, улавливается достаточно чувствительным радиотелескопом (см. илл.). Его непреднамеренное открытие в 1964 году принесло американцам Арно Пензиасу и Роберту Уилсону Нобелевскую премию по физике в 1978 году. Речь идет о «микроволновом реликтовом излучении», которое излучается не звездами. Из-за расширения Вселенной его длина волны со временем увеличивается.

Первая «карта» Вселенной, или микроволновое реликтовое излучение, около 14 миллиардов лет назад. Карта отображает колебания температуры в разных точках Вселенной через 380 000 лет после ее рождения, которые соответствуют местам зарождения будущих галактик. С момента экспериментального подтверждения существования реликтового излучения в 1964 году оно изучается с помощью приборов, установленных на спутниках или в люльках под аэростатами. Приведенная здесь первая детальная карта построена по данным со спутника Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

6. Опыт Юнга с интерференцией на отверстиях. Источник монохроматического света направлен на отверстия: на экране наблюдается чередование светлых и темных полос. Лучи, исходящие из A и B, интерферируют. С одним отверстием можно наблюдать размытое пятно, окруженное кольцом из-за явления дифракции

Явление интерференции света было доказано в начале XIX века историческим опытом английского физика Томаса Юнга. Ученые той эпохи спорили о природе света: его интерпретировали или как волновое явление, что, казалось, подтвердил опыт Юнга, или как поток частиц. В четвертой части этой книги (см. главу 22) мы увидим, что все они были правы.

Устройство Юнга (илл. 6) содержит точечный источник монохроматического света S, расположенный перед непрозрачной пластиной, в которой на расстоянии нескольких миллиметров друг от друга проделаны два отверстия чрезвычайно малого диаметра (порядка 0,1 мм). Свет, проходящий через отверстия, достигает экрана. И мы видим на нем – удивительно! – не сплошное пятно света, а пятно, демонстрирующее чередование темных и светлых полос. Как так получается?

7. a. Две волны с произвольным фазовым сдвигом φ.

b. Две волны в противофазе интерферируют, мешая друг другу: максимальная амплитуда одной соответствует минимальной амплитуде другой

8. Основная (более яркая, справа) и вторичная радуги. Их цвета расположены в противоположном порядке

Интенсивность света, наблюдаемая в точке M экрана, является результатом наложения волн, исходящих из отверстий A и B. Это явление алгебраического суммирования волн, приходящих из разных точек, называется интерференцией. Оно может привести и к нулевой или низкой общей интенсивности (это означает деструктивную интерференцию), и к более высокой интенсивности (так называемая конструктивная интерференция). Конструктивный или деструктивный характер интерференции зависит от смещения волн относительно друг друга, или фазового сдвига, в момент их попадания на экран (илл. 7).

На оси SO волны, исходящие из A и B, находятся в фазе: наблюдается светлая полоса. По мере отклонения от этой оси, в зависимости от точки на экране, волны преодолевают различные расстояния (оптические пути) от отверстий. Их фазы расходятся, и в результате наблюдается периодический ряд светлых и темных полос. Существует деструктивная интерференция (темная полоса), когда разница в длине оптического пути равна половине длины волны, или нечетному числу длин полуволн. Есть и конструктивная интерференция (светлая полоса), когда разница в длине оптического пути кратна длине волны.

Для видимого света длина волны λ – порядка микрометра, что примерно в десять раз меньше диаметра волоса. Однако расстояние между полосами на экране значительно возрастает, если этот экран находится на достаточном расстоянии d от отверстий. Размер OM = x полос может быть найден из условия AM – BM = nλ, где n – целое число. Если a = AB – расстояние между отверстиями, то расстояние между полосами равно λd/a. Приняв λ = 0,5 мкм, d = 3 м и a = 0,5 см, находим, что расстояние между полосами составляет 0,3 мм. Таким образом, становится понятно, почему нам удается увидеть интерференционные полосы невооруженным глазом, хотя это и не всегда просто. При практических работах по интерференции сегодняшние студенты часто сталкиваются с трудностями. Поэтому нам остается лишь восхищаться Юнгом, который сумел поставить этот опыт два века назад.

9. Путь световых лучей в основной и вторичной радугах. Средний угол отклонения – 42° и 51° соответственно. Впоследствии лучи света, составляющие основную радугу, образуют конус вращения, осью которого является прямая «Солнце – наблюдатель», а угол между ней и образующими составляет 42°

А что будет, если вместо освещения двух отверстий одним и тем же источником света использовать два точечных источника монохроматического света? Оказывается, что в этом случае эксперимент потерпит неудачу! Интерференция возможна только для когерентных источников, фазовый сдвиг которых постоянен во времени. Два же случайных источника, если не принять каких-либо особых мер, не удовлетворяют этому условию.

Трудность наблюдения за интерференцией света может навести на мысль, что это довольно экзотическое явление. Вовсе нет! Хорошим примером интерференции служат радужные переливы на мыльных пузырях (см. главу 6, «Мыльные пузыри»). В этом случае интерференция происходит между светом, отраженным от передней и задней границ мыльной пленки. Поскольку наблюдения обычно производятся при белом свете, то волны, находящиеся в противофазе, гасят друг друга, и полученный свет выглядит разноцветным. Видимый цвет пленки зависит от ее толщины и от положения наблюдателя относительно пузыря. Подобные интерференционные переливы цвета можно увидеть на крыльях бабочек, в оперении колибри, а также на наружном покрове некоторых насекомых.

Радуга возникает из-за взаимодействия солнечного света с каплями воды, взвешенными в атмосфере (илл. 8). Эти капли размером порядка 0,1 мм значительно больше, чем длина световой волны. В результате путь световых лучей в каждую каплю может быть описан геометрической оптикой, то есть преломлением на входе и на выходе. Между этими преломлениями внутри капли может произойти одно или несколько отражений. Основная радуга, часто единственная видимая, соответствует одному промежуточному отражению, а иногда появляющаяся вторичная радуга создана лучами, которые претерпели два отражения в каплях воды (илл. 9). Для данной длины волны отклонение светового луча каплей воды зависит от того, в какой точке он в нее попадает, и определяется законами преломления. Однако угол между входящим и выходящим из капли лучами не может принимать любое значение. В случае основной радуги он лежит в диапазоне от 0° примерно до 42°, в чем читатель может убедиться, если не боится вычислений. Отклонения, превышающие 42°, допустимы, но максимальная интенсивность достигается в непосредственной близости от 42°. Для вторичной радуги этот угол составляет около 51°. Поворачиваясь к солнцу спиной, мы наблюдаем две яркие дуги. Между ними появляется темный участок: действительно, никакой луч не появится между двумя критическими углами после одного или двух отражений в каплях воды, и потому эта область выглядит темнее, чем остальная часть неба.

Так объясняется появление световых дуг, но не их цветов… На самом деле точное значение угла отражения зависит от цвета, так как показатель преломления воды n увеличивается, когда длина волны уменьшается. Итак, для фиксированного угла падения i угол преломления увеличивается с длиной волны, то есть двигается от синего к красному. Это значит, что отклонение на входе и выходе капли сильнее для синего, чем для красного. Таким образом, с внешней стороны дуги появляется красный цвет. Все наоборот во вторичной радуге, цвета которой расположены в обратном порядке: красный внутри. Эти вытекающие из геометрии и законов преломления странности – примеры сюрпризов, что порой несут нам научные расчеты.

Рассматривая картину Рылова, мы еще не обсудили птиц, которые составляют неотъемлемую часть обаяния морских берегов. Давайте исправим это упущение такой задачей: как часто птице заданной массы нужно взмахивать крыльями, чтобы лететь? Возможно, читателю трудно будет увидеть связь между этими величинами, и он решит, что авторы играют с ним как кошка с мышкой.

Пусть m – масса птицы, S – общая площадь крыльев, v – средняя скорость крыла, t – продолжительность удара крыла и ρ – плотность воздуха. Во время взмаха крылом птица перемещает воздушную массу, равную M = ρSvt, и сообщает ей скорость v, что соответствует среднему ускорению v/t, поэтому сила F = Mv/t = ρSv² должна сбалансировать вес mg птицы, где g – ускорение свободного падения. Так,

Скорость v крыла пропорциональна количеству взмахов крыльев в секунду υ и длине крыла, которая также пропорциональна Предполагая (довольно произвольно), что коэффициент пропорциональности равен 2π, находим:

Для серой цапли (илл. 10) масса m составляет порядка 1 кг. Размах ее крыльев – около 2 м, и можно предположить, что площадь S ≈ 0,2 м². При приблизительных значениях ρ = 1 кг/м³ и g = 10 м/с² скорость крыла будет составлять порядка 3 взмахов в секунду, что вполне соответствует реальности между 2 и 3 взмахами в секунду в машущем полете.

10. Площадь крыла серой цапли примерно равна одной десятой квадратного метра

Пойдем дальше и предположим, что все птицы имеют тело той же формы и плотности. Площадь крыльев S в таком случае пропорциональна m^2/3, и из предыдущей формулы следует, что количество взмахов крыльев в секунду обратно пропорционально m^1/6. Действительно, υ уменьшается при увеличении массы птицы: воробей (масса которого составляет порядка 20–30 г) совершает 13 взмахов в секунду, голубь (масса около 500 г) – до 8–9 взмахов, а сарыч (масса примерно килограмм) – до 3.

А насекомые? На картине Рылова их не видно, так как они слишком малы. У насекомых частота взмахов крыла значительно выше, чем у птиц, что соответствует нашей формуле. Предельный случай – комары, которые совершают примерно 400 взмахов в секунду. Ударяя воздух с такой частотой, насекомое производит слышимый человеком звук, чем предупреждает о своих атаках! Зная, что масса комара составляет 2 мг, и предполагая, что крылья имеют площадь поверхности S порядка 10 мм², можно заключить, что фактическая частота примерно в 10 раз выше, чем значение, получаемое по нашей формуле. В этом нет ничего удивительного, формула действительно очень приблизительна, и скорее следует удивляться тому, что она дает разумные значения частот взмахов крыльями для крупных птиц и насекомых.

Мог ли художник Рылов, когда писал свою картину, предполагать, что затронет так много законов физики?

В 1851 году парижский Пантеон стал местом проведения эксперимента, осуществленного физиком Леоном Фуко (1819–1868). К верхней части купола, на подвесе длиной 67 м, он прикрепил шар массой в 28 кг, создав таким образом маятник (илл. 1), аналогичный балансиру часов наших прабабушек и прадедушек. В отличие от маятника часов, который способен двигаться только в определенной вертикальной плоскости, маятник Фуко мог свободно колебаться в любых направлениях. Эксперимент предполагал отклонить маятник от равновесного положения (вертикального), а затем отпустить и позволить ему свободно колебаться. Поскольку трение крайне мало, маятник может очень долго колебаться без затухания. Что же наблюдали экспериментаторы? При первых колебаниях маятник, казалось, оставался в вертикальной плоскости, определенной осью маятника и начальным отклонением. Именно так, как читателя и учили в средней школе. Через несколько минут, однако, ученые заметили, что плоскость качания маятника начала постепенно поворачиваться! При этом поворачивалась она всегда в одном и том же направлении. Давайте поймем, в каком именно.

1. Маятник Фуко, установленный в зале Пантеона в Париже, где в 1851 году и был поставлен опыт Фуко. Отклоненный от равновесного положения, маятник колеблется в плоскости, которая постепенно поворачивается

2. Доказательство вращения Земли с помощью маятника Фуко.

a. Первоначальное положение маятника на Северном полюсе и наблюдателя на Земле.

b. Спустя час Земля относительно звезд повернулась вокруг себя на восток (в направлении фиолетовой стрелки), повернулась и стойка, но плоскость колебаний маятника осталась неподвижной. В то же время для наблюдателя на Земле стойка выглядит сохранившей свое первоначальное положение, а плоскость колебаний маятника кажется повернувшейся

Почему же плоскость качания маятника поворачивается? Опыт Фуко легче понять, проведя его для начала на Северном (или Южном) полюсе. Представим себе маятник, равновесное положение которого совпадает с проходящей через полюс земной осью. Отклоним его от начального положения (илл. 2a). Для наблюдателя, неподвижного относительно Солнца и звезд (допустим, что относительное положение звезд не зависит от времени), маятник качается в фиксированной вертикальной плоскости (илл. 2b). Однако это совсем не так для наблюдателя, находящегося на Земле, так как последняя вращается вокруг своей оси, совпадающей в данном случае с вертикалью, на которой находится точка крепления маятника. Таким образом, наблюдатель поворачивается вместе с Землей относительно плоскости колебаний маятника на восток. Не чувствуя, что вращается вместе с планетой, такой наблюдатель считает, что это плоскость колебаний маятника поворачивается, и маятник для него отклоняется к западу (вспомните: для нас Солнце встает на востоке и движется по небосклону на запад. На самом же деле, как мы сегодня хорошо знаем, это земной шар вращается на восток, а Солнце остается почти неподвижным).

Из нашего рассуждения понятно, что на Южном полюсе маятник отклонится к востоку. На полюсе плоскость колебаний маятника выполняет полный оборот за 24 часа[1]. В Париже же этот процесс занимает значительно больше времени. Разберемся почему.

Представлять наблюдателя, неподвижного по отношению к звездам, чтобы понять, что видит его коллега, вращающийся вместе с Землей, неудобно. Проще было бы рассуждать только с точки зрения земного наблюдателя, предполагая, что на шар воздействует некая сила, которая заставляет его отклоняться к западу… И мы действительно можем так поступить! Для этого нужно рассматривать движение маятника Фуко в системе координат, или системе отсчета, связанной с Землей. Чтобы учесть вращение Земли вокруг своей оси, следует принять, что на шар, помимо сил веса и реакции нити (подвеса), воздействует еще одна сила. Ее назвали силой Кориолиса в честь французского математика Гаспара-Гюстава де Кориолиса (илл. 3).

3. Гаспар-Гюстав де Кориолис (1792–1843). Одно из немногих известных его изображений выполнено французским художником Бельяром по портрету кисти Роллера. Имя Кориолиса увековечено гравюрой на первом этаже Эйфелевой башни, наряду с еще 71 ученым

Чтобы двигаться дальше, давайте пока оставим в стороне маятник Фуко, колебания которого усложняют необходимые для дальнейшего рассуждения, и вместо него рассмотрим пулю массой m, выпущенную из ружья. Чтобы еще больше облегчить задачу, предположим, что пуля движется по прямой линии, и мы при изучении ее траектории учитываем только влияние вращения Земли. Это предположение является всего лишь искусственным приемом для упрощения дальнейших рассуждений.

Представим, что стрелок находится на Северном полюсе, в точке N (илл. 4), и выпускает в направлении цели C, движущейся вместе с Землей, пулю P с начальной скоростью v. Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Ω, равной одному обороту в день. Таким образом, через некоторое время t она провернется на угол Ωt, и цель сдвинется вместе с ней. Тем не менее, с точки зрения стрелка, стоящего на Северном полюсе и глядящего на цель, все происходит так, будто бы последняя осталась на месте, а пуля отклонилась от заданной им траектории NC. Расстояние от P до линии NC в момент t составляет приблизительно произведение угла Ωt на пройденное пулей расстояние vt, то есть Ωvt². В этом рассмотрении мы считаем промежуток времени достаточно коротким, а угловую скорость Ω – измеренной в радианах в секунду.

4. Отклонение пули под действием силы Кориолиса в системе отсчета, связанной с Землей. Пуля, выпущенная из ружья на Северном полюсе N в направлении цели C, отклоняется к западу от цели. Для наблюдателя вне Земли траектория пули – прямая линия (фиолетовая). Для наблюдателя, связанного с Землей, траектория представляется красной кривой (ее кривизна здесь сильно преувеличена): действующая на пулю сила Кориолиса придает ей ускорение Г^→_CO, показанное на рисунке в два разных момента

Таким образом, для достаточно малых промежутков времени пуля относительно Земли будет равномерно двигаться в направлении NC со скоростью v и в то же время равноускоренно двигаться вправо, в направлении, перпендикулярном отрезку NC (если бы стрельба производилась на Южном полюсе, то пуля отклонилась бы влево). При этом ускорение, называемое Кориолисовым, оказывается равным 2Ωv (вторая производная по времени от пройденного расстояния Ωvt²). В соответствии со вторым законом Ньютона (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), это означает, что на пулю воздействует сила величиной 2Ωvm, сонаправленная ускорению Кориолиса. Это и есть сила Кориолиса.

Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно мгновенной скорости (илл. 4). Напомним, что в рассматриваемой задаче, благодаря действию силы тяжести, имеется еще и вертикальное ускорение, которое мы (в отличие от артиллеристов!) здесь не учитывали.

Уточним, что сила Кориолиса – сила «фиктивная», или, как часто говорят, сила инерции, потому что она не вызвана физическим воздействием одного тела на другое. При описании движения тела во вращающейся системе координат сила Кориолиса должна учитываться всегда, когда скорость тела не направлена вдоль оси вращения.

Прикинем, действительно ли стрелок промахнется мимо цели, если он не учтет силу Кориолиса? Предположим, что цель расположена на расстоянии d = 100 м, а скорость пули составляет v = 1000 м/с. Время, необходимое пуле для достижения цели, t = d/v = 0,1 с. Скорость вращения Земли составляет Ω = 2π радиан/день, что составляет около 0,7∙10^–4 радиан/с. Тогда вызванное силой Кориолиса отклонение есть y = Ωvt² = 0,7 мм. Таким образом, стрелок в рассматриваемом случае не промахнется. Он даже не поймет, что его цель двигалась относительно траектории пули. Можно также вычислить ускорение Кориолиса, равное 2Ωv: оно составляет 0,14 м/с².

Ньютоновская механика

В начале XVII века итальянский ученый Галилео Галилей (1564–1642) сделал первый шаг в понимании законов движения и гравитации. Он показал, что находящийся в свободном падении объект равномерно ускоряется, а также сформулировал принцип инерции: «Тело, которое не подвергается никакому воздействию, сохраняет свое движение по прямой линии с постоянной скоростью, если оно уже находится в движении, или остается неподвижным, если изначально находилось в состоянии покоя». Это утверждение кажется очевидным. Тем не менее со времен Аристотеля считалось, что для движения тела необходимо наличие внешнего воздействия. Вскоре, после Галилея, немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) сформулировал законы, объясняющие движение планет. Первый из этих законов гласит, что планеты в своем движении вокруг Солнца описывают эллипсы, причем Солнце находится в одном из фокусов соответствующего эллипса. Позже англичанин Исаак Ньютон (1643–1727) заложил основы классической механики, основываясь на нескольких простых предположениях.

В качестве первого он принял принцип инерции Галилея. Второе предположение, или второй закон Ньютона, который часто называют основным законом динамики, гласит, что ускорение a^→ = dv^→/dt, приобретаемое материальной точкой и умноженное на ее массу m, равно сумме воздействующих на эту точку внешних сил F^→:

Σ F^→ext = ma^→.

Этот закон дает нам основное уравнение движения и позволяет предсказать положение и скорость материальной точки в любой момент времени при условии, что мы знаем, где она находилась и какая у нее была скорость при t = 0.

Казалось бы, из второго закона Ньютона вытекает и первый, достаточно положить нулем сумму приложенных сил. Однако, принцип инерции имеет свой глубокий смысл, который придает ему статус закона. В современной формулировке он звучит так: «Существуют определенные системы отсчета, называемые галилеевыми, по отношению к которым движущийся объект сохраняет постоянную скорость, когда на него не действуют никакие силы, или сумма внешних сил равна нулю». Другими словами, первый закон Ньютона позволяет выбрать такие системы отсчета, в которых будут справедливы второй и третий законы.

Третий закон Ньютона, или принцип действия и противодействия, гласит: «При воздействии одного тела на другое первое испытывает ответное воздействие со стороны второго той же силы, но направленной противоположно».

И наконец, Ньютон сформулировал закон всемирного притяжения (или тяготения). Он научил будущие поколения, что два массивных тела притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (см. главу 5, «Ньютон – основатель современной физики»).

Законы механики Ньютона и сформулированный им закон всемирного тяготения с высокой точностью объяснили все проблемы механики, существовавшие в его время. Например, падение яблока на землю (см. илл. 2 в главе 5) и движение планет вокруг Солнца! Эти законы успешно применялись в астрономии для расчета траектории движения спутников вокруг планет и предсказали возвращение кометы Галлея в 1759 году. К сожалению, многие реальные проблемы часто настолько математически сложны, что возможно только их приблизительное решение. Это относится, например, к задаче о движении трех тел (скажем, Солнца, Земли и Луны) под воздействием взаимного гравитационного притяжения – ее точного решения просто не существует.

Титульный лист журнала Philosophiae Naturalis Principia Mathematica («Математические начала натуральной философии»), опубликованного в 1687 году, в котором Ньютон представил свои фундаментальные законы механики

В метеорологии, которая имеет дело с гораздо меньшими скоростями и намного большими расстояниями, для описания движения воздушных и водных масс сила Кориолиса должна учитываться обязательно. Действительно, вызванное силой Кориолиса отклонение y = Ωvt², введя пройденное расстояние x = vt, можно переписать как y = Ωх²/v. Если расстояние x составляет порядка ста километров, а скорость течения – около 20 км/ч, то отклонение y будет того же порядка, что и x. Например, отклонение из-за силы Кориолиса морского течения, скорость которого v = 6 м/с (около 22 км/ч), составляет порядка 10 км после пройденных 100 км в направлении начальной скорости! Далее в этой главе мы еще вернемся к этому вопросу.

Вдали от полюсов

До сих пор мы предполагали, что наши опыты осуществляются на полюсе. Что произойдет, если удалиться от него?

В нескольких строках уравнений в учебнике механики показано, что сила Кориолиса, действующая на снаряд массой m, движущийся со скоростью v^→ по отношению к Земле, – это вектор, перпендикулярный оси вращения Земли и скорости v^→. При этом его модуль равен

FCO = 2mΩvsinϕ,

где ϕ – угол между осью вращения и скоростью v^→. Направление вектора F^→CO определяется по правилу левой руки (см. главу 4, врезку «Смысл силы Кориолиса и векторное произведение»).

У силы Кориолиса имеется горизонтальная составляющая, которая заставляет поворачиваться плоскость колебаний маятника Фуко и обычно отклоняет движущиеся объекты вправо в Северном полушарии и влево – в Южном. Но у силы Кориолиса есть и вертикальная составляющая, параллельная вектору силы веса предмета. Этой составляющей чаще всего можно пренебречь, потому что для обычных скоростей она, по сравнению с весом тела, мала. Для пули, двигающейся со скоростью 1000 м/с, вертикальная составляющая ускорения Кориолиса составляет максимум 0,14 м/с², что почти в 70 раз меньше ускорения свободного падения g. При полете куда более медленного теннисного мяча вертикальная составляющая ускорения Кориолиса оказывается меньше g уже в тысячи раз!

Смысл силы Кориолиса и векторное произведение

Сила Кориолиса, действующая на объект массой m, может быть удобно выражена в виде векторного произведения его скорости v^→ и вектора угловой скорости Ω^→:

F^→CO = 2mv^→ × Ω^→.

Напомним, что Ω^→ – вектор, характеризующий вращающееся тело (в нашем случае – Земля). Этот вектор параллелен оси вращения, а его модуль равен угловой скорости Ω.

Что означает понятие векторного произведения? Векторное произведение двух векторов v^→ и Ω^→, направленных под углом α, представляет собой третий вектор, ортогональный первым двум, с модулем Ωvsinα. При этом его направление определяется по правилу левой руки (см. илл.).

Векторное произведение используется при описании многих физических явлений, включая электромагнетизм.

Правило левой руки используют, чтобы определять направление векторного произведения F^→ = v^→ × Ω^→. Левая рука помещается перпендикулярно вектору Ω^→ так, чтобы он был направлен в ладонь, в то время как указательный палец должен совпадать с направлением вектора v^→. Отставленный большой палец тогда укажет направление вектора F^→.

a. Случай, где v^→ перпендикулярен оси вращения.

b. Общий случай.

Теперь, когда мы обогатили наши знания, вернемся к маятнику Фуко и к периоду поворота его плоскости колебаний. По формуле FCO = 2mΩvsinϕ можно вычислить горизонтальную составляющую силы Кориолиса, которая составит F^'CO = 2mΩvsinα, где α – широта места проведения эксперимента. Эта составляющая максимальна на Северном полюсе, где sin α = 1; там подтверждается и уже известный нам результат: плоскость колебаний маятника осуществляет свой полный оборот за 24 часа. На экваторе α = 0, и плоскость колебаний маятника Фуко не поворачивается вообще. В других точках Земли период оборота плоскости колебаний таков, каким бы он был на полюсах, если бы период вращения Земли вокруг оси был умножен на sin α, другими словами, если бы продолжительность суток была умножена на 1/sinα. Это означает, что период оборота маятника Фуко, выраженный в часах в зависимости от широты места проведения эксперимента, равен 24/sinα. На 45-й параллели, которая проходит примерно через Женеву, Монреаль и Краснодар, и маятник Фуко поворачивается в раз медленнее, чем на полюсе: вместо 24 часов он совершает полный оборот за

Фуко, Галилей и Аристотель

Среди всех маятников Фуко, существующих в мире, один заслуживает специального упоминания: маятник, находившийся с 1931 по 1986 год в Исаакиевском соборе в Ленинграде. Этот собор был превращен в музей атеизма. Какова же связь между маятником Фуко и религией?

Присутствие маятника Фуко в антирелигиозном учреждении намекало на осуждение Галилея инквизицией в 1633 году (см. илл.). Галилей утверждал, что на самом деле Земля движется вокруг Солнца и поворачивается вокруг своей оси за один день. Кардиналы же уверяли, что, согласно Библии, Иисус некогда остановил вращение Солнца вокруг Земли, но не вращение Земли вокруг своей оси. Также они вынесли следующий приговор: «Вследствие рассмотрения твоей вины и сознания твоего в ней присуждаем и объявляем тебя, Галилей, за все вышеизложенное и исповеданное тобою под сильным подозрением у сего Св. судилища в ереси, как одержимого ложною и противною Священному и Божественному Писанию мыслью, будто Солнце есть центр земной орбиты и не движется от востока к западу, Земля же подвижна и не есть центр Вселенной».

После этого обвинения Галилей должен был отречься от своей теории. Впрочем, провозглашая, что Земля обращается вокруг своей оси, он на самом деле не имел доказательств. Он только обобщил наблюдения Коперника и Кеплера, которые заметили, что астрономические движения описываются проще, если предположить, что Земля вращается! Проведенный в 1851 году опыт Фуко дал прямое доказательство вращения Земли вокруг своей оси и поставил точку в споре, который начался 24 веками раньше, когда Аристотель описал совершенную и вечную Вселенную, в центре которой находится Земля.

На самом же деле Фуко не был первым, кто экспериментально доказал вращение Земли. В 1833 году немецкий ученый Фердинанд Райх бросая камни в шахту глубиной 158 м, констатировал их отклонение после падения от вертикали на 28 мм, что соответствовало последующим результатам применения теории Кориолиса. А в 1661 году, спустя некоторое время после смерти Галилея, знаменитый флорентийский ученый Винченцо Вивиани провел опыт, аналогичный опыту Фуко. Но он его никак не объяснил – либо потому что объяснения не имел, либо из-за страха перед инквизицией.

Галилей на суде инквизиции

Где увидеть маятник Фуко?

Маятник Фуко – настолько занимательный экспонат, что читатель наверняка захочет увидеть его своими глазами (илл. 1). В Париже маятник Фуко был возвращен в Пантеон в 1995 году и доступен для обзора всем желающим, если только не находится в ремонте; еще один можно увидеть в Музее искусств и ремесел[2].

Почему бы не изготовить собственный маятник Фуко? Это не лучшая идея, так как здесь кроется множество затруднений. Прежде всего, маятник должен быть длинным, чтобы колебания были медленными, что позволит снизить роль трения. Маятник в Ленинграде был самый большой в истории – длина проволоки 98 м! Следовательно, надо иметь очень высокую точку подвеса и суметь надежно прикрепить к ней маятник. Резко отпущенный маятник может начать извиваться, что увеличивает трение. Еще серьезнее другое препятствие: вместо того чтобы оставаться в плоскости, которая медленно поворачивается, маятник может начать описывать вытянутый конус. Научные сотрудники Университета Гренобля, установившие для студентов маятник Фуко в 2013 году, на собственном опыте оценили степень всех этих трудностей.

5. Мотоциклист склоняется внутрь виража чтобы сбалансировать центробежную силу. Чем круче вираж, тем больше угловая скорость вращения ω и, следовательно, значительнее центробежная сила

Еще одной «фиктивной» силой инерции является центробежная сила, проявления которой нам знакомы куда лучше, чем примеры воздействия силы Кориолиса. Она появляется в системе отсчета, вращающейся по отношению к неподвижным звездам, и стремится отбрасывать неподвижные в этой системе отсчета телá от центра вращения. В повседневной жизни эта сила позволяет нам, к примеру, отжимать белье в стиральной машине: вода выбрасывается наружу через дырки барабана. Мы ощущаем ее воздействие также при езде на мотоцикле (илл. 5) или в автобусе, когда он совершает крутой поворот и нас отбрасывает к внешней стороне виража, на соседа.

Чему эта центробежная сила равна? Для нахождения соответствующей формулы давайте рассмотрим ребенка, катающегося на ярмарочной карусели радиусом R, которая крутится с угловой скоростью ω. Ребенок роняет плюшевого медведя, и, если пренебречь силой тяжести, он улетает по касательной со скоростью v = Rω по отношению к земле (из определения угловой скорости). При этом медведь относительно ребенка движется с ускорением, равным v²/R = ω²R. Это ускорение возникает потому, что мы рассматриваем движение медведя во вращающейся системе отсчета. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), раз в этой системе у медведя массой m имеется ускорение ω²R, то на него действует сила F^→, равная по модулю mω²R и направленная от центра карусели по радиусу. Это и есть центробежная сила!

Как на ребенка и плюшевого медведя на карусели, на всех нас постоянно действует центробежная сила, вызванная вращением Земли. К счастью, она приблизительно в 300 раз меньше нашего веса, поэтому ее мы почти не замечаем. Из-за воздействия центробежной силы диаметр Земли на экваторе на 43 км больше, чем расстояние от одного полюса до другого, но эта разница составляет примерно 0,3 % и особых последствий не влечет.

С другой стороны, центробежная сила, вызванная вращением Земли, на движение связанных с ней объектов (например на ветер, который является движением воздуха по отношению к почве) не влияет. Действительно, центробежная сила действует и на воздух, и на почву одинаково и зависит только от расстояния до центра вращения. Напротив, сила Кориолиса ничтожна для объекта, связанного с почвой в наземной системе отсчета, однако воздействует на движущийся воздух. В итоге, как мы сейчас увидим, она играет важную роль в метеорологии.

Важным результатом воздействия силы Кориолиса является образование вихрей определенного направления вокруг любой зоны низкого или высокого давления (илл. 6). Можно было бы предположить, что воздушные массы напрямую движутся в зоны низкого давления (такие зоны называются «депрессией» и часто отмечаются буквой D на метеорологических картах). Однако на самом деле под действием силы Кориолиса ветры отклоняются. В Северном полушарии они закручиваются вокруг зоны низкого давления против часовой стрелки. В случае возникновения антициклонов (отмечаемых A) с зонами высокого давления в центре, ветры циркулируют по часовой стрелке. При этом в природе они никогда не образуют вихрь, полностью соответствующий изображенному на илл. 6; и все же мы можем утверждать, что в Северном полушарии ветры имеют низкое давление слева и высокое давление справа (илл. 7). В Южном же полушарии все происходит наоборот (см. главу 5, врезку «В раковинах Южного и Северного полушарий»).

6. Ветер вокруг области пониженного давления с центром D в Северном полушарии. Перепад давления (показанный оранжевым цветом) провоцирует приток воздуха в область пониженного давления (ветер, представленный красными стрелками). Этот ветер отклоняется силой Кориолиса (голубой) и таким образом приближается к центру D, закручиваясь против часовой стрелки (зеленый). Черные стрелки: примерное направление ветра при равновесии между силой Кориолиса и силой, вызванной перепадом давления

Другое проявление силы Кориолиса это направление пассатов – ветров, которые постоянно дуют к западу между 30-й параллелью южной и 30-й параллелью северной широты. Первопричина этих ветров – явление конвекции (см. главу 7, «Температура Земли»): теплый экваториальный воздух поднимается вверх и уступает место прохладному воздуху, происходящему из более высоких широт. Таким образом, на поверхности рождаются ветры, направленные с севера на юг в Северном полушарии и с юга на север в Южном, их называют пассатами. Сила Кориолиса отклоняет эти ветры к западу (илл. 8).

7. Ураган Айрин, приближающийся к Багамским островам (в Северном полушарии) в августе 2011 года, вид со спутника. (a) Закручивание воздушных масс вокруг центральной области низкого давления осуществляется в направлении, противоположном вращению часовой стрелки; (b) наблюдавшаяся в феврале того же года обратная ситуация в Южном полушарии показана на примере циклона Бингиза близ Мадагаскара

Сила Кориолиса действует не только на ветры: она влияет еще и на морские течения и приливы (см. главу 5, «Температура Земли»). Действие вращения Земли на передвижение водных масс было замечено Пьером-Симоном Лапласом еще в XVIII веке, задолго до Кориолиса. Но Лаплас для их объяснения не стал изобретать фиктивные силы инерции.

8. Пассаты отклоняются к западу под действием силы Кориолиса из-за вращения Земли (a), в чем можно убедиться с помощью правила левой руки (b)

Идеи Кориолиса же были приняты не без сомнений. Один из членов Французской академии наук в 1859 году писал: «Эти фиктивные силы приводят к правильному результату; однако именно потому что они фиктивные, такое рассмотрение, по-видимому, не способно дать нам четкое представление о природе этого явления путем анализа действительных причин». Это замечание выдвигает на первый план яркий новаторский характер введенного Кориолисом понятия, польза которого сегодня неоспорима.

В раковинах Южного и Северного полушарий

Каждый наблюдал возникновение водоворота при стоке воды из раковины. В каком направлении он закручивается? Широко распространено ошибочное мнение, что в Северном полушарии вода всегда закручивается против часовой стрелки (илл. 7), в то время как в Южном – наоборот. Конечно, сила Кориолиса влияет на слив воды, но нужен куда больший масштаб, чтобы ее воздействие стало определяющим.

Соответствующий опыт был поставлен Ашером Шапиро в Массачусетском технологическом институте (США) в 1962 году. Он использовал бак примерно двухметрового диаметра и глубиной около 15 см. Бак опустошался за 20 минут, и водоворот (наблюдаемый благодаря плавающему предмету) через 15 минут действительно закручивался против часовой стрелки.

Что касается наших раковин, которые намного меньше и опустошаются быстрее, направление водоворота объясняется скорее деталями геометрического характера (неровностями раковины, изначально полученным водою импульсом и т. д.). Поэтому возможны оба направления закручивания независимо от полушария, в котором вода уходит из раковины!

Закручивание воды при стоке из раковины. Вопреки распространенному мнению, направление вращения не зависит от того, в каком полушарии Земли оно происходит

Согласно закону Бэра, правый берег рек круче левого в Северном полушарии, противоположный эффект наблюдается в Южном. Это наблюдение было сделано для сибирских рек, Нила, Дуная… Объяснение этого явления связано с силой Кориолиса, которая заставляет течение реки отклониться к правому берегу (илл. 9). Из-за трения у берегов поток быстрее на поверхности, чем у дна реки, и, следовательно, сила Кориолиса также больше на поверхности. Это приводит к вертикальной циркуляции воды, которая способствует эрозии правого берега и появлению наносов на левом берегу. Процесс несколько напоминает механизм образования меандров (см. главу 1, «Как меняется русло рек?»). Однако при оценке воздействия силы Кориолиса мы обнаружим, что оно незначительно. По этой причине данную проблему, которая была предметом доклада Эйнштейна, а также многонедельного спора во Французской академии наук в 1859 году, все еще нельзя рассматривать как решенную.

9. Cила Кориолиса F^→_CO отклоняет течение рек к правому берегу в Северном полушарии и к левому – в Южном

10. Платформа Кориолиса в Гренобле в 2000 году. Ее демонтировали в начале XXI века и восстановили в 2014 году

Для решения проблем механики у исследователей есть выбор между двумя методами. Астрономы чаще всего предпочитают невращающуюся систему координат, установленную относительно самых далеких, условно неподвижных звезд. Другой метод состоит в том, чтобы использовать систему координат, связанную с Землей, что обязывает вводить мнимые силы: силу Кориолиса и центробежную силу. Так поступают в метеорологии: неудобство несущественно, ведь большую часть сил (вес, трение и т. д.) было бы слишком трудно учитывать в системе отсчета, связанной со звездами. И все же не всегда легко принимать в расчет силу Кориолиса в вычислениях, поэтому необходимо проверять их опытным путем. В этом цель платформы Кориолиса, установленной в Гренобле. Это вращающаяся платформа диаметром 13 м, на которую устанавливаются бассейны различной формы и размеров, выдерживает вес вплоть до 300 т и совершает до четырех оборотов в минуту (илл. 10).

Прилив – впечатляющее явление. В некоторых местах, например на берегах Ла-Манша (илл. 1), порой прилив может оказаться опасным для тех, кто рискует отправиться на прогулку по океанскому пляжу.

Благодаря Ньютону (см. главу 4, «Ньютоновская механика») мы знаем, какой закон физики лежит в основе приливов: вскоре после открытия закона всемирного тяготения Ньютон показал, что приливы – одно из его проявлений. Луна притягивает воду океана, которая, таким образом, становится выпуклой. Эта выпуклость остается обращенной к Луне, в то время как Земля продолжает вращаться вокруг своей оси. Когда эта избыточная масса воды доходит до берега, начинается прилив. Затем, по мере дальнейшего движения Луны, ее влияние переносится на сушу, избыточный водный шлейф возвращается в океан – происходит отлив. Это описание, однако, не бесспорно. Первое возражение: Земля обращается вокруг себя за 24 часа, Луна почти не двигается в течение этого времени (ей требуется приблизительно 27 дней, чтобы совершить оборот вокруг Земли). Следовательно, можно ожидать одного прилива в день. Но их происходит два! Второе возражение: почему роль Луны в явлении прилива столь значительна, в то время как Земля с куда большей силой притягивается Солнцем?

Ответы на эти вопросы мы найдем, ознакомившись более подробно с явлением гравитации, законы которой также были открыты Ньютоном.

1. Скалы Этрета во время отлива и прилива. Амплитуда прилива (то есть разница высоты воды на одном и том же месте) здесь достигает порядка 10 м. Для сравнения: во внутреннем море, таком как Средиземное, амплитуда прилива составляет примерно 10 см

Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда отдыхал под яблоней и увидел падающее яблоко (илл. 2). Это, сказал он себе, доказательство того, что Земля воздействует на яблоко некоей силой притяжения. Очевидно, подобная сила действует не только на яблоко, но и на все находящиеся рядом с Землей объекты. Но почему только рядом с Землей? Ньютона посетила гениальная догадка: притяжение должно быть универсальным и, следовательно, осуществляться также между Солнцем и планетами, и – более общо – между всеми обладающими массой объектами!

Падение яблока и движение планет объяснимы, если допустить, что два тела массой M и m, находящиеся на расстоянии D, притягивают друг друга (илл. 3) с силой, равной

где G – константа, называемая гравитационной постоянной. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), плод под воздействием силы притяжения, с которой Земля действует на яблоко, падает на Землю с ускорением. Именно это, бросая камни с Пизанской башни, и наблюдал чуть ранее Галилей (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»). При этом ускорение яблока оказывается равным g = GM_З/R_З², где M_З – масса Земли, а R_З – ее радиус. Этот радиус (около 6400 км) был известен со времен Античности, и ускорение свободного падения g (приблизительно равное 10 м/с²) было измерено экспериментально. Предполагая, что плотность Земли примерно одинакова, Ньютон смог оценить и порядок величины массы M_З, а уже зная ее, – вычислить константу G.

Точное значение G, известное сегодня, составляет 6,674∙10^–11 м³∙кг^–1∙с^–2. Оно невелико! Гравитационное притяжение между протоном и электроном незначительно по сравнению с электростатическим притяжением, которое также обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для крупного же объекта, такого как Земля, сила притяжения достаточна, чтобы удерживать нас на поверхности планеты… и чтобы мы потирали ушибы, упав с дерева.

2. Ньютон за несколько секунд до открытия закона всемирного тяготения. Плод, ставший причиной несчастий Евы, помог Ньютону обрести бессмертие

В отличие от яблока, Луна не падает на Землю, а Земля – на Солнце. Почему? Ведь закон всемирного тяготения работает также и в этих случаях. Чтобы понять причину, достаточно простого расчета, но, очевидно, этот парадокс казался невероятным многочисленным современникам Ньютона. Он остается немного удивительным и для нас; давайте вспомним, как он объясняется.

Если бы действие гравитационного притяжения Солнца на Землю внезапно прекратилось, то она, согласно принципу инерции (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), продолжила бы свой путь, равномерно удаляясь от Солнца по касательной к своей прежней орбите. Следовательно, именно притяжение Солнца не позволяет Земле удалиться от него, но этой силы недостаточно, чтобы заставить Землю на него «упасть». Эту ситуацию проще всего проанализировать с помощью понятия центробежной силы (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), которая возникнет при применении основного принципа динамики к описанию движения тел во вращающейся системе. Если система вращается с угловой скоростью Ω вокруг неподвижного центра O, то центробежная сила, действующая на тело массой m на расстоянии D от центра, есть

Эта сила направлена по радиусу в направлении от центра круговой траектории. В случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, центробежная сила F^→₂ точно компенсирует гравитационную силу F^→₁, с которой ее притягивает Солнце, и поэтому планета на него не падает. При этом Земля двигается вокруг Солнца по кругу радиусом D_С с угловой скоростью

где M_С – масса Солнца. На самом деле Земля описывает вокруг Солнца не окружность, а эллипс[3].

3. Закон гравитации. Два объекта A и B на расстоянии D притягивают друг друга с силой, пропорциональной 1/D²

4. Притяжение, осуществляемое небесным телом (Солнцем или Луной) на предмет на Земле. В центре Земли O гравитационная сила уравновешена центробежной силой. В точке A гравитационная сила больше, чем центробежная. В точке B гравитационная сила слабее центробежной. Равнодействующая F^→ этих двух сил обозначена красной стрелкой. Таким образом, вода в океанах притягивается небесным телом в точке A, а отталкивается в точке B

Заметим, что эту же величину угловой скорости можно было бы найти и исходя из второго закона Ньютона, записанного для тела, движущегося под действием силы тяготения Солнца и в инерциальной системе отсчета. Однако вычисления в этом случае оказались бы значительно сложнее.

Закон всемирного тяготения, как заметил Ньютон, объясняет движение Земли вокруг Солнца и движение Луны вокруг Земли. Он показал, что этим законом объясняются и приливы.

Для изучения приливов нужно учитывать взаимодействие между Землей, Луной и Солнцем, что требует чересчур сложных вычислений. Поэтому мы начнем с гипотетической ситуации, будто Луны не существует (чрезмерное допущение в случае приливов, но оно упростит объяснение), и рассмотрим Землю и Солнце как два отдельных тела.

Мы уже выяснили, что действующие на Землю центробежная и гравитационная силы уравновешивают друг друга. Это действительно так в центре Земли, но не на ее поверхности. В точке, наиболее близкой к Солнцу (точка A на илл. 4), расстояние D до Солнца наименьшее, следовательно, притяжение Солнца (пропорциональное 1/D²) сильнее, в то время как центробежная сила (пропорциональная D) слабее. Таким образом, равнодействующая сила направлена к Солнцу. Вода, находящаяся в точке A, притягивается к Солнцу – происходит прилив!

5. Фазы Луны. Для наблюдателя на Земле освещенная часть небесного тела зависит от его положения на орбите по отношению к Солнцу. От новолуния до следующего полнолуния проходит две недели

6. Во время полнолуния и новолуния силы Луны и Солнца накладываются друг на друга и приливы особенно сильны. Напротив, прилив смягчается во время первой и последней четверти

В точке, наиболее удаленной от Солнца (точка B), расстояние D до Солнца наибольшее, и его гравитационное притяжение оказывается слабее, в то время как центробежная сила оказывается большей, чем в точке А. Равнодействующая сила отбрасывает водные массивы от Солнца, и там тоже происходит прилив! Если бы Солнце было единственным небесным телом, вызывающим приливы, они происходили бы дважды в день: один в солнечный полдень, когда преобладает гравитационное притяжение, другой – в полночь, когда максимальна центробежная сила. В результате, если бы Земля была покрыта водой со всех сторон, она приняла бы форму удлиненного эллипсоида (как мы увидим, совсем немного удлиненного) или, как порой говорят, мяча для игры в регби (илл. 4). Удлинение вершин эллипсоида ограничено гравитационным притяжением водных масс самой Землей, которое, очевидно, сильнее, чем притяжение Луны и Солнца.

Борьба за влияние между Солнцем и Луной

Данные для Земли, Луны и Солнца. Расчеты, приведенные в четвертом и пятом столбцах, позволяют сравнить удельные веса гравитационных сил, с которыми Солнце и Луна притягивают Землю, и действие этих небесных тел на приливы

Луна или Солнце – какое небесное тело сильнее влияет на приливы?

Чтобы упростить объяснение, ограничимся рассмотрением наиболее близкой к притягивающему небесному телу точки A (илл. 4) и наиболее удаленной от него точки B – таких, что в них обе силы F^→₁ (гравитационная) и F^→₂ (центробежная) лежат на прямой Земля – Солнце или Земля – Луна. В таком случае мы можем оперировать только их модулями и не учитывать направления векторов. Пусть M – масса небесного тела и D – расстояние до Земли. Вычислим силу, с которой небесное тело действует на тело массой δm в точке A или B. Между центром Земли O и точкой A или B расстояние до небесного тела претерпевает относительное изменение, равное R_З/D, где R_З – радиус Земли. Относительное изменение обеих сил F₁ и F₂ между точкой O и точкой A или B пропорционально этой величине. Итак, в точке O модули обеих сил равны GMδm/D². Изменение этой величины при перемещении в точку A или B, следовательно, пропорционально GMδmR_З/D³. Соответственно, пропорциональным GMδmR_З/D³ оказывается и модуль равнодействующей силы F^→ = F^→₁ + F^→₂, называемой приливной силой (силы в A и B направлены в противоположные стороны). Точное вычисление показывает, что коэффициент пропорциональности оказывается равным 3.

Соответственно, если небесное тело – Солнце, то результирующая сила в точках A или B будет равна GM_СδmR_З/D_Л³, а в случае Луны – GM_ЛδmR_З/D_Л³. Из приведенной выше таблицы видно, что сила воздействия Луны на поверхности Земли примерно в два раза больше силы воздействия Солнца.

Напротив, сила гравитационного притяжения Земли Луной намного слабее притяжения Земли Солнцем, поскольку сила, осуществляемая массой M на расстоянии D, пропорциональна M/D², а отношение M_С/D_С² почти в 200 раз больше отношения M_Л/D_Л² (см. таблицу). А что можно сказать о влиянии Солнца на движение Луны? Для этого надо сравнить M_С/D_С² и M_З/D_Л², где M_З – масса Земли. Это величины одного порядка (см. таблицу). Следовательно, воздействием Солнца на движение Луны пренебрегать нельзя[4].

Луна, жемчужина ночного неба, породила множество верований и суеверий. Мы знаем, что она действительно ответственна за приливы, а вот ее влияние на подъем сока в растениях или на наше настроение (а также на облик оборотней) представляется сомнительным

7. Последствие задержки приливов для движения Луны. Земля (З) и Луна (Л) рассматриваются наблюдателем, находящимся над Северным полюсом. Луна поворачивается в том же направлении, что и Земля, с меньшей угловой скоростью (приблизительно один оборот в месяц). Наземные приливы сдвинуты на угол φ (здесь преувеличенный) относительно движения Луны. Из-за этой задержки сила притяжения Луны Землей имеет малую составляющую f^→, направленную перпендикулярно оси (ЛЗ), которая постепенно отдаляет Луну от Земли

Объяснение, приведенное для Солнца, действительно и для Луны: водные массивы, наиболее близкие к Луне, притягиваются ею, а наиболее удаленные – отталкиваются. Тогда какое небесное тело воздействует сильнее: Солнце или Луна? Чтобы ответить на этот вопрос, придется провести небольшой расчет (см. врезку). Из него следует, что сила, притягивающая воду в точке A, наиболее близкой к воздействующему небесному телу (Солнцу или Луне), пропорциональна M/D³, где M – масса этого небесного тела и D – расстояние до Земли. Итак, отношение M_С/D_С³ приблизительно в два раза меньше, чем M_Л/D_Л³. Значит, влияние Луны на приливы примерно в два раза сильнее, чем влияние Солнца! Так как Луна вращается вокруг Земли не очень быстро, за 24 часа происходит почти два прилива. Таким образом, из-за движения Луны между ними проходит чуть больше 12 часов (а именно 12 часов и 25 минут).

При этом воздействие Солнца на приливы нельзя считать незначительным. Когда три небесных тела выстраиваются в ряд, что происходит чуть чаще раза в месяц (илл. 5), действие Луны усиливает действие Солнца – и приливы особенно сильны. Эти квадратурные приливы приходятся на полнолуние или новолуние. А в первой или в последней лунной четверти происходят слабые сизигийные приливы (илл. 6). С другой стороны, приливы особенно сильны в дни равноденствия, когда Солнце оказывается в одной плоскости с земным экватором.

Гениальная и простая, теория приливов Ньютона все же неспособна правильно предсказать их амплитуду. Их высота (разница уровня воды между приливом и отливом), согласно теории создателя классической механики, должна составлять всего несколько десятков сантиметров. В действительности же высота прилива на океанском побережье обычно достигает десятка метров. Кроме того, она значительно варьирует в зависимости от места, что нельзя объяснить теми аргументами, которые мы приводили ранее. Дело оказывается в том, что Ньютон предполагал поверхность океана всегда пребывающей практически в равновесии и смиренно повинующейся действующим на нее силам. Почти веком позже французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) показал, что правильная теория должна быть динамической. Выяснилось, что важную роль в этом процессе играет явление резонанса: высота прилива в данный момент времени и в данной точке зависит от силы приливов в предыдущие дни и, в свою очередь, оказывает влияние на амплитуду следующих приливов. Сила Кориолиса также играет роль, отклоняя движение водных массивов, поэтому изменение уровня воды во время прилива на берегах Ла-Манша достигает десятка метров с французской стороны, но практически на четыре метра меньше на английских берегах!

Высота приливов определяется не только расположением Луны и Солнца по отношению к Земле, но и очертаниями берегов и подводным рельефом. Вычисления крайне сложны, и проделать их не представляется возможным. К счастью, предсказать свойства приливов с очень большой точностью можно, принимая уровень моря в данной точке за сумму синусоидальных функций времени Σ a_isin(ω_it − α_i). В такой сумме достаточно учесть десяток слагаемых. Частоты ω_i хорошо известны, а коэффициенты ω_i, так же как фазовые сдвиги α_i, в каждой точке берега определяются экспериментально.

Наблюдения показывают, что приливы по отношению к видимому движению Луны задерживаются примерно на 12 минут. Моделируя Землю и ее водные массивы в виде удлиненного эллипсоида, находим, что его бо́льшая ось направлена не точно на Луну, а составляет с направлением Земля – Луна угол φ порядка 3° (илл. 7). Действительно, вода из-за торможения ее движения трением о дно океанов и о берега не успевает в каждый момент времени занять самое энергетически выгодное положение. Это трение приводит к превращению части кинетической энергии вращения Земли в тепло. То есть приливы тормозят вращение Земли! Следовательно, увеличивается и протяженность дня. Об этом первым догадался в XIX веке английский физик лорд Кельвин. В дальнейшем скорость этого замедления удалось оценить с высокой точностью: исследователи изучили найденные в Индийском океане окаменевшие кораллы и нашли в них кольцевые образования, отражающие чередование дня и ночи. Возраст кораллов был оценен в 400 млн лет. Подсчитав эти кольца, ученые установили, что календарный год, то есть время, которое Земля затрачивала на полный оборот вокруг Солнца, составлял в ту эпоху 395 дней. То есть день длился всего 22 часа!

«Запаздывание» приливов имеет и другие следствия: Земля принимает форму мяча для игры в регби, чья ось все больше отклоняется от оси Земля – Луна. Сила притяжения между Землей и Луной направлена не точно к центру Земли, а имеет небольшую составляющую, перпендикулярную оси Земля – Луна. И эта компонента силы приводит к удалению Луны от Земли на 3,8 см в год… все больше разделяя нас и наших лунных соседей!

Вода часто принимает форму капель диаметром приблизительно в один миллиметр. Достаточно внимательно понаблюдать за дождем, чтобы в этом убедиться. Почему так? Почему вода, помещенная в капельницу, выходит из нее только под действием небольшого давления и в виде почти идеально круглых капель четко определенного диаметра?

Любая система стремится минимизировать свою потенциальную энергию, то есть энергию, которой она обладает из-за своего положения в пространстве и внешних воздействий. В соответствии с этим принципом бильярдные шары падают в лунки, так же как иногда люди падают на льду: таким образом они уменьшают свою потенциальную энергию в гравитационном поле Земли. Капля же стремится принять форму, которая определяется минимизацией не только ее потенциальной энергии в гравитационном поле, но и поверхностной энергии. Каково же происхождение последней? Дело в том, что молекулы, находящиеся на поверхности жидкости, пребывают в особой ситуации по сравнению с молекулами в объеме: они имеют плотную среду подобных соседей только с одной стороны, с другой с ними соседствуют молекулы гораздо более разряженного воздуха. Молекулы жидкости притягиваются друг к другу, их потенциальная энергия отрицательна. А вот молекулы на поверхности лишены половины таких дружественных соседей и в результате находятся в неблагоприятном энергетическом состоянии.

1. На пленку мыльной воды воздействует сила 2F (у пленки две поверхности) со стороны подвижного стержня. Если стержень перемещается на длину x, то работа силы 2Fx равна уменьшению потенциальной энергии 2σLx пленки. Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения σ равен отношению силы к длине F/L

Таким образом, увеличение поверхности жидкости требует затрат энергии (вот почему яичные белки нужно именно взбивать!). Эта энергия, отнесенная к единице поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения. Коэффициенты поверхностного натяжения для разных видов жидкости сегодня точно измерены (см. таблицу ниже) и обычно выражаются в джоулях на квадратный метр. Коэффициент поверхностного натяжения можно также трактовать и на языке сил – его величина соответствует силе, действующей на единицу длины границы поверхности, – и выражать в ньютонах на метр (убедитесь, что эта величина эквивалентна джоулю на квадратный метр). Эффект поверхностного натяжения можно продемонстрировать с помощью простого эксперимента (илл. 1). Возьмем металлическую прямоугольную рамку, одна сторона которой представляет собой подвижный стержень длины L. Погрузим ее в мыльную воду, а затем аккуратно поднимем, чтобы получить прямоугольную мыльную пленку. Под влиянием поверхностного натяжения пленка начнет сжиматься, смещая подвижный стержень.

Аналогично поверхностному натяжению возникает и межфазное натяжение между двумя несмешивающимися жидкостями или между твердым телом и жидкостью.

Форма капли в состоянии равновесия и в пренебрежении силой тяжести, согласно вышесказанному, является такой, которая минимизирует поверхностную энергию, то есть формой, которая для данного объема минимизирует площадь поверхности. А этому условию соответствует именно сфера! Поэтому капли воды или любой другой жидкости часто сферические (илл. 2). Однако, как мы увидим далее, под воздействием различных факторов эта форма может изменяться.

Коэффициент поверхностного натяжения некоторых жидкостей. Чем сильнее взаимное притяжение между молекулами жидкости, тем больше поверхностное натяжение

2. Капли воды на паутине. Сферическую форму принимают все капли, кроме самых крупных, которые сильнее подвержены воздействию силы тяжести

Размер капель

Равновесная форма капли воды в отсутствие внешних сил – сфера. А что нам известно о ее форме в реальных условиях?

3. Отделение капли. Капля, поверхность которой была бы сферической, если бы подвергалась только поверхностному натяжению, удлиняется под действием силы тяжести

Почему капли дождя не растут

a. Форма, принимаемая падающей каплей воды в зависимости от ее размера. Сверху вниз: капли диаметром D соответственно меньше, примерно равны и больше капиллярной длины. (E. Reyssat, F. Chevy, A. L. Biance, L. Petitjean, D. Quéré, Europhysics Letters 80, 34005 (2007)).

b. Форма «мешка», которую во время падения принимает изначально сферическая капля радиусом около 18 мм. Капля постепенно наполняется воздухом и в конечном итоге разорвется. (Там же)

Почему дождь не падает крупными каплями? Группа физиков в Париже изучила этот вопрос, сбрасывая капли воды различного диаметра с высоты 8–12 м и фотографируя их форму в полете (см. илл.). Маленькие капли остаются сферическими. Более крупные капли сплющиваются, а начиная с определенного размера принимают форму мешка. Видно, что в этот «мешок» во время падения капли попадает воздух, который в конечном итоге каплю разрывает. Таким образом, капля, превышающая критический размер, просто не долетает до земли неповрежденной. Благодаря этому во время дождя нас не бьют по голове капли диаметром в сантиметр!

Оказывается, что критический размер капли определяется величиной найденной нами капиллярной длины. Это утверждение может удивить, так как роль сопротивления воздуха явно имеет важное значение в проведенных экспериментах, однако оно никак не учитывалось при выводе формулы (1) в главе 6. Дело в том, что когда капля падает с высоты всего лишь 10 м, то она уже достигает постоянной скорости в несколько метров в секунду (около 9 м/с для самых больших капель, несколько м/с для самых маленьких). Величина этой скорости определяется равенством двух сил – силы тяжести с одной стороны и силы сопротивления воздуха с другой. Таким образом, сила, обусловленная сопротивлением воздуха, по величине оказывается равной весу капли, даже если ее распределение по поверхности капли отличается от силы тяжести, распределенной по объему.

Да, дождь не падает крупными каплями… Но, к сожалению, бывает крупный град! Размер градин значительно увеличивается, если они попадают в несколько последовательных восходящих течений. В настоящее время мало что можно сделать, чтобы предотвратить их образование; идея засеивать облака частицами, предназначенными активизировать образование капель, оказалась неудачной.

При возникновении капли в земных условиях ее росту больше некоторого критического размера препятствует гравитация. Рассмотрим, например, формирование капли в капельнице (илл. 3). При достаточном давлении на насадку из капельницы вытекает вода. Форма образующейся при этом капли отличается от сферы, однако во всех направлениях имеет один и тот же характерный размер R (илл. 3a). Таким образом, ее масса оказывается порядка ρR³ (где ρ – плотность жидкости), а вес – порядка gρR³ (где g – ускорение свободного падения). Поверхностная энергия капли, как мы уже видели выше, при этом имеет порядок σR², где σ – поверхностное натяжение жидкости. В некоторый момент времени под действием силы тяжести капля начинает отрываться от капельницы (илл. 3b). Пройдя путь порядка R, капля уменьшает гравитационную потенциальную энергию примерно на gρR⁴ (изменение потенциальной энергии силы тяжести между двумя точками равно весу объекта, умноженному на разницу высот). Но в ходе этого процесса капля растянулась, ее поверхность увеличилась, и, соответственно, возросла примерно на σR² ее поверхностная энергия. Капля под действием силы тяжести оторвется от капельницы только тогда, когда выигрыш в потенциальной энергии капли в поле тяжести превысит увеличение поверхностной энергии, то есть при условии, что радиус капли R превысит так называемую капиллярную длину R₁:

Капля меньшего радиуса от капельницы не оторвется. Отвлекаясь от нашего эксперимента с капельницей, можно утверждать, что капиллярная длина является той гранью, за которой роль гравитации становится преобладающей по сравнению с поверхностной энергией. Например, если поместить совсем небольшое количество жидкости на ровную поверхность, то образуется капля, свободная поверхность которой будет практически сферической. Но если радиус зоны контакта с поверхностью приближается к величине R₁, то капля деформируется и принимает все более плоскую форму. В заключение скажем, что радиус капель обычно не превышает значение R₁ (см. врезку на пред. с.). Для воды, при g = 9,8 м/с² и ρ = 1000 кг⋅м³, капиллярная длина составляет порядка 3 мм.

Бывают капли воды в воздухе и пузырьки воздуха в воде (см. главу 15, «Возникновение первых пузырьков»). Но можно создать и воздушные пузыри в воздухе – с помощью мыльного раствора воды! Он образует весьма устойчивые пузыри, которые невозможно было бы получить, используя чистую воду (илл. 4).

4. Мыльные пузыри. Прекрасные переливы цвета вызваны интерференцией (см. главу 3, «Мыльные пузыри»)

Молекулярная структура мыльной пленки – сама по себе урок физики. Мыло содержит так называемые поверхностно-активные вещества, молекулы которых характеризуются гидрофильной («любящей воду») головкой и гидрофобным («боящимся воды») хвостом. Чтобы удерживать головку в воде и хвосты вне воды, эти молекулы скапливаются у поверхности и выстраиваются перпендикулярно ей (илл. 5). Таким образом, присутствие молекул поверхностно-активного вещества в воде уменьшает коэффициент поверхностного натяжения раствора. Равновесная форма мыльного пузыря такая же, как и у небольшой капли. Это сфера, которая минимизирует поверхностную энергию системы. Поэтому неудивительно, что небольшие пузыри, как и маленькие капли, оказываются сферическими. Однако, в отличие от капель, сферическими часто могут быть даже большие пузыри. Дело в том, что мыльная пленка тонкая и чрезвычайно легкая, и поэтому воздействие гравитации на пузырь оказывается незначительным. Таким образом, мыльные пузыри отлично подходят для изучения поверхностного натяжения и его эффектов. Если бы размер пузыря регулировало только поверхностное натяжение, то оно бы неограниченно уменьшало его поверхность, пузырь становился бы все меньше и меньше и в конечном итоге исчезал. Но поскольку внутри пузыря находится воздух, то уменьшение диаметра приводит к росту давления внутри него, и, когда последнее достигает величины суммы атмосферного давления и дополнительного давления Лапласа стенок пузыря, устанавливается баланс сил.

5. Схема мыльной пленки. Молекулы поверхностно-активного вещества уменьшают поверхностное натяжение воды и тем самым препятствуют уничтожению мыльного пузыря. Гидрофильная головка обычно обладает электрическим зарядом и поэтому сильнее взаимодействует с молекулой воды, которая обладает электрическим дипольным моментом (см. главу 16, илл. 5)

Формула Лапласа

Откуда же берется избыточное давление ΔP, отличающее давление внутри мыльного пузыря от атмосферного? Для сферического мыльного пузыря радиусом R расчет прост. Поверхностная энергия равна произведению площади поверхности на поверхностное натяжение: Sσ’ = 4πR²σ’, где σ’ = 2σ, то есть вдвое превышает поверхностное натяжение мыльной жидкости, так как пленка имеет две стороны. Небольшое увеличение радиуса пузырька δR приводит к изменению поверхности на величину 8πRδR и, следовательно, к изменению энергии поверхности на 8πσ’RδR (илл. 6). Это изменение энергии должно компенсироваться работой сил давления, приложенных к стенкам пузырька при увеличении его радиуса (работа силы равна энергии, переданной системе этой силой в процессе перемещения). Эта работа равна избыточному давлению ΔP, умноженному на изменение объема пузыря, то есть 4πR²δRΔP. Поэтому мыльный пузырь радиусом R пребывает в равновесии тогда, когда давление воздуха внутри превышает атмосферное на

ΔP = 2σ’/R. (2)

6. Изменение энергии, вызванное бесконечно малым расширением пузырька, должно быть равно нулю в состоянии равновесия

Это соотношение называется формулой Лапласа, в честь физика, который вывел его в 1806 году (см. главу 5, «Высота приливов и их прогнозирование»). Избыточное давление ΔP тем больше, чем меньше пузырь. Вы легко можете проверить его справедливость, соединив два пузырька разного размера тонкой трубочкой: маленький пузырь тут же станет расти, а большой – уменьшаться!

Для миллиметрового пузыря значение избыточного давления составляет порядка одной тысячной от атмосферного. Для пузырька газа в воде σ’ = σ, и избыточное давление оказывается в два раза меньше, чем в мыльном пузыре того же радиуса.

Соприкасающиеся пузыри и пена

Воспользовавшись формулой Лапласа, мы можем предсказать, какую форму примет система из нескольких пузырьков в пене. Рассмотрим два пузыря радиусом R₁ и R₂ соответственно (илл. 7). Избыточное давление внутри каждого из них равно соответственно ΔP₁ = 2σ’/R₁ и ΔP₂ = 2σ’/R₂. Мыльная пленка, разделяющая два этих пузырька, является сферической поверхностью, изгиб которой должен уравнивать разность давлений ΔP₂ и ΔP₁. Таким образом, радиус R₃ определяется формулой (2), с R = R₃ в знаменателе и ΔP = ΔP₂ – ΔP₁:

7. Соприкосновение двух пузырей. Плоскости, касательные к поверхностям двух пузырьков, должны иметь между собой и плоскостью, касательной к перегородке Γ, углы 120°, а радиусы пузырьков – удовлетворять соотношению 1/R₃ = 1/R₂–1/R₁, где R₂ – радиус меньшего пузыря. В таком случае устанавливается равновесие между воздействующими на поверхность силами поверхностного натяжения F₁ и F₂ и силой поверхностного натяжения, возникающей на внутренней перегородке между пузырьками

Капля на поверхности

Какую форму принимает капля на твердом теле? В отличие от случаев контакта между двумя пузырями, где работает только поверхностное натяжение σ, сегодня ученые различают три типа межповерхностных натяжений: σ_жг, σ_жт, σ_тг, которые соответствуют границам между жидкостью и газом, жидкостью и твердым телом, а также между твердым телом и газом. В зависимости от значений этих трех параметров капля в большей или меньшей степени растекается по поверхности. Степень этого «растекания» измеряется углом α между касательной к поверхности капли и плоскостью, на которой она лежит, в точке их соприкосновения (см. илл.).

Капля жидкости частично смачивает твердую поверхность

На общей для всех трех сред границе Γ на единицу ее длины действуют три силы: две из них, σ_жт и σ_тг, параллельны поверхности, третья, σ_жг, направлена по касательной к поверхности капли (все они обозначены на иллюстрации красным цветом). Граница Γ должна оставаться на поверхности опоры. Поэтому для равновесия достаточно, чтобы сумма проекций сил на плоскость опоры была равна нулю, то есть:

σ_тг = σ_жгcos α + σ_жт.

Это так называемое уравнение Дюпре – Юнга. Косинус угла контакта может изменяться от 1 до –1, что соответствует условию – σ_жг < σ_тг – σ_жт < σ_жг. При выполнении этого условия говорят, что имеет место частичное смачивание. Капля при этом образует сферический купол.

В случае когда σ_тг – σ_жт > σ_жг, капля растекается до тех пор, пока это возможно, образуя при этом очень тонкую пленку. Это так называемый случай полного смачивания.

Если же σ_тг < σ_жт – σ_жг, то капля отделяется от опоры, не смачивая ее совсем. Возможно, читателю приходилось видеть капельки ртути на столе около разбитого термометра (см. илл.) или скатывающиеся по перьям утки капельки воды – это примеры отсутствия смачивания.

Капли ртути не смачивают поверхность. Маленькие капли имеют четкую сферическую форму, большие – сплющены силой тяжести

Однако одного этого соотношения оказывается недостаточно для описания геометрической формы обоих пузырьков и границы между ними.

Недостающее геометрическое соотношение можно вывести, если вспомнить, что силы поверхностного натяжения, действующие в любой точке A окружности Γ, ограничивающей поверхность, должны уравновешивать друг друга (то есть их векторная сумма должна быть равна нулю). Этих сил всего три, каждая направлена по касательной к одной из сфер (1, 2 или 3), и они стремятся сжать соответствующие шаровые сегменты. Все три силы равны по модулю (который составляет отношение σ’ к единице длины). Таким образом, для достижения равновесия они должны попарно составлять между собой углы в 120° (илл. 8). Аналогичное рассуждение позволяет определить и форму капли на твердой плоскости (см. главу 6, врезку «Капля на поверхности»).

Пена образуется из очень большого количества пузырьков, однако ее структура определяется из тех же условий, которые мы использовали выше для двух пузырей.

8. Мыльные пузыри на плоской поверхности. Углы, образованные стенками, соединяющими между собой три пузырька, составляют 120°. В плотной пене шесть разделяющих плоскостей между четырьмя соприкасающимися пузырьками обладают симметрией тетраэдра: они образуют углы в 109,5°

Необычные мыльные пузыри

Необычные формы, которые могут принимать мыльные пузыри, далеко не ограничиваются одной сферой. Если мыльная пленка не свободна, а натянута на некоторую рамку, то она порой образует удивительные, кажущиеся невозможными фигуры! Давайте начнем с погружения двух одинаковых колец в мыльную воду. Приложив толику усердия и аккуратности, мы можем получить пузырь в форме цилиндра, накрытый с обеих сторон сферическими «шапками» (илл. 9). Перепад давления ΔP внутри и снаружи пузыря связан с радиусом цилиндра R по формуле, аналогичной формуле Лапласа, но без коэффициента 2:

ΔP = σ’/R. (3)

9. Цилиндрический мыльный пузырь, сформировавшийся между двумя кольцами. Две сферические «шапки» замыкают пузырь

«Шапки» пузыря при этом являются сферическими сегментами радиуса 2R, который определяется формулами (2) и (3). А что произойдет, если они лопнут? При этом исчезнет перепад давления внутри и снаружи мыльной пленки. В результате пленка между двумя кольцами, для того чтобы минимизировать поверхностную энергию, перестает быть цилиндрической и деформируется (илл. 10). Получающаяся в результате такой деформации поверхность приобретает форму лошадиного седла и называется катеноидом. С математической точки зрения это поверхность, которая формируется вращением цепной линии вокруг оси (цепная линия, в свою очередь, – это кривая такой формы, какую принимает подвешенная между двумя точками цепочка, например колье). При изменении формы рамки, независимо от ее геометрии, поверхность, принимаемая пленкой, всегда будет соответствовать минимуму ее площади (такая поверхность называется минимальной) (см. главу 6, врезку «Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид»).

10. Поверхность, образованная мыльным пузырем между двумя параллельными кольцами, называется катеноидом. Любое его продольное сечение вогнутое, и любое поперечное сечение (окружность) – выпуклое

Оставим мыльные пузыри и вернемся к каплям, а точнее – ко всем знакомой ситуации: неплотно закрытый кухонный кран подтекает, роняя капли через регулярные промежутки времени (илл. 11). Их падение происходит очень быстро, и мы невооруженным глазом не можем различить детали – они доступны только высокоскоростной камере. Однако, и не имея такой камеры, бельгийский физик Жозеф Плато (1801–1883) в XIX веке сумел подробно проанализировать форму этих капель. Опытный экспериментатор решил устранить действие силы тяжести – тогда падающие капли будут двигаться достаточно медленно и за ними можно будет проследить невооруженным глазом. Вместо того чтобы ронять капли воды в воздухе, он использовал другую, не смешиваемую с водой, жидкость с плотностью, близкой к плотности воды (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). В этом случае действующая на капли выталкивающая сила Архимеда (глава 15) почти полностью компенсирует их вес. И все происходит так, как будто капли освободились от действия гравитации.

11. Неплотно закрытый кран подтекает. Динамика образования капель сложна. Ее детально изучали в 1990-х годах

Таким образом, Плато смог наблюдать образование капель на выходе из крана. Оказалось, что между формирующейся каплей и краном образуется жидкая нить, которая постепенно становится все тоньше, и утончается до тех пор, пока капля не отделится. Интересно, что при этом на нити образуется сопроводительная вторичная капля, видимая, например, на последней фотографии на илл. 3. Этот «спутник», систематически возникающий при образовании капель, стал открытием Плато. Опишем еще одну его находку.

При вытекании из крана тонкой струи видно, что она остается непрерывной и цилиндрической только в верхней части. Ниже струя теряет свою регулярную форму, и человеческий глаз не в состоянии различить, что с ней происходит далее (см. главу 6, врезку «Два эксперимента по следам Плато»). Но мы можем догадаться. Цилиндрическая форма соответствует относительно большой поверхностной энергии струи. Следовательно, в целях минимизации своей поверхностной энергии струя рассыпается на множество небольших капель (илл. 11). Цилиндрическая струя оказывается неустойчивой! Это явление называется «неустойчивость Рэлея – Плато», поскольку его теория была разработана лордом Рэлеем (см. главу 3, «Цвет неба в хорошую погоду»).

Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид

В каждой своей точке кривая (при определенных условиях непрерывности, дифференцируемости и т. д.) характеризуется радиусом кривизны R. Последний определяется как радиус окружности, наилучшим образом приближающей эту кривую в выбранной точке. Соответственно, в каждой точке кривой можно определить и величину ее кривизны γ = 1/R.

В свою очередь, поверхность в любой точке A (см. илл.) характеризуется двумя радиусами кривизны: R₁ и R₂. Они соответствуют минимальным и максимальным значениям радиуса кривизны при сечении поверхности в этой точке плоскостью, проходящей через нормаль. Радиус кривизны считается положительным, если кривая в сечении выпуклая, и отрицательным, если она вогнутая (на рисунке R₂ < 0 и R₁ > 0). Среднюю кривизну γ определяют посредством отношения 2γ = 1/R₁ + 1/R₂.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы поверхность была минимальной, оказывается требование, чтобы ее средняя кривизна в любой точке поверхности была равной нулю, то есть два основных радиуса кривизны должны быть равными по модулю, но иметь противоположные знаки.

Существует большое разнообразие минимальных поверхностей. Однако особую роль среди них занимают катеноиды. Читатель, обладающий некоторыми знаниями о дифференциальном исчислении, без особого труда докажет, что уравнение цепной линии определяется выражением y = αch (kx). Вращение цепной линии вокруг оси x порождает катеноид, который имеет нулевую среднюю кривизну. Можно также доказать, что именно эта поверхность соответствует устойчивой форме мыльной пленки, заключенной между двумя параллельными кольцами, при условии что они находятся достаточно близко друг к другу (илл. 10). Если же их развести достаточно далеко, то катеноид лопнет и останется два диска внутри колец.

Если же давление по обе стороны мыльной пленки оказывается разным, то она образует поверхности со средней кривизной, равной во всех точках, но отличной от нуля. Скажем, таковы мыльные пузыри, возникшие на проволочной раме и удерживающие воздух. Простым примером такой поверхности является замкнутый двумя сферическими «шапками» цилиндрический пузырь (илл. 9): его средняя кривизна γ везде равна 1/(2R), где R – радиус колец.

Геометрия минимальной поверхности (форма мыльной пленки, находящейся под равными давлениями со всех сторон). В любой точке A такой поверхности лежащие на ней кривые либо вогнуты (красная кривая), либо выпуклы (зеленая кривая). Красная кривая соответствует минимальной кривизне линии, уходящей вверх (вогнутой), а зеленая – минимальной кривизне линии, загибающейся вниз (выпуклой). Для минимальной поверхности обе кривизны 1/R₁ и 1/R₂ должны быть равны по модулю

Распаду струи предшествует появление выпуклостей и сужений, которые увеличиваются вплоть до отделения капель. Сверхбыстрая фотосъемка показывает, что между двумя каплями нормального размера образуется небольшая капля, подобная уже известному нам «шарику Плато». Действительно, прежде чем отделиться, большие капли разделяются длинным и тонким цилиндром, который после окончательного отделения капель и образует «шарик Плато». Поведение струи во времени оказывается довольно сложным. Капли становятся то удлиненными, то сплющенными, проходя промежуточную сферическую форму. Эти колебания можно изучать либо с помощью метода скоростной фотосъемки, либо куда более давним, изобретенным Плато методом стробоскопии, при котором движущийся объект освещается периодически, однако лишь в течение кратких мгновений.

Первые наблюдения за распадом струи жидкости под влиянием звука были выполнены французским физиком Феликсом Саваром (1791–1841), чьим именем впоследствии была названа единица измерения, используемая для оценки высоты музыкальных нот. Ученый заметил, что возбуждение вблизи струи музыкального звука подходящей частоты усиливает ее фрагментацию: цилиндрическая часть струи практически исчезает, она начинает делиться на капли с самого верха. Согласно Савару, будущие капли начинают формироваться в струе уже сразу после ее выхода из крана. Поначалу это простые выпуклости, становящиеся все более и более выраженными по мере падения жидкости до точки, где они полностью разделяются. Эти близкие друг к другу выпуклости (илл. 12) производят слабый, но четко определенной частоты звук. Ученый предположил, что музыкальная нота, звучащая в унисон с этими колебаниями, оказывает особое влияние на струю и разрывает ее на вереницу капель!

12. Тонкая цилиндрическая струя воды, чтобы минимизировать свою поверхностную энергию, распадается на капли (a). При определенных условиях между каждой парой больших капель возникает небольшая капелька (так называемый спутник Плато). Из-за деформации в момент отрыва капля падает колеблясь (b)

Британский физик Джон Тиндаль (1820–1893) продолжил опыты Савара с прозрачной цилиндрической струей 27-метровой высоты – такая струя под воздействием звука органной трубы становилась мутной и распадалась на множество капель. Тиндаль лил воду в широкий сосуд, располагая его на разной высоте, выше или ниже точки, в которой струя мутнела. Вот что он обнаружил: «Когда нисходящая струя пересекает поверхность жидкости выше “точки перерыва”, причем давление не слишком сильно, то она входит в нее молча; но когда эта поверхность пересекается со струей ниже точки перерыва, то слышится журчание и появляется множество пузырьков».

Два эксперимента по следам Плато

Приглашаем вас, дорогие читатели, провести два эксперимента на вашей кухне (необязательно доводя их до совершенства, как Плато; см. главу 6, «Капающий кран»).

Опыт 1

Устранение действия гравитации на капли

Наполните маслом узкий стакан высотой не менее 10 см, затем влейте в него с помощью пипетки или коктейльной соломинки спирт, смешанный с водой (не менее 70 % спирта), предварительно его подкрасив. Маленьким каплям потребуется несколько секунд, чтобы достичь дна, более крупным – чуть меньше секунды, но вам хватит времени, чтобы проследить за ними. Как заметил Плато, вы получите довольно большие капли (диаметром около сантиметра) сферической формы, в то время как капли воды того же размера в воздухе оказались бы сильно деформированными силой тяжести. Это и неудивительно: если ввести характеризующую такие капли капиллярную длину, определяемую формулой (1), то в знаменателе последней для капли, пребывающей в масле, следует заменить плотность воды на разницу плотностей спиртового раствора и масла. Понятно, что такая капиллярная длина окажется намного больше, чем вычисленная для воды. Кроме того, вы можете оценить и скорость падения капель. Сравните ее с величиной, полученной по формуле Стокса, о которой мы поговорим в главе 15, «Движение пузырьков и турбулентность».

Опыт 2

Демонстрация неустойчивости Рэлея – Плато

Медленно, как можно более плавно откройте кран. Из него начнут падать капли. Откройте его чуть сильнее, так, чтобы получить очень тонкую и непрерывную струю воды. Для того чтобы продемонстрировать распад струи из-за неустойчивости Рэлея – Плато, возьмите одну из пластиковых карт, которые в таком количестве вторглись в современную жизнь, и вставьте ее в струю воды на достаточном расстоянии от крана. При этом вы услышите звук падающих капель, а ваши пальцы, держащие карту, почувствуют легкое дрожание! Эти явления исчезнут, если подставить карту под верхнюю часть струи (см. илл.).

Цилиндрическая струя воды через несколько сантиметров от истока распадается на капли

Это подтолкнуло американского изобретателя Александра Белла (1847–1922) к созданию водного микрофона (илл. 13). Его струя была намного меньше 27 м в высоту и падала на резиновую мембрану вместо поверхности жидкости. Мембрана была натянута в верхней части трубки, в которую была вставлена другая трубка в виде воронки. В соответствии с экспериментами Тиндаля, нижняя часть струи воды делилась на капли и при достижении мембраны производила звук. Благодаря резонатору, которым являлись трубка и воронка, стук капель усиливался. Камертон, вибрировавший рядом с тонкой струей воды, вызывал головокружительный «капельный хор»; звук поднесенных к струе часов становился слышным во всей комнате. В конце XIX века немецкий популяризатор науки Донат утверждал, что он пробовал использовать такое устройство для передачи своего голоса. Струя действительно «заговорила», но так нечетко и столь хриплым и неприятным голосом, что все помощники ученого разбежались.

13. Водный микрофон Александра Белла

Водный микрофон не самое известное изобретение Александра Белла, прославившегося созданием телефона. Впрочем, следует заметить, что авторство на изобретение телефона ему, по-видимому, следует разделить с Элишей Греем (1835–1901) и Антонио Меуччи (1808–1889). Через много лет после конфликта из-за патента на это изобретение потомкам осталось известно преимущественно имя Белла.

Какая погода устанавливается в той или иной точке Земли, определяется главным образом протеканием разнообразных физических явлений, хотя на ее формирование оказывают свое действие также химические и биологические процессы. Для предсказания погоды на ближайшие дни метеорологи применяют соответствующие законы физики. И, как нам хорошо известно, порой они ошибаются! Как же так, ведь они располагают уравнениями, которые, казалось бы, должны позволять предсказывать будущее, если хорошо известно «настоящее»? Дело, оказывается, в том, что «настоящее» никогда не известно в полном объеме, и сложнейшие уравнения, описывающие состояние атмосферы, решаются только приблизительно, с большей или меньшей точностью. При этом они оказываются крайне чувствительными к малейшей ошибке в начальных данных. Часто говорят (преувеличивая), что один взмах крыла чайки, изменяя совсем чуть-чуть состояние атмосферы, может повлечь радикальное изменение погодных условий и, например, стать косвенной причиной бури на другом краю света… Такая крайняя чувствительность к погрешностям в измерении начальных условий в метеорологии называется детерминистическим хаосом.

1. Пять циклов ледниковых и межледниковых периодов сменили друг друга на протяжении последних 450 000 лет. Эти циклы тесно связаны с орбитальными параметрами Земли; интервал между двумя периодами таяния льдов составляет приблизительно 100 000 лет

2. Спектры излучения (вверху) и поглощения (внизу) паров ртути, полученные путем пропускания излучаемого ими света через призму. Как и каждая из порождающих радугу капель воды, призма преломляет падающее на нее излучение. Показатель преломления света зависит от длины его волны (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Спектр излучения, испускаемого возбужденным (например, нагретым) одноатомным газом, состоит из дискретного набора линий (линейный спектр). Изучая его, ученые судят о химической природе конкретного вещества

Задача климатолога в некотором смысле кажется более простой, чем задача метеоролога. Если климатолог делает прогнозы, то они должны быть применимы для довольно обширных регионов и в течение длительных периодов времени. Так, в климатологии делаются прогнозы климата, который установится и через 50, и через 100 лет. Выходит, на климат детерминистический хаос не оказывает влияния? Едва ли. Однако не хаос является главным противником климатолога – прежде всего он должен учитывать сложные, разнообразные и взаимозависимые физические явления, формирующие климат. Эти явления происходят в различных – вплоть до космических – масштабах, в очень разных временны́х интервалах (они могут длиться дни, месяцы, века, тысячелетия – см. илл. 1). Те или иные существенные для формирования климата процессы могут протекать на любых высотах атмосферы, на любой глубине морей и т. д.

3. Физик Николя Леонар Сади Карно (1796–1832) в форме Политехнической школы. Из семьи Карно вышло много известных людей: Лазар Карно (1753–1823) – военный министр времен Первой Республики, математик; его внук, Мари-Франсуа Сади Карно – президент Франции в 1887–1894 годах; брат последнего – химик Мари-Адольф Карно (1839–1920), в честь которого назван минерал карнотит

В климатологии температура оказывается наиболее просто прогнозируемой физической величиной. Температура Земли зависит в первую очередь от тепла, которое она получает от Солнца и которое приводит в движение все механизмы формирования климата. Это тепло до нас доходит в виде электромагнитного излучения, частóты которого в основном находятся в видимой области спектра (см. илл. в главе 3, врезке «Цветовое зрение»). Часть этого тепла Земля, излучая, в свою очередь, электромагнитные волны, возвращает обратно в космическое пространство. Однако ввиду того, что температура Земли гораздо ниже температуры Солнца, частóты излучаемых ею электромагнитных волн оказываются гораздо меньшими. Это – инфракрасное – излучение человек без специальных приборов не видит, и жить оно ему никак не мешает.

Поскольку электромагнитное излучение играет важную роль в нашем рассказе, то, прежде чем углубиться в исследования климата, давайте обсудим его свойства.

Все нагретые тела излучают электромагнитные волны. Излучение, испускаемое каким-то телом с заданной температурой, характеризуется своим спектром, то есть зависимостью мощности излучения, приходящейся на единичный интервал длин волн (или частот), как функцией величины длины волны λ (или частоты υ = c/λ). Простой способ визуализировать спектр испускаемого телом света состоит в том, чтобы поставить на его пути призму и спроецировать полученное изображение на экран; при этом белый свет разделится на различные цвета, его составляющие (см. главу 3, «Цветовое зрение»).

Спектр излучения того или иного тела зависит от его химической природы, температуры и агрегатного состояния: газ ли это, жидкость либо твердое тело.

Атомарный газ (например, пары ртути) при низком давлении испускает излучение определенных частот, его спектр состоит из четких линий (илл. 2). Этот факт выражает собой фундаментальное свойство атомов: порции энергии, которые атомы могут излучать или поглощать, дискретны (объяснение ему дает квантовая механика, см. главу 22). Каждая линия спектра излучения соответствует переходу атома из состояния с энергией E₁ в другое состояние, с более низкой энергией E₂. Такой переход сопровождается испусканием излучения частоты υ = (E₁ – E₂)/h, где h = 6,6⋅10^–34 Дж⋅c – постоянная Планка. Единичный акт такого излучения соответствует испусканию «кванта света», или фотона (см. главу 22, «Спектр излучения атомов – ключ к атомной структуре»). Напротив, если атом помещается в поле монохроматического излучения частоты υ, то он способен его поглотить только при условии, что в его спектре существует два энергетических состояния, такие, что для них E₁ – E₂ = hυ. Следовательно, атом поглощает только такое излучение, которое способен излучать. Таким образом, спектр поглощения нагретого газа очень походит на спектр его излучения: ярким линиям излучения в последнем соответствуют темные линии в спектре поглощения.

Вышесказанное верно для газа, образованного атомами. А что можно сказать о свойствах молекулярных газов, таких как образующие земную атмосферу кислород (O₂) и азот (N₂)? Оказывается, что здесь ситуация принципиально схожа с описанной выше: молекулярные газы поглощают или излучают свет только определенных частот. Однако в определенных интервалах частот разрешенные энергетические состояния молекул оказываются весьма близкими друг к другу, так что форма спектра излучения молекулярного газа, как мы увидим далее, может весьма существенно отличаться от формы спектра газа атомарного.

А что делается в твердых телах и жидкостях? Оказывается, что и их спектры имеют «запрещенные» диапазоны частот, в которых тела не поглощают и не испускают свет. Зато для остальных частот спектр излучения (и спектр поглощения) непрерывен, с чередованием максимумов и минимумов интенсивности, образующим сложную кривую.

Физики XIX века, в частности в Германии, расходились во мнениях по поводу всего этого разнообразия. Им хотелось бы иметь излучатель света с простыми свойствами – например, тело, которое поглощало бы все излучение, которое на него падает! Понятие такого идеального объекта, «абсолютно черного тела», в физику ввел немецкий ученый Густав Кирхгоф (1824–1887). Название соответствовало сущности: действительно, если предмет поглощает излучение во всей видимой области, то он кажется черным. Ниже мы увидим, что Солнце, подобные ему звезды и в некоторой степени планеты могут рассматриваться как абсолютно черные тела.

Абсолютно черное тело кажется черным только при низких температурах. Когда оно нагревается, то испускает свет. Какого же цвета при этом «абсолютно черное тело» становится? Чтобы ответить на этот вопрос, следует определить зависимость мощности его излучения при температуре T, приходящейся на единичный интервал длин волн от самой величины длины волны. Такова была задача, поставленная Кирхгофом в 1859 году.

Вообще говоря, совсем не очевидно, что эта задача имеет решение: можно подумать, что сам вопрос в своей постановке абсурден. Действительно, а вдруг существует тело, поглощающее все падающее на него излучение и ничего не излучающее? Поместив такое тело вблизи абсолютно черного тела, излучающего электромагнитные волны, можно было бы создать холодильную машину, не требующую никаких энергетических затрат: абсолютное черное тело остывало бы, отдавая тепло другому телу посредством излучения. Увы, существование такой «вечной» холодильной машины противоречило бы важному физическому принципу, сформулированному Сади Карно в 1824 году (илл. 3). Согласно ему, чтобы создать функционирующую холодильную машину, то есть передавать тепло от холодного объекта горячему, необходимо расходовать механическую, электрическую или химическую энергию.

Исходя из принципа Карно, который в переформулированном Рудольфом Клаузисом (1822–1888) виде приобрел статус «второго начала термодинамики», Кирхгоф пришел к выводу, что все абсолютно черные тела испускают свет одинаково (см. врезку выше). Точнее, количество энергии, излучаемой в интервале длин волн между λ и λ + dλ участком поверхности площади dS абсолютно черного тела, имеющего температуру T, равно величине L(T, λ) dSdλ, каким бы оно ни было.

Зная, что все абсолютно черные тела эквивалентны, удобно изучать их свойства на примере простейшей модели – прямоугольной коробки, заполненной стоячими электромагнитными волнами, или, на языке квантовой физики, фотонами. В одной из стенок коробки сделаем маленькое отверстие, через которое фотоны могут ее покинуть. Немецкий физик Макс Планк (1858–1947) изучил свойства такого излучения и пришел к выводу, что спектральная плотность его мощности определяется формулой:

где c = 3⋅10⁸ м/с – скорость света в вакууме, h = 6,67⋅10^–34 Дж⋅с – постоянная, называемая сегодня постоянной Планка, и k_Б = 1,38⋅10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Эту знаменитую формулу Планк вывел в 1900 году. С ее появлением была не только разрешена трудная задача, над которой совместно работали немецкие теоретики и экспериментаторы, но и было положено начало квантовой механике – области физики, описывающей свойства микромира (см. главу 22). Действительно, чтобы получить эту формулу, Планк вынужден был выдвинуть гипотезу о том, что энергия излучения может принимать только дискретные значения, кратные некоей минимально возможной ее величине, названной Планком «квантом». Именно эта гипотеза впоследствии позволила Эйнштейну, вернувшись к ньютоновским корпускулам, ввести понятие светового кванта (позднее названного фотоном). Использовав последнее, он предложил объяснение загадочного явления фотоэффекта, за которое в 1921 году получил Нобелевскую премию по физике.

Историческая значимость понятия абсолютно черного тела огромна.

Согласно формуле Планка, спектр излучения абсолютно черного тела является непрерывным, в отличие от спектральных линий излучения атомов. Спектральная плотность мощности излучения абсолютно черного тела является максимальной для длины волны λ_max, которая обратно пропорциональна его абсолютной температуре T:

Это так называемый закон смещения Вина. Чем горячее черное тело, тем дальше максимум в спектре его излучения смещается в область коротких волн (илл. 4). Таким образом, абсолютно черное тело по мере его нагревания изменяет свой цвет от красного до белого, так как этот максимум сдвигается в голубую область.

4. Спектр излучения абсолютно черного тела при различных температурах, в градусах Кельвина K (абсолютная температура T связана с температурой в градусах Цельсия θ соотношением T (K) = θ (°C) + 273,15). Указанные температуры сравнимы с температурой поверхности Солнца (5800 К) и нити лампы накаливания (3000 К)

Спектр излучения нагреваемых твердых металлов достаточно хорошо соответствует спектру черных тел. Это касается и нити накаливания в лампочках (илл. 5), которые освещали наши дома в ХХ веке. Используемый металл – вольфрам, температура плавления которого высока (3422 °C), поэтому он выдерживает столь высокие температуры, при которых нить испускает практически белый свет.

5. Нить лампы накаливания приближается к абсолютно черному телу, которое при нагревании излучает белый свет. Благодаря выделению джоулева тепла (см. главу 16) ее температура превышает 2000 °C. К сожалению, нить накаливания излучает значительную долю электромагнитного излучения и вне видимой области. Ввиду этой бессмысленной траты энергии производство таких ламп было прекращено в начале XXI века

В соответствии с законом Вина, определив максимум в интенсивности излучения, легко можно оценить температуру раскаленного тела. Этот закон также находит важное применение в астрономии, где он позволяет оценить температуру поверхности звезд. Как и другие звезды, Солнце имеет спектр излучения, близкий к спектру абсолютно черного тела (читатель может сравнить кривую черного тела при 6000 К на илл. 4 и на илл. 5 главы 3), а также характерные полосы поглощения химических элементов, находящихся в его атмосфере. А что насчет излучения, излучаемого планетами, такими как Земля?

Мы уже знаем, что Земля получает энергию, исходящую от Солнца, и что она теряет часть этой энергии (почти всю), излучая ее в космос после «использования». Последнее особенно важно, так как именно солнечная энергия поддерживает жизнь на Земле. Минимальное такое «использование», происходящее на всех планетах, – это не дать им остыть. Солнечное излучение поддерживает более или менее постоянной температуру поверхности планет, которая без него неумолимо уменьшалась бы. Мощность электромагнитного излучения, отдаваемая планетой в космос, является функцией температуры T ее поверхности и длины волны: F (T, λ). С другой стороны, мощность Р (λ), получаемая планетой от Солнца, известна. Поскольку эти две мощности практически равны[5], мы можем заключить, что F (T, λ) = P (λ); это уравнение теоретически определяет температуру T поверхности. Для этого хорошо бы вычислить функцию F (T, λ). Можно ли предположить, что эта функция соответствует спектральной плотности мощности излучения абсолютно черного тела? Такая гипотеза близка к реальности в случае планеты без атмосферы. К счастью для нас, Земля обладает атмосферой (илл. 6), ибо без нее средняя температура поверхности Земли была –16 °C, что не способствует поддержанию жизни, тогда как на самом деле она составляет 15 °C.

6. Атмосфера Земли, сфотографированная из космоса. Ее плотность уменьшается с набором высоты. Толщина атмосферы невелика по сравнению с радиусом Земли: 90 % ее массы сосредоточено между земной поверхностью и высотой 16 км

Парниковый эффект

Какую роль играет атмосфера для поддержания этой разницы в три десятка градусов? Она удерживает большую часть излучения, испускаемого Землей, с помощью механизма, который был объяснен Жозефом Фурье (1768–1830) в начале XIX века: «Температура повышается из-за наличия атмосферы, потому что тепло встречает меньше препятствий для проникновения сквозь воздух в виде света, чем после преобразования в скрытое тепло», – писал он. Сегодня «скрытое тепло» называется инфракрасным излучением (с длиной волны приблизительно от 0,7 до 500 мкм); помимо этого лексического уточнения, анализ Фурье точен. Атмосфера легко пропускает большую часть солнечного излучения с максимумом интенсивности в части видимого спектра, которое может «пронизывать воздух», в то время как инфракрасное излучение, испускаемое почвой, в значительной степени атмосферой поглощается и возвращается в космос только после длительных перипетий (илл. 7). А именно, сначала оно поглощается молекулами атмосферы, затем вновь переизлучается с различными частотами, и так много раз. Это явление называется парниковым эффектом, потому что в парниках – садовых теплицах – потери энергии посредством излучения ограничивают, устанавливая окна из стекла или пластика, которые не пропускают инфракрасное излучение.

7. Радиационный баланс теплообмена на земной поверхности и в атмосфере Земли. Тепло, исходящее от Солнца, частично отражается, частично рассеивается, частично поглощается, а затем повторно излучается после различных процессов. (R. Delmas et al., Atmosphère, océan et climat, Belin 2012)

Конвекционный нагрев атмосферы Земли

Мы говорили выше о том, что температура поверхности Земли определяется балансом между энергией, получаемой от Солнца, и энергией, излучаемой в космос. Последняя частично определяется излучением почвы, но в значительной степени – излучением атмосферы. В зависимости от длины волны максимум этого излучения приходится на разные высоты. Поэтому нам важно понять структуру атмосферы.

Атмосферное давление P уменьшается с ростом высоты z, так как сила, с которой атмосфера давит на выбранную поверхность, определяется весом находящегося над ней столба воздуха. Условие механического равновесия требует выполнения равенства dP/dz = –ρg, где g – ускорение силы тяжести и ρ – плотность воздуха. Последняя, согласно закону Гей-Люссака, пропорциональна отношению P/T, где T – абсолютная температура. Таким образом, давление в предположении постоянства температуры атмосферы падает с увеличением высоты экспоненциально. Грубая оценка приводит к падению давления вдвое при увеличении высоты на 6000 м. Однако давление на любой высоте может меняться на несколько процентов в разные дни, а давление на уровне моря варьирует от одной точки к другой по отношению к «нормальному давлению» 101,3 кПа даже в одно и то же время. Почему любое понижение давления не компенсируется сразу же перемещением воздуха из зон более высокого давления? Дело в том, что такой компенсации часто противодействует вращение Земли, и сила Кориолиса (см. главу 4, «Сила Кориолиса»), а также другие процессы иногда могут стабилизировать зоны высокого или низкого давления на протяжении нескольких недель.

Кроме того, следует принимать во внимание, что в нижних слоях атмосферы температура, как правило, падает с ростом высоты. Причина этого явления заключается в том, что солнечное тепло в основном накапливается у поверхности Земли, откуда оно затем перераспределяется по толще атмосферы. Это перераспределение происходит частично путем излучения, но преимущественно посредством конвекции (илл. 8): находящийся у поверхности Земли горячий воздух поднимается вверх, в то время как более холодный опускается вниз.

8. Демонстрация конвекции путем нагрева емкости с водой. Вода на дне емкости нагревается и поднимается, создавая в емкости циркуляцию

Конвекция вовлекает в движение значительные воздушные массы, иногда даже в глобальном масштабе (илл. 9). Поднимающиеся тепловые массы доходят до областей с более низким давлением, и их объем увеличивается. Это увеличение объема в соответствии с законами термодинамики предполагает охлаждение (поскольку воздух является плохим проводником тепла, то его расширение адиабатично, см. главу 13, врезку «Передача тепла от холодного источника горячему»; именно расширение газов является одним из классических процессов охлаждения). Параметры такого охлаждения нетрудно рассчитать для сухого воздуха: при увеличении высоты на один километр его температура уменьшается на 6,5 °C. Однако понижение температуры с набором высоты не является абсолютным законом: она изменяется локально в зависимости от различных параметров. И главное, температура снижается только до высоты около 11 к м, где она составляет в среднем –56 °C. При дальнейшем наборе высоты (илл. 10) температура повышается! Это связано с тем, что конвекционные движения затрагивают лишь часть атмосферы, называемую тропосферой, которая находится ниже этой высоты. Выше находится стратосфера, где нагревание обеспечивается уже не Землей, а непосредственно Солнцем. Его ультрафиолетовые лучи поддерживают температуру около 0 °C на высоте в 50 км. Механизм выделения тепла здесь заключается в поглощении ультрафиолета кислородом O₂, в результате чего образуется озон O₃ и выделяется тепло.

9. Основные конвективные движения воздуха в атмосфере и циркуляция ветров. Характерными являются воздушные потоки вблизи экватора с образованием так называемых конвекционных ячеек Хэдли. Именно они в совокупности с силой Кориолиса являются причиной формирования пассатов – ветров, которые систематически дуют с востока на запад (см. главу 4, «Метеорологические проявления силы Кориолиса»)

10. Изменение средней атмосферной температуры (красная линия) с высотой в самых низких слоях атмосферы. Тропосфера, которая простирается до дюжины километров над уровнем моря, – место наибольшей активности большинства погодных явлений

Круговорот воды в природе играет значительную роль в обмене тепловыми потоками на глобальном уровне. Воздух, который находится прямо над океанами, наполняется водяным паром посредством испарения. Охлаждение воздуха в результате восходящего движения приводит к конденсации водяного пара, в результате чего выделяется тепло (см. главу 15, «Что хуже: обвариться или ошпариться?»). Таким образом формируются облака, и составляющие их микрокапельки позднее прольются дождем, который охладит почву.

Теплообмен осуществляется и через океанские течения. Они играют в формировании климата менее очевидную роль, чем атмосфера, но хорошо известно, что в зависимости от долготы морские течения могут делать локальный климат теплым или холодным на одной и той же широте. Например, Гольфстрим значительно согревает побережье Западной Европы, климат которой более мягок, чем климат Восточной Канады. Эти потоки имеют глобальные масштабы и весьма стабильны.

Хотя конвекция является основным видом теплопередачи от верхней к нижней части тропосферы, не следует забывать и о важности излучения. Именно оно несет всю ответственность за переизлучение энергии в космос, а также за передачу части энергии из почвы или моря в нижние слои атмосферы.

Атмосфера состоит преимущественно из молекул азота (около 78 % по объему) и кислорода (около 21 %). Вопреки предположению Фурье, инфракрасное излучение поглощают не эти газы. Поглощение происходит главным образом благодаря водяному пару H₂O, углекислому газу CO₂ и метану CH₄ (эти так называемые парниковые молекулы составляют чуть более 1 % воздуха по массе), а также облакам. Уже в середине XIX века Джон Тиндаль (см. главу 6, «Физики-музыканты») понял, что инфракрасное излучение молекулами кислорода и азота не поглощается.

Испускание (или поглощение) электромагнитного излучения молекулой обусловлено колебаниями отрицательных электрических зарядов относительно положительных. В видимой области эти колебания определяются переходами между электронными энергетическими уровнями. В инфракрасном диапазоне колеблются параметры химических связей между атомами: длина связи (межъядерное расстояние между химически связанными атомами) или угол между двумя связями колеблются вокруг их среднего значения. Таким образом, молекулу воды можно рассматривать как отрицательно заряженный атом кислорода, колеблющийся относительно положительно заряженных атомов водорода (эти заряды появляются из-за разницы электроотрицательности между атомами кислорода и водорода, см. главу 16, «Скин-эффект и сырой окорок»). Точно так же молекулу углекислого газа можно представить как положительно заряженный атом углерода, колеблющийся относительно отрицательно заряженных атомов кислорода. Когда такие молекулы возбуждены, они перестают быть симметричными, что приводит к смещению отрицательных электрических зарядов относительно положительных (илл. 11). С другой стороны, когда возбуждена молекула кислорода или азота, то ее центр симметрии, который также является центром тяжести положительных и отрицательных зарядов, остается на месте. Последнее обстоятельство делает невозможным поглощение и испускание этими двумя молекулами инфракрасного излучения.

11. Некоторые из молекул, составляющих атмосферу. Молекула кислорода O₂ симметрична и сохраняет эту симметрию при колебаниях. Она не может поглощать или излучать инфракрасное излучение. То же касается и молекулы азота N₂. Молекула воды асимметрична, и ее колебания изменяют место положительных и отрицательных электрических зарядов относительно друг друга, что позволяет ей поглощать и излучать инфракрасное излучение. Молекулы углекислого газа и метана в среднем симметричны, но колебания разрушают эту симметрию, позволяя испускать и поглощать инфракрасное излучение

Поглощение инфракрасного излучения «парниковыми» молекулами (H₂O, CO₂, CH₄) существенно зависит от длины волны. Разность между спектром поглощения этих молекул и спектрами линий атома (илл. 2) или непрерывным спектром абсолютно черного тела (илл. 4) поражает. В некоторых «запрещенных» полосах поглощение и излучение невозможны; в «разрешенных» полосах интенсивность излучения систематически колеблется на порядок (илл. 12).

12. Коэффициент поглощения чистого диоксида углерода при 20 °C под давлением 10⁵ Па в двух разных масштабах. На оси абсцисс откладывается «волновое число» k, которое равно 2π, деленное на длину волны (то есть k = 2π/λ). Коэффициент поглощения определяется параметром kρ (где ρ – плотность поглощающей среды), определяющим вероятность поглощения фотона на единицу длины.

Значительные колебания (вплоть до десяти раз) коэффициента поглощения при малых изменениях длины волны приводят к существенным колебаниям и соответствующему вкладу в парниковый эффект. (По R. T. Pierrehumbert, Principles of Planetary Climate, Cambridge University Press, 2010)

В зависимости от длины волны инфракрасные фотоны, излучаемые Землей, могут иметь очень разное будущее. Они могут пройти через атмосферу Земли, не будучи поглощенными, если оказываются в «запрещенной» полосе длин волн как для воды, так и для углекислого газа. Если же их длины соответствуют максимальному поглощению молекул парниковых газов, то такие фотоны поглощаются уже через несколько метров. Затем эти молекулы вновь переизлучают фотоны, которые поднимаются выше, и т. д. Фотоны, которые в конечном итоге возвращаются в космос, оказываются переизлученными на большой высоте, где температура ниже земной. Таким образом, в инфракрасном излучении, возвращаемом в космос, оказывается меньше фотонов инфракрасного диапазона, чем поглощенных, и Земля, благодаря такому «естественному» парниковому эффекту, нагревается.

С XIX века к природному парниковому эффекту, который обусловлен естественным наличием в атмосфере водяных паров и углекислого газа, добавился дополнительный парниковый эффект. Дело в том, что человек сжигает так называемое ископаемое топливо, которое природа накапливала в течение миллионов лет: уголь, нефть, газ. Сжигание этого топлива высвобождает углекислый газ, и в краткосрочной перспективе последнему некуда деваться. Он может раствориться в дождевой воде и оказаться в океане, но способность океанов накапливать углекислый газ ограничена (к счастью для рыб). Таким образом, с начала промышленной эры концентрация этого газа в атмосфере значительно возросла (илл. 14). Без изменений в энергетической политике она увеличится еще сильнее. Скорее всего, результатом этого станет повышение температуры нижних слоев атмосферы, что приведет к печальным последствиям.

13. Изменение концентрации CO₂ в атмосфере, выраженное числом частиц на миллион, измеренное в обсерватории Мауна-Лоа на Гавайском архипелаге

14. Изменение температуры с 1880 по 2010 год. Температуры, показанные красной линией, – средние за пять лет, поэтому не отражают изменения, происходящие от года к году

Кроме того, в результате деятельности человека вырабатываются и другие парниковые газы, атмосферные объемы которых в прошлом были незначительными. Например, в настоящее время интенсивное сельское хозяйство производит значительное количество метана. Это для атмосферы относительно «новый» газ, хотя он известен с давних времен: например, из-за метана происходили многочисленные смертоносные взрывы в угольных шахтах. Его концентрация в атмосфере начала расти с середины XX века. Увеличение этой концентрации, в частности в результате интенсивного разведения жвачных животных, создает новые барьеры для инфракрасного излучения, которое когда-то уходило прямо в космос. Метан является фактором, усугубляющим глобальное потепление Земли.

Факт глобального потепления неоспорим (илл. 14): средняя температура увеличилась на полградуса с 1970 года. Является ли это следствием увеличения концентрации диоксида углерода и, следовательно, деятельности человека? Скорее всего, да, утверждает Межправительственная группа экспертов по изменению климата (МГЭИК, от англ. IPCC, Intergovernmental Panel on Climate Change), хотя точная оценка его воздействия довольно сложна. К непосредственному воздействию углекислого газа, относительно низкому, добавляется множество усиливающих или компенсирующих косвенных факторов. Один из них – концентрация водяных паров в атмосфере: избыток углекислого газа приводит к небольшому повышению температуры, что приводит к возрастанию давления насыщенного водяного пара. Это значительно увеличивает концентрацию водяных паров в атмосфере и, следовательно, усиливает парниковый эффект!

Грядущий климат во многом будет зависеть от человеческой деятельности. Хотя потепление в ХХ веке составило лишь полградуса, в XXI веке расчеты предсказывают изменение уже на несколько градусов (от 1 до 4 °C в соответствии с предполагаемыми сценариями). Расчеты недостаточно надежны, чтобы точно определить последствия деятельности человека для климата, но крайне маловероятно, что они окажутся несущественными. В частности, потепление приводит к значительному повышению уровня Мирового океана (который уже растет на 3 мм ежегодно, по данным с 1990 по 2010 год). Это происходит из-за таяния ледников и других более сложных и, вероятно, более серьезных последствий.

Согласно сообщениям МГЭИК, с 1970 года экстремальные явления, такие как жара и сильные осадки, значительно участились. Аналогичная тенденция наблюдается во многих регионах в отношении засухи, а в некоторых – и в отношении тропических циклонов. Еще один весомый аргумент, который касается засухи и осадков, заключается в следующем: если повысится средняя температура, следует ожидать, что увеличатся и перепады температуры и, следовательно, конвективные движения станут более интенсивными. Это коснется, например, ячеек Хэдли (см. илл. 9) и сопутствующих им пассатов. Таким образом, последствия таких конвективных движений проявятся намного сильнее: влажные зоны станут еще более влажными, а засушливые районы – более сухими.

Удастся ли человечеству остановить это повышение температуры? Сокращение выбросов парниковых газов сопряжено с экономическими и социологическими трудностями, которые не рассматриваются в нашей книге. В то же время следует отметить осознание этой проблемы, что воплотилось в создании упомянутой выше МГЭИК. Эта объединяющая ученых со всего мира и консультирующая правительства организация уникальна. В 2007 году МГЭИК получила Нобелевскую премию мира.

Британский физик Осборн Рейнольдс (1842–1912) был выдающимся специалистом по гидродинамике. Возможно, благодаря изучению движения приливов во время его прогулок по пляжу? Однажды он сделал следующее наблюдение, которое впоследствии представил на конгрессе Британской ассоциации в 1885 году: «Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становится сухим… Надавливание ноги разрыхляет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит… Оно делает песок сухим до тех пор, пока снизу не прибудет достаточное количество воды» (илл. 1). По словам Рейнольдса, давление, оказываемое ногой, вызывает разрыхления песка, и в результате вода уходит в зазоры между окружающими песчинками, поэтому песок и становится сухим.

Это явление разрыхления кажется противоречащим здравому смыслу. Почему давление увеличивает пространство между песчинками, тем самым заставляя воду уходить? Ответ связан со структурой этой смеси воды и песка. Для простоты мы предположим, что песчинки сферические и одинаковые, и это приведет нас к задаче об укладке твердых шаров. А далее в этой главе мы зададимся вопросом, как укладывать атомы…

Можем ли мы заполнить все пространство твердыми шарами? Очевидно, нет, поскольку между ними всегда будет оставаться некоторое свободное пространство. Объем пространства, занимаемого шарами, определяет плотность упаковки. Чем меньше свободного пространства между ними, тем компактнее и плотнее эта упаковка. Как получить максимальную плотность при упаковке идентичных твердых шаров? Ответ на этот вопрос прояснит тайну песка, высыхающего под стопой.

1. Вокруг стопы, давящей на песок, возникает сухая область

Для начала рассмотрим аналогичную задачу, но на двумерном, а не трехмерном пространстве: как разместить одинаковые диски в плоскости. Для начала возьмем три диска. Наиболее компактной упаковкой будет являться такая, когда каждый диск касается двух других, то есть центры всех трех дисков образуют равносторонний треугольник. При наличии большего количества дисков наиболее компактная упаковка получается путем объединения таких групп, составленных из трех дисков (илл. 2a). Предлагаем читателю рассчитать долю площади плоскости, покрытой дисками: она равна или 90,7 %. Интересно сравнить этот случай с покрытием, изображенным на илл. 2b, где доля площади, занимаемой дисками, составляет лишь π/4, или 78,5 %.

Интуиция подсказывает, что именно такая упаковка, как на илл. 2а, наиболее компактная из всех возможных. Каждый диск касается еще шести, и невозможно сделать так, чтобы он касался большего количества дисков. Тем не менее тот факт, что количество точек соприкосновения между дисками является максимальным, еще не является достаточным доказательством того, что пространство, занимаемое заданным числом дисков, минимально. Точное доказательство было найдено лишь в XX веке.

2. Два типа упаковки одинаковых дисков на плоскости. a. Наиболее компактная упаковка. b. Менее компактная упаковка, при которой диски вписываются в квадратную сетку

Можно заметить, что диски при наиболее компактной упаковке могут быть вписаны в шестиугольники, которые полностью покрывают плоскость, – как, например, терракотовая плитка (илл. 2а): в таком случае говорят, что происходит «замощение» плоскости шестиугольниками. Именно такое мощение шестиугольниками осуществляют пчелы для постройки сот (илл. 3). Есть лишь два других способа замостить плоскость одинаковыми правильными многоугольниками: квадратами (илл. 2b) или треугольниками (илл. 4).

3. Создавая соты, пчелы выстраивают их шестиугольниками. Возможно, такое расположение максимально удобно для личинок. К тому же оно экономит воск. В самом деле, длина границ, разделяющих области равных площадей, будет наиболее короткой при упаковке правильными шестиугольниками

Это утверждение легко доказывается. В правильном многоугольнике, у которого n сторон, каждый угол равен α = 180° – 360°/n. С другой стороны, если каждая вершина многоугольника является общей с (m – 1) другими многоугольниками, то α = 360°/m. Поэтому для целых чисел m и n должно выполняться условие 2/m = 1 – 2/n, что возможно лишь для n = 3, 4 или 6 (в чем читатель может убедиться без особых усилий). В частности, невозможно выложить паркет из правильных пятиугольников!

Хотя для задачи компактной укладки дисков почти нет практического применения, в реальном трехмерном мире часто рассматривается аналогичная задача (просто заменим диски на цилиндры). Например, электрические провода (цилиндрической формы) обычно собираются в компактные пучки. Это относится и к сверхпроводящим кабелям (см. главу 25, «Технология сверхпроводящих кабелей»), которые состоят из множества сверхпроводящих жил, заключенных в медную оболочку. Изначально провода имеют цилиндрическую форму, но после обжатия они превращаются в шестиугольные призмы!

Формальное доказательство гипотезы Кеплера

В отличие от «классических» математических доказательств, написанных на языке формул, доказательство гипотезы Кеплера американский математик Томас Гейлс частично доверил компьютеру. Использование программных продуктов, помогающих ученым в их работе, бурно развивается в последние десятилетия. Подобное программное обеспечение помогает математикам в поисках решений как давно существующих, так и новых открытых проблем. К тому же они освобождаются и от скрупулезной проверки, которую теперь выполняет компьютер, – ведь его вычислительная мощность намного выше человеческой.

Полное доказательство, предложенное Гейлсом, представляет собой серию статей на более чем 250 страницах, а компьютерные коды занимают почти три гигабита памяти. Кто бы взялся прочесть их во всех подробностях и полностью вникнуть в суть доказательства Гейлса? Даже используя помощь компьютера, рецензенты статьи, опубликованной Гейлсом в 2005 году в Annals of Mathematics[6], не взялись утверждать, что предложенное им доказательство гипотезы Кеплера безупречно. И только в августе 2014 года команда Гейлса представила аргументы, которые привели к окончательному официальному признанию его доказательства! Как бы там ни было, но все и так давно были уверены, что предложенная Кеплером упаковка является максимально компактной. Ведь если бы это было не так, то за более чем три столетия кто-нибудь нашел бы лучшую, не так ли?

А теперь давайте выйдем из плоскости. Шары реального мира трехмерны, как и само пространство. Как можно их разместить наиболее компактным способом? Давайте попробуем: разумно будет для начала сформировать компактный плоский слой в соответствии с илл. 2. Затем выложим сверху идентичный слой, убедившись, что число точек соприкосновения максимально. Если это так, то каждый шар верхнего слоя касается трех шаров нижнего слоя, и наоборот (илл. 5a). Затем кладем третий слой, чтобы каждый из его шаров коснулся трех шаров второго слоя, и т. д. В результате каждый шар касается еще 12 шаров: шести в том же слое, трех в нижнем и трех в верхнем (илл. 5b). То же самое происходит и в следующих слоях.

4. Покрытие плоскости треугольниками. Центры дисков с илл. 2а образуют такую «сеть из треугольников»

5. Пример наиболее компактной упаковки шаров. a. На компактный плоский слой (желтого цвета) укладывается идентичный слой (красного цвета) таким образом, чтобы каждый красный шар касался трех желтых шаров. b. Третий слой может быть уложен двумя различными способами, при этом шары в нем либо расположены строго над шарами первого слоя (как синий шар), либо смещены (как белый шар)

Решили ли мы задачу? Является ли такая упаковка шаров наиболее плотной? Да, считал ученый XVII века Иоганн Кеплер (более известный открытием траектории движения планет вокруг Солнца. Он доказал, что планета описывает вокруг Солнца эллипс, в одном из фокусов которого оно и находится). Но у Кеплера не было доказательства для задачи об укладке шаров. В отличие от двумерного случая, строгое доказательство действительно очень сложно! Так сложно, что задача об укладке шаров (часто называемая «задачей Кеплера») фигурирует в известном списке, составленном в начале XX века немецким математиком Давидом Гильбертом, где были собраны приоритетные, на его взгляд, математические задачи.

Только в 1998 году американский математик Томас Гейлс объявил, что он решил эту задачу (см. врезку). Как и ожидалось, Кеплер был прав: упаковка компактных двумерных слоев действительно оказывается наиболее компактной трехмерной реализацией (илл. 6). Процент пространства, заполненного шарами, в таком случае составляет около 74 %. Если быть более точными, то читатель, имеющий достаточно храбрости[7], может убедиться, что доля объема пространства, заполненного шарами, составляет Это довольно мало.

6. Витрина с апельсинами – практический пример компактной укладки твердых шаров

«Поцелуи» шаров в задаче Кеплера

В описанных выше компактных укладках каждый шар контактирует с 12 соседями. Но если рассматривать только один центральный шар, то, возможно, удастся расположить вокруг него большее количество шаров? И сколько шаров в таком случае можно разместить в общей сложности вокруг одного? Это максимальное число в английском языке называют kissing number («число поцелуев» между шарами).

Аналогичная задача в двумерном пространстве уже обсуждалась в разделе «Если бы мир был плоским…». На основе рассуждений или из опыта (ниже) легко увидеть, что «число поцелуев» на плоскости равно шести. Если еще несколько раз воспроизвести полученную локальную упаковку, то так можно замостить всю плоскость.

Для трехмерного случая решение не столь очевидно. Чтобы получить представление о явлении, ничто не помогает так, как наглядный эксперимент! Если у вас найдется достаточное количество мячиков или шаров для пинг-понга, скрепите их суперклеем; или, еще проще, чтобы не испачкаться, положите шарики в прозрачный пакет и попытайтесь сделать его как можно компактнее. Вы убедитесь, что более 12 шаров разместить вокруг центрального не удается. Тем не менее место между ними еще остается, и можно предположить, что, как-то постаравшись, 13-й шар можно было бы между ними вписать (см. илл. далее). В XVII веке этот вопрос стал предметом полемики между Исааком Ньютоном и математиком Дэвидом Грегори. Последний, в отличие от Ньютона, как раз и считал, что рядом с центральным шаром возможно втиснуть и 13-й шар. Сегодня мы знаем, что прав был Ньютон; доказательство этого впервые было найдено лишь через три столетия, в 1953 году.

Так что, разве точное установление «числа поцелуев» в пространстве не дало ответ на задачу Кеплера? Увы, нет! Существует множество способов размещения 12 периферийных шаров вокруг центрального, что делает задачу очень сложной. Один из таких способов упаковки – это гранецентрированная кубическая решетка (см. главн 8, «Задача с многочисленными решениями»). Центры соседних шаров в этом случае образуют неправильный многогранник, называемый кубоктаэдром Кеплера (ниже). Он имеет 14 граней (восемь равносторонних треугольников и шесть квадратов). На треугольных гранях кубоктаэдра три шара уложены максимально компактно, так как ребра этих граней равны диаметру шаров и, следовательно, шары никак не могут располагаться ближе друг к другу. То же самое можно сказать и о квадратных гранях.

Когда вокруг центрального шара располагают 12 периферийных без какого-то особого порядка, то их центры обычно образуют икосаэдр (многогранник с 20 треугольными гранями), который может быть как правильным, так и неправильным. Если вычислить длину ребер икосаэдра, окажется, что они больше диаметра шаров[8]. Таким образом, можно немного изменять положение периферийных шаров, не отрывая их от центрального шара.

Даже когда очевидно, что наиболее компактная укладка шаров – укладка такими многогранниками, еще предстоит определить, какими именно. Кубоктаэдром? Икосаэдром? Обычный икосаэдр имеет меньший объем, но пространство невозможно заполнить путем укладки правильных икосаэдров. Вот насколько сложна задача Кеплера…

Сколько одинаковых монет можно разложить на столе, чтобы они касались монетки, помещенной в центре? Легко продемонстрировать, что можно разместить максимум шесть штук

В пространстве размещается максимум 12 одинаковых шаров (зеленого цвета на илл.) вокруг центрального шара (синего цвета). Однако между зелеными шарами остается свободное пространство, это позволяет предположить, что возможно вместить и 13-й шар

a. Фигура, образованная окружением атома в гранецентрированном кубическом кристалле, представляет собой кубоктаэдр Кеплера. (Примечание: мы перевернули этот многогранник, поэтому вертикальная ось на илл. а не совпадает с вертикальной осью на илл. 7b.) b. Еще один 12-вершинный многогранник: обычный икосаэдр

Удивительно, но описанная нами укладка не уникальна. Есть два способа уложить второй слой шаров на первый, но они эквивалентны. Но вот третий слой может быть размещен двумя различными способами. Так, его можно расположить строго над первым слоем (илл. 7a) или же сместить относительно него (илл. 7b). При укладке каждого последующего слоя возможны оба варианта, поэтому задача Кеплера имеет бесконечное количество решений. Эта множественность решений и влечет за собой всю сложность задачи (см. врезку). Среди всех этих решений два имеют особое значение:

а) упаковка, получаемая путем размещения n-го слоя строго над (n – 2)-м слоем независимо от n;

b) упаковка, получаемая путем смещения n-го слоя относительно (n – 2)-го слоя.

Природа дает нам многочисленные примеры структур, которые следуют одному из этих правил, например некоторые кристаллы. Кристаллы сформированы из периодически повторяющихся «упаковок» атомов, молекул или ионов в пространстве (см. также главу 9, «Случайно расположенные шарики»). Построенные по правилу (a) кристаллические структуры называют «плотноупакованными гексагональными»; по правилу (b) – «гранецентрированными кубическими структурами». Многие химические элементы, например кобальт, цирконий, имеют гексагональную плотноупакованную структуру.

7. Компактная упаковка шаров. a. Случай, когда третий слой помещается строго над первым (гексагональная упаковка). b. Случай, когда третий слой смещен относительно первого. В таком случае четвертый слой находится над первым (кубическая гранецентрированная решетка)

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале этой главы. Какова взаимосвязь между компактной укладкой шаров и следами ног на песке?

Даже если читатель находится далеко от песчаного пляжа, он может поставить следующий, очень простой опыт, который иллюстрирует сделанный Рейнольдсом вывод. Для этого возьмите мягкий пластиковый стаканчик и наполните его песком, затем пропитайте водой до тех пор, пока она не проступит на поверхности (илл. 8). Далее сожмите верхнюю часть стакана, и вода исчезнет, проникнув в зазоры между песчинками. Все происходит так, будто песок «расширяется», и его верхняя граница поднимается над уровнем воды.

8. Свидетельство эффекта расширения песка под действием давления. a. Мягкий пластиковый стаканчик, содержащий песок, заполняется водой до тех пор, пока она не выступит на поверхность. b. Когда стакан сплющивают посередине, вода исчезает с поверхности песка

Этот эффект расширения возникает только в том случае, если первоначальное расположение песчинок было достаточно компактным. Но почему отлив оставляет песок в таком компактном расположении? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим механизмы, которые способствуют более или менее компактной укладке.

9. Объяснение эффекта разрыхления песка. Под действием силы, приложенной ногой, одна из песчинок (здесь отмеченная желтым цветом) оказывается над другой (коричневой). (См.: É. Guyon et al., Ce que dissent les fluides, Belin, 2011)

Давайте начнем с простого опыта, который читатель может выполнить на кухне (если, конечно, он не делал этого раньше!). Возьмем стеклянный стакан, лучше граненый, и до краев наполним его сахарной пудрой. Затем стакан слегка потрясем или аккуратно похлопаем по нему: сверху появится свободное место, и теперь в стакан можно всыпать еще пудры!

В 1960 году английский ученый Г. Скотт измерил это явление количественно. Он помещал одинаковые маленькие шарики в сосуды различных размеров и определял процент заполнения. Он удостоверился, что этот показатель зависит от того, как именно заполнять сосуд. Если бросать шарики в емкость по одному, заполнение составляет около 60 %, что значительно ниже максимума в 74 %, который достигается при наиболее компактном расположении. Если же встряхивать сосуд во время опускания шариков, заполнение достигает 64 % – оно выше, но все еще остается далеким от максимального значения.

Таким образом, результаты, полученные Скоттом, подтверждают и уточняют наше наблюдение: компактность зернистой среды, такой как песок, эффективно повышается путем встряхивания системы. Как же объяснить роль тряски? Шарик, находящийся на дне полости, пребывает в состоянии устойчивого равновесия и при не слишком больших отклонениях системы будет его сохранять. В то же время такой же шарик, находящийся в верхней части горки, пребывает в неустойчивом равновесии, и при встряхивании он, желая понизить свою потенциальную энергию, сдвинется вниз. Примерно это и происходит в рассматриваемом опыте: когда вы встряхиваете шарики, находящиеся в контейнере, некоторые из них проскальзывают в свободные пустоты. При этом уровень наполнения емкости уменьшается, что перемещает центр масс системы вниз и уменьшает ее потенциальную энергию в поле сил тяжести.

Наконец-то, мы можем объяснить загадку Рейнольдса. Отступающее море посредством набегающих и уходящих волн встряхивает песок, так что песчинки, падая, укладываются компактно (хотя, вероятно, не самым оптимальным образом). Когда нога мистера Рейнольдса надавливает на песок, то она заставляет его деформироваться: песчинки сдвигаются, а зазоры между ними увеличиваются (илл. 9). В результате вода уходит в образовавшиеся между песчинками полости, и вокруг отпечатка стопы появляется сухая область.

Об интересе физики к факирам

Кажущееся парадоксальным свойство сыпучих сред было хорошо известно еще индийским факирам. Один из их фокусов состоял в том, чтобы многократно вонзать тонкий нож в сосуд с узким горлышком, до краев наполненный рисом. Через некоторое время нож застревал в рисе, и тогда, если потянуть нож вверх, можно было вместе с ним приподнять весь сосуд! Хитрый факир, вероятно, встряхивал емкость, заполняя ее рисом, чтобы получить достаточную компактность упаковки. Погружая в него нож, он заставлял рисовые зерна сдвигаться друг на друга, что увеличивало пространство между ними. Давление и трение, которые они испытывали из-за ножа, возрастали, что в конечном итоге препятствовало его извлечению из сосуда.

Физик Пьер-Жиль де Жен любил демонстрировать этот простой опыт на своих лекциях: нож заменялся рукояткой метлы, рис – песком, а факир… лауреатом Нобелевской премии по физике!

Вариант опыта индийского факира

а. Плотно заполнить песком емкость с удерживаемой посередине палкой.

b. Постепенно утрамбовать песок, постукивая по стенкам контейнера.

c. Взяться за палку и потянуть вверх – емкость поднимается вместе с ней!

В этой главе прогулка по пляжу позволила нам изучить математическую задачу оптимального заполнения пространства твердыми шарами. Хотя атомы на самом деле не являются шариками, тем не менее они обладают некоторыми схожими свойствами. Это позволит нам в следующей главе рассмотреть структуру материи…

В начале XVII века Иоганн Кеплер был поражен формой снежных кристаллов. Большинство из них, как и шестиконечные снежинки (илл. 1), имеют гексагональную симметрию: соседние лучи образуют между собой угол 60°. Этот угол появляется и при компактной упаковке дисков (илл. 2), так как центры соседних кругов образуют равносторонние треугольники; также он возникает и при компактной укладке шаров (илл. 5). Вероятно, именно эти соображения привели Кеплера к предположению, что кристаллы снега состоят из компактно упакованных микроскопических шариков. Как мы вскоре увидим, эта гипотеза оказалась ошибочной. Тем не менее для ученых следующих поколений она послужила базисом в развитии других теорий, составивших прочную основу для атомной теории материи.

1. Кристаллы снега. Формы, принимаемые снежинками, чрезвычайно разнообразны. Помимо прочего, они зависят от влажности и температуры

Французский ученый аббат Рене-Жюст Гаюи (1743–1822) считается основателем науки, которая изучает кристаллы, – кристаллографии. В своем опубликованном в 1784 году эссе о структуре кристаллов он выдвинул гипотезу, что любой кристалл состоит из повторяющихся одинаковых маленьких кирпичиков (илл. 2). Такое микроскопическое представление родилось из длительного наблюдения и изучения макроскопических форм кристаллов (илл. 3).

Идея о том, что кристалл образован трехмерной «упаковкой», была позднее, в 1824 году, подхвачена немецким физиком Людвигом Августом Зибером. Он, в свою очередь, предположил, что тела в своей основе состоят из маленьких твердых шаров, которые взаимодействуют друг с другом. Действительно, для многих тел можно приближенно считать, что составляющие их атомы – это твердые шарики, которые притягиваются друг к другу. Но на самом деле атомы таковыми не являются, а лишь обладают некоторыми свойствами, подобными свойствам твердых шаров. Так, два атома, оказывается, чрезвычайно трудно сблизить на расстояние, меньшее суммы их «атомных радиусов». Это выражение, обычно используемое в лабораториях и научных книгах, показывает, что исследователи до сих пор не потеряли привычку представлять атомы как маленькие шарики! Этот атомный радиус составляет порядка 10^–10 м (немного меньше для атомов водорода, кислорода и углерода и немного больше для металлов).

Но вернемся к кристаллам. Если «твердые шарики», которые их образуют, притягиваются друг к другу, то, для того чтобы минимизировать расстояние между ними и, следовательно, их потенциальную энергию взаимодействия, атомы должны образовать компактную структуру, как это было описано нами в главе 8, «Задача с многочисленными решениями». И действительно, многие элементы таблицы Менделеева при достаточно низких температурах представляют собою гранецентрированные кубические структуры, как это показано на илл. 7b в главе 8. К примеру, серебро, золото, медь, никель – все это кубические гранецентрированные кристаллы, всего 35 элементов. Однако, как мы увидим далее, не все кристаллы компактны.

2. Рисунки Рене-Жюста Гаюи, давшего свое толкование двух форм, принимаемых кристаллами пирита, или железного колчедана (FeS₂). По Гаюи, любой кристалл представляет собой набор небольших идентичных параллелепипедов, соединенных гранями. Эти параллелепипеды очень малы, так что слои невооруженным глазом не видны, а грани выглядят гладкими

Современная кристаллография для изучения структуры кристаллов имеет высокоэффективные экспериментальные методы. Мы уже говорили о том, что кристаллы представляют собой периодически повторяющиеся в пространстве компактные группы атомов, молекул или ионов (глава 8, «Задача с многочисленными решениями»). Каждая из этих элементарных ячеек описывает свойства всего кристалла: они просто периодически повторяются вдоль трех независимых направлений в пространстве. Таким образом, можно сказать, что в кристалле существует «дальний порядок». Электронная микроскопия (в частности, электронная туннельная микроскопия) позволяет получать изображения, на которых оказываются различимыми отдельные атомы (см. главу 28, «Взгляд в наномир»), и, таким образом, становится очевидным их регулярное расположение. Атомы предстают здесь маленькими шариками, но это не должно заставлять нас забыть, что на самом деле они имеют куда более сложную структуру: каждый атом состоит из положительно заряженного ядра, окруженного электронным облаком.

3. Кристалл пирита (FeS₂), также известного как «золото дураков» (Fool’s Gold). Пирит получил такое прозвище во времена золотых лихорадок из-за внешней схожести с золотом. Этот кристалл естественным образом принимает разнообразные геометрические формы, от простейших (например, куб) до самых причудливых, которые очень радуют коллекционеров

Однако электронная микроскопия позволяет изучать только поверхность кристалла. Наиболее распространенным методом изучения внутренней структуры кристалла является дифракция рентгеновских лучей (см. главу 9, врезку «Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах»). Оказывается, что если на кристалл направить рентгеновское излучение, то рентгеновские лучи рассеиваются решеткой в различных направлениях по-разному, что приводит к возникновению интерференционной картины чередующихся минимумов и максимумов. Поместив на пути лучей фотографическую пластину, можно получить изображение, называемое дифрактограммой, по которому можно судить о структуре кристалла. Первые дифрактограммы были получены немецким ученым Максом фон Лауэ в 1912 году, а затем отцом и сыном Уильямом Генри и Уильямом Лоренсом Брэггами в 1913 году: они подтвердили догадку Рене-Жюста Гаюи.

С помощью метода дифракции рентгеновских лучей можно также изучать структуру очень сложных молекул, таких как составляющие наши тела белки. Например, структура ДНК была окончательно определена с помощью именно этого метода (см. главу 23). Конечно, белки в нашем организме не образуют кристаллов, но их можно извлечь и кристаллизовать. Однако анализ столь больших молекул требует использования интенсивных пучков монохроматических рентгеновских лучей. Для создания последних служат разработанные в последние несколько десятилетий генераторы синхронного излучения. Европейские страны объединились для строительства одного из таких генераторов в Гренобле. Построенный научный центр получил название Европейского центра синхротронного излучения (European Synchrotron Radiation Facility, ESRF) (илл. 4). Рядом с ESRF в Гренобле, в Институте Лауэ-Ланжевена, имеется еще одна уникальная установка, которая создает нейтронные пучки высочайшей интенсивности, все с той же целью изучения структуры кристаллов посредством дифракции. Дифракция нейтронов основана на том же принципе, что и дифракция рентгеновских лучей: об этом будет подробно рассказано в главе 22.

4. Кольцо синхротрона ESRF у слияния рек Изер (вверху) и Драк. Электроны под действием магнитного поля движутся по кольцу со скоростью, близкой к скорости света. При изменении направления скорости они испускают интенсивное рентгеновское излучение. Справа в цилиндрическом купольном здании находится ядерный реактор Института Лауэ-Ланжевена (см. главу 22, «Исследование твердых тел с помощью дифрактометрии»)

Кристаллография не является исключительно экспериментальной наукой, она также опирается на математику: многие свойства кристаллов доказываются как теоремы. Одно из них касается кристаллической решетки – трехмерных «строительных лесов», на которых расположены атомы, ионы или молекулы кристалла. Задолго до исследований фон Лауэ минералоги старались подсчитать и классифицировать различные типы кристаллических решеток. Особенный случай – тот, при котором ячейка имеет лишь один атом: такая решетка называется решеткой Браве (илл. 5). Каждая такая решетка характеризуется набором геометрических преобразований (поворотов, инверсий, отражений в плоскости), которые оставляют ее неизменной. Существует только 14 типов решеток Браве, что было математически доказано французским физиком Огюстом Браве в 1848 году.

Вообще говоря, геометрические преобразования, которые оставляют произвольную кристаллическую решетку неизменной, ограничены. Например, вращение пятого порядка (то есть на 72° = 360°/5) в бесконечном кристалле, как мы увидим ниже, невозможно.

5. Три элементарные ячейки, образующие путем многократного повторения в пространстве три различных типа решеток Браве. Ячейки, изображенные на двух рисунках справа, не являются элементарными, простое повторение которых может воспроизвести полную решетку. Например, в объемноцентрированной кубической решетке элементарная ячейка представляет собой непрямоугольный параллелепипед, имеющий в качестве основания квадрат ABCD, и одна из его вершин E является центром куба

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах

Какой же физический принцип лежит в основе изучения структуры кристаллов посредством метода дифракции рентгеновских лучей? Когда на кристалл падает излучение, длина волны λ которого равна расстоянию между атомами (доли нанометра), то имеет место явление, аналогичное тому, которое возникает при прохождении пучка световых лучей через отверстия Юнга (см. главу 3, «Интерференция и когерентность»): атомы кристалла рассеивают рентгеновские лучи, также как щели Юнга рассеивают свет. Кристалл ведет себя как регулярная решетка, образованная из большого количества щелей Юнга (см. илл.). Лучи, рассеянные атомами, интерферируют.

В любой нерегулярной среде такая интерференция обычно деструктивна: рассеиваемые волны практически полностью гасят друг друга, за исключением направления распространения падающего луча. В кристалле же, из-за периодичности структуры, помимо направления распространения падающего луча, существуют различные другие выделенные направления, для которых волны, переизлучаемые атомами, находятся в фазе. Наличие таких направлений указывает на существование плоскостей, проходящих через большое количество точек кристаллической решетки, так называемых кристаллографических плоскостей.

Конструктивная интерференция возникает тогда, когда рассеянные лучи удовлетворяют равенству, называемому условием Вульфа – Брэгга:

2dsin θ = nλ,

где d – расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями, θ – угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью и n – любое целое число.

На опыте при использовании условия Вульфа – Брэгга положение кристалла остается неизменным по отношению к направлению пучка падающих рентгеновских лучей, а изменяется длина волны последних. Помещая на пути рассеянных рентгеновских лучей фотографическую пластину, ученые получают дифрактограмму, подобную приведенной здесь: светлые пятна соответствуют направлениям, для которых выполняется условие Вульфа – Брэгга. Этот метод был разработан Максом фон Лауэ (1879–1960) и принес ему Нобелевскую премию по физике 1914 года.

Независимо от направления кристаллографических плоскостей всегда существует такое значение длины волны излучения, которое позволяет удовлетворить условию Вульфа – Брэгга. Изучая дифрактограмму, мы можем найти расстояние d между кристаллографическими плоскостями и определить структуру кристалла, если она достаточно проста. В более сложных случаях необходимо не только определить сами направления конструктивной интерференции, где интенсивность излучения отлична от нуля, но и измерить величину последней.

Принцип дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. Источник S испускает рентгеновские лучи в направлении кристалла под углом θ к кристаллографическим плоскостям. Наблюдатель в точке O регистрирует интенсивность полученного луча. Две кристаллографические плоскости отстоят на расстояние d, которое соответствует условию Вульфа – Брэгга

a. Гранат. b. Дифрактограмма граната. Расположение четких пятен дает нам информацию о расположении атомов внутри кристалла

6. Этапы гранения необработанного октаэдрического алмаза (а). Чтобы получить бриллиант (b), огранщик начинает с небольшого надреза в камне, а затем ударяет по введенному в него лезвию, после чего алмаз раскалывается пополам по плоскости расщепления. Затем ювелир путем полировки создает грани (для получения бриллианта в современной огранке их должно быть 58)

С другой стороны, по определению кристалл остается неизменным при бесконечном количестве сдвигов: достаточно выбрать их расстояния и направления, которые соответствовали бы периодичности кристалла. Именно это свойство, трансляционная симметрия, сегодня считается наиболее характерным свойством кристаллов, а не их макроскопическая симметрия, наблюдаемая невооруженным глазом. Красота кристаллов, их сверкающие грани и причудливые формы не могут не восхищать нас, будь то маленький бриллиант в кольце или один из великолепных минералогических шедевров, которыми можно полюбоваться в музеях естественной истории.

Но, кстати, какова связь между микроскопической структурой кристалла и его макроскопической геометрией? Наличие плоских блестящих граней, будь они природными или полученными в результате обработки, – результат регулярности микроскопической структуры. На самом деле совсем не сложно расколоть кристалл, образовав гладкие плоскости: если одна атомная связь слаба, то все связи, имеющие аналогичное положение в кристаллической решетке, будут столь же слабыми. Эту особенность кристаллов используют ювелиры при огранке необработанных алмазов (илл. 6). Формирование плоских граней при росте кристалла может быть объяснено аналогичным образом.

Кристаллы могут иметь оси симметрии порядков 2, 3, 4 или 6… но только не пятого порядка! Исключение числа 5 из этого списка – математически неоспоримое свойство: невозможно заполнить пространство повторяющейся ячейкой с симметрией пятого порядка. Как было отмечено, на плоскости можно замостить тротуар прямоугольниками, шестиугольниками, квадратами или равносторонними треугольниками (см. главу 8, «Упаковка дисков и «замощение» плоскости многоугольниками»), но не пятиугольниками!

Эта аномалия интересует некоторых исследователей, тем более что сама природа, судя по всему, охотно принимает симметрию пятого порядка. Так, она часто встречается в цветах (илл. 7). Она возникает и в небольших скоплениях атомов, получаемых в лаборатории. Исследователям удается получить скопления молекул Al₁₃ или Al₁₂C, образованных из одного центрального и 12 периферийных атомов: они формируют правильный икосаэдр, который имеет оси симметрии пятого порядка (см. илл. b в главе 8, врезке «Поцелуи» шаров в задаче Кеплера»), а не кубоктаэдр, являющийся элементарной ячейкой компактной укладки (илл. а в главе 8, врезке «Поцелуи» шаров в задаче Кеплера»).

Однако даже для бесконечной системы симметрия пятого порядка не является несовместимой с высокой компактностью. Если отказаться от построения периодической структуры с симметрией пятого порядка, то можно довольствоваться расположением, показанным на илл. 8, где шарики каждого слоя расположены на гранях правильных пятиугольников. Полученное заполнение составляет 72 %, что ненамного меньше возможной максимальной величины 74 % (см. главу 8, «Шары в реальном мире»).

7. Венчик колокольчика имеет симметрию пятого порядка

Квазикристаллы

Теоретический запрет на существование кристаллов с симметрией пятого порядка был доказан давно, еще в работах кристаллографов XIX века. Поэтому, когда в 1984 году команда, возглавляемая Даном Шехтманом, задалась вопросом о структуре синтезированного в лаборатории сплава алюминия и марганца и провела дифрактометрию, ее результат был подобен грому среди ясного неба. Дифрактограмма этого материала, как и в случае с кристаллом, имела локализованные светлые пятна (илл. 9). Но – о ужас! – она показывала, что сплав имеет симметрию пятого порядка вопреки законам кристаллографии! Это вещество назвали «квазикристаллом» с «квазипериодической» структурой (см. главу 9, врезку «Оригинальная плитка для ванной…»). В 1991 году Международный союз кристаллографии (International Union of Crystallography, IUCr) определил его как «твердое тело без трехмерной периодичности», но с «по существу дискретной дифрактограммой», такой, как у кристаллов. Ярких пятен дифракционной картины действительно намного больше, чем в кристалле: на самом деле существует бесконечность для любой зоны дифракционной картины, большинство из которых настолько слабы, что почти невидимы.

8. Компактная укладка твердых шаров с симметрией пятого порядка (первые два слоя представлены белым и серым цветом). В каждом пятиугольнике смежные шары соприкасаются друг с другом, и при этом они немного сдвинуты по отношению к двум соседним пятиугольникам. В зависимости от слоя, стороны пятиугольников поочередно состоят из четного или нечетного числа шаров

Однако светлых пятен на картине дифракции у квазикристалла оказывается намного больше, чем в случае классического кристалла; на самом деле в любой области дифракционной картины их существует бесконечное число, просто бо́льшая их часть очень слаба и практически невидима. Это удивительное открытие принесло Шехтману в 2011 году Нобелевскую премию по химии.

Оригинальная плитка для ванной…

Квазипериодические структуры – прекрасная находка для тех, кто не любит обыденность и хочет, чтобы ванная комната была выложена чем-то более оригинальным, чем шестиугольная, квадратная или даже треугольная плитка. Такие люди могут вдохновиться работами английского математика Роджера Пенроуза. В 1974 году он придумал мощение плоскости двумя видами ромбов, чтобы локально получить симметрию пятого порядка (илл. рядом). Читатель может попробовать придумать, как построить более крупное непериодическое мощение. Это не так просто, как может показаться на первый взгляд!

Мощение плоскости двумя видами ромбов. Зеленые ромбы имеют углы 2π/5 и 3π/5, 72° и 118° соответственно. Голубые ромбы имеют углы π/5, 4π/5, или 36° и 144°

Как мы узнали выше, кристалл – это, как правило, состояние вещества, которое при низких температурах минимизирует энергию системы атомов и молекул, даже если она не очень велика. Однако все ли системы атомов и молекул при низких температурах имеют дальний порядок, как кристаллы? Ответ – нет: некоторые материалы находятся в аморфной форме, иначе говоря, они вообще не обладают симметрией, даже локально. Их дифрактограмма не показывает никаких пятен, никакой структуры. Их строение несколько напоминает строение жидкости, которую как бы резко заморозили.

Знакомый многим пример – оконное стекло, которое в основном изготавливается из оксида или двуокиси кремния (кремнезема) SiO₂ (илл. 10a). Кремнезем существует также в кристаллической форме: например кварц, который встречается в природе (илл. 10b), или кристобалит и тридимит. Все эти кристаллы «построены» из тетраэдров SiO₄ разными способами, в зависимости от кристаллической формы, соединенных друг с другом вершинами. Учитывая разнообразие возможных соединений, неудивительно, что объединение тетраэдров может происходить практически произвольно, что и приводит к образованию аморфного кремнезема. Однако локально стекло сохраняет кристаллические структуры: аморфные материалы имеют «ближний» порядок. Заметим, что в кристалле кварца, как и в аморфном кремнеземе, укладка атомов далеко не компактная. Каждый из них вместо 12 «соседей» имеет лишь двух (для кислорода) или четырех (для углерода)! В результате остается достаточно пространства, чтобы разместить много дополнительных атомов.

9. а. Квазикристалл HoMgZn в форме додекаэдра (размеры ребер около 2 мм).

b. Дифрактограмма квазикристалла в сравнении с дифрактограммой кристалла во врезке «Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах». Симметрия пятого порядка, которая наблюдается на этом рисунке, для кристалла невозможна

10. Структура стекла (a) и кварца (b). Эти две формы кремнезема состоят из соединенных между собой тетраэдров SiO₄. Для простоты изображение дано на плоскости; каждый атом кислорода (красный) связан с двумя атомами кремния (серый), и каждый атом кремния связан с четырьмя атомами кислорода

Аморфные вещества находят технологическое применение во многих областях. Благодаря высокой прочности, коррозионной устойчивости и оптимальному сочетанию электрических и магнитных свойств аморфные металлические сплавы используются, например, для изготовления ортопедических протезов и хирургических инструментов.

В этой главе мы рассмотрели, как устроено вещество, предполагая, что составляющие его атомы являются притягивающимися друг к другу твердыми шариками, что должно бы обеспечить их компактную упаковку. Оказалось, что это предположение может совершенно не соответствовать истине, а кристаллический или аморфный материал часто совсем не компактен. Когда Кеплер хотел объяснить форму кристаллов снега, предполагая существование компактной упаковки, он был весьма далек от истины! На самом деле структура льда в атомном масштабе похожа на структуру двуокиси кремния (илл. 10), где кремний заменен кислородом, а кислород – водородом. Каждая молекула воды, как правило, окружена четырьмя другими такими же молекулами, подобно тому как атомы кремния в кремнеземе, как правило, окружены четырьмя атомами кислорода. Таким образом, как структура двуокиси кремния, так и структура льда далеко не компактны, вопреки предположению Кеплера. Тем не менее благодаря этой ошибочной гипотезе великого ученого другие исследователи, такие как Роберт Гук (1635–1703) и Михаил Ломоносов (1711–1765), в дальнейшем продолжили идти по непростому пути познания и продвинули физику далеко вперед. Прогресс часто строится на ошибках, которые ученые пытаются исправить с течением времени.

Много лет назад, когда еще не было сверхскоростных поездов, вместе с другими физиками мы отправились из Парижа в Лион на скором поезде (илл. 1). Спустя полчаса с момента, как мы покинули станцию, поезд внезапно вошел в туннель. В момент вхождения в туннель все почувствовали неприятное ощущение в ушах – такое бывает, когда мы быстро спускаемся с горы.

– Казалось бы, в поезде мы должны быть защищены от воздействия избыточного давления, – отметил Пол, исследователь Европейской организации по ядерным исследованиям (ЦЕРН).

– Это не избыточное давление, – поправил его сидящий напротив коллега, – а, наоборот, область пониженного давления.

Мы были обескуражены. Разве поезд, двигаясь по туннелю, не сжимает воздух перед собой? Наш коллега удивился, что мы забыли об открытиях, сделанных швейцарским ученым Бернулли в XVIII веке, и вкратце напомнил, о чем речь. В 1738 году Бернулли опубликовал книгу «Гидродинамика», в которой представил фундаментальные законы движения жидкостей. Уточним, что речь идет о Данииле Бернулли (1700–1782), так как и другие члены этой семьи проявили себя в различных областях науки (его дядя Якоб и отец Иоганн также известны своими работами по математике и физике). По забавному совпадению, нашего эксперта по гидродинамике, который устроил для нас это импровизированное занятие, звали очень похоже – Дэниелом.

1. Въезд скорого поезда в туннель сопровождается неприятным ощущением в ушах пассажиров, которое вызвано понижением давления воздуха в вагоне

Вот как Дэниел рассматривал проблему. Предположим, что поезд едет с равномерной скоростью по туннелю с неподвижным воздухом (в действительности воздух нигде не является статичным) (илл. 2a). Перед поездом, в точке А, воздух неподвижен. Позади поезда, в точке B, – то же самое. Но, по мере того как поезд продвигается вперед, воздух должен покидать место, занимаемое в этот момент поездом, и, наоборот, заполнять освобождающееся пространство позади него. Таким образом, в направлении, противоположном движению поезда, возникает воздушный поток, который перемещает воздушные массы спереди назад. Но для того чтобы воздух переместился, нужно, чтобы на него действовала некая сила. Эту силу прилагает непосредственно поезд? И да и нет: он в первую очередь своим движением создает перед собой область избыточного давления, а перемещение основной массы воздуха в противоположном движению поезда направлении уже происходит под воздействием возникшей разности давлений! Давление в сечении C ниже, чем в сечении A, что объясняет, почему воздух оказывается в C. Аналогично давление в сечении B должно быть выше, чем в сечении C, чтобы сдержать поток воздуха, приходящего из C. Это непременное условие, так как давления в сечениях А и B равны и соответствуют атмосферному. Таким образом, въезд поезда в туннель приводит к возникновению зоны пониженного давления рядом с поездом (илл. 3), что и почувствовали физики сквозь неплотно закрытое окно. Кроме того, поезд прикладывает силу и к обтекающему его воздуху в непосредственной близости от его корпуса, но это сила трения, и направлена она вперед, по движению поезда.

2. a. Поезд, проходящий через туннель со скоростью V, порождает возникновение воздушного потока скоростью ϑ в противоположном направлении. Воздух проходит через зону пониженного давления на своем пути. b. Аналогичная зона пониженного давления возникает при прохождении потока жидкости со скоростью V через неподвижную трубу, на которой имеется сужение

3. Изменение давления, зарегистрированное датчиком, установленным на поезде в 72 м от головы состава, во время прохождения поезда через туннель. В целом перепад давления Δp (по отношению к атмосферному давлению) при прохождении поезда отрицателен: вокруг обшивки поезда формируется область пониженного давления. Колебания кривой будут объяснены в конце главы. Согласно M. William-Louis et C. Tournier, “A wave signature based method for the prediction of pressure transients in railway tunnels”, J. of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 93, p. 521–531, 2005

Даниил Бернулли в XVIII веке, очевидно, не ездил на поездах. Рассматриваемая им проблема заключалась в прохождении жидкости по трубе с переменным сечением (илл. 2b). Аналогия с поездом, движущимся через туннель, очевидна. Труба – это туннель, или даже набор «туннель + поезд»: наличие поезда в туннеле эквивалентно сужению трубы. По вышеописанной причине изменение диаметра также вызывает снижение давления P в трубе.

Бернулли сумел вычислить перепад давления в трубе для случая несжимаемой и невязкой жидкости. При этом плотность потока в любой части трубы должна быть одинаковой, а его скорость V в узкой части должна быть выше, чем в более широких частях. Полученная формула оказалась очень простой. Если ρ – плотность жидкости, то для устойчивого и нетурбулентного потока в любой точке жидкости сумма P + ρV²/2 должна быть постоянна.

Эта формула верна только в том случае, когда можно не учитывать воздействие на жидкость силы тяжести, то есть при условии, что все рассматриваемые точки находятся на одной и той же высоте. Далее мы разберемся, как учесть и силу тяжести.

– Если я правильно понял, – сказал Пол, – теорема Бернулли применима к несжимаемой жидкости, такой как вода. Но ведь воздух в туннеле таким не является!

– Это верно, – ответил Дэниел, – величина P + ρV² / 2 в туннеле не совсем постоянна. Но в целом рассуждение остается правильным: поскольку поток массы остается одинаковым в любой точке трубы, то в узкой ее части воздух вынужден двигаться быстрее. Чтобы его ускорить, требуется сила, и эта сила обусловлена разницей давлений. Поэтому в узкой части возникает область пониженного давления. Это явление называют «эффектом Вентури» в честь итальянского физика, который вскоре после Бернулли изучал действие различных устройств, основанных на движении потока по трубе переменного диаметра.

Пола интересовала еще одна деталь.

Схема трубки Пито

Трубка Пито, установленная под крылом самолета. Это устройство стало печально известным в июне 2009 года: пилоты рейса Рио-де-Жанейро – Париж, по всей видимости, отреагировали на неверные показания обледеневших трубок Пито, что привело к падению самолета

– Скорость потока в поезде и рядом с ним, очевидно, разная. Почему же давление внутри и снаружи одинаковое?

– Действительно, скорости воздуха внутри и снаружи поезда совсем разные, – признал Дэниел. – Однако если даже одно окно в вагоне затворено неплотно, то давление внутри него станет примерно равным пониженному давлению снаружи. Так, при незакрытом окне его занавески выдувает наружу. На этом явлении основан принцип действия трубки Пито, которую обычно используют для измерения скорости потока (см. главу 10, «Вытекание жидкости из сосуда и советы водопроводчика»). Она фиксирует соответствующие давления с помощью специальных отверстий, а вычислить искомую скорость можно по теореме Бернулли. Эти отверстия можно сравнить с плохо закрытым окном поезда.

– Вот именно! – заметила Клаудия, наша итальянская коллега. – В нашем поезде нет окон: только застекленные световые проемы, которые невозможно открыть!

Подошедший контролер завершил объяснение:

– Высокоскоростные поезда действительно имеют хорошую герметичность. Эффект пониженного или избыточного давления снаружи полностью ощущается нами только спустя некоторое время, порядка десяти секунд…

4. Различные приборы для измерения давления: манометр для проверки автомобильных шин (a), барометр (b) и барометрический высотомер (c). Последний позволяет определить высоту путем измерения атмосферного давления, которое уменьшается с набором высоты (см. главу 15, «Скороварка и готовка на высоте»)

Наш путешественник все еще не был убежден.

– Теорема Бернулли противоречит здравому смыслу. Для того чтобы поместить предмет в отверстие, например пробку в горлышко бутылки, на него нужно надавить. Как же в таком случае объяснить, почему давление воздуха при прохождении поезда, наоборот, понижается?

– Действительно, некоторые истины кажутся парадоксальными, – ответил Дэниел. Но случаи с пробкой и поездом совершенно разные. Предлагаю вам в следующее путешествие на поезде взять с собой устройство для измерения давления – барометр или высотомер, он меньше и его легче нести (илл. 4). Тогда вы удостоверитесь, что прибор при прохождении поездом туннеля указывает на понижение давления в вагоне. Этот опыт действительно стоит поставить, поскольку теорема Бернулли предполагает, что жидкость несжимаема и ее течение ламинарно (безвихревое), в то время как, врываясь в туннель, поезд создает существенное возмущение находящегося там воздуха. На самом деле при въезде действительно регистрируется небольшое избыточное давление, затем давление, как это и предусмотрено теоремой Бернулли, понижается, а при выходе поезда из туннеля происходит мгновенный подъем давления (илл. 3). То есть, въезжая в туннель, поезд создает перед собой волну избыточного давления; эта волна распространяется через туннель со скоростью, близкой к скорости звука, и достигает выхода намного раньше самого поезда. Из-за причудливых законов гидродинамики волна вместо того, чтобы покинуть туннель, здесь отражается. Таким образом, она вновь встречает поезд, снова отражается и т. д. Аналогично после входа в туннель, за хвостом поезда формируется волна пониженного давления.

5. Опыт Бернулли, как он был представлен в его «Гидродинамике». Вода из широкой емкости вытекает через узкую трубу. При отсутствии потока уровни A и B равны. Когда же вода течет, то между уровнями A и B устанавливается стабильная разность высот. Согласно теореме Бернулли ρgz_A + P_A + ρV_A²/2 = ρgz_C + P_C + ρV_C²/2, в то время как в узкой трубке постоянной ширины ρgz_B + P_B = ρgz_C + P_C. Так как P_A = P_B равны атмосферному давлению, то получаем g(z_A – z_B) = V_C²/2 – V_A²/2. Скорости V_C и V_A можно определить на основе измерения потока массы жидкости (поскольку сечения сосуда в точке A и трубки в C известны)

Клаудия снова вступила в разговор:

– С применением теоремы Бернулли в рассмотренной задаче связан кажущийся парадокс: наше рассуждение было основано на идее, что причиной возникновения потока жидкости является разность давлений, тогда как в конце концов у нас получилось, что, наоборот, сам поток является причиной перепада давления; поток, который чаще всего возникает под действием силы тяжести.

– Конечно, – согласился Дэниел. – Впрочем, это обстоятельство учитывалось в экспериментальном устройстве, с помощью которого Бернулли доказывал свою формулу. Жидкость текла по вертикальной трубе, установленной в нижней части сосуда (илл. 5). В этом случае поток оказывался не горизонтальным, как в туннеле, и теорему Бернулли необходимо было формулировать в более общей форме. А именно, в любой точке жидкости:

g – ускорение свободного падения и z – высота, P и V – по-прежнему давление и скорость потока (на высоте z), а ρ – плотность жидкости. Исторически Бернулли уделял особое внимание конкретной проблеме: продолжительности вытекания жидкости из сосуда через малое отверстие (см. главу 10, врезку «Вытекание жидкости из сосуда и советы водопроводчика»).

– Вопрос вытекания жидкости из сосуда через отверстие уже изучался за столетие до Бернулли, в частности итальянским ученым Эванджелистой Торричелли. Последний заметил, что скорость потока не зависит от характера жидкости и формы сосуда и оказывается пропорциональной квадратному корню из h – высоты жидкости в сосуде. Однако этот результат был приблизительным, как и многие вещи, о которых я только что рассказал…

Мы пришли в замешательство. Дэниел нас дурачил?

– Я только упростил ситуацию, как и любой физик, – пояснил он. – Применяя теорему Бернулли к жидкости, текущей по трубе, мы предполагаем, что скорость жидкости V относительно стенок одинакова во всей трубе, как в середине, так и по краям. Однако это совсем не так – она постоянно меняется. В частности, скорость жидкости, соприкасающейся со стенками, должна быть равна скорости стенок, то есть нулю! Таким образом, когда поток проходит через трубу небольшого радиуса R и достаточно большой длины L, то скорость жидкости мала по всей толщине трубы. Поток Q в такой трубке определяется по формуле, которую в 1844 году вывел физик Жан Луи Мари Пуазёйль:

где ΔP – разность давлений между концами трубки и η – коэффициент вязкости жидкости (измеряемый в кг∙м^–1∙с^–1). Таким образом, при той же разности давлений в одной и той же трубке поток масла окажется меньшим, чем поток менее вязкой воды. И самое главное, из формулы Пуазёйля следует, что при фиксированной разности давлений величина потока очень сильно (по закону R⁴) возрастает с увеличением радиуса трубы!

С учетом всех этих эффектов становится понятно, что в случае вытекания жидкости из сосуда через тонкую и не слишком короткую трубу скорость потока оказывается пропорциональной уже не квадратному корню из величины уровня жидкости, а самой этой величине. Кроме того, будучи обратно пропорциональной вязкости жидкости, скорость жидкости начинает зависеть и от природы последней… Именно поэтому выше мы рассматривали достаточно широкую трубу, в которой на некотором отдалении от стенок скорость потока жидкости по поперечному сечению можно считать постоянной. Область же, где скорость существенно изменяется, убывая до нуля при непосредственном контакте со стенкой трубы, – это лишь тонкий пограничный слой.

– И какова толщина этого слоя? – спросила Клаудия.

– Это зависит от величины вязкости жидкости, которая препятствует слишком быстрому изменению скорости по мере удаления от стенок. Так, для масла пограничный слой толще, чем для воды. Более точно, материальные параметры, определяющие толщину вязкого слоя для конкретной жидкости, входят в комбинации η/ρ, где ρ – плотность жидкости. Последняя составляет около 10^–6 м²/с для воды и 1,4∙10^–5 м²/с для воздуха при нормальных условиях.

Дэниел достал записную книжку и карандаш, чтобы выполнить некоторые расчеты.

– Известно, что для трубы длины L, в которой поток жидкости движется со скоростью V, толщина l пограничного слоя оказывается порядка Таким образом, для 250-метрового поезда, движущегося со скоростью 180 км/ч, толщина l составляет несколько сантиметров. Это расстояние достаточно мало по сравнению с расстоянием между поездом и стенкой туннеля, поэтому им можно пренебречь, и теорема Бернулли в рассмотренном выше случае действительно применима. Аналогично для потока воды скоростью 1 м/с в трубе длиной 1 м l оказывается порядка миллиметра…

6. Резкое открытие крана или клапана может спровоцировать опасное избыточное давление в трубопроводе – гидравлический удар. Этим термином пользуются также и для обозначения возникающих в трубе при закрытии крана после резкого выключения воды неразрушающих ее колебаний. Они сопровождаются характерным глухим шумом

Слово взял Пол.

– Кажется, я понял, почему все эти потоки в трубах в начале нашего разговора повысили мое давление! Как-то раз я уехал из дома на всю зиму. Перед отъездом я слил воду из труб и перекрыл краны. Весной, по возвращении, я, не открыв заранее краны, резко пустил воду в домашний трубопровод, и все его сварные швы лопнули. Я позвонил водопроводчику, и он объяснил, что произошел гидравлический удар (илл. 6).

– Возможно, – сказал Дэниел. – Городской водораспределитель и так подает воду в дом под давлением, заметно превышающим атмосферное. При резком же открытии клапана вода может приобрести столь высокую скорость, что инерция позволит ей сжать воздух в трубе вплоть до давления, разрушающего трубу.

Дэниел снова открыл записную книжку, чтобы продемонстрировать уравнения, моделирующие эту ситуацию. Но было поздно: поезд прибыл на станцию…

Наследница средневековых музыкальных инструментов, таких как лютня и виола, скрипка появилась в XVI веке в Кремоне, Италия. Этот городок прославили династии Страдивари, Гварнери и Амати, превратившие производство струнных инструментов в настоящее искусство. И сегодня Кремона остается верна традиции: посещающие ее туристы бродят среди магазинов, в витринах которых выставлены скрипки (илл. 1). Во Франции тоже есть город скрипок – Миркур в Вогезах. Лицей Жан-Батиста Вийома, названный в честь великого скрипичного мастера XIX века, уроженца Миркура, предлагает уникальное во Франции обучение искусству производства этих инструментов.

1. Собор и баптистерий в Кремоне, Италия. Известный скрипичный мастер Антонио Страдивари (1644–1737) родился и умер в Кремоне

Скрипка – струнный смычковый инструмент; она имеет четыре хорошо натянутые струны, которые опираются на струнодержатель, или подгрифок (илл. 2). Последний передает в резонаторный ящик вибрацию струн, возбужденных движением смычка. При игре скрипач совершает смычком относительно медленные движения вперед и назад; он меняет направление примерно раз в секунду или еще реже. Струна скрипки при этом совершает несколько сотен колебаний в секунду и возбуждает в окружающем пространстве звуковые колебания с частотой в сотни герц. Эта частота колебаний струны определяет соответствующую ноту (до, ре, ми и т. д.) и зависит как от натяжения струны (должным образом настроенной музыкантом с помощью колков), так и от положения пальца скрипача.

2. Скрипач проводит смычком по струне, и она начинает вибрировать. Затем звук передается на деку (верхняя часть резонаторного ящика) через подгрифок. Музыкант выбирает высоту звука, зажимая струну на грифе пальцем. Четыре колка на конце грифа позволяют регулировать натяжение струн

Вибрация скрипичной струны впервые была описана немецким ученым Гельмгольцем в 1862 году. С помощью придуманных и изготовленных им инструментов он показал, что вибрирующая струна принимает, если говорить просто, форму двух прямых сегментов (илл. 3), разделенных точкой излома, которая с постоянной скоростью перемещается от одного конца струны к другому сначала в одном направлении, а затем в противоположном.

3. Движение скрипичной струны (красный цвет), по которой ведут смычком, по Гельмгольцу. Точка излома c₁ перемещается между подгрифком и пальцем скрипача слева направо по параболе, а затем справа налево (c₂) по другой параболе

Оставим вопросы техники игры скрипачам, нас же будет интересовать следующая физическая задача: как движущийся по струне смычок заставляет ее вибрировать? Если читатель считает ответ очевидным, то предлагаем ему натянуть веревку между двумя точками опоры (илл. 4) и пройтись по ней линейкой. Веревка будет отклоняться от своего равновесного положения до тех пор, пока она пребывает в контакте с линейкой, однако при этом она не вибрирует. Как только линейка будет убрана, веревка вернется в свое положение равновесия, совершив при этом, возможно, несколько колебаний. Итак, натянутая веревка под действием линейки не вибрирует. Почему же вибрирует струна под скрипичным смычком? Разгадка этой тайны кроется в канифоли – смоле, которой скрипач покрывает полотно смычка.

4. Опыт с трением натянутой веревки линейкой. Веревка отклоняется от положения равновесия, но не вибрирует до тех пор, пока сохраняется контакт с линейкой. Однако звучания все же можно добиться краткими щипками веревки (pizzicato)

Смычок и скрипичная струна взаимодействуют между собой посредством трения. Обычно считается, что трение – это помеха, поскольку оно приводит к потере энергии, преобразуя часть ее в тепло. Например, значительная часть энергии, израсходованной на разгон автомобиля, теряется из-за трения между различными его частями. Тем не менее тот же автомобиль разгоняется именно благодаря трению между шинами и асфальтом, благодаря трению мы можем ходить (для того чтобы убедиться в этом, достаточно прогуляться по льду)…

Различают два вида трения: статическое – между двумя контактирующими друг с другом неподвижными объектами и динамическое – между двумя объектами, движущимися относительно друг друга. Динамическое трение этому движению препятствует (см. главу 11, врезку «Законы динамического трения»). Замечательно, что возникающее при скольжении смычка по струне трение является поочередно то статическим, то динамическим! Когда скрипач начинает играть, он кладет смычок на неподвижную струну и в дальнейшем оказывает на нее давление, которое мы примем за постоянное. В течение короткого времени перемещение смычка со скоростью v₀ приводит к тому, что струна, следуя за ним, начинает двигаться с той же скоростью. Эта фаза сцепления обусловлена статическим трением между смычком и струной, сила которого увлекает струну в направлении движения смычка. В свою очередь, возрастающее натяжение струны приводит к появлению силы, приложенной к смычку и направленной противоположно его движению. Для того чтобы струна следовала за смычком, обе эти силы в каждый момент времени должны уравновешивать друг друга (илл. 5a).

5. a. Статическое трение смычка о скрипичную струну. Смычок движется вверх. Статическая сила трения f^→ уравновешивает результирующую силу F^→ натяжения струны: точка ее контакта со смычком A остается неподвижной по отношению к смычку. b. Когда напряжение струны превышает предельно возможное значение силы статического трения, то трение становится динамическим. Точка контакта A теперь перемещается вдоль смычка, однако ее расположение x₀ по отношению к корпусу скрипки фиксировано. Динамическая сила трения f^→ уравновешивает мгновенное значение результирующей силы натяжения струны F^→

Эта первая фаза непродолжительна: вызванная натяжением струны сила, по мере того как струна отклоняется от положения равновесия, быстро возрастает и вскоре достигает величины максимально возможного статического трения[10]. С этого момента статическое трение больше не может компенсировать силу натяжения: смычок и струна расцепляются, струна возвращается в положение равновесия. В этой, второй, фазе «скольжения» на струну действует динамическая сила трения, которая намного меньше статической, и она совершает колебательное движение, подобно выведенной из положения равновесия пружине. При этом в некоторый момент времени, пройдя точку максимального удаления от положения равновесия, струна вновь начинает двигаться в том же направлении, что и смычок. Ее скорость увеличивается и в конечном итоге сравнивается со скоростью смычка: в этот момент происходит «сцепка», и система «струна – смычок» вновь оказывается в своей первой фазе. Она длится до тех пор, пока сила натяжения струны снова не становится слишком большой и струна не срывается со смычка. Если длина колеблющейся части струны такова, что скрипка звучит на ноте ля (частота 435 Гц), то между началами двух «фаз сцепления» проходит одна 1/435 доля секунды. Отметим, что энергию, необходимую для поддержания колебательного движения, смычок передает струне тогда, когда они имеют одинаковую скорость. Таким образом, взаимодействие смычка со струной состоит из чередующихся фаз сцепления и скольжения (илл. 6).

6. a. Скорость скрипичной струны в точке соприкосновения со смычком в зависимости от времени (пунктир – приближенное значение; сплошная линия – фактическая кривая). Как видно, значение скорости резко изменяется между фазами сцепления и скольжения, что сложно объяснить в рамках нашей очень упрощенной модели. b. Чередование фаз сцепления и скольжения приводит к изменению величины поперечной силы, с которой струна действует на подгрифок (передающий, в свою очередь, вибрацию в резонатор, основной источник звука). (По X. Boutillon, Acoustique des instruments de musique, 2013)

Мы уже знаем, что поначалу струна следует за смычком, пока не срывается с него и не начинает двигаться в обратном направлении. Затем она вновь изменяет направление движения, и ее скорость в конечном итоге вновь сравнивается со скоростью смычка. А возможно ли, чтобы струна не нагнала смычок и трение между ними все время оставалось динамическим? Чего скрипачу стоит опасаться, так это ситуации, о которой говорилось выше на примере опыта с линейкой и веревкой: того, что струна, несмотря на воздействие смычка, вместо того чтобы вибрировать, займет фиксированное положение. В этом случае возвращающая сила натяжения веревки F^→ будет полностью уравновешивать динамическую силу трения f^→ (илл. 5b) и струна будет оставаться неподвижной относительно скрипки, а не относительно смычка. Позвольте, но такое положение струны, в котором сумма приложенных к ней сил равна нулю, существует всегда: это положение равновесия.

Так что же, если струна окажется в таком положении, то скрипка замолчит? К счастью, благодаря замечательному свойству канифоли это не так. До тех пор пока смычок покрыт этим веществом (мы по-прежнему предполагаем, что скрипач оказывает постоянное давление на струну), динамическая сила трения f, противореча утверждению закона Амонтона – Кулона, будет уменьшаться с ростом относительной скорости струны относительно смычка (илл. 7).

В рамках очень упрощенного описания (в частности, проигнорировав скручивание струны) мы покажем, что при такой зависимости динамической силы трения от скорости трение приводит не к затуханию колебаний струны, а, наоборот, до определенного предела усиливает их. Равновесное положение струны x₀ в этом случае неустойчиво, и скрипка никогда не замолкнет! Напомним, что равновесие системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Устойчивое равновесие нам хорошо знакомо: оно соответствует минимуму потенциальной энергии (см. главу 6). Например, шарик на дне полости, слегка отклоненный от равновесия, вернется в исходное положение. Не так обстоит дело с заостренными предметами, например карандашом, когда его прислоняют к стене таким образом, что он стоит, опираясь на кончик. Если при этом его совсем чуть-чуть сместить из положения равновесия, то, в отличие от шара, он упадет влево или вправо и примет другое конечное положение.

Ситуация со скрипкой во время фазы скольжения аналогична. Предположим, что струна из положения равновесия x₀ (илл. 5b) отклоняется немного назад, например, из-за неровности смычка. Натяжение струны, пропорциональное (x – x₀), при этом уменьшается, и сила трения, которая направлена противоположно вектору относительной скорости (v₀ – v), – тоже! Если сила трения падает быстрее, чем сила натяжения, то отклонение струны назад увеличивается еще больше. Подобная ситуация будет иметь место и при малом отклонении струны от положения равновесия вперед – при этом возрастут и натяжение струны, и сила трения. Если сила трения растет быстрее силы натяжения, то малое отклонение струны вперед от положения равновесия будет развиваться.

Итак, в рассматриваемом случае трение приводит к усилению смещения от положения равновесия: равновесие струны оказывается неустойчивым! Этот механизм необычен. Заметим, что усиление амплитуды колебаний струны трением происходит лишь до определенного предела. В тот момент, когда скорость струны сравнивается со скоростью смычка, их относительная скорость становится нулевой и динамическое трение сменяется статическим.

До сих пор мы предполагали, что единственными силами, действующими на скрипичную струну, являются трение смычка и сила натяжения. Очевидно, что имеются и другие силы, например сила сопротивления воздуха. Поскольку скрипка возбуждает звуковые волны, то последняя, разумеется, стремится ослабить вибрацию струн. Тем не менее соответствующая сила относительно мала по сравнению с теми, которые мы уже рассмотрели выше. Вызванные ею небольшие изменения можно принять в расчет, но едва ли они существенно повлияют на полученные нами результаты.

7. Значение динамической силы трения между смычком и скрипичной струной в зависимости от их относительной скорости (эта относительная скорость u = v₀ – v – это разница между скоростью v струны и скоростью v₀ смычка по отношению к скрипке). Красная прямая соответствует закону Амонтона – Кулона, которому подчиняется большинство твердых тел. Нарушение этого закона позволяет скрипке издавать звук

Силы трения вызывают и другие удивительные эффекты, например обратное движение бильярдного шара (см. главу 11, врезку «Трюки и хитрости бильярдиста»). Учет законов трения имеет важное значение для решения многих промышленных задач. Так, например, при токарной обработке металла (илл. 9) в лезвии обтачивающего заготовку инструмента может возникнуть нежелательная вибрация. Она вызвана трением между резцом и скользящей по его поверхности металлической стружкой. Величина силы трения при этом иногда резко меняется, что и вызывает вибрацию. Ее можно избежать, придав лезвию подходящую форму.

8. Канифоль изготавливается из сосновой смолы. Она продается для скрипачей в виде цельного блока. Также ее в виде порошка для улучшения сцепления используют спортсмены-альпинисты

Во многих системах, таких как двигатели внутреннего сгорания, для замедления износа деталей желательно снизить трение между ними. Для этого прямого контакта между поршнем и цилиндром избегают посредством смазки трущихся поверхностей маслом. В этом случае сила трения оказывается пропорциональной относительной скорости между жидкостью и деталью (по крайней мере, если она не очень мала) (см. главу 15, врезку «Движение пузырьков и турбулентность»).

9. Эффект трения. Вибрация лезвия (слева), вызванная трением о заготовку при обточке металлической детали (справа), может быть устранена путем правильного выбора угла θ и придания лезвию подходящей формы

Как упоминалось ранее, длина и натяжение струны определяют высоту порождаемой ею ноты. Вот только сама струна не может производить звук достаточной интенсивности: его усиление есть функция резонаторного ящика скрипки. При этом основным источником звука является вибрация его деревянных стенок.

Что означает термин «резонанс»? В физике так называют резкое увеличение амплитуды колебаний некоторой системы при совпадении частоты внешнего воздействия с определенной, характерной для данной системы частотой.

Очень простой пример явления резонанса представляет собой питаемый от генератора переменного напряжения электрический контур, состоящий из резистора, конденсатора и индукционной катушки (илл. 10). В зависимости от частоты генератора сила тока, проходящего через цепь, может изменяться от ничтожной до весьма значительной. Роль такой цепи заключается в фильтрации сигнала четко определенной частоты, поэтому ее качество характеризуется добротностью Q, которая определяется как отношение f/Δf величины резонансной частоты к ширине резонансного пика. Для радиопередатчика или приемника желательно иметь настолько узкий резонанс, чтобы он излучал или принимал радиоволны на четко определенной частоте, не перекрывающейся с другими передачами.

10. Пример резонанса в электрическом контуре. Катушка индуктивности L накапливает энергию по мере возрастания текущего через нее тока и теряет ее при уменьшении величины тока. В свою очередь, конденсатор емкости C накапливает энергию по мере увеличения на нем заряда, и эта энергия достигает максимума, когда ток в контуре становится равным нулю. Таким образом, энергия периодически перекачивается из конденсатора в катушку и наоборот, создавая таким образом колебания в контуре. Амплитуда тока i для данной разности потенциалов V в зависимости от частоты f достигает максимума при (в предположении малости сопротивления R << f₀L). Максимум тока в точке резонанса оказывается тем выше, чем меньше величина сопротивления R

Струна скрипки также является резонирующей системой. Поскольку оба конца струны зафиксированы, то резонанс достигается, когда длина волны λ колебаний струны равна ее удвоенной[11] длине L (илл. 11). Тем не менее у струны имеются и другие резонансы, соответствующие соотношениям λ = L, λ = 2L/3 и т. д. В звучании скрипки проявляют себя одновременно все эти резонансы, в пропорциях, которые и определяют уникальный тембр инструмента. Колебания струны представляют собой так называемые стоячие волны.

Трюки и хитрости бильярдиста

Бильярдный шар, если его ударить определенным образом (в направлении, указанном красной стрелкой (a)), вращается и движется вперед (b) с небольшой скоростью. Через некоторое время из-за трения скорость его поступательного движения обращается в ноль (c), после чего шар в результате его продолжающегося вращательного движения откатывается назад (d). Таким образом, по битку – белому шару (вид сверху, слева) – можно ударить таким образом, чтобы он затем столкнулся с двумя другими шарами

Если ударить бильярдный шар, как показано красной стрелкой, то он будет скользить, при этом проворачиваясь в направлении, обозначенном синей стрелкой. После столкновения с красным шаром он покатится назад

Как музыканты при игре на скрипке используют явление трения, порой и не подозревая обо всех его тонкостях, так и опытные бильярдисты способны с помощью трения творить чудеса. Ударяя шар под определенным углом, они могут продемонстрировать удивительный для неискушенного зрителя эффект – заставить шар после некоторого промежуточного движения покатиться назад, в направлении, противоположном начальному удару. Как они это делают?

Рассмотрим шар, который ударяют бильярдным кием вдоль прямой, проходящей позади центра шара и точки его соприкосновения с сукном (см. илл.). Этот удар толкает шар вперед, одновременно заставляя его вращаться против часовой стрелки. Заметим, что если бы шар катился без проскальзывания, то он вращался бы в противоположном направлении. Таким образом, шар, вращаясь, скользит по сукну, и трение уменьшает как скорость его поступательного движения, так и линейную скорость вращения. Если заданная кием начальная линейная скорость вращения достаточно велика по отношению к скорости движения центра масс шара, то последняя рано или поздно уменьшится до величины линейной скорости вращения. Шар в этот момент остановится, однако поскольку он продолжает вращаться, то сила трения о сукно заставляет его изменить направление поступательного движения. Шар покатится назад!

Другой метод заключается в ударе по мячу таким образом, чтобы он покатился обратно только после удара о другой шар. Достаточно всего лишь ударить его ниже центра (см. илл.). Как и в предыдущем случае, биток при этом вращается против часовой стрелки, однако с меньшей скоростью вращения. Удар по другому шару останавливает его поступательное движение, после чего вращательное движение заставляет его откатиться назад. Если удара не произойдет, то шар будет катиться без проскальзывания вплоть до полной остановки, в этом случае он назад не вернется.

В отличие от ситуации со скрипичной струной и смычком, трение между бильярдным шаром и сукном подчиняется закону Амонтона – Кулона (см. илл. 7 в главе 11), согласно которому сила трения равна произведению постоянного коэффициента трения на вертикальную составляющую силы реакции опоры. Последняя равна абсолютному значению веса шара. Читатель, обладающий некоторыми знаниями механики, сумеет составить и решить уравнения движения и получить условия, при которых происходит описанное нами движение.

Ударяя белый шар под определенным углом, бильярдист может достичь удивительного для непрофессионала эффекта возвращения

Когда речь идет о резонаторном ящике скрипки, то понятие резонанса приобретает несколько иное значение, чем приведенное выше. Здесь вовсе не требуется, чтобы инструмент имел острый резонанс на определенной частоте: напротив, скрипка должна откликаться на любое колебание струн, передаваемое в резонаторный ящик посредством опоры, реагируя на него возникновением стоячих волн.

11. Варианты колебаний струны с закрепленными концами

Колебания корпуса скрипки можно продемонстрировать, перевернув ее и посыпав дно песком. Если теперь заставить инструмент звучать на определенной частоте, например с помощью динамика, то песок начнет дрожать и скапливаться в областях, где амплитуда колебаний минимальна. Так образуются фигуры Хладни, названные в честь немецкого физика Эрнста Хладни (1756–1827).

В отличие от представленного выше электрического контура, у скрипки существует множество резонансных частот. Тем не менее узлы волн четко выражены, и можно предположить, что резонансы узкие. Как было указано выше, скрипичные мастера стараются создавать свои инструменты без явно выраженных резонансов. К счастью, они имеют дело со сложным инструментом, а не с простой пластиной. Поэтому когда скрипка собрана, то структура резонансов в ней становится намного более сложной.

Каждый знает, что бокалы умеют «петь». Достаточно лишь окунуть палец в воду и провести им, еще мокрым, по краю бокала. Сначала производимый звук может быть неприятным, но вскоре, когда край стекла увлажнится равномерно, звук станет более гармоничным. Изменяя давление пальца, можно регулировать высоту звука. Также она зависит от размера бокала, его формы и толщины стенок. Механизм возникновения звука здесь подобен извлечению звука из струны с помощью трения (см. главу 11, «Роль канифоли»): сменяющие друг друга фазы сцепления и скольжения возбуждают колебания стеклянной стенки. Вибрируя, стекло периодически сжимает окружающий воздух и таким образом генерирует звуковые волны (см. главу 2, «Распространение звуковых волн»). Если бокал наполнить водой более чем на половину, то вы сможете наблюдать рябь, которая возникает на поверхности жидкости под воздействием вибрации стенок.

Не все бокалы музыкальны, и поиск подходящего может занять некоторое время. Лучше всего поют очень тонкие бокалы в форме параболоида вращения, на длинной ножке (илл. 1). В общем, те, которые легче всего бьются! Один из авторов этой книги не сумел найти их у себя дома, потому что все они разбились и были заменены небьющимися. Последние же оказались непригодными для извлечения музыки, поскольку слишком толстое стекло вибрирует очень слабо.

1. «Поющие» бокалы в форме параболоида вращения (форма, полученная путем вращения параболы вокруг ее оси). Проводя влажным пальцем по краю бокала, можно извлечь из него звук. Вода способствует возникновению фазы проскальзывания

Пение бокалов подверглось серьезным исследованиям, которые установили, что колебания края бокала в основном происходят между двумя эллиптическими конфигурациями (илл. 2). Они имеют четко определенную частоту, которая зависит от формы бокала и упругих свойств стекла, поэтому производимый звук оказывается очень чистым. Уровень жидкости в бокале существенно влияет на высоту этого звука: чем более наполнен бокал, тем ниже будет звук. Если вы найдете несколько бокалов разного размера и толщины, то, искусно подбирая уровень воды в них, сможете воспроизвести все ноты октавы и, приноровившись, сумеете исполнять музыкальные мелодии. Именно на этом принципе основан не получивший широкого распространения музыкальный инструмент – стеклянная гармоника (см. главу 12, врезку «Стеклянная гармоника Бенджамина Франклина»).

2. При генерации звука стенки бокала вибрируют (здесь изображен край бокала, вид сверху): они поочередно принимают удлиненную форму то в одном направлении, то в другом, ему перпендикулярном

Еще один, намного более простой способ заставить звенеть бокалы – ими чокнуться. При столкновении бокала с другим его стенка отклоняется от равновесного положения. После некоторого промежутка времени, соответствующего их затухающим колебаниям, бокалы приобретают свою первоначальную форму. Именно в течение этого промежутка времени они и издают звук. Обычно, если они пустые или наполнены вином, этот звук приятный. Однако он гораздо менее мелодичен, если в бокалах налито шампанское или другое игристое вино, – в этом случае звук оказывается глухим и невыразительным. Почему?

Бенджамин Франклин играет на своей стеклянной гармонике

Феноменом поющих бокалов интересовался великий американский ученый и выдающийся государственный деятель (достоинства, которые в наши дни редко встречаются в одном человеке) – Бенджамин Франклин (1706–1790), более известный своими экспериментами по изучению атмосферного электричества и изобретением громоотвода. Он применил свойство бокалов «петь» в придуманном им музыкальном инструменте – стеклянной гармонике. Она состояла из батареи стеклянных чаш, нанизанных через отверстие в центре на ось, на равном расстоянии друг от друга. Устройство было оснащено педалью, приводившей к вращению устройства, как, например, в старинных швейных машинках или гончарных кругах. Касаясь влажными пальцами вращающихся полусфер, музыкант получал кристально чистый звук, от самого высокого на маленьких чашах до самого низкого на чашах большего диаметра.

В 1763 году Франклин подарил стеклянную гармонику англичанке миссис Дэвис, которая много лет демонстрировала ее на гастролях по всему миру. Затем инструмент бесследно исчез; вероятно, его постигла та же участь, что и многие бокалы, разбившиеся из-за неосторожного движения… Другие экземпляры инструмента еще долго оставались в обращении. Его музыкальные качества оценивались по-разному и, конечно, зависели от мастерства исполнителя. Чарующие звуки стеклянной гармоники даже подверглись обвинению в том, что они провоцируют преждевременные роды или вызывают безумие играющих на ней музыкантов! Тем не менее музыку для гармоники писали известные композиторы и ее высоко ценили некоторые именитые слушатели, такие как великий скрипач Никколо Паганини. Но постепенно мода прошла, и к 1830 году этот инструмент полностью исчез из салонов. В течение нескольких последних десятилетий стеклянную гармонику снова изготавливают; вращение полусфер теперь обеспечивает электрический двигатель, а для увлажнения пальцев исполнителя служит пульверизатор. Читатель может составить собственное представление о качествах этого инструмента с помощью интернета: найдите интерпретацию французского виртуоза Томаса Блоха рондо K. 617 Моцарта для стеклянной гармоники.

Человеческое ухо воспринимает звуки частотой примерно от 20 до 20 000 Гц. «Хрустальный» звон стекла обусловлен присутствием в нем звуковых волн, принадлежащих к верхней части этого диапазона, то есть с частотами в интервале от 10 до 20 кГц. При звоне пустых или наполненных негазированным напитком бокалов после удара стеклянных стенок колебания продолжаются достаточно долго. И наоборот, звук затухает очень быстро, когда в бокалах находится шампанское… Объяснение этого различия кроется в содержащихся в игристом вине пузырьках углекислого газа CO₂ (см. главу 14, «Пузырьки шампанского»). Действительно, после соударения бокалов в их содержимом распространяются звуковые волны: зоны сжатия жидкости чередуются с зонами разрежения (см. главу 2, «Когда звук распространяется зигзагами»). Но растворимость газов в жидкости зависит от давления: она тем сильнее, чем давление выше (закон Генри – Дальтона). Итак, понижение давления приводит к «дегазации» шампанского: в бокале возникают пузырьки, которые рассеивают энергию колебаний. Поэтому звук в игристом вине затухает намного быстрее, чем в вине «спокойном», где пузырьки отсутствуют (илл. 3).

Колебания пружины и пузырька

В положении равновесия форма воздушного пузырька небольшого размера в воде является сферической. Его радиус таков, что давление воздуха внутри пузырька компенсирует давление воды. В результате внешнего воздействия (например, звуковой волны) пузырь деформируется и затем начинает колебаться около своего равновесного положения.

Эти колебания могут быть представлены в виде суммы большого числа различных деформационных мод. Некоторые из них приводят к значительным смещениям поверхности пузыря; такие моды называют резонансными. Один из таких резонансов, резонанс Миннарта, происходит на весьма низкой частоте: при этом он соответствует возбуждению звуковых волн весьма больших длин (как в воздухе, так и в воде) по сравнению с размерами самого колеблющегося пузырька. Эти колебания оказываются аналогичными колебаниям подвешенного на пружине и выведенного из положения равновесия шара (см. илл. ниже): при отсутствии затухания шар начинает колебаться с определенной частотой ƒ, которая зависит только от величины его массы и жесткости k пружины. Чтобы понять аналогию с пузырьком, заметим, что масса шара M в случае пузырька соответствует массе вовлеченной в движение жидкости, в то время как роль возвращающей силы упругости пружины в случае пузырька играет сила избыточного давления, стремящаяся вернуть его поверхность в положение равновесия. В случае пружины эта сила пропорциональна удлинению x пружины: F = –kx, где постоянная k является характеристикой пружины. Частота колебаний шара равна

Она тем выше, чем жестче пружина и меньше масса.

Колебания подвешенного на пружине шара (a) аналогичны колебаниям пузырька (b), который осциллирует между двумя крайними позициями (пунктирные окружности) около своего равновесного положения (сплошная линия)

А какой же будет формула для колебаний пузырька? Воспользуемся методом размерности и подберем для пузырька характерные физические параметры, которые заменят M и k. Таким образом мы немного сократим сложный расчет (который, однако, остается необходимым для получения точного количественного результата). Характерные величины, которые, очевидно, должны войти в ответ, – это плотность ρ жидкости, радиус пузырька R в положении равновесия и начальное давление жидкости P. Действительно, возвращающая сила, воздействующая на поверхность пузыря, возникает из-за давления внутри него, которое в равновесном положении должно быть равным давлению жидкости. Масса же вовлеченной в движение жидкости по порядку величины соответствует произведению объема пузырька на ее плотность: (4/3)πR³ρ. Что же касается коэффициента жесткости k, то он должен представлять собой отношение возвращающей силы к длине. Единственная величина, имеющая размерность длины в нашей задаче, – это радиус R, а величина с размерностью силы – это произведение давления P на площадь поверхности пузыря, то есть PR². Таким образом, коэффициент жесткости k должен быть порядка PR. Подставив эти значения в предыдущую формулу, получим результат, близкий к выражению, которое вывел Марсел Миннарт:

где для пузырька воздуха γ = 7/5. Поверхностное натяжение σ в эту формулу не вошло: его роль становится существенной лишь в случае достаточно малых пузырьков.

Эти наблюдения, сделанные в результате произнесения авторами многочисленных тостов, тем не менее остаются эмпирическими. Эксперименты, проведенные в Университете Париж VII, позволили более точно изучить распространение звука в газированной жидкости. Исследователи, очевидно, использовали для своих экспериментов не шампанское, а содержащую пузырьки воздуха воду. Они обнаружили, что достаточно даже низкой концентрации воздушных пузырьков (порядка одного пузырька диаметром в миллиметр на кубический сантиметр жидкости), чтобы снизить скорость звука в несколько раз (порядка 10) и существенно смягчить слышимый звук. Влияние наличия пузырьков на скорость звука легко выяснить: последняя определяется комбинацией где χ – сжимаемость (адиабатическая) среды, а ρ – ее плотность. Наличие небольшого количества пузырьков мало влияет на плотность жидкости (в рассмотренном выше случае – шампанского), в то время как сжимаемость, крайне низкая при отсутствии пузырьков, с их добавлением заметно увеличивается. Что же касается затухания звука в слышимом диапазоне, то это явление во многом связано с резонансом отдельных пузырей в жидкости. Ниже мы рассмотрим это явление подробнее.

3. Пузырьки спонтанно образуются в бокале шампанского (см. главу 14, «Пузырьки шампанского»). Их средний диаметр составляет около 0,5 мм. Из-за их наличия звон бокала оказывается более приглушенным

Как мы уже выяснили, пузырьки в жидкости рассеивают звуковые волны, однако при этом они и сами способны издавать звук! Бормотание ручья, большая часть создаваемого потоком шума и песнь закипающей воды (см. главу 15, «Пение кипящей воды») порождаются именно ими. Чтобы понять это, рассмотрим пузырек диаметром в несколько миллиметров, образующийся при впрыскивании воздуха в большой объем воды. Оторвавшись от трубки, пузырь некоторое время колеблется, тем самым создавая вокруг себя звуковые волны. Основная частота колебаний называется частотой Миннарта, в честь бельгийского ученого Марсела Миннарта (1893–1970), указавшего на музыкальные способности пузырьков еще в 1933 году. Для пузырьков воздуха в воде радиусом в несколько миллиметров при атмосферном давлении эта частота принадлежит к слышимому диапазону звуков и составляет нескольких килогерц (см. врезку выше).

В середине XX века нашим предкам рассказывали в школе, что во Франции есть угольные шахты, а также гидроэлектростанции. Шестьюдесятью годами позднее шахты были закрыты, а плотины, хотя их число возросло, обеспечивают лишь небольшую долю энергии, необходимой для экономического роста. Во Франции автомобили потребляют топливо, закупаемое в других странах, что является главной причиной дефицита торгового баланса. Сжигание этого топлива способствует усилению парникового эффекта (см. главу 7, «Температура Земли»). Электроэнергия во Франции вырабатывается главным образом атомными электростанциями. Они также используют импортируемое «топливо» – уран. Но и мировые запасы урана, которыми пользуется человечество, ограничены, их хватит примерно на столетие… Как и многие другие страны, Франция находится в состоянии полной энергетической зависимости, что, наряду с постепенным истощением мировых ресурсов, вызывает тревогу. К каким еще источникам энергии можно обратиться? Первое, что приходит на ум, – это солнечная энергия (см. главу 28). К сожалению, у нее есть существенный недостаток – она недоступна в ночное время. Энергия ветра, на которую сильно полагается Дания, также непостоянна… Заманчивым решением, которое уже практикуется в некоторых странах, представляется производство ядерного топлива «дома», на атомных электростанциях, действующих на так называемых реакторах-размножителях (илл. 1). Этот удивительный метод не может не вызывать интерес, но, как мы увидим, увы, и он имеет свои недостатки.

1. Атомная электростанция «Суперфеникс» (1200 МВт) в Крей-Мальвиль, между Лионом и Шамбери, работавшая некоторое время в конце XX века

В настоящее время использование ядерной энергии в основном осуществляется следующим образом. В реакторе происходит преобразование топлива, урана, в более легкие элементы – точнее, каждое ядро урана расщепляется на два легких ядра; этот процесс называется делением. В процессе реакции деления выделяется огромное количество энергии, в чем и состоит наша выгода. Если сравнить энергию, высвобождаемую при ядерном делении, с энергией, получаемой при сжигании нефти, грамм урана сопоставим… с более чем тонной нефти!

В ядерном реакторе (илл. 2) получаемое в процессе деления ядер тепло передается первой жидкости, называемой теплоносителем, которая, в свою очередь, отдает его воде, а та уже испаряется. Образовавшийся пар, воздействуя на лопасти турбины, приводит ее в движение; по тому же принципу были устроены и паровозы первой половины XX века, двигатель которых работал благодаря давлению пара на поршень! Механическая энергия турбины далее преобразуется в электрическую посредством генератора переменного тока. Полученная электроэнергия доставляется потребителям, находящимся порой за сотни километров от АЭС.

2. Принцип действия реактора, охлаждаемого водой под давлением. Слева, в ядерном реакторе (желтый), выделяется тепло. Оно передается жидкому теплоносителю, показанному красным цветом, который, в свою очередь, передает тепло воде. Та испаряется, приводя в действие турбину, подключенную к генератору переменного тока, который уже преобразует механическую энергию в электрическую. После турбины пар в конденсаторе снова обращается в воду. Неиспользованное тепло отводится через охладитель

Элементы ядерной физики

Ядро атома состоит из частиц, называемых нуклонами. Существует два вида нуклонов, почти идентичных по массе: несущие положительный заряд протоны и лишенные электрического заряда нейтроны. Число протонов Z (или атомное число) является характеристикой химического элемента. Общее число нуклонов A называется массовым числом. Два ядра одного и того же элемента, для которых числа A различны, называются изотопами. Таким образом, углерод (Z = 6) имеет несколько изотопов, каждый из них имеет 6 протонов, но разное количество нейтронов. Два изотопа углерода, с массовыми числами 12 и 13 соответственно, являются стабильными; их записывают как ¹²С и ¹³С. Еще один изотоп, углерод-14 (¹⁴С), является нестабильным. Он, испуская электрон, произвольно превращается в ядро азота ¹⁴N (Z = 7): говорят, что он радиоактивен.

Типы распада различаются в зависимости от характера частиц, испускаемых при ядерной трансформации. Испускание электрона или позитрона (частицы, идентичной электрону, но с противоположным зарядом) называется бета-распадом. Другой тип радиоактивности относится к «тяжелым» ядрам и соответствует испусканию ядра гелия – это альфа-распад. Наконец, гамма-распад означает излучение ядром фотона с очень высокой энергией. Излучение, испускаемое радиоактивными элементами, способно проникать в большей или меньшей степени сквозь любую материю. В зависимости от характера и интенсивности оно может представлять угрозу для здоровья.

Схема радиоактивного распада углерода-14. Нейтроны представлены красным цветом, протоны – синим

Проникающая способность различных радиоактивных излучений

Не любой изотоп урана способен подвергаться ядерному делению; расщепляется только ²³⁵U (илл. 3). При этом находящийся в природных минералах уран содержит только 0,71 % этого изотопа, а наиболее распространенным изотопом является ²³⁸U, который расщеплению не подвержен. Такой природный уран перед подачей в реактор должен быть обогащен ²³⁵U, что осуществляется на заводах по обогащению урана.

3. Принцип цепной реакции. Бомбардировка расщепляемого ядра нейтронами приводит к его делению на два более легких ядра. При этом расщепление сопровождается выделением тепла, а также испусканием излучения и одного или нескольких нейтронов, которые могут привести к последующему делению ядер

Контроль реакции в ядерном реакторе

Ядерная безопасность требует значительных мер предосторожности, потому что перегруженный реактор сравним по разрушительному воздействию с… атомной бомбой!

Мы уже знаем, что в реакторе тепло выделяется при расщеплении ядра урана-235 на два более легких ядра. Это деление не спонтанно: его вызывает бомбардировка нейтронами (илл. 3). Деление ядра сопровождается испусканием нескольких нейтронов (обычно двух-трех). При этом испущенные нейтроны с большой вероятностью вызывают последующие расщепления, которые, в свою очередь, высвободят новые нейтроны, и так далее: таким образом запускается цепная реакция. Это происходит только в том случае, если масса расщепляемого урана превышает определенную «критическую массу» (см. главу 13, врезку «Рождение атомной бомбы»): действительно, для небольшого блока урана-235 испускаемые нейтроны с высокой вероятностью покинут его раньше, чем успеют столкнуться с другим ядром и вызвать новое деление. Когда расщепляющаяся масса оказывается выше критической (несколько десятков килограммов чистого урана-235), то цепная реакция выходит из-под контроля: с течением времени происходит все большее число делений, в результате которых выделяется все больше тепла и радиоактивных элементов.

Как избежать превращения ядерного реактора в атомную бомбу? Для предотвращения неконтролируемой цепной реакции в реактор вводятся так называемые стержни управления, изготовленные из поглощающего нейтроны материала (например, сделанного на основе кадмия, карбида бора, серебра или индия). Некоторые из этих стержней висят над топливом и в случае неисправности падают, чтобы остановить цепную реакцию. Помимо этих поглощающих стержней, в большинстве ядерных реакторов, используемых в настоящее время (и во всех реакторах во Франции), топливо окружено «замедлителем» (обычно водой), роль которого заключается в торможении нейтронов, высвобожденных при расщеплении. Такое замедление нейтронов повышает их способность производить новые деления, что позволяет использовать уран с низкой степенью обогащения ²³⁵U (порядка 4 %). Для создания атомной бомбы такой низкообогащенный уран не подходит. Если в реакторе с замедленными нейтронами начнется неконтролируемая реакция, то последующий взрыв рассеет расщепленный материал и быстро остановит цепную реакцию. Именно это произошло в Чернобыле в 1986 году: после серии совершенных людьми ошибок начавшаяся в реакторе неконтролируемая реакция вызвала его разрушение, к счастью, не высвободив всю запасенную в топливе энергию. Иначе развернулись события при аварии на Фукусиме, спровоцированной цунами в 2011 году (илл. 4): цепная реакция была остановлена устройствами безопасности, тем не менее прекращение охлаждения реакторов вызвало взрыв.

4. Авария на АЭС Фукусима-1, Япония, март 2011 года. Различные повреждения, вызванные цунами, привели к прекращению охлаждения реакторов. В результате интенсивно выделяемое продуктами распада тепло инициировало химическую реакцию, которая привела к выделению охлаждающей жидкостью водорода H₂. Затем этот водород взорвался, выбросив радиоактивные продукты в атмосферу

Рождение атомной бомбы

Оценка критической массы урана-235, необходимой для начала цепной реакции, была важной задачей физиков во время Второй мировой войны. По всей вероятности, немцы, особенно Вернер Гейзенберг, завысили ее, потому и не стали прилагать много усилий к созданию атомной бомбы: они сочли ее слишком тяжелой для транспортировки самолетом. Тем не менее на другой стороне Ла-Манша Рудольф Пайерлс (также немец по происхождению, поселившийся в Великобритании после прихода Адольфа Гитлера к власти в 1933 году) нашел верный способ рассчитать критическую массу. Он даже опубликовал его, не понимая, какое военное применение может получить это открытие! Зато это хорошо понимал эмигрировавший в Британию австриец Отто Фриш. В 1940 году Фриш и Пайерлс составили меморандум, на этот раз весьма секретный, который был передан британским властям: ученые описали в нем процесс создания атомной бомбы и обрисовали вероятные разрушительные последствия. К этому очень серьезно отнеслись американцы, и с 1942 года в США была запущена грандиозная программа ядерных исследований, «Проект Манхэттен», с привлечением таких известных ученых, как Энрико Ферми и Роберт Оппенгеймер. В конце концов это привело к атомной бомбардировке японских городов Хиросимы и Нагасаки в августе 1945 года.

Плутоний: топливо на 1000 лет?

Итак, перед отправкой в реактор топливо должно быть обогащено ураном-235 за счет урана-238. Выходит, последний – лишь ненужные отходы? Необязательно! На самом деле в обогащенном уране, который помещают в реактор, преобладающий изотоп ²³⁸U не остается без дела. Он поглощает нейтроны и частично превращается в плутоний, ²³⁹Pu. Однако этот плутоний, как и ²³⁵U, способен подвергаться делению и, следовательно, производить энергию. Это свойство используется в размножителях – реакторах, топливом для которых может быть смесь ²³⁹Pu (не менее 10 %) и ²³⁸U. Эти реакторы используют расщепление плутония, одновременно превращая неделимый уран-238 в плутоний. Таким образом, реакторы-размножители вырабатывают ядерного топлива больше, чем потребляют! Если бы Франция использовала для производства энергии такие реакторы, то имеющегося на ее территории урана-238 хватило бы, чтобы удовлетворять национальный спрос на электроэнергию в течение нескольких тысячелетий!

Размножитель является реактором на быстрых нейтронах, то есть реактором, в котором нет модератора (замедлителя). Использование быстрых нейтронов усложняет конструкцию реактора. В реакторах, находящихся в эксплуатации в большинстве стран, особенно во Франции, тепло, выделяемое в результате ядерных реакций, поглощается водой. В размножителях, к сожалению, воду использовать нельзя, ведь она замедлит нейтроны. Какой же теплоноситель можно использовать в этом случае? Из всех рассмотренных наименее сложным в обращении оказывается жидкий натрий. Но у натрия есть очень неприятное свойство: он самопроизвольно воспламеняется при контакте с воздухом и вступает в бурную реакцию с водой! Даже в отсутствие воздуха и воды предрасположенность натрия к химическим реакциям ограничивает и без того узкий выбор материалов, с которыми он должен соприкасаться: ведь эти материалы должны быть способны выдерживать воздействие чрезвычайно высоких температур.

Нужно отметить, что в прошлом на территории Франции работало несколько реакторов-размножителей. Последняя такая АЭС, «Суперфеникс» (илл. 1), была закрыта в 1997 году после недолгого периода работы. Этот реактор можно считать весьма достойным прототипом, однако его работа все же сопровождалась серьезными инцидентами. Разработка надежного размножителя откроет огромные возможности для масштабного использования реакторов нового поколения.

Утилизация отходов

К перечисленным трудностям добавляется еще одна, общая для всех существующих атомных электростанций, – утилизация отходов. Отработанное топливо представляет собой ужасную смесь радиоактивных продуктов, которая ко всему прочему на выходе из реактора имеет очень высокую температуру. Поэтому для охлаждения ее помещают в своеобразный «бассейн», наполняемый свежей водой. Когда радиоактивность различных продуктов в достаточной степени уменьшится, то можно выбрать один из двух вариантов: либо переработку для извлечения плутония, например как это делается на заводе города Ла-Аг в Нормандии, либо их немедленное захоронение. При переработке отходы гораздо быстрее, чем в естественных условиях, теряют свою радиактивность (илл. 5). В качестве топлива для реакторов будущего также могут использоваться и другие радиактивные элементы (нептуний, америций, кюрий). В этом футуристическом варианте радиоактивность значительно уменьшилась бы. Таким образом, реакторы-размножители частично могли бы решить и проблему утилизации отходов.

В более отдаленном будущем представляется возможным производство энергии с помощью ядерного синтеза, то есть путем слияния легких ядер в более тяжелое, – в настоящее время в этом направлении проводятся исследования (см. главу 25, «ИТЭР: энергия XXII века?»).

5. Сравнение изменения радиоактивности отходов, образующихся при выработке одного и того же количества электроэнергии, с использованием реактора-размножителя и без него. Показанная на оси ординат величина представляет собой выделяемую в виде тепла остаточную мощность в ваттах, приходящуюся на тераватт-час вырабатываемой электроэнергии. Представленные на рисунке способы обработки включают: захоронение радиоактивных отходов без переработки (красная кривая), их переработку с повторным использованием плутония в реакторе-размножителе (зеленая кривая), переработку отходов с повторным использованием плутония и других образующихся при делении радиоактивных элементов с долгими периодами полураспада (синяя кривая)

Электричество, вырабатываемое на электростанции, как правило, используется за несколько сотен километров от нее, обеспечивая, например, работу холодильника, стиральной машины или обогревателя. Повторное преобразование электрической энергии в тепло – это настоящее расточительство, поскольку бóльшая часть теплоты, полученной при расщеплении урана, уже была отведена в окружающую нас природу (илл. 2). К сожалению, на большие расстояния куда легче перенести электричество, чем тепло. Можно ли потреблять меньше энергии, чтобы ограничить эту бездумную растрату?

Самым энергоемким сектором во Франции является недвижимость: только отопление жилых домов составляет почти три четверти всего потребления энергии. Способы утепления зданий совершенствуются, однако не менее важным является и то, как мы обогреваем дома. Наши предки традиционно получали тепло путем сжигания дров, что высвобождало содержащуюся в древесине химическую энергию в виде тепла. В XIX и XX веках древесина постепенно была заменена на ископаемое топливо, такое как уголь, природный газ или мазут. Затем появились электрические обогреватели, в которых тепло выделяется в резисторе при протекании через него электрического тока благодаря эффекту Джоуля – Ленца (см. главу 16, «Чугунные электрические плиты»).

Совершенно иным способом нагрева является тепловой насос, впрочем, также питаемый электричеством. Он забирает тепло оттуда, где оно не нужно, и переносит туда, где в нем есть необходимость. Для выполнения подобного теплопереноса, согласно второму началу термодинамики (см. главу 7, «Формула Планка»), необходимо расходовать энергию. Замечательное свойство теплового насоса заключается в том, что расход этой энергии меньше, чем в случае отопления традиционным нагревателем! Но насколько именно?

Показано (см. главу 13, врезку «Передача тепла от холодного источника горячему»), что для поддержания в квартире температуры T₂ при наружной температуре T₁ тепловой насос для компенсации потери тепла Q₂ затратит электрическую энергию W:

где W и Q₂ измеряются в джоулях (Дж), а T₁ и T₂ – в кельвинах (K).

Давайте сравним эффективности теплового насоса и электрического радиатора, для которого количество тепла Q₂, передаваемого окружающей среде, практически совпадает с потребляемой электрической энергией W. Для теплового насоса при T₁ = 0 °C = 273 K и T₂ = 20 °C = 293 K потребляемая энергия W примерно равна 0,07Q₂. То есть, чтобы нагреть помещение тепловым насосом, нужно затратить лишь 7 % энергии, которая понадобилась для той же цели при использовании электрического радиатора! На практике из-за потерь расход энергии при использовании теплового насоса оказывается несколько больше 7 %, однако он все равно значительно меньше 100 % потребления электрического нагревателя.

6. Принцип работы холодильника

Скажем несколько слов о реальных тепловых насосах и иных, сходных с ними приборах, – холодильниках (илл. 6). В обоих случаях теплопередача осуществляется посредством хладагента – жидкости, которая для поддержания разности температур переносится по трубопроводу, контактируя попеременно то с холодным, то с горячим телом (эта жидкость играет ту же роль, что и цилиндр с поршнем, пример которого мы рассмотрели в главе 13, «Передача тепла от холодного источника горячему»). При этом жидкость претерпевает ряд переходов из жидкого в газообразное состояние и обратно. Именно эти фазовые преобразования и делают процесс эффективным, ибо превращение жидкости в газ требует поглощения ею значительного количества энергии.

От теплового двигателя к электрическому

В отличие от теплового насоса, который расходует механическую энергию на перенос тепла, тепловой двигатель в наших автомобилях превращает тепло Q, выделяющееся при сгорании топлива, в необходимую для его движения механическую энергию W. Эффективность двигателя оценивается посредством так называемого коэффициента полезного действия (КПД), который равен отношению произведенной двигателем полезной энергии к энергии затраченной; чем КПД выше, тем двигатель эффективнее. Второе начало термодинамики неизбежно ограничивает эффективность W/Q любого теплового двигателя. Когда тепло передается от горячего источника с температурой T₂ (например, камеры сгорания в цилиндре топливного двигателя) холодному термостату с температурой T₁ (снаружи), то КПД идеального теплового двигателя, функционирующего по циклу Карно (см. главу 13, «Передача тепла от холодного источника горячему»), равен (1 – T₁/T₂). В настоящее время наилучший КПД теплового двигателя, сжигающего бензин, составляет около 35 %: большая часть внутренней энергии, высвобождающейся при сгорании топлива, рассеивается в окружающей среде в виде тепла. Таким образом, двигатель внутреннего сгорания гораздо менее эффективен по сравнению с электрическим двигателем, КПД которого составляет около 95 %. Поэтому сегодня лишь ограниченная автономность электромобилей задерживает их широкое распространение, а их будущее напрямую зависит от дальнейших успехов в создании новых поколений эффективных аккумуляторов большой емкости.

7. а. Щелочные батарейки, на которых работают, например, игровые приставки, преобразуют химическую энергию в электрическую. b. Аккумуляторы наших мобильных телефонов, состоящие из набора нескольких батарей, действуют по тому же принципу. В отличие от батареек, аккумулятор может быть многократно перезаряжен: при прохождении тока от внешнего источника химическая реакция в нем протекает в противоположном направлении, и реагенты восстанавливаются

Накопление и хранение электроэнергии является одной из важнейших задач. Поскольку ветряные генераторы и солнечные батареи вырабатывают электроэнергию неравномерно, то необходимо иметь возможность в фазе ее избыточного производства эти излишки сохранять для дальнейшего использования.

Как же поставлять электрическую энергию по требованию? Именно это и делают батарейки, которые хранят энергию в химической форме (илл. 7). Когда батарейка разряжается, в ней между различными компонентами происходят химические реакции. Эти так называемые окислительно-восстановительные реакции происходят путем обмена электронами между входящими в состав батарейки химическими соединениями. По мере их расходования батарейка садится. Топливный элемент по своему принципу действия практически не отличается от батарейки: в нем также протекает окислительно-восстановительная реакция. Теоретически он не садится, так как реагенты, которые питают его, постоянно восполняются. На практике срок службы топливного элемента, хотя он и длительный, все же также ограничен.

Например, водородный топливный элемент состоит из двух отсеков, разделенных пористой мембраной (илл. 8). В одном из отсеков молекула газообразного водорода H₂ отдает два электрона с образованием двух ионов H⁺; эта реакция требует присутствия катализатора. Ионы H⁺ проникают через мембрану, которая при этом должна обладать замечательным свойством пропускать ионы, но не электроны. Остающимся по другую стороны мембраны электронам ничего не остается, кроме как устремиться в электрическую цепь, тем самым создавая электрический ток, который и питает, к примеру, двигатель. Пройдя по цепи, на другой стороне мембраны, электроны вновь соединяются с ионами H⁺, а также с содержащим кислород потоком воздуха. В результате образуется вода. Уравнение соответствующей химической реакции 2H₂ + O₂ → 2H₂O (из двух молекул водорода и одной кислорода образуется две молекулы воды). В таком топливном элементе химическая энергия превращается в электрическую энергию с хорошим КПД, однако все же единице не равным. Часть энергии, выделяемой во время химической реакции, теряется в виде выделяемого тепла.

8. Принцип действия топливного элемента, реагентами которого являются молекулы водорода и кислорода. Единственным продуктом реакции топливного элемента является вода

Замечательно, что единственным продуктом реакции водородного топливного элемента является вода! Поэтому автомобиль, электрический двигатель которого питает такой топливный элемент, при движении не загрязняет окружающую среду, он передвигается с собственным водородным баком, который следует регулярно пополнять. Однако с экологической точки зрения в общем балансе должно учитываться и производство водорода. А водород – не то топливо, которое легко получать и хранить (см. главу 13, врезку «Вода – уголь будущего?»). Кроме того, необходимый для работы топливного элемента катализатор, чаще всего платина, стоит недешево. Текущие исследования направлены на устранение этих двух недостатков.

В заключение укажем, что представленная в этой главе информация фрагментарна. Читатель может дополнить ее чтением специализированной литературы (см. «Библиографию»).

9. В «водородном» автомобиле электрический двигатель питается от топливного элемента, который потребляет хранящийся в резервуарах водород

По легенде, вино появилось при дворе персидского царя за несколько тысячелетий до нашей эры. Одна разочарованная жизнью дама решила покончить с собой. По совету жреца она выпила странную жидкость, образовывающуюся на дне больших бочек, в которых хранили виноград. Однако в результате ее депрессия вдруг отступила, а мрачные мысли уступили место радости! Выявленные таким образом достоинства этого напитка побудили царя, в свою очередь, попробовать его, а затем и начать пить вино регулярно. Это случайное открытие получило известность, а впоследствии виноградарство и потребление вина приобрели множество последователей во всем мире. Древние греки воспевали вино, поклоняясь богу Дионису, которого позже в древнеримской мифологии заменил Бахус (или Либер) (илл. 1). Они знали, что вино обладает целебными свойствами как при непосредственном употреблении, так и в качестве антисептика при врачевании ран. Христиане тоже наделили вино важной ролью, поместив его в центр религиозного таинства.

1. Фрагмент мозаики «Икарий и Дионис» из атриума дома Диониса (Пафос, Кипр). Бог виноделия Дионис (слева) и нимфа Акме с чашей вина

Каким же чудом виноградный сок превратился в вино при дворе персидского царя? Сами того не зная, античные химики-любители открыли алкогольную ферментацию – химическую реакцию, которая превращает сахар (см. главу 18, «Сахара, крахмал и углеводы») в алкоголь, то есть вещество, в молекуле которого углерод связывается с группой OH. В виноградном соке эта химическая реакция происходит с помощью микроорганизмов: обитающие на кожице винограда дрожжи под названием Saccharomyces cerevisiae преобразуют в спирт содержащиеся в ягодах природные сахара. Брожение простейшего моносахарида, глюкозы (и ее изомера фруктозы), приводит к возникновению этанола C₂H₅OH и углекислого газа CO₂:

C₆H₁₂O₆ → 2C₂H₅OH + 2CO_2.

Для химиков вино, как и любой алкогольный напиток, представляет собой главным образом смесь воды и этанола. Однако оно содержит и множество других соединений в небольшой пропорции (до 2000 различных молекул). Именно они и придают вину его вкус и цвет.

Искусство винодела – нелегкий труд. Основная сложность заключается в том, что в присутствии кислорода алкоголь легко окисляется и превращается в уксусную кислоту CH₃COOH. Другими словами, вино превращается в уксус! Римские агрономы и естествоиспытатели, такие как Колумелла и Плиний Старший, оставили рецепты, как это предотвратить. Например, они рекомендовали покрывать амфоры смолой – вероятно, чтобы не позволить воздуху просочиться в сосуд. Современные бутылки имеют безупречную герметичность и не нуждаются в этой сомнительной обработке, но может быть, и неплохо предотвратить проникновение воздуха через пробку с помощью слоя воска. Впрочем, хотя смолу виноградари давно уже не используют, зато часто добавляют в вино диоксид серы SO₂, который обладает антиоксидантными свойствами.

Великий биолог Луи Пастер (1822–1895) весьма интересовался вином; в частности, он показал, что окисление алкоголя до уксусной кислоты происходит под влиянием бактерий. Труды Пастера подвели научную основу под методы виноградарства, которые на протяжении многих поколений виноделы совершенствовали путем проб и ошибок. Например, известно, что, для того чтобы не допустить длительного брожения виноградного сока вплоть до получения уксусной кислоты, следует вовремя отделить сусло (то есть виноградный сок, получаемый прессованием) от дрожжей. В этом и заключается основная роль фильтрации сусла. С другой стороны, ферментация – это экзотермическая реакция (то есть реакция, проходящая с выделением тепла), поэтому температура сусла может подниматься вплоть до 40 °C. Столь высокая температура может привести к испарению летучих соединений, в том числе ценных фруктовых и цветочных ароматов, которые определяют качество хороших вин. Чтобы сохранить эти природные сокровища, сегодня производители осуществляют так называемую холодную ферментацию при температуре около 18 °C. Химические реакции при этом протекают гораздо медленнее: процесс ферментации занимает примерно три недели вместо обычных 7–8 дней. После ферментации, чтобы удалить некоторые ненужные составляющие, следует провести холодную фильтрацию. Дело в том, что ввиду содержания алкоголя при температуре –4 °C вино еще остается жидким, в то время как упомянутые примеси при этой температуре уже затвердевают, что позволяет их легко отделить. Что же касается температуры, при которой вино начинает замерзать, то она убывает на треть градуса с каждым процентом спирта в объеме[14] (илл. 2).

2. Температура, при которой водно-спиртовой раствор начинает затвердевать, в зависимости от массовой доли этанола, выраженной в процентах. Заметим, что вплоть до объемной доли алкоголя в 93 % температура, при которой смесь замерзает, монотонно убывает и достигает значений заметно ниже температуры замерзания чистой воды (0 °C). Алкоголь – это антифриз!

Приведенные факты объясняют, почему современные винные заводы часто выглядят подобно лабораториям! Можно углубиться в эту тему, но давайте пока обсудим некоторые физические свойства самого вина.

Если осторожно вращать бокал вина, немного его наклоняя, чтобы намочить стенки, то можно наблюдать любопытное явление (см. главу 14, врезку «Условия появления «винных слез»). Внутри бокала образуется винная пленка, с верхнего края которой стекают вязкие капли, называемые «винными ножками», или «винными слезами» (илл. 3). Эти капли медленно стекают по стеклу, и вместо них возникают новые. Это необычное явление связано с тем, что спирт более летуч, чем вода: его молекулы испаряются из этой тонкой и широкой области гораздо быстрее, чем молекулы воды. В результате поток жидкости ползет по стеклу вверх, чтобы эту убыль компенсировать. И дело тут не только в выравнивании концентраций, но, как заметил в 1865 году итальянский физик Карло Марангони, и в минимизации поверхностной энергии пленки, так как поверхностное натяжение воды выше, чем у алкоголя (см. таблицу в главе 6).

Так что же происходит с этим восходящим потоком? На определенной высоте сила, связанная с градиентом коэффициента поверхностного натяжения, тянущая пленку вверх, и сила тяжести уже поднятого объема пленки уравновешиваются. Пленка перестает подниматься, поступающая жидкость накапливается в венчике, образующемся по периметру бокала. Подобно тому как поток жидкости из крана разбивается на капли, так, из-за неустойчивости Рэлея – Плато (см. главу 6, «Капающий кран»), оказывается неустойчивым и этот венчик. Вдоль него образуются более толстые и более тонкие области, что приводит к нарушению равновесия: жидкость из первых проливается вниз, и вино «слезится», стекая по поверхности бокала. При этом восходящий поток жидкости постоянно подпитывает венчик, так что процесс продолжается до тех пор, пока концентрация алкоголя в вине остается достаточной.

3. «Винные слезы», также называемые «винными ножками»

Шампань – самый северный из винодельческих регионов Франции. Уже в Средние века здесь производили вино: красное, не игристое и, вероятно, не очень хорошее. В этом холодном климате процесс брожения (ферментация алкоголя) часто останавливался уже в середине осени, прежде чем содержащийся в винограде сахар полностью потреблялся дрожжами, активность которых возобновлялась лишь весной. К тому времени вино уже оказывалось в бутылках. Таким образом, создаваемый в процессе брожения углекислый газ в них накапливался и создавал избыточное давление, которое могло даже разорвать бутылку! Благодаря монаху-бенедиктинцу по имени Дом Периньон (1639–1715) виноделы Шампани научились использовать эту вторую ферментацию во благо, для создания знаменитого игристого вина – шампанского. Сегодня после проводимого в бочках первого брожения вина его повторное брожение вызывается искусственно, посредством добавления в него так называемого тиражного ликера – смеси виноградного или тростникового сахара, дрожжей и вина. Вино с добавлением этой смеси помещается в толстую, прочную и плотно закрытую бутылку. Через несколько месяцев на ее стенках начинают откладываться мертвые дрожжи – признак того, что вторичная ферментация завершается и добавленный сахар уже переработан в алкоголь и углекислый газ. В течение этапа выдержки, который может длиться до трех лет, этот осадок участвует в формировании насыщенных ароматов шампанского. Постепенно наклоняя и периодически поворачивая бутылку (илл. 4), этот осадок перемещают к горлышку. Когда приходит время дегоржировать шампанское, то есть удалить осадок, часть его замораживают (обычно погружением горлышка в жидкий азот), а затем бутылку откупоривают: находящийся под давлением газообразный углекислый газ вытесняет осадок вместе с заледеневшей частью напитка. Наконец, в каждую бутылку добавляется «экспедиционный ликер» – смесь шампанского и сахара. Именно этот последний процесс определяет, будет ли созданное шампанское сухим, полусухим или брютом. Теперь остается только вновь закупорить бутылку, закрепить пробку с помощью проволочной уздечки – мюзле, и продать… по цене, с лихвой покрывающей затраченную работу.

После того как бутылка куплена, рано или поздно она будет откупорена. Эта операция обычно вызывает более или менее обильный выброс пены. По какой причине? Дело в том, что в плотно закрытой бутылке скапливается выработанный в процессе вторичного брожения углекислый газ. Давление под пробкой к концу этого этапа достигает шести-семи атмосфер! Именно столь высоким давлением и объясняются взрывы бутылок, которые происходили весьма часто, пока промышленность не начала производить достаточно крепкие бутылки. Когда бутылку открывают, то давление в жидкости резко падает до атмосферного. Напомним, что количество газа, которое может быть растворено в объеме жидкости, тем больше, чем больше ее давление. При открывании бутылки давление резко падает, предел растворимости углекислого газа в шампанском значительно уменьшается, и высвободившийся по всему объему газ, образуя пузырьки, рвется наверх. Бутылка шампанского объемом в 0,75 л содержит около 9 г углекислого газа, что при нормальным давлении и температуре соответствует 5 л газа. Даже если доля газа, участвующего в бурлении шампанского, невелика (порядка 20 %), пузырьков хватает!

4. Бросив в бокал шампанского кусочек шоколада, вы увидите, как он сперва утонет, затем, через некоторое время, всплывет, потом снова утонет… Такое движение вверх-вниз может продолжаться довольно долго

Пить игристое вино детям не рекомендуется, однако оно дает возможность их позабавить. Бросьте в бокал с шампанским кусочек шоколада, и вы увидите, как он сперва утонет, затем, через некоторое время, всплывет, потом снова утонет… Такое движение вверх-вниз может продолжаться довольно долго. Объяснение этого фокуса весьма просто: образующиеся в шампанском пузырьки облепляют кусочек шоколада и благодаря возросшей подъемной силе Архимеда (см. главу 15, «Возникновение первых пузырьков») тянут его вверх. У поверхности пузырьки лопаются, углекислый газ улетучивается в атмосферу, и более плотный, чем шампанское, шоколад снова погружается на дно бокала.

Пузырьки не только играют с шоколадом, как с мячом. Они еще и перед своей гибелью исполняют симфоническую музыку: характерный треск, который не так давно был изучен физиками с помощью очень чувствительного микрофона. Для удобства исследование проводилось на мыльной пене, которая живет дольше. Что же показали записи? Если бы пузырьки лопались в пене случайным образом, то производимый ими звук должен был бы быть похожим на шум водопада или плохо настроенного радиоприемника – случайный «белый шум», имеющий одинаковую интенсивность на всех частотах. Однако исследователи услышали нечто иное.

Каждый хлопóк, который длится около 0,001 с, обычно запускает последовательность микровзрывов, которые воспринимаются нашим ухом как единый звуковой сигнал. Даже в том случае, когда некоторые пузырьки взрываются изолированно, такие единичные сигналы человеческое ухо не улавливает. Если бы разрывы пузырьков были независимыми случайными событиями, то каждый из них происходил бы с некоторой вероятностью 1/τ на единицу времени, и в результате распределение временных промежутков t, разделяющих два хлопка, было бы сосредоточено вблизи определенной выше величины τ. Однако в случае шума пены шампанского это оказалось совсем не так: поскольку разрывы пузырьков – явление коллективное, то между последовательными хлопками имеется связь и никакого характерного времени τ между двумя разрывами пузырьков определенно быть не может.

Более того, можно доказать, что вероятность того, что время t разделяет два последовательных взрыва, оказывается пропорциональной 1/t. Этому закону подчиняются многие природные явления, например лавины и оползни. Они не имеют своего характерного времени или характерной мощности. Так лавина может вовлечь в свое движение как несколько граммов снега, так и завалить дорогу. Пусть с меньшей, но не пренебрежимо малой вероятностью.

5. После добавления небольшого количества воды пастис мутнеет: молекулы атенола образуют рассеивающие свет мельчайшие капельки

Пастис – традиционный аперитив с сильным ароматом аниса, пришедший с юго-востока Франции. Приготовление напитка на его основе очень просто, однако оно сопровождается удивительным явлением. Судите сами: заполните стакан прозрачным пастисом на треть, полюбуйтесь его красивым зеленоватым цветом, а затем добавьте такое же количество воды, очевидно, также прозрачной. И, о чудо, смесь этих двух прозрачных жидкостей дает непрозрачную, похожую на молоко смесь. Как объяснить эту загадку? Ответ кроется в составе пастиса: в основном это смесь этанола (45 %) и воды с небольшим количеством анетола (0,2 %), – экстракта семян аниса, который также добавляют в некоторые лекарства и ароматы. Анетол хорошо растворяется в спирте и, наоборот, слабо растворим в воде. В чистом пастисе концентрация спирта достаточна, чтобы молекулы анетола были растворены. При добавлении дополнительного количества воды на растворение всех молекул анетола молекул алкоголя не хватает: в результате они собираются в небольшие скопления, которые остаются взвешенными в жидкости. Таким образом, смешанный с водой пастис образует «эмульсию» (как, например, молоко, в котором взвешены скопления молекул жиров, или майонез, см. главу 21). Непрозрачность эмульсии обусловлена рассеянием на этих микроскопических капельках света (см. главу 3, «Цвет неба в хорошую погоду»): в пастисе, как и в молоке, падающий свет сильно рассеивается для всех длин волн видимого диапазона. Размер этих капелек – порядка микрометра, то есть того же порядка, что и длина световой волны. Таким образом, рассеянный свет оказывается почти белым.

Размер капелек в пастисе был определен в Институте Лауэ – Ланжевена (см. главу 22, «Исследование твердых тел с помощью дифрактометрии») путем изучения рассеяния на них нейтронов. Некоторые читатели могут заподозрить ученых в использовании исследований пастиса в качестве лишь повода для удовлетворения своего пристрастия к этому напитку… Уверяем, что это не так, поскольку изучение рассеяния нейтронов в пастисе потребовало замены обычной воды (H₂O) на тяжелую (D₂O), в которой вместо атомов водорода содержится его более тяжелый изотоп, дейтерий. Тяжелая вода не ядовита, но имеет плохую репутацию. Поэтому использованный для эксперимента пастис был утилизирован.

Раствор пастиса в воде – умеренно стабильная эмульсия. Если оставить стакан с ним при комнатной температуре часов на десять, то капельки анетола постепенно сольются, всплывут на поверхность, где образуют тонкую невидимую пленку. Пастис вновь станет почти бесцветным и прозрачным.

6. Принцип работы ареометра. Устройство представляет собой герметичную стеклянную полую трубку с утяжелителем внизу. Колба сужается кверху, где на нее нанесены деления. Когда устройство опускают в емкость с вином, то оно погружается больше или меньше в зависимости от архимедовой силы, на нее действующей, а следовательно, и в зависимости от плотности жидкости. Шкала на стержне нанесена так, чтобы число, оказывающееся на поверхности жидкости, показывало ее плотность

Культивировать виноград в холодных регионах трудно, поэтому вместо вина алкоголь получают перегонкой яблочного сидра, как нормандский кальвадос, или из зерновых, например ячменя, кукурузы или ржи, – так изготавливают виски в Великобритании, Ирландии и США. Водка, которую некогда называли «хлебным вином», также производится на основе злаков; в России ее часто употребляют во время еды, как вино во Франции или Италии.

В наши дни водка содержит около 40° спирта. Но ее состав не всегда был четко определен. Говорят, что, когда в конце XVI века была введена монополия на производство водки и тем самым возложена ответственность за ее качество на государство, кабатчики стали эту водку безбожно разбавлять. Тем самым они увеличивали свои доходы, одновременно вызывая справедливое недовольство посетителей низким качеством напитка. Чтобы положить конец злоупотреблениям, царь Иван Грозный (1530–1584) специальным указом разрешил недовольным клиентам бить кабатчиков до смерти, если пары́ поданной водки не воспламенялись. Оказалось, что 40 %-ное содержание спирта в растворе с водой есть тот нижний предел, при котором его пары́ над поверхностью жидкости еще могут гореть при комнатной температуре. Естественно, на этой нижней границе содержания спирта в водке и остановились кабатчики, найдя таким образом компромисс между погоней за наживой и здоровьем.

Существует и более простой способ проверить концентрацию этанола в водно-спиртовом растворе: достаточно измерить его плотность, которая тем меньше, чем выше доля алкоголя. Измерение осуществляется с помощью ареометра – герметичной стеклянной полой трубки с утяжелителем внизу, которая в зависимости от плотности жидкости погружается в нее в большей или меньшей степени (илл. 6). Принцип работы устройства, вероятно, был известен и при Иване Грозном, но его реализация достаточно сложна, поэтому в те времена он не был широко распространен в России. В конце XIX века император Александр III решил заменить эмпирический критерий Ивана Грозного на точный, научно обоснованный рецепт водки. Император обратился к Дмитрию Менделееву, одному из величайших русских ученых того времени, который рекомендовал содержание спирта в 38 %, округленное впоследствии императором до 40 %. При такой концентрации спирта стакан водки может много часов стоять на открытом воздухе, и алкоголь при этом не улетучится из-за постепенного испарения.

7. Состав жидкой и газообразной фаз водно-спиртового раствора в состоянии равновесия при нормальном атмосферном давлении (101 кПа). Состав каждого состояния указывается на оси абсцисс как молярная доля спирта (которая равна количеству молекул спирта, разделенному на общее количество молекул). Чистая вода закипает при 100 °C, а чистый этанол – при 78,4° C. Между этими двумя температурами сосуществуют две равновесные фазы: например, при 85 °C в жидком состоянии молярная доля спирта около 14 %, в газообразном – около 49 %

Интересно, что существует куда более сильная концентрация, при которой водно-спиртовая смесь испаряется без какого-либо изменения содержания в ней алкоголя вообще (илл. 7). Смесь такой концентрации называется азеотропной: она соответствует спиртовому раствору крепости примерно в 96° (точнее – 93,5 %). Именно по этой причине в аптеке трудно найти более высокую концентрацию спирта, которую невозможно получить путем классической дистилляции (см. врезку «Дистилляция – метод алхимиков»).

Водку пьют охлажденной. Остудить ее в России зимой легко, особенно в Сибири, где средняя температура составляет –10 °C: достаточно ненадолго оставить бутылку на улице. Как известно, если то же самое проделать с бутылкой воды, то бутылка лопнет. При замерзании вода увеличивается в объеме почти на 10 % (см. врезку «Вода – необычная жидкость»). Почему же с бутылкой водки этого не происходит? С одной стороны, как мы видим на илл. 2, водно-спиртовой раствор концентрации в 40°, такой как водка, остается жидким при температурах значительно ниже 0 °C. Если вы для опыта поставите стакан водки в морозильник, то она останется жидкой (конечно, если ваш морозильник не охлаждается до температуры ниже –30 °C). При еще более низких температурах водка все же начинает затвердевать, но происходит это своеобразно: из нее вымораживается вода, то есть образующаяся твердая фаза представляет собой практически чистый лед. Поэтому остающаяся жидкость становится более насыщенным водно-спиртовым раствором и продолжает оставаться жидкой при еще более низких температурах! Таким образом, температура жидкой фазы будет продолжать понижаться до тех пор, пока не сравняется с температурой морозильной камеры. Полностью она перейдет в твердое состояние лишь при температуре порядка –120 °C, которая не наблюдается даже в Антарктиде!

Дистилляция – метод алхимиков

Алхимики были предшественниками современных химиков. Одно из их блестящих изобретений – дистилляция, которая позволяет производить крепкие напитки из вина, или, в более общем плане, разделять жидкую смесь на отдельные компоненты. Рассмотрим илл. 7: при заданной температуре, например 85 °C, вещество в газообразном состоянии, находящееся в равновесии с жидкостью, оказывается намного более насыщенным спиртом. Чтобы увеличить крепость жидкости (например, вина), достаточно просто нагреть его и позволить образовавшемуся пару уйти в холодную емкость, где он сконденсируется. Для практической реализации этого процесса используют так называемый перегонный куб (см. илл.). Например, если постепенно нагревать водно-этаноловую смесь с молярной долей спирта 0,2, то она начинает испаряться при 83,5 °C. Молярная доля спирта в паре уже составит 0,54, и такое же значение будет уже в первых каплях дистиллята. По мере того как испарение продолжается, температура смеси увеличивается и алкоголя становится меньше в обеих фазах, следовательно, уменьшается и концентрация алкоголя в собранной жидкости. Поэтому процесс следует вскоре остановить, пока пар все еще насыщен спиртом.

После первой дистилляции вина получают довольно крепкий самогон. Путем нескольких перегонок получают все более и более концентрированный раствор. Однако его концентрация не может превысить концентрации азеотропной смеси в 96°, или молярной доли 90 %. Для последней пар имеет тот же состав, что и жидкость: восстановленный дистиллят при этом имеет ту же концентрацию, что и нагретый раствор. Применение перегонки не ограничивается производством ликеров: например, в Провансе распространены эфирномасличные предприятия по обработке лаванды. Ароматные эфирные масла, содержащиеся в растении, посредством водяного пара концентрируются в перегонном кубе, что и позволяет их извлечь.

Принцип дистилляции в перегонном кубе. Сначала нагревают емкость с подлежащей перегонке смесью (например, вином). В верхней части емкости концентрируется насыщенный спиртами пар. Затем этот пар постепенно охлаждается в окруженном холодной водой змеевике. В результате на конце змеевика накапливается жидкость – дистиллят

А что произойдет, если поставить в морозильник бокал вина, в котором концентрация этанола намного ниже? В этом случае вино перейдет в состояние, похожее на твердое тело, однако, надавив на него пальцем, вы убедитесь, что это не совсем так. На самом деле это множество ледяных зерен, окруженных более концентрированным по сравнению с вином раствором алкоголя. Эта жидкость прилипает к зернам льда, и ее нелегко отделить. Поэтому кристаллизация не является удобным способом повысить концентрацию алкоголя в напитке – предпочтительнее дистилляция.

8. Смертность от сердечно-сосудистых заболеваний в различных странах в зависимости от среднесуточного потребления животных жиров. Во Франции эта величина оказывается аномально низкой: так называемый французский парадокс

В этой главе мы затронули физические и химические свойства вина, а также поговорили о его месте в нашей цивилизации и о радости, которую оно может принести в нашу жизнь. Чтобы подвести итог, добавим несколько слов и о его влиянии на здоровье. Последствия чрезмерного употребления алкоголя крайне серьезны и хорошо известны: цирроз печени, рак, психические заболевания, дорожно-транспортные происшествия… А что насчет умеренного употребления?

«Вино по праву можно считать самым полезным и здоровым напитком», – писал Пастер в 1866 году в книге, посвященной болезням вина[15]. Но его утверждение не могло основываться на реальных статистических данных: многие из них были получены только в конце XX века. Сегодня этим занимается эпидемиология – наука, роль которой заключается в изучении влияющих на здоровье и возникновение болезней факторов (а не только эпидемий).

Статистические данные из проекта под названием Monica[16] были опубликованы в 1992 году в известном медицинском журнале Lancet. Они освещались и в обычных СМИ, поскольку вывод был неожиданным: вино благотворно влияет на здоровье… если рассматривать его влияние исключительно на сердечно-сосудистые заболевания! На илл. 8 показана смертность от этих заболеваний в зависимости от количества потребляемых животных жиров в различных странах. Корреляция очевидна: чем больше в рационе животного жира (следовательно, холестерина), тем выше смертность от сердечно-сосудистых заболеваний. Рост смертности – практически линейный, точки расположены почти на одной прямой. Тем не менее одна из них резко выбивается из графика: она соответствует Франции! Французы едят довольно много масла и сыра, но их смертность от сердечно-сосудистых заболеваний относительно невелика (тем не менее она остается второй по распространенности причиной смерти после раковых заболеваний). Например, на иллюстрации видно, что французы потребляют жира даже больше, чем англичане, однако сердечные приступы для них заканчиваются смертью в четыре раза реже!

Американский телеканал CBS первым из СМИ обратил внимание на эти результаты. В 1992 году они были представлены под броским названием «Французский парадокс». Следует ли объяснять его ежедневным употреблением красного вина, которое распространено во Франции? Проведенные исследования привели к выводу о том, что умеренное употребление вина (порядка двух бокалов в день) действительно приводит к снижению риска сердечно-сосудистых заболеваний (илл. 9). Согласно опубликованным работам, наиболее эффективным оказывается красное вино благодаря некоторым веществам из примерно 2000, содержащихся в нем. В частности, внимание исследователей привлекли фитоалексины, а особенно полифенолы, такие как ресвератрол, который благодаря своим антиоксидантным свойствам обладает благотворным действием на сердечно-сосудистую систему.

9. Относительные риски смертности от заболеваний кровеносной системы в зависимости от количества усваиваемого алкоголя x (в граммах в день) по сравнению с непьющими. Так, при умеренном потреблении (между 15 и 20 г/день) риск умереть от заболевания кровеносной системы на 3 % ниже, чем для людей непьющих. График построен авторами на основе эпидемиологических данных по Франции за 2009 год (согласно S. Guérin, A. Laplanche, A. Dunant, C. Hill, European Journal of Public Health du 4 mars 2013, p. 1)

Однако не все болезни сердечно-сосудистые! При рассмотрении заболеваний печени, например цирроза, а также некоторых видов рака, например рака горла или пищевода, польза от употребления вина, даже в умеренных количествах, сомнительна.

И все же вино имеет свои достоинства. Оно помогает справляться с малыми и большими бедами нашей жизни и повышает общительность. Конечно, если только им не злоупотреблять, как напоминает песня:

Boire un petit coup c’est agreableBoire un petit coup c’est douxMais il ne faut pas rouler dessous la table…[17]

Чтобы «немного выпить» было приятно, вино должно быть хорошим! Знания и опыт виноделов этому лучшая гарантия. В этом можно убедиться, посетив винодельческие регионы, которые часто богаты и историческими достопримечательностями (илл. 10). Физика тоже способствует улучшению вина: например, методы ядерного магнитного резонанса раскрывают состав и происхождение соединений и добавок (см. главу 27, врезку «Несколько слов о прецессии»).

10. Замок Шинон, департамент Эндр и Луара. Здесь в 1429 году Карл VII приветствовал Жанну д’Арк. У подножия Шинона несколько десятилетий спустя родился Франсуа Рабле. Замок находится в самом сердце винодельческого региона, прославленного в «Гаргантюа и Пантагрюэле»

Тому, как заваривать и подавать чай, посвящены объемные восточные рукописи и целые главы специализированных книг. Мы же здесь ограничимся рассмотрением процесса его приготовления, который в основном сводится к кипячению воды перед тем, как залить ею чайные листья.

Начнем с простого эксперимента: возьмем два одинаковых чайника (илл. 1), наполненных одним и тем же количеством воды комнатной температуры, и поставим их на две горелки равной мощности. Но закроем крышкой лишь один из чайников. В каком вода закипит раньше? Не нужно быть маститым поваром, чтобы дать верный ответ: в закрытом чайнике. Но знаете ли вы почему?

1. Традиционные чайники ставят на плиту. Некоторые из них имеют клапан со свистком, который, когда вода закипает, издает пронзительный звук. Есть и электрические чайники, которые имеют собственную систему нагрева

Ожидая ответа, пока наши два чайника нагреваются, поставим на третью горелку еще один чайник. То же количество воды, та же мощность, та же температура. Нам бы хотелось, чтобы вода в этом чайнике закипела немного быстрее, чем в двух других. Как этого добиться?

Кто-то, возможно, предложит налить немного уже разогретой воды в чайник, чтобы повысить температуру. На самом деле это плохая идея. Закипание замедлится! Действительно, потребуется энергия, необходимая не только для кипячения исходного количества жидкости (см. главу 18, «Сколько энергии требуется для приготовления пиццы?»), но и для закипания добавленной воды. Конечно, если заменить в третьем чайнике определенное количество холодной воды на такое же количество горячей, то закипание произойдет раньше.

Оставим третий чайник в покое и обратим внимание на первый, закрытый крышкой. Он издает неясный шум… Подняв крышку, мы увидим несколько пузырьков, которые зарождаются на дне, а затем отрываются и поднимаются к поверхности.

Что заставляет их подниматься? Конечно же, сила Архимеда, которая действует на любое погруженное в жидкость тело; она равна весу перемещенного объема воды. Из этой силы, направленной вверх, следует вычесть противоположную силу сопротивления воды, значение которой тем выше, что больше скорость пузырька. В начале восхождения скорость пузырька небольшая, и сопротивление воды незначительно: пузырек все быстрее и быстрее поднимается к поверхности. За несколько сантиметров его скорость становится достаточно большой, чтобы сила сопротивления скомпенсировала силу Архимеда; установившаяся скорость пузырька при этом зависит только от его радиуса (см. главу 15, врезку «Движение пузырьков и турбулентность»).

Почему при нагревании воды образуются пузырьки, каким газом они наполнены? Поначалу это пузырьки растворенного в воде воздуха (см. главу 14, «Пузырьки шампанского»). По мере того как температура воды возрастает, пузырьки все больше и больше заполняются водяным паром. Для того чтобы пузырек радиуса R был «жизнеспособен», давление внутри него должно превышать внешнее давление на величину δP = 2σ/R, где σ – коэффициент поверхностного натяжения воды. Эта дополнительная величина называется давлением Лапласа (см. главу 6, «Формула Лапласа»). В нашем случае внешнее давление – это давление жидкости, то есть оно практически равно атмосферному (давление столба жидкости в чайнике пренебрежимо мало по сравнению с атмосферным). Что же касается давления внутри пузырька, то оно определяется суммой давлений содержащегося в нем воздуха и насыщенного пара. Последнее – это давление пара, находящегося в равновесии со своей жидкостью при заданной температуре. С ростом температуры давление насыщенного пара очень быстро возрастает (см. таблицу). Поэтому пузырьки в первую очередь появляются именно на более горячем дне чайника. Но даже там зарождение пузырька происходит непросто: ведь вначале, пока радиус пузырька еще мал, давление Лапласа, которому следует противостоять воздуху и пару, очень велико! Опыты показали, что возникновение пузырьков чаще всего происходит на дефектах дна чайника, где условия для зарождения более благоприятны: начальный размер пузырька определяется характерным размером дефекта (илл. 2). При этом говорят, что подобное зарождение гетерогенно, в отличие от гомогенного зарождения – в случае, если пузырьки появляются в объеме жидкости.

Значение давления насыщенных паров воды при различных температурах

Подъем пузырьков

Зарождающиеся пузырьки не сразу отрываются ото дна: пока их объем невелик, их удерживают силы поверхностного натяжения. Чтобы оторваться и принять сферическую форму, он должен совершить работу по преодолению этих сил, тем самым увеличив свою поверхностную энергию (см. главу 6). Эта работа совершается благодаря понижению потенциальной энергии в поле тяжести Земли окружающей пузырек жидкости. Приравнивая для оценки поверхностную энергию пузырька к изменению потенциальной энергии жидкости, находим:

Отсюда можно найти критический размер, при котором пузырек покидает дно:

Можно оценить и время отрыва пузырька ото дна: расстояние порядка своего радиуса R он проходит с ускорением порядка g. Таким образом, для миллиметрового пузырька затраченное время составляет порядка (R/g)^1/2, или 0,01 секунды.

2. Как только температура воды становится достаточно высока, на дефектах дна чайника возникают пузырьки. Благодаря действию сил поверхностного натяжения, пока их объем невелик, пузырьки остаются у дна и, заполняясь паром, постепенно растут

Давайте проследуем за пузырьком во время его восхождения. Поднимаясь, он попадает в более холодные слои воды. В самом деле, температура в чайнике распределена вовсе не однородно. Вода не очень хороший проводник тепла. Торопясь выпить чаю, мы подвергаем чайник интенсивному нагреванию, и, когда температура дна чайника уже превышает 100 °C, верхние слои воды еще остаются сравнительно холодными. Поэтому, по мере того как пузырек поднимается, пар внутри него охлаждается и частично конденсируется обратно в воду. Но главное – падает давление остающегося в пузырьке насыщенного пара, и он, не в состоянии противостоять давлению жидкости и Лапласа, схлопывается (см. врезку). Если же он содержал заметное количество воздуха, то по крайней мере сильно сжимается. И лишь когда начинается кипение, то есть образование пузырьков во всем объеме воды, их радиус начинает с набором высоты возрастать (см. главу 15, «Вода при кипении чайника перегревается»).

3. Пузырек водяного пара – до начала кипения. Молекулы водяного пара внутри него находятся в беспорядочном тепловом движении и, ударяясь о поверхность, обеспечивают давление. Именно оно и уравновешивает суммарное давление Лапласа, атмосферы и водяного столба (красные стрелки). Поднимаясь вверх, пузырек достигает более холодных областей, где водяной пар охлаждается, частично конденсируется и пузырек схлопывается

Пение кипящей воды

Как говорилось ранее, возникновение пузырьков сопровождается характерным шумом. Какое физическое явление лежит в его основе? Представляется сомнительным, что само по себе всплывание пузырька в жидкости приводит к возникновению звуковой волны; так, например, в воздухе звуковые волны от движущегося тела слышны только при достижении скорости пули (например, летящий теннисный мяч не издает звук). С другой стороны, два описанных выше явления – отрыв пузырьков ото дна, а затем их схлопывание – кажутся хорошими кандидатами: они действительно возбуждают колебания внутри жидкости. А какова их частота? Простые вычисления показывают, что пузырек радиуса 1 мм отделяется в течение примерно 0,01 с, что соответствует частоте колебаний около 100 Гц. Затем он схлопывается приблизительно за 1 мс, что соответствует частотам порядка 1000 Гц, то есть более высокому звуку. Эта оценка подтверждается простым наблюдением: незадолго до начала кипения, когда пузырьки перестают схлопываться, внимательное ухо услышит, что испускаемый звук, больше не связанный с отрывом пузырьков ото дна, становится более низким.

Оценка времени схлопывания пузырька

Давайте оценим продолжительность времени схлопывания пузырька. Как и прежде, применим к массе воды m, которая устремляется внутрь пузырька во время схлопывания, второй закон Ньютона:

ma_r = F_p,

где F_p – сила, возникающая из-за разности давлений, а a_r – ускорение границы пузырька. Для силы давления можно записать: F_p = SΔP, где S = 4πR² – площадь поверхности пузырька и ΔP – разница давлений на границе пузырька. Оценивая массу m как (4/3) πρR³ (объем пузырька, умноженный на плотность воды), получаем ρR³a_r/3 = R²ΔP. Примем разность давлений ΔP (которое зависит только от разности температур между нижним и верхним слоями воды) за константу. Если t₂ – время, за которое пузырек схлопывается, и R₀ – изначальный радиус пузыря, то ускорение a_r можно принять за R₀/t₂² и прийти к оценке:

где мы опустили под корнем коэффициент 3, который, учитывая приблизительный характер вычислений, не сильно влияет на результат. При нормальных условиях давление насыщенного пара уменьшается примерно на 3 кПа на градус (см. таблицу в главе 15). Поэтому примем ΔP равным 1 кПа. В таком случае пузырек радиуса 1 мм схлопнется примерно за 1 мс.

Во время самого кипения тональность снова меняется: теперь шум возникает из-за разрыва пузырьков на поверхности. Спектр испускаемого звука зависит также от формы чайника и уровня воды в нем. Пение кипящей воды изучал еще в XVIII веке шотландский физик Джозеф Блэк (1728–1799). Он пришел к заключению, что возникающий звук – это результат дуэта поднимающихся к поверхности пузырьков и вибраций стенок чайника.

Кипение

Но вот в одном из чайников температура поднялась достаточно, чтобы пузырьки пара достигли поверхности и лопнули на ней (илл. 4). Как и следовало ожидать, в накрытом крышкой чайнике вода нагрелась быстрее – об этом свидетельствует вырывающийся из носика пар. Сам по себе водяной пар невидим, но на выходе из носика он частично конденсируется в капельки воды. Именно эти сопровождающие поток капельки, благодаря рассеянию света Ми, которое мы уже обсудили выше (см. главу 3, «Цвет облаков»), делают его похожим на белое облако. Струя пара оказывается достаточно сильной, чтобы заставить звучать свисток (см. врезку). Кроме того, она может обжечь руку, случайно оказавшуюся на ее пути. Убрав ее всего лишь через полсекунды, мы получим порцию водяного пара массой порядка 0,1 г. Это подводит к новому вопросу…

4. Поднимающиеся в процессе кипения пузырьки пара растут в размерах. Начиная с определенного радиуса, они уже не сохраняют сферическую форму. Пузырьки поднимаются на поверхность, которая бурлит, словно море во время жестокого шторма

Что хуже: обвариться или ошпариться?

Что обжигает сильнее: кипяток или водяной пар? Это вопрос из разряда: «Что тяжелее: железо или вата?» Или другой его распространенный вариант: «Что тяжелее: 1 килограмм ваты или 1 килограмм железа?» Так и нам следует уточнить: «Что обжигает сильнее: грамм кипящей воды или грамм стоградусного водяного пара?» Не будем тянуть с ответом: конечно же, водяной пар! На более холодной поверхности, такой как кожа, он начинает конденсироваться, а затем охлаждается. В процессе конденсации массы m водяного пара при 100 °C выделяется скрытая теплота парообразования mr, которая была ранее затрачена на то, чтобы этот пар перевести из жидкого состояния в парообразное. Величина r называется удельной теплотой парообразования, и для воды она составляет 2257 кДж⋅кг^–1 (см. главу 18, «Откуда идет тепло?»). Эта энергия оказывается намного больше чем та, что выделится при дальнейшем охлаждении той же массы воды. Действительно, последняя равна mCΔT, где C = 4190 Дж⋅кг^–1 °C^–1 – удельная теплоемкость воды, а ΔT – разница между конечной (около 40 °C, когда контакт с кожей становится терпимым) и начальной (100 °C) температурами. Легко убедиться, что при ΔT = 60 °C соотношение между выделенными энергиями составляет примерно 10 раз. Таким образом, вода в парообразном состоянии обжигает в десять раз сильнее, чем в жидком.

Пока мы производили вычисления, вода закипела уже и в чайнике без крышки. Почему кипение в нем начинается позже? Дело в том, что часть получаемой от огня энергии тратится на чистые потери: часть воды испаряется и уходит в атмосферу. В закрытом чайнике тоже происходило испарение, но вода не могла покинуть емкость. Она могла конденсироваться на крышке, возвращая таким образом затраченную энергию, и позднее повторно поглощалась жидкостью. Действительно, как только в закрытом чайнике концентрация водяного пара достигает определенного значения (которое зависит от температуры), количество испаряющихся молекул точно компенсируется количеством молекул, вновь поглощенных жидкостью.

Небольшое пояснение. Для того чтобы вода начала переход из жидкого агрегатного состояния в газообразное, ей необязательно достигать температуры кипения (100 °C при обычном атмосферном давлении, см. главу 15, врезку «Скороварка и готовка на высоте»): доказательством этому являются бассейны для выпаривания соли, в которых морская вода медленно испаряется, оставляя после себя соляные кристаллы. Испарение воды, происходит оно при 100 °C или при более низкой температуре, требует затрат энергии; при обратном преобразовании – конденсации пара – эта же энергия выделяется обратно.

Заметим, что все же одно явление немного уменьшает преимущества при кипячении закрытого крышкой чайника: по мере того как в открытом чайнике вода испаряется, уменьшается количество воды, которое остается нагреть до 100 °C… Однако, как было показано выше, энергия, необходимая для нагрева определенного количества воды на несколько десятков градусов, значительно меньше энергии, необходимой для испарения той же массы воды. Таким образом, количество энергии, которое мы выигрываем из-за того, что не весь объем воды в чайнике придется доводить до кипения, оказывается гораздо меньшим, чем та энергия, которую мы вынуждены затратить на испарение той части воды, которая покидает чайник. Если вся вода, изначально налитая в чайник без крышки, нагрелась бы в среднем до температуры, равной 100 °C – ΔT, то излишек затраченной энергии составляет (r – CΔT) Δm, где Δm – масса испаренной воды, ΔT составляет 20–30 °C; скрытая теплота r и удельная теплоемкость C были приведены выше. Что касается количества испаренной воды Δm, то она пропорциональна площади поверхности воды и продолжительности времени нагрева (и, следовательно, обратно пропорциональна мощности плиты); на практике она достигает нескольких процентов от общей массы воды. Читатель может убедиться, что, когда мы забываем закрыть чайник крышкой, потери энергии составят порядка 30 %.

5. Температура воды в зависимости от расстояния до дна чайника во время кипения при атмосферном давлении. Температура пара составляет 100 °C, что соответствует равновесию газовой и жидкой фаз. Температура воды в объеме чайника близка к 100,4 °C, за исключением области вблизи дна, где она приближается к 110 °C. Температура на дне чайника зависит от интенсивности источника тепла

Для того чтобы контролировать условия проводимых экспериментов, физики любят использовать сосуды, такие как калориметры, в которых температура постоянна. Поварам же хорошо известно, что в их кастрюлях и духовках такое случается редко… Вода, которая находится у дна чайника, в непосредственном контакте с источником тепла, очевидно, всегда горячее, чем на поверхности. Как уже говорилось, это особенно характерно до закипания, но ситуация сохраняется и во время кипения (илл. 5). Примечательно, что весь объем воды в процессе кипения чайника имеет температуру выше 100 °C, а сама жидкость пребывает в так называемом неравновесном состоянии. Поэтому поднимающиеся снизу пузырьки пара, приближаясь к поверхности, увеличиваются в объеме – в них дополнительно испаряется перегретая вода. И даже после выключения источника тепла вода некоторое время продолжает кипеть. Зальем же воду в заварочный чайник через заполненное чаем ситечко и дадим чаю настояться.

Пока чай настаивается, решим, куда его разливать. В некоторых восточных странах традиционным фарфоровым чашкам предпочитают маленькие пиалы. Эти чаши без ручки – вероятно, наследие кочевых племен из Азии – легко хранить, к тому же они менее хрупкие. Еще одно их преимущество – расширяющаяся форма способствует охлаждению поверхности напитка (поскольку больше площадь контакта с окружающим воздухом), что позволяет не обжечься при поднесении пиалы к губам. В Азербайджане стаканчики армуду («груша») также расширяются кверху. Основная же, нижняя, часть сосуда сохраняет напиток горячим: ее сферическая форма минимизирует отношение поверхности к объему, следовательно, минимизирует и охлаждение, которое происходит у поверхности. Популярность же керамических цилиндрических чашек, вероятно, объясняется тем, что их легче производить… и персонализировать при помощи разнообразных расцветок!

День, когда доисторический человек научился добывать огонь, ознаменовал начало новой эры. Огонь дал возможность обрабатывать металлы, а значит… строить автомобили и слетать на Луну! И – что, по мнению некоторых людей, куда важнее, – огонь освободил человека от необходимости есть сырые овощи и мясо. Развитие цивилизации сопровождалось эволюцией кулинарных методов. Многие гурманы сказали бы, что символом цивилизации можно считать правильно прожаренный стейк!

На протяжении веков связь между огнем и пищей менялась, точнее сказать, обогащалась новыми методами; однако фундаментальный процесс, лежащий в основе приготовления пищи, всегда оставался неизменным. Костер, на котором жарилось мясо мамонта, сначала сменился семейным очагом в камине, затем дровяной (илл. 1) или угольной плитой, позднее им на смену пришла газовая плита, и наконец, с пришествием на кухни ХХ века электричества, появились электрические плиты, в ХХI их сменяют индукционные…

Первые электрические плиты имели чугунные конфорки, в которые была встроена электрическая цепь. Конфорки нагревались благодаря эффекту Джоуля – Ленца, который заключается в выделении тепла при протекании по проводнику электрического тока. Именно на этом эффекте основана работа электрических обогревателей и тостеров. Если в качестве проводника выступает очень тонкий провод, то он может нагреваться столь сильно, что станет излучать свет. Это свойство используется в работе ламп накаливания, в которых вольфрамовая нить нагревается более чем до 2000 °C (см. главу 7, «От абсолютно черного тела к звездам»).

Какова же мощность, выделяемая в результате эффекта Джоуля – Ленца? Ее величина зависит от важной характеристики проводника – его сопротивления, и от так называемой электродвижущей силы (ЭДС) источника тока. Последняя примерно равна напряжению (или разности потенциалов), которое устанавливается между полюсами источника тока (илл. 2). Так, электрическая розетка обеспечивает на своих контактах напряжение V = 220 В. Если сопротивление проводника равно R (измеряется в системе СИ в омах), то сила тока (измеряемая в системе СИ в амперах) I = V/R (закон Ома). Что касается выделяемой в результате эффекта Джоуля – Ленца мощности W (измеряемой в системе СИ в ваттах), то ее можно вычислить по формулам W = RI² или W = V²/R. При заданном напряжении V эта мощность тем выше, чем меньше сопротивление нагрузки.

Таким образом, стоящая на плите кастрюля нагревается за счет протекания тока в нагревательном элементе. За его же счет нагревается и окружающий воздух, однако в гораздо меньшей степени, чем в случае с газовой плитой. После выключения чугунная конфорка остается горячей довольно долго, и, коснувшись ее, можно обжечься. Перейдем теперь к основной теме этой главы – современным методам приготовления пищи.

1. Приготовление в кастрюле на дровяной плите. Традиционные кулинарные методы обычно основаны на нагревании при контакте с горячим металлом (здесь – плитой), горячим воздухом (в духовке) или кипятком. Температура в кастрюле устанавливается почти постоянной благодаря конвекции, которая заставляет циркулировать жидкость или пар

Когда проводящий контур оказывается в переменном магнитном поле, в нем возникает электрический ток (см. главу 16, врезку «Электромагнитная индукция»). Это явление, называемое электромагнитной индукцией, было открыто английским физиком Майклом Фарадеем (1791–1867). Электромагнитная индукция находит бесчисленные применения в современной технике, в том числе в индукционных плитах на современных кухнях. Как же они работают?

В такой плите под рабочей (так называемой варочной) панелью расположено устройство (илл. 3), которое генерирует переменное электромагнитное поле. Пока на варочной панели ничего нет, энергии потребляется мало: панель не нагревается, можно даже коснуться ее без риска обжечься. Но когда на нее ставят металлическую посуду, электромагнитное поле обеспечивает возникновение электрического тока. Тут, пожалуй, понадобится небольшое объяснение. В начале главы мы упомянули проводящий контур: где же он находится в этом случае? Нагрузкой в нем является сама кастрюля, дно которой должно быть обязательно металлическим. Под воздействием индуцируемого электромагнитного поля электроны в металле двигаются, образуя проходящий через дно кастрюли контур. Такие электрические токи, циркулирующие в объеме проводника под воздействием переменного электромагнитного поля, называются вихревыми, или токами Фуко – в честь того самого Леона Фуко, который использовал маятник для демонстрации вращения Земли (см. главу 4). Таким образом дно кастрюли нагревается благодаря эффекту Джоуля – Ленца. Выделяемое при этом тепло передается в готовящуюся в кастрюле пищу, например суп, который в результате быстро закипает.

2. Схематическое представление генератора постоянного тока с электродвижущей силой V (примерно равной напряжению, установившемуся между полюсами + и –), замкнутого на проводник сопротивления R. По схеме проходит ток силой I, измеряемой специальным прибором – амперметром

Электродвижущая сила индукции пропорциональна амплитуде переменного электромагнитного поля и скорости его изменения со временем, то есть его частоте. Частота переменного напряжения в сети составляет 50 Гц, что не позволяет создать достаточную ЭДС для нагрева кастрюли. Для того чтобы достигнуть нужных величин ЭДС, эту частота следует увеличить в 500 или даже в 1000 раз. Именно это и происходит под рабочей поверхностью индукционной плиты.

3. Принцип индукционного нагрева. Кастрюлю ставят на керамическую панель – устойчивый к большим перепадам температуры материал, под которым расположена индукционная катушка. По катушке, состоящей из ряда витков проволоки, протекает переменный ток, который порождает в ней переменное магнитное поле: интенсивность и направление поля (обозначенное зелеными стрелками) изменяются с высокой частотой. При этом в нижней части кастрюли возникают вихревые токи (красные стрелки) и благодаря эффекту Джоуля – Ленца нагревают ее

Использовать один электрический ток для производства другого – какой в этом смысл? Смысл в том, что индукционный ток гораздо более высокой частоты, чем приходящий из сети, возникает без электрического контакта именно там, где необходимо (в дне кастрюли). Это, в частности, предотвращает опасность поражения электрическим током. По сравнению с другими способами приготовления пищи (газовой плитой или чугунной плитой, где тепло выделяется непосредственно благодаря эффекту Джоуля – Ленца) индукционный нагрев имеет ощутимое преимущество: на рабочей поверхности индукционной плиты нагревается только то, что вы хотите нагреть. Окружающий воздух изменяет температуру незначительно. Керамическая поверхность индукционной плиты нагревается при контакте с кастрюлей, но значительно меньше, чем чугунные конфорки. Таким образом, индукционная плита экономит энергию и уменьшает риск ожога. Кроме того, она обеспечивает очень быстрый нагрев. Единственный минус: не всякая посуда подходит для приготовления пищи на такой плите. Соответствующая посуда должна быть не просто металлической, но изготовленной из ферромагнитного металла, такого как сталь или чугун. Дно кастрюли также по различным причинам должно быть толстым, в первую очередь во избежание повреждения воздействующей на него высокой температурой.

Оказывается, что в то время, как для индукционной плиты подходит только металлическая посуда, другое популярное на наших кухнях устройство ее не приемлет. Перейдем к его обсуждению.

Электромагнитная индукция

В начале 1830-х годов физик Майкл Фарадей провел серию экспериментов, посвященных электромагнитной индукции.

Установить ее позволяет простой опыт. Рассмотрим замкнутый проводящий контур (например, из меди) с обмоткой, образующей n витков площади S (см. илл.). Когда проходящее через обмотку магнитное поле H меняется во времени, то в цепи возникает электрический ток. Его величина зависит от свойств электрической цепи (в особенности от ее сопротивления). Возникающая же на концах обмотки электродвижущая сила V определяется простой формулой: V = –ndΦ/dt, где Φ – «магнитный поток», проходящий через каждый виток. Он пропорционален площади S витков и магнитному полю H. Таким образом, чем больше витков в обмотке, тем большая электродвижущая сила в ней возникает.

Сегодня большая часть электроприборов работает на основе явления индукции. Например, снабжающие нас электричеством генераторы на атомных, тепловых и гидроэлектростанциях (см. главу 13) или зарядные устройства для мобильных телефонов. Все эти приборы содержат трансформаторы (см. иллюстрацию), которые позволяют от источника переменного тока данного напряжения получить переменный ток под другим напряжением. Первичная катушка в устройстве генерирует в ферромагнитном сердечнике (магнитопроводе) магнитное поле. Под его влиянием металл намагничивается, что приводит к значительному увеличению магнитного потока: в случае железного сердечника он возрастает примерно в 5000 раз! Поэтому магнитопровод обязательно изготовливается из ферромагнитного металла. По той же причине и кастрюли на индукционной плите должны быть изготовлены из стали или чугуна – ферромагнитных сплавов железа и углерода.

Принцип действия трансформатора. Он состоит из двух проводящих обмоток, размещенных на железном сердечнике. Первичная обмотка (красная) подключена к сети с напряжением V₁. Она в своем объеме генерирует магнитное поле, интенсивность которого пропорциональна количеству витков N₁. Магнитопровод переносит магнитное поле в объем, занимаемый вторичной обмоткой с количеством витков N₂ (синяя). Благодаря явлению электромагнитной индукции в последней генерируется переменное напряжение V₂ = V₁N₂/N₁, которое будет питать, например, мобильный телефон

Изменение магнитного поля в обмотке (к примеру, из-за введения внутрь нее намагниченного стержня) порождает электрический ток, который можно измерить с помощью амперметра

Еще одно устройство для нагрева появилось на наших кухнях в начале 1980-х годов. Это – микроволновая печь. Как она работает?

Как следует из названия, в этой печи нагревание происходит благодаря «микроволновому излучению» – электромагнитным волнам, частота которых составляет 2,45 ГГц (2,45 млрд герц). Их называют также сверхвысокочастотным (СВЧ) излучением. Скорость электромагнитных волн любой длины в вакууме составляет 300 000 км/с. Поэтому соответствующая СВЧ-излучению в микроволновой печи длина волны, равная c/υ, составляет около 12,2 см – сантиметров (а не микрометров, как можно было бы предположить из названия волн!). Сравните ее с длиной волны света (от 0,4 до 0,7 мкм) и с длиной волны, принимаемой нашим приемником при прослушивании FM-радио (они обычно имеют частоту порядка 100 МГц и, следовательно, длину волны порядка 3 м (см. главу 3, «Цветовое зрение»)).

Элемент конструкции, который генерирует в печи СВЧ-излучение, называется магнетроном (илл. 4). Он представляет собой магнит и полый металлический цилиндр, внутри которого находится нагретый провод. Под влиянием создаваемой трансформатором высокой разности потенциалов (несколько киловольт) раскаленный провод излучает электроны, которые под действием магнитного поля вращаются вокруг провода и излучают СВЧ-волны. Геометрия конструкции рассчитана таким образом, чтобы в ней устанавливались стоячие электромагнитные волны заданной частоты, причем значение этой частоты выдерживается с точностью до 1 %. Затем созданное излучение направляется внутрь микроволновой печи посредством волновода, который подобен устройствам, о которых шла речь в главе 2.

4. Микроволновая печь. Под влиянием создаваемой трансформатором большой разности потенциалов магнетрон излучает электромагнитные волны, которые по волноводу направляются внутрь микроволновой печи. Специальное приспособление перераспределяет излучение в различных направлениях, чтобы пища готовилась как можно более равномерно. (По C. Ray et J.-C. Poizat, La physique par les objets quotidiens, Belin, 2014)

5. (a) Cхематическое представление молекулы воды H₂O. Будучи в целом нейтральной, она содержит один атом кислорода (красного цвета), несущий отрицательный электрический заряд, и два атома водорода (белого цвета), несущие положительные заряды. Из-за своей треугольной формы она представляет собой электрический диполь (b), который ориентируется в пространстве в зависимости от направления электрического поля E^→

Как же генерируемое магнетроном СВЧ-излучение нагревает пищу? Это нагревание происходит благодаря тому факту, что практически все блюда содержат в себе молекулы воды, с которыми и взаимодействуют генерируемые магнетроном электромагнитные волны. Чтобы понять, каким образом это происходит, рассмотрим структуру этих молекул. Молекула воды состоит из атома кислорода O, связанного ковалентными связями с двумя атомами водорода H. В эти связи вовлечены по два электрона. Атом кислорода притягивает эти электроны (говорят, что он более электроотрицателен, чем водород), что приводит к накоплению вблизи него избыточного отрицательного заряда, который компенсируется избыточным положительным зарядом вблизи атомов водорода. Угол между связями O – H в молекуле воды составляет примерно 100° (илл. 5). С точки зрения электростатики все происходит так, как если бы молекула состояла из двух зарядов с противоположными знаками, расположенных рядом друг с другом: она представляет собой так называемый электрический диполь. Если на диполь воздействует электрическое поле, то он стремится занять определенную ориентацию в направлении электрического поля: положительным полюсом (+) в сторону более высокого потенциала, отрицательным (–) – в сторону низкого.

В электромагнитной волне электрическое поле постоянно колеблется, а вслед за ним в микроволновой печи приходят в колебательное движение и молекулы воды. Затем это движение уже передается и всем остальным атомам приготовляемой пищи. А увеличение интенсивности движения атомов – это не что иное, как повышение температуры тела! На самом деле все происходит немного сложнее: молекулы воды являются квантовыми объектами и колебаться могут не с любыми частотами. Поэтому в СВЧ-печи и выбрана частота 2,45 ГГц, которая соответствует резонансной частоте молекулы воды. Нагрев при этом оказываеся максимально эффективным.

Микроволновая печь – объемный резонатор

Микроволновая печь в некотором смысле даже эффективнее, чем индукционная плита, которая нагревает только дно кастрюли. Действительно, в СВЧ-печи нагрев происходит непосредственно в объеме приготавливаемой пищи. Чтобы потребитель не разделил участь курицы, электромагнитное излучение при этом ограничено рабочим объемом печи. Ее металлические стенки и металлическая решетка на дверце останавливают распространение электромагнитных волн в пространстве.

Для электромагнитного излучения печь ведет себя подобно веревке с закрепленными концами (см. главу 11, «Струны и резонатор»). При надлежащем ее возбуждении веревка принимает форму, характерную для стоячей волны: в одних точках, называемых пучностями, амплитуда колебаний веревки максимальна, в то время как в других, называемых узлами, она остается неподвижной. Такая картина наблюдается тогда, когда общая длина веревки равна целому числу полуволн; в этом случае расстояние между двумя ближайшими пучностями или узлами равно половине длине волны.

Нечто подобное происходит и в микроволновой печи. Распределение излучения в ее объеме в результате интерференции (см. главу 3, «Интерференция и когерентность») между падающей и отраженной электромагнитными волнами оказывается неоднородным (см. врезку). Производители устраняют этот недостаток тем, что круглая тарелка, на которую ставят приготавливаемую пищу, во время работы печи вращается. С помощью эксперимента мы установили, что в случае, когда тарелка неподвижна, облучение нагреваемого предмета оказывается действительно весьма неравномерным (илл. 6). Даже если тарелка вращается, то, чтобы избежать сюрпризов, следует соблюдать определенную осторожность. Например, по возможности следует убедиться, что никакая часть нагреваемой пищи не находится в центре тарелки, поскольку там она все равно будет подвергаться воздействию одного и того же излучения. При разогревании детского питания в микроволновой печи, прежде чем кормить им ребенка, хорошенько перемешайте содержимое бутылочки!

6. Эксперимент, демонстрирующий неоднородность нагрева в микроволновой печи.

a. Тарелку с кусочками хлеба кладут на столик. Он расположен на фиксированных опорах, поэтому не вращается.

b. После минуты, проведенной кусочками хлеба в микроволновой печи, включенной на ее максимальную мощность, мы обнаружим, что некоторые кусочки уже обуглились, другие остались белыми, третьи прожарены в самый раз

Стоячие волны в микроволновой печи

Заблокируем вращающуюся тарелку в микроволновой печи и разбросаем на ней кусочки хлеба. После недолгого нагрева они окажутся прогреты неравномерно, что доказывает наличие в печи узлов и пучностей электромагнитного поля (илл. 6). Возможно, у читателя возникнет соблазн провести аналогию с одномерной вибрирующей струной (см. главу 11, «Фигуры Хладни») и прийти к следующим заключениям:

a) Один из размеров рабочей камеры печи кратен половине длины волны λ/2 излучения; b) Расстояние между двумя последовательными пучностями или узлами (например, двумя сожженными областями) равно половине длины волны. Осторожно с аналогиями! Ни одно из этих заключений для микроволновой печи не верно!

На самом деле электромагнитные волны, которые вызывают резонанс, не распространяются перпендикулярно стенкам печи. Обозначим оси выбранной прямоугольной системы координат O_x, O_y и O_z. Если синусоидальная волна максимальной амплитуды E₀ распространяется в направлении x, то электрическое поле описывается формулой E = E₀ cos (kx – ωt), где ω = 2πc/λ и k = 2π/λ. Если волна распространяется в произвольном направлении, то электрическое поле в точке r^→ = (x, y, z) записывается как E = E₀cos (k^→r^→ – ωt), где k^→ – вектор, направленный вдоль линии распространения волны, модуль которого удовлетворяет условию

k_x² + k_y² + k_z² = 4π²/λ².

Чтобы стоячие волны образовывались в параллелепипеде со сторонами a_x, a_y и a_z вдоль соответствующих осей координат, проекции вектора k^→ должны удовлетворять соотношениям:

k_x = πn_x/a_x, k_y = πn_y/a_y, k_z = πn_z/a_z,

где n_x, n_y, n_z – целые числа. Теперь можно связать длины сторон с частотой ω:

Для печи размеров a_x = a_y = 29 см и a_z = 19 см это условие выполняется приблизительно для (n_x, n_y, n_z) = (1, 1, 3), (0, 1, 3), (3, 2, 2) и (4, 2, 1). Эти различные наборы значений соответствуют различным типам стоячих волн, или так называемым модам. В СВЧ-печи одновременно присутствуют разные моды (в зависимости от деталей устройства), поэтому между частотой и тем, какие именно кусочки хлеба подгорят, простой связи нет.

Скин-эффект и сырой окорок

С микроволновой печью можно поставить и несколько других любопытных экспериментов. Например, положим большой замороженный окорок на подходящее блюдо и поставим его в микроволновую печь. Через некоторое время мясо начнет менять свой цвет, а через минут десять уже покажется полностью приготовленным. Вытащим его из печи и разрежем. Оказывается, что некоторые его части внутри не просто сырые, а все еще замороженные. Почему? Дело в том, что электромагнитное поле проникает в проводник лишь поверхностно. Величина глубины проникновения δ, называемой также «скин-слоем», зависит от удельного сопротивления рассматриваемого материала и частоты падающей на проводник волны. Величина удельного сопротивления говорит о способности материала хорошо (низкое удельное сопротивление) или плохо (высокое удельное сопротивление) проводить электрический ток. Эта неспособность поля проникнуть глубже δ связана с так называемым скин-эффектом (от англ. skin – «кожа»). Чем выше частота поля υ, тем сильнее сказывается этот эффект, поскольку глубина δ уменьшается пропорционально 1/υ^1/2.

В большинстве домашних электрических приборов частота переменного напряжения составляет 50 Гц, и для используемых в них медных проводов глубина δ оказывается порядка 1 см. Это означает, что электрический ток протекает в них по всей толщине провода, и скин-эффект можно во внимание не принимать. Но для СВЧ-излучения в микроволновой печи частота составляет 2,45 ГГц, и глубина скин-слоя для меди уже оказывается порядка микрометра!

Вернемся теперь к нашему плохо приготовленному окороку. Скин-слой у него, к счастью, гораздо больше, чем у куска меди, потому что удельное сопротивление мяса велико, а глубина скин-слоя пропорциональна квадратному корню этой величины. Мясо хорошим проводником не является, однако все же проводить ток способно: в нем присутствует содержащая ионы вода, они и являются носителями заряда. Мышца имеет удельное сопротивление порядка 1 Ом·м, что почти в сто миллионов раз больше, чем у меди (1,6⋅10^–8 Ом∙м).

Таким образом, эффективная глубина проникновения электромагнитного слоя в мясо в микроволновой печи составляет около сантиметра. Поскольку размер окорока гораздо больше его скин-слоя, то внутренняя часть будет нагреваться только благодаря передаче тепла посредством теплопроводности (см. главу 18, илл. 2), точно так же как это происходит и в обычной духовке. Поэтому для того, чтобы приготовить окорок полностью, следует запастись терпением! В классической духовке продолжительность приготовления окорока составляет не менее часа. Как мы только что увидели, использование микроволновой печи этот процесс вовсе не ускоряет. Кроме того, полученный результат может разочаровать требовательного гурмана: некоторые химические реакции, которые происходят при приготовлении мяса на гриле или в духовке и отвечают за его вкусовые качества, в простой, не совмещенной с грилем, микроволновой печи не происходят. Дело в том, что они требуют температуры гораздо выше температуры кипения воды (100 °C) (см. главу 21, «…и химические реакции!»). Поэтому на окороке и не образуется аппетитная золотистая корочка…

Хотя микроволновая печь и не подходит для приготовления бифштекса, зато она позволяет создавать совершенно невиданные до ее появления блюда: например, можно приготовить мороженое, покрытое горячим слоеным тестом. Нагреваться при этом будет только тесто, а содержимое окажется защищенным скин-эффектом. Кроме того, молекулы воды во льду связаны намного сильнее, чем в жидкости, поэтому СВЧ-излучение поглощается мороженым слабее.

Теперь, когда мы познакомились со скин-эффектом, мы можем вернуться к выбору частоты СВЧ-печи. Как мы видели, она принадлежит частотному диапазону, в котором электромагнитные волны хорошо поглощаются молекулами воды. Максимум этого поглощения находится на частоте почти в 10 раз выше – около 20 ГГц. Значение 2,45 ГГц является результатом компромисса: чем выше частота, тем больше поглощение воды, однако и тем более существенным становится скин-эффект, который препятствует равномерному приготовлению блюд.

Капризы микроволновой печи

Известно, что нельзя ставить в микроволновую печь металлическую посуду. А что произойдет, если этот запрет нарушить? Стремясь просветить своих читателей, авторы этой книги поставили следующий опыт (не рекомендуем повторять его дома!). В фаянсовую чашку и металлическую емкость налили равное количество воды, а затем на 30 секунд поместили оба сосуда в микроволновую печь под наблюдением. При открытии печи вода в чашке оказалась горячей, в металлической емкости – холодной. Металл, глубина проникновения микроволн в который очень мала, помешал излучению пройти через него.

7. Высоковольтная линия электропередачи

Несмотря на то что вода в металлической емкости не нагрелась, сам металл тем не менее определенное количество тепла поглощать способен (из-за возникновения поверхностных вихревых токов). Поскольку металлы имеют хорошую теплопроводность, это тепло быстро распределяется по всему объекту. Использованная нами емкость имела толстые стенки и, следовательно, была способна поглотить тепло без повреждений. С более тонкой посудой, например тарелкой с золотым ободком, может произойти взрыв или возгорание…

8. Результат попытки приготовить яйцо в микроволновой печи

Поставив фаянсовую чашку, полную воды, рядом с металлической емкостью, мы приняли меры предосторожности. Действительно, печь настроена на определенную мощность, и вся энергия, излучаемая в течение определенного времени, должна быть рассеяна. Когда вода или пища находятся на подносе, они, нагреваясь, эту энергию поглощают. Если же в печь поставить один металлический сосуд, он, как уже говорилось, не пропустит излучение внутрь. Ситуация окажется подобной короткому замыканию розетки: не имея возможности выделить тепловую энергию в камере печи, излучение может повредить магнетрон. По той же причине не нужно запускать и пустую микроволновую печь! Поэтому следует твердо запомнить, что наличие металлической посуды в печи создает помехи распространению волн, и никогда ее не использовать.

Стоит отметить, что для использования в микроволновой печи подходит не всякая фаянсовая или стеклянная посуда. Дело в том, что некоторые сосуды при использовании в СВЧ-печи могут разогреваться, как и их содержимое. Новую посуду легко протестировать, налив в нее полстакана воды и поставив в микроволновку. Если спустя одну-две минуты работы печи вода нагрелась, а посуда осталась холодной – это то что надо.

Продолжим рассуждение на тему «как не надо использовать микроволновую печь». В ней невозможно варить яйца! В работающей микроволновке жидкое содержимое яйца очень быстро нагревается и начинает испаряться. Образующийся внутри яйца газ накапливается под скорлупой, давление возрастает – и в конце концов яйцо взрывается (илл. 8)! Взрывающееся яйцо, как и плохо приготовленный окорок, – пример неправильного использования микроволновой печи.

Наконец, проведем последний эксперимент. Действительно ли микроволновая печь не нагревает продукты, в которых нет воды? Мы поставили в печь стакан с арахисовым маслом, а рядом – стакан воды, как из предосторожности, так и для сравнения. Неудивительно, что после нескольких минут работы устройства вода стала горячей… в то время как масло осталось холодным! Однако этот результат априори предсказуем не был. И все же вещества, не содержащие воды, могут нагреваться электромагнитным излучением, при условии что они содержат молекулы, подобные электрическим диполям (илл. 5).

Выражение ab ovo взято из Ars Poetica[18] древнеримского поэта Горация и в переводе с латинского означает «начиная от яйца», то есть с самого начала. Это аллюзия на яйцо, снесенное Ледой после ее союза с Зевсом, принявшим обличье лебедя, – яйцо, из которого вылупилась Елена. Елена стала женой царя Спарты, но была похищена сыном троянского царя Парисом, что послужило поводом к началу Троянской войны, о которой рассказал Гомер в «Илиаде». Как заметил Гораций, Гомер, искусный поэт, начал свой рассказ не ab ovo, а in medias res[19], то есть прямо приступил к завязке.

Мы же в этой главе ослушаемся совета Горация и «начнем от яйца», чтобы изложить читателю некоторые размышления о физике…

Первый сюжет для обсуждения нам предлагает еще одно литературное произведение – «Путешествия Гулливера» Джонатана Свифта (1667–1745). В этой сатирической книге рассказывается, в частности, о войне государств Блефуску и Лилипутии, развязавшейся после того, как император последней эдиктом велел своим подданным разбивать вареные яйца с острого, а не тупого конца. Этот приказ привел к бесконечным ссорам между остроконечниками и тупоконечниками… Гулливер считал, что выбор конца, с которого следует разбивать яйцо, – личное дело каждого, и мы, авторы этой книги, разделяем его мнение, однако из любопытства приглашаем читателя задаться вопросом: какой конец яйца легче разбить? Возможно, читателю приходилось участвовать в бою, в котором два противника, каждый из которых вооружен яйцом, сваренным вкрутую, пытаются разбить яйцо противника (илл. 1).

1. Традиция пасхальных праздников – битва крашеными яйцами. Противники сталкивают битки, роль которых выполняют пасхальные яйца. Побеждает тот, у кого в руке биток остался неповрежденным. Какова правильная тактика для победы?

Какова правильная тактика: ударить по острому концу или по тупому? Атаковать противника или ждать нападения? Некоторые опытные бойцы утверждают, что преимущество за атакующим. Мы не будем принимать решения в общем случае. Однако если оба яйца движутся с одинаковой скоростью, то в соответствии с принципом относительности, согласно которому физические законы одинаковы в любой инерциальной системе отсчета, преимущество нападающего равно нулю.

С другой стороны, имеется различие, атаковать ли острым или тупым концом, что мы сейчас и покажем. Рассмотрим столкновение между двумя яйцами одинакового размера, движущимися навстречу друг другу по общей оси, острый конец против тупого (илл. 2). Во время удара скорлупа вокруг точки соприкосновения несколько деформируется, поскольку она обладает определенной упругостью. Итак, в момент удара яйца приобретают небольшую общую плоскую поверхность S. Ввиду различия в кривизне между тупым и острым концами скорлу́пы образуют с осью разные углы: α₁/2 и α₂/2. Согласно третьему закону Ньютона (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), сила F^→₁, действующая на острый конец, противоположна по направлению, но равна по модулю силе F^→₂, действующей на тупой конец.

2. «Сражение» на яйцах, острый конец против тупого. У какого из них больше шансов уцелеть? Скорлупа рядом с поверхностью соприкосновения сломается тем скорее, чем большим будет угол раствора α

Разлом скорлупы происходит не на общей поверхности соприкосновения S, а рядом с ней. Чтобы оценить воздействие сил F^→₁ и F^→₂ на скорлупу, последние следует представить в виде сумм сил, распределенных вдоль границы поверхности соприкосновения и направленных по касательным к поверхности яиц. Упростим расчет, представив яйца плоскими. Тогда силы F^→₁ и F^→₂ могут быть разложены на две каждая: f^→₁ и f^→'₁ слева, f^→₂ и f^→'₂ справа, при этом F^→₁ = f^→₁ + f^→'₁, F^→₂ = f^→₂ + f^→'₂. Можно найти их величины:

f₁ = f'₁ = F₁/(2cos α₁/2)

и f₂ = f'₂ = F₂/(2cos α₂/2)

Поскольку угол α₁ при остром конце меньше, чем угол α₂ при тупом, то сила, действующая на тупой конец, окажется большей по величине и разобьется именно тупой конец! Для реальных трехмерных яиц доказательство аналогично: две силы f и f' заменяются непрерывным распределением сил, величина которых тем больше, чем меньше кривизна скорлупы в точке соприкосновения.

Еще одна причина убедит вас атаковать острым концом яйца. В приведенных выше рассуждениях мы не учитывали наполняющую скорлупу жидкость, которая амортизируют столкновение. Так вот, со стороны тупого конца под скорлупой находится газовый мешок, более или менее крупный в зависимости от свежести яйца. Поэтому тупой конец оказывается более хрупким!

А что делать, если опытный противник и сам пытается атаковать вас острым концом? В этом случае постарайтесь поразить его биток сбоку, где кривизна ниже. Удачи!

3. 1955 год. Нильс Бор и Вольфганг Паули изучают движение волчка Томсона

После боя на пасхальных яйцах сменим забаву и попробуем раскрутить яйцо в качестве волчка. Как известно, таким способом можно, не разбивая, отличить сырое яйцо от сваренного вкрутую. Последнее, содержимое которого стало твердым и неподвижным, может вращаться очень долго, в то время как сырое яйцо останавливается после всего лишь нескольких оборотов. Дело в том, что из-за вязкого трения его содержимого о скорлупу кинетическая энергия вращения рассеивается и постепенно переходит в тепло. Если остаются сомнения, то вот еще один тест: слегка коснувшись яйца пальцем, приостановите его вращение. При этом вы обнаружите, что, как только палец уберете, сырое яйцо спонтанно начнет вращаться. Это вращение уже порождается продолжающимся внутри яйца вращением жидкости.

Еще одно удивительное явление можно наблюдать, когда сваренное вкрутую яйцо сильно раскручивают (более десяти оборотов в секунду) на ровной, но не слишком гладкой поверхности, например вощеной ткани. После нескольких оборотов яйцо «встает на попа» и начинает вращаться на своем остром конце! Затем скорость его вращения постепенно падает, и яйцо возвращается в свое лежачее положение, при котором центр тяжести находится в низшем положении. Такое поведение сваренного вкрутую яйца подобно поведению китайского волчка (в англоязычных странах его называют «тип-топ» – tippe-top), еще одного интересного чуда механики. Такой волчок имеет форму усеченной сферы, из которой выступает цилиндрическая ножка (илл. 4). Первоначально раскрученный вращением его ножки большим и указательным пальцами, волчок совершает несколько оборотов, стоя на сферической части, а затем вдруг переворачивается «на попа» и продолжает вращаться уже на ножке. Это необычное явление было объяснено физиком Уильямом Томсоном (1824–1907, впоследствии стал лордом Кельвином), поэтому эту игрушку иногда называют волчком Томсона. Важную роль тут играет трение об опору: сначала для раскрутки волчка из исходного положения, а затем для того, чтобы позволить ему выпрямиться на ножке. Волчки – это не только забавное шоу для детей и взрослых (илл. 3), но и неиссякаемый источник классических задач для студентов на экзаменах (см. врезку).

4. Удивительное свойство китайского волчка. Раскрученный с помощью хвостика в положении (a), через несколько оборотов волчок «становится на попа» и начинает вращаться в положении (b). При этом направление его вращения вокруг оси становится противоположным

Волчок и момент вращения

Быстро вращающийся вокруг оси волчок не падает, если эта ось близка к вертикали. Как объяснить это явление?

Для простоты изучим движение волчка, имеющего форму поверхности вращения, а также предположим, что точка контакта C между волчком и опорой фиксирована (в случае китайского волчка или яйца это не так).

Характер движения волчка может быть определен на основании закона сохранения его момента импульса, или, как его еще называют, момента вращения. Этот закон для вращательного движения играет ту же роль, что и закон сохранения импульса для поступательного движения. Момент вращения L^→ – величина векторная. Этот вектор определяется распределением массы в объеме объекта, угловой скоростью его вращения, а также осью, относительно которой он вращается. Например, момент вращения крутящегося велосипедного колеса представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости колеса, модуль которого пропорционален угловой скорости вращения. В частности, если волчок представляет собой набор материальных точек с массами m_i, положение которых определяется относительно точки контакта векторами R_i, а их линейные скорости суть v_i, то его момент импульса L^→ представляет собой сумму векторных произведений m_iR^→_i × V^→ (см. главу 4, «Смысл силы Кориолиса и векторное произведение»).

Можно показать, что если сумма моментов, воздействующих на систему внешних сил, равна нулю, то ее момент вращения остается постоянным. В случае вращающегося волчка и в отсутствии трения постоянными остаются две составляющие вектора: вертикальная и направленная вдоль оси его вращения. Если мы запустим волчок таким образом, чтобы его ось вращения совпадала с вертикалью, то и вектор его момента импульса L^→ также будет направлен по вертикали. Если же ось вращения отклоняется от вертикали, то проекции вектора L^→ на эти два направления остаются постоянными, что подразумевает увеличение модуля L^→, а значит, и увеличение скорости вращения, и как следствие – увеличение кинетической энергии. Если волчок вращается медленно, то это увеличение достаточно мало и может быть скомпенсировано уменьшением потенциальной энергии, возникающим в результате понижения центра тяжести. В этом случае волчок падает. Но если волчок вращается достаточно быстро, то такая компенсация произойти не может, и, поскольку общая энергия увеличиться не может, волчок просто остается в вертикальном положении.

Какова же минимальная скорость вращения, ниже которой вращающийся волчок становится неустойчивым и падает? Оказывается, что она равна где g – ускорение свободного падения и l – расстояние от точки C до центра тяжести волчка. Коэффициент α зависит от его формы: он меньше для сплющенного волчка и больше для удлиненного. Таким образом, вращение сплющенного волчка является более устойчивым.

Пока волчок вращается достаточно быстро, ось его вращения остается вертикальной. Момент импульса волчка относительно точки C отмечен белой стрелкой. В отличие от случая вращения идеального волчка без трения, в рассматриваемом случае он полностью не сохраняется, однако две его проекции все же остаются неизменными (отмечены красным): вертикальная компонента и проекция момента импульса, направленная вдоль оси симметрии волчка. Правый волчок (b), сплющенный, более устойчив, чем левый, вытянутый (a)

Конечно, в первую очередь яйца используются в качестве еды, а не игрушек. Есть множество способов их приготовления: яйцо, сваренное вкрутую, в мешочек, всмятку, яичница-глазунья, яйцо пашот… При этом возникают практические вопросы: сколько минут следует варить яйцо, чтобы оно получилось всмятку, а не вкрутую? Зачем яйца варят в соленой воде? Почему после варки яйца сразу же погружают в холодную воду? Прежде чем ответить на эти вопросы, давайте составим некоторое представление о физико-химических процессах, происходящих в ходе приготовления яйца.

Внутренняя часть яйца состоит в основном из воды и белков (протеинов) (см. главу 17, врезку «Белки, цепочки аминокислот»). В организме эти длинные молекулы обеспечивают многие важные функции, такие как работа мышц, катализ химических реакций или перенос других молекул. Чтобы выполнять эти задачи, они, располагаясь в пространстве надлежащим образом, принимают ту или иную форму. Иногда эта конфигурация меняется в результате повышения температуры или изменения кислотности среды: белки сворачиваются и принимают форму, которая больше не позволяет им выполнять свои биологические функции. Этот процесс называют денатурацией.

С гастрономической точки зрения денатурированные белки часто оказываются более вкусными и более приемлемыми для процесса пищеварения, чем до их приготовления. Благодаря своей способности сцепляться белки могут образовывать сети, что, например, позволяет сделать суп более густым или заварить желе. В вареном яичном белке такая сеть связывает молекулы воды. Именно благодаря этому белок способен затвердевать: ведь почти на 90 % он состоит из воды. Помимо водорода, кислорода и азота, белки часто содержат серу. Таковы белки, содержащиеся в яйце, при разложении которого выделяется известный своим неприятным запахом газ – сероводород (H₂S). Именно он придает запах тухлых яиц некоторым термальным источникам!

Давайте посмотрим на процесс приготовления вареного яйца. Желток и белок в яйце содержат разный набор протеинов, а потому и денатурируют при разных температурах. Во многих книгах пишут, что белок затвердевает при более низкой температуре, чем желток, поэтому и возможно приготовить яйцо всмятку. Действительно, денатурация белка начинается при температуре более низкой, чем температура денатурации желтка, однако этот сложный процесс состоит из серии трансформаций и завершается при температуре более высокой. Если обратится к цифрам, то процесс денатурации белка происходит в интервале температур между 58 и 80 °C, а желтка – в гораздо более узком диапазоне – 63–70 °C. Поэтому, если оставить яйцо полчаса вариться в воде температурой около 70 °C, в результате получится любимый японскими гурманами деликатес Онсэн-тамаго (Onsen Tamago): желток в таком яйце оказывается тверже белка, который при такой температуре уже теряет свою прозрачность, однако еще не затвердевает, а на вкус имеет приятную сливочную консистенцию. Приглашаем читателя попробовать самостоятельно приготовить Онсэн-тамаго. Для этого нужно найти способ поддерживать температуру воды относительно постоянной и равной 70 °C. На обычной кухне это не так просто, за исключением тех счастливчиков, у которых есть специальное приспособление, называемое «водяной баней»… В современной Японии продают как уже готовые Онсэн-тамаго, так и устройства для их приготовления в домашних условиях. Традиционно же их готовили путем погружения в воду горячего источника: Tamago означает «яйцо», а Onsen – «горячий источник» (илл. 5).

5. Приготовление яиц традиционным в Японии способом Онсэн-тамаго – путем их погружения в горячий источник

Приготовленное путем погружения на несколько минут в кипящую воду европейское яйцо всмятку выглядит наоборот: оно состоит из затвердевшего белка и жидкого желтка. Сварить яйцо всмятку не так просто, как может показаться. Кстати, это возможно в основном благодаря тому, что тепло проникает в яйцо постепенно и повышение температуры в белке происходит раньше, чем в желтке. Для правильного приготовления яйца всмятку процесс передачи ему тепла следует прервать таким образом, чтобы конечная температура желтка T_к достигла, но не превысила 63 °C. Понятно, что время t, необходимое для этого, зависит от размера яйца, точнее, от величины его меньшего диаметра d, который можно определить с помощью штангенциркуля (илл. 7). Кроме того, на результат влияют начальная температура яйца T₀ и значение температуры кипения воды T_кип (которая, напомним, изменяется с высотой, см. главу 15, илл. 5).

Английский физик Питер Бархэм написал книгу под названием «Наука приготовления пищи» (The science of cooking), в которой предложил определить время приготовления яйца t с помощью формулы:

t = 0,15Kd²,

где t – время, выраженное в минутах, d – величина малого диаметра яйца в сантиметрах, а коэффициент K равен

где ln означает натуральный логарифм. Для T_кип = 100 °C, T_к = 63 °C и T₀ = 20 °C, коэффициент K равен 1,46. Если яйцо только что вынуто из холодильника и имеет температуру 5 °C, то K = 1,64.

Каким же будет время приготовления всмятку яйца средних размеров с малым диаметром 4 см? Согласно формуле Бархэма, для варки яйца комнатной температуры требуется три с половиной минуты, а для яйца из холодильника – почти четыре минуты (илл. 6). А чтобы приготовить яйцо той же консистенции на вершине Монблана, потребуется добавить почти полминуты! Заметим, что время приготовления очень быстро возрастает с увеличением диаметра яйца. Для того чтобы сварить всмятку страусиное яйцо диаметром 15 см, понадобится около часа. Ну а чтобы сварить его вкрутую… Заметим, что желающим отведать это блюдо, чтобы избежать повышения уровня холестерина, стоит разделить его с друзьями!

6. Время (в минутах), необходимое для приготовления яйца всмятку, в зависимости от величины его малого диаметра (в сантиметрах) согласно Бархэму

Теперь давайте обсудим, зачем при варке яиц часто солят воду. Дело в том, что турбулентное движение кипящей воды приподнимает яйцо, бросает из стороны в сторону, оно падает и бьется о дно кастрюли. При этом скорлупа часто трескается и есть риск, что белок через эту трещину начнет вытекать! Запоздало узнать об этой беде можно по появлению в воде «хлопьев» свернувшегося белка (илл. 8). Чтобы избежать этой неприятности, воду, в которой варятся яйца, рекомендуется солить. Поскольку плотность соленой воды больше, чем у обычной, то воздействующая на яйцо сила Архимеда (см. главу 15, «Возникновение первых пузырьков») выше, яйцо падает медленнее и ударяется не так сильно. Кроме того, растворенная в воде соль стимулирует в яичном белке денатурацию протеинов, поэтому вытекающий белок быстрее сворачивается и таким образом закупоривает трещину. Тот же эффект достигается, если в воду добавить каплю уксуса.

Растрескивание скорлупы иногда вызвано другим физическим явлением: при повышении температуры содержимое яйца расширяется, а содержащаяся в нем вода, особенно в белке, частично испаряется. Поэтому перед погружением в воду рекомендуется один из концов яйца проколоть булавкой. В этом случае газ может выходить, не разрушая скорлупу.

Треснувшее или нет, яйцо наконец сварились! Теперь вы можете поразить ваших приятелей, вытащив яйцо ложкой из кипящей воды и сразу же взяв его в руку. Яйцо будет очень горячим, но руки не обожжет. Если же теперь вы передадите подержать подсохшее яйцо кому-нибудь другому (желательно не вашему лучшему другу), он этого сделать не сможет. Почему? Дело в том, что, пока горячее яйцо еще оставалось влажным, оно, пусть немного, но охлаждалось за счет испарения воды с его поверхности. Как мы уже знаем, испарение требует затрат энергии: в данном случае вода отнимает ее у яйца, спасая кожу на вашей ладони (см. главу 15, «Что хуже: обвариться или ошпариться?»). Именно поэтому, как только поверхность яйца высыхает, оно по ощущению становится намного горячее! Возможно, с этим эффектом был знаком и Жюль Верн: в романе «Михаил Строгов» он повествует о попавшем в плен герое, которого татарский хан осудил на ослепление при помощи раскаленного добела лезвия меча. Но в тот самый миг, когда палач поднес пылающий клинок к глазам Михаила Строгова, они наполнились слезами при виде оскорбленной ханом матери, и эти слезы спасли зрение героя.

7. Малый диаметр яйца измеряется примерно в середине, в самой широкой части. Это измерение позволяет оценить продолжительность приготовления яйца всмятку

Зная об этом, вы не станете хватать сваренное яйцо, только что извлеченное из кастрюли, а оставите его медленно остывать. Если же через несколько часов вы попытаетесь очистить его от скорлупы, то это удастся с трудом: кусочки белка будут отрываться вместе с осколками скорлупы. Дело в том, что вы допустили ошибку, не опустив сразу же извлеченное из горячей воды яйцо в емкость с холодной водой. Резкое охлаждение отделило бы яичный белок от скорлупы: коэффициент теплового расширения скорлупы меньше, чем у сваренного яичного белка, и она меньше сжимается.

Еще один совет любителям яиц, которые уже знают, как различать сырое яйцо от вареного. А как отличить свежее яйцо от тухлого? Оказывается, для этого достаточно стакана воды, в который следует опустить яйцо. Свежее яйцо погружается и ложится на дно, яйцо «второй» свежести поднимается и замирает в безразличном равновесии, а яйцо, которое уже не стоит есть, всплывает (илл. 9). Действительно, чем больше времени проходит, тем легче становится яйцо: часть белка разлагается, в результате чего в яйце образуется сероводород, который просачивается через поры скорлупы. При этом объем яйца, конечно, не меняется. Таким образом, когда яйцо помещают в воду, то выталкивающая сила уравновешивает вес яйца и оно, подобно поплавку, выступает над поверхностью.

8. Если опустить яйцо в кипяток без принятия мер предосторожности, то оно может треснуть. Об этом будут свидетельствовать появившиеся хлопья свернувшегося белка (слева)

Поскольку при совершении покупок у вас не всегда под рукой стакан воды, то можно использовать другой способ для распознавания свежих яиц. Поместив яйцо перед источником яркого света, хорошенько рассмотрите его на просвет. Свежее яйцо в некоторой степени прозрачно, что позволяет наметанному глазу отличить его от тухлого яйца, которое из-за сероводорода темнеет. На этом явлении основан принцип работы инструмента под названием овоскоп, который некогда использовали добросовестные бакалейщики.

9. Плотность яйца со временем уменьшается: свежее яйцо погружается на дно стакана с водой, но через несколько недель оно же будет плавать. Яйцо слева можно есть всмятку, среднее, более старое, лучше сварить вкрутую. То же, что справа, следует выбросить

Мы многому научились, а заодно развлеклись и с сырыми, и с вареными яйцами; но и пустая яичная скорлупа также не лишена интереса. Чтобы выпить сырое яйцо и оставить при этом скорлупу практически целой, достаточно проколоть на концах яйца два отверстия: одно достаточно крупное, чтобы извлечь белок и желток (достаточно диаметра 1 мм²), и другое, поменьше, чтобы оно лишь пропускало воздух. Опустевшую скорлупу следует вымыть и дать высохнуть.

Что же с ней делать? Забавный опыт, демонстрирующий ее электростатические свойства, был описан еще в XIX веке Майклом Фарадеем. Приблизим к боковой поверхности скорлупы предварительно потертый о шерсть пластмассовый предмет, например гребень. Скорлупа притянется к гребню и будет следовать за ним, как собака следует за своим хозяином! Как объяснить это явление? При трении электроны из шерсти переходят на расческу, которая приобретает отрицательный заряд. Теперь гребень будет притягивать легкие предметы, например кусочки бумаги… или яичную скорлупу. Этот процесс электризации трением был известен древним грекам еще в VI веке до нашей эры. Конечно, они наблюдали явление электризации с помощью не пластика, а янтаря – окаменевшей хвойной смолы. Именно поэтому слово «электричество» происходит от греческого ηλεκτρον (электрон), что означает «янтарь»!

Второй опыт, который мы опишем, порадует ваших детей или внуков, а может быть, и вас самих! С помощью шприца заполните скорлупу водой наполовину и закройте одно из отверстий (например, с помощью жевательной резинки). Найдите маленькую легкую тележку, установите на ней скорлупу, а затем поместите под скорлупой горящую свечу. Через несколько мгновений под действием вытесняемого водяного пара построенный вами экипаж начнет двигаться (илл. 10). Это движение имеет ту же природу, что и полет реактивного самолета, и происходит благодаря сохранению полного импульса системы.

10. Простой опыт: реактивное яйцо. Пустую яичную скорлупу наполовину заполнили водой. Вода нагревается свечой, и пар выходит через отверстие, проделанное в тупом конце яйца. Согласно закону сохранения количества движения, тележка, подобно реактивному самолету, начинает двигаться в противоположном направлении

Пицца в привычном нам виде – запеченная на дрожжевом тесте начинка – появилась на узких улочках и в переулках Неаполя в первой половине XVIII века. Первые, очень простые начинки состояли из помидоров, моцареллы, оливкового масла и приправ. Помидоры были привезены в Европу на каравеллах конкистадоров в начале XVI века из Перу. Что касается моцареллы – сыра, традиционно изготавливаемого из буйволиного молока, то это наследие лангобардов, которые после падения Римской империи перегнали своих буйволов в Кампанию. Важно: моцареллу не следует хранить в холодильнике, она не любит холода и становится «резиновой»! Ей лучше оставаться даже на протяжении нескольких дней, плавая в своей сыворотке. Заметим, что, добавляя на поверхность пиццы листья базилика (илл. 1), можно воспроизвести на ней три цвета итальянского флага, ставшего символом объединения страны. Это традиционная пицца Маргарита, названная так в честь королевы Маргариты, жены второго короля Италии Умберто I, – впрочем, эта версия порой оспаривается.

1. Пицца Маргарита с начинкой из базилика, моцареллы и помидоров воспроизводит три цвета итальянского флага

В начале XX века итальянцы массово эмигрировали в США и другие страны, а с их расселением по миру повсеместную известность приобрела и пицца. Сегодня она уже не просто итальянское национальное блюдо – многие американцы считают, что пиццу придумали в их стране! Там существуют чикагская, нью-йоркская, калифорнийская и другие разновидности пиццы. Да и в Италии за пределами Неаполя пицца стала принимать самые разнообразные формы: например, от пышной неаполитанской пиццы с толстыми краями заметно отличается хрустящая и тонкая римская пицца. С процессом приготовления именно римской пиццы мы познакомились благодаря Антонио – пиццайоло одной из популярных среди римлян пиццерий вдали от туристических троп Вечного города.

Антонио начинает готовить тесто для пиццы заранее, за несколько часов. Оно похоже на дрожжевое: тоже готовится из пшеничной муки, воды, дрожжей и оливкового масла (при желании можно добавить щепотку соли). Масса воды должна немного превышать половину массы муки, а дрожжей следует добавлять примерно 20 г на килограмм муки.

После того как тесто хорошо замешивается, пиццайоло оставляет его на несколько часов, и за это время тесто увеличивается в объеме. Что с ним при этом происходит? Под действием дрожжей происходит процесс брожения, аналогичный спиртовому брожению (см. главу 14, «Искусство виноделия»). При брожении теста происходят различные сложные процессы: микробиологические, физические и биохимические Пшеничная мука на 70 % состоит из крахмала (см. врезку «Сахара, крахмал и углеводы»), который дрожжи в процессе брожения разлагают. В тесте выделяется углекислый газ. Он образует мельчайшие пузырьки, которые остаются в тесте и тем самым заставляют его «подниматься».

Теперь, когда тесто можно выпекать, рассмотрим, как распространяется тепло в печи для пиццы и в самой пицце. Напомним, что существует три механизма теплопередачи (илл. 2):

• тепловое излучение: передача тепла осуществляется путем поглощения или испускания электромагнитного излучения (например, Солнце нагревает Землю благодаря излучению, см. главу 7, «Температура Земли»);

• конвекция: в жидкостях и газах она представляет собой направленное движение материи (например, тепло, излучаемое земной корой, распространяется в атмосфере воздушными потоками, см. главу 7, «Конвекционный нагрев атмосферы Земли»);

• теплопроводность: колеблющиеся атомы и электроны из горячих областей передают часть своей кинетической энергии в менее нагретые (например, желток погруженного в кипящую воду яйца затвердевает благодаря теплопроводности скорлупы, белка и своей собственной, см. главу 17, «Чем вареное яйцо отличается от сырого?»).

2. Три вида теплопередачи на примере стены с двойным остеклением. Слой воздуха между двумя стеклами препятствует теплообмену между воздухом снаружи и внутри

Каково же распределение ролей между теплопроводностью, излучением и конвекцией при приготовлении пиццы? При помощи несложных вычислений попробуем найти ответы на эти вопросы, вместо неизвестных величин используя приблизительные данные.

В пиццерии, где Антонио выпекает свою пиццу, печь топится дровами, а ее рабочая поверхность выложена огнеупорным кирпичом. Температура в печи, по словам Антонио, достигает 325–330 °C.

Что же происходит с будущей пиццей при ее нагревании в печи? С одной стороны, ее температура повышается, а с другой – этот нагрев вызывает физические преобразования и химические реакции, которые придадут пицце текстуру, вкус и запах. Температура теста T₀ на выходе из холодильника – примерно 10 °C. Пиццайоло придает ему форму диска и добавляет начинку. В процессе выпекания пицца в своем объеме достигает некоторой температуры T₁. Представляется разумным оценить T₁ в 100 °C. Действительно, печь достаточно раскалена, для того чтобы быстро довести тесто до этой температуры, а содержащаяся в тесте вода, испаряясь, не позволяет ей подняться выше. В самом деле, известно, что при нормальном давлении вода находится в равновесии с паром при температуре 100 °C. Конечно, вода, содержащаяся в пицце, не является чистой (в частности, она содержит соль), но температура ее кипения отличается от 100 °C незначительно.

Количество теплоты, необходимое для нагревания пиццы от T₀ до T₁, составит:

где S – площадь пиццы, ℓ – ее толщина, ρ_п – плотность и C_п – удельная теплоемкость. Предположим, что последняя равна теплоемкости дрожжевого теста, то есть C_п = 2800 Дж/(кг∙°C). После нескольких часов брожения тесто полно мелких пузырьков углекислого газа и имеет низкую плотность ρ_п = 800 кг/м³. Что же касается толщины, то официальные инструкции по производству римской пиццы рекомендуют, чтобы после выпечки она составляла 4 мм с допустимым отклонением 20 %. Учитывая потерю объема во время приготовления и 20 %-ное отклонение, примем ℓ = 0,005 м. Таким образом, из указанной формулы находим, что количество теплоты, необходимое для нагревания 1 см² пиццы, до начала кипения в ней воды составляет Q₁/S = 1 000 000 Дж/м², или 100 Дж/см². В расчетах мы пренебрегли начинкой (сыром, овощами), толщина которой неравномерна.

Теперь оценим энергию, расходуемую на физико-химические реакции, возникающие во время приготовления. Некоторые химические реакции, называемые экзотермическими, энергию выделяют; другие, эндотермические, ее поглощают, однако и то и другое количество энергии незначительно по сравнению с количеством тепла Q₂, необходимым для испарения содержащейся в будущей пицце воды. Не располагая дровяной печью для пиццы, мы испекли в электрической духовке хлеб и обнаружили, что испарившаяся вода составляет примерно 10 % от первоначального веса. Предположим, что для пиццы процент испарения воды тот же, α = 10 % – следовательно, за время выпекания она теряет массу αρ_пℓS. На испарение чистой воды при нормальном давлении расходуется энергия W = 2 257 Дж/г, или 2 257 кДж/кг. Считая воду, содержащуюся в тесте и начинке, чистой, получаем:

Q₂/S = αWρ_пℓ = 225 × 800 × 0,005 = 900 кДж/м², или 90 Дж/см².

3. Распределение температуры в объеме дровяной печи для пиццы в зависимости от глубины z. Температура внутри пиццы и вблизи изготовленной из огнеупорного кирпича рабочей поверхности (пунктирная линия) зависит от времени. Что же касается температуры внутри ее массивного основания, то она остается практически постоянной (непрерывная линия) во время всего процесса выпекания пиццы

В конечном счете полное передаваемое пицце количество тепла составляет Q₀ = Q₁ + Q₂, то есть на единицу площади Q₀/S = 190 Дж/см². Примерно половина этой величины расходуется на испарение воды, а вторая половина – на нагревание будущей пиццы от температуры холодильника до точки кипения воды.

Количество тепла Q₀ передается пицце печью за краткий промежуток времени τ, длительностью всего в две минуты, объясняет Антонио. Вспомним: чтобы сварить яйцо всмятку, времени требуется в два раза больше (см. главу 17, «Европейское яйцо всмятку против японского Онсэн-тамаго»). Такое короткое время объясняется тонкостью пиццы и высокой температурой печи. А кроме того, тем, что пицца получает тепло как снизу, так и сверху! Кирпичное дно нагревает ее посредством механизма теплопроводности, а помимо этого, пицца подвергается инфракрасному излучению от свода печи и вообще со всех сторон.

Сначала рассмотрим поток тепла, поступающий в пиццу снизу, сквозь рабочую поверхность печи посредством механизма теплопроводности. Предположим, что нагреваемая пламенем ее внутренняя поверхность (илл. 3) имеет температуру T₂ = 330 °C. В месте, на которое укладывается пицца, верхняя граница кирпича (под) постоянно охлаждается холодным тестом, имеющим температуру T₀ = 10 °C, и, следовательно, ее температура T₃ должна быть ниже T₂. Количество теплоты, передаваемой посредством теплопроводности за время t через рабочую поверхность S пицце, пропорционально разности температур (T₂ – T₃) между ее нижней и верхней границами: Λt (T₂ – T₃)/d, где Λ – теплопроводность огнеупорного кирпича и d – толщина (см. врезку «Теплопроводность материалов»).

Допустим, что эта теплота идет только на нагрев пиццы. Тогда количество теплоты, полученной на единицу площади пиццы, составляет

где t_п время выпечки пиццы. По словам Антонио, оно составляет около 120 с. Теперь мы должны признаться, что не знаем точно, чему равна температура T₃. Снова доверимся Антонио: по его мнению, она составляет около 200 °C. Зная, что толщина рабочей поверхности равна d = 2 см, а проводимость кирпича – Λ = 0,86 Вт⋅м^–1K^–1, получим

Q/S = 0,86 × 120 × 130/0,02 Дж/м², или 67 Дж/см².

Это количество теплоты, полученной за счет теплопроводности, значительно меньше общего тепла Q₀/S = 190 Дж/см², рассчитанного ранее. Таким образом, ролью излучения в процессе приготовления пиццы пренебречь нельзя.

Выше мы говорили о передаче тепла посредством теплопроводности. Однако, когда курицу готовят на вертеле в электрической духовке, мясо вообще не касается горячих стенок. И все же оно запекается! В этом случае тепло курице передается частично излучением, которое испускают нагревательный элемент и стенки, а частично – посредством конвекции нагретого воздуха. Возвращаясь к объекту нашего интереса – пицце, мы обратимся к роли излучения.

4. Пиццы выпекаются в дровяной печи. Мастер виртуозно замешивает тесто, выкладывает на него начинку и ставит пиццу в печь

Теплопроводность материалов

Теплопроводность – относительно медленный процесс, особенно в твердых телах. Механизм этого явления был проанализирован в начале XIX века Жозефом Фурье, о котором мы уже говорили в главе 7.

Если между двумя плоскими границами тела создана разность температур ΔT, а расстояние между ними Δx, то тепловой поток ϕ, протекающий через поверхность площади S перпендикулярно ей, равен

где поток ϕ измеряется в Вт, площадь S – в м², ΔT – в K, а Δx – в м и где коэффициент Λ, называемый теплопроводностью материала, измеряется в Вт⋅м^–1⋅K^–1. Этот тепловой поток представляет собой то количество тепла, которое передается за единицу времени между двумя границами. Чем выше теплопроводность, тем больше тепловой поток и тем эффективнее материал проводит тепло.

Теплопроводность через стенку толщины Δx между двумя областями с температурами T и T + ΔT соответственно. Количество теплоты, передаваемое за время Δt, равно

Кирпичная печь Антонио (илл. 4) имеет двойной теплоизолированный свод: его температура несколько выше, чем у рабочей поверхности печи, но для оценки мы примем и ее равной 330 °C (то есть 603 K). При этой температуре свод, как и боковые стенки, испускает электромагнитное, главным образом инфракрасное, излучение (см. главу 3, «Цветовое зрение»). Предполагая, что излучаемая мощность на единицу площади определяется законом Стефана – Больцмана (см. врезку «Закон Стефана – Больцмана»), получим

Q´/(St) = 5,67⋅10^–8 × 603⁴ = 7 500 Вт⋅м ^–2.

Таким образом, в течение 120 секунд, пока пицца находится в печи, она получает на единицу поверхности теплоту Q´/S = 7500 × 120 ≈ 900 кДж⋅м^–2, или 90 Дж⋅см^–2.

Кратко подведем итог: общее количество теплоты Q₀, подаваемое в пиццу, с одной стороны, обеспечивается теплопроводностью, а с другой – излучением, то есть Q₀ = Q + Q´ (илл. 5). Сложив 68 Дж/см² от теплопроводности и 90 Дж⋅см^–2 от излучения, действительно получим 160 Дж/см², то есть несколько меньше значения Q₀/S = 190 Дж/см². Напомним, что наши расчеты очень приблизительны: так, мы пренебрегли нагревом за счет конвекции, а также ролью начинки пиццы.

5. Процессы теплообмена при приготовлении пиццы. Излучение схематично обозначено красными стрелками, теплопроводность – зелеными, перенос водяного пара – голубыми дугами

Закон Стефана – Больцмана

Мощность теплового излучения с единицы площади при одной и той же температуре у разных источников различна, однако она всегда меньше или равна мощности, излучаемой абсолютно черным телом (см. главу 7, «От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела»). Напомним, что так называют тело, которое поглощает все получаемое им излучение.

Мощность, которую такое тело излучает с единицы поверхности при температуре T, по закону, открытому физиком Йозефом Стефаном (1835–1893), равна σT⁴, где константа σ равна 5,67⋅10^–8 Вт⋅м^–2K^–4. Когда Стефан в 1879 году представил на суд коллег этот закон, то его обоснование было чисто экспериментальным. И только в 1884 году австрийский физик Людвиг Больцман математически доказал, что мощность, излучаемая абсолютно черным телом, должна быть пропорциональна T⁴. Это доказательство, основанное на общих принципах термодинамики, отличалось потрясающей элегантностью. И тем не менее сегодня оно представляет лишь исторический интерес. Дело в том, что формула, выведенная Планком в 1900 году (см. главу 7, «Формула Планка»), содержит гораздо больше информации, чем закон Стефана – Больцмана, поскольку она позволяет судить не только о полной излучаемой мощности абсолютно черным телом, а детализирует ее в зависимости от частоты. Таким образом, закон Стефана – Больцмана можно получить из формулы Планка путем простого интегрирования по частоте. И, таким образом, для эмпирической константы σ можно получить точное выражение в терминах фундаментальных физических постоянных:

s = 2π⁵k_Б⁴/(15c²h³),

где c – скорость света в вакууме, k_Б – постоянная Больцмана и h – постоянная Планка. Напомним, что они уже были введены в главе 7, «Формула Планка», и мы к ним еще вернемся в главе 22.

Понятно, что Больцман не мог теоретически определить величину константы σ. Ведь выражение для нее содержит постоянную Планка, которая в 1884 году, за 16 лет до работы Планка, еще не была определена!

Итак, половина получаемого пиццей тепла приходится на долю излучения. О важной роли излучения также свидетельствует наличие подгоревших участков на краях пиццы и на верхней части начинки (илл. 6). Если бы она готовилась только благодаря теплу, поступающему от основания печи, то верхняя часть пиццы была бы наименее горячей и, следовательно, не подгорала бы.

Инфракрасное излучение позволяет обеспечить примерно равный нагрев пиццы как сверху, так и снизу. Кроме того, однородность распределения температуры частично обеспечивается и переносом тепла благодаря конвекции воды, которая испаряется в объеме пиццы. Этот пар быстро уходит через верхнюю поверхность пиццы, частично при этом конденсируясь в ней и тем самым отдавая ей тепло. Оставшаяся часть пара уходит в печь.

6. Пицца готова, о чем свидетельствует наличие слегка подгоревших частей на корочке и начинке. Вероятно, это обугливание объясняется тем фактом, что испарение воды с поверхности не компенсировалось поступлением воды изнутри

Сегодня некоторые пиццерии отказываются от традиционной дровяной печи в пользу электрической, которая обычно снабжена стальной рабочей поверхностью. Однако сталь обладает высокой теплопроводностью; в результате холодное тесто, которое кладут на сталь, практически не охлаждает ее, поскольку поступающее от нее тепло почти мгновенно поглощается пиццей. Если нам нужно, чтобы пицца в печи находилась при температуре T₃ = 200 °C, как рекомендует Антонио, то температура у основания стальной пластины не должна быть намного выше; разумная оценка – 230 °C, или 500 К, вместо 600 К в дровяной печи.

Из этого следует, что стенки и свод печи также имеют гораздо более низкую температуру, чем в случае кирпичной печи. В результате излучаемое тепло, согласно закону Стефана (см. врезку), делится на коэффициент (600/500)⁴, то есть примерно на 2. Таким образом, запекание в электрической печи будет менее равномерным, чем в дровяной. Кроме того, традиционная кирпичная печь обеспечивает очень сильный поток тепла в первые секунды приготовления, но по мере того, как верхняя сторона кирпичной поверхности остывает, этот поток уменьшается, что позволяет избежать чрезмерного нагрева основания пиццы. Стальная поверхность может не обладать таким свойством. По этим двум причинам мы предпочитаем пиццу Антонио приготовленной в современной, пусть даже роскошной пиццерии, где используется не дровяная печь.

В этой главе вопросов мы задали больше, чем дали ответов. Наша цель заключалась не в том, чтобы научить читателя правильно готовить пиццу, а в том, чтобы провести количественный анализ довольно обыденного действия. Оставим читателю возможность провести эксперименты, чтобы точно измерить те величины, которые мы оценили приблизительно. Например, потеря веса пиццы во время выпечки легко измерима, а роль излучения может быть определена путем подвешивания в духовке нагреваемого объекта (не обязательно съедобного), не соприкасающегося с рабочей поверхностью.

Вопреки распространенному мнению, макароны не были привезены в Европу Марко Поло по его возвращении из Китая в 1295 году. На самом деле их история начинается гораздо раньше, на средиземноморском побережье, во времена, когда доисторический человек отказался от кочевой жизни и начал засеивать землю, чтобы добыть пропитание. В I тысячелетии до нашей эры греки уже готовили макароны в виде тонких листов, которые они называли λαγανον (лаганон). Римляне использовали для названия предтечи современной пасты тот же термин (laganum), от которого, возможно, произошла современная «лазанья». Поэт Гораций радуется («Сатиры», I, VI, 115), обнаружив по возвращении домой блюдо из лука-порея, нута и блинов:

С расширением Римской империи паста появилась и в Западной Европе. Макаронные изделия – это хороший способ сохранить продукты земледелия пригодными для употребления круглый год, что особенно подходит мигрирующим народам. В регионе Палермо на Сицилии производство макарон ведется с начала II тысячелетия. Когда арабы в X веке завоевали Сицилию, то они привезли туда разновидность пасты, которую можно считать прародителем спагетти. Эти изделия называли itryah, «итрия», название, которое превратилось в trie у сицилийцев. Из завещания генуэзского нотариуса по имени Уголино Скарпа мы знаем, что в Лигурии макароны употреблялись в пищу уже в 1280 году. И в знаменитом сборнике новелл «Декамерон» Боккаччо (1313–1375) макароны представляют собой символ высокой кухни.

1. Колосья твердой пшеницы, из которых изготавливают макаронные изделия. Ее колоски отличаются от мягкой пшеницы, используемой для приготовления дрожжевого теста, наличием длинных заостренных кончиков – остей

Первые корпорации производителей макарон (Pastai) появились в XVI веке в Италии, где они быстро стали частью политического ландшафта. В то время макароны считались аристократической пищей. Действительно, легко можно представить, что изготовление «трубочек» из муки без соответствующих инструментов было делом весьма непростым. Впоследствии использование при приготовлении пасты механического пресса снизило цены на производство, поэтому в XVII веке в районе Неаполя, важного центра производства и экспорта, макароны потреблялись уже представителями всех социальных классов. В Северной Италии макароны завоевали популярность в конце XIX века благодаря предпринимателю Пьетро Барилла (1845–1912), который, основав вначале небольшой завод в Парме, вскоре стал одним из ведущих промышленников.

Макароны изготавливаются из твердой пшеницы (илл. 1). Семена этого злака желтые и твердые, тогда как мягкая пшеница, используемая для приготовления хлеба, имеет белые, ломкие семена. Твердую пшеницу измельчают до консистенции крупы, в которую добавляют воду и замешивают, чтобы получить податливое тесто. В итоге оно напоминает тесто для пиццы (см. главу 18, «Приготовление теста для пиццы») или для выпекания хлеба, однако не содержит дрожжей.

Современный процесс изготовления большинства макаронных изделий основан главным образом на процедуре прессования, которая заключается в продавливании свежего теста сквозь фильеру – специальную высокопрочную форму с отверстиями, соответствующими форме производимой пасты (илл. 2). Первоначально этот метод был изобретен для изготовления длинных профилированных металлических стержней.

2. Принцип экструзии (прессования), используемый для производства спагетти. Пластичный материал заставляют пройти через формующее отверстие, которое придает изделиям нужную форму. Прессование можно сравнить с волочением металлов – технологическим процессом, используемым в металлургии, при котором сырье также проходит через отверстие, но при этом вытягивается спереди, а не сжимается сзади

Помимо прессования, существует и другой способ формования теста: его прокатка. В процессе прокатки паста проходит между двумя сжимающими ее цилиндрами. Формируются более или менее толстые пластины, которые затем будут обрезаны – например, для получения листов лазаньи (илл. 3).

3. Спагетти (a) и вермишель (b) получают путем прессования; лезвие отрезает требуемую длину на выходе из пресса. Изменение скорости потока пасты в различных частях пресса приводит к формированию изогнутых форм, таких как ракушки (c) или спиральные макаронные изделия, например фузилли (d). Тальятелли (e) получают путем прокатки, как и фарфалле (f), которые затем вырезаются из плоских заготовок с помощью специальной формы

Эти этапы производства играют важную роль при приготовлении продукта. В пшеничной крупе молекулы крахмала (см. главу 18, «Сахара, крахмал и углеводы») образуют гранулы диаметром 10–30 мкм, которые окружены различными белками. Благодаря добавлению воды и механическим нагрузкам, возникающим при замешивании теста и формовании, два из них, глиадин и глютенин, соединяются с водой и создают непрерывную сеть, которая представляет собой вещество, называемое клейковиной (глютеном). Эта сеть обволакивает гранулы крахмала. Качество такой сети имеет первостепенное значение для обеспечения целостности макарон в процессе приготовления, во время которого эти гранулы постепенно набухают.

После формования макаронных изделий избыток воды, добавленной при замешивании теста, следует удалить. Дело в том, что вода может вызвать нежелательную реакцию между крахмалом и глютеном. Для предотвращения этого и нужна сушка, которая к тому же позволяет изделия долго хранить. Когда-то пасту сушили на солнце, но по мере развития технологий температура сушки постепенно повышалась: с 50–55 °C в 1970-х годах до более чем 100 °C сегодня.

Итак, после более или менее длительного периода хранения пришло время пасту попробовать! Как известно, чтобы приготовить макаронные изделия, их погружают в кастрюлю с кипящей подсоленной водой. Время приготовления напрямую связано со способностью крахмальных гранул поглощать воду, которая, диффундируя сквозь сеть клейковины, проникает вглубь изделия. Когда температура достигает примерно 70 °C, молекулы крахмала связываются между собой и образуют так называемый гель. По мере увеличения количества воды макароны набухают. Они считаются готовыми, когда вода проникает в сердцевину изначально сухой лапши.

Диаметр и время приготовления, рекомендуемое для различных типов цилиндрической пасты

Переваренная паста – позор неудачливого повара. Когда клейковина не может удержать крахмал и часть его выходит на поверхность, макаронные изделия становятся липкими. Степень «липучести» зависит не только от времени варки, но и от способа изготовления макарон: если они высушены горячим методом, то гелевая сетка оказывается стойкой, ее ячейки меньшего размера, поэтому такие макароны обычно не прилипают.

На практике время варки пасты зависит от ее диаметра, свойств использованного при ее изготовлении теста, а также в какой-то степени и от атмосферного давления, то есть от высоты и погоды. Рассмотрим крайний случай: если бы кто-то вдруг решил сварить лапшу на вершине Эвереста, то он бы потерпел неудачу. На высоте 8 848 м атмосферное давление составляет 3,5⋅10⁴ Па, что соответствует температуре кипения воды 73 °C, при которой гелеобразование крахмала происходит очень медленно. Поэтому приготовление лапши в таких условиях невозможно.

Время приготовления

Давайте спустимся с Эвереста на землю. Как рассчитать время приготовления пасты? Для простоты ограничимся случаем цилиндрических изделий, таких как спагетти[20]. Проникновение горячей воды в тесто – явление, аналогичное проникновению тепла внутрь погруженного в кипящую воду яйца (см. главу 17, «Европейское яйцо всмятку против японского Онсэн-тамаго»). Таким образом, можно предположить, что время, необходимое для проникновения воды вплоть до оси цилиндра, оказывается пропорциональным квадрату его диаметра, d². Однако время приготовления τ зависит также и от вкуса потребителя: кому-то нравится недоваренная, а кому-то переваренная паста. Учтем это обстоятельство добавлением константы b ко времени доставки горячей воды до центра. Время приготовления спагетто, таким образом, выразится формулой:

t = ad² + b_t.

4. Рекомендуемое время приготовления для различных макаронных изделий (красный цвет). В исследуемом диапазоне диаметров время приготовления цилиндрической пасты представляет собой линейную функцию квадрата диаметра (синяя прямая). Наклон прямой дает коэффициент a нашей формулы (выше), а точка пересечения с вертикальной осью – коэффициент b

Константа b для немцев, где любят хорошо проваренную пасту, оказывается большей, чем для итальянцев, которые предпочитают пасту потверже (иногда она даже, как будет показано ниже, может стать отрицательной). Первое слагаемое формулы – это время, необходимое для проникновения воды вплоть до оси цилиндра. Оно зависит не от национальности потребителя, а от диаметра спагетто и от физических свойств теста, в том числе от того, насколько легко в нем распространяется горячая вода. Кроме того, как отмечалось выше, на него влияет величина температуры кипения воды и, следовательно, атмосферное давление.

Соответствует ли наша формула рекомендациям производителей макарон? Чтобы это проверить, лучше всего поможет эксперимент. Для его проведения мы закупили в итальянском супермаркете цилиндрические макаронные изделия различных диаметров и тщательно их измерили (см. таблицу). Затем для каждого типа теста мы отметили на графике точку, абсциссой которой является квадрат диаметра d², а ординатой – рекомендуемое время приготовления (илл. 4).

Полимеры

Полимеры – это материалы, состоящие из длинных молекул. Они образуются путем повторения одной и той же последовательности группы атомов или «звеньев» (см. илл.).

Существует множество биологических полимеров, таких как крахмал (см. главу 18, «Сахара, крахмал и углеводы») или содержащаяся в древесине целлюлоза. И главное, повсеместно распространенные сегодня пластмассы также состоят из полимеров (одного или нескольких типов), в которые включаются различные добавки. Пенополистирол, например, широко используется для защиты от ударов и механических повреждений. Из полиэтилена же изготавливают примерно половину всей используемой в мире пластиковой упаковки, в том числе и пакеты для покупок.

Полимеры растворимы в некоторых растворителях. Они принимают различные формы и могут связываться между собой. Изучение этих форм было предметом многих исследований, которые принесли Нобелевскую премию по химии 1974 года американцу Полу Джону Флори (1910–1985), а затем и Нобелевскую премию по физике 1991 года французу Пьеру Жилю де Жену (1932–2007). Флори должен был довольствоваться полученными изображениями этих молекул, плавающих в растворителе. В настоящее же время с помощью атомно-силового микроскопа длинные полимерные молекулы можно «рассматривать» зафиксированными на плоской подложке. Этот метод заключается в «прощупывании» атомов цепочки наноразмерным наконечником (см. илл.).

Полимеры, полученные путем полимеризации этилена CH₂=CH₂ или его производных (R представляет собой группу атомов). Случай, при котором R является атомом водорода, соответствует полиэтилену (ПЭ). Такими производными могут быть также радикал CH₃ (полипропилен – ПП), бензольное ядро C₆H₅ (полистирол – ПС), атом хлора (поливинилхлорид – ПВХ) и т. д.

Пакеты для покупок из полиэтилена, бутылки и стаканчики из полипропилена

Молекулы ДНК (см. главу 23), расположенные на поверхности никеля, исследуются посредством атомно-силового микроскопа (С разрешения Chepelianski et al., C. R. Physique 13 (2012), p. 971)

Как видно, точки лежат достаточно близко к прямой линии, что соответствует нашей формуле. Наилучшее приближение достигается при a = 3,36 мин/мм² и b = –1,76 мин. Это отрицательное значение константы b понятно: рекомендовали время приготовления именно итальянцы. Однако у физика-теоретика, привыкшего проверять все формулы на предельных случаях, отрицательная величина b вызывает недоумение: ведь это означает, что ниже определенного диаметра пасты (0,72 мм) ее вовсе не пришлось бы готовить! Этот абсурдный результат показывает, что наша формула для слишком тонких сортов цилиндрической пасты не подходит. Уже для тонких капеллини, диаметром 1,15 мм, она приводит к явно недостаточному времени приготовления.

Озорные веревки

«У бечевы есть некоторые странные и необъяснимые свойства. Вы сматываете ее так терпеливо и бережно, словно задумали сложить новые брюки, а пять минут спустя, подняв ее с земли, видите, что она превратилась в какой-то ужасный, отвратительный клубок. Я не хочу никого обидеть, но я твердо убежден, что если взять обыкновенную бечеву, растянуть ее посреди поля и на полминуты отвернуться, то окажется, что она за это время собралась в кучу, скрутилась, завязалась в узлы и превратилась в сплошные петли, а оба ее конца куда-то исчезли»[21].

Джером К. Джером. Трое в лодке, не считая собаки (1889)

В отличие от варки яиц проникновение теплоты в макароны не играет никакой роли. Почему? Потому что оно почти мгновенно! В яйце диаметром 4 см необходимая температура достигает центра примерно через 4 минуты. Для капеллини диаметром в 20 раз меньше требуется в 400 раз меньше времени (при условии равной температуропроводности). После погружения капеллини в кипящую воду их сердцевина достигает температуры 100 °C в течение нескольких секунд.

Случай полых макаронных изделий

Как оценить время приготовления букатини, разновидности цилиндрических макаронных изделий с отверстием по центру? Их диаметр составляет около 2,7 мм, и расчетное время по формуле – около 23 минут, что сильно отличается от рекомендуемого времени – 8 минут. Очевидно, что приведенная выше формула оказывается неприменимой к полым изделиям. Действительно, вода в данном случае преодолевает расстояние не d/2 (где d – внешний диаметр), чтобы добраться до сердцевины букатини, но только расстояние (d – d_i)/2, где d_i – диаметр отверстия, равный примерно 1 мм. Таким образом, в формуле следует заменить диаметр d на разность внешнего и внутреннего диаметров, которая равна d – d_i = 1,7 мм. Теперь формула дает время приготовления, близкое к рекомендуемому. Однако обобщать эти рассуждения на все трубчатые макаронные изделия, такие как собственно букатини или пеннете, следует с аккуратностью: если «трубка» слишком узкая, вода может и не проникнуть внутрь, а если слишком широкая, то тепло будет входить в тесто и изнутри, и извне!

При варке спагетти они, как правило, сплетаются между собой. Тем не менее авторы этой книги никогда не замечали, чтобы спагетто сам по себе завязался в кастрюле в узел. Дело в том, что спагетто слишком короток!

Для каждого длинного и гибкого объекта (спагетто, шнурок, веревка, кабель и т. д.) существует критическая длина L_c, при превышении которой формирование узла практически неизбежно, в то время как при меньшей длине вероятность завязывания невелика. Физики заинтересовались этим явлением не потому, что они очень любят макароны. Причиной их любопытства являются другие длинные и гибкие объекты – полимеры (см. врезку «Полимеры»).

Итак, исследователи полимеров рассчитали критическую длину L_c: она пропорциональна другой длине ξ, характеризующей гибкость объекта. Эта последняя соответствует длине, необходимой для того, чтобы цепь полимера могла изменить свое направление на прямой угол (около 3 см для сваренного спагетто). Итак, получим:

Задача состоит в том, чтобы вычислить коэффициент пропорциональности γ на основании вероятности образования узла. Чтобы его оценить, физики рассмотрели все конфигурации веревки заданной длины и высчитали, какая их часть образует по крайней мере один узел. Они пришли к выводу, что коэффициент γ составляет порядка 300 – значительная величина! Таким образом, чтобы запутаться в узел с практически стопроцентной вероятностью, спагетто должен иметь длину 10 м!

Однако мы довольно часто видим запутывающиеся шнурки и провода наушников (илл. 5). Английский писатель Джером К. Джером в своем романе «Трое в лодке, не считая собаки» выразил сожаление по поводу склонности веревок к образованию безнадежно запутанных узлов (см. врезку). Соответствует ли это наблюдение выведенной нами выше формуле и примерному значению γ = 300? В этом можно усомниться, так как изученная упрощенная модель не обязательно применима к описанной Джеромом веревке.

5. Поскольку веревка длинная и гибкая, она, скорее всего, запутается… К величайшему раздражению моряков!

Никому и в голову не придет идея попробовать связать узлом сухой спагетто, однако попытка сделать это приведет к неожиданному наблюдению. Возьмем сухой спагетто за два конца (по одному в каждой руке) и начнем постепенно его сгибать. Очевидно, в конце концов он сломается. Интуитивно мы ожидаем, что он разломится на две части. Но на самом деле в результате разлома он распадется на три кусочка или даже больше! Это удивительное явление привлекало внимание многих физиков, в частности Ричарда Фейнмана (1918–1988). Однако лишь в 2005 году два французских физика, Одоли и Нойкирш, сумели пролить свет на физику разлома спагетти.

Для этого они изучили поведение упругого стержня, равномерно сгибаемого при закрепленных концах. Когда его кривизна достигает некоторой критической величины, происходит первый разлом: как и следовало ожидать, в самой хрупкой точке стержня (например, там, где имеется возникшая при сушке спагетто трещинка). Можно было бы подумать, что два фрагмента стержня, удерживаемые за их концы, после нескольких колебаний просто застынут, придя в свои положения равновесия. На самом же деле следует учитывать еще одно, связанное с первоначальным изломом, явление, а именно, резкий излом приводит к возбуждению изгибных волн, которые начинают распространяться по обоим фрагментам спагетто. Прохождение такой волны есть не что иное, как периодическая деформация, накладывающаяся на ту, которая уже существовала в спагетто до разлома. Таким образом, суммарная деформация в некоторых точках фрагмента может превысить критическую величину и, следовательно, вызвать новые переломы. Одоли и Нойкирш убедились в правильности своих теоретических расчетов, засняв процесс разлома спагетто на высокоскоростную камеру (илл. 6).

6. Разлом закрепленного на концах спагетто, который сначала изогнули, а затем отпустили. Последовательные кадры были сняты с интервалом в 1/1700 секунды. Первый разлом происходит в точке (1). Затем возбужденная изгибная волна распространяется вдоль спагетто, вызывая локальное изменение кривизны. Два других одновременных разлома происходят в точках (2) и (3). (По B. Audoly, Institut d’Alembert, CNRS et Université Paris 6)

Уточним, что эти исследователи являются известными специалистами в области прикладной физики и изучение спагетти для них – не развлечение и не способ привлечь внимание широкой публики. Это прежде всего испытание на недорогом оборудовании экспериментальных и теоретических концепций и методов, которые вполне могут найти применение на практике. Например, разлом спагетто позволяет легко представить разлом стеклянной палочки.

Приглашаем читателя – любителя пасты при варке спагетти отложить несколько сухих спагетто, а затем попробовать их поломать. Подсчитайте, сколько кусочков у вас получится. Ставя этот эксперимент, обратите внимание, что спагетти должны быть очень сухими!

В нашем глобализованном мире путешественник XXI века найдет одни и те же напитки во всех уголках земного шара, будь то Париж, Нью-Йорк или Катманду. Но есть одно исключение – кофе. Если вы закажете кофе в баре в Неаполе, вам предложат чашку чуть больше наперстка, в которой находится вязкая черная жидкость под аппетитной пенкой. Попросите кофе в Чикаго – и вы получите большущий стакан, содержащий пол-литра горячей коричневой воды… В этой главе мы не будем обсуждать достоинства и недостатки разных способов варки кофе; вместо этого мы расскажем о различных процессах и физических явлениях, которые происходят во время его приготовления.

1. Ветвь кофейного дерева. Каждая ягода содержит два кофейных зерна. Одной из основных трудностей сбора урожая, который выполняется вручную, является сортировка между спелыми (красными) ягодами, гнилыми (черными) и недозревшими (зелеными или желтыми) ягодами

Кофе готовят из зерен кофейного дерева, которое произрастает в тропических и экваториальных регионах (Аравийский полуостров, Латинская Америка, Африка…). Кофейные зерна содержат сахара, жиры, белки, ароматизаторы и алкалоид кофеин, который действует как возбуждающее средство. После сбора и сушки кофейные зерна обжариваются при высокой температуре, около 240 °C. При этом в результате химических реакций между белками и сахарами (реакции Майяра, см. главу 21, «Появление новой дисциплины») зерна приобретают красивый коричневый цвет. Кроме того, обжарка высвобождает множество летучих ароматических молекул: более 800 различных соединений! Затем зерна измельчают, и полученный таким образом молотый кофе для извлечения ценных ароматов приводят в контакт с горячей водой. Как мы увидим далее, различные способы приготовления отличаются температурой воды, давлением, при котором происходит процесс, и продолжительностью контакта между кофейным порошком и водой.

Метод «вареного» кофе очень древний и до сих пор используется в Финляндии и на севере Скандинавии. Обжаренный кофе грубо измельчают, а затем заливают водой (10 г кофе на 150–190 мл воды). Затем эту смесь доводят до кипения и кипятят в течение примерно десяти минут. Кофе, не фильтруя, разливают по чашкам и дают несколько минут настояться, чтобы взвешенные крупинки под действием силы тяжести осели на дно. Мы не рекомендуем этот метод приготовления, так как ароматы кофе, обусловленные присутствием в напитке достаточно летучих соединений, во время кипения улетучиваются.

Капельные кофеварки с фильтром распространены в Америке, Северной Европе и Франции. Молотый кофе насыпают в конический бумажный фильтр. Затем фильтр помещается в специальную воронку над кофейником, обычно стеклянным, и в него поступает очень горячая вода. Вода проходит через кофейный порошок, насыщаясь при этом содержащимися в нем растворимыми веществами, затем полученный напиток проходит через фильтр и наконец попадает в кофейник. Преимущество такого метода заключается в том, что он почти не требует усилий: горячая вода обычно непрерывно подается электрическим устройством, к тому же такую кофеварку легче мыть (кофейный жмых выбрасывают вместе с одноразовым фильтром). Через 5–6 минут можно получить чашку, на взгляд авторов, довольно безвкусного кофе: только часть ароматических веществ, содержащихся в кофейном порошке, способна преодолеть бумажный фильтр в отсутствие давления. Обычно при таком способе приготовления используется около 6 г кофе на одну 140-миллилитровую чашку.

Турецкий способ приготовления кофе (распространенный также в Армении, Грузии, Греции, Сербии и других странах) выглядит так: кофе мелкого помола смешивают с сахаром, а затем высыпают в коническую емкость из металла, обычно меди или латуни, которая называется ibrik (джезва, турка) (илл. 2). Затем в джезву наливают холодную воду и нагревают – ставят в раскаленный песок, на газовую или электрическую плиту. Другой способ – засыпать кофе в джезву, уже заполненную кипятком.

2. Джезва – специальный сосуд для приготовления кофе по-турецки

При нагревании воды в джезве возникают конвективные токи (см. главу 7, «Конвекционный нагрев атмосферы Земли»), которые выносят мельчайшие частички молотого кофе на поверхность, где они образуют плотный слой. Когда температура воды приближается к температуре кипения, перемешивающие жидкость пузырьки начинают превращать этот слой кофе в пенку. На этой стадии джезву следует снять с плиты (или песка), потому что кофе кипеть не должен! Процесс повторяют дважды, чтобы получить толстый слой пены. Затем кофе разливают по небольшим чашечкам. Прежде чем попробовать напиток, нужно подождать несколько минут, чтобы он немного остыл и большая часть крупинок кофейных зерен осела на дно чашки. Кофе по-турецки обладает характерным вкусом, за что его очень ценят те, кто не боится проглотить немного кофейного осадка.

Кофеварка, о которой пойдет речь, есть на кухне у каждой итальянской семьи. Она состоит из трех частей: основания, куда заливают воду, металлической воронки, снабженной фильтром, куда засыпают молотый кофе, и верхней части, в которой накапливается готовый напиток (илл. 3). Любитель кофе едва ли сможет творчески подойти к его приготовлению в такой кофеварке: в отличие от других методов, здесь обязательно нужно точно соблюдать правила, продиктованные конструкцией устройства.

3. Гейзерная кофеварка. Эта традиционная модель была запатентована Альфонсо Биалетти в 1933 году. Кофеварка оснащена предохранительным клапаном, который предотвращает взрыв при избыточном давлении (например, если помол кофе слишком тонкий или кофейный порошок был слишком плотно упакован в фильтре)

Это достаточно сложное изобретение. Фильтр, очевидно, находится в самом центре аппарата. Холодную воду заливают в нижний отсек вплоть до предохранительного клапана, оставив небольшой заполненный воздухом объем. В фильтр, практически не утрамбовывая, насыпают молотый кофе. Затем кофеварку закрывают, накручивая верхнюю часть на основание, и фильтр оказывается расположенным посередине. Теперь нижняя часть воронки, выполненная в форме трубки, погружена в воду и почти касается дна емкости. Снаряженную таким образом кофеварку начинают нагревать на медленном огне. Через несколько минут дошедшая до точки кипения вода через воронку поступает в фильтр. Нужно отметить, что в этой конструкции воронка работает в режиме, противоположном обычному, используемому для перелива жидкостей: вода поступает в нее через узкую часть, а выходит через широкую. Проходя через наполненный молотым кофе фильтр, вода насыщается его ароматами и превращается в кофе. Полученный напиток, поднимающийся под давлением снизу, проходит через еще одну узкую трубку и, наконец, оказывается в верхней части – остается только налить его в чашку!

Что же происходит в моке с точки зрения физики? Нижняя часть устройства плотно соединена с верхней и герметизирована резиновым уплотнителем (илл. 4). При нагреве воды давление насыщенного водяного пара повышается (см. главу 15, «Формирование пузырьков») и жидкость испаряется в пространство, не заполненное водой. Температура воды довольно быстро достигает 100 °C: давление насыщенного водяного пара при этом становится равно атмосферному. Таким образом, пар, подобно пружине, начинает выталкивать воду через воронку, вынуждая ее пройти через молотый кофе. По мере продолжения нагрева температура и давление продолжают расти. Вытесняемая паром и уже превратившаяся в кофе вода в конечном итоге оказывается в верхней части устройства. Чтобы время фильтрации не оказалось слишком коротким, можно вмешаться в процесс, когда шум свидетельствует о том, что готовый напиток начинает проходить через верхнюю часть: следует остановить нагрев, и это замедлит прохождение воды через кофе.

4. Принцип действия гейзерной кофеварки. При повышении температуры растет и давление насыщенного водяного пара. Когда оно превышает атмосферное давление, вода начинает выталкиваться через воронку, проходит сквозь фильтр, заполненный молотым кофе, а затем полученный в результате процесса фильтрации кофе накапливается в верхней части устройства. Чтобы время фильтрации не оказалось слишком коротким, можно вмешаться в процесс, когда шум свидетельствует о том, что готовый напиток начинает проходить через верхнюю часть: следует остановить нагрев, и это замедлит прохождение воды через кофе.

Закон Дарси

В середине XIX века два французских инженера, Анри Дарси и Жюль Дюпюи, поставили первые эксперименты по движению воды по заполненным песком трубам. Это была отправная точка науки о фильтрации, которая в настоящее время применяется к движению жидкостей через пористые среды. Именно Дарси сформулировал так называемый закон линейной фильтрации, названный в его честь. Этот закон связывает массовый расход жидкости Q (так называют массу жидкости, просачивающуюся через фильтр в единицу времени) для фильтра сечения S и толщины L с перепадом давления ΔP на нем (см. илл.):

Q = κρSΔP/(ηL).

В этой формуле ρ и η – плотность и вязкость жидкости соответственно. Коэффициент проницаемости κ характеризует фильтрующие свойства среды. Его величина зависит от геометрии сети пор или трещин и особенно от их размера. Таким образом, для гравия этот коэффициент больше, чем для песка, и, соответственно, для кофе грубого помола коэффициент проницаемости оказывается большим, чем для мелкого. Он измеряется, как и площадь, в м². Проницаемость обычных пористых материалов, таких как песок, составляет порядка 10^–12 м² (то есть около 1 D, дарси, – еще одна единица измерения проницаемости).

Устройство для измерения проницаемости фильтрующего материала, например песка. Поток воды с массовым расходом Q проходит через цилиндр сечения S, заполненный слоем песка толщиной L. Перепад давления ΔP = ρgΔh, измеренный посредством двух трубок (см. главу 10, врезку «Экспериментальная проверка понижения давления в узком месте трубы»), расположенных в верхней и нижней частях цилиндра, связан с массовым расходом законом Дарси

Температура несколько выше 100 °C и давление, немного превышающее атмосферное, обеспечивают насыщение кофе всеми ароматами, но высокая температура, увы, может привести к исчезновению некоторых из них. Таким образом, гейзерная кофеварка готовит крепкий ароматный кофе, который, однако, не достигает качества хорошего эспрессо (см. «Эспрессо»). Чтобы избежать чрезмерного нагрева воды, можно пойти на хитрость и готовить кофе высоко в горах, где атмосферное давление ниже. Пусть на вершине Эвереста невозможно сварить макароны (см. главу 19, «Наука приготовления пасты», зато там можно приготовить кофе лучше, чем у его подножия!

Понятно, что вкус кофе, приготовленного в любой кофеварке, зависит от качества помола и температуры воды. Еще на него влияет время, в течение которого вода контактирует с кофе. Частицы молотого кофе образуют настоящий лабиринт, по которому должна пробраться вода: время прохождения будет тем меньше, чем большего размера и менее извилисты проходы в нем и выше избыточное давление на фильтре. Массовый расход воды определяется законом Дарси (см. врезку «Закон Дарси»), в котором существенную роль играет проницаемость κ молотого кофе. Чему же равен этот коэффициент? Его значение вычислил итальянский физик Кончетто Джанино, который провел эксперимент в гейзерной кофеварке. Входящие в формулу Дарси физические величины в его опыте имели значения:

• высота слоя молотого кофе L = 0,014 м;

• площадь фильтрации S = 14 см²;

• вязкость воды, при 100 °C составляет приблизительно η = 0,3⋅10^–3 Па⋅с;

• плотность воды ρ = 1000 кг/м³.

Масса приготовленного в ходе эксперимента кофе составила около 0,07 кг при времени прохождения воды через кофе чуть меньше минуты. Итак, согласно закону Дарси, проницаемость κ равна:

где ΔP – разница давления по обе стороны от фильтра. Поэтому достаточно знать ΔP, чтобы вычислить κ. Измерение провести непросто, так как необходимо иметь доступ к нижнему отсеку кофеварки. Джанино находчиво использовал предохранительный клапан, чтобы ввести в него температурный зонд. Зная температуру равновесия жидкого и парообразного состояний воды, он вычислил из нее давление (см. главу 15, «Формирование пузырьков»). В результате измерения оказалось, что ΔP составляет порядка 3 кПа. С помощью этих данных мы находим, что проницаемость κ использованного в моке молотого кофе составила около 10^–12 м². Это не очень мелкий помол. Очевидно, что проницаемость зависит от того, как был смолот кофе и насколько плотно он утрамбован в фильтре. Знатоки рекомендуют его не утрамбовывать вообще, чтобы не затягивать время фильтрации и проводить ее при относительно низкой температуре.

Экспериментальное измерение проницаемости кофе

Известно, что проницаемость молотого кофе для гейзерной (не капельной) кофеварки составляет около 10^–12 м². Как измерить ее самостоятельно для общего случая?

Удобнее всего провести опыт с «классической» французской кофеваркой (илл. 6). Избыточное давление ΔP в этом случае непосредственно зависит от высоты уровня воды h: ΔP = pgh, где g – ускорение свободного падения. Чтобы применить закон Дарси, нужно будет только измерить площадь поверхности фильтра, взвесить то количество воды, которое будет налито в кофеварку, и засечь время фильтрации. Вы даже можете проверить влияние вязкости η на время фильтрации, используя воду разной температуры. При 100 °C вязкость составляет 0,0003 Па; при 30 °C – 0,001 Па. Это связано с тем, что вязкость жидкостей уменьшается при повышении температуры, поскольку она определяет степень жесткости межмолекулярных связей. Напротив, в газах взаимодействие молекул очень мало, а вязкость при заданном давлении с возрастанием температуры увеличивается.

Неаполитанская кофеварка (илл. 5), предшественница гейзерной, немного напоминает последнюю, поскольку тоже состоит из двух отдельных отсеков, между которыми находится металлический фильтр для кофе. Существенная разница заключается в «двигателе», который заставляет воду проходить через фильтр: здесь это просто сила тяжести! Как только вода начинает кипеть, кофеварку снимают с огня и переворачивают. Перепад давления ΔP между двумя сторонами фильтра обусловлен весом водяного столба в несколько сантиметров и составляет приблизительно 1 кПа.

5. Неаполитанская кофеварка. Когда вода в нижней части закипает, кофеварку переворачивают, и кофе проходит через фильтр под действием силы тяжести

В кофеварках, распространенных во Франции в первой половине XX века (илл. 6), также использовали избыточное давление, создаваемое благодаря весу водяного столба. Однако их не переворачивали: горячую воду лили прямо на кофейный порошок. Короче говоря, принцип этих кофеварок такой же, как и у капельных. Изменился только материал, из которого сделан фильтр! И все-таки в разных типах кофеварок следует использовать кофе различного помола: поскольку отверстия керамического или металлического фильтра намного крупнее, чем поры бумажного фильтра, для них не стоит использовать слишком тонко смолотый кофе. Кроме того, фильтрация через бумажный фильтр происходит быстрее, так как часть горячей воды проходит через бумагу над основной массой кофейного порошка и фильтруется лишь небольшим его слоем.

6. Принцип работы «классической» французской кофеварки. Такие кофеварки часто были фаянсовыми. В верхнюю часть заливают кипяток, который проходит через фильтр, получаемый кофе оказывается в нижней части. Ручки и носик на схеме не показаны

Многие утверждают, что такой старомодный кофе вкуснее приготовленного в гейзерной кофеварке, потому что медленная, в течение нескольких минут, фильтрация способствует извлечению веществ, которые обусловливают специфический вкус и аромат кофейного напитка, а более низкая температура воды предотвращает их тепловой распад.

Действительно, в середине XX века лучшим кофе, какой могли подать во французских барах, считался «фильтр-кофе». Устройство для его приготовления было индивидуальным и состояло из чашки, увенчанной контейнером с металлическим фильтром. Толщину последнего можно было регулировать с помощью центрального винта, тем самым сильнее или слабее сжимая помещенный в фильтр молотый кофе (илл. 7). По мере изменения степени сжатия менялась и проницаемость кофейного порошка (см. врезку «Экспериментальное измерение проницаемости кофе»). При малом сжатии на выходе получалась безвкусная водянистая жидкость. В результате же чрезмерного сжатия – серьезная ошибка! – напиток вовсе не выходил из фильтра. В самом деле, давление, возникающее в контейнере из-за веса водяного столба, относительно низкое: около 500 Па. Процесс же фильтрации имеет минимальный порог для перепада давления (закон Дарси для слишком малых перепадов не справедлив): ниже его молотый кофе оказывается слишком компактным, вода не может преодолеть силы поверхностного натяжения и пройти сквозь него.

Вечно спешащие люди, какими мы стали сегодня, отказались от этих способов приготовления кофе.

7. Французский «фильтр-кофе». 1950 год

Такая нетерпеливость, свойственная современному человеку, началась уже в XIX веке. Легенда гласит, что в то время некий подданный Королевства обеих Сицилий, устав терпеливо ожидать приготовления своего кофе alla Napoletana (по-неаполитански), сумел убедить одного из своих друзей, миланского инженера, изобрести машину, которая бы готовила вкусный ароматный кофе менее чем за минуту. Инженер приступил к работе… и придумал эспрессо-машину! На самом деле еще несколько изобретателей внесли свой вклад в ее совершенствование. Одна из первых эспрессо-машин была представлена на Всемирной выставке в Париже в 1855 году Эдуардом Лойзелем де Санте; правда, качество изготавливаемого этой кофеваркой напитка было нестабильным… Только в 1900-х годах миланский инженер Луиджи Беззера разработал коммерческую версию. Сначала она поставлялась в бары и рестораны, но затем распространилась и среди частных лиц.

В чем суть процесса приготовления получившего всемирное распространение «эспрессо»? Вода в фильтр эспрессо-машины поступает под высоким давлением (в 10–15 раз выше атмосферного) и при достаточно невысокой температуре (88–92 °C). Поэтому содержащиеся в кофейных зернах неустойчивые ароматы, которые при температуре в 100 ^°C и выше разрушаются, при таком способе приготовления сохраняются. Чашка кофе готовится не более чем за 30 секунд, поэтому эспрессо содержит различных кислот и кофеина меньше, чем классический кофе. Также важной отличительной особенностью эспрессо является нежная коричневая пенка. Она состоит из крошечных пузырьков газа, заключенных в жидкую пленку. Таким образом, формирующие вкус кофе ароматы оказываются связанными и не улетучиваются. Кроме того, пенка ограничивает теплообмен с окружающим воздухом, и напиток остывает медленнее.

В современных машинах вода доводится до необходимого давления с помощью электрического компрессора. Раньше же использовали рычаг (илл. 8): сначала при поднятом положении рычага в рабочий объем впускали необходимое количество воды, а затем рычаг опускали, чтобы вода проходила сквозь фильтр с кофейным порошком. Таким образом, давление на фильтре создавалось усилием руки, многократно умноженным благодаря действию рычага. Читатель легко убедится, что, для того чтобы получить необходимое давление, не обязательно обладать силой Голиафа[22].

8. Эспрессо-машина с рычагом для домашнего использования. В современных моделях рычаг заменен электрическим компрессором

Давайте закончим наш обзор методов приготовления этого напитка растворимым кофе – порошком, который перед употреблением просто добавляют в горячую воду. При изготовлении растворимого кофе кофейные зерна обжаривают, перемалывают и обрабатывают горячей водой. Затем полученный концентрат выпаривают при высокой температуре и низком давлении. Иной вариант приготовления порошка для растворимого кофе – это «сушка замораживанием». Замороженные кристаллы кофейного экстракта обезвоживаются возгонкой в вакууме.

Характеристики основных методов приготовления кофе обобщены в приведенной ниже таблице. Каждый может выбрать тот способ, что подходит ему!

Предоставим заключительное слово персонажу пьесы Эдуардо де Филиппо, итальянского драматурга ХХ века: «Я бы мог отказаться от чего угодно, кроме этой маленькой чашечки кофе, что я пью по утрам в мире и покое»[23].

Основные способы приготовления кофе

Кулинарная техника состоит в том, чтобы комбинировать ингредиенты и соответствующим образом их видоизменять, для того чтобы получить желаемое блюдо. Что означает «видоизменять»? Рассмотрим один из таких процессов на примере майонеза. С физической точки зрения майонез – это масляная эмульсия в воде, которая скреплена яичным желтком. Эмульсия – это дисперсная система капель одной жидкости (в данном случае – масла) в другой, не смешивающейся с первой (вода) (илл. 1). В большинстве рецептов майонеза вода в его состав не включается: дело в том, что она уже содержится в уксусе и яичном желтке, а иногда и в дополнительных ингредиентах, которые добавляют для изменения вкуса и текстуры, например горчице.

1. Структура майонеза в микрометрическом масштабе. Размер капель масла варьирует от 0,1 до 10 мкм

Механизм, делающий капли масла устойчивыми, основан на присутствии в составе майонеза молекул (поставляемых яйцом), имеющих гидрофильную и гидрофобную части. Первая образует водородные связи с молекулами воды и, таким образом, к воде притягивается, вторая от молекул воды отталкивается. Такие молекулы обволакивают капельки масла, направляя к нему свою гидрофобную часть, и не дают им смешаться с водой благодаря своей гидрофильной части (илл. 2).

В хорошем майонезе капли масла очень мелкие (от 0,1 до 100 мкм). Чтобы получить их, нужно долго взбивать яйцо, постепенно добавляя масло. Специалисты говорят, что если следовать этому совету, то испортить майонез практически невозможно. Но это только физика, а мы обещали читателю и химию. Итак, отправляемся далее!

2. Майонез состоит из капелек масла и представляет собой масляную эмульсию в воде, скрепленную белками или поверхностно-активными молекулами, фосфолипидами

Какой была бы еда, не будь у нас возможности ее готовить (см. главу 16)? К нашему величайшему удовольствию, приготовление пищи изменяет консистенцию, цвет, текстуру, аромат и запах входящих в нее ингредиентов. Оно, по сути, задействует последовательность химических реакций, приводящих к изменению составляющих рецепт компонентов на молекулярном уровне.

Рассмотрим для начала приготовление мяса, несомненно, практикуемое доисторическим человеком с того момента, как он научился добывать огонь. Мышечные волокна мяса в основном состоят из воды и длинных органических молекул – белков (протеинов) (см. главу 17, врезку «Белки, цепочки аминокислот»).

В сыром мясе белки образуют закрученные цепочки. При приготовлении эти цепочки разворачиваются, а затем соединяются, формируя что-то вроде сети: происходит их денатурация. Выше мы уже обсуждали свертывание протеинов яичного белка в процессе варки (см. главу 17, «Чем вареное яйцо отличается от сырого?»). Денатурация белков мяса начинается при относительно низких температурах – от 55 до 80 °C. Однако для приготовления мясных блюд требуется время, потому что тепло в состоящее в значительной степени из воды мясо проникает медленно. В самом деле, каждый любитель пот-о-фё[24] знает, что до состояния готовности мясо должно кипеть в бульоне несколько часов на очень медленном огне[25]; это время необходимо для разделения белков на части с высвобождением аминокислот, придающих блюду вкус.

Процесс приготовления мяса происходит совсем иначе, если его запекать в духовке. Хорошее жаркое внутри розовое, а на поверхности имеет коричневую корочку. Чтобы получить такой результат, температура приготовления должна быть выше 100 °C. При этом происходят химические реакции термического разложения органических и неорганических соединений (пиролиз), а также реакции между белками и углеводами (см. главу 18, «Откуда идет тепло?»), – реакции Майяра (см. врезку «Реакции Майяра»). Они происходят при любой температуре (например, подобные реакции отвечают за помутнение хрусталика у больных диабетом), но особенно быстро – при высоких температурах, около 140 °C. А для этого нужно, чтобы поверхность жаркого была хорошо обезвожена. Действительно, температура воды, даже если она не очень чистая, едва ли может превысить 100 °C. Чтобы поджарить корочку мяса, но не пересушить его внутри, термостат в духовке устанавливают на температуру между 160 и 170 °C (илл. 3).

3. Приготовление мяса приводит к постепенной денатурации белка и сопровождается изменениями его цвета и текстуры. Снаружи жаркое достигает температуры намного выше 100 °C, что позволяет протекать реакциям пиролиза (распада молекул под воздействием тепла), а также реакциям Майяра, благодаря которым появляется коричневая корочка. В зависимости от температуры, достигнутой внутри жаркого, приготовленное мясо называют «saignante (с кровью)» – для мяса красного цвета (температура внутри ниже 60 °C) или «a` point (средней прожарки)» – для мяса бледно-розового цвета (температура внутри около 70 °C). При температуре выше 80 °C разрываются клеточные стенки мышц и мясо становится серым. (По H. This, Traité élémentaire de cuisine, 2002)

Постепенно, следуя за Луи Камилем Майяром, специалисты раскрыли секреты рецептов, которые повара и гурманы на протяжении как минимум трех тысячелетий передавали друг другу, не задумываясь о задействованных в них физико-химических процессах. Так почему бы не пойти в обратную сторону и не попытаться разработать новые рецепты, основываясь на знании химии и физики? Таким образом можно произвести революцию в основах кулинарного искусства, создав инновационные блюда, обладающие новыми органолептическими свойствами… Это один из путей, предложенных молекулярной кухней. Ее апостолы – талантливые ученые, соавторы «молекулярной гастрономии» французский физико-химик Эрве Тис и англичанин Николас Курти, а также, к примеру, во Франции физик Жан Матрикон, в Англии – профессор Питер Бэрхем, в Италии – профессор Давид Касси. Молекулярная гастрономия – это научная, а не кулинарная деятельность, но очевидно, что научные работы нашли практическое применение и вдохновили некоторых известных поваров.

Молекулярная гастрономия предлагает, к примеру, новый способ варки яйца «в мешочек» в спирте: алкоголь свертывает белок яйца, не изменяя его вкуса (но, очевидно, добавляет аромат этанола). Рыбу обжаривают не в масле, а в смеси плавленых сахаров (чтобы избежать сладкого вкуса, ее заворачивают в лист лука-порея). Вы найдете еще более удивительные рецепты в различных книгах о молекулярной гастрономии, или о молекулярной кухне, то есть кулинарной школе, которая использует новые лабораторные методы (см. «Библиографию»).

Помимо потенциальных возможностей открытия новых сочетаний вкусов и консистенций, молекулярная кухня дарит надежду людям, страдающим пищевой аллергией, диабетом или пищевой непереносимостью. Запрещенные врачами ингредиенты можно просто заменить другими, сохранив при этом вкус еды! Например, яичный желток обычно используется для связывания соусов, поскольку он содержит способствующий образованию эмульсии протеин. К сожалению, желток обладает и высоким содержанием холестерина. Почему бы не заменить его соевым лецитином, имеющим аналогичные свойства? И аналогичным образом приготовить шоколадный мусс или майонез без яиц! Кроме того, в случае непереносимости глютена (см. главу 19, «Производство макаронных изделий») пшеничную муку можно заменить картофельной мукой, которая содержит крахмал.

В заключение приведем рецепт мороженого, приготовленного инновационным методом, вдохновленным молекулярной гастрономией.

Во-первых, давайте объясним, что из себя представляет мороженое. Сливочное мороженое готовят на основе молока, сливок, сахара и различных ароматизаторов; сорбеты состоят из фруктового пюре, сахара и воды. Их нежная, тающая во рту консистенция объясняется наличием микрокристаллов льда, смешанных с пузырьками воздуха. Обычно для приготовления мороженого требуется мороженица, в которой смесь постепенно охлаждается, перемешиваемая специальными лопатками. Перемешивание позволяет избежать возникновения больших кристаллов, которые неприятно трескаются во рту, а также образования слишком плотной массы. Приготовление мороженого – процесс довольно долгий (около часа), и домашние мороженицы, будь то ручные или электрические, не всегда приводят к удовлетворительному результату.

Отставим мороженицы в сторону и призовем на помощь технологию! Можно запросто получить отличное мороженое в течение нескольких десятков секунд, при условии наличия жидкого азота. В самом деле, переход азота из жидкого в газообразное состояние происходит при атмосферном давлении при температуре –196 °C. При заливке жидкого азота в заготовку (см. врезку выше) очень быстрое испарение азота (которое можно сопоставить с поведением воды, влитой в кипящее масло) провоцирует одновременно и мгновенное замораживание сливок в микрокристаллы, и образование пузырьков азота (илл. 4). Пузырьки, содержащиеся в таком мороженом, безвредны, ведь азот содержится и в воздухе, которым мы дышим, составляя более 78 % его объема.

4. Производство мороженого с использованием жидкого азота уже осуществляется в некоторых странах в специализированных кафе-мороженых. При контакте с жидким азотом водяной пар конденсируется, что служит причиной красивейшего явления: образования белоснежных облаков вокруг устройства…

1900 год, знаменующий начало XX века, является еще и датой возникновения квантовой механики. Именно тогда Макс Планк нашел решение задачи, поставленной Густавом Кирхгофом четырьмя десятилетиями ранее (см. главу 7, «Формула Планка»). Решение Планка основывалось на предположении, что энергия физической системы квантуется, то есть, например, если монохроматический свет частотой υ заключен в зеркальной камере, то его энергия обязательно окажется кратной одному «кванту» энергии, равному hυ, где h – постоянная Планка. Сперва эта гипотеза казалась относительно невинной. Однако спустя тридцать лет выяснилось, что она бросает вызов детерминистическому пониманию физики…

В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал следующий принцип, называемый принципом неопределенности. Рассмотрим частицу массой m, которая движется по оси Ox со скоростью v. Если нам удастся измерить ее скорость с точностью Δv, то ее положение x оказывается невозможным определить с точностью Δx более высокой, чем ħ/(mΔv), где ħ = 1,054⋅10^–34 Дж⋅с[26]. Иными словами, mΔxΔv ≥ ħ. Это утверждение можно распространить и на движение частицы, перемещающейся в трехмерном пространстве. Вместо того чтобы рассуждать о ее скорости v^→, часто вводят импульс p^→ = mv^→. В этом случае соотношение неопределенности записывают следующим образом:

Аналогично оно записывается и для двух других составляющих вектора импульса и координат.

Это неравенство удивительно. Законы Ньютона, о которых мы говорили в главе 4, врезке «Ньютоновская механика», позволяют, исходя из начальных условий, очень точно определить положение и скорость объекта в любой момент времени. В физике Ньютона, так называемой классической механике, нет места для неопределенности. Но этот детерминизм, свойственный макроскопическому миру, перестает действовать в атомном масштабе. Объясним, почему это происходит.

Для начала приведем иллюстрацию соотношений неопределенности. Направим поток частиц (например, электронов или нейтронов) на стенку, в которой есть отверстие диаметром Δx (илл. 1). Некоторые из них пролетят через отверстие. В момент прохождения их положение определяется в плоскости стенки с точностью Δx. При этом параллельные этой плоскости составляющие их скорости могут быть известны только с некоторой неопределенностью, обратно пропорциональной Δx. Даже если скорость какой-то частицы при подлете строго перпендикулярна стенке, то после прохода через отверстие скорости всех прошедших частиц распределятся внутри некоторого телесного угла. Таким образом, здесь мы сталкиваемся с тем же явлением дифракции, что и в случае световых лучей, проходящих через узкую щель (см. главу 4, илл. 6).

1. Если частица проходит через отверстие или щель ширины Δx, то ее положение в направлении x известно с точностью Δx. Согласно найденному Гейзенбергом неравенству, ее импульс в этом направлении может быть известен только с некоторой точностью Δp_x. Если частица является частью пучка, с импульсом p_z вдоль оси Oz, то прохождение пучка через щель вызывает его расхождение под углом, определяемым отношением Δp_x/p_z

Согласно толкованию Гейзенберга (илл. 2, слева), квантовый индетерминизм является результатом взаимодействия наблюдаемой частицы с измерительным прибором. Вот как он рассуждал.

Предположим, мы хотим проанализировать движение электрона. Как это сделать? Невооруженный глаз, очевидно, не обладает достаточным разрешением, а что насчет микроскопа? Разрешение микроскопа определяется диапазоном длин волн λ наблюдаемого излучения. Для света они составляют порядка 100 нм (то есть 100 миллиардных частей метра), частицы меньшего размера не будут видны. Поэтому с помощью микроскопа невозможно увидеть атомы, размер которых составляет порядка 0,1 нм, и тем более – обнаружить электроны. Предположим, однако, что нам удалось сделать микроскоп с использованием электромагнитного излучения более короткой длины волны: рентгеновского или даже γ-излучения, длина волны которого составляет менее 0,01 нм (см. главу 3, «Цветовое зрение»). Стало бы такое изобретение идеальным инструментом для точного измерения положения и скорости электрона?

Прежде чем праздновать победу, пристальнее рассмотрим наш воображаемый опыт. Для того чтобы получить информацию о положении электрона, необходимо использовать как минимум один квант электромагнитного излучения. Энергия E такого кванта равна hc/λ, где c – скорость света в вакууме. Чем короче длина волны, тем бо́льшую энергию несет квант. Однако импульс кванта пропорционален этой энергии, и при столкновении с электроном квант неизбежно передает ему часть своего импульса. По этой причине любое измерение положения, тем более для рентгеновского или γ-излучения, вносит неопределенность в величину импульса электрона. Точный анализ процесса показывает, что произведение неопределенностей в становлении положения электрона и измерении его импульса не может быть меньше постоянной Планка… Это возвращает нас к принципу Гейзенберга.

Можно предположить, что это рассуждение относится только к конкретному случаю или что метод измерения неверен. Ничего подобного. Самые выдающиеся ученые (в частности, как будет рассказано далее, Альберт Эйнштейн) пытались придумать мысленные эксперименты, которые могли бы позволить определить положение и импульс тела с большей точностью, чем предписано соотношениями неопределенности. Ни одна из этих попыток успехом не увенчалась. Принцип неопределенности – это закон природы, фундаментальный закон. Не следует думать, что эта неопределенность всегда связана с погрешностями измерения: многочисленные экспериментально установленные факты показывают, что она имеет фундаментальную природу, и что соотношение неопределенностей соблюдается даже при использовании самых точных измерительных устройств.

2. Вернер Гейзенберг (1901–1976) (слева) и Нильс Бор (1885–1962) (справа). Эти два создателя квантового индетерминизма были хорошими друзьями вплоть до Второй мировой войны. В 1941 году Гейзенберг навестил Бора, который вскоре бежал в США. Английский писатель Майкл Фрейн описал эту встречу в знаменитой пьесе «Копенгаген», поставленной в Лондоне в 1998 году

Кажется, что принцип неопределенности противоречит природе. До какой степени соотношения неопределенности опровергают наши детерминистические представления? Для объекта массой m принцип Гейзенберга выглядит как ΔxΔv_x ≥ ħ/m. Для шара для игры в петанк массой 0,7 кг предел произведения ΔxΔv_x немного превышает 10^–34 м²⋅с^–1, что очень близко к нулю. Если его положение известно с высокой точностью, например Δx = 10^–10 м (близко к размеру атома!), то минимальная неопределенность Δv_x для скорости остается крайне низкой – от 0,03 нм в час. Поэтому макроскопический мир, сообразно нашим представлениям, несмотря на соотношение Гейзенберга, остается практически детерминистическим.

А с какого же размера квантовые эффекты становятся существенными? Пойдем дальше по направлению к наномиру и рассмотрим броуновское движение мельчайших частиц в жидкости (см. врезку выше). Рассмотрим броуновскую частицу массой около 10^–13 кг и диаметром примерно 1 мкм. Соотношение неопределенностей говорит нам, что произведение ΔxΔv_x должно превышать величину ħ/m, в рассматриваемом случае составляющую примерно 10^–21 м²⋅с^–1. Если мы хотим знать положение броуновской частицы с точностью до 1 % от ее размера, то неопределенность в измерении ее скорости Δv_x не может превышать 10^–13 м⋅с^–1, что по-прежнему очень мало. В самом деле, скорость движения броуновской частицы составляет примерно[27] 10^–6 м⋅с^{– 1}, что превышает найденную погрешность Δv_x более чем в миллион раз! Таким образом, даже мелкие частицы броуновского движения правильно описаны классической механикой. Таким образом, соотношение неопределенности становится существенным только для частиц значительно меньших броуновской. Так, оно становится крайне важным для электрона. Важным настолько, что, как будет показано далее, на его основании оказывается возможным оценить размер атома.

Рассмотрим атом самого простого элемента, водорода, который состоит из протона и электрона. Первое по существу верное описание атома водорода привел британский физик Эрнест Резерфорд (1871–1937). Он выяснил, что электрон, обладающий отрицательным зарядом – e, и протон, несущий заряд такой же по величине, но противоположный по знаку, удерживаются вместе благодаря электростатическому взаимодействию. При этом электрон вращается вокруг протона подобно тому, как Земля вращается вокруг Солнца. Заметим, что в таком описании вращающийся электрон представляет собой циркулярный электрический ток. Однако любой замкнутый контур, по которому проходит ток, подобно антенне испускает электромагнитное излучение. В результате, согласно описанию Резерфорда, электрон должен был бы терять энергию… и в конечном итоге «упасть» на протон (илл. 3)! Но мы знаем, что он не падает – атом водорода стабилен. Чтобы дать объяснение этому факту, необходимо было ввести некий новый физический принцип, который выходил бы за рамки ньютоновской физики. Им стал принцип неопределенности Гейзенберга.

3. В классической физике атом Резерфорда был бы нестабилен: электрон в конце концов упал бы на ядро

В соответствии с этим принципом бедный электрон должен вращаться в области пространства некоторого размера с плохо определенной, но не равной нулю скоростью. И из этих смутных соображений мы собираемся оценить размер атома!

Пусть v и 2R суть скорость электрона и диаметр сферы, в пределах которой он движется. Согласно формуле (1), 2mRv > ħ. Следовательно, кинетическая энергия электрона, равная mv²/2, не может быть меньше чем ħ²/(8mR²). Добавляя электростатическую энергию его взаимодействия с протоном, находим неравенство для полной энергии электрона W:

где элементарный заряд e равен 1,6∙10^–19 Кл, а ε_o – диэлектрическая проницаемость вакуума, константа, равная 8,85∙10^–12 Ф∙м^–1.

Энергия W атома не может стать ниже минимума этого выражения, который, как легко понять, реализуется при R = R₀, где

Равновесное состояние механической системы соответствует минимуму ее потенциальной энергии (см. главу 11, «Струны и резонатор»). Радиус атома R не может сильно превышать величину R₀, потому что потенциальная энергия электрона при этом была бы слишком высока; но он не может быть и намного меньше R₀, потому что тогда кинетическая энергия была бы слишком велика, а полная энергия должна сохраняться. Именно поэтому электрон и не падает на ядро! Выражение (3) дает нам представление о размере атома водорода – это примерно 1 ангстрем (десятая часть нанометра).

Спектр излучения атомов – ключ к атомной структуре

Пребывая в своем основном состоянии (минимума полной энергии), атом терять энергию не может. Однако он может ее получать, переходя при этом в то или иное «возбужденное» состояние. При этом бесконечно долго возбужденным он не остается – через некоторое время, излучая свет, атом возвращается в свое основное состояние. Этот свет соответствует излучению точно определенных частот, то есть спектр излучения атома является «линейчатым» (см. главу 7, «От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела»). Частоты спектральных линий образуют так называемое дискретное множество, то есть их можно пронумеровать, например, в зависимости от интенсивности каждой из них. Чтобы объяснить происхождение такого линейчатого спектра, разумно предположить, что значения, которые может принимать энергия данного атома, также составляют дискретное множество. Поскольку свет может излучаться только в виде фотонов (см. главу 7, «От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела»), то закон сохранения энергии требует, чтобы энергия hυ каждого фотона была равна разности между двумя допустимыми значениями энергии атома (илл. 4). Таким образом, дискретный вид спектра излучения объясняется, по крайней мере, качественно. Остается выяснить, почему значения энергии атома составляют дискретное множество.

В начале XX века вопрос о природе атома – мельчайшей частицы вещества, являющейся носителем его свойств, – был одним из центральных в физике. Предлагаемые модели, будучи внутренне противоречивыми или не соответствующими эксперименту, одна за другой опровергались. И вот в 1913 году датский физик Нильс Бор (илл. 2, справа) предложил математически простую теорию атома, объясняющую существующие экспериментальные данные, однако основанную на столь необычных допущениях, что он сам назвал их постулатами.

4. Энергетическая диаграмма атома водорода. Атом переходит из основного состояния в возбужденное путем поглощения фотона, энергия которого ΔE = hυ соответствует разнице между двумя энергетическими уровнями атома. Энергия выражается в электронвольтах (1 эВ = 1,6•10^–19 Дж)

Нильс Бор, предлагая свою модель атома, ничего не знал о принципе неопределенности, до открытия которого оставалось еще 14 лет. В модели Бора, как и в модели Резерфорда, электрон вращается вокруг ядра, подобно тому как Земля вращается вокруг Солнца, однако при этом электрон может двигаться только по определенным орбитам (илл. 5). Например, круговые орбиты возможны только в том случае, когда произведение импульса mv электрона на радиус его орбиты R (это произведение называют «моментом импульса») является кратным постоянной Планка:

5. Атом водорода в представлении Резерфорда и Бора в начале XX века

Однако импульс электрона и радиус орбиты связаны также и тем обстоятельством, что действующая на электрон центробежная сила (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), равная mv²/R, должна компенсировать силу электростатического притяжения. Для атома водорода, ядро которого состоит из протона, последняя равна – e²/(4πε_oR). Отсюда уже можно найти радиусы R_n–1 разрешенных орбит для каждого значения n. Так, для n = 1 находим уже знакомое нам значение R₀, которое соответствует основному состоянию. Предоставим читателю самому вывести общую формулу, применимую к возбужденным состояниям электрона.

Модель Бора, разработанная в 1913 году, довольно хорошо описывала спектры излучения атомов (илл. 6), однако вскоре выявились и ее недостатки. Спустя десять лет теория Бора была концептуально расширена введением вероятностного описания нахождения электрона. Так оказалось, что значение R₀ (расстояние от электрона до ядра) в атоме водорода может считаться лишь некоей усредненной величиной; принцип неопределенности не позволяет четко определить расстояние между протоном и электроном.

6. Модель Бора позволяет объяснить спектр излучения атома водорода в видимой области. Линии, расположенные вблизи длин волн излучения в 410, 434, 486 и 656 нм, соответствуют переходам на уровень, соответствующий n = 2 из возбужденных состояний n = 6, 5, 4 и 3 (см. илл. 4)

Предположим, что в какой-то момент нам удалось установить положение электрона. Можно ли предсказать его положение через секунду? Нет, поскольку знание положения электрона неизбежно привело бы к полной неопределенности его скорости. Ни один прибор, ни одна теория не смогли бы предсказать, куда направится электрон. Так что же делать?

Сменим стратегию и отметим точку пространства, в которой обнаружен электрон, затем еще одну точку – результат аналогичного измерения с другим электроном, и многократно повторим эту процедуру. Хоть и невозможно предсказать, где появится следующая отметка, все же их распределение следует некоему правилу. Плотность отметок, которая варьирует в зависимости от точки пространства, указывает на вероятность нахождения электрона во время измерения. Мы были вынуждены отказаться от описания движения электрона, но можем теперь определить вероятность его нахождения в каждой точке пространства. Поведение электрона в наномире характеризуется вероятностью!

Читатель, не знакомый с этой концепцией, не может оценить роль случайности в законах природы. Эйнштейн, являясь одним из основателей квантовой физики (илл. 7), был потрясен предложенной концепцией квантового индетерминизма. Убежденный детерминист, он однажды написал Максу Борну: «Бог не играет в кости»[28]. Тем не менее, как вы увидите, такая вероятностная теория подтверждается серьезными экспериментальными доказательствами.

7. Знаменитый Сольвеевский конгресс 1927 года собрал почти всех основателей квантовой механики. Семнадцать присутствующих ученых были удостоены Нобелевской премии! Первый ряд, слева направо: И. Ленгмюр, М. Планк, М. Кюри, Х. Лоренц, А. Эйнштейн, П. Ланжевен, Ш. Гюи, Ч. Вильсон и О. Ричардсон. Второй ряд: П. Дебай, М. Кнудсен, У. Брэгг, Х. Крамерс, П. Дирак, А. Комптон, Л. де Бройль, М. Борн, Н. Бор. Третий ряд: О. Пикар, Э. Анрио, П. Эренфест, Э. Герцен, Т. де Дондер, Э. Шрёдингер, Ж. Э. Вершафельт, В. Паули, В. Гейзенберг, Р. Фаулер, Л. Бриллюэн

Таким образом, в наномире нахождение электрона определяется законами вероятности. Расставленные нами отметки в совокупности напоминают облако, так же как капельки воды образуют в небе облака различной плотности. Такое «электронное облако» является более точным представлением об электроне, чем маленькая планета, вращающаяся вокруг ядра, как его изображал Резерфорд.

Что же определяет структуру электронных облаков? Существует ли уравнение, которое описывает квантовую механику так же, как классическую механику описывают законы Ньютона (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»)? Да, такое уравнение существует. Оно было предложено в 1925 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером (1887–1961) и является основой атомной физики и теоретической химии.

Теория Шрёдингера обобщила предложенную годом ранее французом Луи де Бройлем (1892–1987) революционную идею, которая состояла в том, что с любой частицей, обладающей импульсом p, можно связать волну длиной λ = h/p. Таким образом, любая частица может проявлять как корпускулярное поведение, так и волновое, как это делает свет (см. главу 3, «Интерференция и когерентность»). Подобно предложенной Джеймсом Максвеллом (1831–1879) волновой теории света, где электрическое поле E (x, y, z, t) является функцией времени и трех пространственных координат, уравнение Шрёдингера описывает состояние частицы с помощью «волновой функции» ψ (x, y, z, t), квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в заданный момент времени t в точке (x, y, z). Этот подход был основан на аналогии с оптикой, где квадрат модуля электрического поля определяет вероятность нахождения фотона в данной точке. Различие же заключается в том, что электрическое поле является физически измеримым, например, по его действию на электрически заряженные объекты, тогда как введенная де Бройлем «волновая функция» ясного физического смысла не имела.

С помощью уравнения Шрёдингера оказалось возможным найти пространственное распределение плотности вероятности электрона для его возможных состояний в атоме водорода. Изобразив эти распределения плотности вероятности на плоскости разными цветами, получают изображение различных атомных орбиталей (областей, в которых вероятность нахождения электрона наиболее высока). Такие изображения заменяют электронные орбиты модели атома Бора (илл. 5) и наглядно представляют поведение электронов в атоме. Основанные на уравнении Шрёдингера расчеты объясняют существование дискретных уровней энергии, которые и являются причиной линейчатых спектров, наблюдаемых при излучении и поглощении света. Подобные, но более сложные вычисления позволяют понять, как между атомами образуются химические связи.

Заметим, что работы де Бройля и Шрёдингера предшествовали открытию Гейзенбергом принципа неопределенности. Последний прост, краток, элегантен, однако содержит меньше информации, чем уравнение Шрёдингера.

Предложенная де Бройлем концепция связи между волнами и частицами, так называемый корпускулярно-волновой дуализм, привела к идее применения оптических методов исследования с заменой света на потоки частиц. Так, в 1927 году американские физики Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер бомбардировали электронами кристалл никеля. В результате они получили дифрактограммы, подобные возникающим при облучении кристаллов рентгеновскими лучами (см. врезку). Для интерпретации полученных дифракционных картин электронам следовало приписать определенную длину волны, и она совпадала с величиной, предсказанной де Бройлем. Таким образом, эксперимент блестяще подтвердил его гипотезу.

Принцип неопределенности позволяет получить интересную информацию о движении атомов в твердых телах. Под твердыми телами здесь мы будем подразумевать кристаллы (см. главу 9), поскольку при низких температурах кристаллическая структура является устойчивой формой существования почти всех чистых веществ. Атомы в кристалле не являются неподвижными: они колеблются вокруг положения равновесия. Амплитуда этих колебаний очень мала: расстояние между двумя соседними атомами всегда остается близким к своему среднему значению, которое составляет около нескольких десятых нанометра. Как правило, эти колебания обусловлены тепловым движением: чем температура выше, тем больше амплитуда колебаний (см. главу 22, врезку «Броуновское движение»). Что же происходит, когда температура опускается до абсолютного нуля (0 К, то есть –273,15 °C)? Можно предположить, что колебания прекращаются и атомы замирают. Однако в этом случае их положение было бы точно фиксировано, в то время как скорость была бы равна нулю, то есть Δx = Δp = 0, что нарушило бы соотношение неопределенности (1) (см. главу 22). Отсюда следует, что движение атомов прекратиться не может даже при абсолютном нуле температур: в этом случае тепловые колебания сменяются на «нулевые колебания».

Попробуем разобраться в этом подробнее на примере простого кристалла, состоящего из атомов лишь одного сорта (например, водорода, кислорода, железа). Упрощенное, но качественно приемлемое описание движения атома в кристалле относительно его соседей можно получить, предполагая, что при отклонении от положения равновесия на него действует возвращающая сила, пропорциональная расстоянию, так как если бы его удерживала пружина. В таком случае движение атома относительно положения равновесия описывается формулой x (t) = x₀ cos (ωt – α), где x₀ – максимальная амплитуда колебаний (для двух других координат формулы аналогичны). При этом скорость атома v_x (t) = –ωx₀ sin (ωt – α). Соотношение неопределенности требует, чтобы ΔxΔv ≥ ħ/m, и, следовательно, ωx₀² было не менее ħ/m, где m – масса атома. Частота ω для большинства веществ лежит в диапазоне между 10¹³ и 10¹⁴ Гц (характерную частоту колебаний атома в твердых телах называют частотой Дебая). Заменяя массу m на Am_n, где A – массовое число (см. главу 13, врезку «Элементы ядерной физики»), а m_n – средняя масса нуклона (около 1,67⋅10^–27 кг), получим, что x₀ в метрах должна составлять не менее  Это условие устанавливает верхнюю границу для амплитуды нулевых колебаний в 1/100 нм, которая, как правило, мала в сравнении с равновесным расстоянием между соседними атомами. Поэтому нет оснований полагать, что нулевые колебания в твердых телах разрушают его устойчивость.

Сомнения могут оставаться только для наименьших значений A, то есть для водорода (A = 1) и гелия (A = 4). Оказывается, что только гелий (He) является исключением из правила: если давление не превышает 2,5 Мпа, то нулевые колебания действительно делают его кристаллическое состояние неустойчивым при любых температурах. Все остальные простые тела, включая водород H₂, при приближении температуры к абсолютному нулю рано или поздно затвердевают при любом давлении.

Мы уже видели, что согласно квантовой механике ни в какой момент времени невозможно установить точные значения положения r^→ и скорости v^→ электрона, вращающегося вокруг ядра. Еще более необычными оказываются свойства его магнитного момента.

Магнитный момент – это векторная величина, характеризующая свойство определенных объектов ориентироваться в магнитном поле. Например, стрелка компаса располагается по магнитному полю Земли, указывая направление на Северный магнитный полюс. Многие из элементарных частиц и объектов атомного масштаба также обладают магнитным моментом: электрон, нейтрон, протон, а также бо́льшая часть ядер, атомов и ионов.

Пространственные составляющие магнитного момента обозначаются как µ_x, µ_y, µ_z. Когда стрелка компаса сориентирована в определенном направлении, то четко определены и все три составляющие ее магнитного момента. В отличие от компаса, электрон или нейтрон являются объектами, принадлежащими к квантовому миру. Для них может быть измерена только одна из трех составляющих магнитного момента, при этом она способна принимать только два противоположных значения: –µ или +µ. Это, казалось бы, парадоксальное утверждение было подтверждено экспериментально: первыми опытные данные, говорящие в пользу квантования магнитного момента представителей квантового мира, еще в 1922 году получили Отто Штерн и Вальтер Герлах. В своих экспериментах они направляли пучок атомов серебра (которые благодаря электронам внешней оболочки обладают магнитным моментом) сквозь неоднородное магнитное поле. В результате было обнаружено, что этот пучок разделяется строго пополам, что и доказывает квантование магнитного момента всего на два дискретных значения (илл. 8). Действительно, если бы магнитный момент мог принимать хотя бы три значения, то и пучок делился бы натрое, а если бы магнитный момент атомов серебра мог меняться непрерывно, то и пучок просто расходился бы в конус.

Еще несколько слов о пучке атомов серебра. Выберем ось x вдоль направления магнитного поля. Тогда существует такое состояние атома серебра, в котором µ_x = –µ, и другое, в котором µ_x = +µ. Существует также состояние, при котором µ_y = µ. Что произойдет, если частица находится в этом состоянии и измеряется компонент µ_x? Измерение с равной вероятностью даст µ_x = –µ или µ_x = +µ. Таким образом, среднее значение всех измерений µ_x, которые можно произвести в состоянии µ_y = µ, равно нулю. То же самое относится к среднему значению всех измерений µ_x в состоянии µ_y = –µ. Чтобы принять в расчет эти свойства, в квантовой механике считается, что состояние µ_y = µ является «соединением» состояний µ_x = –µ и µ_x = µ.

Если частица находится в состоянии с µ_x = µ, магнитный момент получится ±µ с той же вероятностью, и поэтому среднее значение большого числа мер будет равно нулю. Это то же самое из средних измерений, которые можно выполнить с магнитным моментом в состоянии µ_x = –µ. Чтобы понять значение этого свойства в рамках квантовой механики, утверждается, что состояние µ_y = µ на самом деле представляет собой смесь состояний, имеющих µ_x = + µ и µ_x = –µ.

Результат, предсказываемый классической физикой: непрерывная линия.

8. Принцип опыта Штерна – Герлаха. Атомы серебра проходят через вертикально направленное неоднородное магнитное поле. Согласно классической физике, пучок частиц с непрерывным распределением магнитного момента должен расходиться конусом. Опыт же показывает, что он делится на две компоненты

Кот Шрёдингера

Концепция «смешения состояний» очень хорошо описывает реальность в масштабе атомного мира. Интересно попробовать распространить ее действие на мир макроскопический. Один из примеров привел Шрёдингер. Он заметил, что, подобно тому как магнитный момент в рамках квантовой механики может принимать два различных значения, так и обычный кот при расширении последней до масштаба комнаты может находиться в двух состояниях: быть и живым и мертвым одновременно (илл. 9)! Если мы открываем дверь в комнату, мы с равной вероятностью ¹/₂ можем обнаружить как мертвого, так и живого кота, но пока дверь закрыта, кот одновременно и жив и мертв (см. врезку).

9. В мысленном эксперименте Шрёдингер представил себе кота, запертого в герметичной коробке. Устройство, принцип действия которого основан на случайном распаде радиоактивного атома, может разбить колбочку с ядом. По истечении заданного времени вероятность распада атома составляет ¹/₂. До тех пор пока наблюдатель не откроет коробку, квантовая механика утверждает, что атом одновременно и распался и не распался, следовательно, и кот теоретически и жив и мертв

«Это же абсурдно! – может решить читатель. – На самом деле кот либо жив, либо мертв и до открытия двери, неважно, знаем ли мы его состояние». Такое понимание рассматриваемой ситуации базируется на иной, некогда существовавшей интерпретации квантовой механики, основанной на понятии скрытого параметра. Согласно этой концепции, описание мира является детерминистичным, однако некоторые параметры, необходимые для его реализации, оказываются нам недоступными. Современная наука опровергает эту концепцию. Но все же индетерминизм квантовой физики порождает парадоксы, которые интуитивно сложно принять. Опишем один из них.

Сегодняшние коты Шрёдингера…

Сомнения в детерминизме физики микромира стали появляться еще с 1924 года, когда Луи де Бройль предложил идею корпускулярно-волнового дуализма, а три года спустя Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер доказали ее опытным путем. В результате этих открытий Нильс Бор и Вернер Гейзенберг пришли к выводам, ниспровергающим классические представления о детерминизме в применении к квантовому миру, а Эрвин Шрёдингер придумал шутку об одновременно живом и мертвом коте. В 2015 году коту Шрёдингера исполнилось 80 лет! Тем не менее, старея, он становится все более живым. Совсем недавно благодаря усилиям ученых он материализовался из области абстрактных рассуждений и стал реальностью. Конечно, это не настоящий кот, а крошечный объект, который только в шутку называют «котом Шрёдингера». Под этим названием сегодня подразумевают любой относительно макроскопический объект, приведенный в состояние квантовой суперпозиции. Этот котенок (представляющий собой лишь несколько атомов) косвенно стал одним из лауреатов Нобелевской премии по физике, присужденной в 2012 году Сержу Арошу и Дэвиду Вайнленду.

В 1935 году Эйнштейн и его коллеги Борис Подольский и Натан Розен предложили парадокс, который впоследствии стал темой для многих научных работ (некоторые публикуются и в наши дни). Они рассмотрели ситуацию, которую сегодня называют квантовой «запутанностью» (по-английски – entanglement). Здесь задействован уже не один объект, как в парадоксе Шрёдингера, а два. Например, возьмем кота и собаку, хотя оригинальная формулировка парадокса их и не предполагала. Предположим, что одно из животных мертво (какое – неизвестно), а другое живо. Состояние, в котором жив кот, а собака мертва, обозначим |+−>, а состояние, в котором кот мертв, а собака жива, запишем как |−+>. В случае если эти два состояния смешаны, говорят, что они запутаны. Запутанное состояние представлено обозначением  Пока кот и собака находятся в двух отдельных закрытых камерах (звуконепроницаемых и т. д.), неясно, кто из них жив, а кто мертв. Но если мы откроем камеру с котом и обнаружим его мертвым, то узнаем, что собака жива, а если мы обнаружим живого кота, будем знать, что мертва собака: оба наблюдения коррелируют. Отметим, что эта корреляция сохраняется при разделении животных, в двух камерах, расположенных и на расстоянии 1000 км друг от друга. Чтобы узнать, жива ли собака, находящаяся за 1000 км, достаточно открыть камеру с котом. Таким образом, мы получаем информацию мгновенно, хотя никакой сигнал не может распространяться быстрее скорости света! Можно даже подумать, что открытие камеры с котом, которого мы обнаружим живым, мгновенно, на расстоянии, вызовет смерть собаки, которая до сих пор была только «полумертвой». Конечно, невозможно предугадать исход открытия камеры, потому что мы найдем кота живым или мертвым с одной и той же вероятностью ¹/₂, равно как и собаку; однако мы понимаем, что Эйнштейн, Подольский и Розен были озадачены. В конце статьи они высказали мнение о необходимости разработки новой квантовой механики. Она могла бы быть основана на предположении о существовании скрытых параметров, то есть параметров, недоступных для экспериментальной верификации и не входящих в теории Шрёдингера и Гейзенберга.

ЭПР-парадокс оспаривали многие исследователи, в том числе и Бор. Другие выдающиеся ученые, в том числе Луи де Бройль и Дэвид Бом, подобно Эйнштейну, предпочли бы восстановить детерминизм. Дискуссия длилась долго и носила философский оттенок. В 1964 году Джон Белл смог сделать ее более конкретной и показал, что детерминистическая физика, даже со скрытым детерминизмом, должна включать в себя некоторые доступные измерению неравенства, которые противоречат обычной форме квантовой механики.

Неравенства Белла были проверены Аленом Аспе и его сотрудниками в Париже в 1982 году. Они воспроизвели ситуацию, аналогичную описанной в предыдущем параграфе. Очевидно, ученые использовали не кота и собаку, – поскольку, как мы уже показали, квантовая механика неприменима к макроскопическим объектам, – а фотоны, поляризация которых (то есть направление колебаний электрического поля) может иметь два взаимно ортогональных направления, подобно тому как кошка и собака могут находиться в двух равновероятных состояниях (живом и мертвом). Исследовали намеревались обнаружить корреляцию между поляризациями фотонов. И это лишь одна из многочисленных трудностей эксперимента. Другая сложность была связана с тем, что фотоны двигаются с огромной скоростью, а за время их перемещения следует успеть сделать очень многое. В конечном итоге опыты Аспе привели к выводу, что неравенства Белла не могут быть проверены на достоверность. Таким образом, квантовая механика, изложенная в учебниках, является правильной и не может быть заменена или дополнена теорией скрытых параметров. Опыт Аспе превратил мысленный эксперимент (Gedenkenexperiment, как говорят немцы) Эйнштейна, Подольского и Розена в эксперимент реальный.

Таким образом, ЭПР-парадокс приобрел свою реальную жизнь. Квантовая физика, а с ней и микроскопический мир парадоксальны.

Ученые не остаются равнодушными к красоте природы. Луи де Бройль говорил о «таинственной красоте обличий, принимаемых электрическим разрядом» (речь, посвященная Жану Перрену, 1962). Гейзенберг, который выступил с докладом о «Значении красоты в точных науках» (Die Bedeutung Schönen in der exakten Naturwissenschaft), также писал: «Внутренние связи [атомов в квантовой теории] в математических абстрациях демонстрируют невероятную степень простоты и красоты, – дар, который нам остается только смиренно принять. Даже Платон не мог представить подобную красоту. Она не могла быть придумана, она существует с момента сотворения мира». А вот что полагал Эйнштейн: «Что же до простоты и красоты [природы], я отдаю должное эстетическим аспектам ‹…› Я преклоняюсь перед простотой и красотой математических моделей, созданных природой».

Следуя за великими физиками, заглянем в микромир и восхитимся некоторыми художественными творениями природы. В них задействован очень распространенный элемент – углерод.

Итальянский писатель и химик Примо Леви (1919–1987), известный автобиографическими произведениями о своем пребывании в Освенциме, говорил об углероде: «Углерод – особый элемент, единственный, способный соединяться сам с собой и образовывать без большого расхода энергии длинные устойчивые цепи, а для жизни на Земле (той единственной формы жизни, которая нам известна) нужны как раз длинные цепи. Потому-то углерод и является ключевым элементом в создании жизни»[29]. Эти длинные углеродные цепи, к которым присоединяются атомы водорода, а иногда и кислород, азот и фосфор, являются основой молекул, составляющих химию живого мира. Например, белки и сахара (см. главу 17, «Белки, цепочки аминокислот» и главу 18, «Сахара, крахмал и углеводы») или же такая совершенная молекулярная структура, как ДНК (илл. 1).

1. Двойная спираль молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновой кислоты), которая кодирует генетическую информацию. Структура ДНК была выявлена с помощью рентгеновской дифракции (см. главу 9, «Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах»). Молекула состоит из четырех типов нуклеотидов, которые комплементарно собраны на каждой нити, что дает ей возможность реплицироваться

Чистый углерод также обладает удивительными свойствами, о которых и не подозревал Примо Леви, когда писал эти строки в 1970 году. До недавнего времени (скажем, 1990 год) учебники говорили о существовании двух кристаллических модификаций углерода – довольно распространенного графита и алмаза.

Алмаз – редко встречающийся кристалл, крупные образцы которого может создавать только природа при экстремальных температурах и давлениях. И все же химически алмаз являет собой самую простую модификацию углерода (илл. 2): в ней каждый атом имеет четырех соседей, с которыми образует очень прочные химические связи, называемые ковалентными (см. главу 16, «Микроволновая печь»). Стремление атома углерода иметь четырех соседей – результат довольно простых законов химии. Действительно, в атоме углерода, шестого элемента периодической таблицы, имеется шесть электронов. В упрощенной модели электроны распределяются вокруг ядра по оболочкам. Два ближайших к ядру электрона образуют «замкнутую оболочку»: они химически инертны. Остальные четыре электрона находятся на второй, более удаленной от ядра оболочке. Однако на ней хватило бы места и для восьми электронов, а атомы, как правило, стремятся иметь такую электронную структуру, чтобы их внешняя оболочка была заполненной. Это найденное химиками древности «правило октета» (или, для самых легких элементов, «правило дуэта») – закон, который современные ученые объясняют с помощью квантовой механики. Ради его соблюдения атомы готовы получать или терять электроны, образуя ионы, или делить электроны с другими атомами, создавая ковалентные связи.

2. Кристаллическая структура алмаза. Кристаллическая решетка представляет собой гранецентрированную кубическую решетку (см. главу 9, «Кристаллы и стереометрия»), в которую включены четыре дополнительных атома углерода. Каждый атом окружен четырьмя соседями, которые образуют правильный тетраэдр

Семейная история

В конце XIX века российский химик Дмитрий Менделеев придумал систему классификации химических элементов. Он составил таблицу, в которой расположил их по степени возрастания атомной массы так, что элементы в каждом столбце обладают сходными химическими свойствами. Так, в столбце, соответствующем углероду, под ним находятся кремний (Si) и германий (Ge). Как и атом углерода, атомы этих элементов имеют на внешней оболочке по четыре электрона, которые готовы к участию в химических связях. Таким образом, кремний и германий также образуют кристаллы, имеющие структуру алмаза (илл. 2). Эти кристаллы широко используются в электронике: при добавлении определенных примесей они становятся полупроводниками (см. главу 28).

В алмазе каждый из четырех электронов внешней оболочки соединяется с электроном внешней оболочки другого атома с образованием четырех связей C–C, и, таким образом, правило октета оказывается соблюденным. Итак, каждый атом в алмазе имеет четыре соседних (см. врезку). Полученная таким образом структура оказывается невероятно прочной, и поэтому алмаз является очень твердым веществом.

Как мы уже упоминали, алмаз – редкая модификация углерода. По прихоти химии атомы углерода более склонны образовывать двумерную структуру, в которой каждый из них связывается только с тремя другими. Таков двумерный кристалл – графен (илл. 3). Оставшийся незадействованным четвертый электрон внешней оболочки (один на атом) готов участвовать в формировании слабой связи, которая соединяет между один слой графена с другим, другой с третьим и т. д. В результате такой упаковки формируется графит – наиболее распространенная форма кристаллического углерода (илл. 4). Это твердое темное вещество может служить, например, в качестве грифеля в обычном карандаше.

3. Графен состоит из атомов углерода, образующих решетку в виде сот

Соединяющие между собой слои графита слабые связи оказываются непрочными, и их довольно легко разорвать. Например, наклеивая на графит скотч и отрывая его, легко несколько слоев отделить; повторив такую процедуру несколько раз, в конце концов можно получить и единичный слой графена. Этот простой и успешный, нашедший широкое применение метод принес в 2010 году Нобелевскую премию по физике Андре Гейму и Константину Новоселову.

Часто электрон внешней оболочки, не находящий себе ковалентной связи, немного усиливает три связи своих собратьев с электронами соседних атомов. Вместо того чтобы упаковываться с другими слоями в трехмерный графит, слой графена деформируется, переставая быть плоским, и спонтанно образует необычные структуры. Опишем некоторые из них.

4. Структура графита. Графит состоит из совокупности слабо связанных между собой слоев графена. Эти слабые связи изображены пунктиром

Когда углерод играет в футбол

В результате наблюдений и анализа исследователи в разных частях мира пришли к выводу, что в саже и пламени свечи появляется небольшое количество специфического вещества, молекулы которого состоят из 60 атомов углерода (C₆₀). Атомы углерода в нем связываются так, что образуют 20 шестиугольников и 12 пятиугольников, воспроизводя таким образом форму футбольного мяча (илл. 5a).

Впоследствии, после открытия молекулы C₆₀, в природе были обнаружены или синтезированы и другие, более крупные, молекулы, также состоящие из шести- и пятиугольников. Так, например, молекула C₇₀ скорее имеет форму мяча для регби: она состоит из 25 шестиугольников и 12 пятиугольников (илл. 5b). К таким молекулам относится и гигант C₅₄₀ (илл. 6), который довольно легко получается путем испарения графита посредством облучения лазерным импульсом или дугового разряда. Такие молекулы, возможно, могут входить в состав межзвездной пыли.

5. a. Молекула C₆₀ воспроизводит форму футбольного мяча, который состоит из кожаных пяти- и шестиугольников. b. Молекула C₇₀ отдаленно напоминает мяч для регби

Все эти молекулы, принимающие форму выпуклых многогранников и имеющие формулу C_2n, где n – целое число, могут содержать разное число шестиугольников, но всегда 12 пятиугольников. Как это объяснить? Докажем, что в предположении, что все грани являются шести- и пятиугольниками, количество последних обязательно должно быть равно 12.

6. Молекула C₅₄₀

Пусть h – количество шестиугольников и p – пятиугольников. Согласно справедливой для многогранников теореме Эйлера, при условии, что выпуклый многогранник имеет f граней, s вершин и a ребер, эти три числа должны удовлетворять формуле:

f + s = a + 2.

Числа f, s и a легко находятся из количества шести- и пятиугольников, h и p соответственно. Прежде всего очевидно, что f = h + p. И поскольку каждый шестиугольник имеет шесть ребер, каждый пятиугольник их имеет пять, а каждое ребро является общим для двух сторон, то находим, что a = (6h + 5p)/2. Для нахождения числа вершин s следует заметить, что каждая из них является общей для трех граней: соединить их большое число в вершине не представляется возможным, а принять s = 2 – абсурдно. Каждый шестиугольник имеет шесть вершин, каждый пятиугольник – пять, а каждая вершина является общей для трех сторон, и, следовательно, s = (6h + 5p)/3. Подставляя значения, найденные по формуле Эйлера, получим p = 12. Заметим, что существует многогранник с 12 пятиугольниками и совсем без шестиугольников – правильный додекаэдр, который соответствует молекуле C₂₀, самой маленькой в этом семействе. Что касается того, что все грани или шести-, или пятиугольные, это неудивительно: к примеру, квадратная грань бы требовала, чтобы две связи C–C образовывали между собой прямой угол, в то время как внешние электроны, как правило, распределяются в пространстве вокруг атомов симметрично.

Молекулы, которые мы только что описали, называются фуллеренами в честь американского архитектора Бакминстера Фуллера, создателя геодезических куполов, напоминающих молекулу C₆₀ (которая была обнаружена первой; ее еще называют footballen из-за сходства с футбольным мячом). По сей день физики находят и исследуют потрясающе красивые структуры, созданные природой и обычно скрытые от нас, а ведь некоторые художники их предсказали! Великий тосканский художник Пьеро делла Франческа (умерший в возрасте почти 80 лет в 1492 году), вероятно, был первым, кто изобразил футбольный мяч – или, вернее, усеченный икосаэдр, полученный в результате усечения обычного икосаэдра по пяти плоскостям (см. главу 8, «Поцелуи» шаров в задаче Кеплера»). Пьеро делла Франческа увлекался математикой. Рисунок усеченного икосаэдра был обнаружен не в его «Книжице о пяти правильных телах» (Libellus de quinque corporibus regularibus), а в труде, опубликованном в 1510 году одним из его учеников, Лукой Пачоли. Иллюстратором книги, озаглавленной Divina Proportione («Божественная пропорция»), был… Леонардо да Винчи (илл. 7)!

7. Усеченный икосаэдр, изученный Пьеро делла Франческой и нарисованный Леонардо да Винчи для книги Луки Пачоли

Углеродные нанотрубки

Углерод также способен скручиваться, формируя трубки. Они бывают самых разных форм и размеров, диаметром от одного до нескольких десятков нанометров (илл. 8). Углеродные нанотрубки создают в лабораториях различными способами: отрывая кусочки от углеродного блока при помощи лазера или электрической дуги или путем осаждения подходящего углеродного пара. На самом деле мы, сами того не зная, производили их на протяжении веков, но только с появлением усовершенствованных инструментов сумели обнаружить эти нанообъекты (см. главу 28, «Взгляд в наномир»).

Зачем они нужны? Нанотрубки, фуллерены и другие производные графена обладают электрическими и оптическими свойствами, которые будоражат умы физиков и в перспективе могут найти уникальные применения, скажем, в фотоэлементах (см. главу 28, «От компьютера к квантовому компьютеру»). Графеновая электроника также обещает продлить действие закона Мура, позволив создавать транзисторы еще меньшего размера, чем используемые сегодня кремниевые (см. главу 28).

Нанотрубки имеют также замечательные механические свойства: они чрезвычайно устойчивы к растяжениям. Поэтому вскоре мы сможем увидим легкие и прочные велосипеды и теннисные ракетки, созданные из композитных материалов, армированных углеродными нанотрубками диаметром в несколько микрон. Еще одна метаморфоза этого «особого элемента», воспетого Примо Леви!

8. Две разновидности углеродных нанотрубок. a. Конструкция «кресла» имеет связи, перпендикулярные оси трубки. b. «Зигзагообразная» структура обладает связями, параллельными ее оси

В 1908 году голландский физик Хейке Камерлинг-Оннес (1853–1926) сумел получить жидкий гелий, который при обычном давлении имеет точку кипения при температуре 4,2 К (см. главу 26). Это замечательное техническое достижение открыло перед ученым возможность изучать сопротивление металлов при очень низких температурах (см. главу 24, врезку «Природа электрического сопротивления»). Результат не заставил себя ждать: 28 апреля 1911 года на заседании Королевской академии наук в Амстердаме было объявлено о фундаментальном открытии: при температуре ниже 4,15 К электрическое сопротивление ртути полностью исчезает (илл. 1).

1. Электрическое сопротивление R (в омах) образца ртути в зависимости от температуры T (в кельвинах). Ниже критической температуры T_к = 4,15 K сопротивление образца исчезает. Это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено 8 апреля 1911 года. Отметим, что далеко не все металлы даже при самых низких температурах переходят в сверхпроводящее состояние. К примеру, являющееся прекрасным проводником золото не обладает подобным свойством

Отсутствие электрического сопротивления означает, что приведенные в движение заряды в замкнутой цепи будут двигаться вечно (илл. 2). И действительно, исследователи в Англии сумели заставить ток циркулировать в сверхпроводнике в течение нескольких лет без малейшего затухания; эксперимент был прерван, только когда охлаждение устройства было нарушено из-за забастовки на электростанции.

В то время как теоретическое объяснение сверхпроводимости заставило себя ждать долгое время, экспериментальные исследования шли вперед. Помимо ртути, сверхпроводимость была обнаружена и в других металлах, например, таких как свинец и олово. Сверхпроводимость проявлялась в них также привесьма низких температурах: самую высокую критическую температуру среди чистых металлов, как оказалось, имеет ниобий (T_к = 9,2 K, то есть –264,15 °C!). Ученым были понятны заманчивые перспективы практических применений этого явления, такие как передача энергии без потерь или создание сверхмощных электромагнитов (см. главу 25). Однако на этом пути возникло два серьезных препятствия. Во-первых, необходимость экстремально низких температур требовала постоянного охлаждения устройства. Второе препятствие, с которым вскоре столкнулся Камерлинг-Оннес, заключалось во внезапном исчезновении сверхпроводящего состояния, когда протекающий по образцу ток становился слишком сильным. Такой же разрушающий эффект производило и превышающее определенный порог магнитное поле. Наблюдаемая на эксперименте величина этого разрушающего поля, называемого критическим, была невелика. Так, для ртути критическое магнитное поле составляет 0,03 Тл (сравните эту величину с полем, создаваемым обычными стержневыми магнитами: от 0,1 до 1 Тл).

2. Опыт Камерлинг-Оннеса, доказывающий отсутствие затухания тока в сверхпроводнике. Электрическая батарея создает в цепи ток (постоянный), при этом верхний ключ остается замкнут. Затем его размыкают, отключив тем самым батарею, и одновременно замыкают нижний ключ. Наличие тока в сверхпроводящей катушке проявляется его воздействием на магнитную стрелку, которая ориентируется по линиям магнитного поля

В 1933 году немецкие физики Вальтер Мейснер и Роберт Оксенфельд, изучая влияние внешнего магнитного поля на сверхпроводник, обнаружили, что внутрь помещенного в магнитное поле сверхпроводника оно не проникает. Это явление, называемое эффектом Мейснера – Оксенфельда, связано с возникновением на поверхности сверхпроводника бездиссипативных токов, которые, создавая в объеме сверхпроводника свое магнитное поле, компенсируют внешнее поле (илл. 3). Все происходит так, как будто сверхпроводник «вытесняет» магнитное поле из своего объема наружу.

Знакомый с явлением электромагнитной индукции (см. главу 16, врезку «Электромагнитная индукция») читатель может предположить, что подобный эффект возникает лишь при помещении сверхпроводника между полюсами магнита. При этом магнитный поток, пронизывающий площадь сверхпроводника, должен был бы изменяться, что породило бы электродвижущую силу, и в результате в сверхпроводнике должен был бы возникнуть бесконечно большой ток, который разрушил бы сверхпроводимость.

3. Эффект Мейснера – Оксенфельда. На поверхности сверхпроводника, помещенного во внешнее поле B^→_внеш, возникает электрический ток (красные стрелки). Этот ток создает внутри вещества магнитное поле B^→_внутр, которое точно компенсирует внешнее поле

Напомним, что в физике существует общий принцип Ле Шателье, который утверждает, что если на систему, находящуюся в устойчивом равновесии, воздействовать извне, изменяя какое-либо из условий равновесия (в нашем случае – внешнее магнитное поле), то в системе возникают процессы, направленные в сторону противодействия изменениям.

Поэтому сверхпроводнику проще пустить по своей поверхности конечный бездиссипативный ток, который просто устранит эффект внешнего поля, сведя к нулю изменения магнитного потока. Конечно, этот ток не должен стать больше критического, убивающего сверхпроводимость. Поэтому эффект Мейснера – Оксенфельда имеет место для не слишком сильных полей.

Ну а если в магнитное поле поместить массивный сверхпроводник в его нормальном состоянии при температуре выше критической, а лишь затем охлаждением перевести его в сверхпроводящее состояние? Казалось бы, что при этом ненулевой магнитный поток, пронизывавший сверхпроводник при высокой температуре, должен в нем и оставаться. Поэтому при такой постановке эксперимента и поверхностных токов появиться не должно – именно этого ожидал Мейснер. Он поставил соответствующий эксперимент и, к своему удивлению, обнаружил, что магнитное поле внутри сверхпроводника стало нулевым, что указало на возникновение в нем поверхностных токов и в такой постановке опыта.

В чем же здесь дело? Почему магнитный поток не заморозился в объеме сверхпроводника? Причиной такого поведения являются флуктуации – отклонения системы от равновесия. Представьте себе, что в некоторой малой области сверхпроводника уже имеющееся магнитное поле слегка изменится. Тогда чуть-чуть изменится и магнитный поток, а вслед за этим появится и малая электродвижущая сила. Но ведь сопротивление равно нулю, поэтому такая флуктуация породила бы бесконечный ток, который убил бы сверхпроводимость. Для сохранения своего состояния сверхпроводнику проще пустить по своей поверхности ток конечной плотности, изгнав при этом из своего объема магнитный поток вообще.

Возникающие поверхностные токи имеют еще одно впечатляющее проявление: порождаемое ими вне сверхпроводника магнитное поле способно отталкивать магнит таким образом, что последний левитирует (то есть парит) над ним (илл. 4 и 5).

4. Постоянный магнит левитирует над сверхпроводником

5. Объяснение явления левитации магнита над сверхпроводником. При наличии порождаемого магнитом поля B^→₁ на верхней поверхности сверхпроводника возникает сверхпроводящий ток, генерирующий магнитное поле B^→₂. Это поле, очевидно, направлено противоположно B^→₁. Взаимодействие магнита с полем приводит к появлению действующей на магнит силы, которая уравновешивает его вес. В результате магнит зависает над сверхпроводником

Эффект Мейснера – Оксенфельда обычно возникает, только если внешнее поле относительно слабое. Если поле слишком сильное, то сверхпроводник не в состоянии его вытолкнуть и, как было уже упомянуто выше, переходит в свое нормальное состояние. Таким образом, при помещении сверхпроводника в магнитное поле имеется только два варианта: либо сверхпроводник перейдет в свое нормальное состояние, впустив в себя магнитное поле, либо поле в сверхпроводнике станет равным нулю.

Через полвека после открытия явления сверхпроводимости было предсказано, что возможен и другой сценарий поведения сверхпроводника в магнитном поле. Приведенное выше наблюдение верно только для так называемых сверхпроводников I типа, таких как ртуть, свинец, алюминий и т. д. Советский физик-теоретик Алексей Абрикосов в своей, ставшей впоследствии знаменитой, работе 1957 года показал, что для некоторых сверхпроводников, которые он назвал сверхпроводниками II типа (сегодня их часто называют сверхпроводниками II рода), существует и третья возможность. А именно, если внешнее магнитное поле B^→ достаточно сильно, то в такие сверхпроводники оно может проникать в виде очень тонких, параллельных ему и пронизывающих сверхпроводник трубок. Вокруг этих трубок текут сверхпроводящие бездиссипативные токи, которые образуют своеобразные вихри. Последние обычно обозначают английским словом vortex. На удалении от трубок поле равно нулю – сверхпроводящие токи экранируют его своими полями. При этом свойство сверхпроводимости не исчезает, хотя сами трубки и не являются сверхпроводящими: в результате часть объема образца остается сверхпроводящей, а в другую проникает магнитное поле.

6. a. Решетка вихрей Абрикосова в сверхпроводнике II рода, визуализированная посредством декорации его поверхности частицами кобальта, 1967 год. Частицы собираются на входах линий магнитного поля в сверхпроводник, то есть у выходов вихрей на поверхность. Вихри отталкиваются друг от друга и образуют предсказанную Абрикосовым более-менее регулярную решетку. b. Фазовая диаграмма индие-висмутового сплава InBi (с 4 % Bi) в координатах температуры T и магнитного поля B. Пунктирная кривая определяет температурную зависимость критического поля чистого индия, который является сверхпроводником I рода

Экспериментальное наблюдение вихрей Абрикосова оказалось довольно легким, хотя и было проведено лишь через десять лет после публикации его теоретической работы. Самый простой способ – посыпать поверхность сверхпроводника железными опилками или частицами другого ферромагнитного материала. Тогда эти частицы станут скапливаться у начала трубок (илл. 6a). Можно также использовать и метод дифракции нейтронов: решетка вихрей на самом деле аналогична кристаллической решетке (см. главу 9). Таким образом можно удостовериться, что трубки пронизывают объем сверхпроводника.

Поведение сверхпроводника II рода в магнитном поле зависит от интенсивности поля. При увеличении действующего на сверхпроводник магнитного поля от нуля вихрей сначала не наблюдается, магнитное поле B^→ благодаря возникающим поверхностным токам полностью выталкивается из образца, точно так же как и в случае сверхпроводника I рода. Таким образом, в достаточно слабых полях имеет место полный эффект Мейснера. Начиная с некоторого критического поля B_к1 в объеме сверхпроводника возникают первые вихри, сначала в небольшом количестве. Посредством их магнитное поле начинает проникать в сверхпроводник. С ростом интенсивности поля возрастает и число вихрей. В конечном итоге при поле B_к2 (илл. 6b) вихри заполняют весь объем образца и сверхпроводимость исчезает.

Заметим, что большинство сверхпроводников I рода (которые не имеют промежуточной вихревой фазы) могут быть превращены в сверхпроводники II рода путем добавления примесей. Например, чистый индий, серебристый металл, является сверхпроводником I рода, но при добавлении к нему всего лишь 4 % висмута он становится сверхпроводником II рода.

За свое выдающееся открытие Алексей Абрикосов получил Нобелевскую премию по физике 2003 года (он разделил ее с Виталием Гинзбургом и Энтони Леггетом). Как уже говорилось выше, его теоретическое предсказание на десяток лет опередило экспериментальное подтверждение существования сверхпроводников II рода. А ведь сегодня преимущественно они находят применение в медицине, транспорте, передаче энергии на расстояния, создании сверхмощных магнитных полей. Впервые в истории сверхпроводимости теория опередила эксперимент. Тем не менее вплоть до 1957 года она по-прежнему не могла объяснить происхождение этого загадочного явления…

В 1938 году советский физик Петр Леонидович Капица (1894–1984) обнаружил, что при температуре ниже 2,18 К поток жидкого гелия не испытывает никакого трения при прохождении очень узких капиллярных трубок. Это явление, получившее название «сверхтекучесть», дало ученым надежду на понимание природы сверхпроводимости: ведь сходство между протекающим без сопротивления электрическим током и не обладающим вязкостью гидродинамическим потоком очевидно. Давайте рассмотрим последний более внимательно.

Как мы видели, гелий при атмосферном давлении не затвердевает даже при самых низких температурах (см. главу 22, «Контроль реакции в ядерном реакторе»): мы объяснили это нулевыми колебаниями его атомов, масса которых мала, а взаимодействие между ними слабо. Проще говоря, сверхтекучее состояние можно рассматривать как некоторый компромисс между «желанием» атомов сконденсироваться в кристалл и их квантовой «необходимостью» двигаться. В результате действия сил притяжения между атомами гелия при низких температурах последние переходят в некоторое конденсированное состояние, однако, в отличие от атомов других элементов, они не образуют кристалл.

Что же характеризует эту конденсированную фазу? Состояние частиц в ней квантовое, так что и характеризовать их следует по законам квантового мира – волновой функцией Ψ (x, y, z, t) (см. главу 22, «Исследование твердых тел с помощью дифрактометрии»). Оказывается, что при температурах ниже 2,18 К макроскопическое количество атомов гелия накапливается в одном и том же квантовом состоянии и описывается одной и той же волновой функцией. Эти атомы образуют так называемый сверхтекучий конденсат. Когда он течет со скоростью v^→, то его волновая функция соответствует волновой функции некоторой квантовой частицы, движущейся с такой же скоростью v^→. В нормальной жидкости частица замедляется из-за вязкости, то есть взаимодействия с окружающей средой, стенками трубки; в сверхтекучем гелии, напротив, все атомы конденсата связаны между собой в единое целое и при не слишком больших скоростях не взаимодействуют с окружающей средой, а следовательно, и замедлиться не могут! Поток сверхтекучего гелия – это явление коллективное: атомы движутся в нем все вместе, как овцы в стаде. Даже если овца захочет вернуться назад, она не сможет этого сделать!

Волновая функция Ψ (x, y, z, t), описывающая сверхтекучий конденсат, определяется решением уравнения Гросса – Питаевского, похожего на уже знакомое нам уравнение Шрёдингера, определяющее движение квантовых частиц в микромире.

Теорию, описывающую свойства сверхпроводников аналогично свойствам конденсата в сверхтекучем гелии, в 1950 году предложили советские физики Виталий Гинзбург (1916–2009) и Лев Ландау (1908–1968). Уравнений Гинзбурга – Ландау, в отличие от уравнения Гросса – Питаевского, было два: на волновую функцию сверхпроводящего конденсата и на магнитное поле, которое, как мы знаем, играет чрезвычайно важную роль в жизни сверхпроводника, однако никак не влияет на атомы гелия (поскольку они не обладают ни электрическим зарядом, ни магнитным моментом). Уравнения Гинзбурга – Ландау оказались весьма эффективным инструментом для изучения сверхпроводимости. Например, Алексей Абрикосов предсказал существование сверхпроводимости II рода, существование квантовых вихрей и т. д., исходя именно из уравнений Гинзбурга – Ландау.

Несмотря на появившиеся позднее более мощные микроскопические методы описания сверхпроводимости, уравнения Гинзбурга – Ландау остаются очень полезными для исследователей и сегодня, через 70 лет после их написания. Было доказано, что вблизи перехода в сверхпроводящее состояние (именно в той области температур, для которой их и вывели Гинзбург и Ландау) они точно совпадают с результатами микроскопической теории. Тем не менее на момент открытия они носили исключительно «феноменологический» характер, то есть предсказывали и объясняли имеющиеся экспериментальные факты, не вдаваясь в их микроскопическую природу.

Нужно отметить, что построение аналогии между явлениями сверхтекучести и сверхпроводимости связано с некоторыми трудностями. Мы уже говорили, что все находящиеся в конденсате атомы сверхтекучего гелия пребывают в одном и том же квантовом состоянии. Однако это возможно только для некоторых типов частиц, называемых бозонами. Например, фотоны являются бозонами, поэтому количество фотонов, обладающих данной энергией и распространяющихся в определенном направлении, не ограничено. Атомы гелия также являются бозонами, при этом они электронейтральны. Сверхпроводимость же, очевидно, каким-то образом связана с несущими заряд электронами, которые являются фермионами. В отличие от атомов гелия, они подчиняются принципу запрета (принципу Паули), согласно которому два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому просто перенести теорию сверхтекучести на электронную жидкость в металле не представлялось возможным.

Однако оказалось, что два фермиона при определенных условиях можно объединить в единую «частицу», которая уже не станет следовать принципу Паули. Для этого необходимо иметь какое-то притяжение между ними – «клей», который соединит их в составной бозон. Именно благодаря такому спариванию электронов в металле и возникает явление сверхпроводимости.

7. Критическая температура различных изотопов ртути. Массовое число A соответствует общему количеству нуклонов (протонов и нейтронов). Напомним, что два изотопа имеют одинаковое количество протонов (у ртути их 80), но разное число нейтронов и, следовательно, обладают разной массой. Молярная масса каждого изотопа указана рядом с обозначением, в г/моль. (По Reynolds et al., Phys. Rev. 78, 487 (1950))

Какого же рода притяжение вызывает такое объединение электронов? Его существование совсем не очевидно: в самом деле, как известно, две частицы одного и того же заряда должны отталкиваться друг от друга! Однако, как обнаружил в 1950 году английский физик Герберт Фрёлих, если эти электроны находятся не в вакууме, а в кристалле, то такое притяжение может иметь место. Действительно, в кристалле ионы упорядочены в кристаллическую решетку, которая может деформироваться. Сила притяжения между двумя электронами в присутствии этой решетки связана с ее упругостью. Присутствие в ней электрона вызывает локальную деформацию, которая способствует притяжению второго электрона.

В качестве нестрогой аналогии можно привести пример двух шариков, лежащих на резиновом коврике. Если эти шарики далеки друг от друга, то каждый из них деформирует коврик, образуя вокруг себя лунку. Если же положить сначала один шарик, а затем невдалеке от него другой, то их лунки сольются в одну и шарики скатятся вместе на дно общей лунки. В металлах подобное притяжение возникает вследствие деформации кристаллической решетки.

На выявление столь важной для объяснения явления сверхпроводимости роли упругих колебаний решетки[30] (или фононов) в значительной степени повлияло открытие в 1950 году изотопического эффекта (илл. 7). Оказалось, что два изотопа одного и того же металла имеют различные критические температуры, величины которых обратно пропорциональны квадратному корню из массы изотопа! Это свойство напоминает тот факт, что частота колебаний закрепленного на конце пружины шара зависит от его массы (см. главу 12, врезку «Колебания пружины и пузырька»).

Обнаружение влияния свойств кристаллической решетки вещества на его сверхпроводящие свойства сыграло решающую роль для понимания происхождения этого явления и создания его микроскопической теории. Уже Фрёлих был на верном пути, однако найденное им электрон-фононное притяжение оказалось довольно слабым по сравнению с электростатическим отталкиванием между электронами, и он не сумел объяснить, как оно может обеспечить формирование составных бозонов.

Спустя семь лет после публикации теории Гинзбурга – Ландау американские физики Джон Бардин, Леон Купер и Роберт Шриффер построили теорию сверхпроводимости (так называемую теорию БКШ), которая дала последовательное микроскопическое объяснение этого загадочного явления и сняла все существующие к тому времени противоречия.

В металле при нулевой температуре электроны занимают все энергетические состояния вплоть до некоторой величины Ɛ_Ф, называемой энергией Ферми (последняя зависит от концентрации электронов в металле и симметрии его решетки). При этом каждое состояние в соответствии с принципом запрета Паули занято только одним электроном. Энергия Ферми в металлах обычно составляет величину порядка нескольких электронвольт.

Что же касается электрон-фононного взаимодействия, то соответствующие ему энергии определяются так называемой дебаевской частотой W_D и не превышают 0,1 эВ. О кулоновском отталкивании электронов можно было бы предположить, что его характерная величина составляет e²/a, где величина a соответствует межатомному расстоянию. Легко оценить, что эта величина также оказывается порядка электронвольта. Как же тогда устроить притяжение между электронами?

Бардин, Купер и Шриффер заметили, что электроны в металле находятся в окружении ионов решетки и других электронов, поэтому отталкивание между ними сильно ослабляется и оказывается того же порядка, что и притяжение, возникающее благодаря электрон-фононному взаимодействию. Поэтому полное электрон-электронное взаимодействие для одних металлов оказывается положительным, а для других – отрицательным. Первые (например, золото, платина) ни при каких температурах не переходят в сверхпроводящее состояние, поскольку их электроны не могут образовать составные бозоны. Вторые же, где в соревновании взаимодействий побеждает электрон-фононное взаимодействие, при некоторой температуре становятся сверхпроводниками.

Чтобы ее вычислить, а также описать иные свойства сверхпроводника, можно представить себе электронные энергетические состояния в металле заполняющими воображаемый апельсин размером, соответствующим Ɛ_Ф. Толщина его корки соответствует энергии, связанной с дебаевской частотой, то есть W_D. Понятно, что электроны, находящиеся в глубине апельсина с энергиями значительно меньше Ɛ_Ф, несмотря ни на какие электрон-фононные взаимодействия, останутся на своих энергетических уровнях. А вот электроны, находящиеся в «кожице апельсина», благодаря фрёлиховскому взаимодействию могут образовать составные бозоны. При этом оказывается, что им более выгодно объединяться парами с противоположными спинами (так называют особую характеристику элементарной частицы, которую можно интерпретировать как «врожденный» магнитный момент), так, чтобы суммарный спин такой пары, называемой «парой Купера», был равен нулю. Противоположными должны быть и векторы скоростей электронов, иначе слабое электрон-фононное взаимодействие их вместе не удержит.

Каков же размер такой пары? Давайте его оценим. Скорости электронов в корке апельсина определяются величиной ε_Ф и оказываются весьма большими: v_Ф = 10⁶ м/с. По теории размерности из v_Ф и дебаевской частоты W_D = 10¹²с^–1 можно составить характерную длину v_Ф/W_D. Таким образом, два электрона с противоположными скоростями, близкими к v_Ф, образуют куперовскую пару размером порядка микрометра. Поскольку это расстояние велико по сравнению с межатомным, то, как мы и предположили выше, кулоновское отталкивание между двумя электронами действительно сильно экранируется другими электронами и ионами решетки.

Согласно метафоре, предложенной Шриффером, куперовская пара должна представляться не образованной из электронов двойной звездой, а скорее как пара пришедших вместе на дискотеку танцоров, которые то сближаются, то удаляются друг от друга, но все же танцуют вместе, независимо от того, разделены ли они в данный момент другими танцорами или нет.

Чтобы «разорвать» куперовскую пару на два составляющих ее электрона, необходимо затратить некоторую энергию Δ, называемую сверхпроводящей щелью. По мере того как сверхпроводник нагревается, щель сужается и все большее количество пар разрывается. Щель в конечном итоге обращается в ноль при достижении критической температуры, и сверхпроводящее состояние исчезает, электронам больше энергетически «невыгодно» образовывать пары (см. врезку «Плотность электронных состояний в металле… который становится сверхпроводником»).

Таким образом, теория БКШ дала долгожданное объяснение микроскопического механизма явления сверхпроводимости. Кроме того, она обосновала и позволила вычислить значения коэффициентов в феноменологических уравнениях Гинзбурга – Ландау, которые и по сегодняшний день остаются весьма удобным и универсальным аппаратом описания явления сверхпроводимости.

После того как к середине XX века наконец-то была создана теория сверхпроводимости, вооруженные ею физики занялись поиском новых сверхпроводящих систем с высокими значениями критических параметров (B_к2 и T_к). Еще на заре исследований, испробовав элементы таблицы Менделеева, они расширили область поисков новых сверхпроводников, перейдя к изучению металлических сплавов (так называют макроскопически однородные металлические материалы, состоящие из смеси двух или большего числа химических элементов с преобладанием металлических компонентов). Чтобы получить высококачественные сплавы, исследователи разработали целый арсенал методов: от электродуговой сварки с быстрой закалкой до напыления пленок на горячую подложку.

Нужно отметить, что первый сверхпроводящий сплав был обнаружен еще задолго до создания каких-либо теорий сверхпроводимости, в 1931 году. Важнейший толчок в поисках соединений с высокими критическими полями дала уже упомянутая выше работа Алексея Абрикосова. Высказанная в ней идея о возможности повышения критического поля B_к2 посредством введения в кристаллическую решетку рассеивающих электроны примесей указала направление поисков новых сверхпроводящих систем, годных для создания сверхмощных магнитов. В результате этих поисков уже в 60-е и 70-е годы XX столетия были созданы сплавы Nb₃Se и Nb₃Al, критическая температура которых составляет около 18 К, а критические поля выше 20 T. С созданием сплава PbMo₆S₈ критическое поле достигло рекордных 60 T при критической температуре 15 K.

Среди обнаруженных сверхпроводников II типа некоторые способны выдерживать огромные плотности электрического тока и оставаться сверхпроводящими в гигантских магнитных полях. Создание и практическое использование сверхпроводящих кабелей на их основе представляло сложнейшую технологическую задачу ввиду того, что эти материалы довольно хрупкие, а их токонесущие свойства неустойчивы. И все же одно из препятствий для широкого промышленного использования сверхпроводимости было преодолено: сегодня критические поля новых сверхпроводников достигают значений в тысячи раз больших, чем первых, обнаруженных во времена Камерлинг-Оннеса.

В отличие от успехов в создании сверхпроводящих систем с высокими критическими полями, проблема заметного повышения критической температуры сверхпроводников еще в начале 1980-х годов оставалась нерешенной. С 1973 года рекордсменом оставался сплав Nb₃Ge, в котором температура перехода в сверхпроводящее состояние достигала 23,2 К. К сожалению, она оставалась намного ниже температуры кипения дешевого и широко используемого криоагента – жидкого азота, которая при атмосферном давлении достигает 77 К. Она также всего лишь слегка превышала температуру кипения жидкого водорода (20 К), что делало невозможным использование этого недорогого газа для охлаждения сверхпроводящих устройств, основанных на Nb₃Ge, существенно ниже T_к. Таким образом, для функционирования всех существующих на тот момент сверхпроводящих устройств оставался необходимым жидкий гелий, производство которого было весьма дорого!

Теоретическая оценка предельно возможной критической температуры, предлагаемая теорией БКШ, не внушала оптимизма. Возможности электрон-фононного механизма притяжения ограничивались условиями устойчивости кристаллической решетки, и оказывалось, что критическая температура не может превышать 40–50 К. В поисках альтернатив еще в 1964 году Виталий Гинзбург и независимо от него американец Уильям Литтл предположили, что сверхпроводимость может осуществляться не только благодаря электрон-фононному взаимодействию, но и посредством каких-то иных механизмов. Так, Литтл предложил искать высокотемпературную сверхпроводимость в квазиодномерных соединениях, то есть в длинных полимерных цепочках с легко поляризуемыми боковыми ветвями. Однако преуспеть в синтезировании таких материалов исследователям не удалось.

В десятилетие между 1970 и 1980 годами были обнаружены сверхпроводящие материалы, не являющиеся металлами или их сплавами. Это были так называемые оксиды, которые становились сверхпроводниками при довольно низких температурах (около 10 К). Однако от них никто не ожидал и этого: при обычной температуре эти соединения являются весьма посредственными проводниками, с малой концентрацией свободных электронов. Обнаружение сверхпроводимости в этих новых материалах навело двух исследователей из Цюриха на след будущего великого открытия…

8. История роста критической температуры. На линиях графика кружками указаны металлы и сплавы, к которым применима теория БКШ, а белые квадратики соответствуют высокотемпературным сверхпроводящим оксидам. Крестиками обозначены органические сверхпроводники, а треугольниками – сверхпроводники на основе железа, обнаруженные в первом десятилетии XXI века

Долгожданный прорыв был совершен Карлом Александром Мюллером и Йоханнесом Георгом Беднорцем, когда они работали в лаборатории компании IBM, расположенной в Швейцарии (там же, где была создан первый туннельный микроскоп, см. главу 28, «Взгляд в наномир»). Зимой 1985–1986 годов ученые синтезировали соединение, которое становилось сверхпроводником при 35 К! Его химическая формула может быть записана как La_{2 – x}Ba_xCuO_{4 – δ}, где x и δ являются определенными дробными числами. Статья, опубликованная в 1986 году, была озаглавлена весьма осторожно: «О возможности высокотемпературной сверхпроводимости в системе La−Ba−Cu−O».

Возможность вскоре стала реальностью, и за открытие сверхпроводимости в этом оксиде Мюллер и Беднорц были удостоены Нобелевской премии по физике уже в 1988 году. Они (см. врезку выше) проложили человечеству путь к сверхпроводимости «при высоких температурах» (ее называют так, хотя эти температуры намного ниже 0 °C). Эту эстафету подхватили другие исследователи. Так, буквально через несколько месяцев заменой бария стронцием рекорд критической температуры был поднят до 45 K. Последний держался недолго: еще через месяц было обнаружено, что при высоком давлении критическая температура найденного Мюллером и Беднорцем соединения поднимается до 52 К. В 1987 году американец Пол Чу понял, что эффекта высокого давления можно добиться, заменив атомы лантана на меньшие по размеру атомы его соседа по колонке в таблице Менделеева – иттрия. Синтезировав соединение YBa₂Cu₃O_7–δ, он достиг критической температуры в 92 K – а это уже превысило азотный порог (температуру кипения жидкого азота)! Синтезированные впоследствии новые сверхпроводники достигли критических температур в 125 К и даже (при очень высоком давлении) в 165 K (–108 °C).

За прошедшую треть столетия физики нашли огромное число новых сверхпроводящих веществ, критическая температура которых превышает рекордные для 1973 года 23 К (илл. 8).

Их разделяют на несколько групп – перовскиты, пниктиды, MgB₂, органические сверхпроводники, гидриды. Первыми обнаруженными и наиболее изученными на сегодняшний день остаются медные оксиды с примесью иттрия и бария, например YBa₂Cu₃O_{7 – δ} (илл. 9). Все они имеют слоистую структуру: атомы меди Cu и кислорода O образуют плоскости, разделенные другими атомами, в данном случае атомами Ba и Y. Движение носителей заряда почти двумерно: они легко перемещаются в слоях CuO₂, однако при этом редко перепрыгивают с одного слоя на другой. Образующиеся куперовские пары также в основном локализованы в плоскостях.

9. Кристаллическая решетка сверхпроводника YBa₂Cu₃O₇

Механизм высокотемпературной сверхпроводимости пока до конца не изучен. Ключом к пониманию явления, вероятно, является двумерный характер движения электронов. Все согласны, что здесь, как и в случае классической сверхпроводимости, описываемой теорией БКШ, явление обусловлено возникновением куперовских пар. Однако среди ученых нет единого мнения о механизме взаимодействия между зарядами, который приводит к их куперовскому спариванию при столь высоких температурах. В настоящее время существует около 20 более или менее противоречивых теорий. Они в целом далеки от теории БКШ, которая основана на взаимодействии между электронами посредством электрон-фононного взаимодействия.

И все же Мюллер и Беднорц стали искать сверхпроводимость в соединении La_2–xBa_xCuO_4–δ именно потому, что благодаря их интуиции и некоторым смутным соображениям они ожидали, что здесь критическая температура будет особенно велика! Многие считают, что Мюллеру и Беднорцу просто повезло: они обнаружили сверхпроводимость именно там, где ее искали, но привела их к этому замечательному открытию ошибочная мотивация. Тем не менее некоторые недавние эксперименты показывают, что они, возможно, не ошибались. Для теоретической физики открытие высокотемпературных сверхпроводников представляет собой загадку, сравнимую с тем, чем являлось в свое время открытие сверхпроводимости ртути.

В заключение вернемся к замечательному следствию сверхпроводимости. Как мы уже видели, установившийся в сверхпроводнике ток не затухает. Этот факт возвращает нас к концепции perpetuum mobile – вечного движения, некого святого Грааля, который многие века искали алхимики, изобретатели и ученые и который тем не менее согласно законам классической физики невозможен! Без поступления энергии извне малейшее трение в конечном итоге останавливает любое движение. Является ли сверхпроводимость проявлением вечного движения электронов?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два различных случая. Состояние сверхпроводника, по которому протекает постоянный ток при отсутствии внешнего магнитного поля, даже в наиболее благоприятных условиях, при самых низких температурах, формально является метастабильным – ведь его энергия выше, чем в состоянии без тока. Это означает, что такой ток должен был бы в конце концов затухнуть, подобно тому как кристалл алмаза в конечном итоге должен превратиться в графит (см. главу 23, «Метаморфозы углерода»). Как это может произойти? В обсуждении этой проблемы приняли участие такие классики, как Бор и Маттисен. Проблема оказалось в том, что ввиду квантовой природы сверхпроводимости подобное затухание не может происходить понемножку, сверхпроводящий ток должен уменьшаться макроскопическими скачками, а ждать такого события придется довольно долго, возможно, даже время, превышающее время жизни нашей Вселенной.

Во втором случае рассмотрим сверхпроводник в мейснеровском состоянии, то есть помещенный в магнитное поле ниже первого критического. Здесь возбужденный в сверхпроводнике постоянный ток действительно окажется вечным. Неужели это и есть то вечное движение, о котором мечтали ученые прошлых веков? В некотором смысле да, ведь с током в классической физике связано движение заряженных частиц. Однако в квантовой механике это явление имеет смысл, существенно отличающийся от своего классического толкования. В классической механике наблюдаемые величины хорошо определены – например, положение частиц, которое зависят от времени. Поэтому при наличии тока здесь можно уверенно говорить о перемещении зарядов в пространстве. Сверхпроводящий же ток в условиях приложенного магнитного поля – это реакция всего конденсата на внешнее воздействие, которая спасает сверхпроводящее состояние от разрушения. Сверхпроводник в таком токовом состоянии находится в термодинамическом равновесии и может пребывать в нем бесконечно долго.

Таким образом, сверхпроводимость – это редкий случай проявления законов квантовой механики в окружающем нас макроскопическом мире.

Как мы уже видели, Нильсу Бору удалось объяснить многие свойства атома, предположив, что скорость v электрона на круговой орбите радиуса R удовлетворяет отношению mνR = nħ, где n – целое число, m – масса электрона и ħ – постоянная Планка (см. главу 22). Замечательно, что это правило может быть обобщено для описания движения любой частицы, совершающей круговое движение в определенном квантовом состоянии. Отметим, что как раз к движению электрона в атоме постулат Бора применим не очень хорошо, поскольку электрон четко определенную орбиту не описывает (иначе нарушались бы соотношения неопределенности (см. главу 22, «Спектр излучения атомов – ключ к атомной структуре»)). С другой стороны, как показал Фриц Лондон (1900–1954) в 1948 году, он может быть успешно применен к сверхпроводящему току, текущему в круговом кольце радиуса R (илл. 1).

1. Ток в кольце радиуса R. Поток магнитной индукции через кольцо Φ = BS, где S – охватываемая кольцом площадь, а B – магнитное поле. Применяя к движущемуся заряду правило квантования Бора, находят, что этот поток квантуется

Правило квантования Бора, примененное к движению куперовских пар в сверхпроводящем кольце (см. главу 24, «Теория БКШ»), имеет неожиданное следствие: магнитный поток через сверхпроводящее кольцо квантуется – так же как и радиус орбиты в атоме! Точнее, магнитный поток Φ оказывается целым кратным «кванта магнитного потока»:

Φ₀ = πħ/e = h/(2e) = 2∙10^–15 Тл∙м²,

где – е – заряд электрона (см. врезку «Квантование потока в витке сверхпроводника»).

Квант потока Φ₀ – чрезвычайно малая величина, настолько малая, что первую экспериментальную проверку гипотезы Лондона американским физикам Бэскому Диверу и Уильяму Фэйрбэнку удалось провести только 13 лет спустя, в 1961 году.

Примечательно, что в то время, как квантованные физические величины, упоминаемые нами до сих пор, принадлежали к микроскопическому миру, квант магнитного потока ученым удается измерить в относительно больших, почти макроскопических образцах (то есть видимых невооруженным глазом). Примером таких «мезоскопических», то есть промежуточных между микро- и макромирами объектов, являются вихри Абрикосова, которые могут находиться друг от друга на расстояниях в микрометры. Напомним, что эти вихри возникают в сверхпроводнике II рода, помещенном во внешнее магнитное поле (см. главу 24, «Вихри Абрикосова»). Каждый абрикосовский вихрь является носителем кванта магнитного потока Φ₀. Еще одним подобным примером являются сверхпроводящие кольца, которые позволяют наблюдать дискретное изменение пронизывающего их магнитного потока буквально по одному кванту Φ₀ (см. ниже). Подобные наблюдения аналогичны историческому эксперименту Дивера и Фэйрбэнка 1961 года. Вместо кольца они использовали сверхпроводящий цилиндр.

Квантование потока в витке сверхпроводника

Найдем с помощью упрощенных рассуждений формулу, описывающую квантование потока в сверхпроводнике. Рассмотрим случай кругового кольца с нулевым сопротивлением, содержащего свободные заряженные частицы. С возрастанием магнитного поля растет и магнитный поток Φ, что приводит к возникновению электродвижущей силы индукции (см. главу 16, «Электромагнитная индукция»):

где ΔΦ – изменение потока, происходящее за время Δt. При этом индуцируемое в кольце электрическое поле равно:

Теперь рассмотрим заряд q массы m, движущийся по кольцу со скоростью ν (илл. 1). Воздействующая на него сила равна qE, и, согласно основному принципу динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), испытываемое зарядом ускорение равно qE/m. Это ускорение должно быть равно отношению увеличения скорости Δv ко времени Δt, следовательно:

откуда находим, что

Предполагая, что правило квантования Бора mrv = nħ, упомянутое в начале этой главы, применимо к движению рассматриваемого заряда в сверхпроводящем кольце, находим, что наименьшее ненулевое значение mrΔv равно ħ. Отсюда следует, что наименьшее ненулевое значение ΔΦ равно 2πħ/q. Заряд куперовской пары равен 2e: таким образом, мы приходим к формуле квантования потока в сверхпроводнике, приведенной в тексте.

А что случится, если поместить кольцо в переменное магнитное поле B? Для «нормального» проводника пронизывающий кольцо магнитный поток Φ изменяется вместе с полем. В результате возникает электродвижущая сила индукции dΦ/dt, которая порождает в кольце ток I_N, такой, что RI_N = dΦ/dt, где R – сопротивление кольца. Для сверхпроводника, как мы уже знаем, поток должен оставаться неизменным, иначе его изменение вызвало бы бесконечный ток, разрушающий сверхпроводящее состояние. Поэтому по сверхпроводящему кольцу при изменении магнитного поля также будет течь ток I_S, такой, чтобы пронизывающий кольцо полный поток Φ (являющийся суммой внешнего потока Φ_внеш = BS и собственного индукционного потока Φ_I = LI_S, где L – индуктивность кольца) не изменялся.

Ситуация становится еще интереснее, если сверхпроводящее кольцо прерывается тонким слоем диэлектрика. Предположим, что мы сумели создать такую тончайшую перемычку в кольце, изготовленном из нормального металла (илл. 2). Интуитивно кажется, что ток в нем течь не сможет. И тем не менее, если толщина диэлектрической перемычки не слишком велика (например, около микрометра), ток в такой структуре может протекать! Некоторым электронам «волшебным» образом удается пройти через диэлектрик. Это чисто квантовое явление называется «туннельным эффектом». Например, при изучении объектов с помощью туннельного микроскопа ток проходит между острием устройства и поверхностью образца через зазор вакуума, имеющий размер порядка нанометра (см. главу 28, «Взгляд в наномир»). Туннелировать с некоторой вероятностью сквозь «стены» в квантовом мире могут не только электроны, но и другие, более массивные частицы, даже такие, как атомные ядра. Правда, с увеличением массы совершать эти чудеса им становится все сложнее и сложнее.

2. Туннельный эффект в проводящем кольце, содержащем диэлектрический барьер (отмечен красным цветом). Если прослойка диэлектрика не слишком велика, то электроны благодаря туннельному эффекту с некоторой вероятностью проходят через него. Протекающий в кольце ток измеряется амперметром

А что же произойдет в случае сверхпроводящего кольца? Оказывается, что и здесь имеет место своеобразный туннельный эффект. Куперовским парам удается преодолевать слой диэлектрика толщиной в несколько нанометров или слой нормального металла толщиной в десяток нанометров. Казалось бы, что для таких составных бозонов механизм туннелирования должен заключаться в последовательном проникновении через стенку сперва одного, а затем другого электрона, то есть соответствующий сверхпроводящий ток должен быть пропорциональным квадрату и так малой вероятности проникновения электрона сквозь барьер. Однако еще одной диковиной сверхпроводимости оказывается тот факт, что, будучи, как мы уже знаем, довольно размазанными в пространстве объектами, куперовские пары туннелируют сквозь барьер примерно с той же вероятностью, что и каждый электрон, их составляющий. Можно сказать, что оба электрона каким-то образом туннелируют когерентно, одновременно. Это явление было предсказано в 1962 году англичанином Брайаном Джозефсоном (в то время всего лишь 22-летним аспирантом Кембриджского университета), а придуманный им «сэндвич» – диэлектрический слой между двумя сверхпроводниками – называется «джозефсоновским контактом».

За это открытие в 1973 году Брайан Джозефсон был удостоен Нобелевской премии по физике. Почему такая престижная награда досталась за «простую» демонстрацию того, что сверхпроводящий ток обладает тем же свойством, что и обычный? Во-первых, оказалось совершенно неожиданным, что куперовские пары туннелируют сквозь перемычку не разрываясь. Во-вторых, Джозефсон сумел предсказать совершенно замечательные свойства изобретенного им прибора. Их описание выходит за рамки этой книги, но одно из его применений мы просто назовем: это измерение с помощью квантового магнитометра сверхслабых магнитных полей, возникающих при протекании крови в сердце, что позволяет на ранней стадии диагностировать сердечные заболевания.

Измерение очень слабых магнитных полей

Самый простой квантовый магнитометр состоит из сверхпроводящего кольца с тончайшей диэлектрической перемычкой (илл. 3a). Представим себе, что это кольцо помещают во внешнее магнитное поле, которое вначале, как и ток в контуре, равно нулю. Тогда поток внутри кольца тоже равен нулю. Начнем увеличивать внешнее поле. Пока поле не слишком велико, проходящий через кольцо общий магнитный поток Φ должен оставаться неизменным и равным нулю (см. главу 25, «Квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце»). Для этого необходимо, чтобы создаваемый протекающим по кольцу током I магнитный поток Φ_I в каждый данный момент компенсировал изменение внешнего потока Φ_внеш. По мере возрастания магнитного поля этот ток увеличивается вплоть до достижения критического значения I_к (за счет выбора сопротивления диэлектрической перемычки можно добиться того, что это произойдет при Φ_внеш= Φ₀/2. Здесь Φ₀ = h/2e = 2,07∙10^-15Вб – так называемый квант магнитного потока).

3. a. Сверхпроводящее кольцо с джозефсоновским контактом помещается во внешнее магнитное поле B^→. b. При монотонном росте внешнего потока Φ_внеш = BS полный магнитный поток Φ меняется скачками. c. Величина I сверхпроводящего тока не может превышать критическое значение I_к, определяемое свойствами контакта, и, следовательно, изменяется пилообразно. Ток меняет знак, когда сверхпроводимость в контакте разрушается (здесь мы рассматриваем случай, когда критическое значение тока I_к достигается при увеличении внешнего потока на Φ₀/2)

Как только ток станет равным I_к, сверхпроводимость в месте слабой связи разрушится и в контур войдет квант потока Φ₀. Общий магнитный поток возрастет на один квант. Такое изменение возможно только благодаря разрушению сверхпроводимости в области перемычки, что и делает устройство настолько необыкновенным!

А что произойдет с током? Его величина останется прежней, но направление изменится на противоположное. Действительно, если до вхождения кванта потока Φ₀ ток I_к полностью экранировал внешний поток, то после его вхождения он должен усиливать внешний поток Φ₀/2 до значения Φ₀. Поэтому в момент вхождения кванта потока направление тока скачком меняется на противоположное.

При дальнейшем увеличении внешнего поля ток в кольце начнет уменьшаться, сверхпроводимость в кольце восстановится и поток внутри кольца будет оставаться равным Φ₀. Ток в контуре обратится в ноль, когда внешний поток также станет равным Φ₀, а затем он начнет течь в обратном направлении. Наконец, при значении внешнего потока 3Φ₀/2 ток опять станет равным I_к, сверхпроводимость разрушится, войдет следующий квант потока и т. д. (илл. 3с).

Ступенчатый характер зависимости тока как функции магнитного потока позволяет измерять значение внешнего поля с необычайной точностью. Однако остается проблема измерения тока в кольце с туннельным контактом.

4. Принцип действия СКВИД. Магнитометр состоит из сверхпроводящего кольца с двумя джозефсоновскими контактами. Ток I, протекающий в СКВИД, разделяется на две ветви. Если устройство поместить во внешнее магнитное поле B, то эти два тока интерферируют, что приводит к разнице потенциалов между туннельными контактами, измерение которой позволяет узнать значение поля

Магнитометр СКВИД

Часто в сверхпроводящем кольце вместо одного создается сразу два джозефсоновских контакта. Таким образом получается «сверхпроводящий квантовый интерферометр», или СКВИД (от англ. SQUID, Superconducting Quantum Interference Device) (илл. 4). Принцип его работы основан на интерференции волновых функций двух сверхпроводящих конденсатов, разделенных джозефсоновскими контактами, которую можно сопоставить с интерференцией, происходящей в двух расположенных рядом щелях Юнга в оптике (см. главу 3, «Квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце»).

С помощью сложных устройств (генераторов, усилителей) СКВИД может измерить колебания потока, намного меньшие, чем квант Φ₀. Он настолько чувствителен, что обнаруживает магнитные поля, возникающие в результате сердечной или мозговой активности! Эти поля в 100 000 раз слабее, чем магнитное поле Земли (величина которого около 5∙10^–5 Тл на ее поверхности). Первые попытки применения СКВИД в медицине, например магнитокардиография и магнитоэнцефалография (илл. 5), относятся к 1970-м годам. Чтобы свести к минимуму влияние магнитного поля Земли на измерения, их выполняли в специальной комнате: стены состояли из трех слоев металла, образующих мощные магнитные экраны, разделенные еще и двумя слоями алюминия, препятствующими проникновению электрического поля. Таким образом, магнитное поле Земли, внутри объема, уменьшалось в 10 000 раз. Однако создание таких помещений обходилось очень дорого. Сегодня благодаря достижениям техники в области сверхпроводников магнитометры уже не требуют наличия магнитного экрана и способны измерять магнитные поля с точностью до 10^–15 Тл! Единственное, что должен сделать пациент, – убрать все металлические предметы, например ключи из кармана.

5. Магнитоэнцефалографический сканер, состоящий из 306 СКВИД, которые регистрируют даже чрезвычайно слабые магнитные поля, генерируемые нейронной активностью. В верхней части сканера содержится необходимый для охлаждения устройства жидкий гелий. Нейронная активность человека выявляется посредством зрительных и слуховых стимуляций (черный окулометр дополняет аппарат)

Как это с самого начала предполагал Камерлинг-Оннес (см. главу 24), создание сильных магнитных полей является очевидным применением замечательных свойств сверхпроводников. В самом деле, магнитные поля для промышленного использования обычно получают с помощью электромагнитов, то есть катушек, через которые проходит электрический ток. Поле тем сильнее, чем сильнее протекающий в катушке ток и чем больше число витков провода в ней (см. главу 16, «Электромагнитная индукция»). Однако катушка из обычного проводящего материала обладает сопротивлением, и в ней при протекании тока благодаря эффекту Джоуля – Ленца выделяется тепло. На это расходуется значительная энергия, а чтобы провода не расплавились, необходимо их интенсивно охлаждать! Например, в 1937 году впервые было произведено поле в 10 Тл, при этом потребление электроэнергии было таким, что производить эксперименты было возможно только ночью, когда ее расходование другими пользователями было достаточно низким: охлаждающая система катушки требовала потока воды 5 л в секунду…

Для сверхпроводника эти ограничения не существуют! На первый взгляд, достаточно изготовить катушку из сверхпроводящего провода и создать в ней достаточно сильный ток: поскольку сопротивление сверхпроводника равно нулю, тепла он выделять не будет. А когда ток установится, то не нужно будет и подавать питание в цепь! Казалось бы, игра стоит свеч, несмотря на то что катушка должна постоянно находиться при температуре жидкого гелия. Но, к сожалению, сверхпроводники I рода не выдерживают сколь-нибудь значимых для практических применений магнитных полей (см. главу 24, «Эффект Мейснера – Оксенфельда»).

6. Электронно-микроскопическое изображение сверхпроводящей пленки нитрида ниобия NbN, полученное путем напыления металла на стеклянную пластину. Ясно видна столбчатая структура материала. Перескочить через границу таких зерен абрикосовским вихрям довольно сложно

Решением проблемы стали сверхпроводники II рода, которые, как мы уже знаем, могут оставаться в сверхпроводящем состоянии вплоть до очень высоких магнитных полей. Магнитное поле проникает в их объем в форме вихрей с нормальной сердцевиной, однако между вихрями остается сверхпроводящая фаза, по которой сверхпроводящий ток может протекать без сопротивления.

Однако не все оказалось так просто. Дело в том, что при протекании тока на вихри, сквозь которые в сверхпроводник проникает магнитное поле, действует сила Ампера в направлении, перпендикулярном и магнитному полю, и току. В результате вся решетка вихрей Абрикосова начинает двигаться. Произведение вектора силы Ампера на вектор перемещения вихря дает работу. Таким образом, движение решетки вихрей происходит с рассеиванием энергии, и снова электрическое сопротивление, уже сверхпроводящей катушки, становится отличным от нуля!

К счастью, движению вихрей можно препятствовать. Для этого достаточно, чтобы в сверхпроводнике содержались микроскопические дефекты. Как правило, они спонтанно возникают в результате термической обработки, при изготовлении сверхпроводящего сплава (илл. 7). Одиночные вихри «зацепляются» за эти дефекты, и вместе с ними останавливается движение всей решетки абрикосовских вихрей. Понятно, что такой механизм не может противостоять любой по величине силе Ампера, однако, пока сила тока не превышает определенного критического значения, электрическое сопротивление сверхпроводящего провода остается равным нулю. Это явление называют пиннингом (от англ. pinning – «закрепление», «пришпиливание»): вихри как бы оказываются «закрепленными» на дефектах. Обычно дефекты вредят, но в данном случае они помогают! Тем не менее наличие дефектов, как будет показано далее, играет и отрицательную роль.

Благодаря явлению пиннинга многие сверхпроводники II рода используются для создания сильных магнитных полей. Это, например, олово-ниобиевый сплав, в котором можно достигать плотности тока вплоть до 10⁵A∙см^–2 (сравните эту величину с несколькими сотнями ампер на квадратный сантиметр для меди). При этом верхнее критическое поле B_к2 для этого сплава при низких температурах составляет 25 Тл.

7. Олово-ниобиевый кабель (Nb₃Sn), состоящий из множества сверхпроводящих нитей, помещенных в медную матрицу. Его диаметр составляет около 4 см. Через полое пространство в центре кабеля проходит охлаждающий его жидкий гелий. По кабелю передается ток 68 кА

Технология сверхпроводящих кабелей

Для получения сильных магнитных полей создание сплава с подходящими критическими параметрами необходимо, но недостаточно. Из него еще нужно изготовить кабель! Олово-ниобиевый сплав хрупок, и сделанный из него кабель ломается при малейшем скручивании. Эта проблема была решена путем заполнения медной трубки порошкообразной смесью ниобия и олова. Затем эту трубку растягивают (проволакивают) таким образом, чтобы получить провод, который после этого нагревают. Порошок, плавясь, дает желаемый сплав олова и ниобия. Описанный процесс лежит в основе создания так называемых композитных сверхпроводников. Их получают, просверливая в медной матрице параллельные каналы и вставляя в них сверхпроводящие волокна. Матрица подвергается процедуре волочения, и полученный провод в свою очередь снова вставляется в отверстия следующей матрицы и т. д. Повторив эту процедуру несколько раз, получают кабель, содержащий миллионы сверхпроводящих волокон (илл. 8). Например, в катушке, используемой для международного экспериментального термоядерного реактора ITER (о котором будет рассказано ниже), каждый сверхпроводящий кабель состоит из 900 сверхпроводящих волокон, изготовленных из олово-ниобиевого сплава Nb₃Sn и 522 медных нитей диаметром 0,8 мм, которые делятся на шесть «лепестков». Каждое из сверхпроводящих волокон состоит из примерно 9000 нитей Nb₃Sn диаметром несколько микрометров, утопленных в медной матрице. Общее количество нитей в кабеле превышает 8 млн. Конечно, то же самое можно проделать с любым другим сплавом, например ниобиево-титановым сплавом NbTi, более распространенным и менее дорогостоящим, чем сплав Nb₃Sn.

Для чего же сочетают медные и сверхпроводящие нити? Дело в том, что использование кабеля, состоящего из чистого сверхпроводника, рискованно. Сверхпроводимость может неожиданно в каком-то месте исчезнуть, например, из-за добавленных для пиннинга вихрей дефектов. При этом соответствующий участок кабеля под воздействием протекающего через него сильнейшего тока быстро нагревается, и если выделяющееся тепло не будет вовремя отведено, то весь кабель может целиком перейти в нормальное состояние. Это приведет к катастрофическим последствиям: от серьезного повреждения кабеля до разрушения близлежащих объектов. Наличие меди, хорошего проводника тепла, предотвращает такую катастрофу.

А высокотемпературные сверхпроводники?

После открытия Беднорцем и Мюллером многочисленных способов применения (см. главу 24, «На берегу Цюрихского озера») нового класса сверхпроводников с высокой критической температурой ученые надеялись в скором времени сотворить чудеса, ведь для охлаждения здесь можно пользоваться дешевым жидким азотом, да и критические поля обещали превысить 100 Тл. Но на практике реализация их планов оказалась далеко не простой. Трудности в создании сверхпроводящих кабелей на основе новых материалов во многом оказались аналогичными тем, которые возникали при использовании традиционных сверхпроводников, например сплава Nb₃Sn: большая хрупкость материалов, проблемы, связанные с пиннингом решетки вихрей Абрикосова. Задача дополнительно осложнилась и рыхлостью вихрей вдоль их оси, обусловленной слабой связью между слоями в квазидвумерных высокотемпературных сверхпроводниках. Тем не менее хорошие результаты были достигнуты путем создания композитных материалов на основе сверхпроводящих оксидов и серебра, а некоторые сверхпроводящие кабели на основе YBaCuO уже запущены в производство.

Сегодня магнитные поля, создаваемые сверхпроводящими магнитами, достигают величин в несколько десятков тесла. Зачастую эти магниты имеют гибридную структуру: внешняя сверхпроводящая катушка создает свое магнитное поле, а внутренняя – с медной обмоткой – дополнительно усиливает его в своем объеме. Такие катушки используются, например, в Национальной лаборатории высоких магнитных полей в Гренобле, где создают непрерывные магнитные поля, достигающие почти 40 Тл (именно здесь был обнаружен квантовый эффект Холла, см. главу 28, «Квантовый эффект Холла»).

Совсем недавно исследователи из Национальной лаборатории сильных магнитных полей в США разработали самый мощный в мире сверхпроводящий магнит, способный создавать магнитное поле с рекордными 45,5 Тл. В другом филиале французской Национальной лаборатории высоких магнитных полей в Тулузе производят еще более высокие импульсные магнитные поля, достигающие 100 Тл, но это делается иными методами, без использования сверхпроводимости.

Использование сверхпроводящих катушек не ограничивается лабораториями. Они ежедневно используются в больницах для проведения исследований посредством МРТ (см. главу 27), которые требуют интенсивного и однородного поля.

Упомянем еще два важнейших направления использования сверхпроводящих магнитов: в ускорителях при исследовании физики элементарных частиц и в качестве важного элемента прототипов термоядерных реакторов.

8. Большой адронный коллайдер, расположенный на границе Франции и Швейцарии (на заднем плане видны Женевское озеро и Альпы). Адроны – класс элементарных частиц, к которому принадлежат протоны. Длина окружности подземного кольца (показано большим желтым кругом), в котором ускоряются протоны, составляет 26 659 км. Вдоль кольца установлены детекторы, предназначенные для различных исследований

БАК в ЦЕРН

Весной 2012 года была обнаружена новая элементарная частица – бозон Хиггса, – а точнее, по словам исследователей ЦЕРН, «частица, совместимая с бозоном Хиггса» (физики – осторожные люди!). Существование этой частицы было давно предсказано теоретически, а также полностью согласовывалось с существующими экспериментальными наблюдениями. Доказательство существования этого таинственного бозона объяснило бы, почему элементарные частицы имеют массу.

Чтобы удостовериться в существовании бозона Хиггса и иметь возможность проводить другие фундаментальные исследования, недалеко от Женевы построили подземное кольцо длиной 26,66 км – Большой адронный коллайдер (БАК) (илл. 9). Протоны в нем разгоняются до скоростей, очень близких к скорости света, с помощью сильнейших магнитных полей, направляющих их по круговой траектории. Это поле генерируется с помощью установленных вдоль кольца нескольких тысяч сверхпроводящих магнитов. Использование обычных магнитов потребовало бы дорогостоящих охлаждающих устройств, которые ввиду их громоздкости было бы невозможно разместить в туннеле. Ниобий-титановые сверхпроводящие провода, из которых изготовлены обмотки магнитов, способны нести токи, достигающие 12 000 A. Для охлаждения всего этого циклопического устройства до температуры ниже 2 K требуются недели.

ИТЭР: энергия XXII века?

Еще одна машина, в которой используются сверхпроводники, – это Международный экспериментальный термоядерный реактор ИТЭР (от англ. ITER, International Thermonuclear Experimental Reactor), который в настоящее время строится в Кадараше, недалеко от ущелья Вердон во Франции. ИТЭР предназначен для выработки энергии путем ядерного синтеза. Напомним, что реакция ядерного синтеза состоит в том, что при слиянии двух легких ядер (например, дейтерия ²H и трития ³H) образуется более тяжелое ядро. В процессе этой реакции, как и при делении тяжелых ядер (см. главу 13, «Как использовать ядерную энергию?»), высвобождается энергия. Для ядерного синтеза требуется очень высокая температура (100 000 000 K!); именно посредством слияния ядер вырабатывается энергия Солнца. Ионизированные частицы образуют «плазму» – горячий газ, который необходимо удержать в объеме камеры, не позволяя ему коснуться стенок. В случае ИТЭР такое удержание обеспечивается магнитным полем, воздействующим на движущиеся в тороидальной камере заряженные частицы (илл. 10). Словом, механизм тот же, что и в ускорителях частиц, таких как БАК. Однако в последнем пучок протонов очень узкий, а радиус их траекторий гигантский (порядка 10 км). Радиус реактора термоядерного синтеза намного меньше, и между тем объем, в котором необходимо удерживать плазму при нескольких сотнях миллионов градусов, все равно составляет 840 м³.

9. Модель реактора ИТЭР, вид в разрезе. Он имеет высоту пятиэтажного здания, диаметр – около 30 м. В центре находится соленоид (обозначенный серым цветом), который разгоняет заряженные частицы. Красным показано 18 катушек тороидального поля, которые удерживают плазму в камере. Шесть дополнительных катушек (фиолетовые) полоидального поля (то есть направленного вдоль линий, проходящих через полюсы сферической системы координат) не позволяют раскаленной плазме соприкоснуться со стенками и обеспечивают ее стабильность. Для изготовления различных катушек в такой установке было затрачено более 500 т сверхпроводящего сплава Nb₃Sn

ИТЭР представляет собой токамак (тороидальная камера с магнитными катушками), тип устройства, изобретенный в 1950-е годы двумя российскими физиками: Андреем Сахаровым (1921–1989) и Игорем Таммом (1895–1971). В первых токамаках использовались обычные электромагниты, которые потребляли огромное количество энергии. Необходимые для удержания плазмы магнитные поля порядка 10 Тл, то есть достаточно умеренны и позволяют для их создания использовать сверхпроводящие магниты, что обеспечивает значительную экономию энергии. Цель создания и введения в эксплуатацию ИТЭР – продемонстрировать возможность использования термоядерного синтеза как потенциального источника энергии. Конкретные результаты, то есть экономически эффективное и безопасное производство электроэнергии путем ядерного синтеза, ожидаются, по самым оптимистичным прогнозам, к 2040 году.

И будущие способы применения…

Расскажем о некоторых интересных идеях применения сверхпроводников помимо создания высоких магнитных полей. Например, возникающий вследствие эффекта Мейснера – Оксенфельда (см. предыдущую главу, «Эффект Мейснера – Оксенфельда») эффект левитации используется для создания движущихся на магнитной подушке высокоскоростных поездов – маглевов. Такие поезда парят над рельсами благодаря установленным в вагонах сверхпроводящим магнитам, взаимодействующим с магнитами, размещенными вдоль рельс на земле. Рекорд скорости принадлежит японскому маглеву, испытанному в 2015 году на экспериментальном участке пути между Токио и Нагоей. Во время испытаний поезд разогнался до 603 км/ч.

Другое применение сверхпроводников – это накопление энергии, что является важной задачей при использовании солнечных, ветряных и других электростанций, вырабатывающих энергию непостоянно (см. главу 13, «От теплового двигателя к электрическому»). В самом деле, избыточную энергию, накапливаемую во время пиков производства, следует каким-то образом хранить, а затем по мере потребности ее высвобождать. Одним из решений является генерирование тока в сверхпроводящей катушке. Накопленная электромагнитная энергия при этом составляет LI²/2, где I – сила текущего в катушке тока и L – ее индуктивность. На данный момент практические применения этого способа хранения энергии сдерживают энергетические затраты, требуемые для охлаждения.

Передача энергии без потерь в экспериментальном режиме уже практикуется, например, на Лонг-Айленде в США и в Эссене в Германии: сверхпроводящие кабели длиной в несколько сотен метров заменяют высоковольтные кабели для подачи энергии в целые кварталы.

Ученые работают над созданием элементной базы для квантовых компьютеров (см. главу 28, «Квантовый компьютер»), положив в основу их функционирования основанные на джозефсоновских переходах квантовые сверхпроводящие процессоры.

Итак, этот раздел науки находится в активной фазе своего развития, и, несомненно, в ближайшие десятилетия стоит ожидать появления многих новых областей применения сверхпроводимости…

Внимательный читатель уже знает из предыдущих глав, что гелий становится жидким только при очень низкой температуре и при атмосферном давлении не затвердевает (см. главу 22, «Нулевые колебания атомов»). Вместо этого он, при еще более низкой температуре, становится сверхтекучим, то есть лишенным вязкости (см. главу 24, «Сверхтекучесть: новые надежды»).

Гелий был впервые сжижен Камерлинг-Оннесом в его Лейденской лаборатории 10 июля 1908 года (илл. 1). В течение нескольких месяцев продолжалось соревнование с другими исследователями, тщетно пытающимися превратить этот газ в жидкость. Гелий, единственный из всех элементов, упорно оставался газообразным… Камерлинг-Оннес был уверен, что он не только сжижил гелий, но и получил его в твердой фазе еще в марте 1907 года. Действительно, сразу после быстрого снижения давления он наблюдал образование беловатого облака в газообразном гелии и, не особо задумываясь, счел его твердым. В полном восторге он телеграфировал своему коллеге сэру Джеймсу (шотландский физик и химик Джеймс Дьюар (1842–1923), первым сжиживший водород): «Получил твердый гелий». Международная пресса широко отметила это достижение. Увы, белесое облако оказалось состоящим из капель водорода, которые предательски проникли в гелий! Бедняга Камерлинг-Оннес был осмеян соотечественниками: они с иронией указывали, что вместо твердого гелия он обнаружил только halfium (слово half в переводе с нидерландского означает «половина», тогда как heel означает «целое»). Мораль: 1) великие люди ошибаются; 2) великие ученые делают преждевременные выводы, и не стоит им подражать! Однако полученная 10 июля 1908 года жидкость действительно была гелием.

1. Камерлинг-Оннес в Лейденской лаборатории, где он и его сотрудники первыми в мире получили жидкий гелий. В 1913 году ученый получил Нобелевскую премию по физике за изучение свойств вещества при низких температурах

Благодаря этому крупному технологическому достижению перед исследователями открылись совершенно новые возможности для экспериментов. Охлаждая приборы жидким гелием, они наконец обрели возможность проводить эксперименты при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю. В частности, Камерлинг-Оннес при температуре ниже 4 K обнаружил явление сверхпроводимости ртути (см. главу 24). А сейчас мы расскажем куда менее известную историю – о необычных механизмах переноса в жидком гелии электрических зарядов.

В известных нам жидкостях всегда присутствуют электрические заряды, и они относительно подвижны. Так, в воде при комнатной температуре значительный процент молекул H₂O диссоциирует на ионы OH^– и H⁺ (на практике последний соединяется с молекулой воды с образованием иона H₃O⁺). В жидком гелии подобная диссоциация полностью отсутствует и «свободных» электрических зарядов нет. С очень высокой вероятностью все атомы находятся в их наинизшем энергетическом квантовом состоянии (см. главу 22, «От принципа неопределенности к радиусу атома»). Для того чтобы атом гелия перешел из основного состояния в возбужденное, необходимо затратить энергию E примерно в 20 эВ (1 эВ = 1,6∙10^–19 Джоулей). Согласно формуле Гиббса – Больцмана, вероятность того, что атом при температуре T находится в возбужденном состоянии с энергией E, равна exp [–E/(k_БT)], где k_Б – постоянная Больцмана (см. главу 7, «Формула Планка»). Однако жидкий гелий существует при нормальном давлении при температурах ниже 4,2 К. При такой температуре E/(k_БT) = 58 000, поэтому вероятность обнаружения возбужденного атома гелия составляет e^{–58 000}, что практически равно 0. Даже при комнатной температуре, как легко может убедиться читатель, вероятность нахождения возбужденного атома гелия ничтожна. Вероятность встречи с ионом (например, He⁺) тем более пренебрежимо мала.

Но при этом в жидкий гелий можно искусственно ввести с целью измерения очень низких токов различные носители заряда. Например, ядра гелия He²⁺, несущие положительный заряд, вводятся в него с помощью α-лучей (см. главу 13, «Элементы ядерной физики»). Подвергая поверхность гелия бомбардировке β-лучами, в него вводят несущие отрицательный заряд электроны.

Возникает вопрос: а зачем вообще нарушать нейтральность несчастного гелия? Оказывается, что эта затея поначалу приводит к неожиданным результатам, интригуя физиков, а затем радует их неожиданными объяснениями. Для начала расскажем о природе носителей положительного заряда, чью загадку разгадали первой, а затем и о еще более необычных носителях отрицательного заряда.

2. Локальное давление в зависимости от расстояния r до иона He⁺ при нулевом давлении (сплошная кривая) и при внешнем давлении P₀, равном 20 атм (пунктир). Пунктирную кривую получают путем смещения сплошной кривой по вертикали

Этими вопросами физики начали интересоваться в конце 50-х годов прошлого века. Они измеряли массу носителей заряда в жидком гелии, изучая их траектории в постоянном магнитном поле. Заряженная частица, движущаяся в магнитном поле с некоторой начальной скоростью, описывает спираль, радиус которой зависит от массы частицы. Результаты измерений оказались весьма неожиданными: в жидком гелии масса носителей как отрицательного, так и положительного заряда в десятки тысяч раз превышала массу свободного электрона! Еще одно удивительное открытие касалось подвижности ионов He⁺ в жидком гелии, то есть отношения их скорости к перемещающей их силе. Подвижность атомов изотопа гелия ³He в наиболее распространенном изотопе ⁴He на тот момент уже была известна, и ожидалось, что подвижность ионов He⁺ окажется того же порядка. Однако было обнаружено, что для ионов He⁺ эта величина примерно в 100 раз меньше. Как же объяснить эту новую причуду гелия?

Решение нашел американский физик Кеннет Роберт Аткинс и описал его в своей статье в 1959 году. Согласно его теории, наличие иона He⁺ создает возмущение в окружающих атомах гелия. Этот положительный ион притягивает к себе их электроны и в то же время отталкивает их ядра (это явление называется поляризацией атомов). Из-за небольшого различия в расстояниях притяжение превалирует над отталкиванием, поэтому атомы приближаются к иону He⁺: их концентрация по мере приближения к иону He⁺ увеличивается, давление вокруг него возрастает. Как уже упоминалось, при низких температурах и давлении в 25 атмосфер[31] гелий затвердевает. Расчет показывает, что такое давление достигается на расстоянии r₀ = 0,7 нм от иона He⁺ (илл. 2) (чтобы иметь представление о масштабах: радиус атома гелия составляет 0,13 нм). Таким образом, вокруг иона вырастает своеобразный снежок – шар твердого гелия с ионом в центре! Когда в жидкости создается разность потенциалов, этот снежок, имея заряд в центре, начинает двигаться по направлению электрического поля. В своем движении он не одинок: он увлекает за собой «свиту» поляризованных атомов жидкого гелия.

3. Из-за законов квантового мира электрон не может слишком близко подходить к атомам гелия. Поэтому вокруг себя он их «разгоняет»

Эта модель сумела хорошо объяснить имевшиеся экспериментальные результаты, в том числе и превышающую в десятки раз массу носителя положительного заряда по сравнению с массой иона He⁺. Согласно Аткинсу, эта масса, помимо массы самого снежка твердого гелия, включает в себя еще два дополнительных слагаемых. Во-первых, к массе снежка следует прибавить также и массу «свиты» – жидкости, увлекаемой им в движение. Расчет показывает, что последняя составляет 28m₀, где m₀ = 6,7·10^–27 кг – масса атома He⁴. Во-вторых, при движении в жидкости тело раздвигает слои жидкости вокруг себя, что требует энергии. Поэтому для придания телу определенного ускорения при его движении в жидкости требуется некоторая дополнительная сила по сравнению с той, которая была бы необходима при его ускорении в вакууме. Таким образом, объект в жидкости ведет себя так, как если бы он имел массу m + δm, превышающую его фактическую массу m. Избыток δm – это та «присоединенная масса», о которой мы говорили еще в главе 15 («Движение пузырьков и турбулентность»), обсуждая движение пузырьков в воде. Для нашего снежка, перемещающегося в гелии, соответствующая поправка оказывается равной 15m₀. Наконец, масса самого снежка является произведением его объема на плотность твердого гелия[32], что дает 32m₀.

Таким образом, суммируя все три слагаемых, находим, что масса положительного заряда, движущегося в жидком гелии, составляет 75m₀ – значение, примерно равное величине, найденной при анализе экспериментов.

В приведенном выше рассуждении мы использовали концепции классической физики, которые без труда описывают движение положительных зарядов. Однако для отрицательных зарядов все оказывается гораздо сложнее…

Мы уже говорили, что жидкий гелий в равновесном состоянии не содержит свободных зарядов. Если ввести в него электрон принудительно, то последний станет причиной локальных потрясений. Чтобы рассказать об этом, сделаем отступление и поговорим об электронной структуре атомов. В квантовом мире существует важный закон: это принцип запрета Паули, который не позволяет находиться в одном и том же квантовом состоянии сразу двум электронам (см. главу 24, «Изотопический эффект и роль кристаллической решетки»). Например, у атома гелия имеются два различных состояния с одной и той же минимальной энергией, которые заняты двумя электронами. Имеются и другие энергетические состояния для электронов, но им соответствуют гораздо более высокие энергии (минимум 20 эВ), и они остаются незаполненными. Таким образом, создать ион He^–, добавив в атом гелия третий электрон, оказывается делом невозможным. И все же, будучи разогнанными до сравнительно скромных энергий в 0,5 эВ, электроны проникают в толщу жидкого гелия!

Трое итальянских физиков, Дж. Карери, У. Фазоли и Ф. С. Гаэта, предположили, что при проникновении электрона в объем жидкого гелия последний вовсе не пытается «пристроиться» на свободный энергетический уровень в одном из атомов, «заплатив» за это 20 эВ. Нет, он просто остается самим собой, а окружающие атомы гелия раздвигает, создавая для себя полость и потратив на это всего лишь 0,5 эВ (илл. 3). Образовавшийся «пузырек» и является носителем отрицательного заряда.

Каков же радиус этого пузыря? Его размер обусловлен балансом между силами поверхностного натяжения и давления электрона на поверхность. С одной стороны, образование пузырька требует затратить энергию E₁, которая тем выше, чем больше объем пузырька (поверхностная энергия, см. главу 6). С другой стороны, электрон в пузырьке непрерывно движется и обладает кинетической энергией E₂, которая в силу принципа неопределенности тем выше, чем меньше сам пузырек. Радиус R пузырька будет таким, который минимизирует общую энергию E₁ + E₂. Оценить энергии E₁ и E₂ просто. Первая величина равна E₁ = 4πσR², где σ – известное нам поверхностное натяжение жидкого гелия. Энергию E₂ можно найти из принципа неопределенности (см. главу 22): согласно ему импульс электрона p = m_eν примерно составляет h/R, поэтому кинетическая энергия E₂ = m_eν²/2 оказывается порядка h²/(2m_eR²), где h – постоянная Планка, m_e – масса электрона и ν – его скорость. Минимизируя общую энергию E₁ + E₂, можно обнаружить, что в состоянии равновесия R⁴ = h²/(m_e/σ). Точный расчет дает для радиуса пузырька значение R = 2 нм. Собственной массы он практически не имеет, ведь масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с присоединенной массой (см. главу 15, «Подъем пузырьков»: δm = (2/3) πρR³, где ρ – плотность жидкого гелия при обычном давлении). Тут нужно заметить, что электрон, подобно иону He⁺, также поляризует атомы гелия вокруг пузырька, поэтому к δm следовало бы добавить и массу «свиты», сопровождающей пузырек при его движении в электрическом поле. Однако ввиду его большого по сравнению со снежком радиуса эффект поляризации окружающего гелия слаб и соответствующая масса оказывается пренебрежимо малой по сравнению с присоединенной δm = 245m₀, которая и определяет эффективную массу носителя отрицательного заряда в жидком гелии.

4. Изменение радиуса r носителя положительного заряда («снежка») и радиуса R носителя отрицательного заряда («пузырька») в жидком гелии в зависимости от внешнего давления P₀

А что произойдет, если жидкий гелий подвергнуть внешнему давлению? В первую очередь нас интересуют носители положительных зарядов, наши знаменитые «снежки». Чем выше внешнее давление P₀, тем быстрее достигается давление 25 атм вблизи иона He⁺ (илл. 2). В результате размер «снежка» с ростом внешнего давления становится все больше и больше (илл. 4, красная кривая).

Что же в это время, при повышении внешнего давления, происходит с пузырьком – носителем отрицательного заряда? Как и любой другой пузырек, он при повышении внешнего давления сжимается (илл. 4, синяя кривая). Когда P₀ достигает примерно 20 атм, радиус пузырька R сравнивается с радиусом «снежка» (1,2 нм). Можно было бы думать, что при дальнейшем росте давления пузырек продолжит сжиматься, R будет уменьшаться. Но вовсе нет! Дело в том, что полное давление на поверхности пузырька в действительности оказывается выше внешнего P₀, так как к нему необходимо прибавить наведенное давление за счет притяжения электроном поляризованных им же атомов жидкого гелия из его «свиты». Оказывается, что при внешнем давлении в 20 атм давление на поверхности пузыря достигает тех 25 атм, которые необходимы для затвердевания гелия. Таким образом, пузырек окружает себя оболочкой твердого гелия и становится своеобразным ледяным «орехом», внутри которого беспорядочно мечется электрон! Дальнейший рост внешнего давления приводит к утолщению «скорлупы» снаружи, вплоть до полного отвердевания жидкого гелия. Внутренний радиус «ореха» при росте давления выше 20 атм уже практически не изменяется. Таким образом, заряженные пузырьки в жидком гелии являются центрами его замерзания по мере того, как внешнее давление подходит к критическим 25 атм. Вспомните, как пузырьки пара в чайнике служат центрами зарождения кипения.

Скажем еще несколько слов о том, что происходит при давлении выше 25 атм с носителями заряда в твердом гелии. Они остаются все теми же: пузырьки с отрицательным зарядом, внутри которых мечется электрон, и ионы He⁺, чьи «снежки» теперь становятся бесконечно большими. Понятно, что подвижность носителей заряда в твердом гелии оказывается значительно ниже, чем в его жидкой фазе.

Могли ли вы представить себе, что гелий обладает такими удивительными свойствами? Как заметил Лев Ландау, причуды гелия открывают нам окно в квантовый мир.

Магнитно-резонансная томография основана на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР), то есть способности некоторых ядер при помещении в магнитное поле поглощать излучение определенной частоты.

Первые сигналы ядерного магнитного резонанса были зафиксированы в 1946 году независимо друг от друга группами американских физиков Феликса Блоха (1905–1983) и Эдварда Парселла (1916–1997). В то время исследователи сталкивались с огромными техническими трудностями, и все необходимое оборудование для своих лабораторий им приходилось создавать самостоятельно. Например, магнит, использованный в экспериментах Парселла, был взят из утилизированного оборудования трамвайной компании Бостона! Кроме того, он был неправильно откалиброван, так что истинное магнитное поле было сильнее, чем требовалось для попадания в резонанс на производимой генератором частоте 30 МГц. Поэтому Парселл и его молодые коллеги не сумели получить искомый сигнал. После нескольких дней неудачных экспериментов крайне разочарованный Парселл смирился с поражением и отключил питающий электромагнит ток. По мере того как магнитное поле уменьшалось, исследователи с грустью смотрели на экран осциллографа, на котором они на протяжении нескольких дней надеялись увидеть сигнал. Поскольку радиочастотный генератор они не выключили, то, когда величина убывающего магнитного поля все же достигла значения, соответствующего резонансу, и ожидаемый сигнал ненадолго отобразился на экране… За открытие явления ядерного магнитного резонанса Парселл и Блох в 1952 году разделили Нобелевскую премию по физике.

Не все ядра способны к ядерному магнитному резонансу. В этой главе особенное внимание будет уделено ядрам водорода (протонам), которые составляют заметную часть массы организма человека. Для нас будет важным тот факт, что эти ядра обладают магнитным моментом (см. главу 22).

Какой механизм лежит в основе атомного магнетизма? Наиболее понятным примером является электрон, вращающийся вокруг ядра (илл. 1). Он эквивалентен электрическому току в металлическом витке и, следовательно, порождает магнитное поле. Кроме того, подвергаясь воздействию внешнего магнитного поля B^→, он будет реагировать определенным образом – как именно, мы увидим далее.

1. Вращающийся вокруг точки O со скоростью v электрон создает магнитный момент (зеленая стрелка), параллельный оси вращения

Магнитный момент частицы не обязательно связан с ее вращением. Электрон, протон и нейтрон обладают собственными магнитными моментами, называемыми спином. Слово spin в переводе с английского означает «вращаться», потому что когда-то Луи де Бройль полагал, что спин частиц связан со «своего рода внутренним вращением». Однако такое внутреннее вращение в природе обнаружить не удалось. Сегодня физики считают, что электрон, несмотря на наличие спина, является точечным и не имеет внутренней структуры. Поэтому спин элементарной частицы следует воспринимать как ее врожденное свойство, такое как масса или заряд.

Вектор магнитного момента в микромире подчиняется правилам квантовой механики. Согласно им при помещении частицы во внешнее поле B^→ параллельная полю составляющая магнитного момента может принимать только конечное число значений. В частности, для спина протона (а также электрона и нейтрона) возможны только две его проекции (см. главу 22, «Квантование магнитного момента»): магнитный момент μ может ориентироваться относительно B только параллельно полю, что более выгодно энергетически, или антипараллельно (илл. 2). Разность энергий, соответствующих этим двум направлениям, составляет

ΔE = 2Bμ. (1)

Именно эта величина ΔE измеряется путем облучения образца электромагнитным полем соответствующей частоты.

2. Возможные состояния магнитного момента протона в магнитном поле. В состоянии равновесия он либо параллелен (с определенной вероятностью), либо направлен противоположно (с меньшей, зависящей от температуры, вероятностью)

Рассмотрим протон, первоначально находящийся в состоянии с проекцией магнитного момента, направленной вдоль приложенного постоянного магнитного поля. При облучении электромагнитной волной соответствующей частоты он может поглотить квант энергии, равный ΔE, при этом переходя в состояние с противоположной проекцией момента. Таким образом, условие поглощения такого кванта излучения есть

где υ – это частота излучения и h – постоянная Планка. Это равенство не является строгим: поглощение остается заметным, даже если значения правой и левой частей уравнения немного различаются. Но в постоянном магнитном поле B при изменении частоты излучения υ наблюдается острый максимум поглощения («пик», обычно называемый сигналом) вокруг определенной частоты: тот самый «резонанс» в физическом смысле (см. главу 11, «Струны и резонатор») (илл. 3). В этом и заключается принцип действия ЯМР-спектрометрии, которая изучает спектр поглощения образца, сформированный этими сигналами. Вместо изменения частоты можно менять и значение поля B при фиксированной частоте: тогда в зависимости сигнала от магнитного поля наблюдаются острые максимумы.

3. Энергия, поглощаемая ядром при перевороте его магнитного момента в зависимости от частоты падающего на него излучения

Магнитный момент протона μ = 1,41·10^–26 Дж·Tл^–1. Таким образом, при внешнем магнитном поле в 1 Тл поглощение будет происходить на частоте около 42 МГц. Соответствующая длина волны λ = c/υ составляет 7 м, что примерно в 50 раз превышает длину излучения в микроволновой печи (см. главу 16, «Микроволновая печь») и относится к области радиочастот.

В первых ядерных магнитно-резонансных спектрометрах, созданных в 1960-х годах, использовались относительно слабые магнитные поля. Сегодня многие спектрометры работают со столь высокими полями, что протонный магнитный резонанс происходит на частотах около 900 МГц, благодаря чему существенно улучшилось их разрешение. Первое устройство для наблюдения ЯМР Парселла существенно отличалось от современных, в которых помимо прочего используются мощные сверхпроводящие магниты (илл. 4). Тем не менее протокол измерений остается похожим: питаемая от батареи катушка генерирует радиочастот-ное электромагнитное поле величиной порядка 1/1000 Тл. Исследуемый образец (содержащий ядра) располагают на оси катушки, перпендикулярной статическому магнитному полю. Последнее генерируется «классическим», или сверхпроводящим, электромагнитом и находится в диапазоне от 1 до 23 Тл (см. главу 24).

4. ЯМР-спектрометр среднего размера для лабораторных измерений. Образец для исследования помещают в трубку, которую располагают в верхней части устройства. Находящийся справа резервуар с жидким азотом охлаждает сверхпроводящий магнит

Принцип действия ЯМР-спектроскопии

Как интерпретировать спектр ЯМР? В формуле (1) известен ядерный магнитный момент μ и действующее магнитное поле B. Обнаружив резонансную частоту, можно вычислить ΔE… что, казалось бы, не представляет большого интереса! Но на самом деле воздействующее на ядро водорода магнитное поле в веществе – это не совсем то магнитное поле, которое прикладывается к образцу. Необходимо учесть поправки из-за наличия в веществе других ядер и электронов: в зависимости от обстоятельств они могут представлять собой своеобразный «экран» для внешнего поля или, напротив, усиливать его. В зависимости от движения электронов в непосредственной близости от рассматриваемого ядра резонанс может сдвигаться по частоте. Обычно, чтобы избавиться от значения магнитного поля, положения различных резонансных линий задаются безразмерным числом: химическим сдвигом. Таким образом, химический сдвиг становится характеристикой окружающей среды вокруг ядра.

Например, ЯМР-спектр этанола CH₃–CH₂–OH (илл. 5) имеет три группы сигналов. Эти группы соответствуют ядрам водорода молекулярных групп CH₃, CH₂ и OH соответственно. Сложная структура сигналов, соответствующих группам CH₃ и CH₂, обусловлена взаимодействием между магнитными моментами атомов водорода, принадлежащих к одной и той же группе данного атома углерода.

5. Протонный ЯМР-спектр этанола СH₃–СH₂–OH. Три группы пиков соответствуют протонам в различных группах, поэтому соответствующие им химические сдвиги разные. Интегральная кривая (черная) показывает относительную интенсивность каждой группы пиков. Исходная точка 0 химического сдвига соответствует резонансу протонов тетраметилсилана Si (CH₃)₄, или ТМС, который служит стандартом. Химическое смещение ppm означает, что расстояние сигнала в Гц от точки отсчета (ТМС) равно трем миллионным долям частоты сигнала стандарта

И это не все! Относительная интенсивность резонансных сигналов дает информацию еще и о том, сколько ядер задействовано в резонансе. Кроме того, в данной молекуле ядро водорода может быть заменено одним из его изотопов, имеющим другой магнитный момент, и таким образом можно получить информацию о каждом ядре молекулы. Эта информация зависит от температуры: исследование спектров, полученных при разных температурах, показывает, как изменяется окружающая ядро среда.

Таким образом, протонная ЯМР-спектрометрия предоставляет ценную информацию о локальной среде вокруг ядер водорода, то есть может служить методом для выяснения структуры молекул и их идентификации (см. врезку). Напомним, что многие другие ядра также обладают магнитным моментом и изучаются в лабораториях: это ЯМР-спектрометрия углерода-13, фосфора-31 и др.

6. Прецессия магнитного момента. В магнитном поле в положении равновесия магнитный момент либо параллелен, либо направлен противоположно. После выводящего из равновесия взаимодействия с радиочастотным импульсом магнитный момент начинает вращаться c определенной угловой скоростью. На рисунке показано два возможных угла магнитного момента относительно магнитного поля

Особый метод ядерного резонанса: FID

Современные методы ядерного магнитного резонанса стали более эффективными: теперь не нужно изменять частоту излучения или силу внешнего магнитного поля. Действие на образец радиочастотного поля (приводящего к резонансному переходу ядра между двумя состояниями) ограничено конечным промежутком времени: это называется радиочастотным импульсом. После действия импульса поле остается постоянным и равным B. Ядерные магнитные моменты, которые до импульса были либо параллельны полю, либо направлены противоположно, импульсом выводятся из равновесия и начинают вращаться с равномерной скоростью (илл. 6). Такое вращение вокруг направления поля, называемое «прецессией Лармора» (см. врезку «Несколько слов о прецессии»), порождает электрический сигнал, который можно обнаружить. Обычно для прекращения импульса использующий катушку для возбуждения магнитных моментов радиочастотный генератор резко выключают. Затем мгновенно приводят в действие радиочастотный приемник, который использует ту же катушку, но уже для записи сигнала, связанного с прецессией ядер. Этот сигнал, обусловленный электродвижущей силой, индуцируемой «свободной» прецессией ядер, называется FID (аббревиатура от Free Induction Decay – «убывание свободной индукции») (илл. 7). Затем сигнал обрабатывается компьютером и на его основании восстанавливается ЯМР-спектр. Таким образом, та же информация, что и при анализе поглощения излучения в зависимости от частоты или интенсивности магнитного поля, может быть получена гораздо быстрее.

7. Сигнал свободной прецессии ядер в зависимости от времени. Y-компонента µ_y ядерного магнитного момента вращается с частотой ν₀ (определяемой формулой hν₀ = 2Bµ). Интенсивность сигнала постепенно ослабевает из-за явления релаксации. Метод FID обычно измеряет огибающую этого сигнала, как это показано на рисунке (красный пунктир)

ЯМР на службе энологии: технология SNIF

ЯМР служит не только химикам, но еще и ценителям хорошего вина! С его помощью можно определять происхождение вина – такой метод называется SNIF. Предполагалось, что эта аббревиатура расшифровывается как Specific Natural Isotope Fraction (конкретная доля природных изотопов), но в переводе с английского to sniff означает «нюхать». ЯМР позволяет в некотором роде «понюхать» вино.

Метод SNIF был изобретен химиками Жераром и Маривонн Мартен в Нанте в 1980-х годах, первоначально с целью определения того, добавляли ли в вино сахар (см. главу 14). Кроме того, этот метод дает информацию о географическом происхождении этанола! В самом деле, в разных регионах процессы фотосинтеза и метаболизма для водорода ¹H и его изотопа дейтерия ²H протекают по-разному, о чем и позволяет судить конкретный спектр ЯМР. Магнитный момент дейтерия меньше, чем у водорода, поэтому химические сдвиги их ЯМР-сигналов отличаются. Измеряя интенсивность сигналов, вычисляют дозу дейтерия, сравнивают ее с имеющейся картой распределения дейтерия по винодельческим районам и таким образом получают представление о происхождении вина. В природе доля дейтерия очень мала и измеряется в миллионных частях (ppm). Так, она составляет 90 ppm на Южном полюсе и в среднем 160 ppm на экваторе. Отметим, что на Венере она составляет 16 000 промилле, то есть водород там содержит 1,6 % дейтерия.

На происхождение вина указывает еще один фактор – это локализация дейтерия в различных группах. Молекула этанола CH₃–CH₂–OH может превратиться в CH₂D – CH₂–OH, или CH₃–CHD – OH, или CH₃–CH₂–OD (буква D означает дейтерий)…

Раскрывая состав и происхождение вин, метод SNIF усложняет жизнь мошенникам: добавить сахар, разбавить вино или подменить этикетку становится невозможно!

8. МРТ-аппарат. Лежащего пациента помещают внутрь рабочего цилиндра

Несколько слов о прецессии

Под термином «прецессия» в механике подразумевается изменение направления вектора момента импульса, или, проще говоря, направление оси вращения вращающегося объекта. Например, Земля вращается вокруг оси, которая со временем проворачивается, что приводит к смещению дат равноденствий. Волчок незадолго до падения также демонстрирует явление прецессии: его ось вращения отклоняется от вертикали (см. главу 17, «Волчок и момент вращения»).

Но вернемся к теме этой главы – ядерному магнитному моменту. Представление о простейшем атоме можно получить на примере точечного электрического заряда q, описывающего под действием электростатического притяжения окружность вокруг неподвижного заряда противоположного знака (илл. а).

Пусть на этот заряд также воздействует магнитное поле B^→ (илл. b). Теперь, кроме электростатической силы притяжения к неподвижному центру, на движущийся заряд воздействует еще и сила Лоренца, направленная перпендикулярно полю и вектору скорости v^→ и равная по модулю Bνsinα, где α – угол между B^→ и v^→. В терминах векторного произведения (см. главу 4, врезку «Смысл силы Кориолиса и векторное произведение») силу Лоренца можно записать как F^→ = qv^→ × B^→. Это выражение напоминает о силе Кориолиса, появляющейся при написании уравнений движения для тела в системе отсчета, которая сама вращается вокруг оси с угловой скоростью Ω. Как мы уже знаем, в этом случае в баланс воздействующих на тело сил необходимо добавить фиктивную силу, равную mv^→ × Ω^→, где Ω^→ – вектор угловой скорости, параллельный оси вращения (см. главу 4). Выражения для двух сил, Кориолиса и Лоренца, очень схожи! Особенно если векторы Ω^→ и B^→ параллельны. В этом случае можно даже сделать такой трюк, чтобы обе силы скомпенсировали друг друга! Для этого достаточно выбрать Ω = –qB/m. Иначе говоря, надо перейти в систему координат, которая вращается вокруг вектора B^→ с угловой скоростью – qB/m. В этой системе отсчета магнитное поле и сила Лоренца сокращаются, и все происходит так, как будто заряд A испытывает лишь электростатическое притяжение. То есть его орбита во вращающейся системе отсчета оказывается неподвижной, в то время как в фиксированной системе координат она вращается с угловой скоростью qB/m. А вместе с ней вращается и магнитный момент. Вот вам и прецессия! Этот результат остается неизменным и в квантовой механике: магнитный момент спина в магнитном поле также подвержен прецессии.

Хотя в системе, которую мы только что изучили, имеет место прецессия, ей не подвержен намагниченный стержень (например, стрелка компаса)! Пребывая в магнитное поле, будучи отклоненным от своего положения равновесия и отпущенным без какой-либо начальной скорости, магнитный стержень колеблется без вращения вокруг поля. В конце концов его колебания из-за трения затухнут, и стержень принимает направление север – юг.

Ларморовская прецессия. а. Заряд q, вращаясь вокруг точки O, создает магнитный момент (фиолетовая стрелка). b. При воздействии на него внешнего поля B^→ возникает сила Лоренца (красная стрелка), которая посредством перехода во вращающуюся систему координат может быть скомпенсирована возникающей при этом силой Кориолиса. Таким образом, в этой системе магнитный момент (фиолетовая стрелка) оказывается неподвижным. Однако при этом относительно неподвижного наблюдателя он вращается. В этом и заключается явление прецессии

После открытия Блоха и Парселла ядерная магнитно-резонансная спектрометрия стала бурно развиваться. Во Франции и Италии появились крупные исследовательские группы по ЯМР. Французские физики Анатоль Абрагам и Ионель Соломон, итальянец Луиджи Джулотто основали всемирно известные научные школы в Париже и Павии. Подобные группы стали движущей силой запуска объединения Ampère (Ампер), которое способствовало научному прогрессу в этой области. ЯМР повсеместно применяется в физике твердых тел, химии, биологии, метрологии. И, конечно же, физики не стали тянуть с началом применения ЯМР в медицине. Первое двумерное изображение двух образцов с водой было получено в 1973 году американским химиком Полом Лотербуром. В 1976 году американский ученый Реймонд Дамадья представил первое ЯМР-изображение опухоли животного. Сегодня многие больницы оснащены аппаратами МРТ для медицинской диагностики (илл. 8).

Опишем принцип формирования изображения методом магнитно-резонансной томографии. Этот метод, использующий неоднородное в пространстве магнитное поле B^→, был предложен Полом Лотербуром (илл. 9) в 1973 году. В результате зависящая от значения поля B (см. формулу (2)) резонансная частота ядра оказывается зависящей от положения ядра в пространстве.

9. Пол Лотербур (1927–2007). В 2003 году он получил Нобелевскую премию в области медицины за вклад в разработку МРТ

Чтобы разобраться с новой постановкой задачи, рассмотрим простой одномерный случай с группами маленьких заполненных водой сфер, расположенных вдоль оси x (илл. 10). При однородном магнитном поле все они дают сигнал на одной и той же частоте. Теперь предположим, что с помощью дополнительных катушек создается магнитное поле, зависящее от x, то есть у магнитного поля появляется градиент. Тогда ЯМР-сигнал для разных групп будет возникать на различных частотах. Например, для пяти групп сфер получается набор из пяти максимумов поглощения. Важно, что интенсивность каждого из них пропорциональна количеству участвующих в резонансе сфер, то есть соответствующему количеству воды. Поскольку градиент поля (то есть производная dB/dx) известен, возможно установить точную корреляцию между резонансными частотами и положением соответствующих сфер в пространстве. Таким образом, различные сигналы уже можно привязать к расположению их источников в пространстве и судить об относительном содержании водорода вдоль оси x. Создавая градиенты поля вдоль разных осей, можно анализировать и более сложное распределение атомов водорода.

10. Пример ЯМР в одномерном пространстве. Заполненные водой сферы в разном количестве расположены в разных точках пространства

a. Прикладывая однородное магнитное поле, получаем единственный резонансный ЯМР-сигнал на частоте, определяемой формулой (2), то есть ħω₀ = μB₀.

b. При наличии градиента поля резонансные сигналы от различных точек образца происходят на разных частотах, а их интенсивность зависит от количества возбужденных протонов. Благодаря этому ЯМР-спектр (то есть совокупность сигналов поглощения) воспроизводит расположение заполненных водой сфер в пространстве

В МРТ применяется этот же принцип, только в трех измерениях! Однако в пространстве все оказывается куда сложнее нашей одномерной модели. Для визуализации распределения плотности водорода требуются мощные компьютеры, управляющие радиочастотными полями. Для усовершенствования конструкции профиля магнитного поля и выработки методик обработки полученных ЯМР-сигналов потребовались годы исследований. Весьма упрощенно можно сказать, что компьютерная обработка позволяет отображать распределение водорода в пространстве: интенсивность сигнала, испускаемого определенной областью пространства, пропорциональна количеству атомов водорода в этой области, что и позволяет получить информацию о локальной плотности ткани. Посредством применения методов томографии тело пациента «разрезают» по «сечениям» таким образом, чтобы получить трехмерную картину того или иного внутреннего органа (илл. 11).

11. Томография головного мозга. Томография – это трехмерное обобщение примера, рассмотренного на илл. 10. Она позволяет получить тот же результат, как если бы объект (здесь – мозг) был рассечен слоями, однако бескровно, безболезненно и без повреждения тканей!

Спиновое эхо

Исследуемые материалы обычно содержат неоднородности. Из этого следует, что частота прецессии для разных ядер различна, поэтому FID-сигнал после подачи импульса со временем все больше и больше искажается. Такое искажение возможно исправить с помощью специальной техники, называемой «спиновым эхом». Суть ее заключается в следующем. Созданный в начальный момент времени радиочастотный импульс длительностью t₁ заставляет магнитные моменты выстроиться перпендикулярно внешнему магнитному полю B^→. По истечении времени t_D (в течение которого произошло определенное изменение FID) подается второй импульс, удвоенной длительности 2t₁. Этот импульс обращает магнитные моменты в противоположную сторону (так как два поворота на 90° эквивалентны инверсии направления). Магнитные моменты, которые на протяжении временного интервала t_D вращались более быстро и потому были впереди, теперь запаздывают. Однако поскольку они продолжают вращаться быстрее, то вскоре нагоняют запоздание. Поэтому в течение следующего интервала времени t_D все магнитные моменты выравниваются. Таким образом, сигнал, который был изменен, подобно эху, восстанавливается в своей первоначальной форме.

Чтобы оценить МРТ по достоинству, следует понимать, что она позволяет получить реальные изображения внутренних органов человека а не их «тени», как на изображениях, получаемых с помощью рентгеновских лучей (действительно, приемник собирает рентгеновские лучи после прохождения сквозь тело, где они в большей или меньшей степени поглощаются костями и тканями).

Человеческий глаз чувствителен к электромагнитным волнам видимой области (см. главу 3, «Цветовое зрение»). К сожалению (или к счастью), глаза не способны воспринять излучение внутренних органов наших тел: мы видим только внешнюю оболочку. В условиях ЯМР ядра излучают электромагнитные волны в диапазоне радиочастот (на частотах куда меньших, чем видимый свет). Поэтому такие волны, пройдя сквозь тело, доходят до измерительного прибора, который в сочетании с высокопроизводительным компьютером превращает полученные сигналы в видимое изображение, уже доступное нашему зрению.

Физики и математики во многом поспособствовали этому удивительному достижению медицины благодаря пониманию квантово-механических свойств ядерных магнитных моментов, теории взаимодействия вещества и излучения, а также созданию цифровой электроники и принципов математической обработки сигналов.

Преимущества МРТ по сравнению с другими методами диагностики многочисленны и значительны. Оператор легко визуализирует необходимое для анализа сечение тела пациента; он также может регистрировать сигналы из нескольких сечений одновременно. В частности, при необходимой настройке градиентов магнитного поля изображение можно получить под желаемым углом, что затруднительно для рентгеноскопии. К тому же исследователь имеет возможность ограничить поле наблюдения, тем самым визуализируя конкретный орган (или его часть) с большим разрешением.

Дополнительным достоинством МРТ является также и возможность измерения вязкости жидкости непосредственно в месте исследования. Для этого используется спиновое эхо – сигнал, на который влияет скорость, с которой ядра перемещаются в градиенте поля. В результате становится возможным измерять скорость течения крови или других жидкостей в организме.

Варьируя различные параметры, например длину и частоту импульсов или время, в течение которого накапливается ядерный отклик, оператор может изменять характер отклонений ядерных магнитных моментов и, таким образом, в поисках аномалий увеличивать контрастность изображения. Выбирая соответствующие радиочастотные катушки, можно детализировать разрешение изображения вплоть до столь малых объемов, как 2 мкм в плоскости и 200 мкм в глубину. При подходящем разрешении можно получить и информацию о концентрациях содержания в организме различных химических веществ.

Чтобы получить пригодное изображение, нужно успешно преодолеть сложнейшие проблемы, связанные с чувствительностью прибора, то есть отношением сигнал/шум. Для этого собирают воедино множество FID-сигналов или сигналов спинового эха. Для этого необходимо довольно длительное время: обычно оно составляет порядка десяти минут.

В 1977 году английский физик Питер Мэнсфилд (в 2003 году получил Нобелевскую премию совместно с Лотербуром) разработал специальную комбинацию градиентов поля. Она не дает никаких специфических изображений, ее главное качество – необыкновенная скорость. Начиная с одного FID-сигнала она обеспечивает изображение примерно за 590 миллисекунд! Сегодня при помощи этой техники (так называемого плоского эха) можно визуализировать даже сердцебиение.

Наконец, упомянем функциональные методы МРТ, которые открывают путь к глубокому пониманию наших когнитивных процессов. С их помощью можно обнаружить активные области мозга (активность связана с изменениями кровотока).

Могли ли врачи древности предположить, что когда-нибудь появится возможность проникнуть в самые сокровенные глубины человеческого тела и сознания?

В течение нескольких последних десятилетий мы имеем дело с устройствами, которые накапливают все больше функций в ограниченном пространстве. Для начала вспомним, каковы были технологии наших предков…

Начнем путешествие с XVII века – великой эпохи зарождающихся технологий, когда Христиан Гюйгенс усовершенствовал часовой механизм, а Блез Паскаль изобрел вычислительную машину. Это механическое устройство положило начало созданию все более совершенных вычислительных машин. Настольный аппарат, который авторы этой книги встречали около 1960 года, уже был электрическим; он был не менее громоздким, чем машина Паскаля (илл. 1). Более изощренные приборы в то время уже умели извлекать квадратный корень.

1. Электромеханический калькулятор Olivetti Divisumma 24, произведенный в Италии в 1960-х годах. Машина выполняла сложение, вычитание, деление и умножение и печатала результат. Она весила почти 15 кг

Первый шаг к электронной эпохе был сделан с разработкой электронных ламп. Этими приборами, сильно нагревающимися и с коротким сроком службы, оснащали первые гигантские вычислители, такие как Colossus («Колосс») в Англии и ENIAC (ЭНИАК) в США. Построенные в 1940-х годах, эти вычислительные машины имели тысячи электронных ламп, которые нужно было регулярно менять! Наиболее типичный представитель – триод, электронная лампа, разработанная в 1906 году американским изобретателем Ли де Форестом (1873–1961).

В стеклянном вакуумном баллоне находятся катод, который при нагревании испускает электроны, и анод, улавливающий эти электроны в той мере, в какой их пропускает управляющая сетка (илл. 2). Сетка способствует или препятствует проходу электронов в зависимости от поданного на нее электрического потенциала: таким образом можно регулировать, в том числе усилить, разность потенциалов между катодом и анодом.

2. Триод до 1947 года насчитывал несколько сантиметров в высоту и имел короткий срок службы. Катод, являющийся нитью накала, испускает электроны, которые притягиваются анодом

В триоде используется способность электронов перемещаться в вакууме (и таким образом создавать в нем электрический ток) при условии, что они испускаются очень горячим катодом. В металле невозможно установить однонаправленный электрический ток: если он может течь в одном направлении, то всегда, при обращении знака разности потенциалов, может протекать и в другом (см. врезку). В триоде, наоборот, движением электронов можно управлять. Чтобы полностью запретить им возврат и навязать одностороннее движение, достаточно убрать сетку: электроны устремятся от катода к аноду, но не в обратном направлении.

От триода до транзистора

Развитие миниатюризации началось в 1947 году с изобретением транзистора американскими физиками Уолтером Браттейном (1902–1987), Уильямом Шокли (1910–1989) и Джоном Бардином (с которым мы уже встречались в главе 24, «Теория БКШ»). За это открытие в 1956 году они получили Нобелевскую премию по физике. Термин «транзистор» является сокращением английского выражения transfer resistor. Как и триод, транзистор представляет собой устройство с тремя выводами (илл. 3). Здесь электроны вместо вакуума находятся в примесном полупроводнике, то есть в материале, который делают проводящим содержащиеся в нем примеси. Один терминал (эмиттер, «источник») испускает электроны, другой (коллектор, «сток») их принимает, а промежуточный электрод (база, или сетка) управляет током. Транзистор, как и его предшественник триод, может использоваться в качестве усилителя (например, в радиоприемнике) или для модуляции сигнала (например, в радиопередатчике). Также он служит переключателем в логической цепи (как известно, компьютеры обрабатывают двоичные знаки, биты, закодированные электрическим напряжением в 0 вольт (0) и конечным напряжением для бита 1 (1)).

Транзисторы и закон Мура

В 1965 году американский инженер Гордон Мур, один из основателей компании Intel, сформулировал закон, ставший впоследствии знаменитым. Согласно ему, количество транзисторов, размещенных на микропроцессоре (компонентов, выполняющих арифметические и логические операции), удваивается каждые два года.

Закон Мура с удивительной точностью подтверждался в дальнейшем (см. илл.), во многом потому, что производители восприняли его как руководство к действию при разработках своей продукции. Очевидно, что этот экспоненциальный рост не может длиться бесконечно: минимальный размер транзистора ограничен, по крайней мере, расстоянием между атомами, которое составляет долю нанометра. В 2004 году 100 млн транзисторов уместились на 1 см², то есть один транзистор занимал площадь в 10⁶ нм². Согласно закону Мура, атомные размеры будут достигнуты в году 2004+ 2x, где x – корень уравнения 2^x = 10⁶. Отсюда находим x = 6/log2 ∝ 20 лет. Таким образом, закон Мура формально мог бы действовать вплоть 2044 года. На самом же деле, вполне вероятно, что он будет выполняться лишь до 2030 года.

Количество транзисторов на 1 cм² микропроцессора в зависимости от года его выпуска в продажу. Синие точки соответствуют фактически созданным процессорам, красная прямая – закону Мура

В середине XX века широко используемым полупроводником был германий; сегодня в электронике в основном используется кремний. Примеси, добавляемые в полупроводник, разнообразны и могут быть распределены различными способами. По этой причине транзисторы существуют в самых разных формах. Размер транзистора 1947 года составлял несколько миллиметров. С тех пор они постоянно уменьшались (см. врезку), и в настоящее время огромное количество транзисторов объединено в массивы на интегральных микросхемах (илл. 4). Знакомый всем USB-накопитель в 5 см длиной, с которым мы работаем довольно часто, содержит 4 млрд транзисторов и хранит до 1 Гб данных (8∙10⁹ бит)[33].

Объясним вкратце, как полупроводники заставляют электроны быть послушными. В твердом теле, состоящем из большого количества атомов, разрешенные для электронов уровни энергии представляют собой широкие полосы (зоны) (см. главу 24, врезку «Плотность электронных состояний в металле… который становится сверхпроводником»). Электроны занимают эти зоны, начиная с самых низких энергий. Последняя полностью заполненная зона (называемая валентной) и последующая, по крайней мере частично, пустая зона (называемая зоной проводимости) разделены более или менее широкой запрещенной зоной, которую называют щелью.

Для промышленного применения кремний легируется примесями, то есть в его кристаллическую решетку вводятся атомы других элементов. Эти примеси бывают двух типов. Примеси первого типа (например, атомы фосфора) охотно избавляются от своих валентных электронов. Эти электроны заполняют зону проводимости, и полупроводник становится проводником – почти таким же, как металл, если легирование достаточно сильно (см. врезку «Проводник, диэлектрик и полупроводник»). Легированный таким образом полупроводник называется n-типом (от слова negative, «отрицательный», так как заряд электронов отрицательный). Примеси второго типа (например, атомы бора), наоборот, охотно принимают имеющиеся в кристалле свободные электроны на свои внешние энергетические оболочки. Эти электроны берутся из валентной зоны, оставляя в ней незаполненные состояния, так называемые дырки. Под воздействием электрического поля находящийся в валентной зоне электрон может «перескочить» из своего состояния в освободившееся незаполненное, на его место прыгнет следующий электрон, и эта чехарда продолжится далее. Происходящее можно себе представить, как если бы сама дырка несла положительный заряд и перемещалась по направлению электрического поля. В результате и в этом случае полупроводник становится проводником! Легированный таким образом полупроводник называется полупроводником p-типа (от positive, «положительный»). В обоих случаях полупроводник в любой точке остается нейтральным: подвижные заряды компенсируются зарядами ионов.

3. Транзистор с индивидуальными входами (чаще всего их объединяют в интегральные схемы). В отличие от триода, их прародителя, нагрев такому транзистору не требуется. Кроме того, он гораздо дешевле и имеет меньшие размеры

Состояние полупроводника удобно представлять на двумерной диаграмме (илл. 4), где по оси y отложена энергия, а ось x задает направление внутри кристалла. Такая упрощенная трактовка позволяет дать представление об основных процессах, в нем происходящих. Примесным уровням соответствуют состояния внутри запрещенной зоны, в противном случае вносимые ими электроны или дырки могли бы двигаться. Энергия Ферми E_Ф (или, как ее еще называют, уровень Ферми (см. главу 27, «Плотность электронных состояний в металле… который становится сверхпроводником»)) являет собой границу между занятыми состояниями и состояниями с более высокой энергией, которые при нулевой температуре пусты. При ненулевой, но не слишком высокой температуре некоторая часть электронов перебирается в зону проводимости, а часть дырок – в валентную полосу. Без легирования их количества обычно невелики. При добавлении примесей типа n (n-легирование) в зоне проводимости появляются дополнительные электроны, поэтому энергия Ферми, которая возрастает с увеличением их концентрации, приближается к зоне проводимости (илл. 5b). И наоборот, p-легирование сдвигает энергию Ферми вниз, ближе к валентной зоне (илл. 5a).

4. Интегральные схемы на пластине из кремния. Сотни тысяч транзисторов образуют сложные цепи на кристаллической подложке. Сложный дизайн транзисторов и их соединений получается посредством технологического процесса, называемого литографией

5. Зоны легированного полупроводника p-типа (a) и n-типа (b). Введенные примеси (представленные красными квадратами) захватывают электроны, находившиеся до того в валентной зоне (a), в случае легирования p-типа примесные атомы отдают электроны в зону проводимости (b), создавая дополнительные носители заряда и увеличивая тем самым электропроводность полупроводника

P-n-переход

Простейшим полупроводниковым электронным устройством является p-n-переход, состоящий из двух соединенных полупроводников с разными типами проводимости – электронной и дырочной.

В области контакта такое соединение становится местом накопления заряда (илл. 5). Действительно, концентрация электронов и дырок в пространстве дискретным образом изменяться не может. Даже в случае возникновения такой дискретности диффузия электронов и дырок восстановит непрерывность (аналогично тому, как теплопроводность между двумя различными температурными зонами приводит к непрерывному распределению температуры, см. главу 18, «Сколько энергии требуется для приготовления пиццы?»). Таким образом, из-за разделения зарядов в области контакта возникает сильное электрическое поле.

P-n-переход обладает примечательным свойством: он пропускает ток только в одном направлении. Предположим, что нам нужно, чтобы ток протекал из полупроводника n-типа в p-область (илл. 6). В области p-типа ток переносится дырками, которые должны удаляться от контакта. В области n-типа ток переносится посредством электронов, которые также должны удаляться от контакта. Если бы в такой цепи установился стационарный ток, то вблизи контакта вскоре не осталось бы свободных зарядов и ток в цепи бы вскоре исчез. Таким образом, электрический ток течь из области n-типа в область p-типа[34] не может. С другой стороны, под воздействием приложенной батареей разности потенциалов ток может протекать из области р-типа в область n-типа: дырки при этом перемещаются в область n-типа, электроны – в область p-типа, на границе которых они аннигилируют («рекомбинируют»). На смену им придут другие электроны и другие дырки, которые появляются в цепи под воздействием разделяющей заряды батареи.

6. (a) Изменение плотности положительных и отрицательных носителей заряда в зависимости от расстояния x в p-n-переходе. Необходимость непрерывного изменения плотности обуславливает образование вокруг контакта (b) электрически заряженной области, где присутствующие носители заряда не компенсируются ионным фоном. Это приводит к возникновению на контакте разности потенциалов

Проводник, диэлектрик и полупроводник

Некоторые материалы, например металлы, являются проводящими, в то время как другие, диэлектрики, электрический ток не проводят (или проводят очень плохо). Рассмотрим, чем они отличаются с точки зрения зонной структуры.

В металле зона проводимости заполнена частично. Если приложить к концам металлической проволоки разность потенциалов ΔU, то ситуация становится неравновесной: уровни энергии смещаются на значение ΔU/e, а электроны устремляются туда, где энергия оказывается ниже… подобно тому, как дети скатываются с ледяной горки вниз! Таким образом, возникает ток, который течет против направления поля (заряд – e электрона отрицателен).

Тот факт, что вклад в электрический ток вносят лишь электроны, находящиеся в зоне проводимости, кажется несколько неожиданным. Попробуем понять, почему это так. Для протекания тока необходимо, чтобы электронов, движущихся в одном направлении, было больше, чем движущихся в противоположном. Однако симметрия требует, чтобы в отсутствие приложенного поля состояний с положительной скоростью было столько же, сколько и с отрицательной. Поэтому для возникновения тока необходимо, чтобы наложение электрического поля эту симметрию нарушило и занятых электронами состояний, соответствующих положительной скорости, оказалось больше, чем занятых состояний со скоростью отрицательной. В валентной же зоне все состояния уже заняты, по одному электрону в каждом (в соответствии с принципом запрета Паули (см. главу 24, «Изотопический эффект и роль кристаллической решетки»)). Поэтому здесь даже наложением электрического поля симметрию нарушить не удается, и средняя скорость электронов обязательно равна нулю. Таким образом, принадлежащие валентной зоне электроны в переносе заряда не участвуют и в ток вклада не вносят.

В диэлектрике щель между валентной зоной и зоной проводимости велика. В результате последняя остается практически пустой и вещество электрический ток не проводит, по крайней мере при низких температурах.

Существует и промежуточная категория веществ, находящихся между диэлектриком и проводником. Это полупроводники, которые в середине прошлого века коренным образом изменили нашу повседневную жизнь. Полупроводник – это диэлектрик, в котором валентная зона и зона проводимости разделены щелью достаточно узкой, чтобы электроны могли ее преодолевать под воздействием температуры. При нормальной температуре около 300 K электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, которая, следовательно, уже не пуста. Таким образом, проводимость, отсутствующая в таких веществах при абсолютном нуле температур, становится заметной при возрастании температуры до комнатной.

Таким образом, p-n-переход пропускает ток только в одном направлении, как, например, ламповый диод (триод без сетки, о котором мы уже говорили). Чтобы не выдумывать новое название, такое полупроводниковое устройство просто назвали диодом!

Выбирая подходящие полупроводники (например, арсенид галлия, GaAs) и легирующие примеси, можно сделать так, что рекомбинация между дырками и электронами будет сопровождаться сильным излучением света. Такие светоизлучающие диоды еще недавно использовали в качестве индикаторов, свидетельствующих о работе устройства (илл. 7), а сегодня вы видите их повсеместно в гирляндах, фарах автомобилей и других осветительных приборах с низким энергопотреблением. За прорыв в технологиях искусственного света Нобелевская премия по физике 2014 года была присуждена японским ученым Исаму Акасаки, Хироси Амано и Судзи Накамуре.

7.P-n-переход в состоянии равновесия. Неподвижные заряды (ионы примесей, которые отдали или приняли электрон) представлены красными квадратами. Зона проводимости пуста, за исключением нескольких движущихся электронов, обозначенных кружками со знаком (–). Валентная зона заполнена, за исключением нескольких движущихся дырок, обозначенных кружками со знаком (+). В области контакта между полупроводниками p- и n-типа электрические заряды накапливаются (см. илл. 6). Благодаря этим зарядам энергии Ферми по обе стороны перехода уравниваются

Фотоэлектрический эффект и солнечные батареи

Другие типы p-n-переходов, наоборот, вместо излучения света умеют превращать падающий на них свет в электрический ток – такое явление называется фотогальваническим эффектом.

Это свойство применяется в фотоэлектрических элементах, из которых состоят, к примеру, солнечные батареи. Предположим, что излученный солнцем фотон достаточной энергии попадает в полупроводник n-типа. Его поглощение приводит к образованию пары «электрон – дырка». Имеется вероятность, что дырка, прежде чем рекомбинировать с электроном, будет увлечена электрическим полем (Е = –dV/dx, в непосредственной близости от перехода на илл. 6) в область p, тогда как электрон останется в области n. Аналогичным образом, если фотон создает пару «электрон – дырка» в области p, то электрон имеет хорошие шансы перейти в n-область, в то время как дырка останется в зоне p. Таким образом, поглощение фотонов приводит к разделению зарядов: накоплению дырок в области p, а электронов – в области n. Эти носители заряда только и ждут возможности убежать от p-n перехода: электроны направятся в одну сторону, дырки – в противоположную.

8. Светоизлучающий диод (светодиод), работающий на p-n-переходе. Диоды, используемые для освещения, в отличие от лампы накаливания (см. главу 7, «От абсолютно черного тела к звездам»), излучают только видимый свет

Электродвижущая сила, вырабатываемая элементом солнечной батареи (илл. 9), составляет примерно 1 В, а сила тока – около 1 мА на квадратный сантиметр контакта. Поэтому необходимо соединить множество таких элементов последовательно, чтобы получить приемлемую электродвижущую силу, а также подключить множество этих контактов параллельно, чтобы получить достаточную силу тока. Таким образом, производство энергии с помощью солнечных панелей задействует большую площадь поверхности, а энергия на выходе относительно невелика – порядка 15 % от энергии падающего света. Несмотря на эти недостатки, солнечная энергия является отличной альтернативой ископаемым ресурсам, к тому же это неиссякаемый источник (см. главу 13). По оценкам исследователей, для удовлетворения текущих потребностей Франции в электроэнергии будет достаточно панелей солнечных батарей площадью в 5000 км² (конечно, если будет решена проблема хранения накопленной энергии). Эта величина соответствует площади диска диаметром в 80 км или площади крыш 200 000 домов по 25 м² каждая.

9. Принцип действия фотоэлемента. Поглощенные фотоны приводят к образованию в полупроводнике «электрон-дырочных» пар. При подключении внешней электрической цепи (слева) электроны приходят в движение: возникает электрический ток, который, к примеру, питает лампочку

Электроны на все случаи жизни

Приведенные выше примеры показывают, насколько чудесными материалами являются полупроводники. Они излучают свет, превращают свет в электричество, усиливают сигналы, соблюдают одностороннее движение… Применение полупроводников не ограничивается одной лишь электроникой. Их используют и в оптоэлектронике, находящейся на стыке оптики и электроники, примером которой являются светодиоды, и которая приобретает все большее значение по мере развития оптоволоконной связи (см. главу 2). Применяются полупроводники и в комбинациях механики и электроники, таких как MEMs и NEMs (Micro и Nano ElectroMechanical Systems, микро- и наноэлектромеханические системы): например, акселерометры размером менее 1 мм, которыми оснащены современные смартфоны.

Компьютер является потомком вычислительной машины Паскаля. Два его основных взаимодополняющих наиважнейших свойства: гигантская память и способность выполнять программы, то есть реализовывать сложные задачи, определенные последовательностью инструкций. Для хранения данных применяются различные методы, использующие либо полупроводники (для USB-накопителей), либо магнетизм (для жестких дисков), либо механическое моделирование (для компакт-дисков), либо сочетание всех этих технологий. Программирование – наука, зародившаяся в 1936 году с публикацией 16-страничной статьи англичанина Алана Тьюринга (1912–1954) в журнале «Труды Лондонского математического общества». В этой чисто теоретической статье были сформулированы основные идеи структуры будущих компьютеров. Затем предложенную Тьюрингом теорию усовершенствовал великий американский математик Джон фон Нейман (1903–1957). Разработанная им архитектура вычислительной машины состояла из четырех основных элементов (илл. 10). Во-первых, арифметико-логическое устройство, или блок обработки данных, который выполняет основные операции; далее устройство управления, отвечающее за последовательность операций; затем память, содержащая как данные, так и программы, диктующие блоку управления расчеты, которые должны быть выполнены на основе этих данных; и, наконец, устройства ввода и вывода, которые позволяют компьютеру общаться с внешним миром. Память разделена на оперативную (программы и необходимые в процессе работы данные) и постоянную (программы и данные, составляющие основу устройства).

10. Архитектура фон Неймана

Квантовый компьютер

Недостатком компьютера фон Неймана является его «последовательный» характер: различные этапы вычислений следуют один за другим, и очередной шаг запускается только после завершения предыдущего. Один из способов сэкономить время – введение «параллелизма». Параллельные вычисления уже распространены в современных процессорах, но особые надежды на их широкое использование связываются с разработкой «квантовых» компьютеров.

Квантовый компьютер использует (или «будет использовать», или «мог бы использовать» – мы пока не уверены, какую из этих формулировок выбрать!) феномен «смешивания» квантовых состояний. Кот Шрёдингера в своей камере дает пример такого смешения состояний: он одновременно является и живым, и мертвым (см. главу 22, «Кот Шрёдингера»). К концу XX века физики поняли, что это явление может стать ценным ресурсом для расчетов в компьютерах принципиально нового типа. Вместо обработки четко определенных битов состояния квантовый компьютер обрабатывает «квантовые биты» (или кубиты), оба состояния которых каким-то образом смешиваются. Квантовые вычисления, выполняемые компьютером, представляют собой последовательность операций с квантовыми битами, состояние которых регистрируется (измеряется) только тогда, когда этого требует алгоритм. Таким образом, квантовый компьютер использует параллелизм не за счет разделения вычислений на куски и проведения их различными ядрами процессора, а параллелизм истинный, присущий квантовой механике. Квантовые вычисления в некотором роде позволяют рассматривать одновременно и мертвого, и живого кота!

Хорошо работая с квантовыми алгоритмами, квантовый компьютер сможет решить проблемы, которые слишком сложны для обычных последовательных компьютеров. Типичная проблема – поиск в телефонной книге имени абонента, номер которого известен. Поскольку список абонентов дан в алфавитном порядке, то для поиска без компьютера в среднем требуется время, пропорциональное их количеству N. Знакомый нам последовательный компьютер также нуждался бы во времени, пропорциональном N, пусть и с гораздо меньшим коэффициентом пропорциональности. Квантовый же компьютер благодаря способу вычисления (ученые говорят «алгоритм») индо-американского информатика Гровера затратил бы время, пропорциональное квадратному корню из числа N. Для больших N экономия времени существенна! Другой известный квантовый алгоритм (алгоритм Шора) позволяет раскладывать числа на простые множители. Эта проблема для обычного компьютера в случае больших чисел оказывается очень сложной, поэтому она лежит в основе системы шифрования RSA, повсеместно используемой для безопасности связи.

Будет ли квантовый компьютер в скором времени творить чудеса? К сожалению, на сегодняшний день существуют только простейшие версии квантовых процессоров, которые пока способны лишь демонстрировать возможность реализации упомянутых выше операций: например, идентифицировать один элемент из четырех с помощью алгоритма Гровера (илл. 10) или факторизовать целые числа… но только двузначные. Пока это можно куда лучше и дешевле сделать без квантового компьютера.

11. Пример квантового процессора с двумя кубитами. Эта сверхпроводящая схема (см. главу 24) позволяет реализовать алгоритм Гровера для идентификации одного элемента в наборе из четырех (как в телефонном справочнике, сокращенном до четырех абонентов). (Взято из диссертации Андреаса Дьюза, 2012, CEA Saclay)

Для разработки квантового компьютера требуется высочайший уровень технологий. Практическое создание необходимых для этого наноструктур подразумевает, что мы знаем не только то, как их делать, но и как их увидеть! Назовем четыре различных прибора, используемых для этого.

• Растровый электронный микроскоп, или РЭМ (илл. 12), дает трехмерные изображения нанообъектов с эффектом перспективы, как, например, на фотографии. Пучок электронов при сканировании проходит по поверхности образца, которая в ответ отражает электроны, излучает другие электроны, рентгеновские лучи, свет. Все эти частицы и волны, являющиеся носителями информации о материале и свойствах поверхности образца, анализируются микроскопом. Атомного разрешения РЭМ не достигает.

• Просвечивающий (трансмиссионный) электронный микроскоп, или ПЭМ (илл. 13). Он куда более громоздкий, чем РЭМ, зато способен достичь атомного разрешения. В этом случае для получения изображения анализируется пучок электронов, прошедший сквозь образец. Поэтому посредством просвечивающего микроскопа можно изучать только тонкие объекты. Если объект недостаточно тонок, его бы пришлось разрезать на пластины! Для нанообъектов эта деликатная операция не требуется.

• Сканирующий туннельный микроскоп, или СТМ. Это изобретение немца Герда Биннига и швейцарца Генриха Рорера, созданное в лаборатории IBM в Цюрихе (см. главу 24, «На берегу Цюрихского озера»), принесло им Нобелевскую премию в 1986 году, спустя пять лет после открытия. Это действительно удивительное изобретение, поскольку устройство способно «ощупывать» атомы с помощью иглы (илл. 14). На самом деле игла атома не касается: она приближается к нему на расстояние около 1 нм; при этом через зазор начинает течь туннельный ток (см. главу 25, «Квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце»). Расстояние от острия до атома должно выдерживаться с точностью до 0,1 нм, что означает, помимо прочего, что последнее должно быть надежно защищено от малейших колебаний. СТМ позволяет получить значительное атомное разрешение, однако он может передавать изображения только с самой поверхности твердого тела, следующий атомный слой остается невидимым (илл. 15). Кроме того, исследуемое вещество должно быть проводящим.

• Сканирующий атомно-силовой микроскоп, или АСМ. Подобно туннельному микроскопу, он «ощупывает» поверхности твердых тел с помощью иглы. Расстояние от кончика иглы до поверхности измеряется не по величине туннельного тока, а по силе, с которой поверхность действует на иглу. Последнюю определяют с помощью отклонения упругой консоли, которое регистрируется лазерным лучом. Поэтому вещество не обязательно должно быть проводящим (см. пример получаемого изображения в главе 19, «Полимеры»).

12. Электронный сканирующий микроскоп. На экране можно увидеть пример изображения

13. Просвечивающий электронный микроскоп

14. Схема действия туннельного микроскопа. Игла удерживается пьезоэлектрической трубкой на расстоянии приблизительно 1 нм от исследуемого образца. Туннельный ток усиливается и затем подвергается анализу

15. Пример изображения, полученного с помощью туннельного микроскопа. Это поверхность квазикристалла (см. главу 9, «Квазикристаллы»), которая обладает локальной симметрией пятого порядка

Наномир – королевство, где царят необычные физические законы. Это законы квантовой механики, и особенно они проявляют себя при низких температурах. Мы знаем, что энергия атома квантована, то есть может принимать только определенные значения, образующие дискретный набор. Оказывается, что при очень низкой температуре квантованным также является и сопротивление R очень маленькой электрической цепи! Напомним, что электрическое сопротивление в нашем обычном макроскопическом и относительно теплом мире главным образом обусловлено взаимодействием электронов с тепловыми колебаниями кристаллической решетки и ее дефектами (см. главу 24, «Природа электрического сопротивления»).

Правило этого квантования оказывается особенно простым, если говорить о величине, обратной сопротивлению, 1/R, называемой кондактансом (или полной проводимостью). Она изменяется ступенчато, причем ее значение всегда является целым кратным 2e²/h, где h – постоянная Планка. Уточним, как кондактанс можно менять: для этого в непосредственной близости от исследуемого объекта помещается электрод, называемый затвором (по аналогии с транзистором). Какого объекта? Обсудим два из них: квантовые провода и точечные контакты между полупроводниками.

Квантовый провод представляет собой очень узкий проводящий канал (илл. 16), состоящий из кристаллического проводника без дефектов, диаметр которого сопоставим с длиной волны де Бройля (см. главу 22, «Волна де Бройля и уравнение Шрёдингера»). Узость канала обуславливает волновое поведение электронов, что проявляется квантованием их поперечного движения в проводе. В классическом проводнике траекторию движения электрона под воздействием разности потенциалов можно себе представлять как изломанную линию от одной примеси, на которой электрон рассеялся, до другой. Такое движение называют диффузным (илл. 17a). В квантовом же проводе распространение электрона является «баллистическим» (илл. 17b) и больше похоже на распространение электромагнитной волны в волноводе (см. главу 2, «Распространение звуковых волн»). Как только наименьший из размеров проводника сравнивается с дебройлевской длиной волны, электрон оказывается как бы «запертым» в этом направлении и ведет себя согласно законам квантовой механики. Можно сказать, что рассматриваемый нанопроводник становится «квантовой ямой», движение электрона в которой квантуется. Поскольку система находится вне равновесия, то речь идет не о квантовых состояниях, а о модах, по аналогии с модами волноводов. Изменяя электрический потенциал затвора (не показано на илл. 17), можно пропустить одну, две, три или более мод. Каждая мода вносит свой вклад в общую проводимость, определяемую суммой вкладов всех мод.

16. Изображение кремниевого квантового провода, полученное атомно-силовым микроскопом (АСМ) (экспериментальное устройство для измерения сопротивления). Тонкая часть провода имеет длину 1,5 мкм

Величина дебройлевской длины волны существенно зависит от концентрации электронов в металле. Для нормального металла она оказывается порядка нескольких ангстремов, то есть атомного масштаба. В полупроводниках, однако, эта величина может оказаться намного большей, и квантование движения электронов в таких нанопроводниках может существенно изменить их свойства по сравнению с массивными образцами, выполненными из того же материала. Например, квантование поперечного движения лишь в одном из направлений позволяет создать новый объект – двумерный электронный газ, который служит элементарным строительным блоком для современных электронных приборов.

Точечные контакты между полупроводниками обладают свойствами, сходными с квантовыми проводами. Сопротивление таких контактов можно варьировать при помощи изменения напряжения на затворе. В результате при низких температурах кондактанс изменяется ступеньками, величина которых кратна 2e²/h.

17. Движение электрона под действием приложенной разности потенциалов по проводу в зависимости от его ширины l.

a. Классический проводник. Траекторию электрона можно схематично представить как последовательность отрезков, соединяющих одну примесь с другой. Такое движение электрона называется диффузным.

b. Квантовый провод. Путь электрона можно представить в виде серии отражений от стенок.

c. Точечный квантовый контакт

Квантовый эффект Холла

Ярким проявлением квантования сопротивления является квантовый эффект Холла. В 1879 году американский физик Эдвин Холл (1855–1938) обнаружил новое явление. При прохождении тока через помещенный в магнитное поле B^→ проводник оно отклоняет электроны, и, таким образом, ток распространяется не только в направлении электрического поля x, но и в направлении y, перпендикулярном электрическому и магнитному полям (илл. 18a). В результате в этом направлении возникает разница потенциалов V_y – так называемое холловское напряжение. Оно связано с текущим в направлении х током I_x соотношением V_y = R_yxI_x, коэффициентом в котором выступает так называемое сопротивление Холла R_yx. Оно оказывается пропорциональным величине поля B^→ и обратно пропорциональным количеству носителей заряда на единицу объема. Таким образом, эффект Холла позволяет определить концентрацию носителей заряда, что весьма важно, в частности, для исследования свойств полупроводников.

Эффект, обнаруженный Холлом, имеет чисто классическую природу, за исключением случаев, когда выполняется три условия: низкая температура (в несколько кельвинов); сильное магнитное поле (около 20 Тл); и, наконец, движение электронов имеет двумерный характер. С ростом магнитного поля холловское сопротивление растет не линейно, а скачкообразно (илл. 18b). При этом значения его обратной величины – кондактанса – являются целыми кратными e²/h.

А как создают такой необычный объект, как двумерный электронный газ? Метод, используемый в первом эксперименте по квантовому эффекту Холла, заключался в приложении сильного положительного потенциала (с помощью «затвора», вездесущего в нанофизике объекта) к поверхности кремния.

Квантовый эффект Холла, обнаруженный в 1980 году немецким ученым Клаусом фон Клитцингом в Лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле, стал огромным достижением европейской науки. В 1985 году фон Клитцинг за это открытие получил Нобелевскую премию по физике.

Удивительным свойством квантового эффекта Холла является та точность, с которой выдерживается в квантовании кондактанса соотношение h/e² = 25 812,807 Ом. Так, например, величина скачков между плато не зависит от чистоты образца. Начиная с 1990 года квантовый эффект Холла избран как способ определения эталона электрического сопротивления.

18. a. Схема опыта квантового эффекта Холла. b. Результат эксперимента. Кривая с пиками – сопротивление Холла R_yx. На другом графике показана зависимость продольного сопротивление R_yy от магнитного поля, которое, за исключением специальных точек, равно нулю

В этой главе мы обсудили сегодняшнее применение наноструктур в науке и технике. Также мы упомянули их некоторые замечательные фундаментальные свойства, которые пока еще изучаются в лабораториях, однако, весьма вероятно, найдут свои применения в будущем. Так, например, открытие квантования потока в сверхпроводниках позволило измерять очень слабые магнитные поля (см. главу 25, «Измерение очень слабых магнитных полей»), а квантование сопротивления в квантовом эффекте Холла – определить соотношение h/e² с необычайной точностью.

Нужно подчеркнуть, что, совершая эти открытия, исследователи и не думали о возможных их будущих применениях на практике. Ученые, говоря о важности финансирования фундаментальной науки, часто напоминают об этих истинах политикам. А политики, в свою очередь, предъявляют претензии ученым, что те удовлетворяют свое любопытство, не думая заранее, как будущие результаты повлияют на научно-технический прогресс.