© David Darling and Agnijo Banerjee, 2018

© А. Глущенко, перевод на русский язык, 2021

© А. Бондаренко, художественное оформление, макет, 2021

© ООО “Издательство АСТ”, 2021

Издательство CORPUS ®

Все же математика – наука странная. Числовой ряд бесконечен – но бесконечности бывают разные. Простые числа помогают цикадам выжить. Шар (математический) можно разрезать, а затем сложить обратно без единого зазора так, что получится шар, больше начального в два раза. Или в миллион. Существуют фигуры, имеющие дробную размерность, и кривые, способные заполнить плоскость, не оставив ни малейшего просвета. Сидя на скучной лекции, математик Станислав Улам расчертил лист бумаги на клетки и стал по спирали записывать в них числа, начиная с нуля. Отметив все простые числа, он обнаружил, что многие из них расположились на диагональных прямых. До сих пор никто не может толком объяснить этот факт.

Мы часто забываем о том, насколько странный предмет математика, – столь прочно вошли в нашу повседневную жизнь цифры и вычисления, такие обычные, знакомые еще со школы. Но разве не удивительно то, что наш мозг так хорошо приспособлен к математическому мышлению и что мы способны при желании выполнять сложные абстрактные математические расчеты? Ведь нашим предкам десятки, сотни тысяч лет назад не было никакой нужды решать дифференциальные уравнения или заниматься общей алгеброй, чтобы дожить до репродуктивного возраста и передать свои гены следующему поколению. Знание геометрии высших измерений или теории простых чисел никак не могло помочь им найти пропитание или укрытие. И тем не менее нам самой природой дан мозг, в котором все эти возможности заложены от рождения, который способен с каждым годом открывать все новые и новые удивительные истины о математической вселенной. Эволюция снабдила нас этим умением, но как и зачем? Для чего человеку как биологическому виду даны способности, которые кажутся не более чем забавой для ума?

Математика каким-то странным образом вплетена в саму ткань реальности. Стоит копнуть поглубже, и то, что казалось осязаемыми клочками материи или сгустками энергии, – скажем, электроны или фотоны – вдруг исчезает, превращаясь в нечто бесплотное, в кривую вероятности, оставляя за собой лишь призрачный след в виде набора замысловатых, но завораживающих своей красотой уравнений. В каком-то смысле математика – основа окружающего нас физического мира, его невидимая инфраструктура. И все же она простирается далеко за его пределы, в абстрактные сферы возможного, которое, быть может, никогда не выйдет за рамки чисто умозрительных предположений.

В этой книге мы хотим подробнее поговорить о самых необычных и увлекательных областях математики, в том числе тех, где в самое ближайшее время можно ожидать интереснейших открытий. В одних случаях это будут достижения в области науки и технологий – физики элементарных частиц, космологии, квантовых компьютеров. В других (по крайней мере, на сегодня) это математика ради математики, попытки освоить неизведанное, существующее пока только в нашем воображении. Мы решили не избегать сложных тем. Одна из трудностей, с которыми сталкиваешься, когда пытаешься объяснить далеким от математики людям многие математические проблемы, – это оторванность этих проблем от повседневной, реальной жизни. Но, если постараться, всегда можно нащупать какую-то связь между проблемами, которыми занимаются сегодняшние исследователи и первопроходцы на передовых рубежах математики, и знакомым нам миром – пусть даже при этом приходится пользоваться не такой точной терминологией, какую предпочли бы ученые. Наверное, будет справедливо сказать, что, если какую-то проблему (пусть даже самую запутанную) не получается объяснить человеку с нормальным интеллектом, значит, объясняющему не мешало бы для начала самому подучить предмет.

Эта книга возникла не совсем обычным образом. Один из нас (Дэвид) – писатель, опубликовавший за 35 лет множество книг по астрономии, космологии, физике и философии, и даже энциклопедию развлекательной математики. Второй (Агниджо) – блестящий юный математик и вундеркинд с IQ не ниже 162 баллов по результатам теста общества Менса. На момент написания этих строк он только что вернулся из Венгрии, где проходил подготовку к Международной математической олимпиаде 2017 года. Агниджо начал заниматься с Дэвидом математикой и естественными науками в возрасте 12 лет. Три года спустя мы решили вместе написать книгу.

Совместно мы набросали перечень тем для книги. Дэвид, например, включил в список высшие измерения, философию математики и математику музыки, а Агниджо захотел написать о больших числах (его конек), вычислениях и о загадках простых чисел. С самого начала мы решили сделать акцент на вещах необычных и попросту странных и найти по возможности связь между этой странной математикой и проблемами реального мира, повседневным, житейским опытом. Мы договорились не избегать сложных, “труднообъяснимых” тем, приняв за правило, что, если ты не можешь объяснить что-то простыми словами, значит, сам не очень хорошо в этом разбираешься. Дэвид главным образом отвечал за исторические и философские аспекты каждой главы, а также за истории из жизни, а Агниджо взял на себя техническую часть. Агниджо вычитывал написанное Дэвидом и проверял факты, а Дэвид потом соединял все в окончательную редакцию глав. Алгоритм работал как часы! Надеемся, результат вам понравится.

Пролистывая страницы книги, вы можете заметить, что в ней используются символы вроде x, ω (омега), а то и א (алеф). Время от времени вам будут встречаться уравнения с незнакомыми значками, например 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 (особенно в главах о больших числах и бесконечности). Если вы не математик, пусть вас это не пугает – мы заранее объясним вам, что они обозначают. А пользуемся мы ими просто для краткости, чтобы немножко быстрее и глубже погрузиться в суть вопроса. Один из нас (Дэвид) уже много лет дает частные уроки математики и пока еще не встретил ни одного студента, который не смог бы ее осилить – надо только поверить в себя. И помните: мы все математики от природы, независимо от того, сознаем мы это или нет. Ну а теперь приступим.

Интеллектуальные способности Homo sapiens если и изменились за последние 100 000 лет, то не так уж сильно. Поместите в современную школу детей из эпохи, когда по Земле бродили мастодонты и шерстистые носороги, и они будут развиваться не хуже, чем их сверстники из XXI века. Их мозг был бы способен усвоить и арифметику, и геометрию, и алгебру. А при желании они вполне смогли бы изучить предмет углубленно, а там, глядишь, и стать профессорами математики в Кембридже или Гарварде.

В ходе эволюции наш нейронный аппарат выработал способность выполнять сложные вычисления и постигать такие вещи, как теория множеств и дифференциальная геометрия, – причем задолго до того, как подобным способностям нашлось применение. Есть, кстати, в этом некая загадка: зачем нам этот врожденный талант к высшей математике, если в нем нет очевидной пользы для выживания? А с другой стороны, человеческий род потому и появился и выжил, что человек превосходил конкурентов по интеллекту, способности мыслить логично, планировать наперед и задавать себе вопрос “А что, если?..”. Уступая другим видам в скорости и силе, наши предки вынуждены были полагаться на смекалку и умение просчитывать ситуацию. Логическое мышление стало нашей единственной “сверхспособностью”, а уже из него со временем развилась способность к сложному общению, использованию символов, рациональному толкованию окружающего нас мира.

Как и все животные, мы успешно выполняем сложные математические вычисления не раздумывая, с лету. Чтобы выполнить даже самые простые действия – поймать брошенный мячик (или избежать встречи с хищником, или добыть дичь), – нужно очень быстро решить множество уравнений. Попробуйте запрограммировать на выполнение таких действий робота, и сложность этих вычислений станет вам очевидна. Но огромное преимущество человека в том, что он способен переходить от конкретного к абстрактному – анализировать ситуацию, спрашивать себя “А что произойдет, если?..”, планировать загодя.

С зарождением сельского хозяйства возникла необходимость четко отслеживать смену времен года, а развитие торговли и появление поселений породило потребность в совершении сделок и ведении учета. Как для составления календарей, так и для ведения коммерческой деятельности нужна была какая-то система расчетов. Тут-то и появилась на свет элементарная математика. Одним из регионов, где она стала бурно развиваться, был Ближний Восток. Найденные археологами керамические фишки шумерских торговцев относятся к VIII тысячелетию до нашей эры и показывают, что уже тогда люди овладели представлением чисел. Правда, в то время они еще не отделяли понятие числа от самих предметов, которые нужно было сосчитать. Для счета разных объектов, например овец или кувшинов масла, использовались фишки разной формы. При обмене большим количеством фишек их запечатывали в специальные глиняные контейнеры – буллы. Для проверки содержимого буллу приходилось разбивать. Позже на них стали наносить отметки, указывающие, сколько фишек находится внутри. Со временем из таких символических изображений сформировалась система записи чисел, а сами фишки стали использоваться в качестве примитивной формы денег. Попутно понятие числа отделилось от считаемых предметов – так что, например, пять оставалось пятью, будь то козы или буханки хлеба.

На этом этапе математика кажется неразрывно связанной с повседневной реальностью. Счет и ведение учета – прикладные инструменты земледельца и торговца, и если эти методы справляются со своей задачей, какая разница, что за концепция лежит в их основе? Простая арифметика неотделима от того, что происходит вокруг нас: овца плюс овца – две овцы, две овцы плюс две овцы – четыре овцы. Казалось бы, чего проще? Но стоит задуматься, и вы поймете, что уже произошло нечто странное. Говоря “овца плюс овца”, мы предполагаем, что овцы одинаковы или, по крайней мере, что различия между ними при подсчете не имеют значения. Но овца овце рознь. То есть мы отделили от овец то качество, что объединяет их и отличает от других объектов, а затем произвели над ним действия при помощи другой абстракции, которую мы называем сложением. Это серьезный шаг. На практике, чтобы прибавить одну овцу к другой, бывает достаточно просто пустить их пастись на одно поле. Но из той же практики мы знаем, что все овцы разные, а если копнуть глубже, то, что мы называем “овцой” (как и все остальное, что нас окружает), – неотъемлемая часть вселенной. Вдобавок к этому немного тревожит тот факт, что воспринимаемое нами как объекты окружающего мира (возьмите хоть тех же овец) на деле лишь порождения нашего разума, вызванные к жизни сигналами, воздействующими на органы чувств. Даже если предположить, что овца существует объективно, из физики нам известно, что это сложнейшая временная совокупность находящихся в постоянном движении элементарных частиц. И тем не менее, считая овец, мы способны каким-то образом игнорировать все эти сложности или, точнее, даже не отдавать себе в них отчет в повседневной жизни.

Египтяне хорошо владели практической математикой и с успехом применяли ее при строительстве пирамиды Хефрена в Гизе, изображенной на фото вместе с Большим сфинксом.

Из всех дисциплин математика – самая точная и незыблемая. Естественные науки и другие области человеческой деятельности представляют собой в лучшем случае некоторое приближение к идеалу, постоянно изменяются и эволюционируют. Как заметил немецкий математик Герман Ганкель, “в большинстве наук новое поколение разрушает созданное предыдущим; установленное одним отменяется другим. Только в математике каждое поколение достраивает новый этаж к прежнему зданию”. Это ее отличие от всех других наук неизбежно, оно заложено в самой ее сути – ведь математика начинается с того, что разум извлекает из данного нам в ощущениях только те знания, которые он определяет как наиболее фундаментальные и неизменные. Это приводит к появлению таких понятий, как натуральные числа, сложение и вычитание, позволяющих измерять количество объектов, увеличивать и уменьшать его. Абстрактное понятие количества (“один”, “два”, “три” и так далее) воспринимается как общий признак разных наборов объектов, независимо от того, что это за объекты и насколько сильно отличаются друг от друга отдельные объекты одного типа. Поэтому такое качество, как непреложность, незыблемость, присуще математике изначально и является важнейшим ее достоинством.

Математика существует – в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора – она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии – их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей – в нашем случае математических объектов – занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа. Прусский математик и логик Леопольд Кронекер считал, что человеку были даны только целые числа: по его выражению, “целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих”. Английский астрофизик Артур Эддингтон пошел еще дальше, сказав: “Математики не существует, пока мы ее не создаем”. Наверняка люди и дальше будут спорить о том, что же такое математика – открытие, изобретение или, возможно, сочетание первого и второго, порожденное синергизмом разума и материи. Вряд ли на этот вопрос есть простой ответ.

Одно ясно: в математике единожды доказанное положение навсегда становится истиной, не допускающей споров и не подверженной влиянию субъективных факторов. “Я люблю математику, – заметил Бертран Рассел, – за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что ее ничего, в сущности, не связывает ни с нашей планетой, ни со всей этой случайной вселенной”. Давид Гильберт высказал похожую мысль: “Математика не знает рас и географических границ; для математики весь культурный мир представляет собой единую страну”. Эта беспристрастность, универсальность математики – ее важнейшее достоинство, которое, однако, никак не умаляет ее эстетической привлекательности для человека с наметанным глазом. “Красота – самый первый критерий; для некрасивой математики в мире нет места”, – заявил английский математик Годфри Харолд Харди. Ту же мысль, но с точки зрения теоретической физики высказал Поль Дирак: “Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой”[1].

Но у универсальности математической науки есть и обратная сторона: она может показаться холодной и стерильной, лишенной страсти и чувства. В результате может оказаться, что, хотя разумные существа иных миров и пользуются той же математикой, что и мы, это не самый лучший язык для общения на волнующие нас темы. “Многие предлагают использовать математику для общения с инопланетянами”, – прокомментировал ситуацию исследователь из Института поиска внеземного разума (SETI) Сет Шостак. Более того, голландский математик Ханс Фройденталь даже разработал для этого целый язык (Lincos). “Однако, – продолжает Шостак, – я лично считаю, что на языке математики трудно будет описать такие понятия, как любовь или демократия”.

Любая наука (физика уж точно) стремится в конечном итоге свести то, что она наблюдает в окружающей реальности, к математическому описанию. Специалисты по космологии, физике элементарных частиц и аналогичным дисциплинам радуются как дети, когда им удается что-нибудь измерить или выразить количественно, а затем отыскать между этими количествами зависимость. Мысль о том, что вселенная в своей основе математична, имеет древние корни и восходит еще к пифагорейцам, а то и к более раннему периоду. Еще Галилей видел мир как “великую книгу”, написанную на языке математики, а много позже, в 1960 году, венгерско-американский физик и математик Юджин Вигнер написал статью под названием “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”.

В природе мы не сталкиваемся с числами непосредственно, поэтому не сразу очевидно, что математика – во всем, что нас окружает[2]. Зато мы видим геометрические формы – почти точные сферы планет и звезд, криволинейные траектории брошенных предметов и движущихся по орбите объектов, симметрию снежинок и многое другое, – а их уже можно описать с помощью числовых соотношений. А кроме них есть еще закономерности, которые также можно перевести на язык математики, в работе электрического и магнитного поля, во вращении галактик, в поведении электронов в атомах. Эти закономерности и описывающие их уравнения обосновывают отдельные события и явления и представляют собой глубинные, неподвластные времени истины, лежащие в основе постоянно меняющегося сложного и многогранного мира, в котором мы все существуем. Немецкий физик Генрих Герц, первым убедительно доказавший существование электромагнитных волн, писал: “Невозможно избавиться от ощущения, что математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено”[3].

Несомненно, что современная наука имеет под собой прочный математический фундамент. Но это не обязательно означает, что сама реальность математична по своей сути. Еще со времен Галилея наука разделяла субъективное и объективное, или поддающееся измерению, и сосредоточивалась именно на последнем. Ученые делают все возможное, чтобы исключить любые факторы, относящиеся к наблюдателю, и принимать во внимание только то, что, по их мнению, находится за пределами “помех”, вносимых нашим мозгом и органами чувств. Весь путь развития, пройденный современной наукой, практически гарантирует, что в ее основе будет лежать математика. Но тогда за бортом остается множество областей, не так легко поддающихся научному анализу. Наиболее очевидная из них – сознание. Может быть, когда-нибудь мы построим добротную, всеобъемлющую модель работы мозга, разобравшись во всех нюансах функционирования памяти, обработки зрительной информации и многого другого. Но вопрос о том, для чего нам дан еще и внутренний опыт, ощущение того, “каково это – быть”, остается (и, возможно, всегда останется) за пределами традиционной науки, а значит, и математики.

Для чего в процессе эволюции человеческий мозг развил в себе такие выдающиеся способности к совершенно ненужной ему для выживания математике?

С одной стороны, есть сторонники платонизма, считающие математику уже существующей территорией, которая лишь ждет, пока мы ее исследуем. С другой стороны, есть те, кто утверждает, что мы изобретаем математику постепенно, по мере возникновения необходимости в ней. И у той и у другой точки зрения есть слабые стороны. Платоники не в силах толком объяснить, где именно вне физической вселенной и человеческого разума существуют такие вещи, как число пи. А их оппоненты не могут отрицать тот факт, что планеты, например, будут вращаться вокруг Солнца по эллиптической орбите независимо от наших математических расчетов. Третья философская школа занимает промежуточную позицию: ее представители считают, что математика далеко не так эффективно описывает реальный мир, как это иногда пытаются представить. Да, уравнения помогают нам направить космический аппарат на Луну или Марс, спроектировать новый самолет или предсказать погоду на несколько дней вперед. Но эти уравнения – всего-навсего приближение той реальности, которую они призваны описывать; к тому же они применимы лишь к малой части явлений, происходящих вокруг нас. Превознося успехи математики, сказал бы реалист, мы умаляем значение огромного количества явлений, которые слишком сложны или плохо изучены для того, чтобы укладываться в математическую форму, либо по самой своей природе не поддаются такому анализу.

А может быть, на самом деле вселенная по своей природе не математична? В конце концов, ни в космосе, ни в содержащихся в нем объектах нет ничего явно математического. Мы, люди, пытаемся дать наблюдаемым нами явлениям рациональное объяснение, упростить их, чтобы смоделировать какие-то аспекты устройства вселенной. При этом математика оказывает нам неоценимую помощь в познании этой самой вселенной. Но это не обязательно означает, что математическая наука – нечто большее, чем инструмент, созданный нами для собственного удобства. Однако же, если математики не было во вселенной изначально, как получилось, что мы смогли изобрести ее и применить для такой цели?

Всю математику можно грубо разделить на две области – прикладную и чистую[4]. Чистая математика – это наука ради науки. Прикладные математики применяют свои знания для решения практических задач. Но зачастую достижения чистой математики, не имеющие, казалось бы, никакого практического применения, позднее оказываются на удивление полезными для ученых-практиков и инженеров. В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон сформулировал идею кватернионов – обобщений обычных чисел на четырехмерное пространство. На тот момент они не представляли никакого практического интереса, но спустя больше ста лет нашли широкое применение в робототехнике, компьютерной графике и видеоиграх. Задача о плотной упаковке сфер в трехмерном пространстве, которую впервые попытался решить Иоганн Кеплер в 1611 году, используется для того, чтобы более эффективно передавать информацию по шумным каналам связи. Исследования в теории чисел – самой чистой математической дисциплине, которую считали почти не имеющей практической ценности, – привели к важным открытиям в области разработки криптостойких шифров. А новая геометрия Бернхарда Римана, изучавшая искривленные поверхности, более пятидесяти лет спустя оказалась идеальной основой для создания общей теории относительности Эйнштейна – новой теории тяготения.

В июле 1915 года один из величайших ученых всех времен Альберт Эйнштейн посетил Гёттингенский университет, где произошла его встреча с одним из самых выдающихся математиков той эпохи Давидом Гильбертом. А в декабре следующего года оба ученых почти одновременно опубликовали уравнения, описывающие гравитационное поле в эйнштейновской общей теории относительности. Но если для Эйнштейна сами уравнения были целью его работы, то Гильберт надеялся, что они станут шагом на пути к осуществлению еще более грандиозного замысла. Им двигало страстное желание найти фундаментальные принципы, или аксиомы, лежащие в основе всей математики. Для этого, по мнению Гильберта, нужно было в том числе сформулировать минимальный набор аксиом, из которых можно было бы вывести уравнения не только общей теории относительности Эйнштейна, но и любой другой физической теории. Курт Гёдель своими теоремами о неполноте подорвал веру в то, что математика способна дать ответы на все вопросы. И до сей поры остается неясным, насколько математичен мир, в котором мы живем. Или же это только видимость?

Целые разделы математики, возможно, так никогда и не найдут практического применения, а будут лишь приводить к открытию все новых направлений фундаментальных исследований. С другой стороны, как знать, может быть, законы чистой математики каким-то неожиданным образом действуют в физической вселенной – если и не в нашей, то в каких-нибудь других вселенных, составляющих, по подозрению космологов, мультивселенную непостижимого масштаба. Быть может, все, что истинно и справедливо с точки зрения математики, где-то, когда-то, каким-то образом представлено в той реальности, в которую мы заключены. Ну а пока мы отправимся в увлекательнейшее путешествие по просторам познания, исследуя новые рубежи чисел, пространства и человеческого разума.

В последующих главах мы с вами попытаемся глубже разобраться в некоторых вопросах, с одной стороны, необычных и поразительных, а с другой – имеющих самое непосредственное отношение к окружающему нас миру. Да, кое-что в математике может показаться заумным, надуманным или даже бессмысленным, этакой странной и запутанной игрой воображения. Но в своей основе математика – наука практичная, уходящая корнями в торговлю, сельское хозяйство и архитектуру. И хотя в своем развитии она и претерпела превращения, которые даже в голову не могли прийти нашим предкам, все же по своей сути она остается тесно связанной с повседневной жизнью.

Мы живем в мире трех измерений – вверх-вниз, вправо-влево и вперед-назад или любые другие три направления, расположенные под прямыми углами друг к другу. Можно легко представить себе что-нибудь одномерное, например прямую линию. То же и с двумерным объектом – скажем, квадрат, нарисованный на листе бумаги. Но как вообще можно научиться видеть помимо знакомых нам измерений еще одно? Где находится дополнительная ось, расположенная перпендикулярно к тем, что мы уже знаем?

Эти вопросы могут показаться чисто умозрительными. Ведь в нашем мире всего три измерения – так зачем ломать голову и переживать из-за четвертого, пятого и так далее? Дело в том, что дополнительные измерения могут понадобиться ученым, чтобы объяснить, что происходит на субатомном уровне. В этих дополнительных измерениях, возможно, кроется ключ к пониманию великого закона вещества и энергии. А на более практическом уровне четырехмерное зрение могло бы открыть огромные возможности в медицине и образовании.

Иногда четвертое измерение толкуют не просто как дополнительную ось в пространстве. В конце концов, измерять можно не только пространство. В физике, например, основные “измерения”, образующие кирпичики, из которых строятся другие величины, – это длина, масса, время и электрический заряд. В других контекстах физики зачастую говорят о трех пространственных измерениях и одном – временно́м, особенно с тех пор, как Альберт Эйнштейн доказал, что в нашем мире они всегда связаны в единое целое под названием “пространство-время”. Но и до теории относительности люди строили догадки о возможности перемещаться вперед и назад во временно́м измерении, подобно тому как мы можем свободно передвигаться в пространстве. В опубликованном в 1895 году романе “Машина времени” Герберт Уэллс объясняет, например, почему не может существовать вневременный куб. Наблюдаемый нами мгновение за мгновением куб – всего лишь проекция четырехмерного тела, имеющего длину, ширину, высоту и продолжительность существования. “Единственное различие между Временем и любым из трех пространственных измерений, – говорит Путешественник во Времени, – заключается в том, что наше сознание движется по нему”[5].

Идея четвертого измерения пространства вызывала живейший интерес и в Викторианскую эпоху, причем не только у математиков. Последователи еще одного поголовного увлечения того времени – спиритуализма – также взяли ее на вооружение. В конце XIX века громкие заявления медиумов и перспектива общения с умершими привлекали многих людей, в числе которых были такие знаменитости, как Артур Конан Дойл, Элизабет Барретт Браунинг и Уильям Крукс. А вдруг, задумывались люди, загробная жизнь существует в четвертом измерении, параллельном или пересекающимся с нашим, и духи усопших могут свободно переходить в наш материальный мир и обратно?

Из-за неспособности представить себе, как могут выглядеть тела в более многомерном мире, у нас возникает соблазн считать четвертое измерение чем-то таинственным, находящимся за гранью известного нам мира. А вот у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений – для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность – это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты – только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически – одно измерение.

Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг – это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность – это одномерная фигура, которую можно “вложить” в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr². Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера – двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr², а ограниченный ею объем – 4/3 πr³. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют “гиперсферами”, указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера – это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство. Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность – это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера – искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера – это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π²r³. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство, гиперобъем которого равен 1/2 π²r⁴. Доказать истинность этих фактов о трехмерной сфере не намного сложнее, чем доказать то же для окружности или обычной сферы, и для этого вовсе не обязательно представлять себе, как трехмерная сфера выглядит.

Так же трудно нам представить, как может выглядеть четырехмерный куб, или тессеракт (хотя, как мы увидим позже, его вполне можно попытаться изобразить в двух или трех измерениях). И тем не менее совсем не сложно описать переход от квадрата к кубу, а от него – к тессеракту: у квадрата 4 вершины (угла) и 4 ребра (стороны); у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней; у тессеракта 16 вершин, 32 ребра, 24 грани и 8 “ячеек” (трехмерных эквивалентов граней), состоящих из кубов. Вот именно этот последний факт и сводит к нулю все наши попытки наглядно представить себе тессеракт: восемь его ячеек расположены таким образом, что ограничивают собой четырехмерное пространство, точно так же как внутри шести квадратных граней куба заключено трехмерное пространство.

Обычно, чтобы получить хоть какое-то представление о четвертом измерении, имеет смысл провести аналогию с привычным нам третьим. Например, если задаться вопросом, как бы выглядела трехмерная гиперсфера (лежащая в четырехмерном пространстве), если бы она прошла через наше пространство, полезно рассмотреть, что происходит, когда обычная сфера проходит через плоскость. Предположим, что эту плоскость населяют двумерные существа. Глядя вдоль поверхности своего плоского мира – а больше ничего они и не могут, ведь объема для них не существует, – они видят лишь точки или линии разной длины, которые умеют интерпретировать как двумерные фигуры. В момент соприкосновения нашей объемной сферы с их двумерным пространством они увидят ее как точку, которая постепенно вырастает в окружность, достигает максимального диаметра, равного диаметру сферы, а потом снова сжимается до точки и исчезает, когда сфера полностью проходит через плоскость. Точно так же, если трехмерная гиперсфера пересечет наше пространство, мы увидим ее как точку, которая раздувается, словно пузырь, до обычной сферы максимального диаметра, а потом сжимается и наконец исчезает. Истинную природу трехмерной гиперсферы, ее дополнительное измерение, мы увидеть не сможем, но вот ее таинственное появление, рост и исчезновение заставят нас немало удивиться.

Четырехмерные существа, попавшие в наш мир, обладали бы, с нашей точки зрения, поистине магическими способностями. Они запросто могли бы, например, взяв левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и превратить в правый. Если это кажется непонятным, представьте себе двумерный ботинок – нечто вроде бесконечно тонкой подошвы, имеющей форму правой или левой ступни. Вырезаем его из бумаги, поднимаем, переворачиваем и кладем на место. И пожалуйста – был правый ботинок, стал левый! Двумерное существо такой трюк поверг бы в полное изумление, а нам, вооруженным третьим измерением, это проще простого.

В принципе, четырехмерному существу ничего не стоило бы перевернуть в четвертом измерении и целого (трехмерного) человека. Впрочем, отсутствие прецедентов, когда в человеке все правое и левое вдруг поменялось бы местами, дает основания полагать, что в реальности такого не происходило. В рассказе “История Платтнера” Герберт Уэллс описывает удивительный случай, происшедший со школьным учителем Готфридом Платтнером, который после взрыва в кабинете химии исчезает на девять дней. Вернувшись, он представляет собой зеркальное отражение предыдущего себя, но его рассказ о том, что произошло во время его отсутствия, встречают с недоверием. Если человека действительно “перевернуть” таким образом в четвертом измерении, это мало того что вызовет у него шок при виде собственного отражения в зеркале (лица людей на удивление асимметричны), но и не лучшим образом отразится на здоровье. Многие важнейшие вещества в нашем организме, в том числе глюкоза и большинство аминокислот, имеют определенную ориентацию: например, молекулы ДНК, имеющие форму двойной спирали, всегда закручены как винт с правой резьбой. Если у всех них поменять ориентацию, мы умрем от истощения – ведь в таком преображенном виде многие из необходимых питательных веществ растительного и животного происхождения наш организм просто не сможет усвоить.

Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, – ленты Мёбиуса – и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение. Во второй половине XIX века среди математиков, изучавших новую область – многомерную геометрию, – выделялись трое ученых: швейцарец Людвиг Шлефли, англичанин Артур Кэли и немец Бернхард Риман.

Свой главный труд Theorie der Vielfachen Kontinuität (“Теория многократной континуальности”) Шлефли начал со слов: “Настоящий трактат… это попытка обосновать и выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь аналитической геометрией n измерений, содержит таковую для плоскости и пространства в качестве частных случаев для n = 2, 3”[6]. Далее он описал многомерные аналоги многоугольников и многогранников, назвав их “полисхемами”. Сейчас для них используют термин “политопы”[7], придуманный немецким математиком Рейнгольдом Хоппе и введенный в английский язык Алисией Буль Стотт, дочерью английского математика и логика, автора булевой алгебры Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль, математика-самоучки и автора книг о математике.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого – правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр. Четырехмерные эквиваленты платоновых тел – это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и “двойственный” ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани ребрами, а ребра гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа – стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник с 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково – в каждом по три.

Благодаря работам Кэли, Римана и других ученых, математики научились выполнять сложные алгебраические вычисления для четырехмерного пространства и создали новые, многомерные геометрии, выходившие за рамки правил, установленных Евклидом. Но вот что им все равно никак не удалось, так это начать видеть в четырех измерениях. А возможно ли это вообще? Этот вопрос не давал покоя британскому математику, преподавателю и автору научно-фантастических романов Чарльзу Говарду Хинтону. Ему не было и тридцати, когда он начал преподавать в частных английских школах: сначала в Челтнемском колледже (графство Глостершир), а потом в Школе Аппингем (графство Ратленд), где его коллегой (и главным тамошним преподавателем математики) был Говард Кэндлер, друг Эдвина Эбботта. Именно тогда, в 1884 году, Эбботт опубликовал свой ставший теперь классическим сатирический роман “Флатландия: роман о четвертом измерении”[8]. А четырьмя годами раньше Хинтон написал свою статью об альтернативных пространствах под названием “Что такое четвертое измерение?”, в которой выдвинул идею, что частицы, движущиеся в трехмерном пространстве, могут быть представлены как последовательные поперечные сечения прямых и кривых линий, существующих в четвертом измерении. Возможно, и мы сами в реальности – четырехмерные существа, “наши же последовательные состояния… соответствуют… прохождению их через трехмерное пространство, которым ограничено наше сознание”[9]. Об отношениях между Эбботтом и Хинтоном известно немного, но о работе друг друга они точно знали (и упоминали это в своих трудах) и какой-то контакт между ними был, пусть даже опосредованный – через общего друга и коллегу. Кэндлер наверняка обсуждал с Эбботтом молодого преподавателя из Аппингема, так открыто говорившего и писавшего об иных измерениях.

Обложка первого издания “Флатландии” Эдвина Эбботта.

Хинтон был, мягко говоря, чужд условностям. В то время, когда он преподавал в Англии, он женился на Мэри Эллен Буль, дочери вышеупомянутых Мэри Эверест Буль (а она сама была племянницей Джорджа Эвереста, в честь которого названа высочайшая гора мира) и Джорджа Буля. К сожалению, через три года после заключения брака он тайно обвенчался с другой женщиной, Мод Флоренс. С ней он познакомился, когда работал в Челтнемском колледже, она родила ему двойню. Не исключено, что на поведение Чарльза повлияли взгляды его отца, хирурга Джеймса Хилтона, который возглавлял секту, практикующую полигамию и свободную любовь. Так или иначе, Хинтона судили в Олд-Бейли[10] и признали виновным в двоеженстве. Несколько дней ему пришлось провести в тюрьме. После этого он несколько лет учительствовал в Японии, куда бежал вместе с (первой) семьей, а позже переехал в США, где получил место преподавателя математики в Принстонском университете. Там в 1897 году он сконструировал пушку, которая с помощью пороховых зарядов выстреливала бейсбольные мячи со скоростью от 40 до 70 миль в час. Газета The New York Times в выпуске от 12 марта того года описывала устройство как “тяжелое орудие со стволом длиной около двух с половиной футов, имеющее в задней части ствола приспособление для присоединения ружья”. Главным достоинством пушки была возможность подачи крученых мячей, которая достигалась посредством “двух изогнутых стержней, вставлявшихся в ствол”. Несколько сезонов команда университета периодически пользовалась пушкой для тренировок, но в конце концов ее сочли слишком опасной. Неясно, стали ли причиненные орудием травмы одной из причин увольнения Хинтона из Принстона. Если так, это не помешало ему вернуться к своему изобретению в Миннесотском университете, где он недолго преподавал в 1900 году, до того как получил должность в Военно-морской обсерватории США в Вашингтоне.

Увлечение Хинтона четвертым измерением началось еще во время преподавания в Англии, когда многие из писавших об этом предполагали наличие связи между высшими измерениями и спиритуализмом. В 1878 году профессор астрономии Лейпцигского университета Фридрих Цёлльнер опубликовал в The Quarterly Journal of Science (редактором там был химик и известный спиритуалист Уильям Крукс) статью “О пространстве четырех измерений”. Излагая в начале статьи математическую основу своей теории, Цёлльнер сделал отсылку к историческому докладу Бернхарда Римана “О гипотезах, лежащих в основании геометрии”, опубликованному в 1868 году, спустя два года после смерти автора и через 14 лет после того, как он был впервые прочитан Риманом в виде лекции, когда тот был еще студентом Гёттингенского университета. Риман развил идею, впервые высказанную его научным руководителем в Гёттингене, великим Карлом Гауссом, о том, что трехмерное пространство может иметь кривизну (точно так же как двумерная поверхность, скажем, сфера), и обобщил понятие кривизны на пространства произвольной размерности. Результат, известный как эллиптическая, или риманова, геометрия, позднее лег в основу общей теории относительности Эйнштейна. Цёлльнер также заимствовал предположение молодого ученого Феликса Клейна, занимавшегося проективной геометрией: в своей опубликованной в 1874 году статье тот показал, что развязывать узлы и разъединять продетые одно в другое кольца возможно, просто перенося их в четвертое измерение и там переворачивая. Так, начав с прочного математического обоснования, Цёлльнер подготовил почву для изложения своей теории – объяснения того, как ду́хи, существующие, по его мнению, в высших измерениях, способны выполнять удивительные трюки (особенно с развязыванием узлов), которые он наблюдал на спиритических сеансах знаменитого медиума Генри Слейда (разоблаченного впоследствии как мошенника и шарлатана). Как и Цёлльнер, Хинтон считал, что в рамках трехмерного восприятия действительности нас удерживает только сила привычки и что четвертое измерение, возможно, находится рядом с нами – нужно лишь научиться его видеть.

Хотя представить себе четырехмерный объект затруднительно, нарисовать его плоское изображение довольно легко, особенно если это четырехмерный аналог куба, для которого Хинтон придумал термин “тессеракт”. Для начала нарисуйте два квадрата, слегка отступающие друг от друга, затем соедините их углы прямыми линиями. У вас получится изображение куба в перспективе – ваше воображение придает ему объем, как бы разделяя квадраты в пространстве. Теперь нарисуйте два куба, соединенные углами. Будь у нас четырехмерное зрение, мы увидели бы их как два куба, разделенные в четвертом измерении, – то есть как перспективное изображение тессеракта. К сожалению, такие плоские изображения четырехмерных объектов слабо помогают нам понять, как те выглядят в действительности. Хинтон осознал, что научиться видеть в четырех измерениях легче, наблюдая трехмерные модели, которые при вращении демонстрируют различные аспекты четырехмерных объектов: по крайней мере, при этом мы рассматриваем перспективное изображение реального объекта, а не перспективное изображение другого перспективного изображения. Для этого он придумал хитроумное наглядное пособие в виде набора разноцветных деревянных кубиков с гранью в один дюйм. Полный набор состоял из 81 кубика, раскрашенного в 16 цветов, из 27 “плиток”, использовавшихся для демонстрации аналогии с трехмерными объектами, которые можно построить в двумерном пространстве, и из 12 разноцветных “каталожных” кубов. Путем сложных манипуляций с кубиками, детально описанных им в книге “Четвертое измерение”, впервые опубликованной в 1904 году, Хинтон сумел представить различные поперечные сечения тессеракта, а затем, запомнив, какие именно кубы и в какой ориентации составляют эти сечения, заглянуть в многомерный мир.

Действительно ли Хинтон научился создавать четырехмерные образы в своем воображении? Удалось ли ему в дополнение к привычным нам направлениям вверх-вниз, вперед-назад и вправо-влево увидеть “ката” и “ана” (так он назвал два противоположных направления, существующие в четвертом измерении)? Не имея возможности залезть к нему голову, мы вряд ли это узнаем. Нам точно известно, что не он один пытался создать трехмерные модели четырехмерных объектов. Он продемонстрировал кубики сестре своей жены Алисии Буль Стотт, которая интуитивно почувствовала геометрию четвертого измерения и мастерски освоила создание картонных моделей, представляющих собой трехмерные сечения четырехмерных политопов. Вопрос тем не менее остается: можно ли таким способом выработать у себя настоящее четырехмерное видение, или же такие модели просто помогают понять и освоить геометрию четырехмерных объектов?

В каком-то смысле способность видеть дополнительное измерение сродни способности различать новый цвет, который мы раньше не видели. В 1923 году французскому импрессионисту Клоду Моне в возрасте 82 лет сделали операцию по удалению помутневшего хрусталика (катаракты) левого глаза. После этого преобладающие цвета в его произведениях поменялись с теплой гаммы оттенков красного и коричневого на синие, голубые и фиолетовые. Он даже переписал некоторые свои работы, добавив, например, к белым кувшинкам оттенки голубого. Это дало основания предположить, что после операции Моне стал видеть ультрафиолетовый участок спектра. Возможность такого изменения зрения подтверждается известным фактом, что хрусталик глаза человека не пропускает свет с длиной волны меньше 390 нанометров (миллиардных долей метра) – это нижний предел фиолетового диапазона, – хотя сама сетчатка способна воспринимать свет с длинами волн до 290 нанометров, то есть ультрафиолетовый. Есть также немало более поздних свидетельств, когда после удаления хрусталика как дети, так и люди в возрасте приобретают способность видеть участок спектра за пределами фиолетового. Один из наиболее подробно описанных случаев произошел с бывшим военным летчиком, инженером из штата Колорадо Алеком Комарницким, которому заменили пораженный катарактой хрусталик на искусственный, пропускавший часть ультрафиолетового излучения. В 2011 году тестирование с помощью монохроматора в лаборатории фирмы Hewlett-Packard показало, что Комарницкий видит свет с длинами волн до 350 нанометров как темно-фиолетовый и даже различает яркость излучения, находящегося в еще более дальнем участке ультрафиолетового спектра, вплоть до 340 нанометров.

Вращение тессеракта. Вверху: традиционное изображение тессеракта как “куба в кубе”. В середине: результат вращения на небольшой угол; центральный куб начал смещаться и преобразовываться в правый куб. Внизу: в результате дальнейшего вращения тессеракта центральный куб переместился гораздо ближе к тому месту, где вначале находился правый куб. В итоге тессеракт совершает полное вращение и возвращается в первоначальное состояние. Важно, что в процессе вращения тессеракт не претерпел никакой деформации, а все видимые на иллюстрациях искажения – результат изменения перспективы.

У большинства из нас в сетчатке три типа колбочек (рецепторов, отвечающих за цветовое зрение). У основной массы людей, страдающих так называемой цветовой слепотой, а также у многих других млекопитающих, в том числе собак и широконосых обезьян, типов колбочек только два, поэтому они видят приблизительно 10 000 оттенков цветов, а не миллион или около того, как все остальные. Однако известны редкие случаи, когда в сетчатке человека удавалось обнаружить четыре рабочих типа колбочек. Такие люди (“тетрахроматы”) способны, по оценкам ученых, различать почти на сто миллионов оттенков больше, чем остальные. Но поскольку им, как и всем нам, свойственно полагать, что цветовое зрение у всех одинаковое, без специального тестирования они могут далеко не сразу осознать свои сверхспособности.

Итак, в определенных обстоятельствах люди могут видеть то, что большинству из нас недоступно. Если есть люди, видящие ультрафиолетовое излучение или различающие больше оттенков цветов, чем другие, то почему не быть и таким, которые могут видеть четвертое измерение? Судя по всему, наш мозг способен научиться обрабатывать сенсорную информацию, которую мы обычно не воспринимаем. Не исключено, что он может также научиться создавать в нашем воображении четырехмерные образы.

Сегодня компьютеры и другие передовые технологии дают нам огромное преимущество в поисках возможности визуализировать мир четырех измерений. Можно легко создать анимацию каркасной модели тессеракта – например, показать, как в процессе вращения меняется его изображение на плоском экране. Наш мозг, конечно, все равно интерпретирует то, что мы видим, как странное поведение сопряженных друг с другом кубов, а не как четырехмерное изображение. И все-таки мы сознаем, что перед нами происходит нечто необычное, что невозможно объяснить с точки зрения привычных трех измерений. Есть ли надежда, что сегодняшние (или завтрашние) технологии позволят нам увидеть четвертое измерение непосредственно?

Существует точка зрения, согласно которой, что бы там ни говорили Хинтон и другие, человек никогда не сможет по-настоящему видеть в четырех измерениях, поскольку весь мир наш безнадежно трехмерен, и мозг наш трехмерен, и весь аппарат, которым снабдила нас эволюция, способен интерпретировать получаемую от органов чувств информацию только в трехмерном контексте. Никакие усилия человеческого разума не смогут переместить частицы, из которых состоят наши тела, в иную плоскость бытия. И никакие чудеса инженерной мысли никогда не позволят нам создать четырехмерный объект, например настоящий тессеракт. Это, впрочем, никогда не останавливало писателей-фантастов, в чьем воображении то и дело возникают всевозможные странные стечения обстоятельств, приводящие к тому, что у обычного трехмерного объекта появляется дополнительное измерение. В рассказе Роберта Хайнлайна “Дом, который построил Тил”, впервые опубликованном в феврале 1941 года в журнале Astounding Science Fiction, изобретательный инженер спроектировал дом, имеющий восемь кубических комнат, расположенных в виде трехмерной развертки тессеракта. К несчастью, вскоре после завершения строительства происходит землетрясение – и дом складывается в реальный гиперкуб, а рискнувшие войти в него оказываются полностью сбитыми с толку происходящими внутри явлениями. В рассказе “Лист Мёбиуса” (1950 года) часть предельно запутанной системы Бостонского метрополитена оказывается в четвертом измерении вместе с поездом и всеми его пассажирами. Правда, в конце концов все благополучно прибывают в пункт назначения. Автор рассказа Армин Джозеф Дейч, астроном Гарвардской обсерватории (в рассказе, кстати, одна из станций метро называется “Гарвард”), обыгрывает тему бутылки Клейна – односторонней поверхности, которая может существовать только в четырех измерениях, – и ленты Мёбиуса.

Художники тоже пытались запечатлеть в своих произведениях суть четырехмерного пространства. В своем опубликованном в 1936 году “Манифесте димензионистов” венгерский поэт и теоретик искусства Карой Тамко-Ширато утверждает, что в результате эволюции искусства “литература покинула линию и вошла в плоскость… Живопись покинула плоскость и вошла в пространство… [а] скульптура вышла из замкнутых, неподвижных форм”. За этим, продолжает Тамко-Ширато, последует “художественное завоевание четырехмерного пространства, до сих пор остававшегося абсолютно лишенным искусства”. Завершенное Сальвадором Дали в 1954 году “Распятие (Corpus Hypercubus)” объединяет классическое изображение Христа с разверткой тессеракта. В лекции, прочитанной в 2012 году в Музее Сальвадора Дали, геометр Томас Бэнчофф, консультировавший художника по математическим вопросам, связанным с его картинами, объяснял, что Дали пытался взять “объект из трехмерного мира и вынести за его пределы… Целью этого действа было изобразить одновременно две перспективы – два наложенных друг на друга креста”. Подобно ученым XIX века, пытавшимся рационально обосновать спиритуализм наличием бытия в некоем высшем пространстве, Дали использовал идею четвертого измерения, чтобы объединить религиозное с физическим.

У физиков XXI века есть новый повод заинтересоваться высшими измерениями: теории струн. Согласно этим теориям, субатомные частицы, такие как электроны и кварки, описываются не как точки в пространстве, а представляют собой одномерные вибрирующие “струны”. Самое странное свойство этих теорий вот в чем: чтобы быть математически согласованными, им необходимо наличие у пространства-времени, в котором мы живем, дополнительных измерений. Одна из этих теорий, называемая теорией суперструн, исходит из существования десяти измерений, ее разновидность, известная как М-теория, оперирует одиннадцатью, а еще одна, так называемая бозонная теория струн, требует наличия целых двадцати шести измерений. Все эти дополнительные измерения “компактифицированы”, то есть значимы только на фантастически малых расстояниях. Быть может, когда-нибудь мы научимся “усиливать” или “разворачивать” эти измерения или даже наблюдать их как есть. А пока (и в обозримом будущем) придется ограничиться хорошо знакомыми нам тремя макроскопическими измерениями пространства. Так что вопрос о том, в силах ли мы представить себе, как в реальности выглядит четырехмерный объект, остается открытым.

Наш опыт зрительного восприятия мира строится на том, что свет, проходя через глазное яблоко, попадает на сетчатку и создает два плоских изображения. Светочувствительные клетки сетчатки преобразуют свет в электрические сигналы, которые передаются в зрительную кору головного мозга, а уже там двумерная информация реконструируется в трехмерную. Два глаза позволяют нам видеть объект под немного различными углами, а мозг еще в нашем юном возрасте обучается интерпретировать эти различия как разницу в перспективе и строить трехмерное изображение. Но даже закрыв один глаз, мы не переключаемся мгновенно в двумерное толкование мира. Смотря на мир одним глазом, мы все равно получаем от него “подсказки” в виде искажений перспективы, игры света и тени, которые позволяют нам в своем воображении воссоздать объем видимого. А еще для того, чтобы усилить ощущение трехмерности, мы можем двигаться или крутить головой, изменяя угол зрения; можем дополнять то, что видим, информацией от других органов чувств – слуховой, осязательной. Мы так наловчились добавлять к картинке лишнее измерение, что, смотря кино на плоском экране телевизора, автоматически, без всяких 3D-технологий воспринимаем его как объемное.

Спрашивается: если мы способны построить трехмерное изображение из получаемой нами двумерной картинки, можем ли мы, используя трехмерную зрительную информацию, создать в своем воображении мысленный образ четвертого измерения? Наша сетчатка плоская от природы, но у электронной технологии нет такого ограничения. Установив в разных местах достаточное количество фотокамер или других устройств для получения изображений, мы можем собирать информацию одновременно с какого хотим количества точек, под любыми углами. Но все же для формирования четырехмерного изображения этого мало. Наблюдатель с реальным четырехмерным зрением, смотря на объект в нашем мире, способен был бы видеть не только всю его трехмерную поверхность, но одновременно и то, что находится внутри. К примеру, если вы запрете свои ценности в сейфе, четырехмерное существо сможет, бросив на него один лишь взгляд, не только увидеть сейф одновременно со всех сторон, но и заглянуть внутрь (а при желании и достать его содержимое!). И это не потому, что подобное существо обладает рентгеновским зрением и способно видеть сквозь стены, нет. Просто у него есть возможность использовать дополнительное измерение. Мы используем ту же возможность, глядя на замкнутое пространство в двумерном мире. Нарисуйте квадрат на бумаге – пусть это будет двумерный сейф, – а внутри него какие-нибудь драгоценности. Житель Флатландии, обитающий в плоскости своей двумерной страны, увидит только внешнюю границу сейфа – отрезок прямой. Мы же, смотря на лист бумаги – флатландский мир – сверху, видим одновременно и линии, образующие стенки сейфа, и его содержимое и можем, протянув руку, вынуть из него двумерные драгоценности. Флатландец несказанно удивился бы тому, как мы сумели, не проделав ни единого отверстия в стенках, увидеть то, что внутри сейфа, и достать спрятанное. Точно так же и наблюдатель, рассматривающий наш мир из своего четвертого измерения, смог бы одновременно видеть и снаружи, и изнутри все составные части любого трехмерного объекта – будь то дом, автомобиль или человеческое тело.

Один из возможных способов создать если не четырехмерное зрение, то хотя бы его иллюзию – это сконструировать трехмерную сетчатку, состоящую из множества слоев, на каждый из которых проецируется уникальное сечение трехмерного объекта. Информацию с такой искусственной сетчатки можно было бы передавать непосредственно в человеческий мозг таким образом, чтобы у его обладателя был доступ одновременно ко всем сечениям – в точности как у настоящего четырехмерного наблюдателя. В результате получилась бы пусть не реальная четырехмерная картинка, но нечто подобное образу трехмерного объекта, который мы увидели бы, рассматривая его “с высоты” четвертого измерения. Такая технология немало пригодилась бы в разных областях. Причем первый компонент для нее – трехмерная сетчатка – уже существует в реальности: это медицинские сканеры, строящие объемные изображения человеческого тела из двумерных изображений-срезов. Второй компонент нам пока недоступен: мы не можем передать информацию в зрительную кору таким образом, чтобы мозг сумел построить из нее многоракурсное изображение объекта во всех его видах сразу, – для этого у нас нет ни достаточно совершенного нейрокомпьютерного интерфейса, ни нужных знаний в области неврологии. Однако не исключено, что “Человек 2.0” не такая уж далекая перспектива – всего-то нужно подождать еще пару десятков лет. Футуролог Рэй Курцвейл считает, что к 2030-м годам мы будем вживлять себе в мозг наноботы – микроскопические роботы, способные связываться с облачными компьютерными сервисами. В 2017 году технологический предприниматель Илон Маск основал компанию Neuralink, планирующую объединить человеческий мозг с искусственным интеллектом путем вживления в его кору электронных имплантатов.

Научить человека пользоваться трехмерной сетчаткой и создавать мысленные образы таким радикально новым способом будет нелегко, даже имея необходимые для этого технологии и установив связь между ними и корой мозга, – потребуются длительное обучение и тренировки. Зато какие уникальные возможности откроются перед врачами-диагностами, хирургами, исследователями и педагогами!

Сложный процесс обучения четырехмерному видению можно реализовать только при помощи симуляций, поскольку в нашем мире четырехмерных объектов просто не существует. Вероятно, проще всего будет начать с компьютерной модели тессеракта, изучавшегося Хинтоном. Глядя на трехмерное воплощение тессеракта, мы видим его только с одного ракурса, воспринимая лишь одну проекцию четырехмерного объекта. Чтобы человек смог постичь все четырехмерное многообразие тессеракта, зрительному центру мозга потребуется мгновенно собрать воедино и скомбинировать в целостное изображение многочисленные проекции. Повторимся: даже при наличии необходимых технологий и нейронных связей придется потратить немало времени на упражнения и тренировки, чтобы четвертое измерение предстало перед нами во всем своем величии. Трудно – да, но не невозможно. Есть вполне реальная надежда, что, мысленно соединяя с помощью компьютерных технологий в единый образ большое количество трехмерных сечений четырехмерного объекта, мы сумеем понять, что же это такое – видеть в четырех измерениях.

Математика дает нам возможность всесторонне и глубоко изучать то, что неподвластно одному нашему воображению. С ее помощью мы можем выходить за пределы своего привычного трехмерного мира и исследовать в мельчайших подробностях свойства вещей, имеющих четыре и более измерений. Математика позволяет нам двигать вперед теоретическую науку, необходимую для познания Вселенной как на ультрамикроскопическом, так и на космическом уровнях. Но что еще важнее, она открывает перед нами возможность разработать средства, которые позволят нам воочию увидеть многомерный мир.

Многое из происходящего вокруг кажется нам совершенно непредсказуемым. Мы объясняем это “иронией судьбы”, виним в происшедшем “неудачное стечение обстоятельств” или списываем на то, что “просто повезло”. Как же много всего в этом мире, похоже, зависит от капризов удачи, везения или невезения! Но математика поможет нам развеять туман и в путанице и неразберихе случайности разглядеть некое подобие порядка.

Тщательно перетасуйте колоду карт. Готово? Поздравляю – скорее всего, вы только что совершили нечто уникальное. Почти наверняка еще ни у кого за всю историю человечества ни разу не получилось перемешать карты так, чтобы они расположились в колоде именно в такой последовательности. Причина проста: 52 карты дают нам 52 × 51 × 50 × 49 × … × 3 × 2 × 1 вариантов их расположения в колоде. Это в общей сложности примерно 8 × 10⁶⁷, или 80 миллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов, вариантов различных последовательностей карт. Если бы все живущие на свете люди тасовали по колоде карт в секунду с момента возникновения Вселенной, то на сегодняшний день они перетасовали бы их всего 3 × 10²⁷ раз, что в сравнении с теоретически возможным количеством вариантов просто ничтожно мало.

И тем не менее утверждают, что бывали случаи, когда после тасовки новой колоды карты оказывались в том же порядке, в каком они были сложены в коробке. По правде говоря, шансы в этом случае гораздо выше, чем 1 к 8 × 10⁶⁷, то есть чем вероятность получить любую другую последовательность. В новой, только что распакованной колоде карты обычно рассортированы по мастям – червы, трефы, бубны и пики, – а каждая масть уложена в возрастающем порядке, начиная с туза, двойки и тройки и кончая валетом, дамой и королем. Если сдающий – мастер “американской” тасовки и может раз за разом точно делить колоду пополам, а затем, пролистывая половинки, соединять их вместе, перемежая ровно по одной карте из каждой стопки, то исходный порядок карт восстановится всего через восемь таких идеальных тасовок. Вот почему в казино новую колоду часто тасуют “по-детски”, раскладывая карты на столе и перемешивая их круговыми движениями ладоней (такой способ еще называют “мытьем” колоды). Чтобы так же хорошо перемешать карты предыдущим методом, потребуется не меньше семи тщательных, но не идеальных тасовок. “Мытье” дает порядок, который можно уверенно назвать случайным; другими словами, шансы того, что, посмотрев одну карту в перетасованной таким образом колоде, вы сможете угадать следующую, равны примерно 1 к 51. Но будет ли такой порядок истинно случайным? Что есть случайность и бывает ли вообще что-то абсолютно случайным?

Понятие случайности, или полной непредсказуемости, существует столько же, сколько сама цивилизация, а может быть, и дольше. Когда нам нужно сделать “случайный” выбор, первое, что приходит в голову, – бросить монетку или игральные кости. Древние греки для азартных игр использовали таранные кости коз и овец. Позже они стали применять и игральные кости правильной формы, хотя где именно те появились впервые, точно неизвестно. Египтяне пользовались игральными костями еще пять тысяч лет назад при игре в сенет. В Ригведе, древнем тексте на ведийском санскрите, написанном около 1500 года до нашей эры, также упоминаются кости, а в одной из месопотамских гробниц, относящейся к XXIV веку до нашей эры, обнаружены целые наборы для игр с костями. Греческие кости – тессеры – имели кубическую форму и нанесенные на гранях цифры от 1 до 6; но в том виде, как они существуют сегодня (то есть с очками на противоположных сторонах, дающими в сумме семь), кости появились только во времена Римской империи.

Таранные кости животных, использовавшиеся для игр (например, для игры в бабки).

Математики довольно долго обходили вниманием вопросы случайности, традиционно считавшиеся прерогативой религии. Как восточные, так и западные философии в исходе многих событий видели божий промысел или волю иных высших сил. Из Китая пришла “И Цзин” (“Книга перемен”), система гадания, основанная на толковании 64 различных гексаграмм. Некоторые христиане пользовались для принятия решения более простым методом – вытягиванием соломинок, заложенных между страниц Библии. Эти и множество других интереснейших методик прогнозирования, к сожалению, имели один отрицательный эффект – слишком долго никто не предпринимал попыток рационально объяснить природу случайности. В конце концов, если исход событий предопределен силами, недоступными пониманию человека, зачем суетиться и пытаться логически анализировать, почему все происходит так, а не иначе? К чему выяснять, нет ли каких-то законов, которым подчиняется вероятность того или иного исхода?

Как-то не верится, что, бросая кости, древние греки или римляне не имели хотя бы интуитивного представления о вероятности выпадения того или иного варианта. Когда речь идет о деньгах или иной материальной выгоде, и игроки, и другие заинтересованные стороны очень быстро схватывают все нюансы игры. Так что, скорее всего, какое-то внутреннее чутье, понимание шансов благоприятного исхода сформировалось не одно тысячелетие назад. Ну а наука всерьез взялась за изучение случайности и вероятности только в период позднего Возрождения и в XVII веке. В авангарде научных открытий в области случайности и вероятности в то время шли французский математик и философ (и к тому же ревностный янсенист) Блез Паскаль и его соотечественник Пьер де Ферма. Эти двое великих мыслителей взялись решить задачу, которую упрощенно можно сформулировать так: предположим, два игрока подбрасывают монету и денежный выигрыш достается тому, кто первым наберет три очка. Однако игра прерывается, скажем, в тот момент, когда один из игроков ведет со счетом 2:1. Как тогда разделить выигрыш между игроками наиболее справедливым образом? Еще до Паскаля и Ферма было предложено немало решений этой задачи. Возможно, ставку следует разделить поровну, раз игра не закончилась и определить победителя невозможно. Но это несправедливо по отношению к игроку, набравшему два очка, – надо же как-то учесть его преимущество. С другой стороны, вариант решения, в котором предлагалось отдать все деньги лидеру, несправедлив по отношению к его сопернику, у которого тоже был шанс выиграть, если бы игра продолжилась. В третьем варианте решения предлагалось разделить ставку с учетом набранных очков, то есть две трети отдать игроку с двумя очками и одну треть – игроку с одним очком. На первый взгляд, справедливо – но есть проблема. Предположим, игра прервалась бы при счете 1:0. В этом случае, если применять то же правило, игрок, набравший одно очко, получает все деньги, второй же (который мог бы выиграть, если бы игру довели до конца) остается ни с чем.

Паскаль и Ферма нашли более удачное решение, а заодно открыли новый раздел математики. Они вычислили вероятность победы каждого из игроков. Игроку с одним очком, чтобы выиграть, нужно набрать еще два очка подряд. Вероятность этого равна S, помноженной на S, то есть j. Таким образом, он должен получить четверть суммы выигрыша, а остальное идет сопернику. Этим же методом можно решить любую задачу такого рода, только вычисления могут оказаться посложнее.

Работая над этой задачей, Паскаль и Ферма пришли к понятию так называемого математического ожидания. В азартных играх или любой другой ситуации, когда успех зависит от случая, математическим ожиданием называют среднее значение выигрыша, на который вы можете резонно рассчитывать. Предположим, например, что вы играете в кости и выигрываете по шесть фунтов каждый раз, когда выпадает три очка. Ожидаемое значение выигрыша в этом случае – один фунт, поскольку шансы, что выпадет три очка, составляют один к шести, а одна шестая выигрыша – это и есть один фунт. Если играть много раз, за каждый бросок кости вы заработаете в среднем по одному фунту. После 1000 бросков ваш средний заработок составит 1000 фунтов, так что если каждый раз ставить по фунту, то вы как раз выйдете в ноль. Обратите внимание, что, хотя ожидаемое значение и составляет один фунт, выиграть ровно столько в этой игре невозможно. Не во всякой азартной игре возможно получить за одну партию точную ожидаемую сумму выигрыша; ожидаемое значение – это тот средний размер выигрыша за партию, на который вы можете рассчитывать при многократном повторении игры.

В лотерее ожидаемое значение, как правило, отрицательное, поэтому с рациональной точки зрения это не лучший способ заработать. (В некоторых лотереях при переносе джекпота иногда возникают ситуации, когда ожидаемое значение выигрыша становится положительным.) То же касается и игр в казино, по очевидной причине: казино – предприятие коммерческое, его задача – получать прибыль. Случаются, правда, и сбои из-за ошибки в расчетах. Известен случай, когда казино увеличило сумму выигрыша всего лишь по одному из исходов игры в блек-джек. В результате математическое ожидание выигрыша стало положительным и заведение за несколько часов потеряло огромную сумму. Заработок казино напрямую зависит от досконального знания математики теории вероятностей.

Случаются совпадения настолько маловероятные, что люди начинают подозревать неладное: один и тот же человек дважды выигрывает главный приз в лотерее или в двух розыгрышах выпадают одинаковые номера. Журналисты часто слетаются на такие истории как пчелы на мед, раздувая из кажущегося фантастическим совпадения настоящую сенсацию. А все из-за того, что мы в большинстве своем просто не умеем объективно оценивать вероятность подобных событий, поскольку исходим из ложных предпосылок. Взять хотя бы случай со счастливчиком, которому главный приз достался два раза: мы пытаемся решить эту задачу применительно к себе и рассуждаем – а у меня какие шансы выиграть дважды? И тут же отвечаем себе: да почти никаких. Но ведь те редкие люди, которым это удается, как правило, регулярно играют в лотерею много лет подряд. Два выигрыша за много лет игры – это уже совсем не так удивительно. Еще важнее помнить, какое огромное количество людей участвует в лотерее. Большинство из них никогда не выиграет джекпот даже один раз, не говоря уже о двух. Но при таком количестве играющих тот факт, что кто-то где-то выигрывает дважды, уже не выглядит таким уж невероятным.

Это может показаться парадоксальным и нелогичным, но причина в том, что мы пытаемся примерить задачу на себя. Естественно, крайне маловероятно, что именно вы выиграете джекпот два раза. Но если оценивать шансы того, что кому-либо из играющих так повезет, то вероятность такого выигрыша нужно умножить на количество участников лотереи (что значительно увеличивает шансы), а также на число способов, которыми можно выиграть лотерею дважды (оно приблизительно равно количеству раз, что участники сыграли в лотерею, возведенному в квадрат и деленному пополам). Если учесть все эти факторы, шансы того, что фортуна улыбнется кому-то дважды, начинают выглядеть довольно неплохо.

Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507, или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.

Одна из причин, по которой это кажется парадоксальным, заключается в том, что мы смешиваем два разных вопроса. У большинства из нас просто нет 253 достаточно близких знакомых, у которых мы бы знали день рождения, поэтому нам и кажутся маловероятными подобные случайные совпадения. Но это вовсе не значит, что вероятность совпадения дней рождения у двух других людей так же мала.

Контринтуитивными могут казаться не только положения, относящиеся к вероятности, но и понятие случайности. Какая из двух последовательностей орлов (О) и решек (Р) ниже кажется вам более случайной?

О, Р, О, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р, Р, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р

или

Р, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, Р, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р

Подозреваю, что многие выберут первую, поскольку в ней поровну орлов и решек, расположенных без видимого порядка. Во второй решек явно больше, к тому же бросаются в глаза более длинные серии повторяющихся букв. На самом деле вторую цепочку один из нас (Агниджо) образовал с помощью генератора случайных чисел, а первую специально составил таким образом, чтобы она напоминала результат работы человека, которого попросили написать случайную последовательность букв О и Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.

А как насчет вот такой последовательности?

О, Р, О, О, О, Р, Р, О, О, О, Р, О, О, О, О, Р, О, Р, Р, Р

Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.

Первый пример известного нормального числа по основанию 10 – постоянная Чемперноуна, названная так в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна, который еще студентом в Кембридже опубликовал работу о ее значении. Чемперноун изобрел эту константу специально для того, чтобы доказать, что нормальные числа существуют, а заодно продемонстрировать, как легко такое число сконструировать. Его постоянная представляет собой просто-напросто цепочку, составленную из следующих друг за другом чисел натурального ряда: 0,1234567891011121314…, а потому содержит все возможные последовательности цифр в равных пропорциях. Десятую часть всех цифр константы составляют единицы, сотую часть всех пар цифр – пара 12 и так далее. Вот только, несмотря на нормальность этого числа по основанию 10, входящие в него цепочки цифр совсем не выглядят случайными (то есть неупорядоченными и непредсказуемыми), особенно в начале. Кроме того, нам неизвестно, является ли это число нормальным по какому-либо иному основанию, кроме 10. Существуют и другие константы, нормальность которых доказана, но все они, как и постоянная Чемперноуна, сконструированы нормальными искусственно. До сих пор не доказано, является ли число пи нормальным хотя бы по какому-то основанию.

Первые двести с небольшим знаков числа пи.

На момент написания этой книги известно 22 459 157 718 361, или чуть больше 22 триллионов, знаков числа пи. В будущем мы, конечно, сможем вычислить и больше знаков[11], но те, что нам известны, уже не изменятся никогда, сколько бы раз мы ни производили вычисление. Известные знаки числа пи – часть застывшей реальности математической вселенной, а потому не могут быть случайными. А что насчет остальных его знаков, тех, которые еще не вычислены? Если исходить из того, что пи нормально по основанию 10, они пока остаются для нас, по сути, статистически случайными. Другими словами, если вас попросят написать случайную цепочку из тысячи цифр, вы можете, предварительно собрав компьютер, способный вычислить на 1000 знаков числа пи больше, чем известно сейчас, использовать полученные новые знаки в качестве случайной цепочки. Еще одну случайную цепочку? Пожалуйста – вычисляем еще тысячу (ранее неизвестных) знаков. В связи с этим возникает любопытный философский вопрос о природе математических явлений: насколько реальны те десятичные знаки числа пи, до которых мы еще не добрались? Трудно ведь утверждать, что, скажем, септиллионный[12] знак числа пи не существует или что у него нет конкретного постоянного значения, даже если мы не знаем, что это за знак. Но в каком смысле и в каком виде он существует до того, как появится в памяти трудяги-компьютера в результате невероятно долгого вычисления – вычисления, которое пока еще не производилось?

Кстати, стоит упомянуть любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу – сумму бесконечного ряда членов, – с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака. (Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли – Боруэйна – Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.) На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени – меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли – Боруэйна – Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.

Есть ли в чистой математике вообще хоть что-нибудь истинно случайное – вопрос не праздный. Случайность предполагает полное отсутствие упорядоченности и предсказуемости. Непредсказуемым можно назвать только то, что неизвестно, и только при условии, что нет никаких оснований считать один из возможных исходов вероятнее другого. Математика, по сути дела, существует вне времени; другими словами, она не меняется, не эволюционирует от одного момента к другому. Единственное, что меняется, – это наши знания о ней. Физический же мир изменяется непрерывно, причем эти изменения часто кажутся нам непредсказуемыми. Вращение подброшенной монеты мы считаем достаточно непредсказуемым, чтобы использовать этот метод для выбора одного из двух существующих решений. На деле же степень случайности зависит от того, какой информацией мы располагаем. Если бы нам были известны сила и угол броска, скорость вращения монеты, сопротивление воздуха и так далее, мы сумели бы (теоретически) точно предсказать, какой стороной вверх она упадет. То же касается и падения бутерброда с маслом, разве что в этом случае у нас имеются еще и научные данные, подтверждающие точку зрения пессимистов – чаще он падает маслом вниз. Эксперименты показали, что если бутерброд подбросить вверх (такое, конечно, может произойти только в лаборатории или в школьной столовой), то вероятность его приземления маслом вниз составляет 50 %. Но вот если его смахивают со стола или он соскальзывает с тарелки, тогда он действительно чаще падает намазанной стороной вниз. Причина проста: случайное падение обычно происходит с высоты примерно уровня пояса плюс-минус сантиметров тридцать и у бутерброда как раз достаточно времени, чтобы сделать пол-оборота, поэтому если полет начинается из традиционного положения “маслом вверх”, то закончится он, скорее всего, жирным пятном на полу.

Большинство физических систем гораздо сложнее падающего бутерброда. К тому же некоторые еще и хаотичны, а это значит, что даже незначительное вмешательство в начальные условия может привести к последствиям огромного масштаба на более позднем этапе. Одна из таких систем – погода. До появления современных метеопрогнозов оставалось лишь гадать, что день грядущий нам готовит. Метеоспутники, чувствительные наземные приборы и мощные компьютеры совершили настоящую революцию в метеорологии, позволив давать точный прогноз на период до 7–10 дней. Но при попытке заглянуть дальше даже самые передовые методики и высокотехнологичное оборудование наталкиваются на непреодолимый барьер – сложность и хаотичность системы, включая так называемый эффект бабочки: представление о том, что ничтожное колебание воздуха, вызванное взмахом крыльев бабочки, способно, постепенно усиливаясь, превратиться в страшный ураган.

Ураган “Феликс”, сфотографированный с Международной космической станции 3 сентября 2007 года.

Даже при всей сложности системы может показаться, что любым явлением, будь то вращение подброшенной монеты или климат на планете, руководят одни и те же законы природы, и законы эти детерминированы. Когда-то считалось, что вселенная устроена наподобие гигантского часового механизма – фантастически сложного, но совершенно предсказуемого. Такое представление неверно по двум причинам. Первая связана опять-таки со сложностью. Даже внутри детерминированной системы – то есть такой, в которой исход зависит от ряда событий, а каждое из событий можно предсказать, точно зная предыдущее состояние системы, – задача может быть настолько сложной, что узнать заранее, чем все закончится, просто нереально. В таких системах даже самая совершенная и быстродействующая модель (например, компьютерная) не способна “обогнать” само явление. Это касается систем не только физических, но и чисто математических – таких, например, как клеточные автоматы. О самой известной из таких моделей – игре “Жизнь”, придуманной Джоном Конвеем, – мы еще поговорим подробнее в пятой главе.

Эволюция любой фигуры в игре “Жизнь” полностью детерминирована, но непредсказуема: исход игры можно узнать только после того, как был рассчитан последовательно каждый ее этап. (Есть, конечно, фигуры, которые изменяются циклично – например “пульсируют” или после нескольких этапов начинают передвигаться, не меняя формы. Такие можно рассчитать заранее, зная их поведение. Но наблюдая за игрой первый раз, мы еще не знаем, как они себя поведут.) В математике даже неслучайное может быть непредсказуемым. Но до начала XX века большинство физиков считало, что, пусть мы и не можем знать всех деталей происходящего в физической вселенной, мы в принципе способны познать ее настолько, насколько захотим. Имея достаточно информации, верили они, мы можем с помощью уравнений Ньютона и Максвелла рассчитать ход любых событий с необходимым нам уровнем точности. Но появление квантовой механики положило конец этим представлениям.

Неопределенность, как выяснилось, лежит в самой основе квантовой теории: случайность в субатомном мире – неизбежная объективная реальность. И нигде прихоти случайности не проявляются более очевидно, чем в процессе распада радиоактивных ядер. Да, действительно, с помощью наблюдений можно определить период полураспада радиоактивного вещества – то среднее время, за которое распадается половина исходных ядер во взятом образце. Но это лишь статистическая мера. Период полураспада радия-226, например, составляет 1620 лет – именно столько придется ждать, чтобы от кусочка радия массой в один грамм осталось полграмма, а остальное превратилось в газ радон или в свинец и углерод. Но если наблюдать за одним конкретным ядром радия-226 во взятом образце, абсолютно невозможно предсказать, то ли оно вместе с 37 миллиардами других ядер в том же кусочке распадется через секунду, то ли через 5000 лет. Наверняка нам известно только то, что вероятность его распада в ближайшие 1620 лет – S, то есть та же, с какой при подбрасывании монеты выпадает орел или же, наоборот, решка. И эта непредсказуемость никак не связана с точностью наших приборов или быстродействием компьютеров. На таком глубинном уровне структуры вещества случайность заложена в самой ткани реальности, а значит, может влиять и на процессы, происходящие на более высоких уровнях, внося в них элемент случайности. Крайним проявлением эффекта бабочки стало бы, например, влияние распада одного-единственного атома радия на климат нашей планеты.

Вполне возможно, что квантовая теория с ее случайностью – это всерьез и надолго. Были, однако, физики (к их числу принадлежал и Эйнштейн), которые не могли смириться с тем, что Бог, перефразируем Эйнштейна, играет в кости со вселенной. Критики ортодоксальной квантовой теории считают, что за капризным поведением объектов в сверхмалом мире стоят некие “скрытые параметры” – факторы, определяющие, когда частицам пора распадаться и тому подобное, и нам бы только узнать, что это за параметры, да научиться их измерять. Если теория скрытых параметров окажется справедливой, вселенная снова станет неслучайной, а истинная случайность будет существовать только как некий математический идеал. Ну а пока все имеющиеся данные указывают на то, что в вопросе квантовой неопределенности Эйнштейн ошибался.

Похоже, нет ничего определенного в зазеркальном мире сверхмалого. То, что мы считали крохотными твердыми частицами, – электроны и им подобные – растворились, превратившись в волны, причем даже не в материальные, а в волны вероятности. Про электрон уже нельзя сказать точно, здесь он или там, а только что он скорее здесь, чем там, – ведь его движением руководит математическая конструкция под названием “волновая функция”.

Все, что нам осталось, – это вероятность, да и с той нет полной ясности. Существует несколько интерпретаций. Самое распространенное толкование – частотное. Согласно ему, вероятность наступления события – это предел (то есть значение, к которому нечто стремится) относительной частоты наступления события. Чтобы определить вероятность события, “фреквентист[13]” должен многократно повторять эксперимент и смотреть, сколько раз произошло нужное событие. Например, если оно происходит в 70 % случаев, значит, его вероятность 70 %. В случае с идеализированной математической монетой вероятность выпадения орла составляет ровно S, поскольку чем больше монету подбрасываешь, тем больше частота выпадения орла стремится к S. У реальной, физической монеты эта вероятность будет другой, не ровно S. Причин тому несколько. Частично влияет на результат аэродинамика броска и то, что “орел” у большинства монет тяжелее, чем выбитый на другой стороне рисунок. Имеет значение также, какой стороной вверх монету подбрасывают: вероятность, что она упадет той же стороной вверх, равна примерно 51 %, поскольку при обычном броске шансы перевернуться в воздухе четное количество раз у нее чуть выше. Но, рассматривая математическую, идеальную монету, все эти факторы можно смело игнорировать.

Говоря о вероятности какого-либо события, “фреквентисты” имеют в виду шансы его наступления при многократном повторении одного и того же эксперимента. Но бывают случаи, когда такая стратегия бесполезна, например когда речь идет о событии, которое может произойти только один раз. Альтернативой тогда служит байесовский метод, названный так в честь английского ученого-статистика XVIII века Томаса Байеса. Расчет вероятности этим методом основан на степени нашей уверенности в определенном результате, то есть вероятность рассматривается как субъективное понятие. Например, если синоптик в прогнозе погоды говорит о “70-процентной вероятности осадков”, по сути это означает, что он на 70 % уверен, что пойдет дождь. Основная разница между частотной и байесовской вероятностью в том, что синоптик не может “повторить” погодный эксперимент – ему нужно оценить вероятность дождя в одном конкретном случае, а не выдать результаты многократно поставленных опытов. Для прогнозирования могут использоваться гигантские массивы данных, в том числе информация о похожих ситуациях, но ни в одной из них условия не будут абсолютно идентичными, так что синоптики вынуждены строить прогнозы исходя из байесовской вероятности, а не из частотной.

Особенно интересно различия между байесовским и частотным подходами проявляются, когда их применяют к математическим понятиям. К примеру, спросим себя, является ли септиллионным знаком числа пи (на сегодня неизвестным) пятерка? Заранее знать ответ невозможно, но после того, как он будет вычислен, он уже никогда не изменится: сколько ни повторяй расчет числа пи, ответ будет всегда один и тот же. Если следовать частотной интерпретации, вероятность того, что септиллионный знак будет пятеркой, равна либо 1 (достоверное событие), либо 0 (невозможное) – другими словами, это или пятерка, или нет. Допустим, доказано, что число пи нормально, то есть мы точно знаем, что в составляющей его бесконечной цепочке знаков каждая из десяти цифр имеет одинаковую плотность распределения. Согласно байесовской интерпретации, отражающей нашу степень уверенности в том, что септиллионным знаком является именно пятерка, вероятность этого – 0,1 (ведь если число пи нормально, то любой его знак, пока он не вычислен, может с одинаковой вероятностью быть любой цифрой от 0 до 9). Но вот после того, как мы этот знак вычислим (если такое когда-нибудь произойдет), вероятность уже точно будет либо 1, либо 0. Фактическое значение септиллионного знака пи нисколько не поменяется, но вероятность того, что это пятерка, изменится – именно потому, что у нас будет больше информации. Информация играет определяющую роль в байесовском подходе: по мере повышения собственной информированности мы можем корректировать значение вероятности, делая его точнее. А при наличии полной информации (скажем, когда определенный знак числа пи вычислен) значения частотной и байесовской вероятности становятся одинаковыми – если мы возьмемся заново рассчитать уже вычисленный знак пи, ответ нам будет известен заранее. Зная все нюансы физической системы (в том числе некоторый элемент случайности, как, например, при распаде атомов радия), мы можем в точности повторить эксперимент и получить частотную вероятность, идеально совпадающую с байесовской.

И хотя байесовский подход кажется субъективным, он может быть строгим в абстрактном смысле. Предположим, у вас есть несимметричная монета: вероятность выпадения орла при ее подбрасывании может равняться какому угодно значению от 0 до 100 %, причем любое из них равновозможно. Бросаем ее первый раз – выпадает орел. Используя байесовскую интерпретацию, можно доказать, что вероятность выпадения орла при втором броске составляет ⅔. Но ведь начальная вероятность выпадения орла была ½, а монету мы не меняли. Байесовский подход позволяет рассуждать так: выпадение первого орла, конечно, не влияет напрямую на вероятность его выпадения при втором броске, но этот факт дает нам дополнительную информацию о монете, а с помощью этой информации мы уточняем свою оценку. Если монета сильно несимметрична в пользу решки, вероятность выпадения орла очень мала, а если сильно несимметрична в пользу орла, то вероятность его выпадения гораздо выше.

Байесовский подход также помогает избежать парадокса, впервые сформулированного в 1940-х годах немецким ученым-логиком Карлом Гемпелем. Когда люди видят, что один и тот же принцип (скажем, закон гравитации) исправно действует в течение долгого времени, они склонны делать вывод, что он с очень высокой вероятностью верен. Это так называемое индуктивное умозаключение, которое можно коротко сформулировать так: если наблюдаемое соответствует теории, то вероятность того, что эта теория верна, увеличивается. С помощью описанного им парадокса воронов Гемпель продемонстрировал, в чем слабое место индуктивной логики.

Все во́роны черные, гласит теория. Каждый раз, когда мы видим ворона черного, а не какого-нибудь другого цвета (существование воронов-альбиносов при этом игнорируем!), наша уверенность в верности теории “все вороны черные” растет. Но вот в чем загвоздка: утверждение “все вороны черные” логически эквивалентно утверждению “все, что не черное, – не вороны”. Поэтому, увидев желтый банан – нечерный объект, не являющийся к тому же вороном, – мы должны были бы еще больше укрепиться в своем убеждении, что все вороны черные. Пытаясь обойти этот в высшей степени контринтуитивный результат, некоторые философы настаивают на том, что нельзя считать оба утверждения имеющими равную силу. Другими словами, желтизна бананов должна убеждать нас только в верности теории, что все нечерное – не вороны (второе утверждение), но никак не в том, что все вороны черные (первое утверждение). Это вполне соответствует здравому смыслу: банан – не ворон, поэтому, смотря на него, мы можем узнать что-то о том, что вороном не является, но никак не о самих воронах. Однако это предложение подвергли критике на том основании, что нельзя быть в разной степени уверенным в верности двух логически эквивалентных утверждений, если совершенно ясно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Возможно, просто наша интуиция в этом вопросе нас подводит и вид желтого банана действительно должен еще больше убеждать нас в черноте всех воронов. А вот если рассматривать проблему с байесовской точки зрения, никакого парадокса не возникает. Согласно Байесу, вероятность гипотезы Г следует умножить на следующее отношение:

где X – это нечерный объект, не являющийся вороном, а Г – гипотеза, что все вороны черные.

Если попросить кого-нибудь выбрать любой случайный банан и показать его вам, то вероятность, что увиденный вами банан будет желтым, никак не зависит от окраса оперения воронов. Вы уже заранее знаете, что увидите нечто, что вороном не является. Числитель дроби (то, что поверх черты) будет равен знаменателю (тому, что под чертой), отношение будет равно единице, а вероятность останется неизменной. Желтизна увиденного банана никак не повлияет на вашу уверенность в том, что все вороны черные. Если попросить кого-нибудь взять любой случайный нечерный предмет и вам покажут желтый банан, то числитель станет больше знаменателя на какую-то ничтожную величину. Вид желтого банана очень незначительно увеличит вашу уверенность в том, что все вороны черные. Чтобы всерьез укрепиться в верности этого утверждения, вам нужно будет увидеть почти все нечерные объекты, существующие во вселенной, плюс убедиться, что все они – не вороны. И в том и в другом случае результат будет соответствовать тому, что говорит ваша интуиция.

Может показаться странным, что информация имеет какое-то отношение к случайности, но на самом деле они очень тесно связаны. Представьте себе цепочку цифр, составленную только из нулей и единиц. Цепочка 1111111111 абсолютно упорядоченна, а потому не содержит практически никакой информации (разве что “десятикратное повторение цифры 1”), так же как чистый холст, на котором все точки имеют белый цвет, почти ни о чем нам не говорит. С другой стороны, сгенерированная случайно последовательность 0001100110 содержит максимальный объем информации, возможный для цепочки такой длины. Дело в том, что один из способов дать количественную оценку информации – это определить, насколько сильно можно сжать данные. Истинно случайный набор цифр невозможно укоротить, сохранив при этом всю содержащуюся в нем информацию. А вот длинную цепочку, состоящую, например, из одних единиц, можно сжать во много раз – просто указав, сколько в ней единиц. Информация и беспорядок теснейшим образом связаны друг с другом. Чем более беспорядочна и случайна цепочка, тем больше информации она содержит.

Можно посмотреть на это по-другому: открывая каждую последующую цифру случайной цепочки, мы получаем максимум возможной информации. С другой стороны, если мы видим цепочку 1111111111, ничего не стоит догадаться, какой будет следующая цифра. (Это касается только законченных цепочек, а не кусочков более длинных последовательностей. Произвольно длинная случайная цепочка цифр будет содержать сочетание 1111111111 бесконечное количество раз.) Объем информации, который можно считать полезным, – всегда компромисс между этими двумя крайностями. Например, фотография с минимумом информации – это просто одноцветный фон, а содержащая минимум информации книга – это листы, заполненные строчками из одной-единственной буквы. Ни то ни другое не представляет никакого интереса с точки зрения объема информации. Фотография же с максимумом информации будет беспорядочным, хаотичным скоплением пикселей, а книга – бессмысленным нагромождением случайных букв. Такое нас тоже вряд ли заинтересует. Самая полезная и нужная нам информация находится где-то посередине. Обычное фото содержит информацию, но в понятном нам виде и объеме. Если один из пикселей изображения окрашен в какой-то цвет, то непосредственные его соседи, скорее всего, будут похожего цвета. Мы это знаем и можем использовать для того, чтобы сжать изображение без потери информации. Книга, которую вы сейчас читаете, по большей части представляет собой лишь цепочки букв и пробелов, перемежающиеся знаками пунктуации. В отличие от описанных выше крайностей – абракадабры из символов либо бесконечных повторений одной буквы – в этой книге буквы структурированы в цепочки, называемые словами. Одни слова встречаются редко; другие, как, например, “и”, повторяются очень часто. Кроме того, слова объединены в предложения в соответствии со сводом правил, именуемым грамматикой, и так далее – а все для того, чтобы в итоге читатель сумел понять представленную ему информацию. С мешаниной из случайных знаков такое просто невозможно.

В своем рассказе “Вавилонская библиотека” аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес рассказывает о библиотеке огромного, возможно бесконечного, размера с невообразимым количеством книг. Все книги имеют одинаковый формат: “в каждой книге четыреста страниц, на каждой странице сорок строчек, в каждой строке около восьмидесяти букв черного цвета”[14]. Все тексты написаны на экзотическом языке, использующем только 22 буквенных символа, запятую, точку и пробел, но в книгах на полках библиотеки можно обнаружить все возможные комбинации этих знаков. Большинство книг содержат лишь бессмысленный набор букв; в других сочетания упорядоченны, но все равно лишены какого-либо смысла. Например, одна из книг целиком состоит из повторяющейся буквы M. В другой – все то же самое, кроме второй буквы, вместо которой стоит N. Есть книги со словами, предложениями и целыми абзацами, построенными по правилам грамматики того или иного языка, но абсолютно нелогичными. Есть исторические труды. Есть такие, в которых утверждается, что они содержат подлинную историю, но на деле они являются вымыслом. В некоторых даны описания еще не изобретенных машин и не сделанных открытий. Где-то на полках есть книга, содержащая все сочетания используемых 25 знаков, которые только можно себе представить или записать. И однако же все это гигантское хранилище книг совершенно бесполезно, поскольку, не зная заранее, что правда, а что ложь, что истина, а что вымысел, какая информация значима, а какая бессмысленна, невозможно извлечь из этого всеобъемлющего собрания символов никакой пользы. То же касается и старой идеи о том, что армия обезьян, беспорядочно стучащих по клавишам пишущих машинок, способна в конце концов произвести на свет собрание сочинений Шекспира. Они напечатают и решения всех научных проблем современности (хоть на это и потребуются триллионы лет). Проблема лишь в том, что они также напечатают и все неправильные решения, а вместе с ними убедительные опровержения всех правильных решений – и все это не считая умопомрачительных объемов абсолютной белиберды. Нет никакого смысла иметь перед глазами ответ на вопрос, если в одну кучу с ним свалены все возможные комбинации символов, из которых он состоит, а вы не имеете представления, какая из них верная.

В каком-то смысле интернет с его громадным объемом полезной информации, затерянной в многократно превышающем его объеме сплетен, полуправды и полной галиматьи, становится все более похожим на библиотеку Борхеса – вместилище всего на свете от глубокого научного знания до совершеннейшего бреда. Есть даже сайты, имитирующие Вавилонскую библиотеку: за долю секунды они выдают полотно случайных цепочек из букв, где иногда могут содержаться реально существующие слова или даже осмысленные обрывки информации. Когда у нас под рукой такой объем информации, кому или чему можно доверить роль третейского судьи, объективно оценивающего, что подлинно и достоверно? В конечном итоге, поскольку информация существует в виде наборов цифр, хранящихся в недрах электронных процессоров и носителей данных, ответ должен лежать где-то в области математики.

Что касается ближайшего будущего, математики уже сейчас разрабатывают всеобъемлющую теорию случайности, которая может объединить на первый взгляд очень далекие друг от друга научные феномены и концепции – от броуновского движения до теории струн. Двое исследователей, Скотт Шеффилд из Массачусетского технологического института и Джейсон Миллер из Кембриджского университета, обнаружили, что многие из двумерных фигур и траекторий, генерируемых случайными процессами, разделяются на четко различимые категории, каждая из которых обладает собственным набором характеристик. Их классификация привела к открытию неожиданных связей между разнородными случайными объектами, не имеющими, казалось бы, никакого отношения друг к другу.

Первый изученный математиками тип случайной траектории – так называемое случайное блуждание. Представьте себе пьяного, начинающего свой путь от фонарного столба. Он идет, пошатываясь, от одной точки к следующей, с каждым шагом (предполагается, что все шаги равной длины) случайно выбирая направление. Вопрос: как далеко от столба он окажется через определенное количество шагов? Можно для простоты свести задачу к одномерному виду: пусть человек движется только по прямой в одну или другую сторону, а перед каждым шагом как будто подбрасывает монетку, чтобы решить, куда идти – направо или налево. Впервые задача воплотилась на практике в 1827 году, когда английский ботаник Роберт Броун привлек внимание к явлению, позднее названному броуновским движением, – беспорядочному танцу зерен пыльцы в воде, который он разглядел в микроскоп. Позже этот феномен объяснили тем, что частицы пыльцы хаотично бомбардируются молекулами воды, которые всякий раз толкают крохотные зернышки в случайном направлении (так что каждое ведет себя словно пьяный из нашей задачи). Но только в 1920-х годах американский математик и философ Норберт Винер детально исследовал все математические аспекты броуновского движения. Для этого нужно было понять, что происходит в задаче о случайном блуждании, когда длина шагов и временной интервал между ними постепенно сокращаются. Получившиеся случайные траектории очень напоминают путь, проделываемый частицами при броуновском движении.

Позднее физики заинтересовались случайным движением иного рода. Теперь уже действующими лицами были не частицы, передвигающиеся по искривленным одномерным траекториям, а мельчайшие трепыхающиеся “нити”, колебания которых могут быть представлены как двумерные поверхности. Это те самые струны из теории струн – самой передовой, но пока не доказанной теории элементарных частиц, составляющих всю материю. Скотт Шеффилд сформулировал это таким образом: “Чтобы понять квантовую физику для струн, нужно нечто вроде броуновского движения для поверхностей”. Начало такой теории положил в 1980-х годах физик Александр Поляков, сейчас работающий в Принстонском университете. Он придумал способ описания подобных поверхностей, который сейчас именуется квантовой гравитацией Лиувилля. Параллельно была разработана еще одна модель, названная броуновской, которая также описывала случайные двумерные поверхности, но давала о них иную, дополнительную информацию. Прорыв, совершенный Шеффилдом и Миллером, заключался в том, что им удалось доказать: эти два теоретических подхода, квантовая гравитация Лиувилля и броуновская модель, эквивалентны. И пусть предстоит еще немало работы, прежде чем теорию можно будет применять непосредственно для решения физических задач, но со временем она может стать мощным объединяющим принципом, действующим на самых различных уровнях – от фантастически миниатюрных струн до таких повседневных явлений, как рост снежинок или образование минеральных отложений. Уже сегодня абсолютно ясно: случайность лежит в основе физической вселенной, а в основе случайности лежит математика.

То, что истинно случайно, непредсказуемо. Нельзя заранее знать, каким окажется следующий элемент случайной цепочки. В физике невозможно предугадать, когда наступит случайное событие, такое как распад радиоактивного ядра. Если событие случайно, о нем говорят, что оно недетерминировано, поскольку даже в принципе невозможно, зная то, что уже произошло, спрогнозировать, что будет дальше. В быту мы часто случайное называем хаотичным. “Случайность” и “хаос” в повседневном языке стали практически полными синонимами. Но в математике между этими двумя понятиями есть огромная разница – разница, которую мы сможем лучше почувствовать, окунувшись в странный мир дробных размерностей.

Поищите в словаре синонимы к слову “хаос” – и найдете “неразбериху”, “беззаконие” и “анархию”. Но тот хаос, который изучают математики и другие ученые в рамках относительно нового научного направления, называемого теорией хаоса, – совсем другое дело. В нем нет места бесчинствам и вседозволенности. Напротив, он подчиняется строгим законам, его наступление предсказуемо, а поведение проявляется в виде изысканных геометрических узоров. Цифровая передача данных, моделирование электрохимических процессов в нервных клетках, гидроаэродинамика – это лишь немногие области, в которых находит практическое применение теория хаоса.

Но мы подойдем к теме главы окольным, более живописным путем и для этого зададим обезоруживающе простой вопрос: какова длина побережья Великобритании? Именно его вынес в заголовок своей статьи, опубликованной в 1967 году в журнале Science, французско-американский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт, теоретик в исследовательском центре IBM имени Томаса Джона Уотсона. Казалось бы, ничего сложного – нужно просто точно измерить длину береговой линии, вот и все. На деле же результат будет зависеть от масштаба измерения, причем измеренная длина может увеличиваться неограниченно (то есть она не сходится к какому-то постоянному значению) – или, по крайней мере, до тех пор, пока масштаб не достигнет атомного. Впервые странный вывод о том, что береговая линия острова, страны или континента не имеет строго определенной длины, озадачил английского математика и физика Льюиса Фрая Ричардсона за несколько лет до того, как над ним всерьез задумался Мандельброт.

Будучи пацифистом, которого интересовали теоретические корни международных конфликтов, Ричардсон пытался понять, зависит ли вероятность войны между двумя странами от протяженности их общей границы. Изучая эту проблему, он обратил внимание на существенные расхождения в длине пограничной линии, указываемой в разных источниках. Например, по данным испанских властей, длина испанско-португальской границы составляла 987 километров, а португальцы оценивали ее в 1214 километров. Ричардсон понял, что такое расхождение в измерениях – не обязательно ошибка, а может объясняться тем, что в расчетах использовались разные “мерки”, то есть минимальные единицы длины. Попробуйте измерить расстояние между двумя точками на изрезанном бухтами берегу или вдоль извилистой пограничной линии воображаемой гигантской линейкой длиной в 100 километров, и оно получится меньше, чем если бы линейка была половинной длины. Чем короче линейка, тем более мелкие извилины она может учитывать при измерении, включая их длину в конечный ответ. Ричардсон продемонстрировал, что при последовательном укорачивании “линейки” (то есть единицы измерения) длина извилистой береговой или пограничной линии увеличивается неограниченно. Очевидно, измеряя протяженность испанско-португальской границы, португальцы использовали более короткую меру длины.

Великобритания и Ирландия на фотографии, сделанной 26 марта 2012 года спутником НАСА Terra.

В 1961 году, когда Ричардсон опубликовал результаты своих исследований, мало кто обратил внимание на его удивительное открытие, сейчас называемое эффектом Ричардсона или парадоксом береговой линии. Но теперь оно видится нам важным вкладом в развитие удивительной новой области математики, которую Мандельброт, человек, прославивший ее, в итоге назвал “прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной”. В 1975 году Мандельброт придумал название для странных штуковин, ставших объектом изучения этой новой дисциплины: фракталы. Фрактал – это нечто (например, кривая или пространство), имеющее дробную размерность.

Чтобы заслужить звание фрактала, фигуре нужно всего лишь иметь сложную структуру в любом масштабе, сколь бы крупным он ни был. Подавляющее большинство кривых и геометрических фигур в математике – не фракталы. Окружность, например, нельзя считать фракталом потому, что, если постепенно увеличивать часть составляющей ее кривой, она будет все больше и больше походить на прямую линию, после чего, сколько ее ни приближай, ничего нового уже не увидишь. Квадрат – тоже не фрактал. При увеличении его углы не меняют свою структуру, а все остальное выглядит как прямые линии. Чтобы быть фракталом, мало иметь сложную структуру в одной точке или даже во множестве (конечном множестве) точек; структура должна быть сложной во всех точках. То же касается и трехмерных фигур, и фигур более высоких размерностей. Сферы и кубы, например, – не фракталы. Но существует множество фигур различных размерностей, которые являются фракталами.

Вернемся к береговой линии Великобритании. На карте малого масштаба показаны только самые крупные заливы, лагуны и полуострова. Но выйдите на пляж – и вы увидите более мелкие объекты: бухты, косы и так далее. Всмотритесь пристальнее, возьмите лупу или микроскоп, и вы различите совсем неприметные элементы – неровности каждого валуна на берегу. И так все дальше и дальше. В реальном мире приближать объект бесконечно невозможно. На уровне атомов и молекул (а возможно, и раньше) уже нет смысла говорить о более мелких деталях, влияющих на длину побережья, тем более что эта длина меняется каждую минуту из-за эрозии, отливов и приливов. И все же побережье Великобритании и очертания других островов и стран – достаточно близкий аналог фракталов, что объясняет, почему могут так различаться данные разных источников о длине пограничной линии. Глядя на карту Великобритании, не увидишь всей изрезанности побережья, которая становится очевидной, когда идешь по берегу пешком. Вот почему измеренная по карте береговая линия получается короче. А простая прогулка по пляжу не даст столь же точных результатов, как измерение линейкой или еще более прецизионным инструментом всех изгибов и неровностей каменистого берега, обводов валунов и прочих мелких деталей. При этом с увеличением точности измерений длина береговой линии возрастает экспоненциально, вместо того чтобы приближаться к некоему конечному “истинному” значению. Другими словами, при наличии измерительного оборудования с достаточно высокой разрешающей способностью вы можете получить любую, сколь угодно большую, длину береговой линии (разумеется, в тех пределах, что устанавливает атомная природа вещества).

Помимо естественных фракталов, таких как контуры побережья, существует и множество фракталов чисто математических. Простой способ изобразить фрактал – разделить отрезок прямой на три равных части, затем, используя среднюю часть как основание, построить на ней равносторонний треугольник, а потом его основание стереть. После этого процесс повторить на каждом из получившихся четырех отрезков, затем на каждом из новых коротеньких отрезков – и так далее, пока не надоест или до бесконечности. Окончательный результат носит название кривой Коха, в честь шведского математика Хельге фон Коха, посвятившего ей опубликованную в 1904 году научную статью. Три кривых Коха можно объединить в фигуру, известную как снежинка Коха[15]. Кривая Коха стала одной из первых построенных человеком фрактальных фигур. Еще два хорошо известных сегодня фрактала были математически описаны в первой четверти XX века польским математиком Вацлавом Серпинским и носят его имя: треугольник (или салфетка) и ковер Серпинского. Чтобы получить салфетку, Серпинский разделил равносторонний треугольник на четыре новых, с длиной стороны в два раза меньшей, чем у исходного. Затем он удалил центральный и повторил процедуру с каждым из оставшихся трех равносторонних треугольников, потом с получившимися новыми и так далее. Хотя всерьез математики начали изучать такие объекты около столетия назад, художники знали о них еще с античных времен. Салфетку Серпинского, например, можно увидеть на произведениях итальянских мастеров (например, на мозаике собора в городе Ананьи), датируемых еще XIII веком.

Одна из наиболее интересных и парадоксальных черт фракталов – их размерность. Слово “размерность” обычно вызывает две ассоциации: первая – это размеры какого-либо объекта, вторая – некое направление в пространстве, одно из измерений, о которых мы говорили во второй главе. Мы говорим о кубе, что он имеет размерность 3, поскольку его грани лежат в плоскостях, простирающихся в трех разных направлениях под прямыми углами друг к другу. Это второе, интуитивное, понимание размерности – количество перпендикулярных направлений, в которых можно передвигаться, – приблизительно соответствует тому, что в математике называется топологической размерностью. Сфера имеет топологическую размерность 2, потому что мы можем передвигаться по ней в направлениях, обозначаемых как север и юг или восток и запад. А вот шар имеет топологическую размерность 3, поскольку у него также есть направления “вверх” и “вниз”, где “вниз” – это к центру шара, а “вверх” – от центра, как у нас на Земле. Топологическая размерность может быть даже 4 и больше, как мы видели во второй главе (например, тессеракт имеет топологическую размерность 4), но она всегда выражается целым числом. С фракталами, однако, дело обстоит по-другому. Фрактальная размерность показывает, грубо говоря, насколько хорошо кривая заполняет плоскость или насколько хорошо поверхность заполняет пространство.

Первый, второй и четвертый этапы построения кривой Коха.

Снежинка Коха.

Есть много разных видов фрактальной размерности. Одна из наиболее легких для понимания – размерность Минковского, еще ее можно назвать “клеточной” (box-counting) размерностью. Чтобы высчитать ее для побережья Великобритании, накроем карту прозрачной пленкой, расчерченной на квадратные клетки, и сосчитаем количество квадратиков, перекрывающих береговую линию. Затем разделим каждую из клеток нашей сетки пополам по горизонтали и вертикали и посчитаем снова. Если проделать это для прямой линии, количество клеток просто удвоится, то есть вырастет в 2¹ раза, где степень (1) – это клеточная размерность. Если то же проделать с квадратом, то количество клеток увеличится в четыре раза, то есть вырастет в 2² раза, и даст размерность 2. А в случае с кубом (для этого понадобится трехмерная сетка) количество клеток увеличится в восемь раз, то есть вырастет в 2³ раза, поскольку куб имеет три измерения.

Большинство привычных нам фигур имеет размерность, выражаемую целым числом – 1, 2 или 3. С фракталами все по-другому. Возьмем, к примеру, снежинку Коха. Чтобы было проще, воспользуемся тем, что каждый составляющий ее элемент – кривая Коха – состоит, в свою очередь, из четырех кривых Коха меньшего размера. Если мы в три раза уменьшим сторону клетки в нашей измерительной сетке, то сможем разделить кривую Коха на четыре ее уменьшенных копии, каждая из которых будет в три раза меньше исходной. Каждая из уменьшенных копий перекрывается таким же количеством маленьких клеток, как было вначале с исходной кривой и большими клетками, – то есть общее число клеток увеличилось в четыре раза. Это позволяет нам рассчитать размерность кривой Коха d (она же размерность снежинки Коха, поскольку снежинка построена из этих кривых) из соотношения 3^d = 4. Решив это уравнение, мы получаем значение d, равное примерно 1,26, то есть снежинка Коха имеет размерность приблизительно 1,26. Это число как бы говорит нам о том, насколько снежинка Коха в любом масштабе, какой бы мы ни выбрали, более извилиста, чем прямая линия. Или же можно сказать, что оно указывает на то, насколько снежинка Коха заполняет (двумерную) плоскость, в которой лежит. Снежинка Коха слишком сложна, чтобы быть одномерной, но слишком проста, чтобы быть двумерной. Прямая линия совершенно никак не заполняет плоскость, поскольку не только бесконечно тонка, но и очень проста по форме. Фракталы вроде снежинки Коха тоже бесконечно тонки, но настолько замысловаты по своей структуре, что, какие бы две точки мы ни взяли, даже если при малом масштабе они сливаются, расстояние между ними, измеренное вдоль кривой, бесконечно.

Если применить клеточный метод к салфетке Серпинского, мы получим значение d, равное 1,58. То, что объекты могут иметь размерность, выражаемую нецелым числом, кажется очень странным. И эта странность переходит из области чистой математики на объекты реального мира.

Фракталы, такие как снежинка Коха и салфетка Серпинского, самоподобны, то есть состоят из последовательно уменьшающихся копий самих себя. Большинство природных фракталов не являются самоподобными в строгом смысле слова. Но статистически они обладают самоподобием, поэтому их фрактальную размерность все равно можно вычислить описанным выше методом. Например, измеренная таким образом фрактальная размерность береговой линии Великобритании составляет 1,25, что очень близко к размерности снежинки Коха. Проще говоря, это означает, что британское побережье при рассмотрении в каком угодно масштабе в 1,25 раза более извилисто, или “неровно”, чем прямая линия или любая другая простая кривая. Береговая линия Южной Африки представляет собой куда более гладкую кривую – ее фрактальная размерность всего 1,05. Побережье Норвегии с ее многочисленными глубокими фьордами затейливой формы имеет размерность 1,52. То же и со многими другими природными фракталами. Яркий пример – человеческое легкое. Поскольку само легкое очевидно трехмерно, его поверхность, по идее, должна быть двумерной. Однако в процессе эволюции легкое обрело огромную площадь поверхности – около 80–100 квадратных метров, в половину теннисного корта, – чтобы максимально ускорить газообмен. Поверхность легкого имеет настолько причудливую форму, со всеми его бесчисленными разветвлениями и крохотными воздушными пузырьками – альвеолами, – что она почти заполняет содержащееся внутри него пространство. Поверхность легкого имеет фрактальную размерность, если измерять ее клеточным методом, примерно 2,97 – она почти трехмерна.

В реальном мире существует только три пространственных измерения, но иногда “четвертым измерением” считают время. Неудивительно поэтому, что фракталы могут существовать не только в пространстве, но и во времени. Пример из экономики – рынок ценных бумаг. Цены на рынке периодически существенно повышаются и понижаются. Некоторые из этих колебаний занимают годы, другие (например, биржевые крахи) могут происходить крайне быстро. Кроме них есть и более умеренные колебания, когда цены поднимаются и снижаются вроде бы независимо от более долговременных трендов, и совсем уж скромные подъемы и падения, происходящие по много раз в день. Поскольку любое колебание на фондовом рынке фиксируется компьютерами, все эти тренды можно отследить вплоть до самых коротких промежутков времени – поминутно и даже посекундно.

Еще один пример временно́го фрактала нам уже встречался – это все то же побережье Великобритании. В любой отдельно взятый момент береговая линия представляет собой чисто пространственный фрактал, длина которого зависит от масштаба увеличения. Но со временем его форма и сложность непрерывно меняются из-за процессов эрозии и отложения осадков, приливов и отливов и даже под действием отдельных волн, а также едва уловимых колебаний земной коры, вызванных тектонической активностью.

Из всех известных математикам фракталов один стоит особняком из-за своей невероятной замысловатости. Эта удивительная фигура не только имеет сложную структуру в любом масштабе, но и при разном увеличении в различных точках может выглядеть как два абсолютно непохожих фрактала! Речь идет о знаменитом множестве Мандельброта, которое американский писатель Джеймс Глик в своей книге “Хаос” назвал (возможно, не совсем справедливо) “наиболее сложным объектом во всей математике”[16]. Хотя фрактал и носит имя Бенуа Мандельброта, вопрос о том, кто на самом деле его открыл, остается спорным. Два математика утверждали, что независимо открыли его примерно в то же время. Еще один, Джон Хаббард, профессор Корнеллского университета, вспоминал, что во время поездки в IBM в самом начале 1979 года он показал Мандельброту, как запрограммировать компьютер для построения частичных изображений объекта, который в следующем году, после публикации Мандельбротом научной статьи, стал носить его имя. Хотя Мандельброт внес серьезный вклад в популяризацию фракталов и придумал хитроумные способы их визуального отображения, он, похоже, не слишком любил отдавать должное заслугам других математиков.

Фрагмент множества Мандельброта.

Несмотря на свою фантастическую сложность, множество Мандельброта описывается очень простым правилом, которое применяется снова и снова до бесконечности. Суть правила такова: нужно взять число, возвести его в квадрат, а затем прибавить к некоему фиксированному числу. Результат надо подставить в ту же формулу и процесс повторять снова и снова, итерацию за итерацией. Числа эти компле́ксные, то есть каждое из них состоит из двух частей, одна из которых представляет собой действительное число, а вторая – так называемое “мнимое” (число, помноженное на квадратный корень из –1). Изображение фрактала получается, когда действительная и мнимая части каждого числа выводятся в виде графика.

Остановимся на этом подробнее. Предположим, что мы начинаем с комплексного числа z и постоянной с, также являющейся комплексным числом. Выбрав значение для z, мы применяем к нему правило “умножить z само на себя и прибавить c”, то есть “z² + c”. В результате получаем новое значение z, к которому снова применяем то же правило, чтобы получить следующее значение z. Некоторые из значений z не меняются совсем, другие через сколько-то повторений возвращаются к первоначальному значению. Любое из неменяющихся или повторяющихся циклически значений называется устойчивым в том случае, если при очень небольшом изменении z образующиеся новые значения лежат на траектории, очень близкой к исходной. Это примерно как с мячиком: на дне ямы он устойчив, качни его – и он откатится на прежнее место. А вот с вершины горы при малейшем толчке покатится вниз, поэтому его положение там неустойчиво.

Устойчивые точки – из тех, что не меняются или повторяются циклически, – называются аттракторами. Есть другие, которые могут вначале находиться далеко от аттрактора, но с каждой итерацией приближаются к нему все больше. Они образуют “область притяжения” комплексного числа c. Есть и такие, что постепенно удаляются, расходясь в бесконечность. Граница области притяжения называется множеством Жюлиа для числа c. Множества Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа, который вместе со своим соотечественником Пьером Фату в 1900-х годах положил начало исследованиям голоморфной динамики. Если выполнять итерации для любой точки из множества Жюлиа, получившиеся новые точки также будут находиться во множестве Жюлиа, но могут передвигаться по нему, не встраиваясь в циклически повторяющийся рисунок[17].

Простейшее множество Жюлиа образуется при c = 0, поскольку в этом случае правило получения новых значений z упрощается до требования “умножить z само на себя”. Что происходит с комплексным числом z, если выполнять для него итерации таким образом? Если сначала оно находится внутри единичной окружности (окружности с радиусом, равным 1) с центром в точке 0, то оно станет стремительно приближаться по спирали к 0. Если z находится вне этой окружности, то оно станет быстро удаляться по спирали же в бесконечность. Таким образом, множество Жюлиа – это граница единичного круга; область притяжения – все, что находится внутри нее; а аттрактор – это точка 0. Представьте, что множество Жюлиа для c = 0 – это стальной шарик, расположенный точно посередине между двумя магнитами. Шарик будет недвижим (оставаясь внутри множества Жюлиа, хотя на практике z может непредсказуемо перемещаться в границах множества), но если его хоть чуть-чуть сместить в сторону, он тут же притянется к одному из магнитов. В нашем случае один магнит – это точка 0, а второй – бесконечность.

Ничего особенно интересного в этом множестве Жюлиа нет, да и фракталом оно, конечно, не является. Но вот при значениях c, отличных от нуля, множества Жюлиа действительно образуют фракталы, причем самой различной формы. Иногда множество Жюлиа связно, иногда – нет. Когда оно несвязно, оно распадается в так называемую “пыль Фату”, которая, как можно догадаться по названию, представляет собой облако из разобщенных точек. Пыль Фату – это тоже фрактал, с размерностью менее 1.

Множество Мандельброта – это набор всех значений c, при которых множество Жюлиа является связным. Это один из самых узнаваемых фракталов, притом что опознать в нем фрактал довольно сложно. Хотя множество Мандельброта связно, можно заметить маленькие крапинки, которые кажутся совершенно изолированными, но в действительности соединены с ним тончайшими “нитями”. При увеличении эти крапинки оказываются уменьшенными изображениями полного множества Мандельброта, что может поначалу показаться удивительным, но на самом деле вполне соответствует тому, что мы знаем о природе фракталов. Однако эти ответвления – не точные копии множества, и среди них нет двух абсолютно идентичных. И это по праву считается одной из самых примечательных черт множества Мандельброта. Если увеличить любую точку на его границе, оно начинает все больше и больше походить на множество Жюлиа, соответствующее этой точке. Множество Мандельброта, являющееся единым фракталом, содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов в виде гигантского массива множеств Жюлиа, расположенных вдоль его границы. И действительно, множество Мандельброта иногда даже называют каталогом множеств Жюлиа. Его граница так невероятно сложна, что оказывается двумерной, хотя и предполагается, что ее площадь равна нулю.

Фракталы зачастую воплощают собой незамысловатый, но парадоксальный принцип: крайне простые правила позволяют получать фантастически сложные структуры и узоры. Снежинка Коха создается по правилу, понятному даже ребенку (всего-то нужно построить равносторонний треугольник на средней трети каждого из отрезков), и тем не менее имеет очень замысловатую, хоть и регулярную структуру. Множество Мандельброта во много крат сложнее, но его рецепт опять-таки обезоруживающе прост: начинаем с функции z² + c, а потом, изучая свойства получаемых значений и отфильтровывая те, что не отвечают заданным критериям, постепенно строим безумно сложный фрактал, в различных точках выглядящий совершенно по-разному. Используя компьютер в качестве микроскопа, можно увеличивать любую часть множества Мандельброта и обнаруживать нескончаемый ряд вложенных друг в друга узоров, ни разу в точности не повторяющихся.

У фракталов есть еще одна интересная особенность. Как мы уже знаем, фрактальная размерность снежинки Коха равна 1,26, что дает нам некоторое представление о степени “шероховатости” линии или о том, насколько хорошо она заполняет плоскость. Если взять произвольную линию, пересекающую снежинку Коха, такое пересечение почти всегда само представляет собой фрактал с размерностью 0,26. (Есть несколько случаев вырождения, таких как пересечение по оси симметрии, когда получаются две изолированных точки с фрактальной размерностью 0.) Это верно для любого фрактала с размерностью от 1 до 2 включительно. Например, почти все линии, пересекающие границу множества Мандельброта, образуют фракталы с размерностью 1, хоть они и состоят из разрозненных точек и имеют длину 0.

Если проделать то же с фракталами размерностью менее 1, происходит нечто иное. Любой из таких фракталов представляет собой облако из изолированных точек. Пример – пыль Фату. Удивительно, но почти все прямые, которые пересекают пыль Фату, имеют с ней лишь одну общую точку, образуя фрактал размерности 0, тогда как почти все прямые в целом, даже если ограничиться только теми, что проходят через пыль Фату, с ней не пересекаются.

Все эти фракталы существуют в двумерном пространстве. Но можно найти фракталы и в одномерном пространстве: они представляют собой разрозненные облака точек и имеют размерность 1 или меньше. Самый известный пример одномерного фрактала – канторово множество. Начнем с отрезка. Удалим у него среднюю треть, оставив два крайних отрезка. Будем проделывать то же снова и снова. В конце концов от всех отрезков остаются только отдельные точки, составляющие фрактал с размерностью приблизительно 0,63.

С фракталами тесно связано еще одно явление в математике, называемое хаосом. И то и другое задается итерированными функциями, то есть набором циклически применяющихся правил. На каждом этапе состояние, возникшее в результате предыдущей итерации, используется в качестве аргумента той же функции для получения следующего состояния. В случае с фракталами итерации приводят к возникновению повторяющихся или почти повторяющихся узоров, которым нет конца, сколько бы мы ни увеличивали масштаб. Отличительными чертами хаоса являются сложность, в которой отсутствуют какие бы то ни было повторяющиеся узоры, и крайняя чувствительность к изменениям начальных условий, или начального состояния системы.

Само слово “хаос” имеет греческое происхождение и исходно означало “разверстую бездну”, “беспредельное пространство”. В классическом и мифологическом представлении о сотворении мира хаосом называли бесформенное состояние, из которого возникла вселенная. В математике и физике хаос, или хаотическое состояние, равнозначен случайности или отсутствию упорядоченности. Но в теории хаоса речь о другом. Она описывает поведение нелинейных динамических систем при определенных условиях. Знакомый нам пример – капризы погоды. Сегодня мы легко можем предсказывать погоду на ближайшее время – на пару дней или неделю, и в большинстве случаев правильно. Но достоверно спрогнозировать погоду на более долгий срок – скажем, на месяц – невозможно. И причина тому – хаос.

Предположим, мы приняли какие-то погодные условия за начальные. Исходя из них, мы можем вычислить прогноз на будущее. Однако стоит нам хоть слегка скорректировать начальные условия, и наш прогноз очень скоро изменится до неузнаваемости. Именно этот факт подтолкнул американского математика и метеоролога Эдварда Лоренца к открытию хаоса. Как-то в 1950-х годах, работая с математически упрощенной моделью погоды, он ввел в свой компьютер данные и построил график, но тут его прервали. Вернувшись к работе, он решил не начинать вычисления с начала (это отняло бы слишком много времени), а запустил процесс моделирования с середины, вручную введя в компьютер рассчитанные ранее промежуточные данные. Полученная кривая поначалу соответствовала предыдущей, но вскоре стала все больше отклоняться от нее, словно бы это был совершенно новый график. Причина оказалась в том, что в памяти компьютера хранится больше десятичных знаков, чем в выводимых им округленных значениях. Когда Лоренц перезапустил программу с середины, эти “лишние” знаки учтены не были, поэтому введенные заново данные неуловимо отличались от первоначально полученного результата. В процессе вычислений эти отличия становились все более очевидными, пока не вылились в значительное отклонение. Этот случай привел к открытию принципа, который Лоренц назвал “эффектом бабочки”, имея в виду, что сегодняшний взмах крыльев бабочки может через месяц привести к урагану.

Того же эффекта, когда в определенный момент регулярность и предсказуемость уступают место хаосу, можно добиться и с помощью уравнений более простых, чем те, что используются при моделировании погоды. Возьмем некое значение x, которое может быть любым числом от 0 до 1 включительно. Затем умножим x на (1 – x) и на постоянную k, которая может быть любым числом от 1 до 4 включительно. Полученное значение x снова подставим в эту же формулу, и так снова и снова. На математическом языке можно записать то, что мы делаем, в виде x → kx(1 – x) для 0 ≤ x ≤ 1 и 1 ≤ k ≤ 4. Выполняя эти действия, мы обнаружим, что для значений k, меньших или равных 3, существует аттрактор, состоящий из одной точки, к которому стремятся все значения x (кроме 0 и 1). Для значений k от 3 до 3,45 аттрактор состоит из двух чередующихся точек. При значении k в диапазоне от 3,45 до 3,54 аттрактор состоит из четырех точек, потом их становится восемь и так далее, причем количество точек удваивается все чаще и чаще. При значении k, равном приблизительно 3,57, происходит существенное изменение, после которого удвоение уже не учащается, а происходит бесконечное количество раз. На этом этапе система уже не может стабилизироваться и становится абсолютно хаотичной. Хаос возникает в момент, когда предсказуемая система становится полностью непредсказуемой. Например, в нашем случае при значении k, меньшем 3, легко предсказать, что после, скажем, ста итераций точка окажется очень близко к единственному аттрактору. При значениях k, превышающих 3,57, уже невозможно предсказать, как поведет себя в отдаленном будущем та или иная точка.

Процессом удвоения точек аттрактора (от одной к двум, от двух к четырем и так далее), который мы наблюдали, когда значение k в нашем примере превысило 3, управляет важная математическая постоянная, называемая константой Фейгенбаума. Увидеть, как эта важная константа возникает, можно на этапах, предшествующих хаосу. Первая фаза, с циклом в одну точку, имеет длину 2, поскольку длится от k = 1 до k = 3. Вторая фаза, с циклом в две точки, имеет длину приблизительно 0,45, так как длится от k = 3 до k = 3,45. Отношение 2:0,45 равно примерно 4,45. Третья фаза имеет длительность около 0,095. Отношение 0,45: 0,095 приблизительно равно 4,74. И так далее. Эти отношения стремятся к константе Фейгенбаума, которая приблизительно равна 4,669. Длительность фаз сокращается экспоненциально, так что к моменту, когда k достигает 3,57, цикл повторяется бесконечное количество раз.

Константа Фейгенбаума выявляется в результате процесса, который мы только что рассмотрели, но ее фундаментальность для теории хаоса в том, что она обнаруживается во всех аналогичных хаотических системах. Какое уравнение ни возьми (если только оно отвечает определенным базовым условиям), оно будет иметь циклы, длина которых изменяется вдвое в соответствии с константой Фейгенбаума.

Чтобы увидеть, как хаотические процессы приводят к образованию фракталов, можно взять тот же итеративный процесс и нанести на сетку координат аттракторы для каждого значения k. Бо́льшая часть из того, что появляется после k = 3,57, – чистый хаос, но есть несколько значений k, для которых существует конечный аттрактор. Их называют “островами стабильности”. Один из таких островов образуется при значении k, близком к 3,82. В этом месте мы обнаруживаем аттрактор, состоящий всего из трех значений. Приблизив на графике любое из этих значений, мы видим рисунок, очень похожий на весь график в целом, хоть и не повторяющий его в точности.

В ходе своих новаторских исследований хаоса Лоренц также обнаружил новый вид фрактала, так называемый странный аттрактор. Обычный аттрактор прост в том смысле, что точки стремятся к нему, а затем совершают определенные постоянные циклы в его окрестностях. Странные же аттракторы, как мы увидим, ведут себя иначе. Для того чтобы получить первый пример странного аттрактора, Лоренц использовал систему дифференциальных уравнений. При увеличении масштаба в любой его точке появлялось бесконечное множество параллельных линий. Любая точка на аттракторе передвигалась по хаотической траектории рядом с ним, никогда не возвращаясь точно в исходное положение, а две точки, находившиеся изначально очень близко друг к другу, быстро расходились и в итоге оказывались на совершенно разных траекториях. Чтобы провести аналогию с физическим миром, представьте себе шарик для настольного тенниса и океан. Если шарик сбросить с высоты над океаном, он будет быстро падать, пока не коснется воды. Если его погрузить под воду и отпустить там, он быстро всплывет. Но как только он оказывается на поверхности океана, его движение становится совершенно непредсказуемым и хаотичным. Точно так же точка, не находящаяся на странном аттракторе, будет стремительно двигаться по направлению к нему. Достигнув же странного аттрактора, она начинает двигаться вблизи него хаотично.

Изучение фракталов – увлекательнейшее занятие, а по красоте мало какой математический объект способен составить им конкуренцию. Но кроме того, они играют важнейшую роль в физическом мире. В основе любого природного явления, которое кажется нам случайным и неупорядоченным, может лежать фрактал. Более того, можно даже утверждать, что все объекты и явления, существующие в этом мире, – фракталы, поскольку все они на любом уровне имеют ту или иную структуру, по крайней мере до уровня атомов. Облака, вены на руке, разветвления бронхов, листья деревьев – все они имеют структуру фрактала. В космологии по фрактальному принципу распределяется материя по Вселенной, и фрактал этот имеет структуру даже на уровнях меньше атомного ядра, вплоть до предельного значения расстояния, которому присвоен физический смысл, – так называемой планковской длины, равной 1,6 × 10^–35 метра, или приблизительно одной стоквинтиллионной размера протона.

Странный аттрактор, известный как “циклически симметричный аттрактор Томаса”.

Фракталы существуют не только как пространственные узоры, но и как временны́е. Возьмите игру на ударных: можно легко запрограммировать компьютер на создание и воспроизведение барабанной партии или посадить за ударную установку музыканта-робота. Но в игре профессиональных барабанщиков есть нечто, что отличает ее от идеально размеренного, безукоризненно точного ритма, производимого их электронными коллегами. И это “нечто” – незначительные изменения ритма и громкости, едва заметные отклонения от совершенства, которые, как показывают исследования, имеют фрактальный характер.

Международная группа ученых проанализировала работу на ударных Джеффа Поркаро, участника группы Toto, прославившегося своей виртуозной игрой на хай-хэте (сдвоенных тарелках), на котором он играл одной рукой. Как в ритме, так и в громкости ударов по хай-хэту исследователи обнаружили самоподобные фигуры, общая структура которых перекликалась с рисунком более коротких пассажей. Игра Поркаро на ударных – это акустический эквивалент фрактальной береговой линии, проявляющий самоподобие при различных масштабах. Кроме того, ученые установили, что слушателям больше нравятся именно такого рода вариации, а не идеально выстроенный ритмический рисунок или, наоборот, более случайный.

Фрактальные фигуры у каждого барабанщика свои, и это одна из особенностей, которая делает их игру уникальной и узнаваемой. Похожее наблюдается и у музыкантов, играющих на других инструментах. Эти мельчайшие отклонения от идеала – то, что отличает человека от машины.

Поскольку вокруг нас так много фракталов (пусть и не в строгом математическом смысле этого термина), компьютер способен быстро создать изображение, очень похожее на реальный объект, например, нарисовать дерево. Дайте ему лишь формулу и начальные данные – и через мгновение он выдаст вам фантастически реалистичную картинку. Неудивительно, что эта техника быстрого создания моделей планет, облаков, движущейся воды, ландшафтов, скал, растений и других объектов пейзажа так полюбилась специалистам по анимации и по компьютерной графике в кино, разработчикам авиасимуляторов и компьютерных игр. Нет нужды держать огромную базу данных со всеми объектами и локациями, необходимыми для съемки реалистичной сцены, – ведь компьютер запросто просчитает и построит все с лету, всего лишь повторяя на высокой скорости несколько несложных операций. Этот перспективный подход может сыграть важную роль в разработке будущих технологий погружения, в частности виртуальной реальности, где целью является создание действующих в реальном времени трехмерных изображений, неотличимых от окружающих нас объектов и явлений.

У компьютеров, пожалуй, больше общего с инженерным делом, чем с математикой, и когда речь идет об аппаратной части и программировании, с этим не поспоришь. Но теория алгоритмов – теоретическая информатика – наука самая что ни на есть математическая. Наш путь через лабиринты странной математики компьютеров к дальним пределам возможностей вычисления начинается почти столетие назад, задолго до того, как зажегся огонек первого электронного мозга.

В 1928 году немецкий математик Давид Гильберт, известный своим обыкновением ставить перед коллегами вопросы, на которые не было готового ответа[19], сформулировал задачу, названную им Entscheidungsproblem, или “проблемой разрешимости”. В задаче спрашивалось: всегда ли можно найти поэтапную процедуру, позволяющую за конечный промежуток времени определить, является математическое утверждение истинным или ложным? Гильберт надеялся на положительный ответ, но не прошло и десяти лет, как эта надежда рухнула.

Первый удар нанесла статья, опубликованная в 1931 году логиком австрийского происхождения Куртом Гёделем (о его работе мы еще поговорим подробнее в последней главе), изучавшим аксиоматические системы – наборы аксиом, или правил, принимаемых за самоочевидную истину, из которых выводятся теоремы. Гёдель показал, что в любой логически непротиворечивой системе аксиом, которая достаточно велика, чтобы включать в себя все правила арифметики, существуют истинные утверждения, чью истинность невозможно доказать средствами самой этой системы. Вывод, получивший название теорем Гёделя о неполноте, означал, что всегда будут существовать математические истины, которые невозможно доказать. Открытие стало потрясением для многих ученых, но оно еще не ставило крест на вопросе разрешимости математических утверждений, или, другими словами, на возможности найти алгоритм (последовательность шагов), способный гарантированно определить, является ли утверждение доказуемым, а если является – истинно оно или ложно. Крест на этом вопросе будет поставлен несколько позже, во многом благодаря молодому англичанину Алану Тьюрингу, который помог вынести окончательный вердикт по Entscheidungsproblem.

В жизни Тьюринга смешались триумф и трагедия: триумф гения, одного из основателей теории вычислительных систем, приблизившего окончание Второй мировой войны, и трагедия человека, на себе испытавшего отношение общества той поры к гомосексуалам. В раннем возрасте у него открылся удивительный талант к математике и естественным наукам. Проявился он уже в Шерборнской школе в графстве Дорсет, которую Тьюринг начал посещать в 1926 году в возрасте тринадцати лет. В школе Тьюринг крепко сдружился с другим талантливым учеником, своим одноклассником Кристофером Моркомом. Внезапная смерть Моркома в 1930 году глубоко потрясла Тьюринга. Он целиком посвятил себя занятиям математикой, а из-за потери друга стал проявлять острый интерес к природе человеческого разума и возможности жизни духа после смерти тела, надеясь, что ответ на этот вопрос сможет дать квантовая механика.

Во время учебы в Кембридже Тьюринг прослушал курс логики, из которого он узнал об Entscheidungsproblem. Убежденный в неправоте Гильберта, он решил посвятить этой проблеме отдельную научную работу. Тьюринг считал, что алгоритм, позволяющий определить, возможно ли доказать конкретное математическое утверждение, существует не всегда. Для работы над проблемой разрешимости ему требовался способ реализации алгоритмов: некое идеализированное устройство, умеющее выполнить любой заданный ему логический набор команд. Таким устройством стала придуманная им воображаемая “a-машина” (где буква а означала “автоматическая”), которая вскоре получила название “машина Тьюринга”, – чистая абстракция, он даже не предполагал воплощать ее в реальности. Конструкция ее была нарочито примитивной, а работала бы такая машина мучительно медленно. Она изначально создавалась исключительно как упрощенная до предела математическая модель вычислительной машины.

Машина Тьюринга состоит из бесконечно длинной ленты, разделенной на ячейки, каждая из которых может быть пустой или содержать 1 либо 0, и головки чтения-записи. Головка считывает по одной ячейке за шаг и выполняет определенное действие в зависимости от содержимого ячейки, внутреннего состояния головки и текущей команды в ее протоколе или программе. Команда может иметь, например, следующий вид: “Если вы находитесь в состоянии 18 и обозреваемая ячейка содержит 0, то замените его на 1, передвиньте ленту на одну ячейку влево и переключитесь в состояние 25”.

В начале ленты находятся входные данные в виде конечной последовательности единиц и нулей. Головка чтения-записи помещается над первой ячейкой входных данных, допустим, над первой слева, и выполняет первую полученную ею команду. Выполняя одну за другой команды из заданного перечня (программы), головка преобразует записанную на ленте первоначальную цепочку нулей и единиц в другую, а затем останавливается. После того как машина достигла этого заключительного состояния, на ленте остается новая последовательность цифр – выходные данные.

Простой пример: прибавление к цепочке из n единиц еще одной, или, другими словами, превращение n в n + 1. Входные данные в этом случае – последовательность единиц и за ней пустая ячейка либо, если n = 0, просто пустая ячейка. Головке дается первая команда: перейти к первой непустой ячейке – или, если известно, что на ленте нет вообще никаких данных, начать с любой ячейки – и считать ее содержимое. В случае, если в ячейке стоит 1, дается команда оставить ее как есть и перейти на одну ячейку вправо, не переключаясь в другое состояние; если же ячейка пустая, дается команда записать в ней 1 и остановиться. Дописав к цепочке цифр единицу, головка может, в зависимости от полученной команды, либо остановиться, либо вернуться в исходную позицию – например, для того чтобы начать процесс заново и дописать к цепочке еще одну единицу. Как вариант, после размещения головки над последней в цепочке единицей может быть введено какое-либо иное состояние, после чего головка начнет выполнять новый набор команд.

Некоторые машины Тьюринга могут так никогда и не остановиться либо работать без остановки в случае ввода определенных входных данных. Например, заведомо ясно, что никогда не прекратит работу машина, которой дана команда всегда перемещать головку вправо, независимо от того, что находится в считываемых ячейках.

Затем Тьюринг создал в своем воображении особый вид вычислительной машины, известный сегодня под названием “универсальная машина Тьюринга”. Теоретически она была способна выполнять любую программу. Лента ее разделена на две части: на одной закодирована программа, на другой содержатся входные данные. Головка чтения-записи универсальной машины Тьюринга может перемещаться между этими частями и выполнять над входными данными операции в соответствии с командами, записанными в программе. Устройство предельно просто: бесконечно длинная лента, на которой содержится как программа, которую следует выполнить, так и входные и выходные данные, плюс головка чтения-записи. Машина может выполнять всего шесть простых операций: считывание, запись, перемещение влево, вправо, изменение состояния и остановка. Но, несмотря на эту простоту, возможности универсальной машины Тьюринга поражают воображение.

У вас наверняка есть хотя бы один компьютер. Неважно, какая на нем операционная система – какая-нибудь из версий Windows, Mac или Android либо иная, скажем, Linux. Производители любят подчеркивать преимущества и особенности своих операционных систем, выгодно отличающие их от конкурентов. Но с точки зрения математики при наличии достаточной памяти и времени все эти различные системы абсолютно идентичны. Более того, все они – полные эквиваленты той самой универсальной машины Тьюринга. Пусть на первый взгляд она и кажется чересчур примитивной, да и по эффективности не ровня мощным машинам нашего времени, но вот по своим возможностям она ничем не хуже любого современного компьютера.

Изобретение универсальной машины Тьюринга привело к возникновению такого понятия, как эмуляция. Говорят, что один компьютер способен эмулировать некий другой, если он может выполнять программу (называемую эмулятором), которая фактически превращает его в этот другой компьютер. Например, компьютер, работающий под управлением операционной системы Mac OS, может выполнить программу, которая заставит его вести себя так, как если бы на нем была установлена система Windows, – правда, на это требуется много оперативной памяти, а обработка данных происходит медленно. Если подобная эмуляция возможна, два компьютера считаются математически эквивалентными.

Программисту не составит особого труда написать программу, которая позволит любому компьютеру эмулировать любую конкретную машину Тьюринга, в том числе и универсальную (опять-таки при условии наличия неограниченной памяти). Аналогично универсальная машина Тьюринга способна эмулировать любой другой компьютер, выполнив соответствующую программу-эмулятор. Итак, имея достаточно памяти, все компьютеры могут выполнять одни и те же программы, хотя кодировать их, возможно, придется на разных языках программирования, в зависимости от конкретной системы.

По оригинальному описанию Тьюринга был даже сконструирован целый ряд реальных машин – в основном в качестве экспериментов по проектированию или для демонстрации работы простейших вычислительных устройств. Несколько машин было построено из деталей LEGO, в том числе одна – из конструктора LEGO Mindstorms NXT для создания программируемого робота. А вот рабочая модель, созданная изобретателем из штата Висконсин Майком Дэйви, напротив, “воплощает в себе классические эстетичность и функциональность описанной Тьюрингом машины” и сейчас находится в постоянной экспозиции Музея истории компьютеров в городе Маунтин-Вью (штат Калифорния).

Модель машины Тьюринга, построенная Майком Дэйви в соответствии с оригинальной идеей Алана Тьюринга.

Как уже упоминалось, свое изящное устройство Тьюринг придумал специально для того, чтобы дать ответ на проблему разрешимости, сформулированную Гильбертом, что он и сделал в своей статье 1936 года, озаглавленной “О вычислимых числах применительно к Entscheidungsproblem”. Если ввести в универсальную машину Тьюринга произвольные входные данные, она может либо остановиться, либо продолжать работать бесконечно. Тьюринг задался вопросом: возможно ли определить, остановится она или нет? Можно, конечно, запустить ее на неопределенное время и посмотреть, что произойдет. Но если после долгого ожидания вы решите досрочно прекратить эксперимент, не дождавшись результата, то так и не узнаете, остановилась бы машина сразу после этого этапа, гораздо позже либо продолжала бы работать бесконечно. Разумеется, для конкретных случаев просчитать результат можно, как мы в силах выяснить, остановится ли когда-нибудь простая машина Тьюринга. Однако Тьюринг хотел знать, существует ли общий алгоритм, способный для любых входных данных определить, остановится машина или нет. Эта задача получила название “проблема остановки”, и Тьюринг доказал, что такого алгоритма не существует. Далее, в заключительной части своей статьи, он показал, что отсюда следует вывод о неразрешимости Entscheidungsproblem. А это значит, что мы можем быть абсолютно уверены: никакая самая совершенная компьютерная программа не сумеет – во всех случаях – определить, завершит ли когда-нибудь свою работу какая-либо иная программа.

За месяц до выхода исторической статьи Тьюринга американский ученый-логик Алонзо Чёрч, его научный руководитель, независимо опубликовал собственную статью, в которой делал тот же вывод, но для доказательства использовал совершенно другой метод – лямбда-исчисление. Так же как и машина Тьюринга, лямбда-исчисление представляет собой универсальную вычислительную модель, но скорее программную, а не аппаратную; она оперирует “комбинаторами” – функциями, которые применяются к другим функциям. И Чёрч, и Тьюринг, пользуясь каждый своим методом, пришли, в сущности, к одному и тому же результату, получившему название “тезис Чёрча – Тьюринга”. Суть его в том, что человек способен высчитать или оценить количественно (такую мелочь, как ограниченность ресурсов, мы при этом в расчет не берем) только то, что вычислимо с помощью машины Тьюринга или равнозначного ей устройства. “Вычислимость” означает, что машина Тьюринга, если подать ей на вход программу (в двоичном представлении), способна работать до тех пор, пока не остановится, дав на выходе ответ (в таком же двоичном представлении). Основной вывод, следующий из тезиса Чёрча – Тьюринга, заключается в том, что общего решения Entscheidungsproblem не существует.

Хотя Тьюринг изобрел свою машину для решения математической задачи, он фактически заложил основу для создания цифровых компьютеров. Все современные компьютеры, по сути, делают то же самое, что и машины Тьюринга, а сам подход также используется для измерения эффективности наборов машинных команд и языков программирования. Высшая оценка эффективности компьютерной программы, ее “полнота по Тьюрингу”, означает, что программа способна смоделировать любую машину Тьюринга, использующую одну ленту.

Пока еще никому не удалось придумать метод вычислений, который может больше, чем машина Тьюринга. Последние разработки в области квантовых компьютеров, на первый взгляд, указывают на существование способа выйти за пределы возможностей машины Тьюринга. Но на самом деле при наличии достаточного времени даже квантовый компьютер можно эмулировать с помощью любого обычного (классического) компьютера. Да, некоторые типы задач квантовый компьютер сможет решить гораздо более эффективно, чем его классический эквивалент, но в конечном итоге все, на что он способен, выполнимо и на простом устройстве, придуманном Тьюрингом. Это говорит о том, что существуют задачи, для которых мы никогда не сумеем путем вычислений получить общий, гарантированно точный во всех случаях ответ (хотя для конкретных случаев такое возможно).

Есть в математике и другие вещи и явления, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с машинами Тьюринга, но на поверку оказываются их эквивалентами (эмулирующими их). Один из примеров – игра “Жизнь”, придуманная английским математиком Джоном Конвеем. Идея игры пришла ему в голову, когда он заинтересовался проблемой, которую в 1940-х годах исследовал венгерско-американский математик и один из основоположников компьютерной науки Джон фон Нейман: возможно ли выдумать гипотетическую машину, способную производить точные копии самой себя? Фон Нейман доказал, что это возможно, создав математическую модель такой машины, где использовались разбитая на прямоугольные клетки область и набор очень сложных правил. Конвей задался вопросом, нельзя ли доказать то же более простым способом, – и придумал игру “Жизнь”. В игре Конвея используется (теоретически) бесконечное поле, разбитое на квадратные клетки, каждая из которых может быть окрашена либо в черный, либо в белый цвет. Игра начинается с произвольного узора из черных клеток и развивается по двум правилам:

1. Черная клетка остается черной, если ровно 2 или 3 из восьми соседних клеток тоже черные.

2. Белая клетка превращается в черную, если ровно 3 соседние клетки – черные.

Вот и все. И хотя освоить игру “Жизнь” может даже ребенок, она обладает всеми теми же возможностями, что и универсальная машина Тьюринга – а стало быть, что и любой когда-либо созданный в истории человечества компьютер. Впервые удивительная игра Конвея была представлена широкой аудитории в колонке Мартина Гарднера “Математические игры” в октябрьском выпуске журнала Scientific American за 1970 год. Гарднер познакомил своих читателей с основными фигурами в игре: “блоком” – квадратом размером 2 × 2 клетки, который по правилам игры никогда не изменяется, и “мигалкой” – прямоугольником размером 1 × 3 клетки, ориентация которого чередуется между горизонтальной и вертикальной, а центр остается неподвижным. “Планер” представляет собой фигуру из пяти клеток, передвигающуюся по диагонали на одну клетку за каждые четыре хода.

Поначалу Конвей думал, что, как бы ни располагались клетки в начале игры, их бесконечное “размножение” невозможно – любая конфигурация в конце концов стабилизируется, превратится в осциллятор или просто исчезнет, “умрет”. В той статье Гарднера 1970 года объявлялось, что Конвей предлагает премию в 50 долларов первому, кто докажет или опровергнет эту гипотезу. Не прошло и нескольких недель, как приз получила группа из Массачусетского технологического института под руководством математика и программиста Билла Госпера, одного из основателей сообщества хакеров. Так называемое “ружье Госпера” циклически “выстреливает” нескончаемую череду планеров со скоростью одна штука за тридцать поколений. Помимо того, что это увлекательное зрелище, “ружье Госпера” представляет интерес и с точки зрения теории: оно играет важнейшую роль в построении компьютеров на основе игры “Жизнь”, поскольку испускаемые им планеры можно принять за аналог потока электронов в компьютере. В реальной жизни, правда, эти потоки надо как-то контролировать, чтобы компьютер мог выполнять свое предназначение – вычислять. Как раз эту функцию выполняет логический вентиль.

Четыре распространенных конфигурации в игре “Жизнь”. Слева: “блок” (вверху) и “улей” (внизу). Обе эти фигуры – “натюрморты”, то есть они не меняются в ходе игры. Фигура справа вверху – “мигалка”, простейший из осцилляторов, которые после нескольких поколений возвращаются в исходную конфигурацию. В случае с “мигалкой” вертикальная ориентация чередуется с горизонтальной. Фигура справа внизу – “планер”.

“Планер”, через четыре поколения передвигающийся на одну клетку по диагонали.

Логический вентиль – это электронный компонент, преобразующий один или более входных сигналов в выходной сигнал. В принципе, компьютер можно создать, используя всего один тип логического вентиля, но, если взять три, задача существенно упростится. Речь о вентилях НЕ, И и ИЛИ. Вентиль НЕ выдает на выходе сигнал высокого уровня тогда и только тогда, когда получает на входе сигнал низкого уровня. Вентиль И выдает на выходе сигнал высокого уровня тогда и только тогда, когда оба входных сигнала – высокого уровня. Наконец, вентиль ИЛИ выдает сигнал высокого уровня тогда и только тогда, когда хотя бы один из входных сигналов – высокого уровня. Вентили можно объединять в схемы, способные и обрабатывать, и хранить данные.

Бесконечная схема из логических вентилей может моделировать работу машины Тьюринга. В свою очередь, работу логических вентилей можно моделировать с помощью игры “Жизнь”, а именно – используя различные сочетания ружей Госпера. Поток планеров из одного ружья будет выступать в качестве сигнала высокого уровня (“1”), а отсутствие планеров – сигнала низкого уровня (“0”). Что очень важно, планеры способны блокировать друг друга: сталкиваясь определенным образом, они взаимоуничтожаются. И наконец, венчает систему “пожиратель” – незамысловатая фигура из семи черных клеток. “Пожиратель” способен “поглощать” лишние планеры, не позволяя им нарушать другие компоненты системы, при этом сам он остается неизменным. Комбинируя разными способами “ружья Госпера” и “пожирателей”, мы можем моделировать различные логические вентили, а уже из них собрать действующую модель машины Тьюринга. Это кажется невероятным, но абсолютно все, на что способен самый мощный на свете суперкомпьютер, возможно сделать и с помощью игры “Жизнь” – только времени потребуется побольше. И точно так же, как в машине Тьюринга, в игре “Жизнь” невозможно написать программу, которая предсказала бы, чем закончится эволюция любого произвольного сочетания клеток, – ведь это противоречило бы выводу о неразрешимости проблемы остановки. Игра “Жизнь”, как и сама жизнь, непредсказуема и полна сюрпризов.

Современная теория алгоритмов опирается на идеи Тьюринга, однако она включает и еще одну концепцию, оставшуюся за рамками его исследований. В знаменитой статье 1936 года речь шла только о существовании алгоритмов, но не об их эффективности. Но на практике всех нас, конечно, интересуют алгоритмы скоростные, позволяющие компьютеру решать задачи как можно быстрее. Два алгоритма могут быть эквивалентны, то есть одинаково способны решить одну и ту же задачу, но, если один делает это за секунду, а другому требуется миллион лет, мы, естественно, выберем первый. Проблема с оценкой скорости алгоритма в том, что она зависит от многих факторов, как программных, так и аппаратных. Например, скорость выполнения одного и того же набора команд может различаться при использовании разных языков программирования. Чтобы представить в числовом выражении зависимость скорости алгоритма от количества входной информации (n), специалисты по вычислительным системам обычно пользуются обозначением “O большое” (от немецкого Ordnung – “порядок”). Если алгоритм программы имеет порядок n, то есть выполняется за время O(n), это означает, что время, необходимое для выполнения программы, приблизительно пропорционально размеру входных данных. Это справедливо, например, при сложении двух чисел в десятичной системе счисления. А вот на умножение нужно уже больше времени – O(n²).

Если говорят, что программа выполняется за так называемое полиномиальное время, это значит, что время ее выполнения не превышает размера входных данных, возведенного в определенную степень. Считается, что для большинства практических целей такой скорости обычно достаточно. Конечно, если степень выражается огромным числом, скажем, 100, то времени на выполнение программы понадобится очень уж много, но такое почти никогда не случается. Пример алгоритма с довольно высоким показателем степени – это алгоритм Агравала – Каяла – Саксены (АКС), который используют, чтобы проверить, является ли число простым. Он выполняется за время O(n¹²), поэтому на практике для проверки большинства чисел используют другой алгоритм, который выполняется хоть и не за полиномиальное время, но все же быстрее, чем АКС. А вот для поиска новых, очень больших, простых чисел алгоритм АКС незаменим.

Предположим, мы решили самым незамысловатым способом проверить, является ли простым некое число, состоящее из n знаков. Для этого нам нужно перебрать все числа от 2 до квадратного корня из нашего числа, определяя, не являются ли они его делителями. Можно немного облегчить себе работу, скажем, пропускать четные числа, но все равно времени на такую проверку понадобится O(√10ⁿ), или приблизительно O(3ⁿ). Такое время называется экспоненциальным – и благодаря компьютеру оно не выходит за разумные рамки, если n не слишком велико. Чтобы этим способом проверить на простоту одноразрядное число, потребуется три операции, которые суперкомпьютер, работающий со скоростью 1 квадриллион операций в секунду, выполнит за 3 фемтосекунды (3 квадриллионных части секунды). На проверку десятизначного числа понадобится уже около 60 пикосекунд, а двадцатизначного – примерно 3,5 микросекунды. Но, поскольку речь идет об экспоненциальном времени, по мере увеличения количества знаков в числе даже суперкомпьютер начинает захлебываться. Чтобы нашим примитивным методом проверить на простоту семидесятизначное число, потребуется уже около 2,5 квинтиллиона секунд – больше, чем нынешний возраст Вселенной. В подобных ситуациях не обойтись без быстрых алгоритмов.

Алгоритму вроде АКС, при условии что время выполнения операций выражается размером входных данных, возведенным в двенадцатую степень, на проверку простоты семидесятизначного числа потребуется “всего лишь” 14 миллионов секунд, или 160 дней. Это, конечно, все равно очень долго для скоростного компьютера, но по сравнению с астрономическим сроком, которого требует экспоненциальный алгоритм, почти молниеносно. Полиномиальные алгоритмы не всегда удобны на практике, но экспоненциальные при большом размере входных данных абсолютно неприемлемы. К счастью, есть целый ряд алгоритмов, занимающих промежуточное положение, и зачастую алгоритмы, которые работают “почти полиномиальное” время, достаточно практичны.

У всех машин Тьюринга, о которых мы говорили до сих пор, есть общая черта. В их алгоритмах – списках команд, указывающих им, что делать, – для каждой ситуации предусматривается только одно действие. Такие машины Тьюринга называются детерминированными (ДМТ). Получив команду, они автоматически ее выполняют: они неспособны “выбирать” между двумя различными командами. Но возможно представить себе и другой тип машин – недетерминированные (НМТ). В них каждая комбинация входных данных и состояния головки чтения-записи допускает выполнение более чем одной команды. НМТ – всего лишь мысленный эксперимент, построить ее в реальности было бы невозможно. Программа НМТ, например, могла бы включать как команду “Если текущее состояние 19 и обозреваемая ячейка содержит символ «1», нужно заменить его на «0» и перейти на одну ячейку вправо”, так и команду “Если текущее состояние 19 и обозреваемая ячейка содержит символ «1», нужно оставить его без изменений и перейти на одну ячейку влево”. В этом случае внутреннее состояние машины и символ на ленте не предусматривают единственно возможного действия. Вопрос: как же машина определяет, какое действие нужно выполнить?

НМТ изучает все возможные варианты решения задачи, а затем выбирает из них правильный (если он есть). Можно, конечно, считать такую машину просто исключительно везучим игроком, которому из множества решений всегда удается выбрать правильное. Но разумнее думать об НМТ как об устройстве, вычислительные способности которого возрастают по мере выполнения задачи таким образом, что каждый последующий шаг вычислений занимает не больше времени, чем предыдущий. Допустим, нужно выполнить поиск по двоичному дереву – структуре, в которой данные организованы таким образом, что в каждой точке (узле) происходит расщепление на два или более вариантов. Предположим, наша задача – найти в дереве конкретное число, скажем, 358. Машине нужно проходить каждый из всех возможных маршрутов до тех пор, пока она не найдет нужное число. Обычная машина Тьюринга, ДМТ, будет проходить их последовательно, один за другим, пока не наткнется на искомое значение. Поскольку количество ветвей в дереве увеличивается экспоненциально, удваиваясь на каждом уровне, на поиск нужного узла потребуется безнадежно много времени, если только по счастливой случайности он не будет находиться на одной из ближайших ветвей. А вот с НМТ ситуация меняется радикально: на каждом уровне двоичного дерева производительность машины словно бы удваивается, поэтому поиск на каждом последующем уровне занимает ровно столько же времени, сколько и на предыдущем, сколько бы ни было в дереве узлов.

В принципе, при наличии достаточного времени ДМТ под силу любая задача, с которой может справиться НМТ. Загвоздка как раз в “достаточности” времени. Ту же самую задачу, которую ДМТ выполняет за экспоненциальное время, НМТ способна была бы выполнить за полиномиальное. Жаль все-таки, что в реальности такая машина невозможна. Зато этот воображаемый компьютер позволил нам вплотную подобраться к одной из важнейших нерешенных проблем теории алгоритмов и математики в целом – так называемой проблеме равенства классов P и NP. Премия в миллион долларов обещана Математическим институтом Клэя тому, кто первым сумеет предложить доказуемо корректное решение[20]. P и NP – названия, присвоенные двум множествам задач разного класса сложности. Задачи множества P (от англ. polynomial – “полиномиальный”) могут быть решены за полиномиальное время на обычной (детерминированной) машине Тьюринга. Задачи множества NP (от англ. non-deterministic polynomial – “недетерминированный полиномиальный”) – это те, которые мы могли бы решить за полиномиальное время, будь у нас НМТ. (Одна из таких задач – разложение больших чисел на простые сомножители. НМТ способна выполнить поиск нужного множителя в двоичном дереве быстро, за полиномиальное время, тогда как ДМТ придется прочесывать каждую ветвь, что займет экспоненциальное время.) Это означает, что все задачи множества P принадлежат также и множеству NP, поскольку НМТ может делать все то же, что и обычная машина Тьюринга, за то же время.

Разумно предположить, что множество NP больше, чем P, ведь оно включает и те задачи, которые можно решить только на машине Тьюринга, обладающей сверхспособностями – поразительной везучестью или фантастической производительностью. Но на сегодня никем пока не доказано, что обычная ДМТ не способна на все то же, что по силам НМТ, хотя такое предположение и кажется весьма правдоподобным. Однако для математиков есть огромная разница между разумным предположением и достоверностью. Пока нет убедительных свидетельств иного, всегда остается возможность, что кто-то докажет равенство множеств N и NP – почему, собственно, проблема и носит такое название. Миллион долларов – сумма немалая, но как ее получить, если для этого нужно доказать (или опровергнуть), что все задачи класса NP принадлежат также и классу P? Небольшой повод для оптимизма дает факт существования так называемых NP-полных задач. Они примечательны тем, что, если для решения хотя бы одной из них удастся найти полиномиальный алгоритм, выполняемый на обычной машине Тьюринга, это будет означать, что такой алгоритм существует для всех задач класса NP. В этом случае утверждение “P = NP” будет истинным.

Первая NP-полная задача, названная задачей выполнимости булевых формул, или SAT[21], была сформулирована в 1971 году американско-канадским математиком и специалистом в области теории вычислительных систем Стивеном Куком. Ее можно выразить в терминах логических вентилей. Имеется схема, состоящая из произвольного множества логических вентилей и входов (но не имеющая обратной связи) и ровно одного выхода. Вопрос: можно ли найти такое сочетание входов, при котором выход “включится”? В принципе, решение всегда можно искать перебором всех возможных сочетаний входов в системе, но это все равно что использовать экспоненциальный алгоритм. Чтобы доказать равенство P и NP, придется доказать, что есть более быстрый – полиномиальный – способ получить ответ.

SAT – хотя и первая, но не самая известная из NP-полных задач. Эта честь принадлежит задаче коммивояжера, уходящей корнями в середину XIX века. В руководстве для коммивояжеров, опубликованном в 1832 году, шла речь о наиболее эффективном способе объехать ряд городов в Германии и Швейцарии. Научную формулировку задаче впервые дали пару десятилетий спустя ирландский физик и математик Уильям Гамильтон и англиканский священник и математик Томас Киркман. Предположим, что коммивояжеру нужно объехать множество городов и ему известно расстояние (не обязательно по прямому маршруту) между каждой парой городов. Необходимо найти кратчайший маршрут, по которому можно объехать все города и вернуться в исходный. Только в 1972 году было доказано, что эта задача является NP-полной (то есть что построение полиномиального алгоритма для ее решения докажет равенство P и NP). Это объясняет, почему не одно поколение математиков, в последнее время даже вооруженных компьютерами, сталкивалось с трудностями при поиске оптимальных решений для сложных маршрутов.

Понять условия задачи коммивояжера не составит труда никому, а вот решить ее ничуть не проще, чем любую другую NP-полную задачу – все они чрезвычайно сложны. Математикам не дает покоя то, что построение полиномиального алгоритма для любой NP-полной задачи докажет, что P = NP. Последствия этого будут очень серьезны: в частности, это будет означать, что существует полиномиальный алгоритм для взлома RSA – метода криптографической защиты (мы еще поговорим о нем позже), на который мы полагаемся ежедневно, например, при получении банковских услуг. Хотя, скорее всего, такого алгоритма все же не существует.

Недетерминированные машины Тьюринга существуют, как мы уже выяснили, только в нашем воображении. Другое дело – квантовый компьютер, потенциально тоже чрезвычайно мощное устройство, которое уже начали создавать. Как ясно из названия, в основе принципа его работы лежит ряд очень странных явлений из области квантовой механики. А оперирует он не обычными битами (от англ. binary digit – “двоичное число”), а квантовыми, так называемыми кубитами (от англ. quantum bit – “квантовый бит”). Кубит, который может представлять собой просто электрон с неизвестным спином, имеет в контексте квантовых эффектов две характеристики, отсутствующие у обычного бита в традиционном компьютере. Во-первых, он может находиться в суперпозиции состояний: одновременно представлять собой и 0, и 1, а становиться тем или другим только тогда, когда за ним наблюдают. Это же явление можно истолковать и по-другому: квантовый компьютер, вместе со всей остальной вселенной, расщепляется на две копии самого себя, в одной из которых бит 1, а в другой – бит 0, и только при измерении кубита он, вместе с окружающей его вселенной, “схлопывается” в конкретное значение. Второе любопытное свойство, лежащее в основе работы квантовых компьютеров, – запутанность. Два запутанных кубита, даже будучи разделенными в пространстве, так связаны друг с другом явлением, которое окрестили “жутким дальнодействием”, что измерение одного из них мгновенно влияет на измерение второго.

С точки зрения вычислительных возможностей квантовые компьютеры эквивалентны машинам Тьюринга. Но, как мы уже убедились, одно дело уметь что-то вычислить в принципе (когда достаточно времени) и совсем другое – сделать это эффективно. Все, что может (или сможет в будущем) квантовый компьютер, теоретически можно сделать и на классической машине Тьюринга с бумажной лентой, если вы готовы подождать парочку геологических эр, а то и дольше. Эффективность – это совершенно отдельный вопрос. Некоторые виды задач квантовые компьютеры сумеют решать во много раз быстрее, чем сегодняшние традиционные устройства, а вот что касается сути этих задач, то есть того, что способен вычислить квантовый компьютер, его возможности ничем не отличаются от возможностей придуманной Тьюрингом машины.

Профессор Уинфрид Хенсингер (слева) и Себастьян Вайдт работают над прототипом квантового компьютера.

Заманчиво приравнять квантовые компьютеры к недетерминированным машинам Тьюринга, но, увы, это разные вещи. Да, их вычислительные возможности одинаковы, в этом смысле недетерминированные машины Тьюринга не превосходят детерминированные: на ДМТ можно смоделировать как первые, так и вторые. А вот по эффективности квантовым компьютерам вряд ли удастся догнать НМТ, что неудивительно, поскольку НМТ – исключительно гипотетические устройства. Маловероятно, например (хоть это пока и не доказано), что они смогут решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Впрочем, одну задачу, которую раньше считали не имеющей такого решения (что предполагало бы ложность равенства “P = NP”), все же удалось с помощью квантовых компьютеров решить за полиномиальное время – это разложение больших чисел на простые множители. В 1994 году американский математик Питер Шор разработал для этого квантовый алгоритм, учитывающий особые свойства такой задачи. К сожалению, аналогичный метод не может быть применен для решения других задач, например NP-полных. Если и можно разработать для квантовых компьютеров полиномиальный алгоритм решения NP-полной задачи, он опять-таки должен задействовать ее специфические особенности.

Как и любая другая молодая и перспективная технология, квантовые компьютеры – это и множество надежд, и немало проблем. Среди последних – вероятность взлома шифров, которые до сих пор считались высокозащищенными, в основном потому, что, несмотря на все предпринятые усилия, за последние несколько десятилетий никому не удалось разработать полиномиальный метод их дешифровки. Современные методы криптографической защиты основаны на алгоритме RSA, названном так по первым буквам фамилий его изобретателей Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Адлемана[22]. Алгоритм позволяет очень быстро зашифровать данные и используется ежедневно, ежесекундно при обмене данными в интернете. А вот расшифровка тем же алгоритмом без специальной информации – ключа – происходит гораздо медленнее и требует экспоненциального времени. Именно этой асимметрией скорости и необходимостью обладать дополнительной информацией объясняется эффективность RSA. Работает алгоритм следующим образом: у каждого пользователя есть два ключа – открытый и секретный. С помощью открытого, общедоступного ключа информация шифруется, а секретный ключ, предназначенный для расшифровки, известен только его владельцу. Отправить защищенное сообщение просто – достаточно с помощью открытого ключа применить алгоритм. Но прочитать сообщение сможет только его адресат, имеющий секретный ключ. Теоретически секретный ключ возможно разгадать, зная открытый, но для этого придется разлагать на множители огромные числа, состоящие из сотен знаков. Если ключи достаточно большие, то для расшифровки сообщений, которые мы постоянно отправляем при совершении банковских и других конфиденциальных операций, понадобится задействовать все компьютеры мира, причем работать им нужно будет гораздо больше времени, чем текущий возраст Вселенной. Есть, однако, опасения, что с приходом квантовых компьютеров ситуация может круто измениться.

В 2001 году с помощью алгоритма Шора, который позволяет осуществлять разложение чисел на множители за полиномиальное время, и 7-кубитного квантового компьютера число 15 было разложено на множители 3 и 5. Десятилетие спустя тем же методом было разложено число 21. Оба достижения кажутся смехотворно скромными, учитывая, что то же без труда сделает любой школьник, знающий таблицу умножения. Но вот в 2014 году с помощью другого алгоритма и квантовой вычислительной системы были разложены на простые множители уже гораздо более внушительные числа, 56 153 – самое большое[23]. Даже этот результат может показаться не очень впечатляющим на фоне проблемы разложения на множители гигантских чисел, состоящих из сотен знаков. Однако с ростом числа кубитов в квантовых компьютерах успешная дешифровка всех шифров RSA рано или поздно станет возможной. Когда это произойдет, сегодняшние способы обмена данными в интернете перестанут быть безопасными – и банковская индустрия, а вместе с ней и все другие системы, требующие защиты передаваемых данных, будут повергнуты в хаос. Вероятно, удастся разработать новую систему криптографической защиты на основе NP-трудных задач – таких, которые не менее трудны для решения, чем NP-полные, но не обязательно относятся к классу NP. Наиболее сложные из NP-полных задач решить очень непросто, но для более типичных случаев обычно можно подобрать подходящий алгоритм. Криптографическую защиту на основе таких задач будет довольно легко взломать, хотя небольшая вероятность того, что шифр окажется крайне сложным, все же есть. Для надежной защиты нужен алгоритм, почти всегда дающий крайне сложный шифр, требующий экспоненциального времени для взлома. Пока такой метод не разработан, хотя в принципе это возможно. Если квантовые компьютеры окажутся неспособными решать NP-полные (а значит, и NP-трудные) задачи, то разработка такого криптографического метода даст нам возможность снова почувствовать себя в безопасности, хотя бы на какое-то время.

Большинство ученых, занимающихся вычислительными системами, полагают, что P ≠ NP. Это мнение подкреплено десятилетиями исследований, в результате которых ни для одной из более чем 3000 известных NP-полных задач не было найдено ни единого алгоритма, позволяющего решить ее за полиномиальное время. И все же аргумент, основанный на отрицательном опыте, не слишком убедителен, особенно в свете неожиданного доказательства Великой теоремы Ферма – очень просто сформулированной задачи, для решения которой потребовались огромные усилия и самые передовые методы. Чисто философские аргументы в пользу того, что P ≠ NP, также не очень убедительны. Скотт Ааронсон, математик, специалист в области теории вычислительных систем, преподающий в Массачусетском технологическом институте, заявил: “Если окажется, что P = NP, то мир станет совершенно не таким, каким мы его обычно считаем. Не будет больше никакой особой ценности в «творческих скачках», исчезнет принципиальная разница между решением задачи и признанием правильности найденного решения”. Тем не менее и в математике, и в других науках с завидной частотой происходят события, полностью переворачивающие наши представления об окружающем мире. Если действительно окажется, что P = NP, то, прежде всего, вряд ли это открытие будет иметь большое практическое значение – ведь доказательство, скорее всего, будет неконструктивным. Другими словами, даже если будет доказано, что для решения NP-полных задач существуют полиномиальные алгоритмы, ни одного конкретного алгоритма в доказательстве приведено не будет. Так что по крайней мере в ближайшем будущем нашим защищенным данным ничто не угрожает – хотя не совсем ясно, как долго это продлится, ведь математики уже всерьез занялись поиском такого алгоритма.

В любом случае, прежде чем существенные сдвиги в решении проблемы равенства P и NP или в разработке более эффективных алгоритмов поставят под угрозу безопасность наших данных, на помощь нам, вероятно, подоспеет квантовая механика. Разработки в области квантовой криптографии могут привести к созданию абсолютно стойкого шифра, не поддающегося дешифровке никакими методами. Один из действительно нераскрываемых шифров был изобретен еще в 1886 году и получил название “одноразовый блокнот”. Ключ представляет собой случайную последовательность букв той же длины, что и сообщение. Сообщение объединяется с ключом путем присвоения каждой букве числового значения (A = 1, B = 2 и так далее), сложения числовых значений букв сообщения и соответствующих им букв ключа, вычитания из получившихся сумм 26, в случае если сумма превышает 26, и последующего обратного превращения чисел в буквы[24]. Доказано, что этот метод является абсолютно криптостойким. Даже если у кого-то найдется достаточно времени, чтобы перебрать все возможные комбинации, будет совершенно невозможно отличить правильную расшифровку от множества неправильных вариантов. Важное условие: чтобы шифр невозможно было взломать, ключ должен после использования уничтожаться. Если его использовать повторно, то любой человек, имеющий в своем распоряжении оба зашифрованных сообщения и знающий, что ключ один и тот же, сможет их расшифровать. Кроме того, ключи должны передаваться секретно, поскольку доступ к ключу грозит мгновенной расшифровкой. Одноразовые шифры в свое время использовались советскими шпионами. Они сшивались в крошечные блокноты и пропитывались специальным горючим составом, чтобы при уничтожении от них не оставалось и следа. Такие шифры и сейчас используются для защиты данных, передаваемых по линии прямой связи между президентами США и России. Но необходимость секретно обмениваться ключами – серьезный недостаток метода, делающий его непригодным для большинства практических целей, например для передачи данных онлайн.

С приходом квантовых технологий все может измениться. В их основе лежит тот факт, что измерение определенной характеристики световых частиц (фотонов), называемой поляризацией, влияет на саму поляризацию. (Поляризация – это свойство волн, соответствующих фотонам, которое описывает поведение колеблющейся величины в плоскости, перпендикулярной направлению их движения.) Определяющим обстоятельством является то, что, если поляризацию измерить дважды в одном направлении, результат будет один и тот же. В одном из методов измерения используется фильтр, называемый ортогональным. Если свет поляризован вертикально или горизонтально, он проходит через ортогональный фильтр, сохраняя исходную поляризацию. Свет, поляризованный иным образом, также пройдет через фильтр, но изменит поляризацию либо на вертикальную, либо на горизонтальную. Еще один метод измерения поляризации использует диагональный фильтр, работающий так же, как и ортогональный, только колебания происходят под углом и к вертикали, и к горизонтали. И завершают устройство криптографической системы еще два фильтра. Один из них определяет, как поляризован свет, прошедший через ортогональный фильтр; второй делает то же по отношению к свету, прошедшему через диагональный фильтр.

Предположим, нам нужно передать случайный бит для использования в “одноразовом блокноте”. Мы пропускаем фотон через ортогональный или диагональный фильтр (выбор произволен), а затем записываем, как он был поляризован – вертикально или горизонтально. То же просим сделать и получателя. Получатель сообщает нам, какой фильтр использовал он, а мы уточняем, какой использовали сами. Если они совпадают, то переданный бит можно в дальнейшем использовать в “одноразовом блокноте”. Если нет, бит удаляется, а процесс повторяется. Злоумышленник не сумеет узнать, какой из фильтров был использован, пока фотон не пройдет через всю систему и его уже нельзя будет измерить. Более того, поскольку измерение поляризации способно ее изменить, мы можем, собрав достаточно битов, сравнить небольшую их часть, а после этого удалить. Если совпадение полное, канал связи считается защищенным, а значит, остальные биты можно безопасно использовать в “одноразовом блокноте”. Если же нет, мы поймем, что нас пытаются подслушать, и в этом случае все переданные биты отбраковываются. Таким образом, квантовая криптография не только защищает “одноразовый блокнот” от злоумышленников, но и делает то, что не под силу традиционной криптографии, – выявляет саму попытку перехвата данных.

Область квантовых вычислений развивается очень динамично. В 2017 году физики из Университета Сассекса обнародовали проект создания крупномасштабных квантовых компьютеров, сделав его доступным для всех. В этом проекте разъясняется, как избежать декогеренции – проблемы, которая до тех пор мешала ученым создать в лабораторных условиях устройство более чем на 10–15 кубитов. Также там приводится описание конкретных технологий, которые позволят сделать реальностью мощные квантовые компьютеры с гораздо большим числом кубитов. Среди таких технологий: использование в качестве кубитов ионов (заряженных атомов), захваченных в специальные ловушки, при комнатной температуре; передача ионов из одного модуля системы в другой при помощи электрических полей; а также применение логических вентилей, контролируемых микроволнами и изменением напряжения. Для начала ученые из Университета Сассекса собираются построить небольшой прототип квантового компьютера. Тем временем Google, Microsoft и множество различных стартапов, таких как IonQ, разрабатывают собственные схемы, основанные на захвате ионов в ловушки, использовании явления сверхпроводимости и (в случае с Microsoft) на концепции топологических квантовых вычислений. Компания IBM объявила о своих планах “через несколько лет” вывести на рынок квантовый компьютер на 50 кубитов, а ученые уже заглядывают дальше, предвидя то время, когда реальностью станут машины на миллионы, а то и на миллиарды кубитов[25].

Будь Тьюринг жив сегодня, он бы наверняка принял самое активное участие в современных разработках в области вычислений, включая, весьма вероятно, и теоретические исследования в сфере квантовых компьютеров. Его работе не мешала бы первобытная нетерпимость к людям иной сексуальной ориентации, господствовавшая тогда и определенно поспособствовавшая его преждевременной смерти. Но неизменными остались бы понятия алгоритмов и универсальных вычислений, в становлении и развитии которых сыграла такую важную роль изобретенная им машина, удивительная по своей оригинальности и простоте.

Музыка в своей основе математична. Математику часто называют универсальным языком, который можно использовать для установления контакта с разумными существами из других миров. Но и музыке присуща та же универсальность, и кстати, мы уже отправили образцы земной музыки к звездам в надежде, что тамошние обитатели услышат ее и поймут что-то о существах, сотворивших ее.

Космический зонд “Вояджер-1”, запущенный 5 сентября 1977 года, недавно стал первым из созданных человеком объектов, вышедших в межзвездное пространство. Пролетев мимо Юпитера и Сатурна, он устремился к границам Солнечной системы и в 2012 году пересек гелиопаузу – границу, где заканчивается действие магнитного поля Солнца и начинается влияние общегалактического магнитного поля. “Вояджер-2”, запущенный в том же году, также направляется к звездам, но в другом направлении. Оба аппарата-близнеца остаются в контакте с Землей и отправляют домой данные о результатах немногочисленных научных экспериментов, на проведение которых пока хватает истощающихся запасов энергии; но ни один из них в обозримом будущем не приблизится к другой звездной системе. Скорость их так мала по сравнению с гигантскими межзвездными расстояниями, что им понадобились бы десятки тысяч лет, чтобы долететь даже до ближайшей звезды, Проксимы Центавра, и то только при условии, что они направлялись бы к ней по прямой траектории (а это не так).

По расчетам НАСА, “Вояджер-1” приблизится на расстояние 1,6 светового года к звезде Глизе 445, а “Вояджер-2” – на расстояние 1,7 светового года к звезде Росс 248 примерно через 40 000 лет. К этому нескорому времени ни один из аппаратов уже давно не будет функционировать. Но сами станции могут миллионы лет путешествовать по Млечному Пути, оставаясь в целости и сохранности, и, как знать, может быть, когда-то будут обнаружены представителями какой-нибудь развитой цивилизации, которые заинтересуются происхождением и создателями аппаратов. На этот маловероятный случай на борту каждого из зондов находится послание в виде позолоченной медной грампластинки, на которой записаны звуки и изображения, дающие представление о разнообразии форм жизни, среде и различных культурах на планете Земля. Помимо 116 изображений, коллекции звуков природы и приветствий на 57 языках, на золотой пластинке “Вояджера” записано 90 минут музыки различных эпох и стран мира, в том числе фрагменты “Весны священной” Стравинского, индонезийского гамелана, Бранденбургского концерта № 2 Баха и Johnny B. Goode Чака Берри. К пластинке предусмотрительно приложено устройство для воспроизведения записи и закодированные инструкции. Остается, правда, вопрос: если инопланетные существа, найдя одну из золотых пластинок, и умудрятся проиграть записанную на ней музыку, поймут ли они, что это такое? Впрочем, если, наоборот, нам когда-либо доведется услышать произведения инопланетных композиторов, сможем ли мы признать в этих звуках музыку?

Золотая пластинка “Вояджера”.

Один из авторов этой книги (Дэвид) – автор и исполнитель песен, записавший альбом Songs of the Cosmos[26], в котором объединяются наука и музыка, например, в композиции Dark Energy[27]. Но наука в музыке не ограничивается песнями на научную тематику, она – органичная часть самого процесса создания музыки. Математика лежит в основе соотношений между нотами и самой структуры музыкальных строев.

Первыми существование тесной связи между музыкой и математикой открыли древние греки. Пифагор и его последователи в VI веке до нашей эры построили целый культ вокруг учения о том, что “в основе всего лежит число”, а особняком среди всех стоят целые числа. Каждое из чисел от 1 до 10, считали они, имеет уникальный характер и назначение: 1 – основа всех остальных чисел, 2 олицетворяет суждение, 3 – гармонию, и так далее до числа 10, которое имело название “тетрактис” и считалось самым важным, поскольку является треугольным числом, представляющим собой сумму первых четырех чисел – 1, 2, 3 и 4. Четные числа считались женскими, а нечетные – мужскими. Пифагорейцев очень обрадовало их открытие, что самые гармонично звучащие интервалы в музыке соответствуют отношениям целых чисел. Те самые числа, которые так почитались на интеллектуальном уровне, в соотношении друг с другом еще и определяли наиболее благозвучные сочетания нот. Вибрирующая струна, прижатая на половине ее длины (1:2), звучит на октаву выше, чем открытая. Струна, прижатая таким образом, чтобы длина ее вибрирующей части относилась к полной длине как 2:3, дает интервал, называемый чистой квинтой (поскольку это пятая нота в гамме, а в сочетании с основным тоном она дает гармонически чистое звучание). Аналогично отношение 3:4 дает чистую кварту, а 4:5 – большую терцию[28]. Поскольку частота звука зависит от единицы, деленной на длину струны, эти дроби также указывают на соотношение между частотами нот.

Самое простое (помимо октавы) соотношение – чистая квинта – служит основой “пифагорова строя”, названного так потому, что современные музыковеды приписывают его создание Пифагору и его единомышленникам. Возьмите какую-нибудь ноту, например ре. Теперь возьмите ноты на чистую квинту выше и на чистую квинту ниже – получите ля и соль того же звукоряда. Чтобы получить следующие ноты, отложите чистую квинту вверх от ля и чистую квинту вниз от соль, и так далее. В конце концов мы получим вот такой звукоряд из 11 нот с ре в середине:

ми-бемоль – си-бемоль – фа – до – соль – ре – ля – ми – си – фа-диез – до-диез – соль-диез

В таком виде этот ряд охватывает очень широкий диапазон частот. Чтобы сыграть его на фортепиано, понадобится 77 клавиш. Чтобы сделать его более компактным, низкие ноты переносят в более высокую октаву, удваивая или учетверяя их частоту, а высокие ноты таким же образом переносят вниз на одну-две октавы. В результате такого “сжатия” получается базовая октава. Пифагоров строй использовался западными музыкантами почти до конца XV века, пока не стали очевидны его недостатки: многие произведения было просто невозможно исполнить на настроенных таким образом инструментах.

Восхищение, в которое привела пифагорейцев открытая ими связь между простыми соотношениями длин вибрирующих струн и благозвучием музыкальных интервалов, и их убежденность в том, что в основе вселенной лежат целые числа, заставили их свято уверовать в то, что и в небесах действуют те же законы гармонии между музыкой и математикой. Согласно космологии пифагорейцев, в центре физического пространства находится великий огонь. Вокруг него по прозрачным сферам движутся по кругу десять небесных тел, по порядку от центра: Противоземля, Земля, Луна, Солнце, пять известных планет, или “странствующих звезд” (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн), и, наконец, неподвижные звезды. Промежутки между сферами соответствуют гармоническим соотношениям длин струн, поэтому движение сфер производит звук (неслышимый для человеческого уха), называемый “гармонией сфер”.

Греческие слова harmonia (“соединение”, “согласие”) и arithmos (“число”) восходят к одному индоевропейскому корню, ar, который также встречается в таких словах, как rhythm (“ритм”) и rite (“ритуал”). Гармония, кроме того, это еще и греческая богиня мира и согласия – подходящее призвание, если учесть, что ее родителями были богиня любви Афродита и бог войны Арес. Представление пифагорейцев о том, что музыкальные гармонии заложены в самом расстоянии между небесными телами, сохранялось до конца Средневековья. Философские принципы Musica Universalis (музыки вселенной) стали частью квадривиума – академического цикла из четырех дисциплин, включающего арифметику, геометрию, музыку и астрономию, который преподавался в средневековых университетах Европы после тривиума (грамматики, логики и риторики) и был основан на высшей ступени платоновской системы образования. В основе квадривиума лежало изучение чисел в различных формах: чистых чисел (арифметика), чисел в абстрактном пространстве (геометрия), чисел во времени (музыка) и чисел в пространстве и времени (астрономия). Вслед за Пифагором увидел тесную связь между музыкой и астрономией и Платон, считая их воплощением красоты простых математических соотношений: музыка услаждает слух, астрономия – взор. Воздействуя на разные органы чувств, и то и другое выражает единство, обусловленное лежащей в их основе математикой.

Более двух тысяч лет спустя немецкий астроном Иоганн Кеплер пошел еще дальше в развитии концепции “музыкального космоса”, попытавшись связать в единое “небесное” целое платоновы тела и мелодичные звуки. Кеплер верил в астрологию и был глубоко религиозен, как и многие другие интеллектуалы того времени, но он был также одним из выдающихся деятелей научной революции эпохи Возрождения. Наибольшую известность Кеплеру принесли три закона движения планет, сформулированные им на основе результатов астрономических наблюдений датского аристократа Тихо Браге. В начале своей карьеры Кеплер увлекся идеей существования некоей геометрической основы, которой обусловлены промежутки между планетными орбитами. В изданном в 1596 году труде Mysterium Cosmographicum (“Тайна мироздания”) Кеплер дополнил предложенную ранее польским астрономом Николаем Коперником модель Солнечной системы, согласно которой Земля и другие планеты обращаются вокруг Солнца. Он предположил, что расстояния между орбитами планет не случайны, а ключ к их разгадке содержится в платоновых телах – правильных выпуклых многогранниках, коих в трехмерном пространстве всего пять. Кеплер считал, что, описав вокруг этих тел сферы и вписав их друг в друга в определенном порядке – октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и куб, – можно получить орбиты, по которым движутся шесть известных планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн). Как знать, возможно, Господь Бог не нумеролог, как считали пифагорейцы, а геометр?

Не ограничившись догадками, Кеплер провел акустический эксперимент (напомним, речь идет о начале XVII века, когда проверка предположений на практике была внове для ученых). Используя монохорд[29] и меняя с помощью подвижного прижима длину звучащей части струны, он оценил на слух, какие из получаемых тонов самые благозвучные. Помимо квинты, занимавшей особое место в учении пифагорейцев о гармонии, он также обратил внимание на гармоничное звучание терции, кварты, сексты и других интервалов. Ученого заинтересовало, не определяют ли те же гармоничные пропорции и движение небесных тел – ведь это позволит вдохнуть новую жизнь в древнее учение о гармонии сфер, приведя его в соответствие с новейшими научными наблюдениями. Возможно, отношения самых больших и самых малых расстояний между планетами и Солнцем согласуются с некоторыми из найденных им гармоничных интервалов? Но нет, предположение не оправдалось. Тогда он стал изучать значения скорости движения планет в точках, наиболее и наименее удаленных от Солнца, в которых, согласно его наблюдениям, планеты движутся соответственно медленнее и быстрее всего. Ведь движение – более близкий аналог вибрации струны, чем расстояние. И вот, кажется, связь найдена! Соотношение предельных орбитальных скоростей Марса (измеренных через угловое перемещение планеты по небу) составляло примерно 2: 3, что соответствовало чистой квинте, или “диапенте”, как ее называли до конца XIX века. Предельные скорости Юпитера соотносились как 5: 6 (малая терция в музыке), а Сатурна – приблизительно как 4: 5 (большая терция). То же соотношение для Земли составляло 15: 16 (что примерно соответствует разнице между нотами ми и фа), а для Венеры – 24: 25.

Кеплер считал, что промежутки между орбитами известных в то время планет соответствуют вложенным друг в друга платоновым телам.

Воодушевленный найденными соответствиями (которые, как выяснилось позже, были случайным совпадением), Кеплер занялся поиском менее очевидных космических гармоний. Изучив соотношения между скоростями соседних планет, он пришел к выводу, что гармоничные пропорции лежат в основе не только движения отдельных планет, но и их взаимного движения друг относительно друга. Все свои открытия ученый объединил во всеобъемлющую теорию, связывающую благозвучные интервалы в музыке с движением небесных тел, и в 1619 году обнародовал ее в главном труде своей жизни – трактате Harmonices Mundi (“Гармония мира”).

Вскоре после этого Кеплер сделал открытие, известное сегодня как третий закон движения планет, или третий закон Кеплера. Он обнаружил точное соответствие между временем, за которое планета совершает полный оборот вокруг Солнца, и ее расстоянием до светила, а именно: квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца прямо пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Этот закон и поныне входит в школьную программу, но сформулирован был в ходе мистических штудий Кеплера, искавшего гармоническую структуру космоса.

Кеплер помог вывести астрономию на современный этап ее развития, сделав важнейшее открытие: орбиты планет имеют не круговую, как считалось в древности, а эллиптическую форму. Оно заложило основу для ньютоновской теории тяготения. Менее очевидная его ценность состоит в том, что оно подготовило почву для создания новых, более гибких музыкальных строев. Проводя свои акустические эксперименты, Кеплер заинтересовался: существует ли минимальный, базовый интервал – наименьший общий делитель, – с помощью которого можно построить все остальные гармонии? Оказалось, что нет. Так же как орбиты планет представляют собой неидеальные окружности, в музыке не существует и простого, ясного способа добиться консонанса – слитного, согласного звучания, – используя лишь один базовый интервал. Особенно очевидным это становилось при попытке изменить тональность музыкальной пьесы.

Пифагоров строй, основанный на чистых квинтах, – один из примеров строя, называемого натуральным или чистым, в котором частоты нот соотносятся как довольно небольшие целые числа. Если взять, например, гамму до мажор, разделить ее на восемь ступеней разной высоты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до) и присвоить тонике, или основному тону, до, соотношение 1: 1, а пятой ступени, соль, соотношение 3: 2, то в пифагоровом строе частоты нот, расположенных выше ноты до, будут относиться к ее частоте следующим образом: ре – 9: 8, ми – 81: 64, фа – 4: 3, соль – 3: 2, ля – 27: 16, си – 243: 128, до (следующей октавы) – 2: 1. Такая система прекрасно работает, если оставаться все время в той же тональности или использовать гибкий музыкальный инструмент – например, человеческий голос, – способный интонационно подстраиваться на ходу. Проблемы с любым из натуральных строев возникают при использовании таких инструментов, как фортепиано, которые, будучи настроены определенным образом, могут производить звуки только с фиксированными частотами.

Вырваться за рамки жестких ограничений пифагорова строя пытались композиторы и музыканты и до Кеплера. Но именно в его время были сделаны, по крайней мере в Европе, первые серьезные шаги в направлении полного отказа от натурального строя. Одним из пионеров этого движения стал отец Галилео Галилея Винченцо, выступавший за использование двенадцатиступенной системы, получившей название “равномерно темперированный строй”. В этой системе все соседние ноты разделены одинаковыми интервалами, то есть имеют одно и то же соотношение частот. В разделенном на двенадцать полутонов звукоряде частота каждой следующей ступени увеличивается в 2^1/12, или 1,059463, раза. Представьте себе, например, звукоряд, начинающийся с ноты ля первой октавы. Ее частота, служащая эталоном при настройке современных оркестров, – 440 герц (колебаний в секунду). Следующая нота, повыше, – ля-диез, ее частота равна 440 × 1,059463, или примерно 466,2 герца. Двенадцатью полутонами выше находится ля следующей октавы с частотой 440 × 1,059463¹² = 880 герц, то есть вдвое большей, чем у начальной ноты.

При таком построении ни один из тонов двенадцатиступенного равномерно темперированного строя, кроме тоники и октавы, по частоте не совпадает в точности с соответствующими нотами натурального строя, хотя кварты и квинты так близки к “натуральным”, что на слух их почти невозможно различить. Равномерно темперированный строй – компромисс: его ноты звучат не так чисто, как в натуральном строе, но огромное его преимущество в том, что исполняемая музыка звучит вполне гармонично в любой тональности без перенастройки инструментов. Благодаря ему такие инструменты, как фортепиано, приобрели некую практичность и музыкальную гибкость, а в музыкальной композиции и оркестровке открылись новые горизонты.

Сегодня в западной музыке царствует двенадцатиступенная равномерная темперация. Но в других частях света сложились иные музыкальные строи – отчасти именно поэтому столь экзотично для нашего западного слуха звучит музыка Азии и Ближнего Востока. Арабская музыка, например, основана на двадцатичетырехступенном темперированном строе, а потому в ней активно используются интервалы в четверть тона. При этом в каждом отдельно взятом произведении фигурирует лишь малая часть из двадцати четырех тонов, которая определяется “макамом”, то есть типом мелодии, – аналогично западным пьесам, в которых из двенадцати тонов обычно используется не больше семи, в зависимости от тональности произведения. Как и в индийской раге и других незападных музыкальных формах, здесь существуют строгие правила, регламентирующие – даже в самой затейливой и затяжной импровизации – такие аспекты, как выбор нот, соотношения между ними, нотный рисунок и последовательность тонов в мелодии.

С самого раннего возраста наш мозг привыкает к музыке, звучащей вокруг нас, как привыкает и к родному языку, вкусу знакомой пищи, укладу и образу жизни окружающих нас людей. Музыка других культур может показаться необычной и удивлять, и все же, как правило, она приятна для слуха. К непривычному строю, интервалам, ритму и структуре композиций не сразу можно привыкнуть, но мы почти всегда безошибочно определяем их как музыку. Это происходит потому, что и в их основе лежат определенные акустические закономерности, сводимые к относительно простым математическим соотношениям, которые и руководят такими элементами музыкального языка, как мелодия, гармония и темп.

Универсально или нет само понятие музыки – вопрос спорный. Даже на Западе многочисленные новаторские поиски и эксперименты со звуком, которыми отмечено особенно последнее столетие, значительно расширили границы того, что может считаться музыкой. Например, возникла атональная музыка, в которой отсутствует привычный тональный центр, а также экспериментальная – сознательно ломающая сложившиеся правила композиции, настройки и инструментовки. Одним из пионеров экспериментальной музыки был американский композитор и философ Джон Кейдж, чья пьеса “4’33’’” представляет собой трехчастную композицию, в течение которой исполнитель (например, пианист) или исполнители (вплоть до симфонического оркестра в полном составе) не извлекают ни единого звука. На всем протяжении пьесы публика в зале слышит лишь случайные звуки – чье-то покашливание, скрип кресла, внешние шумы. На сочинение этой пьесы Кейджа вдохновило посещение безэховой камеры в Гарвардском университете, он записал тогда: “Не существует ни пустого пространства, ни ничем не заполненного времени. Всегда есть нечто, что можно увидеть или услышать. Более того, сколько бы мы ни пытались создать тишину, ничего у нас не выйдет”. Кейдж написал пьесу “4’33’’” как серьезное произведение, но (как, наверное, и следовало ожидать) многие восприняли ее иронически. Мартин Гарднер писал в своем эссе “Ничто”: “Я сам не слышал этой композиции, но друзья говорили мне, что это лучшее из произведений Кейджа”[30].

Какое бы определение мы ни дали музыке, ее нельзя считать привилегией человека. Многие другие существа издают звуки, которые воспринимаются нами как музыкальные, и на первом месте – птицы и киты. Виртуозами изящного пения в животном мире по праву считаются певчие птицы, которых известно больше 4000 видов; среди них такие семейства, как жаворонковые, воробьиные, дроздовые и пересмешниковые. Поют обычно самцы – чтобы привлечь самок или обозначить границы своей территории, часто объединяя две эти цели. Самцы камышовок-барсучков, зимующих в Сахаре, возвращаются весной в Европу на несколько дней раньше самок, поэтому поют и днем и ночью – ведь потенциальная партнерша может прилететь в любой момент, да и территорию надо обозначить и защитить, – а найдя пару, тут же умолкают. У каждого вида певчих птиц своя особая песня – одна на всех, хотя отдельные особи различают голоса друг друга, так же как человек различает голоса других людей, даже если те напевают одну и ту же мелодию. Особи некоторых видов певчих птиц, например зябликов, имеют репертуар, состоящий из нескольких “фраз”. Стоит одному зяблику спеть какую-нибудь фразу, как его сосед тут же откликается аналогичным пассажем – своего рода эхом. Предполагают, что таким образом певцы оценивают разделяющее их расстояние.

Трели певчих птиц уж точно кажутся нам мелодичными, так что иногда к ним обращались в своем творчестве композиторы, в том числе Вивальди и Бетховен. Неясно, однако, подчиняется ли пение птиц каким-то законам, аналогичным законам композиции у людей. Некоторое сходство неизбежно из-за законов акустики и из-за техники извлечения звуков с помощью гортани и ротовой полости. Например, и мы, и птицы при пении преимущественно используем близкие ноты, несильно различающиеся по высоте, и длинные ноты в конце фраз. Вопрос в том, есть ли у птиц, как у людей, какие-то предпочтительные соотношения между нотами – своего рода музыкальный строй – и насколько упорядоченно их пение. В этой области проводилось не так много исследований, но одно из них представляет интерес: изучая песни соловьиного крапивника-флейтиста, обитающего в Коста-Рике и южной части Мексики, ученые пытались найти в них какие-нибудь музыкальные интервалы, которые соответствовали бы диатоническому, пентатоническому или хроматическому звукоряду. Подобных закономерностей – помимо совпадений, которые легко объясняются чистой случайностью, – не выявилось[31]. Это, впрочем, вовсе не значит, что в птичьих песнях нет никакого смысла – по крайней мере, для других птиц – лишь потому, что они не подчиняются западным музыкальным строям. Тот факт, что мы воспринимаем звуки птичьего пения как приятные и упорядоченные, свидетельствует в пользу того, что это все же музыка, пусть и не совсем привычная нам.

Репертуар звуков, издаваемых китообразными (в том числе китами и дельфинами), гораздо шире и разнообразнее, чем у птиц, и используется для коммуникации и эхолокации. Песни горбатого кита, в частности, считаются самыми сложными в животном мире; в то же время эти звуки не являются, строго говоря, ни пением, ни языком общения в привычном нам понимании. Каждая песня состоит из длящихся по несколько секунд серий звуков- “нот” меняющейся или же неизменной частоты – от самых низких, которые способен воспринимать человек, до превышающих верхний предел слышимости нашего уха. Громкость каждой “ноты” также может меняться на протяжении ее звучания. “Ноты” группируются во “фразы” продолжительностью около десяти секунд, а две “фразы” объединяются в “предложение”, которое кит повторяет в течение нескольких минут как музыкальную тему. Несколько “тем” составляют песню; она может длиться полчаса, а затем повторяться снова и снова часами или даже несколько дней. Все горбатые киты, находящиеся одновременно в одном районе моря, поют одну и ту же песню, но с каждым днем слегка изменяют отдельные ее элементы, меняя ритм, высоту звуков и длительность. Популяции, населяющие один географический регион, имеют схожие песни, а обитающие в других регионах или в других океанах поют совсем по-иному, хотя базовая структура песен у всех одинакова. Насколько сейчас известно, видоизменив песню, киты больше не возвращаются к первоначальному варианту. Математики, анализировавшие песни китов с точки зрения теории информации, утверждают, что им свойственна сложность синтаксиса и иерархическая структура, которой, как считалось до сих пор, обладает только человеческий язык. И все же назвать эти песни языком общения нельзя – уж слишком повторяющийся у них характер, даже с учетом небольших постоянно вносимых изменений. Примерно как в блюзе или джазе, где использование так называемых риффов и импровизация разрешаются – и даже поощряются, – но только в определенных рамках. Ключ к разгадке китовых песен в том, что исполняют их исключительно самцы, а самые творчески одаренные из них, способные создавать новые вариации, пользуются наибольшим успехом у самок. Кроме того, есть сильное подозрение, что эти коллективные “джем-сейшены” доставляют китам немалое удовольствие.

Горбатый кит, выпрыгивающий из воды.

На наш, человеческий, слух в песнях китов есть некая особая, мистическая красота, поэтому компакт-диски с ними используют для релаксации и как средство звукотерапии. Фрагмент китовой песни, записанной в 1970-х годах морским биологом Роджером Пейном с помощью гидрофонов у берегов Бермудских островов, был помещен на золотые грампластинки, мчащиеся к звездам на борту космических аппаратов-близнецов “Вояджер-1” и “Вояджер-2”. Один из создателей золотого диска, американский популяризатор науки Тимоти Феррис, предположил, что обогнавшим нас по интеллектуальному развитию инопланетянам китовые песни будут более понятны, чем нам, поэтому на диск записали довольно продолжительный кусок, наложив на него приветствия на разных языках мира. Феррис отметил, что такое наложение не должно помешать восприятию песни представителями внеземных цивилизаций: “Она не сливается с приветствиями, и при желании всю ее можно вычленить”.

Музыке трудно дать четкое определение – как трудно сформулировать, что такое любовь или жизнь. Мы могли бы сказать, что музыка опознается нами на слух, и тогда определение сводится к личному или коллективному предпочтению, становится чисто субъективным. Никто же не возьмется всерьез оспаривать музыкальность сочинений Бетховена или песен “Битлз”. Но как быть с пением птицы? А с произведениями таких композиторов-авангардистов, как Джон Кейдж или Гарри Парч, который создавал собственные музыкальные инструменты, бросая вызов жестким рамкам современных музыкальных строев и гармоний Запада? Если задаться целью отыскать объективное определение музыки, нам придется обратиться к акустике и законам математики и в конечном итоге свести звуки – и их сочетания – к числам. Каким именно образом мы решим это провернуть – дело наше, но какую бы методику мы ни использовали, она будет учитывать комбинацию по крайней мере каких-то элементов музыки, без которых та невозможна: мелодию, гармонию, ритм, темп, тембр, возможно, и что-то еще. Определившись с критериями, можно будет создать компьютерную программу, способную проанализировать любой звук на соответствие заданным требованиям и рассудить, подходит ли он под определение музыки. В зависимости от того, насколько широкую сеть вы хотите раскинуть, можно использовать какие угодно включающие или исключающие критерии, но в любом случае они должны быть достаточно четкими, иначе под определение музыки подпадет, например, любой ритмичный звук. Шелест набегающей на песок волны приятен для слуха и имеет размеренный темп, но вряд ли кто-то назовет его музыкой.

За любой музыкой в традиционном ее понимании всегда стоит некий интеллект. В принципе, можно вообразить природную систему, способную производить истинно музыкальные пассажи, так же как существуют природные объекты, имеющие красивую пространственную форму – скажем, повторяющие спираль Фибоначчи. Однако до сих пор ничего похожего обнаружено не было. Насколько мы можем судить, для создания звуковых узоров, которые относились бы к музыке, необходим некий мозг – будь то человеческий, китовый, птичий или даже компьютерный. Поскольку музыка в своей основе математична, а математика (насколько нам известно) универсальна, кажется весьма правдоподобным, что если есть в нашей галактике или за ее пределами другие разумные существа, то в каком-то виде музыка наверняка существует и у них. Разнообразие ее форм, вероятно, огромно, как и у нас на Земле. Представьте все многообразие, включающее в себя григорианское пение, фламенко, блюграсс, гамелан, ногаку, фьюжн, психоделический рок, музыку эпохи романтизма и все остальные музыкальные жанры, когда-либо существовавшие на планете. Теперь прибавьте к ним все те возможные жанры, которые просто не пришли землянам в голову, – и вы получите представление о потенциальном разнообразии музыки во вселенной. Учтите еще и то, что наше восприятие музыки ограничено анатомией. Особенно это касается диапазона улавливаемых человеческим ухом частот – примерно от 20 до 20 000 герц (колебаний в секунду). У других животных слух бывает не в пример чувствительнее: слоны различают низкие звуки частотой до 16 герц, а некоторые виды летучих мышей – наоборот, высокие звуки частотой до 200 000 герц. Теоретически органы слуха у инопланетных существ могут обладать безграничными возможностями: воспринимать звуки любой частоты и амплитуды, различать малейшие колебания высоты, темпа или любого другого физического параметра. Не исключено, что мозг представителей внеземных цивилизаций способен обрабатывать разом куда больше информации, чем мозг человека или самый быстродействующий земной процессор, так что они, возможно, расценивают как музыку какие-то сложные звуки, попросту недоступные нашему восприятию.

Что касается музыки на золотых пластинках “Вояджеров”, совершающих свой бесконечный полет по межзвездному пространству, ведется немало споров о том, что с наибольшей вероятностью звучало бы музыкально для инопланетного слуха. Некоторые считают, что это сочинения Баха, самого “математического” из композиторов. Из 27 произведений, отобранных для 90-минутной музыкальной коллекции “Вояджеров”, Баху принадлежат три: фрагменты Бранденбургского концерта № 2 фа мажор, Gavotte en Rondeau из партиты для скрипки соло № 3 ми мажор и прелюдия и фуга № 1 до мажор из “Хорошо темперированного клавира”, том 2. Суммарно шедевры Баха занимают 12 минут 23 секунды – приблизительно седьмую часть всей записи. Такое очевидное предпочтение отражает уверенность составителей коллекции в том, что тщательно структурированная музыка Баха (вспомним хотя бы мастерское использование им контрапункта для переплетения нескольких мелодических голосов) способна воззвать и к разуму, и к чувству прекрасного любых развитых существ, доведись тем найти космический аппарат.

Представить себе, как может звучать внеземная музыка, пытались и ученые, и писатели. В фильме “Близкие контакты третьей степени” инопланетяне использовали в качестве приветствия последовательность из пяти нот мажорной гаммы: “ре – ми – до – до (на октаву ниже) – соль”. По сценарию они, возможно, делали это потому, что слушали земную музыку и хотели, чтобы мелодия звучала знакомо. А может быть, другие цивилизации нашей галактики придут к тем же музыкальным строям, что и мы, поскольку с точки зрения математики они самые простые и из них получаются самые красивые мелодии и гармонии, где бы ты ни рос – на Земле или на четвертой планете какой-нибудь звезды в 40 000 световых лет отсюда. Ведь если математика универсальна, то столь же универсальны (со множеством вариаций) могут быть и основы музыки, в том числе музыкальные строи и принципы настройки инструментов. Есть, например, некий элемент неизбежности в появлении равномерно темперированного строя: любые разумные существа, желающие добиться гармоничного совместного звучания разных музыкальных инструментов независимо от тональности, рано или поздно придут к чему-то подобному.

Если (или когда) люди наконец смогут установить контакт с другими разумными существами, есть шанс, что произойдет это посредством музыки. И идея эта не нова. В XVII веке английский священник Фрэнсис Годвин, епископ Херефорда, написал книгу “Человек на Луне” (опубликованную посмертно в 1638 году), герой которой, бесстрашный астронавт Доминго Гонсалес, встречается с жителями Луны, общающимися на музыкальном языке. В основе идеи Годвина лежит описание устной китайской речи с ее тонами, составленное миссионерами-иезуитами, незадолго до того вернувшимися в Европу. В книге Годвина буквам алфавита лунных жителей соответствуют разные ноты.

В 1960-х годах немецкий радиоастроном Себастьян фон Хорнер, опубликовавший множество работ по проблеме поиска внеземного разума, отстаивал использование музыки как средства межзвездной коммуникации. Инопланетная музыка, считал он, с очень высокой вероятностью может напоминать земную. В многоголосной музыке (когда одновременно звучат две ноты или более), где бы она ни зародилась, есть лишь ограниченное количество способов заставить голоса звучать гармонично. Модуляции – переходы из одной тональности в другую – возможны только при условии, что октава разделена на равные части и соответствующие тона имеют частоты, находящиеся в определенном математическом соотношении. Западная музыка пришла к компромиссу в виде двенадцатиступенного равномерно темперированного строя. Тот же строй, предполагал фон Хорнер, может появиться и в музыке иных цивилизаций, как и еще пара неплохих компромиссных звукорядов: пятиступенный и тридцатиодноступенный. О последнем в XVII веке много писали ученые, в том числе астроном Христиан Гюйгенс: по их мнению, такой строй оптимален для существ, обладающих более чувствительной, чем наша, слуховой системой. Тем же из обитателей далеких планет, кого природа не наделила хорошей способностью различать близкие по высоте звуки, лучше подойдет пятиступенный равномерно темперированный строй.

Часто считают, что первое послание, которое мы получим из других миров, будет научным или математическим. Но разве можно себе представить приветствие лучше, чем хорошая музыка – не только имеющая логическую основу, но и наполненная чувствами и эмоциями ее создателей?..

Простое число – это всего лишь натуральное число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу. Казалось бы, ничего особенного в таком свойстве нет, и тем не менее простые числа в математике – на особом положении. Не будет преувеличением сказать, что простые числа связаны с некоторыми из величайших неразгаданных тайн в этой науке и играют важную роль в нашей повседневной жизни. Например, каждый раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, компьютеру банка нужно удостовериться, что вы ее владелец. Делает он это с помощью алгоритма, который превращает очень большое число в однозначно определяемое произведение двух заранее известных простых множителей. От решения таких странных задачек во многом зависит наша финансовая безопасность.

Первые несколько простых чисел – это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все числа, не относящиеся к простым, называют составными. Само число 1 простым не считается (а могло бы), поскольку иначе возникли бы сложности с рядом полезных теорем, в том числе с той, которая настолько важна, что ее величают “основной теоремой арифметики”. Она гласит, что любое число можно представить в виде произведения простых чисел единственным способом (если не учитывать порядок следования множителей). Например, 10 = 2 × 5, а 12 = 2 × 2 × 3. Если бы единица считалась простым числом, то таких способов было бы бесконечное множество – ведь можно сколько угодно раз последовательно умножать число на единицу, результат от этого не изменится.

В природе простые числа встречаются в самых удивительных и неожиданных местах. Один из видов цикад, Magicicada septendecim, имеет 17-летний жизненный цикл. Все особи этого вида проводят в стадии личинки ровно семнадцать лет, после чего вся популяция одновременно вылупляется из своих оболочек для спаривания. Другой вид, Magicicada tredecim, имеет 13-летний жизненный цикл. Существует множество теорий, почему в процессе эволюции у этих цикад выработался жизненный цикл, выражающийся простым числом лет. Самая популярная заключается в том, что существовал хищник, тоже появлявшийся раз в определенное количество лет. Если бы цикады достигали зрелости в один год с питающимися ими животными, весь выводок этих насекомых, скорее всего, тут же уничтожался бы. Выживание цикад зависело от способности выработать жизненный цикл, минимально пересекающийся с циклом хищников. Если бы, например, цикл развития того или иного вида составлял пятнадцать лет, то хищники вполне могли бы появляться каждые три года или пять лет и пожирать выводок насекомых всякий раз при его вылуплении; либо появляться каждые шесть или десять лет и уничтожать новое поколение цикад через раз. И в том и в другом случае данный вид цикад в скором времени просто вымер бы. Другое дело, когда жизненный цикл цикад длится семнадцать лет: хищники с более короткой продолжительностью жизни (а по имеющимся данным, гипотетические хищники жили не так долго, как цикады) шестнадцать своих циклов не будут заставать время появления лакомой добычи и в конце концов просто вымрут от истощения. Такие хищники давно бы уже исчезли с лица земли, оставив цикад с их жизненным циклом, выражающимся простым числом лет, живыми-здоровыми.

Цикада.

Известно, что количество простых чисел бесконечно, то есть не существует самого большого простого числа. Евклид доказал это еще две тысячи лет назад. Другое, но очень простое доказательство таково: предположим, что ряд простых чисел не бесконечен. Тогда можно было бы все простые числа перемножить: 2 × 3 × 5 × 7 и так далее, вплоть до самого большого из них. Обозначим получившееся гигантское произведение буквой P и прибавим к нему 1. Теперь у нас есть только два варианта: либо число P + 1 простое, либо оно делится на какое-либо другое, меньшее простое число. Но если разделить P + 1 на любое из простых чисел в нашем списке (а он, как мы условились, включает в себя все существующие простые числа), в остатке всегда останется 1. Это значит, что либо число P + 1 тоже простое, либо оно имеет простой делитель, которого нет в списке. Таким образом, начав с предположения, что существует некое наибольшее простое число, мы пришли к противоречию. В логике и математике этот прием называется “доказательством от противного” (частный случай “доведения до абсурда”, reductio ad absurdum) – когда несостоятельность какого-либо утверждения доказывают, демонстрируя абсурдность его следствий. Значит, исходное предположение неверно, а стало быть, истинно противоположное ему утверждение: существует бесконечное множество простых чисел. Это последнее утверждение называется теоремой Евклида.

В древности математикам нелегко было высчитывать простые числа. В классической Греции точно знали, что 127 – простое, так как это вытекает из “Начал” Евклида. Возможно, были известны и другие, бо́льшие простые числа – до нескольких сотен, а то и тысяч. В эпоху Возрождения были найдены и существенно бо́льшие, среди них и 524 287, рассчитанное математиком Пьетро Катальди из Болоньи, известным охотником за простыми числами. После публикации трудов французского монаха XVII века Марена Мерсенна, посвятившего немало лет изучению чисел вида 2ⁿ – 1, где n – натуральное (называемых сегодня “числа Мерсенна”), поиск простых чисел сосредоточился именно в этом направлении. Числа Мерсенна – главные подозреваемые, поскольку вероятность, что любое выбранное наугад число из их ряда окажется простым, гораздо выше, чем у других случайных нечетных чисел аналогичной величины (хотя далеко не все числа Мерсенна простые). Первые несколько простых чисел Мерсенна (то есть чисел Мерсенна, которые одновременно являются простыми) – это 3, 7, 31 и 127. Находка Катальди – это девятнадцатое из чисел Мерсенна (M₁₉) и седьмое из простых чисел Мерсенна. Прошло почти полтора столетия, прежде чем швейцарский математик Леонард Эйлер нашел в 1732 году большее простое число. Еще полтора века спустя, в 1876 году, рекорд поставил Эдуард Люка, доказавший, что 127-е число Мерсенна (M₁₂₇), равное приблизительно 170 ундециллионам[32], также является простым.

Хотя многие из чисел Мерсенна действительно простые, сам Мерсенн допустил в своих расчетах несколько ошибок. Например, он определил как простое число M₆₇. Делители этого числа впервые нашел в 1903 году Фрэнк Нельсон Коул. 31 октября математика пригласили сделать часовой доклад в Американском математическом обществе. Во время лекции Коул, не говоря ни слова, подошел к доске и вручную сначала вычислил значение числа 2⁶⁷ – 1, а затем перемножил 139 707 721 и 761 838 257 287, продемонстрировав, что результаты совпадают, – и молча же вернулся на свое место под гром аплодисментов. Позже он признался, что на то, чтобы найти делители числа 2⁶⁷ – 1, у него ушло “три года воскресений”.

С 1951 года поиск простых чисел ведется исключительно с помощью компьютеров. Появление все более быстрых алгоритмов позволяет математикам вычислять все бо́льшие и бо́льшие простые числа Мерсенна. На момент написания этой книги самое большое известное простое число – M_74207281, имеющее 22 338 618 знаков. Его вычислил 17 сентября 2015 года Кёртис Купер, профессор Университета Центрального Миссури, в рамках проекта GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search, “Масштабный интернет-проект по поиску простых чисел Мерсенна”) – добровольного совместного проекта распределенных вычислений, участники которого за двадцать с лишним лет его существования уже рассчитали пятнадцать самых больших простых чисел Мерсенна. По сложившейся традиции авторы открытия отметили свой успех, откупорив бутылку шампанского.

Итак, мы знаем, что такое простые числа, и доказали, что их ряд бесконечен. Нам известно, что в современном мире они могут приносить пользу и что они встречаются в природе. Но в области простых чисел еще много белых пятен: например, мы не знаем, верны ли определенные гипотезы. Одна из наиболее известных – проблема Гольдбаха, названная так в честь немецкого математика Христиана Гольдбаха. Гипотеза гласит, что любое четное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Для малых четных чисел это утверждение легко проверить: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 и так далее. С помощью компьютеров были проверены и гораздо большие числа – правило не подвело ни разу. Однако до сих пор неизвестно, верна ли гипотеза Гольдбаха во всех случаях.

Другая недоказанная гипотеза касается пар простых чисел, отличающихся на 2: таких как 3 и 5 или 11 и 13, – их еще называют числами-близнецами. Гипотеза о числах-близнецах гласит, что таких пар – бесконечное множество, однако доказать истинность этого утверждения пока никому не удалось.

Пожалуй, самая большая загадка простых чисел связана с их распределением. Среди малых натуральных чисел простые встречаются очень часто, но с ростом значений – все реже и реже. Математиков интересует, с какой скоростью убывает плотность простых чисел и как много мы вообще способны узнать об их частоте в числовом ряду. Какой-то строгой закономерности в их появлении не наблюдается, но это вовсе не значит, что они выскакивают где попало. В своей книге “Рекорды простых чисел” (The Book of Prime Number Records) Пауло Рибенбойм формулирует это таким образом:

Можно с довольно хорошей точностью предсказать количество простых чисел, меньших N (особенно при больши́х значениях N); с другой стороны, в распределении простых чисел в коротких интервалах наблюдается некая заложенная случайность. Это сочетание “случайности” и “предсказуемости” приводит к тому, что распределению простых чисел свойственны одновременно и упорядоченность, и элемент неожиданности.

Загадка простых чисел волнует многие поколения математиков. А ведь кажется, куда проще – даже дети в начальной школе могут объяснить, что такое простые числа, назвать несколько первых из них и определить, простое число или нет. Вот и Агниджо заинтересовался простыми числами в очень раннем возрасте, а заодно и кое-какими из нерешенных проблем вокруг них. А со временем этот интерес привел к увлечению другими великими тайнами теории чисел.

Простые числа – это еще и своего рода атомы числовой вселенной, из которых строятся все остальные натуральные числа. Казалось бы, есть все основания надеяться, что они будут подчиняться строгим законам – и предсказывать, где именно в числовом ряду появится следующее, не будет составлять никакого труда. Но нет, эти математические кирпичики поразительно непослушны и капризны. Именно это противоречие между ожиданием и реальностью, стойкое ощущение, что некие организующие принципы чрезвычайной важности находятся за пределами нашего разумения, не давало покоя математикам с античных времен.

И действительно, если рассматривать простые числа по одному или маленькими группами, создается ощущение, что закон им не писан. Но если взглянуть на все их множество, в нем, словно в гигантском косяке рыб или стае скворцов, начинает проявляться невидимый вблизи уровень организации. Одно из самых любопытных открытий в области простых чисел было сделано случайно, и мы уже упоминали о нем в предисловии. Произошло это в 1963 году. Заскучав на какой-то лекции, польский математик Станислав Улам начал рисовать на листке бумаги. Он записывал числа в клетки по квадратной спирали, поставив в центре единицу, виток за витком. Затем он обвел кружками все простые числа и обратил внимание на одну странность: по некоторым из диагоналей спирали, а также по нескольким горизонтальным и вертикальным линиям простые числа выстроились необычно густо. Спирали большего размера, построенные с помощью компьютеров и содержащие десятки тысяч чисел, демонстрируют ту же удивительную закономерность. Насколько можно судить, она сохраняется и дальше, какую бы огромную спираль нам ни вздумалось построить.

Часть из таких “плотных” линий спирали соответствует определенным формулам в алгебре, которые, как мы знаем, дают высокий процент простых чисел. Самая известная из них найдена Леонардом Эйлером и названа в его честь. Многочлен Эйлера n² + n + 41 выдает простые числа для всех значений n от 0 до 39. Например, при n = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 получаем соответственно 41, 43, 47, 53, 61 и 71. При n = 40 формула дает (не простое) число 41², но при более высоких значениях n продолжает и дальше с завидной частотой выдавать простые числа. Есть и другие похожие формулы, обладающие этим не совсем понятным свойством порождать большое количество простых чисел. Математики продолжают дискутировать по поводу значения закономерностей в спирали Улама и их связи с нерешенными задачами, такими как проблема Гольдбаха, гипотеза о числах-близнецах и гипотеза Лежандра (согласно которой между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда есть простое число). Бесспорно одно: спираль Улама наглядно демонстрирует, что закономерность существует и что, несмотря на кажущуюся беспорядочность распределения простых чисел, они следуют каким-то общим правилам, регулирующим их появление в больших группах.

Спираль Улама.

Самая полезная из известных теорем о распределении простых чисел так и называется – “теорема о распределении простых чисел” – и по праву считается одним из величайших достижений в теории чисел. Если в двух словах, она гласит, что при любом достаточно большом числе N количество простых чисел, меньших N, приблизительно равно N, деленному на натуральный логарифм N. (Натуральный логарифм числа x – это показатель степени, в которую нужно возвести число e, равное 2,718…, чтобы получить x.) Определить, где именно находится следующее простое число, по этой формуле невозможно, зато она дает довольно точное представление о том, как много в заданном интервале простых чисел, при условии что он достаточно велик.

В отличие от теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, которую, как мы видели, можно доказать за минуту простыми словами, на доказательство теоремы о распределении простых чисел ушло целое столетие. Впервые, в 1792 или 1793 году, закономерность заметил немец Карл Гаусс, еще подростком, а спустя несколько лет, независимо от него, – француз Адриен-Мари Лежандр. Математики, конечно, уже давно знали, что интервалы между простыми числами увеличиваются с ростом значений, но после того, как во второй половине XVIII века были опубликованы расширенные таблицы простых чисел и более точные логарифмические таблицы, поиски конкретных формул, описывающих это уменьшение плотности, оживились. Гаусс и Лежандр обратили внимание, что плотность простых чисел близка к величине, обратно пропорциональной логарифму. Дальнейшее важное развитие эта работа по поиску функции распределения получила в трудах русского математика Пафнутия Чебышёва в период с 1848 по 1850 год. Но самый важный прорыв произошел в 1859 году, когда немец Бернхард Риман опубликовал свою статью “О числе простых чисел, не превышающих данной величины” (единственную его статью на данную тему). На восьми страницах ученый изложил свое предположение, позже названное гипотезой Римана, которое по сей день будоражит умы математиков, пытающихся его доказать. Считается, что Давид Гильберт как-то сказал: если ему суждено будет заснуть на тысячу лет, первое, чем он поинтересуется после пробуждения, – доказана ли уже гипотеза Римана. В своей книге о теории, на которой основано предположение Римана, американский математик Гарольд Эдвардс пишет:

На сегодняшний день это, бесспорно, самая известная математическая проблема, продолжающая привлекать внимание лучших математиков – не только из-за того, что ее так долго не удается решить, но также потому, что она кажется соблазнительно доступной, а ее решение, вероятно, приведет к появлению новых перспективных методик.

О том, какое огромное значение имеет гипотеза Римана для науки, говорит тот факт, что она вошла в число семи “задач тысячелетия”, определенных Математическим институтом Клэя, – за решение каждой назначена премия в 1 000 000 долларов. Это одна из двух проблем, которые особенно хотелось бы решить Агниджо. Вторая – проблема равенства классов P и NP (мы обсуждали ее в пятой главе). Кроме того, гипотеза Римана – единственная “задача тысячелетия”, что также вошла и в составленный Давидом Гильбертом список из двадцати трех кардинальных проблем математики, представленный им на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года.

Чтобы понять принцип распределения простых чисел, Риман применил методику недавно появившегося раздела математики – комплексного анализа. Как явствует из названия, этот раздел изучает различные способы работы с комплексными числами – теми, что состоят из действительной и “мнимой” частей, например 5 – 3i, где i – квадратный корень из –1. В основе комплексного анализа лежит изучение комплексных функций, то есть попросту правил, с помощью которых можно одно множество комплексных чисел преобразовать в другое. Еще в 1732 году великий швейцарский математик Леонард Эйлер, чье творчество поражает своим объемом и разносторонностью (его научное наследие насчитывает более 31 000 страниц), ввел в математическую науку доселе неизвестное понятие дзета-функции. Она представляет собой разновидность бесконечного ряда – бесконечной суммы элементов, которая, в зависимости от конкретных чисел, составляющих эти элементы, может сходиться или не сходиться к конечному значению. При определенных условиях дзета-функция сводится к ряду, похожему на гармонический (1 + S + ⅓ + j + …), который изучался математиками с античных времен, когда Пифагор и его ученики были одержимы идеей подчинить вселенную законам чисел и музыкальной гармонии. Риман распространил эйлеровскую дзета-функцию на комплексные числа – а потому сегодня она известна также как дзета-функция Римана.

В своей знаменитой статье 1859 года Риман предложил улучшенную, как он считал, формулу для оценки количества простых чисел вплоть до заданного числа. Однако для применения формулы нужно было знать, при каких значениях дзета-функция Римана равна нулю. Дзета-функция Римана определена для всех комплексных чисел вида x + iy, кроме случаев, когда x = 1. Функция равна нулю при всех отрицательных четных целых значениях (–2, –4, –6 и так далее), но для решения вопроса о распределении простых чисел они не представляют интереса, поэтому эти нули называют “тривиальными”. Риман понял, что функция также имеет бесконечное число нулей в критической полосе между x = 0 и x = 1 и что эти “нетривиальные” нули симметричны относительно прямой x = S. Его знаменитая гипотеза гласит, что все нетривиальные нули комплексной дзета-функции как раз находятся точно на этой прямой.

Если гипотеза Римана верна, из этого будет следовать, что в пределах, установленных теоремой о распределении простых чисел, те распределены максимально регулярно. Другими словами, допуская, что есть некая доля “шума” или “хаоса”, которая мешает точно предсказать, где появится следующее простое число, гипотеза Римана говорит нам, что шум этот очень четко регламентирован, что кажущаяся анархия в рядах простых чисел на деле тщательно срежиссирована. Можно для примера представить себе игральную кость со множеством граней, у которой вероятность выпадения простого числа составляет 1/log n. Предположим, что для каждого n, равного или большего 2, вы бросаете кость n раз. В идеале простое число должно выпасть n/log n раз. Но идеал, как известно, недостижим, поэтому в реальности всегда будет отклонение от ожидаемого значения – погрешность. Величина этой погрешности определяется правилом, которое называют законом больших чисел. В гипотезе Римана утверждается, что распределение простых чисел отклоняется от n/log n не больше, чем это следует из закона больших чисел.

Есть немало веских аргументов, свидетельствующих об истинности гипотезы Римана. Риман сам проверил несколько первых нетривиальных нулей на соответствие правилу, а Алан Тьюринг с помощью одного из первых компьютеров протестировал первую тысячу. В 1986 году было объявлено, что первые миллиард с половиной нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся точно на критической прямой, где действительная часть функции равна S. Гораздо раньше, еще в 1915 году, Годфри Харолд Харди доказал, что число нетривиальных нулей на этой прямой бесконечно (хотя и не факт, что все нетривиальные нули лежат именно на ней). В 1989 году американский математик Брайан Конри представил доказательство, что число нулей, лежащих на критической прямой, превышает две пятых от общего количества нулей в критической полосе. Шестью годами позже, после нескольких лет работы проекта распределенных вычислений ZetaGrid, было получено подтверждение того, что первые 100 миллиардов нулей дзета-функции Римана приходятся ровно на критическую прямую, без каких бы то ни было исключений.

Учитывая, что все говорит в пользу истинности гипотезы Римана, сомнения в ее правильности могут показаться невиданным упрямством. Однако в математике между уверенностью и убедительным доказательством – дистанция огромного размера. В отсутствие строгого доказательства даже самые ценные для науки результаты, базирующиеся на предположении теоретика как на чем-то само собой разумеющемся, пусть и такого выдающегося теоретика, как Бернхард Риман, – не более чем карточный домик. Пока существует возможность, что хотя бы один нетривиальный нуль в критической полосе находится где угодно, но не на прямой x = S, любые попытки полагаться на замечательную догадку Римана как на истину означают, что мы выдаем желаемое за действительное.

Между тем важность доказательства истинности (или ложности) гипотезы Римана выходит за рамки не только теории чисел, но и математики в целом. Оказалось, что существует неочевидная, но прямая связь между предположением Римана и субатомным миром. Однажды в апреле 1972 года в Принстоне двое математиков из Института перспективных исследований, Хью Монтгомери и Атле Сельберг, обсуждали недавнее открытие Монтгомери, связанное с интервалами между нетривиальными нулями на критической прямой. Позже, в институтской столовой, Монтгомери познакомили с Фрименом Дайсоном, профессором Школы естественных наук того же института. Стоило Монтгомери затронуть тему своей работы, как Дайсон тут же осознал, что упомянутые расчеты в точности повторяют те, которые ему самому пришлось проводить в 1960-х годах, когда он изучал так называемую теорию случайных матриц. Эта теория используется, чтобы рассчитывать энергетические уровни частиц внутри тяжелых атомных ядер. Дайсон вспоминал удивление, которое он испытал, обнаружив, что при изучении распределения простых чисел всплывают те же самые уравнения:

Его результаты в точности повторяли мои. Совершенно другая область – и абсолютно идентичные результаты. Это говорит о том, что мы еще очень многого не понимаем. Когда поймем, это наверняка будет выглядеть очевидным, но пока выглядит чудом.

Нам часто кажется, что некоторые вещи в математике, такие как гипотеза Римана, совершенно оторваны от жизни и не представляют никакого интереса – этакая интеллектуальная эквилибристика. И тем не менее вот вам живой пример (и их не так уж мало) прямой связи между чистой, казалось бы, математикой, и фундаментальными основами физической вселенной.

Больше ста пятидесяти лет прошло с тех пор, как Риман представил миру свою гипотезу. Отсутствие ее доказательства стало зияющей дырой в самом сердце математики. Возможно, решение этой задачи требует идей настолько передовых и радикальных, что они пока лежат за пределами нашего понимания. Если это так, то сами попытки доказать ее могут привести к разработке новых эффективных математических методик. Если доказательство все-таки отыщется, его значение для математической науки будет трудно переоценить – из-за той основополагающей роли, которую простые числа играют в общей системе чисел и из-за их связи со множеством других задач в этой области. Сотни теорем либо устоят, либо рухнут, признанные ложными, в зависимости от того, будет гипотеза Римана доказана или опровергнута. В случае ее доказательства возникнет масса других вопросов, в том числе и “Почему простые числа балансируют на такой зыбкой грани между случайностью и порядком?”. В случае опровержения все эти теоремы падут, а математика будет подвергнута тяжелейшим испытаниям, которые подорвут самые ее основы.

Никто не рассчитывает, что гипотезу Римана докажут со дня на день. Но в математике случается порой, что доказательства появляются неожиданно, без всякого предупреждения. Именно так произошло, когда Эндрю Уайлс представил блестящее доказательство Великой теоремы Ферма[33]. То же позже произошло и с открытием, относящимся к гипотезе о числах-близнецах – представлении (которое многие считали верным), что существует бесконечное множество пар таких чисел. В 1849 году французский математик Альфонс де Полиньяк пошел еще дальше и предположил, что существует бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на любое конечное число, не только на 2. Долгое время никому не удавалось добиться особых успехов в доказательстве этой гипотезы, пока в 2013 году неизвестный в широких математических кругах преподаватель Университета Нью-Гэмпшира по имени Итан Чжан совершенно неожиданно не опубликовал статью, взбудоражившую научный мир. Чжану удалось доказать, что существует число N, меньшее 70 миллионов, такое, что есть бесконечно много пар простых чисел, разность которых не более N. Это означает, что, как бы далеко мы ни забрались в бескрайний мир больших, огромных и гигантских простых чисел, как бы ни редели постепенно их ряды, мы всегда сумеем найти пары простых чисел, отличающихся друг от друга не больше, чем на 70 миллионов. Есть все основания считать, что этот промежуток можно существенно сократить[34]. И мы вправе надеяться, что в скором времени в теории простых чисел нас ждут знаменательные открытия.

Понять, что из себя представляют простые числа, настолько же легко, насколько трудно сорвать покров тайны с законов, которым они подчиняются. Действительно ли любое четное число – сумма двух простых чисел? Правда ли, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся на 2? Наверняка не знает никто, хотя многие считают, что мы близки к разгадке. В довершение всего простые числа, похоже, играют чрезвычайно важную роль во всей математической науке – а возможно, и в физической вселенной.

Представьте себе невероятно мощный компьютер, способный всегда, при любой ситуации на шахматной доске рассчитать лучший следующий ход. При этом “лучший” значит такой, который позволяет как можно быстрее выиграть или как минимум не проиграть – другими словами, ведет к оптимальному для участника исходу. Теперь вообразите, что этот компьютер играет против другого, идентичного ему во всех отношениях. Который из них победит? Или всегда будет ничья? Мы решили так много монументальных проблем в математике, что, казалось бы, такая древняя игра, как шахматы, с ее несложными правилами не должна представлять никакой трудности для теоретиков, вооруженных передовыми компьютерными технологиями. Но не тут-то было.

Первая машина для игры в шахматы, известная под названием “Турок”, была на самом деле ловким фокусом, бутафорией, хотя на эту мистификацию и клюнуло немало народу в период с 1770 года, когда машина была представлена публике венгерским изобретателем Вольфгангом фон Кемпеленом, по 1854 год, когда она сгорела во время пожара. Среди наблюдавших ее в действии – Наполеон Бонапарт (сам незаурядный математик), Бенджамин Франклин и один из пионеров современной вычислительной техники Чарльз Бэббидж. Машина представляла собой большой деревянный ящик, за которым располагались голова и туловище манекена в натуральную величину в богато украшенном османском одеянии и тюрбане. Через три открывающиеся дверцы на передней стороне ящика можно было рассмотреть различные детали сложного механизма, а когда поочередно открывались дверцы в задней части ящика, зрители могли видеть механизм насквозь. Постоянно скрытой от их взора оставалась лишь одна мелочь – находившийся внутри живой человек, опытный шахматист, передвигавшийся на скользящем сиденье из одной части ящика в другую, пока демонстратор одну за другой открывал смотровые дверцы. Обдумав очередной ответный ход, спрятанный шахматист передвигал фигуры на видимой зрителям доске с помощью механической руки “Турка”, соединенной посредством системы тросиков и шарниров со скрытой внутри ящика второй шахматной доской, с отверстиями для фигур. Оригинальный, превосходной работы автомат фон Кемпелена в игре тем не менее полностью полагался на интеллект управлявшего им человека.

Никакое механическое чудо, никакая самая слаженная система шестеренок, передач, рычагов и тросиков не обладает достаточным быстродействием, чтобы сыграть даже посредственную партию в шахматы – настолько сложна эта игра. Надежда на создание реальной шахматной машины появилась только после окончания Второй мировой войны, когда был разработан электронный компьютер. Пионеров машинных вычислений – таких как Алан Тьюринг, Джон фон Нейман, Клод Шеннон – шахматы интересовали как средство практической проверки своих идей в области искусственного интеллекта. В своей эпохальной статье 1950 года Шеннон пишет: “Хотя никакой практической ценности в этом и нет, вопрос все же представляет определенный теоретический интерес, и есть надежда, что… решение этой проблемы послужит толчком к решению других, более важных задач”. Два года спустя коллега Тьюринга Дитрих Принц написал для нового компьютера Ferranti Mark I в Манчестерском университете первую программу для игры в шахматы. Объем оперативной памяти и производительность машины позволяли ей решать лишь задачи категории “мат в два хода”, то есть она могла рассчитать лучший ход в ситуации, когда до мата оставалось не больше двух ходов. В 1956 году компьютер MANIAC I в Лос-Аламосской национальной лаборатории был запрограммирован на игру в облегченную версию шахмат – без слонов на доске размером 6 × 6 клеток. Всего было сыграно три “бесслоновых” партии: первую компьютер сыграл против самого себя, вторую против сильного шахматиста, исходно отказавшегося от ферзя, дав фору машине (та проиграла), и третью против новичка, только что выучившего правила. Эта заключительная партия, выигранная компьютером, пусть и у очень слабого соперника, знаменовала собой первую победу машины над человеком.

В 1958 году исследователь из IBM Алекс Бернстайн написал первую программу для игры в стандартные шахматы для IBM 704 – компьютера, на котором были разработаны языки программирования Fortran и Lisp и впервые синтезирована человеческая речь. Именно под впечатлением от демонстрации синтеза речи этой машиной Артур Кларк через несколько лет написал сцену для фильма “2001 год: Космическая одиссея”, показывающую, как постепенно угасает сознание компьютера HAL 9000, когда Дейв Боумен один за другим отключает его модули личности. В одной из предыдущих сцен фильма HAL легко выигрывает у астронавта Фрэнка Пула партию в шахматы. Режиссер Стэнли Кубрик сам был страстным шахматистом, поэтому неудивительно, что ходы HAL и Пула были взяты им из реальной партии между А. Рёшем и В. Шлаге, сыгранной в 1910 году в Гамбурге.

Проблема, стоящая перед любой машиной для состязания в шахматы – невероятная сложность игры, связанная с выработкой стратегии и многообразием возможных ходов. Существует в общей сложности около 10⁴⁶ возможных позиций, а уникальных партий – не меньше 10¹²⁰ (это число Шеннона, названное в честь американского математика Клода Шеннона, который описал его вычисление в опубликованной в 1950 году статье “Программирование компьютера для игры в шахматы”). В начале партии все довольно просто: у белых есть только двадцать возможных ходов – шестнадцать пешками (самых популярных всего три) и четыре конями (из них распространен всего один). Но по ходу игры, когда вовлеченными оказываются и другие фигуры – слоны, ладьи, ферзь и король, – количество возможных ходов очень быстро растет. После того как каждый из игроков сделал по одному ходу, на доске может возникнуть 400 различных позиций, после двух ходов – 72 084 позиции, после трех – более 9 миллионов, а после четвертого хода – более 288 миллиардов. Это примерно по одной игровой позиции на каждую из звезд нашей галактики. А общее количество возможных партий во много раз превышает число элементарных частиц во Вселенной.

На заре компьютерных шахмат созданию эффективных программ мешала относительно низкая производительность вычислительных машин. Но основной принцип программирования сильного компьютерного шахматиста был выработан уже в 1950-х годах венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Алгоритм “минимакс” был назван так потому, что его цель – свести к минимуму счет противника, максимизируя при этом свой собственный. К концу десятилетия этот алгоритм удалось усовершенствовать с помощью метода, получившего название “альфа-бета-отсечение”. Используя эвристические правила, выведенные на основе игровой стратегии лучших шахматистов мира, он при поиске оптимального хода заранее отсекает возможные неудачные ходы, чтобы компьютер не тратил зря время на проверку заведомо бесплодных ветвей своего дерева поиска. Это не то же самое, что компьютер, который учится на собственных ошибках, – такие появились позже, – а лишь попытка учесть в программе приемы и комбинации ходов, использовавшиеся гроссмейстерами в реальных играх.

С появлением в 1970-х и 1980-х годах более мощных компьютеров поиск оптимального хода стал более глубоким и рациональным. В 1978 году компьютер выиграл партию у международного мастера по шахматам. В том же десятилетии прошел первый чемпионат мира по шахматам среди компьютерных программ. Когда один из авторов этой книги (Дэвид) работал менеджером по прикладному программному обеспечению в компании Cray Research (производителе суперкомпьютеров в Миннеаполисе), ему довелось совместно с Робертом Хайаттом из Университета штата Алабама в Бирмингеме заниматься оптимизацией написанной Хайаттом шахматной программы Blitz для компьютера Cray-1 – самого быстродействующего на тот момент на планете. В 1981 году Cray Blitz стал первым компьютером, получившим мастерский рейтинг после победы в чемпионате штата Миссисипи со счетом 5:0, а в 1983-м он побил своего давнего конкурента, компьютер Belle компании Bell Labs, и стал чемпионом мира по шахматам среди компьютеров.

С того времени компьютерные шахматы сделали огромный шаг вперед. В 1997 году чемпион мира по шахматам Гарри Каспаров в матче из шести партий проиграл компьютеру Deep Blue компании IBM, а последний раз человек одержал победу над сильнейшим в мире компьютерным соперником в 2005 году. Лучшие компьютеры сейчас настолько опережают по рейтингу живых шахматистов, что можно уверенно утверждать: человеку больше никогда не обыграть ни одного из кремниевых гроссмейстеров. На момент написания этой книги наивысший шахматный рейтинг (основанный преимущественно на турнирных победах над достойными соперниками), когда-либо достигнутый углеродной формой жизни, составляет 2882 пункта. Этот рекорд, зафиксированный в мае 2014 года, принадлежит действующему чемпиону мира по шахматам норвежцу Магнусу Карлсену. На сегодняшний день его уже обошли не меньше пятидесяти компьютерных программ, в том числе Stockfish, имеющая самый высокий на планете рейтинг среди людей и машин – 3394 пункта.

Шахматная доска дома у Агниджо. На доске – позиция, возникшая в ходе игры между компьютером Deep Blue (белые) и Гарри Каспаровым (черные) в 1996 году, когда компьютер впервые превзошел чемпиона мира по шахматам.

Но рейтинг рейтингом, и все же, несмотря на высочайшую квалификацию сегодняшних быстродействующих компьютеров, вопрос остается открытым: считать ли шахматы разрешимой игрой? Другими словами, возможно ли просчитать исход партии заранее, еще до ее начала? Есть множество игр попроще, где ответ на этот вопрос будет утвердительным. Одна из самых простых и популярных – крестики-нолики. Ее довольно легко проанализировать, ведь самая длинная партия продолжается не дольше девяти ходов и в большинстве случаев игрок вынужден занимать определенную клетку, чтобы не дать противнику победить. Если оба соперника знакомы с беспроигрышной стратегией, всегда все заканчивается вничью. Тот факт, что поле для крестиков-ноликов мало – всего 3 × 3 клетки, – облегчает задачу просчитывания. Впрочем, малый размер поля далеко не всегда означает, что игра проста. Многим из нас доводилось коротать время за игрой “точки и квадраты”: поле для нее представляет собой квадратную сетку с точками, а участники по очереди соединяют соседние точки отрезками. Если игрок выгораживает целую клетку, дорисовав ее четвертую сторону, клетка достается ему, он ставит в ней свой символ и получает еще один ход. Если при этом он образует еще один квадрат, то снова делает ход, и так далее. Минимальное поле для такой игры – 3 × 3. И хотя его размер такой же, как у крестиков-ноликов, стратегия здесь не в пример сложнее. Известно, что на поле 3 × 3 у второго игрока есть преимущество и он может побеждать всегда, однако мало кто знает выигрышную стратегию – а стратегия эта на удивление сложна. Большинство же из нас, по сути, полагаются на случай: мы просто стараемся сначала не отдавать противнику клетки, а потом сами стремимся занять как можно больше клеток с минимальными жертвами. А вот если поле значительно больше, чем 3 × 3, теоретики бессильны: в начале игры они не имеют ни малейшего представления о том, кто победит. Есть позиции (они довольно часто возникают в партиях между опытными соперниками) заведомо проигрышные для ходящего игрока – любой его ход гарантированно ведет к провалу. Непонятно лишь, как именно должен в такой ситуации действовать второй участник, чтобы победить, – хотя то, что победить он может, известно точно. Это пример того, что в математике называется “неконструктивным доказательством”: оно доказывает, что нечто (например, выигрышная стратегия) существует, а вот как конкретно это нечто получить, совершенно не подсказывает. Кажется нелогичным: как же так, наверняка знаем, что что-то существует, но привести пример не в силах? И тем не менее в подобных играх это случается часто. Такой вот парадокс: доказать, что в определенной ситуации игрок может победить, бывает проще простого, а вот показать, как именно достичь этой победы, невозможно.

В точках и квадратах, как и в крестиках-ноликах, на старте перед участниками открыты все ходы, а в процессе игры количество возможностей уменьшается. Шахматы – изначально гораздо более сложная игра, чем точки и квадраты, с огромным потенциалом для состязания между опытными соперниками и гроссмейстерами. Число возможных ходов в шахматах куда больше, их количество быстро растет, а партии могут продолжаться гораздо дольше. Предсказать, кто победит, в начале игры невозможно. Максимум, на что мы сегодня способны, – увидеть преимущество того или иного игрока в некоторых позициях эндшпиля, когда на доске остается совсем мало фигур. Просчитывание шахматной партии от начала до конца (то есть отыскание оптимальной стратегии, с помощью которой один из игроков всегда сможет одержать победу или хотя бы свести партию к ничьей) кажется несбыточной мечтой. И все же компьютеры невероятно преуспели в том, чтобы просчитывать игру на много ходов вперед и выбирать из миллиардов возможных вариантов перспективные последовательности ходов.

Пожалуй, еще удивительнее успехи, которых компьютерам удалось достичь в другой древней игре, стратегически еще более сложной, – го. Распространена она в основном в Китае, Японии и Южной Корее, а корни ее уходят глубже чем на две с половиной тысячи лет в прошлое – она считается самой старой из существующих сегодня настольных игр. В Древнем Китае игра в го входила в число четырех искусств, которыми должен был владеть благородный муж, наряду с живописью, каллиграфией и игрой на струнном музыкальном инструменте цине. На доске размером 19 × 19 соперники, играющие белыми и черными камнями, ходят по очереди, но, в отличие от шахмат, начинают черные. Делая ход, каждый из участников ставит на доску камень своего цвета, стараясь своими камнями окружить вражеские – тогда те считаются захваченными и удаляются с поля (название “го” происходит от китайского слова, означающего “игра в окружение”). Кроме этих основных правил есть и множество других, но главная особенность игры в том, что ее тактика и стратегия дьявольски сложны. Тактика – это то, что происходит в отдельно взятой части доски, где между группами камней разворачивается противоборство: выжить или погибнуть, спастись или сдаться в плен. А стратегия – это выстраивание игры с учетом общей ситуации на доске. Го превышает шахматы и по размеру поля, и по количеству возможных ходов в каждой позиции, да и партия обычно длится дольше. Метод перебора, дающий компьютерам преимущество в шахматах, к го неприменим, поскольку на просчитывание всех вариантов ушло бы слишком много времени. А в состязании с мастером го перебор просто бесполезен, ведь искусный игрок способен выбрать из множества ходов лучший, используя навыки высшего уровня, такие как распознавание образов – умение, которое приобретается с опытом и к которому человеческий мозг приспособлен гораздо лучше, чем компьютер. Распознать в расположении камней на доске определенный общий рисунок, который в различных ситуациях может выглядеть совершенно по-разному, – задача для компьютера куда более сложная, чем просто считать с молниеносной быстротой. Даже когда компьютеры стали обыгрывать сильнейших шахматистов, мастера го оставались уверенными, что в их игре компьютерам еще долго, очень долго не достичь даже скромного любительского уровня.

Игра в го.

Но вот наступил 2016 год, и разработанная Google программа AlphaGo победила одного из лучших в мире игроков в го Ли Седоля со счетом 4:1. AlphaGo полагается не столько на просчитывание ходов и перебор возможных ситуаций, сколько на другие методы, больше свойственные человеку, чем машине. В ее основе – нейронная сеть, моделирующая работу органического мозга при решении проблемы. Изучив заложенную в нее огромную базу данных сыгранных мастерами партий, программа стала нескончаемо состязаться сама с собой, чтобы научиться узнавать выигрышные позиции и комбинации. Сочетание интеллектуального, эвристического подхода, свойственного человеку, с высокой скоростью, обеспечиваемой кремниевой начинкой, позволяет AlphaGo достичь того, что еще до недавнего времени считалось очень дальней перспективой, – уровня суперзвезды го мирового класса. В 2017 году AlphaGo улучшила собственный результат, одержав победу во всех трех партиях с лучшим игроком мира Кэ Цзе.

Мало кто сегодня сомневается, что уже скоро компьютерные мастера игры в го станут такими же непобедимыми соперниками для своих органических создателей, как и их шахматные собратья. Но мы так и не ответили на вопрос: разрешимы ли такие игры, как шахматы и го? В шахматах, поскольку белые ходят первыми, черные могут только реагировать на создаваемые ими угрозы. Поэтому, если когда-нибудь решение будет найдено – то есть будет вычислена оптимальная последовательность ходов белых в ответ на любые действия черных, – почти наверняка единственными возможными исходами игры будут победа белых или ничья. В го ситуация несколько сложнее, потому что по правилам в качестве компенсации за право черных ходить первыми белые получают определенное количество очков (6,5 по японским правилам, 7,5 по китайским). Возможно, этого достаточно для победы белых, но не исключено, что преимущество первого хода настолько перевешивает компенсацию, что выигрыш черным все равно обеспечен. Точно никто не знает – а может, никогда и не узнает.

Верным способом вычислить решение шахматной игры было бы нарисовать дерево со всеми возможными позициями-ветвями, затем, начиная с любой из них, дать оценку каждому из ответвлений, посмотрев, чем они кончаются, и выбрать то, которое ведет к оптимальному исходу. В теории все просто. Но поскольку общее количество возможных вариантов игр составляет приблизительно триллион триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов, получившееся дерево будет иметь колоссальный размер. Создать компьютер, способный вместить такое количество данных, будет несколько проблематично, учитывая, что атомов во всей видимой Вселенной, вероятно, всего-то около 10⁸⁰, то есть в 10⁴⁰ раз меньше. На практике большую часть ветвей можно отсечь уже на начальном этапе, потому что многие из возможных позиций совершенно нелепы и в реальной партии никогда не возникнут, даже если играют новички. Но и после такой обрезки оставшееся дерево возможных реалистичных ходов будет чудовищно большим. А в случае с го его крона будет еще ветвистее. Из-за невероятной сложности подобных игр многие считают, что, хотя теоретически их и можно рассчитать, на практике это совершенно нереально. Если во всей Вселенной не хватит элементарных частиц, чтобы сохранить даже сильно обрезанное дерево ходов игры, как же ее просчитать? Возможно, на помощь придет более совершенный искусственный интеллект, который сумеет отсечь в дереве поиска еще больше ветвей и довести его крону до приемлемых размеров. Еще один вариант – квантовые компьютеры, способные вести поиск одновременно в огромном количестве ветвей. Впрочем, в отличие от случая с алгоритмом Шора для разложения на множители больших чисел, на сегодняшний день у нас не только нет алгоритма для решения задач такого типа, но мы даже не знаем, существует ли он вообще. Некоторую надежду вселяет тот факт, что для шашек решение все же было найдено. Это произошло в 2007 году и потребовало почти двадцати лет работы сотен компьютеров, которые все эти годы перебирали возможные комбинации ходов в игре. Как выяснилось, в шашках, если оба соперника играют без ошибок, партия всегда закончится ничьей. Удастся ли благодаря прогрессу технологий и программирования найти аналогичное решение для шахмат, а может быть, и для го? Время покажет.

Зато мы точно знаем, что игры типа шахмат и го, а также более простые, вроде крестиков-ноликов или точек и квадратов, – это “игры с совершенной информацией”: обдумывая ход, участник располагает всей информацией, необходимой, чтобы определить, какие ходы хорошие, а какие плохие. Никакой неопределенности, все на виду. А это значит, что в принципе, при наличии неограниченных ресурсов памяти и времени, такие игры можно просчитать. Но есть и другие игры, такие как покер, где не вся информация участникам доступна. Обдумывая свой ход, игрок в покер не знает, какие карты на руках у соперников – а ведь это решающий фактор, определяющий исход партии. Новичку, противостоящему в турнире профессионалу, конечно, может повезти – соберет роял-флеш да и выиграет партию. Но при длительной игре с большим количеством партий более опытный участник, знающий, когда делать ставку, а когда пасовать, в среднем выигрывает чаще и более крупные суммы, чем новичок.

Прежде чем говорить о просчитывании игр, подобных покеру, необходимо определиться, что же означает “просчитать”, когда речь идет об играх без “совершенной информации”. Ни один компьютер не может гарантировать стопроцентного выигрыша в покере (если не будет жульничать) – всегда ведь есть вероятность, что человеку придет роял-флеш. Поэтому “просчитыванием” в случае с покером будет выработка компьютером такой стратегии, при которой он в среднем окажется в выигрыше максимальное количество раз.

В покере еще больше усложняет задачу просчитывания возможность блефа и то, что обычно в турнирах игроков за столом значительно больше двух. Когда вместе состязаются компьютер и несколько человек, люди вполне могут объединиться против машины (причем, скорее всего, так и сделают), стремясь поставить ее в невыгодное положение. И пусть в подобной ситуации выигрыш каждого из живых участников будет менее ощутимым, чем если бы он действовал только сам за себя, – зато команда выиграет больше.

И все же для одной из разновидностей покера – техасского холдема для двух участников с лимитом – ученые уже разработали программу, которую невозможно победить в длинной серии игр. Ее появление в 2014 году стало важной вехой: впервые был найден алгоритм, способный просчитать сложную игру, в которой часть информации участникам недоступна. Эта скрытая информация и случайность розыгрыша карт не дают компьютеру выигрывать каждый раз. Но в серии из множества партий у человека практически нет шансов (так же как шахматисту, например, практически невозможно превзойти программу Stockfish) – так что эту версию игры мы вправе объявить просчитанной. Программа может не только помочь участникам усовершенствовать навыки игры; предполагается, что используемый в ней подход найдет применение в здравоохранении и системах безопасности.

Из примера с покером может возникнуть впечатление, что во всех играх с “несовершенной информацией” имеется элемент случайности, никак не зависящий от участников. Но это не так. Во всем знакомой игре “камень, ножницы, бумага” значение имеет только то, какие фигуры показывают игроки: никакой случайности, все по воле состязающихся. И все же информация в ней несовершенна. Суть игры, в которой участники делают синхронные жесты руками, ничуть не изменится, если те будут находиться в разных помещениях и записывать выбираемые фигуры на бумажке, не зная о решениях оппонента.

В игре с совершенной информацией всегда есть какая-то “чистая” стратегия – некая последовательность ходов, которая приводит к наиболее благоприятному исходу. Скажем, в любой шахматной позиции существует лучший ход или, чаще, серия выигрышных ходов, и всякий раз, когда такая позиция возникает на доске, оптимальнее разыгрывать именно их. В случае с игрой “камень, ножницы, бумага” все с точностью до наоборот. Чистая стратегия здесь не работает: если, например, каждый раз показывать “камень” или в одной и той же последовательности “камень”, “ножницы” и бумагу”, вас в два счета обыграют. Лучше всего в подобных играх использовать так называемую смешанную стратегию, при которой в каждой из возникающих позиций с разной вероятностью предпринимаются различные действия. Просчитывание такой игры, как “камень, ножницы, бумага” или покер на двоих, заключается в нахождении оптимальной смешанной стратегии, гарантирующей наиболее высокую вероятность победы. Стратегия “всегда показывать «камень»” будет иметь вероятность выигрыша 100 %, если оппонент настолько несообразителен, что всегда будет разыгрывать “ножницы”. С другой стороны, если второй игрок быстро раскусит первого (а так, скорее всего, и будет) и станет все время показывать “бумагу”, то вероятность выигрыша с помощью “каменной” стратегии тут же упадет до нуля. Так что нет ничего удивительного в том, что игра “камень, ножницы, бумага” была просчитана, причем решение совершенно тривиально. Оптимальная стратегия: треть времени разыгрывать “камень”, треть – “бумагу” и треть – “ножницы”. Если считать ничью за полпобеды, вероятность выигрыша составляет как минимум 50 % – это лучшая из всех возможных стратегий. Есть, конечно, эксперты и более высокого уровня, но они полагаются не столько на теорию игры, сколько на психологию, извлекая выгоду из того факта, что человеку, как правило, плохо удаются по-настоящему случайные ходы, как мы уже видели в третьей главе. В целом, лучшая стратегия в играх с несовершенной информацией – смешанная.

В таких играх есть понятие, которое называют равновесием Нэша – в честь американского математика и экономиста Джона Нэша, внесшего важный вклад в развитие теории игр (ему даже была посвящена книга – а позже и фильм – “Игры разума”). Сильное равновесие Нэша означает, что у каждого участника есть своя стратегия, любое отклонение от которой (в случае если остальные этого не делают) ухудшает его шансы на победу. Есть также слабое равновесие Нэша, когда игрок может отклониться от выбранной стратегии и никак не изменить этим свои шансы, однако невозможно изменением стратегии улучшить свою позицию в игре. Равновесие Нэша – ключевое понятие в теории игр.

В игре с совершенной информацией равновесие Нэша возникает, когда обе стороны придерживаются оптимальной стратегии. Оно может быть сильным или слабым, в зависимости от того, существует ли одна или несколько оптимальных стратегий. В игре с несовершенной информацией ситуация та же. Однако вполне возможно существование нескольких равновесий Нэша. Чтобы определить, все ли мы нашли, нам потребуется еще одно понятие – игра с нулевой суммой (частный случай игры с постоянной суммой).

В игре с нулевой суммой один из участников выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Более общий случай – игра с постоянной суммой, в которой общий фонд не меняется. Один из примеров – шахматы. Участники могут сыграть вничью, заработав каждый по пол-очка, или один из них выиграет – и тогда победитель получает одно очко, а проигравший – ничего. А вот футбол, в отличие от шахмат, нельзя назвать игрой с постоянной суммой, поскольку в случае ничьей каждая из команд зарабатывает по очку, но если одна из них побеждает, то она получает три очка, а проигравшая – ноль. Сумма очков, таким образом, может быть 2 или 3. Все игры с постоянной суммой можно превратить в игры с нулевой суммой, добавляя или отнимая некоторое количество очков. Например, если бы у шахматных соперников удерживалось по пол-очка, то сумма игры была бы нулевой. По этой причине результаты, применимые к играм с нулевой суммой, обычно распространяются и на игры с постоянной суммой.

В играх с нулевой или постоянной суммой равновесия Нэша возникают только тогда, когда оба участника используют оптимальную стратегию. В играх же, не относящихся к этой категории, дело обстоит иначе: в них может быть множество других равновесий Нэша. В играх с непостоянной суммой на передний план выходит другой фактор – оптимальность по Парето. Оптимальным по Парето считается такое множество стратегий, в котором невозможно изменить их все в пользу одного из игроков, не ухудшив при этом положение кого-то из других участников. В игре с нулевой суммой любое множество стратегий оптимально по Парето. Но в общем случае это не так. Даже равновесие Нэша может не быть оптимальным по Парето, что демонстрирует нам проблема, известная как “дилемма заключенного”.

Двое заключенных по отдельности осуждены за преступление, предусматривающее тюремный срок в один год. Но кроме того, есть свидетельские показания, согласно которым оба причастны к более серьезному преступлению, грозящему сроком в шесть лет. Каждому из заключенных предоставляют выбор: молчать или тайно сдать подельника. Причем ни один из них не узнает о том, что сделал другой, пока не будет вынесен окончательный приговор. Если оба предадут друг друга, каждый получит по четыре года тюрьмы (по году за первое преступление и по три – за второе, более серьезное). Если только один из них предаст второго, он выйдет на свободу, а второй получит полные семь лет за оба преступления. Если все молчат, обоих приговаривают только на один год – за менее серьезное преступление. Удивительно, но получается, что, как бы ни поступил один, другому всегда выгоднее предать его, чем молчать. Единственно возможное равновесие Нэша в этом случае – взаимное предательство и по четыре года тюрьмы для каждого. Но такой вариант не оптимален по Парето, поскольку лучшим выходом для обоих было бы смолчать и отсидеть всего по году. Дилемму заключенного можно разыгрывать подряд сколько угодно, всякий раз вырабатывая стратегию на основе предыдущего опыта (этот вариант так и называется – повторяющаяся дилемма заключенного), тогда задача становится еще сложнее. Лучшие стратегии для повторяющегося варианта обычно предусматривают упорное молчание, при условии что вторая сторона поступает так же, и ответ предательством на предательство. Такие стратегии позволяют игрокам, с одной стороны, получить преимущество оптимальности по Парето в противостоянии друг другу, а с другой – избежать наихудшего исхода, делая выбор в пользу равновесия Нэша в тех случаях, когда ясно, что стратегия второго игрока – предательство.

Большинство людей предпочитает игры, которые продолжаются не слишком долго, скажем, час или два – пока участники не устали, не проголодались или не начали зевать от скуки. Международной шахматной федерацией для всех крупных турниров установлен лимит времени: 90 минут на первые 40 ходов плюс 30 минут на оставшуюся часть игры. А вот самая длинная из зафиксированных партий состоялась в 1989 году в Белграде между Иваном Николичем и Гораном Арсовичем: она продолжалась больше 20 часов и после 269 ходов закончилась ничьей по так называемому правилу 50 ходов. Оно гласит: партия может быть признана закончившейся вничью, если последние 50 ходов были сделаны игроками без перемещения пешек и без взятия фигур. Игрок, за которым очередь хода, вправе также потребовать объявления ничьей в том случае, если одна и та же позиция на доске повторилась три раза. При использовании правила 50 ходов самая протяженная партия может длиться чуть меньше 6000 ходов.

Гораздо дольше, вероятно в миллиарды раз дольше, чем будет светить Солнце, могла бы длиться игра на шахматной доске, бесконечно простирающейся во всех направлениях. В “бесконечных шахматах” те же правила и столько же фигур, что и в обычных, но поле для игры не имеет границ. Ходы на такой доске возможны весьма эффектные: представьте себе, как с расстояния в триллион клеток мчится на всех парусах черная ладья, а в ответ пронесшийся через межгалактическое пространство белый слон берет пешку. Нам, ограниченным своим крошечным мирком, такая игра покажется чересчур масштабной и несколько затянутой. И все же благодаря математике мы имеем возможность если не принять в ней участие, то как минимум что-то о ней узнать. А самое главное, мы можем абсолютно точно утверждать: что в обычных шахматах, что в бесконечных существует стратегия, гарантирующая выигрыш избравшему ее игроку. Что это за стратегия? Пока у нас в распоряжении не будет компьютера с неограниченным быстродействием и бесконечным объемом памяти, этого нам не узнать. Но само сознание того, что любую разновидность шахмат, да и любую другую игру с совершенной информацией – хоть конечную, хоть бесконечную – можно (пусть и теоретически) просчитать, приносит хоть какое-то удовлетворение.

В 1960-х годах, когда работа над искусственным интеллектом только начиналась, математики и специалисты по вычислительным системам, такие как Клод Шеннон, использовали шахматы для испытания методик, способных обучить компьютеры мыслить как человек. Сложные стратегические игры и сегодня служат этой цели. Сами по себе они не имеют особой ценности (если только не являются источником дохода). Но подходы, используемые при проектировании машин для игр, при их обучении и самообучении, можно перенести в другие области знания, действительно имеющие большое значение. Что еще важнее, попытки просчитать шахматы и аналогичные сложные игры помогают пролить свет на границы возможностей человеческого познания.

Слово “парадокс” восходит к греческим словам para (“против”, “вопреки”) и doxa (“мнение”, “представление”), то есть буквально оно означает нечто, что противоречит интуиции или здравому смыслу. В обиходной речи мы часто называем парадоксальным то, во что трудно поверить. Например, в третьей главе мы говорили, что если в одной комнате собрать 23 человека, то вероятность, что у двух из них совпадут дни рождения, больше 50 %. Это утверждение часто называют “парадоксом дней рождения”, хотя это легко доказуемый статистический факт, вызывающий удивление лишь потому, что противоречит нашим ожиданиям. Математики и логики употребляют слово “парадокс” в более узком значении: для них это утверждение или ситуация, содержащие внутреннее противоречие. Один из таких парадоксов, как мы увидим, привел к важному открытию в фундаментальном разделе математики. Другие, имеющие отношение к природе внутреннего “я”, к свободе воли, ко времени, породили плодотворные философские и научные дискуссии.

Французский богослов и философ XIV века Жан Буридан сыграл важную роль в распространении в Европе идей коперниканской революции – о том, что планеты обращаются вокруг Солнца. Но больше его имя известно благодаря ассоциации со средневековым логическим парадоксом. Буридан представил себе осла, стоящего ровно посередине между двумя копнами сена, одинаковыми во всех отношениях – по размеру, качеству и внешнему виду. Осел голоден, но помимо этого обладает рациональным мышлением и ослиным упрямством, а потому никак не может решить, какую копну предпочесть. Раздираемый сомнениями и не имея рационального основания для принятия решения, осел в конце концов умирает от голода. Будь копна всего одна, он выжил бы, а с двумя одинаковыми – гибнет. Все, что от него требовалось, – чуточка благоразумия. И где здесь логика?

Буриданов осел оказался в той же ситуации, что и идеально круглый шарик, лежащий на вершине крутого холма. Пока на него не действуют никакие неуравновешенные силы, ничто не заставляет его двигаться. Однако его состояние неустойчиво: малейший толчок – и он покатится с вершины под уклон. А без толчка так и будет лежать там вечно. Как и во многих других мысленных экспериментах, в парадоксе с ослом делается целый ряд допущений, на практике нереализуемых. Например, предполагается полная симметрия: какую бы копну ни выбрало животное, последовательность шагов и состояний будет одинаковая. Но в реальности такое невозможно. Кроме того, ослу просто может быть привычнее выбирать левое или же, наоборот, правое направление или из-за игры света одна копна вдруг покажется ему аппетитнее другой. Любой из десятков различных факторов может оказаться решающим и сдвинуть равновесие в сторону той или иной копны. А вот пример из цифровой электроники: логический вентиль может “зависнуть” в состоянии между нулем и единицей (те же копны сена), пока электронный шум в цепи не переключит его в одно из стабильных положений. Парадокс с буридановым ослом часто используется при обсуждении свободы воли: утверждается, что никакое существо, обладающее такой свободой, каким бы рациональным оно ни было, никогда не выберет голодную смерть только потому, что у него нет оснований предпочесть один источник пищи другому.

Еще один парадокс, имеющий отношение к свободе воли, сформулировал в 1960 году Уильям Ньюком, физик-теоретик Ливерморской национальной лаборатории имени Эрнеста Лоуренса и родственник знаменитого астронома XIX века Саймона Ньюкома. В парадоксе Ньюкома некое высшее существо, способное предсказывать будущее и никогда до того не ошибавшееся, кладет 1000 долларов в коробку A и либо ничего, либо 1 000 000 долларов – в коробку Б. Оно предлагает вам выбор: (1) открыть только коробку Б или (2) открыть обе коробки. Но есть подвох: это существо поместило деньги в коробку Б только в том случае, если предсказало, что вы выберете вариант (1). В случае, если, согласно его предсказанию, вы поступите по-другому, коробка Б останется пустой. Вопрос: как вам поступить, чтобы получить максимальный выигрыш? Единого мнения по поводу правильного ответа (и даже того, корректна ли вообще формулировка задачи) не существует. Можно утверждать, что, поскольку сейчас ваш выбор никак не изменит содержимое коробок, нужно просто открыть обе и забрать то, что в них окажется. Такое решение кажется вполне разумным, пока не вспоминаешь, что существо еще никогда не ошибалось в своих предсказаниях. Иными словами, ваше субъективное состояние каким-то образом связано с содержимым коробки: выбор, который вы делаете, влияет на вероятность того, что в коробке Б окажутся деньги. В защиту обоих вариантов выбора выдвигались и эти аргументы, и множество других. Но общепринятого “правильного” ответа так и нет, несмотря на то что философы и математики совместно уже больше полувека пытаются решить эту задачу.

Ньюком сформулировал этот парадокс, пока обдумывал другой, более старый, известный под названием “парадокс неожиданной казни”. Он появился в устной форме где-то в 1940-е годы. Речь в нем идет о приговоренном к смертной казни. В субботу судья, имеющий репутацию человека, всегда держащего свое слово, сообщает узнику, что того повесят в один из семи следующих дней, но в какой именно день, он не узна́ет (и никак не сможет узнать) до тех пор, пока ему не сообщат об этом в утро казни. Вернувшись в камеру, приговоренный размышляет над услышанным и приходит к выводу, что судья ошибся. Откладывать казнь до следующей субботы нельзя – ведь тогда уже на рассвете он точно будет знать, что это его последний день. Но если казнь в субботу исключается, то она не может состояться и в пятницу, поскольку, дожив до вечера четверга, узник поймет, что его повесят на следующий день. Точно так же можно исключить и четверг, затем среду и так далее, вплоть до самого воскресенья. Но раз во все эти дни неожиданная казнь невозможна, значит, и в воскресенье палач тоже не сумеет сделать свое дело так, чтобы приговоренному это не было известно заранее. Таким образом, рассудил узник, казнить его так, как постановил судья, невозможно. Но вот наступает утро среды, и в камеру к осужденному входит палач – совершенно неожиданно! Все-таки судья оказался прав, а в безупречной, казалось бы, логике узника таился какой-то изъян. Но какой именно?

Больше половины столетия бьются над этой задачей толпы математиков и логиков, но так пока и не смогли прийти к однозначному решению. Парадокс, похоже, коренится в том, что судья в своих словах уверен твердо (казнь состоится в день, заранее осужденному неизвестный), а у узника такой глубокой уверенности нет. Даже если приговоренный доживет до утра субботы, может ли он быть абсолютно уверен, что палач не придет?

Случается, что парадокс возникает из-за того, как мы употребляем слова, особенно из-за нечетких формулировок вопросов и утверждений. Парадокс Берри назван в честь младшего библиотекаря Бодлианской библиотеки Оксфордского университета Джорджа Берри, который в 1906 году привлек внимание к выражениям вроде “Наименьшее число, которое невозможно описать менее чем десятью словами”. На первый взгляд, в этой фразе нет ничего особенно странного. Ведь существует же конечное множество предложений из менее чем десяти слов, а среди них есть те, что описывают конкретные числа, – значит, совершенно точно существует конечное множество чисел, которые можно описать менее чем десятью словами, а среди тех, что подобным образом описать нельзя, есть некое наименьшее число N. Проблема лишь в том, что сама фраза Берри, описывающая это число, содержит менее десяти слов! Получается, число N можно описать девятью словами, что противоречит его определению как наименьшего числа, которое нельзя описать менее чем десятью словами. Попробуйте выбрать в качестве N другое число – результат будет аналогичный. Парадокс Берри демонстрирует нам, что понятие “описываемости” само по себе неоднозначно и использовать его без каких-либо уточнений опасно.

А вот парадокс иного рода, связанный с понятием идентичности. Обычно мы воспринимаем идентичность как нечто само собой разумеющееся: например, очевидно, что человек, которого я час назад знал как Агниджо, и сейчас тот же самый человек. Но существуют парадоксы, способные поставить наше интуитивное восприятие идентичности под сомнение. Один из них представляет собой мысленный эксперимент, известный как “корабль Тесея”. Легендарный царь Тесей, хорошо знакомый нам по мифу о Минотавре, выиграл много морских сражений, и афиняне почтили его память, сохранив его корабль в порту. Со временем, однако, доски и другие части деревянного судна прогнивали – и их приходилось одну за другой заменять. Вопрос: в какой момент (если такой момент есть) этот корабль перестает быть кораблем Тесея и становится его копией или другим, самостоятельным объектом? После замены одной доски? Половины досок? Какого-то иного их количества? Зависит ли ответ от скорости замены частей? Если из старых досок построить еще один корабль, который из них будет настоящим кораблем Тесея и будет ли такой вообще? Современный вариант той же загадки называют “принципом Sugababes”. В первоначальном составе английской поп-группы Sugababes, образованной в 1998 году, были Шивон Донахи, Мутиа Буэна и Киша Бьюкенен. Впоследствии девушки одна за другой покидали группу, а на их место приходили другие, пока в 2009 году состав не сменился полностью: вместо первых участниц теперь там были Хайди Рейндж, Амель Берраба и Джейд Юэн. В 2011 году Донахи, Буэна и Бьюкенен объединились в новую группу. Какая из двух групп имеет большее право называться “настоящими” Sugababes?

В случае с неодушевленными объектами такого рода загадки могут показаться несущественными, хотя для археологов и реставраторов это вопрос не праздный: среди них не умолкают споры о том, вправе ли – и в какой степени – восстановленные и отреставрированные древние здания и артефакты считаться оригиналами, или это уже некие продолжения оригинальных построек и изделий. Но так или иначе, мысленные эксперименты, подобные задаче о корабле Тесея, обретают новое измерение, когда речь заходит о нас самих, в особенности о личности конкретного человека. Не за горами то время, когда станет возможно заменить почти любую часть тела органическим трансплантатом (донорским либо выращенным в лаборатории) или протезом. Если у человека теми или иными способами постепенно заменили значительную часть органов, остался ли он тем же самым человеком? Как правило, ответ на этот вопрос дают утвердительный – если только замена органов не касается значительного объема мозга, поскольку обычно считается, что именно мозг определяет нашу личность.

Никто не будет спорить, что, если человек в результате несчастного случая потерял руку и ему вместо нее установили протез, он остается во всех отношениях тем же самым человеком. Правда и то, что атомы, молекулы и клетки, из которых мы состоим, постоянно обновляются. За то время, что вы читаете это предложение, в вашем организме отмерли и заменились около пятидесяти миллионов клеток. Если это равноценная замена, происходящая постепенно, либо если нам пересаживают какой-то орган или устанавливают протез, мы не беспокоимся, что нашей идентичности что-то угрожает. Люди стареют, но от этого не становятся кем-то другим – это тоже понятно. Но что, если замена произошла враз, одномоментно? Что, если все частицы, из которых состоит наше тело, – вплоть до атомов – в один миг заменились на идентичные копии?

Телепортация, когда частицы (или, точнее говоря, свойства частиц) исчезают в одном месте и тут же появляются в другом, на некотором расстоянии, уже возможна с фотонами. Что касается такой “квантовой телепортации” более крупных объектов, это, скорее всего, очень дальняя перспектива. Но давайте предположим, что телепортация человека становится возможной. Вы входите в телепортационную камеру, скажем, в Лондоне. Система в мельчайших деталях сканирует расположение и состояние всех атомов вашего тела и на основе этой информации уже через секунду восстанавливает его из нового набора идентичных атомов в Сиднее. Воссоздание происходит настолько быстро и точно, что вы успеваете ощутить лишь легкую дезориентацию в пространстве; весь процесс – расщепление вашего старого тела на атомы, их утилизация в окружающую среду, сборка вашего нового тела из идентичных атомов в идентичных состояниях долей секунды позже на другом конце планеты – происходит совершенно незаметно для вас. Вам же просто кажется, что в мгновение ока вы перенеслись на 10 000 миль и теперь можете (без всякой, заметьте, усталости и нарушения биоритмов из-за длительного перелета и смены часовых поясов) приступать к освоению нового для вас континента. Все время с момента расщепления вашего тела в Лондоне до его восстановления в Сиднее вы даже обдумывали одну и ту же мысль. Но вот прошло две недели, пора собираться домой. Еще один демонтаж на атомы – и через микросекунду точная копия вашего австралийского тела уже в Англии. Вы выходите из телепортационной камеры отдохнувшим, с новыми силами и бронзовым загаром, и собираетесь отправляться домой, как тут вам на мобильный звонит оператор австралийского терминала. Оказывается, из-за технической неувязки в Сиднее ваше прежнее тело не расщепилось, устроило скандал, обвиняя персонал в некомпетентности и крича, что телепортация не состоялась, и требует немедленной повторной телепортации или возврата денег. Выходит, теперь “вас” двое – не просто похожих, а абсолютно идентичных снаружи и внутри, вплоть до мыслей и воспоминаний в голове в момент телепортации. Который (или которая) из двух – настоящий “вы”? И как вы можете находиться в двух местах одновременно? Что происходит с вашим сознанием в подобной ситуации? И наконец, что ощущает человек, чье сознание скопировано таким образом?

Телепортация человека – процесс невообразимо сложный, и нет никакой уверенности в том, что этот технологический барьер когда-нибудь будет преодолен. Но возможность выгрузить наш разум в компьютер и достичь таким образом своего рода интеллектуального бессмертия уже обсуждается. Причем конечной целью такого проекта будет не просто сохранение человеческой памяти, но воссоздание на неорганическом носителе нашего сознания, активного восприятия самих себя и окружающего мира. И тогда вопрос о том, что это означает для человека, какие ощущения он испытывает, будучи воссозданным подобным образом, приобретает центральное значение. Если можно сделать одну копию вашего сознания, значит, можно создать и две, и больше – скажем, резервные, на случай утраты или повреждения основной. В предстоящие десятилетия открывающиеся возможности приведут к возникновению любопытных личностных и этических дилемм. Математика и человеческое сознание окажутся в единой связке. Разработка технологии выгрузки, аппаратного и программного обеспечения потребует не только серьезных достижений в области науки и техники, но и интенсивного, глубокого математического анализа. Результатом (если он будет достигнут) станет новая форма существования человеческого сознания, в которой его можно будет поддерживать бесконечно. Именно в этой точке математика – квинтэссенция объективной всеобщности, лишенная эмоций и пристрастий, – сходится с самой сутью субъективности, ощущением того, каково это – быть.

Время – еще одна великая тайна, порождающая множество парадоксальных ситуаций. Парадокс близнецов представляет собой мысленный эксперимент, в котором один из близнецов (A) отправляется в длительное космическое путешествие на скорости, близкой к скорости света, и по возвращении обнаруживает, что постарел гораздо меньше, чем его брат (Б), остававшийся на Земле. Замедление времени, его растяжение для тел, движущихся с очень высокой скоростью, – доказанный эффект специальной теории относительности Эйнштейна. Загадка же, которую ставит перед нами парадокс близнецов, такова: почему время не замедляется и для близнеца Б? Ведь можно сказать, что он тоже движется на такой же скорости, только в противоположную сторону, – нужно лишь сменить систему отсчета на ту, в которой близнец A находится в состоянии покоя. В действительности, однако, хоть роли братьев A и Б и кажутся абсолютно симметричными, дело обстоит не совсем так. Близнецу A, чтобы достичь высокой скорости, пришлось ускоряться, а оставшийся на Земле близнец Б ускорения не испытывал. Именно выход близнеца A из земной системы отсчета и заставил его стареть медленнее брата-домоседа.

Сверхскоростное перемещение – верный способ попасть в будущее, при условии что мы сумеем разработать технологию, позволяющую развить необходимую супервысокую скорость. Правда, это будет, к сожалению, путешествие в один конец. Способа вернуться обратно в прошлое мы пока не знаем, разве что нечто очень уж экстравагантное (и угрожающе непредсказуемое), вроде прыжка в “кротовую нору” – гипотетический тоннель в пространстве-времени. Впрочем, это не мешает людям фантазировать на тему того, что могло бы произойти, если бы путешествия в прошлое были возможны. Одна из вероятных проблем заключается в том, что, находясь в прошлом, мы можем вызвать в нем такие изменения, что наше собственное будущее существование окажется под угрозой. В фильме “Назад в будущее” Марти Макфлай на автомобиле DeLorean, работающем на плутониевом топливе, попадает в 1955 год, где встречает собственную мать – девочкой-подростком на пике гормонального всплеска. Марти благоразумно уклоняется от ее заигрываний. Оказавшись в прошлом, человек может случайно убить собственного деда, в тот момент еще мальчишку. Но ведь тогда этот человек не сможет родиться и стать путешественником во времени, который попал в прошлое и натворил дел, приведших к безвременной кончине деда. “Парадокс убитого дедушки” – классический аргумент в пользу невозможности путешествий в прошлое. Есть, впрочем, и другая точка зрения. Ее сторонники утверждают, что, отправившись в прошлое, мы расщепляем линию времени, так что все наши последующие поступки в прошлом происходят уже в новой, альтернативной “ветви”, совершенно отдельной, независимой от первоначальной, – а значит, нет никаких логических конфликтов и временны́х петель.

Бывают, правда, случаи, когда избежать таких конфликтов и петель гораздо сложнее. Представьте себе карточку, на которой написаны следующие три фразы:

Истинно или ложно предложение (3)? Понятно, что предложение (1) истинно, а (2) ложно. Если (3) тоже истинно, тогда получается, что на карточке два истинных предложения, а значит, (3) ложно. Если же (3) ложно, значит, неправда, что лишь одно из трех предложений истинно. Однако в таком случае единственное истинное предложение – (1), а это означает, что предложение (3) тоже должно быть истинным. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. А может оно не быть ни тем ни другим?

Эта небольшая головоломка напоминает другую, приписываемую древнегреческому провидцу, философу и поэту Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры. Согласно легенде, ему принадлежит фраза “Все критяне [то есть родившиеся на острове Крит] – лжецы”. Поскольку Эпименид и сам был критянином, его утверждение предполагает, что и он лжец. Таким образом, его высказывание кажется на первый взгляд парадоксальным. На деле же это не так, даже если предположить, что каждый критянин всегда либо лжет, либо, наоборот, говорит правду. Ошибка многих вот в чем: они знают, что если Эпименид говорит правду, то все критяне, включая его самого, – лжецы (противоречие!), но считают, что если он лжет, то это значит, что все критяне, в том числе и он, говорят правду. Это заключение неверно: если Эпименид лжет, из этого лишь следует, что среди критян есть как минимум один правдивый человек, но вовсе не обязательно, что все они говорят правду.

И все же утверждение Эпименида легко превратить в настоящий парадокс. Так называемый парадокс лжеца, приписываемый жившему в IV веке до нашей эры Евбулиду из Милета, можно лаконично сформулировать одной фразой: “Данное утверждение ложно”. Из нее следует, что если утверждение истинно, то оно ложно, а если оно ложно, значит, истинно.

За прошедшие столетия появилось немало вариантов парадокса лжеца. Жан Буридан использовал его для доказательства существования Бога. А всего около ста лет назад английский математик Филип Журден предложил версию, в которой на противоположных сторонах одной карточки написаны два утверждения. На одной стороне значится: “Утверждение на обороте карточки истинно”. На другой – нечто противоположное: “Утверждение на обороте карточки ложно”.

Пока никому так и не удалось найти простое или однозначное разрешение парадокса лжеца. Многие из тех, кто с ним сталкивается, либо с порога отвергают его как бессмысленную игру слов, либо говорят, что предложения хоть и корректны грамматически, но лишены реального содержания. И те и другие просто пытаются опровергнуть существование парадокса, но их возражения не выдерживают критики. Первые просто отказываются признавать, что проблема существует. Вторые утверждают, что предложения бессмысленны, на том основании, что они ведут к парадоксу. По формальным признакам фраза “Это утверждение ложно” ничем особенно не отличается от фразы “Это предложение не на французском языке”. Как же может первое не иметь смысла, если второе совершенно осмысленно?

Вроде бы никакой реальной пользы парадоксы не приносят – забавные головоломки, и только. Но среди них есть такой (тоже содержащий внутреннее противоречие), что сыграл поистине историческую роль в развитии одной из фундаментальных областей математики. Нагляднее всего он представлен в виде так называемого парадокса брадобрея. Некий брадобрей заявляет, что бреет всех, кто не бреется сам. В результате перед ним встает дилемма: бреет ли он сам себя? Если да, значит, он не обращается к брадобрею, то есть не бреет сам себя. Если же нет, значит, его бреет брадобрей, то есть он таки бреет сам себя. В более абстрактной форме этот же парадокс сформулировал в 1902 году английский философ и логик Бертран Рассел в письме немецкому философу и логику Готлобу Фреге, причем в крайне неудачный для Фреге момент. Тот как раз собирался отправить издателю рукопись второго тома своего монументального труда Die Grundlagen der Arithmetik (“Основания арифметики”). В своем письме Рассел обратил его внимание на странный математический объект – множество всех множеств, не включающих себя, – после чего задал вопрос: включает ли это множество само себя? Если да, то оно не принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а значит, оно не включает себя. Если же нет, то оно принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а стало быть, включает себя. Такой монстр, с ужасом осознал Фреге, никак не вписывался в теорию множеств, разработке которой он посвятил многие годы и которая теперь, похоже, была повержена и дискредитирована, так и не увидев света дня.

Парадокс Рассела, как его стали называть, вскрыл неустранимое противоречие “наивной” теории множеств, разработанной Фреге. Слово “наивный” в этом контексте указывает на ранние формы теории множеств, не основанные на аксиомах и предполагающие существование такого понятия, как “универсальное множество” – содержащее все объекты математической вселенной. Прочитав письмо Рассела, Фреге тут же понял его огромную важность. В ответном послании он написал:

Наличие этого парадокса в основе столь любовно выстроенной Фреге теории значило, что практически любое следовавшее из нее утверждение было одновременно и истинным, и ложным. А как известно, любая логическая система, в которой вскрывается парадокс, становится бесполезной.

Открытие на заре XX столетия парадокса Рассела, таящегося в самом сердце логики и математики, пошатнуло сами основания этих наук. Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения. Да что там дважды два – вообще ничего в математике больше невозможно было доказать. Уж на что нерушимой твердыней казалась теория множеств, разработанная – в той форме, что существовала в поздние викторианские времена, – такими учеными, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд (о которых мы еще поговорим в десятой главе, посвященной бесконечности), Давид Гильберт (с ним мы впервые встретились в первой главе, а потом еще раз в пятой, когда обсуждали машину Тьюринга) и Фреге, – и та трещала по швам. Крушение наивной теории множеств началось с парадокса о трансфинитных порядковых числах, известного как парадокс Бурали-Форти, хотя первым, кто осознал его тревожные последствия для теории около 1896 года, был Кантор. После того как Рассел окончательно добил ее своим парадоксом, математикам стало ясно: придется либо отступить от веры в доказательство, либо найти альтернативу наивной теории. Поскольку первое было совершенно немыслимо, нужно было каким-то образом с нуля выстроить всю теорию множеств заново, причем так, чтобы с самого начала исключить малейшее подозрение даже на возможность парадокса.

Решение заключалось в разработке так называемых формальных систем. В отличие от наивной теории множеств, выросшей из предпосылок, основанных на здравом смысле, и правил, сформулированных на естественном, неформализованном языке, новый подход требовал исходно определить конкретный набор аксиом. Аксиома – это утверждение или положение, имеющее точную формулировку и изначально принимаемое истинным. У каждой системы может быть свой набор аксиом, каждый автор вправе выбрать для создаваемых систем свои. Но после того, как набор аксиом той или иной формальной системы определен, любые утверждения, которые в рамках этой системы могут характеризоваться как истинные или ложные, должны строиться только из этих изначальных положений. Ключ к успеху любой формальной системы – в тщательном отборе аксиом: они не должны оставлять ни малейшей лазейки для коварных непрошеных гостей вроде парадокса лжеца.

Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным. Классический пример: парадокс Банаха – Тарского. Он гласит, что можно взять шар, разрезать его на конечное число частей и составить из них два шара, каждый из которых будет того же объема, что и первый. Кажется безумием, поэтому сразу оговоримся, что речь здесь идет не о реальном шаре, остром ноже и тюбике суперклея. И пусть вас не беспокоит, что какой-нибудь предприимчивый делец сможет разрубить на части золотой слиток, а потом собрать из них два новых такого же размера. Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.

Польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский объявили о своем сенсационном выводе в 1924 году. Он был основан на более ранних работах итальянского математика Джузеппе Витали, доказавшего, что возможно разрезать единичный отрезок (то есть отрезок прямой от 0 до 1) на счетное количество частей и поменять их местами так, чтобы получился отрезок длины 2. Парадокс Банаха – Тарского, который также называют парадоксом удвоения шара (хотя на самом деле это вовсе не парадокс, а доказанная теорема), заостряет внимание на том факте, что в бесконечном множестве точек, составляющих математический шар, понятия объема и меры не могут быть определены для всех возможных подмножеств. Суть в том, что величины, которые можно измерить обычными способами, не обязательно сохраняются, когда шар сначала разбивают на подмножества, а потом эти подмножества снова собирают, но по-другому, используя только параллельные переносы (сдвиги) и вращение (повороты). Эти неизмеримые подмножества невероятно сложны, не имеют четких границ и объема в привычном нам смысле и попросту недостижимы в реальном мире, состоящем из вещества и энергии. Да и потом, парадокс Банаха – Тарского не описывает, как именно получить эти подмножества, а лишь доказывает, что они существуют.

Парадоксы бывают самые разные. Какие-то из них – на самом деле просто наши собственные логические ошибки. Другие поднимают интересные вопросы об очевидных, казалось бы, вещах. А есть и такие, что могут угрожать существованию целой области математики, но зато дают возможность перестроить ее на более прочном фундаменте.

Имеет ли пространство предел? Было ли у времени начало и наступит ли когда-нибудь конец? Существует ли самое большое число? Даже в детстве мы задаем такие вопросы. У любого человека рано или поздно возникает интерес к бесконечности. Но бесконечность – это не какое-то туманное и расплывчатое понятие, а объект строгих исследований. И результаты этих исследований порой столь парадоксальны, что в них трудно поверить.

Безграничное – предмет дискуссий философов, теологов и искусствоведов. Американский джазовый гитарист и композитор Пэт Мэтини как-то сказал: “В музыкантах я ищу чувство бесконечности”. Английский поэт и художник Уильям Блейк считал, что наши ощущения мешают нам оценить истинную природу вещей и что “если двери восприятия очистить, все сущее явится человеку таким, какое оно есть, – бесконечным”[37]. Французский писатель Гюстав Флобер предупреждал об опасности, подстерегающей тех, кто слишком об этом задумывается: “Чем ближе подходишь к бесконечности, тем больше погружаешься в ужас”.

Ученым также приходится время от времени сталкиваться с бесконечностью, и эти встречи не всегда приятны. В 1930-х годах физики-теоретики, исследуя свойства элементарных частиц, обнаружили, что получающиеся при расчетах значения раздуваются до бесконечности, или, другими словами, стремятся к ней. Такое происходило, например, когда радиус электрона принимали за ноль, как это следовало из результатов экспериментов по электрон-электронному рассеянию. Расчеты показывали, что энергия окружающего частицу электрического поля в этом случае бесконечно велика, что абсурдно. Конфуза в конце концов удалось избежать с помощью математического приема под названием “перенормировка”. В квантовой механике это сегодня стандартная уловка, хотя кое-кого из физиков до сих пор смущает ее произвольный характер.

Теперь посмотрим, что происходит на другом конце физической шкалы. Космологов интересует, ограниченны ли размеры Вселенной, или она простирается бесконечно во всех направлениях. Сегодня мы этого просто не знаем. Та часть Вселенной, которую мы можем видеть (по крайней мере, в принципе), – так называемая наблюдаемая Вселенная – имеет в поперечнике приблизительно 92 миллиарда световых лет, где световой год – это расстояние, преодолеваемое светом за один год. Наблюдаемая Вселенная – это та часть всей Вселенной, из которой свет успел с момента Большого взрыва достичь Земли. За ее пределами вполне может находиться гораздо большее по размерам, возможно бесконечное, пространство, добраться до которого нам никакими способами просто не под силу.

С тех самых пор, как Эйнштейн разработал общую теорию относительности, мы знаем, что пространство, в котором мы живем, может искривляться, подобно тому как искривлена, например, поверхность сферы – разница лишь в том, что наше пространство имеет три измерения, а не два. Если выразиться более строгим языком, пространство-время (а они неразрывно связаны друг с другом) далеко не всегда подчиняется знакомым нам еще со школы правилам геометрии. Нам точно известно, что в локальном масштабе пространство-время искривлено: вокруг любых объектов, имеющих массу, таких как Солнце или Земля, оно изгибается, словно лист резины, если на него положить груз. А вот является ли вся Вселенная искривленной (неевклидовой) или же плоской, мы пока не знаем. Этим живо интересуются космологи, поскольку от формы Вселенной в конечном итоге зависит ее судьба.

Изображение скопления галактик S1077 по каталогу Эйбелла, полученное космическим телескопом “Хаббл”.

Если Вселенная в глобальном масштабе искривлена, то она может иметь замкнутую форму – как сфера или бублик. Тогда ее размеры будут ограниченны, хотя достичь рубежа или края все равно не получится, сколько ни старайся. Другой вариант – Вселенная в форме некоего седла, продолженного неопределенно далеко. В этом случае она может либо быть “открытой” и простираться бесконечно, либо все же иметь конечный размер. Кроме того, Вселенная в целом может быть и плоской – и опять-таки либо конечной, либо бесконечной. Независимо от того, какой из вариантов окажется истинным, если вначале Вселенная имела конечный размер, то она такой и останется (хотя может продолжить расти), а если она бесконечна, значит, такой всегда и была. Представление о том, что Вселенная всегда была бесконечной, на первый взгляд, противоречит общепринятой теории Большого взрыва, согласно которой разлет вещества и энергии происходил из области, изначально гораздо меньшей размера атома. Но никакого противоречия на самом деле нет: эта исходно крохотная область воплощала собой лишь размер наблюдаемой Вселенной (той самой, определяемой расстоянием, которое свет был способен преодолеть) через долю секунды с момента Большого взрыва. Вселенная же в целом вполне могла быть бесконечной изначально, хотя это и невозможно было бы увидеть. Что тот, что другой вариант – и бесконечную в пространстве и времени Вселенную, и конечную – не так-то просто охватить разумом, но представить себе конечную Вселенную, вероятно, все же труднее. Как писал философ Томас Пейн: “Неописуемо трудно понять, что пространство не имеет конца, но еще труднее понять его конечность. Выше сил человека постичь вечную протяженность того, что мы называем временем, но еще невозможнее представить время, когда не будет времени”[38].

Данные, собранные на сегодня астрономами при изучении дальних галактик, позволяют предположить, что Вселенная имеет плоскую форму и бесконечную протяженность. Однако что именно означает слово “бесконечный” применительно к пространству и времени в реальной вселенной, не вполне очевидно. Мы никогда не сумеем доказать путем прямых измерений, что пространство и время не имеют конца, потому что никогда не сможем получить информацию с бесконечно дальнего расстояния. Еще одна сложность – сама природа пространства и времени. Физики считают, что существует минимально возможное расстояние и минимально возможное время, известные как планковская длина и планковское время соответственно. Иными словами, пространство и время не непрерывны, а имеют квантованную, зернистую природу. Планковская длина – просто крошечная, всего 1,6 × 10^–35 метра, или одна стоквинтиллионная размера протона. И планковское время, то есть промежуток времени, за который свет проходит расстояние, равное планковской длине, ничтожно мало – меньше 10^–43 секунды. И все же из-за наличия этой дискретности пространства-времени нужно очень осторожно говорить о бесконечности в контексте физической вселенной. Как обнаружили математики, не все бесконечности одинаковы.

Первыми свои мысли о бесконечности записали греческие и индийские философы древности еще две тысячи лет назад. Анаксимандр в VI веке до нашей эры считал источником происхождения всего сущего “апейрон” (“беспредельность”). Спустя столетие его соотечественник Зенон из Элеи (местности, сегодня известной как Лукания в Южной Италии) впервые взглянул на бесконечность с математической точки зрения.

Зенон первым почувствовал опасности, что таит в себе бесконечность. Беспокойство вызывали описанные им парадоксы, в самом известном из которых Ахиллес состязается в беге с черепахой. Уверенный в своей победе, наш мифический герой дает черепахе фору. Но как же, спрашивает Зенон, может Ахиллес обогнать неторопливую рептилию? Ведь пока он добежит до того места, откуда черепаха начала свой путь, она уползет вперед. К тому времени, как Ахиллес преодолеет новое разделяющее их расстояние, черепаха продвинется еще дальше. И так далее, до бесконечности. Сколько бы Ахиллес ни добегал до того места, где только что была черепаха, ей каждый раз удастся уйти немного дальше. Очевидно, есть некое расхождение между тем, как мы порой представляем себе бесконечность и как все происходит в реальности. Сам же Зенон был настолько смущен и озадачен этим и другими парадоксами, что не только решил не задумываться больше о бесконечности, но и пришел к выводу, что движение невозможно!

Похожее потрясение испытали Пифагор и его последователи, убежденные, что все во вселенной в конечном счете можно описать целыми числами. Ведь даже обыкновенные дроби – это всего лишь одно целое число, деленное на другое. Но квадратный корень из 2 – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами по единице – никак не вписывался в эту стройную космическую схему. Это было “иррациональное” число, невыразимое в виде отношения двух целых чисел. Если попытаться представить его в виде десятичной дроби, количество знаков после запятой разрастается до бесконечности, а какой-либо четко повторяющейся группы цифр не возникает. Пифагорейцы всех этих тонкостей не знали, их беспокоило только то, что в их совершенный мир затесалось мерзкое чудище в виде квадратного корня из 2, а потому они тщательно скрывали его существование.

Эти два примера иллюстрируют основную проблему, связанную с постижением бесконечности. Наше воображение без труда справляется с тем, что еще не достигло своего конца: мы всегда можем представить себе, как любое расстояние увеличивается еще на шаг, к любому количеству предметов добавляется еще один. Но бесконечность в обобщенном значении, как понятие, в голове не укладывается. Математики издавна бились с ней, поскольку привыкли в своей области иметь дело с точными величинами и тщательнейшим образом определенными понятиями. А как можно работать с объектами, которые точно существуют, но никогда не заканчиваются, – с числом вроде √2 (начинающимся с 1,41421356237… и продолжающимся все дальше и дальше без видимого порядка и предсказуемых повторов) или кривой, что прижимается к прямой все теснее и теснее, – и при этом избежать встречи с бесконечностью? Аристотель предлагал возможное решение, утверждая, что бесконечность бывает двух видов. “Актуальная” (или “завершенная”) бесконечность, которой, по мнению Аристотеля, в реальности не существует, – это безграничность полностью реализованная, фактически достигнутая (математически или физически) в какой-то момент времени. “Потенциальная” бесконечность, которую Аристотель считал очевидно проявляющейся в природе – например, в нескончаемом чередовании времен года или безграничной делимости слитка золота (про атомы он не знал), – это беспредельность, протекающая в не имеющем границ времени. Это принципиальное разграничение между актуальной и потенциальной бесконечностью просуществовало в математике более двух тысяч лет.

В 1831 году сам Карл Гаусс высказался по поводу “ужаса актуальной бесконечности” так:

…Я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется. Бесконечное является лишь façon de parler[39], между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются произвольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения[40].

Взгляд в бесконечность.

Ограничившись изучением потенциальной бесконечности, математики смогли разрабатывать такие важнейшие понятия, как бесконечные ряды, пределы и бесконечно малые величины, придя таким образом к математическому анализу, но не признавая при этом бесконечность в качестве самостоятельного математического объекта. И все же еще в Средние века они сталкивались с парадоксами и неразрешимыми задачами, а это значило, что от актуальной бесконечности нельзя просто отмахнуться. Эти неразрешимые задачи проистекали из принципа, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера. Но вот когда этот принцип пытались применить к неограниченно большим наборам, он открыто противоречил продиктованной здравым смыслом идее, впервые высказанной Евклидом: что целое всегда больше, чем любая его часть. К примеру, казалось вполне возможным образовать пары из всех положительных целых чисел и только тех из них, которые являются четными: единице противопоставить двойку, двум – четыре, трем – шесть и так далее, несмотря на то что положительные целые числа включают в себя и четные тоже. Изучавший эту проблему Галилей первым предложил более просвещенный подход к бесконечности, заявив: “Бесконечность должна подчиняться иной арифметике, нежели конечные числа”.

Понятие потенциальной бесконечности усыпляет нашу бдительность, заставляя думать, что к бесконечности можно подобраться поближе – нужно лишь зайти подальше или идти подольше. А отсюда уже недалеко и до распространенного мифа о том, что бесконечность – это лишь что-то вроде очень большого числа и триллион или, скажем, триллион триллионов триллионов уже как-то ближе к бесконечности, чем, допустим, десять или тысяча. На самом деле все не так. Сколько ни двигайся по числовой оси, до какого числа ни считай, к бесконечности не приблизишься ни на йоту. Число 1 так же далеко от бесконечности (или так же близко к ней), как любое другое конечное число, какое бы громадное нам ни хватило фантазии назвать. Более того, в любом числе, сколь бы мало оно ни было, уже заключена бесконечность, так что двигаться вперед ко все бо́льшим и бо́льшим числам в поисках ее – мероприятие совершенно бесполезное. Суть в том, что бесконечность существует даже, например, в интервале между 0 и 1, поскольку тот содержит бесконечное количество дробей: ½, ⅓, ¼ и так далее. Бесконечность не имеет ничего общего с огромными конечными числами. Чтобы работать с ней, нам придется вырваться из их плена, перестать пользоваться ими как подпорками для нашего разумения.

Немецкий математик Давид Гильберт эффектно проиллюстрировал, насколько причудливой может быть арифметика бесконечного. Читая лекцию в 1924 году, он предложил слушателям представить себе отель с бесконечным количеством номеров. В обычном отеле с конечным числом комнат, когда все номера заняты, нового посетителя встречает табличка “Мест нет”. В “Гранд-отеле Гильберта” все по-другому. Если переселить гостя, занимающего первый номер, во второй, гостя из второго номера в третий и так далее, то в освободившемся первом номере можно будет разместить одного нового постояльца. Да что там одного! Можно освободить сколько угодно мест для бесконечного числа новых клиентов – стоит лишь переселить гостей из номеров 1, 2, 3 и так далее в номера 2, 4, 6 и дальше, таким образом освободив все нечетные номера. Процесс можно продолжать сколь угодно долго, так что, даже если в отель вдруг прибудет бесконечное количество автобусов, а в каждом из них бесконечное количество новых гостей, отказывать в размещении не придется никому. Такие экзерсисы могут показаться издевательством над нашей интуицией, но это потому, что наша интуиция просто не привыкла иметь дело с бесконечно большим. Дело в том, что свойства бесконечного множества объектов отличаются от свойств обычного, конечного множества, подобно тому как, например, в науке объекты на квантовом уровне ведут себя иначе, чем те, что окружают нас в повседневной жизни. В случае с отелем Гильберта утверждения “во всех номерах есть постояльцы” и “мы готовы принять новых гостей” не являются взаимоисключающими.

В такой вот диковинный мир мы попадаем, если принимаем реальность существования множеств чисел с бесконечным количеством элементов. Именно этот решающий вопрос стоял перед математиками в конце XIX века: готовы ли они принять существование актуальной бесконечности как числа? Большинство продолжало придерживаться точки зрения Аристотеля и Гаусса и отрицало такую возможность. Но некоторые, в том числе немецкий математик Рихард Дедекинд, а более всех его соотечественник Георг Кантор, понимали, что пришло время подвести под понятие бесконечных множеств прочную логическую базу.

Став первопроходцем в странном и тревожном мире бесконечного, Кантор столкнулся с ожесточенным сопротивлением и глумлением со стороны многих из своих современников (что прискорбнее всего, среди них оказался и его наставник и учитель Леопольд Кронекер), потерял работу в Берлинском университете и нажил себе душевную болезнь. В зрелом и пожилом возрасте он периодически оказывался в психиатрических лечебницах, терзался вопросом об авторстве пьес Шекспира и предавался раздумьям о философском и даже религиозном значении своих математических идей. Но несмотря на то, что умер он, оставленный всеми, в 1918 году в психиатрической лечебнице в стране, все еще находящейся в состоянии войны, сегодня его помнят за фундаментальный вклад в развитие теории множеств и в наше осмысление бесконечного.

Кантор понял, что хорошо известный принцип попарного разбиения, который используют для того, чтобы определить, равны ли два множества, можно с таким же успехом применить и к бесконечным множествам. Из него следовало, что четных положительных целых чисел на самом деле столько же, сколько положительных целых чисел всего. Кантор не только увидел, что никакого парадокса тут нет, – он осознал, что это определяющее свойство бесконечного множества: целое в нем не больше, чем какие-либо из частей. Далее он доказал, что множество всех натуральных, или положительных целых, чисел – 1, 2, 3, … (иногда в него включают и 0) – содержит точно такое же количество элементов, что и множество всех рациональных чисел, то есть тех, которые можно записать в виде обыкновенной дроби, где и числитель, и знаменатель целые. Он назвал это бесконечно большое число “алеф-ноль” (ﬡ₀), где “алеф” – это первая буква еврейского алфавита.

Вы можете решить, что есть только одно бесконечно большое число, ведь, раз оно и так бесконечно большое, как может что-то быть еще больше? Но будете неправы. Кантор доказал, что существуют разные виды бесконечности, из которых алеф-ноль – самая маленькая. Бесконечно больше алеф-нуля число алеф-один (имеющее, по выражению Кантора, бо́льшую “мощность”). Алеф-два, в свою очередь, бесконечно больше, чем алеф-один, и так далее, без конца. Насколько хватит нашего слабого воображения, алефы следуют друг за другом бесконечной вереницей. Но и это еще не все: оказывается, на каждый алеф приходится бесконечное количество других бесконечно больших чисел, и вот здесь нам придется разобраться с тем, насколько важно в царстве бесконечного различать количественные и порядковые числительные.

В повседневной речи и практической арифметике количественными числительными мы обозначаем количество объектов в каком-то наборе: один, пять, сорок два и так далее; а порядковыми, как подсказывает само название, – их порядок или положение в группе: первый, пятый, сорок второй и так дальше. Различие между этими двумя типами числительных кажется очевидным и не очень существенным. Допустим, речь идет о карандашах. Понятно, что невозможно иметь пятый карандаш, не имея в наборе как минимум пяти карандашей. Ясно и то, что если карандашей в наборе, скажем, семь, то пятый среди них все равно есть. Бывает, конечно, и так, что пять карандашей есть, а пятого нет, – если мы не расположили их в определенном порядке. Но если отвлечься от этих тонкостей, и для тех и для других числительных мы можем использовать одинаковые символы – 1 (или 1-й), 5 (или 5-й), 42 (или 42-й) и так далее, – не особенно вникая в то, чем отличаются друг от друга эти две категории. Кантор понял, что, когда дело касается бесконечно больших чисел, это различие становится крайне важным. Чтобы понять, что он имел в виду, давайте пробежимся по той области математики, в развитии которой Кантор и Дедекинд сыграли решающую роль, а именно по теории множеств.

Множество – это всего лишь набор объектов: хоть чисел, хоть любых других. На письме для обозначения множества используются фигурные скобки: например, {1, 4, 9, 25} или {стрела, лук, 75, R}. Размер множества, то есть количество содержащихся в нем элементов, называется его кардинальным[41] числом (или мощностью) и обозначается количественным числительным. В двух только что упомянутых множествах по четыре элемента, значит, у обоих кардинальное число равно четырем. Если два множества имеют одинаковое кардинальное число, то для каждого элемента одного множества можно найти пару во втором, причем ни один элемент не останется лишним; другими словами, между этими двумя множествами имеется взаимно однозначное соответствие. Например, чтобы показать, что два наших множества имеют одно и то же кардинальное число, мы можем элементу 1 из первого поставить в соответствие 75 из второго, элементу 4 – “стрелу”, элементу 9 – R, а элементу 25 – “лук”. Конечные кардинальные числа (то есть те, что определяют размер конечных множеств) – это обычные натуральные числа: 0, 1, 2, 3 и так далее. Первое бесконечное кардинальное число – это алеф-ноль, которым, как мы уже знаем, обозначается размер множества всех натуральных чисел.

Если говорить о конечном множестве, то разница между его мощностью (кардинальным числом, обозначаемым количественным числительным) и его “длиной” (которая обозначается порядковым числительным) настолько несущественна, что может показаться пустой придиркой. Другое дело – множество бесконечное: Кантор понял, что тогда это совершенно разные вещи. Чтобы и мы сумели понять, насколько велико различие между ними, разберемся, что из себя представляет “вполне упорядоченное” множество. Множество считается вполне упорядоченным, если оно удовлетворяет двум условиям: во-первых, оно должно иметь определенный первый элемент; во-вторых, каждое из его подмножеств, или подгрупп, также должно иметь начальный элемент. Например, конечное множество {0, 1, 2, 3} является вполне упорядоченным. А вот множество всех целых чисел, включающее вместе с положительными и отрицательные числа, – {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} – назвать вполне упорядоченным уже нельзя, поскольку оно не имеет первого элемента. Множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3, …} – вполне упорядоченное: у него хоть и нет конкретного концевого элемента, зато первый имеется, как и у всех его подмножеств, содержащих только натуральные числа.

Так вот, очень важно понимать, что вполне упорядоченные бесконечные множества, имеющие равный размер, или мощность (то есть с одинаковыми кардинальными числами), могут иметь разную “длину”. Понять такое непросто, даже математику. Строго говоря, правильнее было бы сказать не “разную длину”, а “разные порядковые числа” (или “ординалы”[42]), но для удобства будем оперировать знакомыми терминами. Возьмите множества {0, 1, 2, 3, 4, …} и {0, 1, 2, 4, …, 3}. Многоточие, стоящее в них после четверки, означает “и так далее до бесконечности”; правда, во втором случае после многоточия, в самом конце, стоит тройка. Оба множества содержат все натуральные числа, а значит, у них одинаковая мощность, или кардинальное число, – алеф-ноль. Но второе множество чуть длиннее. Поначалу это может показаться нелепостью: ведь если бы речь шла о конечных множествах, было бы очевидно, что {0, 1, 2, 3, 4} и {0, 1, 2, 4, 3} имеют одинаковую длину, поскольку оба содержат по пять элементов. Но бесконечные множества страшно обманчивы. У множества {0, 1, 2, 3, 4, …} нет конечного концевого элемента – многоточие требует идти дальше до бесконечности без остановок. С множеством {0, 1, 2, 4, …, 3} дело обстоит по-другому. Да, оно тоже содержит последовательность элементов, у которой нет конца. Но в него входит еще один элемент, стоящий после всех элементов бесконечной последовательности. Если просто изъять тройку, то последовательности 0, 1, 2, 3, … и 0, 1, 2, 4, … будут равны по длине; иными словами, каждому элементу первой можно противопоставить по одному элементу второй, и ничего лишнего не останется. А вот если ту же тройку переставить в самый конец, так чтобы она шла после бесконечной последовательности, тогда длина увеличивается на единицу. Посудите сами: в первом множестве {0, 1, 2, 3, 4, …} есть первый элемент (0), второй элемент (1), третий элемент (2), четвертый элемент (3) и так далее. Во втором тоже есть первый элемент (0), второй (1), третий (2), четвертый (4) и так далее. Но есть и еще один элемент, 3, который не является ни одним из предыдущих. Порядковый номер, который мы закрепляем за тройкой, – не ее числовое значение, а то место, на каком она стоит в множестве, – больше любого другого из идущих перед ней, поскольку она появляется после всех остальных элементов множества.

Для этого класса бесконечных чисел нам нужна какая-то особая система названий, отличная от алефов. Математики называют наименьшее бесконечное порядковое число, или ординал, – то есть самую короткую “длину” множества всех натуральных чисел – “омегой” (ω). Ординал множества {0, 1, 2, 4, …, 3}, где после всех остальных натуральных чисел стоит 3, на единицу больше и обозначается ω + 1. Иначе говоря, 3 – это (ω + 1) – й элемент множества {0, 1, 2, 4, …, 3}. Пусть вас не смущает знак “плюс” в этой записи: здесь он означает не привычное нам сложение, а то, что ординал ω + 1 следует за ω. К омеге можно что-то прибавить, но отнять от нее невозможно. Ординал множества {0, 1, 2, 4, …}, даже с изъятой тройкой, – все равно ω. Такого понятия, как ω – 1, просто не существует. Это может показаться странным, но только потому, что мы привыкли иметь дело с конечными числами. Невозможно уменьшить “длину” множества всех натуральных чисел, какое бы огромное конечное количество элементов вы из него ни изъяли, – в силу того простого факта, что это множество бесконечно, как следует из его записи: {0, 1, 2, 4, …}. С другой стороны, увеличить его “длину” совсем несложно – достаточно подставить изъятые из него элементы в конец.

Подведем итог: алеф-ноль и ω относятся к одному и тому же множеству – натуральных чисел. Алеф-ноль – это его размер (количество входящих в него элементов), а ω – его наименьшая длина. Эту длину можно увеличить, изъяв элементы с их обычного места и подставив в конец. Например, мощность, или кардинальное число, множества {2, 3, 4, …, 0, 1} – алеф-ноль, а его ординал, порядковое число, равно ω + 2. Можно продолжать и дальше увеличивать длину множества натуральных чисел, переставляя его элементы в самый конец, после многоточия, означающего “и так до бесконечности”: ω + 3, ω + 4, … вплоть до ω + ω (или ω × 2). В последнем случае множество можно записать, например, как подмножество всех четных чисел, за которым следует подмножество всех нечетных: {0, 2, 4, …, 1, 3, 5, …}, ведь каждое из них по длине равно ω. Затем можно снова продолжить переставлять элементы в конец; так, длину ω × 2 + 1 будет иметь множество {2, 4, …, 1, 3, 5, …, 0}. После этого мы можем перейти к степеням ω – ω², ω³, … и далее, вплоть до ω^ω; потом – к возведению степени в степень, надстраивая все новые и новые “этажи” в “степенной башне” до тех пор, пока их количество не достигнет ω. Наконец, есть еще один уровень – ординал, названный Кантором “эпсилон-ноль” (ε₀). Точно так же как ω является наименьшим из ординалов, следующих за конечными ординалами, ε₀ – наименьший из ординалов, следующих за всеми теми, которые можно выразить с помощью ω и операций сложения, умножения и возведения в степень. Это врата в мир чисел эпсилон, такой же бесконечно большой, как мир ординалов омега. Весь процесс, только что описанный для омеги, повторяется для чисел эпсилон до тех пор, пока не будут исчерпаны все математические действия, которые можно к ним применить, включая построение степенной башни из эпсилонов и даже эпсилонов эпсилонов. Исчерпав их, мы оказываемся еще на одном новом уровне бесконечных ординалов, начинающемся с “дзета-нуля” (ζ₀). И так продолжается до бесконечности…

Основная помеха на нашем дальнейшем пути – обозначение всех этих чисел. Буквы в греческом алфавите рано или поздно заканчиваются; есть свой предел и у всех остальных систем, используемых для обслуживания нескончаемой иерархии бесконечных ординалов. Помимо разработки более эффективной и компактной формы записи гигантских бесконечных ординалов есть и другие технические трудности. Оставив далеко позади дзета-ноль, на пути в бесконечность мы то тут, то там встречаем порядковые числа, увековечившие имена описавших их математиков: ординал Фефермана – Шютте, малый и большой ординалы Веблена (и тот и другой – чудовищно большие), ординал Бахмана – Говарда, ординал Чёрча – Клини (впервые описанный американским математиком Алонзо Чёрчем и его студентом Стивеном Клини). Чтобы толком рассказать про любой из них, потребуется отдельная книга – настолько сложные и запутанные расчеты лежат в их основе. Ординал Чёрча – Клини, например, столь непостижимо велик, что для него просто не существует способа обозначения.

Перечисленные ординалы редко встречаются даже в практике профессиональных математиков, не говоря уже о неспециалистах. Объединяет их то, что все они счетные. Другими словами, все бесконечные ординалы, о которых мы говорили до сих пор, начиная с ω, можно поставить в соответствие натуральным числам, один к одному, что логично, поскольку все эти последовательности – лишь результат перегруппировки тех же натуральных чисел. Иначе говоря, все эти множества имеют одинаковую мощность, или размер, – алеф-ноль. Какие из порядковых чисел ни возьми, хоть эпсилон-ноль, хоть даже непомерно большой ординал Чёрча – Клини, они ни на миллиметр не приблизят нас к “большей” бесконечности: ведь это просто разные способы упорядочивания натуральных чисел. Бо́льшая бесконечность – это та, что лежит за пределами алеф-нуля. Но как такое возможно?

Алеф-ноль ведет себя не так, как привычные нам числа. Если 1 + 1 дает в результате 2, то алеф-ноль + 1 – все равно алеф-ноль. Алеф-ноль плюс любое конечное число или минус любое конечное число остается алеф-нулем. Известная детская песенка при этом приобретает новый, более оптимистичный характер: “Алеф-ноль поросят резвились на просторе, / Алеф-ноль поросят пошли купаться в море. / Один из них утоп, ему сложили гроб, / И вот вам результат: / Эх, алеф-ноль поросят” (повторять бесконечно). Алеф-ноль невозможно изменить вычитанием, сложением или умножением на какое бы то ни было конечное число и даже на само себя. Но Кантору удалось доказать с помощью теоремы, носящей сегодня его имя, что все бесконечности выстраиваются в иерархию и алеф-ноль – самая маленькая из них. Следующее бесконечное кардинальное число, алеф-один, гораздо больше и равно размеру множества всех счетных ординалов, а именно тех, которым соответствует кардинальное число алеф-ноль. Наглядно продемонстрировать ординалы, соответствующие мощности алеф-один, в виде последовательности непросто. В качестве примера можно привести множество {0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, ω × 2, …, ω², …, ω^ω, …, ε₀, …}, включающее все счетные ординалы (то есть все различные возможные “длины”, которые можно получить путем перестановки натуральных чисел). Ординал такого множества, его порядковое число – омега-один (наименьший ординал, соответствующий алефу-один).

Напомним, что значит “счетный”: это попросту последовательность или множество, элементы которых можно посчитать, пронумеровать. Иными словами, “счетным” мы вправе назвать то, из чего можно составить последовательность, пусть и не обязательно упорядоченную привычным образом. Иногда для этого требуется некоторая перестановка, как в случае с отелем Гильберта. Поскольку все натуральные числа счетные, алеф-ноль, то есть мощность множества натуральных чисел, называют счетно-бесконечным кардинальным числом. Ему соответствует наименьший бесконечный счетный ординал ω, а также бесконечно много других счетно-бесконечных ординалов. Существование этого бесконечного количества счетных ординалов обусловлено тем, что в случае порядковых чисел существенную роль, как подсказывает их название, играет порядок элементов, а потому между ординалами требуется проводить более тонкое различие, чем между кардинальными числами. Несмотря на это, все счетные ординалы, начиная с ω и дальше, включая числа эпсилон и остальные, соответствуют одному и тому же кардинальному числу – алеф-нулю. Но вот с переходом к алефу-один все разительно меняется. Алеф-один не только неописуемо больше, чем алеф-ноль, он еще и несчетный. Ему соответствует наименьший несчетный ординал: омега-один (ω₁).

Мы уже говорили, что алеф-один – это размер множества счетных ординалов, но можно ли его описать как-то по-другому? С алефом-ноль все понятно: это мощность множества натуральных чисел. А нельзя ли и алефу-один поставить в соответствие что-нибудь знакомое, доступное для понимания? Кантор считал, что можно. Он утверждал, что алеф-один идентичен общему количеству точек на математической прямой, которое, как он установил, в свою очередь, равно количеству точек на плоскости (как бы невероятно это ни звучало) или в пространстве любой другой размерности. Эта бесконечность пространственных точек, называемая континуумом и обозначаемая буквой c, является также множеством всех действительных чисел (включающим в себя все рациональные числа плюс все иррациональные). Действительные числа, в отличие от натуральных, сосчитать невозможно. Предположим, вас спросили бы, какое число следует в ряду действительных чисел за 357. Как бы вы ни тасовали действительные числа, какими бы способами ни пытались их пронумеровать, все равно останутся те, что вы никогда не сумеете сосчитать, даже если заниматься этим вечно.

Кантор выдвинул предположение, получившее известность как “континуум-гипотеза”. Согласно ей, c равно алефу-один, или, другими словами, не существует бесконечного множества с мощностью, занимающей промежуточное положение между мощностями множества натуральных чисел и множества действительных чисел. Однако, несмотря на все старания, Кантору так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть свою гипотезу. Сегодня мы уже знаем почему – и ответ на этот вопрос расшатывает самые основы математической науки.

В 1930-х годах ученый-логик австрийского происхождения Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть исходя из стандартных аксиом теории множеств. Для этого он построил систему, состоящую из однозначно определенных множеств, – “конструктивный универсум” – и доказал, что все аксиомы внутри нее выполняются, а континуум-гипотеза истинна (хотя из этого и не следует, что конструктивный универсум – единственная такая система). Три десятилетия спустя американский математик Пол Коэн доказал, что и подтвердить истинность континуум-гипотезы в той же системе аксиом тоже невозможно. Иными словами, в рамках привычной для математиков системы эта гипотеза имела неопределенный статус. Возможность возникновения подобной ситуации была предсказана еще в знаменитой теореме Гёделя о неполноте, о которой мы говорили в пятой главе. Она гласит, что в любой достаточно сложной системе аксиом, если она полна, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть (мы еще поговорим об этом подробнее, когда вернемся к теореме о неполноте в последней главе). И тем не менее факт независимости континуум-гипотезы заставил математиков понервничать, поскольку то был первый конкретный пример, когда важный для науки вопрос невозможно было разрешить, пользуясь общепринятой системой аксиом, на которой построена вся математика.

Споры о том, верна ли континуум-гипотеза и даже есть ли в ней вообще смысл, не утихают среди математиков и философов до сих пор. Что же касается характера различных видов бесконечности, да и самого существования бесконечных множеств, здесь все зависит от того, какой теорией чисел пользоваться. Разные аксиомы и правила дают разные ответы на вопрос “Что же лежит за пределами всех целых чисел?”. Из-за этого довольно трудно, а то и просто бессмысленно сравнивать различные виды бесконечности и пытаться определить их относительный размер, хотя в пределах конкретной системы чисел бесконечности обычно можно без труда расположить в четком порядке.

За пределами алеф-нуля существует внушительная иерархия кардинальных чисел. Если предположить, что континуум-гипотеза верна (а с этим предположением по умолчанию согласны большинство математиков, поскольку из него можно вывести полезные следствия), то следующим по величине бесконечным кардинальным числом будет алеф-один, равный мощности множества всех действительных чисел, или, иначе говоря, общему количеству возможных способов, какими можно упорядочить элементы множества мощностью алеф-ноль. За ним следует алеф-два (равный числу способов упорядочить элементы множества мощностью алеф-один), затем алеф-три, алеф-четыре и так далее, без конца. Каждому алефу соответствует бесконечное число ординалов, наименьший из которых для алеф-нуля – ω, для алефа-один – ω₁, для алефа-два – ω₂ и так дальше. Хотя число алефов бесконечно и каждый следующий бесконечно больше предыдущего, это не мешает математикам задумываться о кардинальных числах, величина которых превосходит величину любого мыслимого алефа. Для этого они вынуждены выходить за пределы привычных теоретических основ своей дисциплины и прибегать к так называемым аксиомам форсинга. Метод форсинга (или вынуждения) был впервые применен уже упоминавшимся выше Полом Коэном. Его использование привело к возникновению понятия “больших кардинальных чисел”. Несмотря на скромное название, в реальности они чудовищно велики. Некоторые из них даже имеют собственные имена, такие как кардиналы Мало или сверхкомпактные кардиналы.

И наконец (по крайней мере, на сегодня), существует понятие “абсолютной бесконечности”, иногда обозначаемой прописной буквой омега (Ω), – бесконечности, которая превосходит все остальные. О ней говорил и сам Кантор, но больше в религиозном контексте. Он был убежденным лютеранином, чьи христианские принципы подчас находили отражение в научных трудах. Для него Омега (если она существовала) могла воплощаться только в божественном разуме, в который он верил. При таком подходе Омега – чистая метафизическая абстракция. С математической точки зрения абсолютная бесконечность не может иметь строгого определения, а потому математики (если только их не потянуло на философию) обычно ее игнорируют. Есть соблазн охарактеризовать ее как количество элементов в универсуме всех множеств – так называемом универсуме фон Неймана. Но этот универсум на самом деле не множество (скорее класс множеств), поэтому с его помощью невозможно дать определение конкретному виду бесконечности, будь то кардинальное число или ординал. Споры вызывают также попытки рассматривать Омегу как наиболее осмысленный результат деления единицы на ноль. Математика эту процедуру не признает, хотя в некоторых видах геометрии, например в проективной геометрии, такое возможно – отсюда возникают понятия “бесконечно удаленной точки” и “бесконечно удаленной прямой”. Поиск Омеги продолжат будущие поколения математиков, логиков и философов. Ну а нам пока тоже есть чем заняться: бесконечностей у нас более чем достаточно, одна бесконечно больше другой.

И напоследок еще одна мысль: а имеют ли математические бесконечности какое-либо воплощение в реальном мире, или же это чистые абстракции? Как мы уже узнали, космологи склонны считать Вселенную, в которой мы живем, геометрически плоской и бескрайней в пространстве и времени. Если она действительно бесконечна, то какой математической бесконечности она соответствует? То, что пространство и время делятся на дискретные кусочки – планковскую длину и планковское время, – означает, что они не непрерывны, не слитны, как точки на математической прямой. Значит, если реальная вселенная бесконечно велика, похоже, с ней можно соотнести только наименьшую из бесконечностей, алеф-ноль. А все, что больше, возможно, всегда будет существовать только у нас в голове или в каком-нибудь платоновом пространстве, которому нипочем законы физики.

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:

Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”[44].

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”[45]. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 10⁸. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 10¹⁶), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 10⁸, умноженного само на себя 10⁸ раз (или 10⁸ в степени 10⁸). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10^{800 000 000} он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 10^{80 000 000 000 000 000}, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 10⁶³ песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 10⁹⁵ песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.

Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века “Лалитавистара” Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с “коти” – 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются “аюта”, 100 аюта называются “ниюта”, и так далее, до числа “таллакшана”, представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и бо́льшие числа, такие как “дхваджагравати”, равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта “уттарапараманураджаправеша” – 10⁴²¹.

Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В “Аватамсака сутре” описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 10¹⁰, после чего возводит его в квадрат, получая 10²⁰, снова возводит в квадрат, получая 10⁴⁰, и продолжает дальше, последовательно переходя к 10⁸⁰, 10¹⁶⁰, 10³²⁰, пока не достигает числа 10^{101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240}. Возведите его в квадрат, провозглашает Будда, и результат будет “неисчислимым”. Однако и на этом он не останавливается. Вслед за “неисчислимым” (очевидно, основательно поработав с санскритским словарем в поисках достойных эпитетов) он продолжает перечислять все бо́льшие и бо́льшие числа, называя их “безмерным”, “безграничным”, “несравнимым”, “бессчетным”, “непостижимым”, “немыслимым”, “неизмеримым” и “неизъяснимым”, завершая всю эту пирамиду “невыразимым”, которое, как показывают расчеты, равно 10^{10×(2^122)} (значок ^ используется, чтобы показать, что одно число возводится в степень другого; таким образом, 10^{10×(2^122)} – это то же, что и 10^{10×(2 в 122-й степени)}). Рядом с “невыразимым” самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 10^{80 000 000 000 000 000}, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.

И Архимеду, и авторам буддийских сутр большие числа нужны были для того, чтобы дать представление о громадности вселенной в их понимании. Буддисты, кроме того, считали, что, дав чему-либо название, человек приобретает над этим определенную власть. Но математиков, как правило, мало интересует бесцельное изобретение новых схем для наименования и обозначения все возрастающих больших чисел. Наша система, в которой для наименования больших чисел используются слова, заканчивающиеся на “-иллион”, восходит к французскому математику XV века Никола Шюке. В своем трактате Le Triparty en la Science des Nombres (“Наука о числах в трех частях”) он записал огромное число, разбил его на группы по шесть знаков в каждой и предложил назвать эти группы так:

…миллион, вторая отметка – биллион, третья отметка – триллион, четвертая – квадриллион, пятая – квииллион, шестая – сикслион, седьмая – септиллион, восьмая – оттиллион, девятая – нониллион, и далее так же поступать с другими числами столь долго, сколько будет угодно.

В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название “гугол” приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге “Математика и воображение” (Mathematics and the Imagination), созданной в соавторстве с Джеймсом Ньюменом. Помимо гугола юный Сиротта также предложил название “гуголплекс” для числа, записываемого как “единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь”. Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку “кто-то может устать раньше, кто-то позже, и не годится, чтобы Карнеру [чемпиона по боксу в тяжелом весе] считали более сильным математиком, чем доктора Эйнштейна, просто потому, что он выносливее физически”. Впрочем, слово “усталость” (и это еще мягко сказано) – довольно точное описание того, что ощутит человек, которому придет в голову написать число гуголплекс. Судите сами: согласно определению Казнера, гуголплекс – это 10^гугол, или единица с гуголом нулей. Число гугол нетрудно записать полностью:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Но гуголплекс неизмеримо больше. На всей планете не хватит бумаги, да что там бумаги на Земле, во всей видимой Вселенной не хватит вещества, чтобы записать все знаки гуголплекса, даже если изображать нули размером с протоны или электроны. Гуголплекс намного больше самого огромного из чисел, каким ученые древности дали названия, включая великанское “невыразимое”. И все же он не так велик, как число, которое получил в 1933 году математик из ЮАР Стэнли Скьюз, работая над проблемой в области простых чисел. Названное в честь этого ученого, число Скьюза представляет собой максимально возможное значение (верхний предел), которое получается при решении математической задачи, связанной с распределением простых чисел. Знаменитый британский математик Годфри Харолд Харди, наставник Рамануджана[46] и автор популярной “Апологии математика”, назвал его на тот момент “самым большим числом, когда-либо использованным в математике для какой-либо конкретной цели”. Его значение – 10^{10^10^34}, или, если точнее, 10^{10^8852142197543270606106100452735038,55}. Для того чтобы рассчитать этот колоссальный по величине верхний предел, Скьюзу пришлось исходить из предположения о справедливости гипотезы Римана, над которой, как мы видели в седьмой главе, математики до сих пор ломают голову. Два десятилетия спустя он объявил, что рассчитал еще одно число, в связи с той же задачей, но на этот раз не прибегая к предположению о верности гипотезы Римана. Оно получилось еще больше – 10^{10^10^964} плюс-минус несколько триллионов.

От чистой математики не отставала и физика со своими головоломными проблемами, решение которых также время от времени приводило к появлению гигантских чисел. На этом фронте одним из первых стал французский математик, физик-теоретик и ученый-энциклопедист Анри Пуанкаре, среди многочисленных трудов которого – исследования того, сколько времени требуется физической системе, чтобы вернуться в определенное исходное состояние. Когда речь идет о вселенной, так называемое время возвращения Пуанкаре – это промежуток времени, необходимый для того, чтобы вещество и энергия, пройдя через немыслимое количество преобразований, перераспределились до состояния, которое в точности, вплоть до субатомного уровня, повторяет начальное. По оценке канадского теоретика Дона Пейджа, в прошлом аспиранта Стивена Хокинга, для наблюдаемой Вселенной время возвращения Пуанкаре составляет 10^{10^10^10^2,08} лет. Это число больше гуголплекса и находится где-то посередине между малым и большим числами Скьюза. Пейдж также рассчитал максимальное время возвращения Пуанкаре для любой вселенной определенного типа. Оно еще больше – 10^{10^10^10^10^1,1} лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды.

И “невыразимое”, и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма – результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея. Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень – как многократное умножение. Например, 3 × 4 – это то же самое, что 3 + 3 + 3 + 3, а 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3. В нотации Кнута возведение в степень обозначается одиночной стрелкой, направленной вверх: например, гугол, или 10¹⁰⁰, записывается как 10↑100, а три в кубе, или 3³, – как 3↑3. Повторное возведение в степень, для которого нет специального стандартного обозначения, записывается в виде двух стрелок: таким образом, 3↑↑3 = 3^{3^3}. Операция ↑↑, называемая тетрацией (поскольку она идет четвертой в иерархии после сложения, умножения и возведения в степень), – штука гораздо более сильная, чем может показаться на первый взгляд. 3↑↑3 = 3^{3^3} = 3²⁷, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k, это записывается следующим образом:

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k – 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 – то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 – это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, – а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни. В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца. Это число, известное как “тритри”, значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, – ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри. Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая – 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья – 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая – 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 – это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g₁ – самому первому из серии чисел g, необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма. После передышки в базовом лагере g₁ продолжаем подъем до следующего лагеря, g₂. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g₂ – это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g₁. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g₂ таких стрелок g₁. В числе g₃, как вы уже наверняка догадались, g₂ стрелок, в числе g₄ – g₃ стрелок и так далее. А само число Грэма, G, – это g₆₄. В 1980 году оно было занесено в “Книгу рекордов Гиннесса” как самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве.

Математическую проблему, из которой родилось число Грэма, фантастически сложно решить, но довольно легко сформулировать. Связана она с многомерными кубами, то есть n-мерными гиперкубами. Представьте, что все вершины такого куба попарно соединены друг с другом отрезками, окрашенными либо в красный, либо в синий цвет. Грэм задался следующим вопросом: каково наименьшее значение n, при котором для любого варианта окрашивания найдутся четыре вершины, лежащие в одной плоскости и попарно соединенные отрезками одного цвета? Ему удалось доказать, что нижний предел для числа n – 6, а верхний – g₆₄. Этот колоссальный разрыв свидетельствует о сложности задачи. Грэм смог доказать, что значение n, удовлетворяющее ее условиям, существует, но для этого ему пришлось определить верхний предел n с помощью числа умопомрачительной величины. С тех пор математики сумели сократить разрыв до более скромного (по сравнению с первоначальным) диапазона значений n: от 13 до 9↑↑↑4.

Число Грэма, наряду с гуголом и гуголплексом, часто приводят в качестве примера очень большого числа, имея о нем, однако, весьма смутное понятие. Во-первых, это уже далеко не самое большое из описанных чисел. Во-вторых, если уж искать новые “рекордные” числа и способы их представления и описания, то брать за основу число Грэма и увеличивать его с помощью традиционных математических операций не имеет никакого смысла.

В последние годы возник целый раздел занимательной математики под названием “гугология”, посвященный исключительно расширению горизонтов больших чисел путем описания и наименования еще бо́льших экземпляров. В принципе, назвать число, большее любого другого, может кто угодно. Если я назову число Грэма, вы можете сказать “число Грэма плюс 1”, или “число Грэма в степени, равной числу Грэма”, или даже “g₆₄↑↑↑↑…↑g₆₄ c числом стрелок, равным g₆₄” (что примерно равно g₆₅). Но такое “надстраивание” за счет повторного использования одних и тех же математических действий не влечет за собой никаких коренных изменений: в результате все равно получится некая производная числа Грэма. Иначе говоря, придуманное вами число будет построено примерно таким же способом, как и само число Грэма, с помощью аналогичных приемов. Серьезные гугологи называют такую неэлегантную мешанину из уже существующих чисел и функций, никак не затрагивающую исходное большое число по сути, “салатом” и относятся к ней крайне неодобрительно. Число Грэма – это стрелочная нотация, доведенная до предела своих возможностей. В “салате” же к числу Грэма просто применяют какое-нибудь несущественное математическое действие. Такие безыскусные игры со скромным приращением готовых чисел не для гугологов; их интересует разработка принципиально новой системы, которую можно было бы расширить до таких масштабов, чтобы число Грэма показалось пренебрежимо малым. Одна такая бесконечно масштабируемая система уже существует. Она называется быстрорастущей иерархией, поскольку позволяет достичь феноменальных темпов роста. Что еще важнее, эта методика уже опробована математиками на практике и часто используется как эталон при разработке новых способов получения фантастически больших чисел.

Прежде чем говорить о быстрорастущей иерархии, нужно усвоить две вещи. Первое: она представляет собой ряд функций. Функция в математике – это просто соответствие, некое правило, превращающее одно значение, входное, в другое, выходное. Функцию можно представить себе как машинку, которая преобразует одни значения в другие, применяя к ним всегда единый набор действий, например, прибавляя тройку. Если обозначить входное значение буквой x, а функцию записать как f(x) (это произносится как “f от x”), то f(x) = x + 3.

Второе, что нужно знать о быстрорастущей иерархии: в качестве индекса функции (показывающего, сколько раз следует выполнить нужный набор действий) используются порядковые числа – ординалы. Мы уже сталкивались с ними в предыдущей главе, когда говорили о бесконечности. Ординалы указывают на положение того или иного объекта в списке или на порядок расположения элементов в ряду. Они могут быть конечными и бесконечными. С конечными порядковыми числами знакомы все: “пятый”, “восьмой”, “сто двадцать третий” и так далее. А вот бесконечные не на слуху, про них знают лишь те, кто интересуется математикой поглубже. Оказывается, и конечные, и бесконечные ординалы – чрезвычайно полезная штука, когда стоит задача добраться до сверхбольших (но все же конечных) чисел и описать их. Индексирование функций с помощью конечных ординалов позволяет дотянуться до вполне солидных больших чисел. Но когда к делу подключаются бесконечные ординалы, когда именно они начинают определять, сколько раз необходимо выполнить функцию, – вот тут быстрорастущая иерархия проявляет себя в полную силу.

С первой ступенькой иерархии все очень просто: это функция, которая всего-навсего прибавляет к числу единицу. Назовем такую начальную функцию f₀. Предположим, мы хотим пропустить через жернова нашей функции число n. Тогда f₀(n) = n + 1. Но такими крохотными шажками, прибавляя каждый раз по единице, мы не скоро доберемся до больших чисел, поэтому перейдем к функции f₁(n). Она берет предыдущую функцию и подставляет ее саму в себя n раз: другими словами, f₁(n) = f₀(f₀(… f₀(n))) = = n + 1 + 1 + 1 + … + 1, где в общей сложности n единиц, что дает в итоге 2n. И опять-таки не слишком впечатляет – такими темпами нам долго добираться до страны больших чисел. Но зато эта функция наглядно демонстрирует процесс, из которого быстрорастущая иерархия черпает свою невероятную мощь. И процесс тот – рекурсия.

Искусство, музыка, язык, вычислительные системы, математика – рекурсия встречается во всех этих областях; она многолика, но это всегда нечто, что возвращается к самому себе. Иногда в результате получается просто бесконечно повторяющаяся петля. Возьмите, к примеру, шуточную словарную статью: “Рекурсия. См. рекурсия”. Более детально проработана рекурсивная петля в литографии Маурица Эшера “Картинная галерея” (1956 года), на которой изображено здание городской галереи, в которой выставлена картина, изображающая здание галереи, в которой… и так далее. Классический пример рекурсии в технике – обратная связь, когда выходной сигнал системы подается на ее вход. С этой проблемой нередко приходится сталкиваться, например, рок-музыкантам, если микрофон на сцене расположен перед акустической системой, к которой он подключен. Звук, принимаемый микрофоном, усиливается и подается на динамик системы, откуда вновь поступает на микрофон, и так продолжается до тех пор, пока – довольно скоро – из-за усиления при каждом прохождении цикла звук не превратится в знакомый пронзительный свист. Рекурсия в математике работает примерно так же, только вместо электронной системы “микрофон – усилитель – динамик” здесь функция, которая обращается к самой себе, так что ее выходное значение подается опять на вход.

Итак, мы достигли ступеньки f₁(n) на лестнице быстрорастущей иерархии. Следующая ступенька, f₂(n), подставляет функцию f₁(n) саму в себя n раз. Ее можно записать как f₂(n) = f₁(f₁(… f₁(n))) = n × 2 × 2 × 2 × … × 2, где количество двоек равно n. Это то же самое, что n × 2ⁿ, где 2ⁿ – показательная функция. Если подставить вместо n, скажем, 100, то мы получим f₂(100) = 100 × 2¹⁰⁰ = = 126 765 060 022 822 940 149 670 320 537 600, или приблизительно 127 миллиардов миллиардов триллионов. Будь это сумма на банковском счете, такое состояние даже Биллу Гейтсу могло бы только во сне присниться, а ведь она гораздо меньше, чем некоторые из известных чисел, что нам уже встречались, таких как гугол. Меньше она и суммы самого крупного в истории иска о компенсации ущерба. Иск на 2 ундециллиона (то есть два триллиона триллионов триллионов) долларов был подан 11 апреля 2014 года жителем Манхэттена Энтоном Пьюрисимой, утверждавшим, что в городском автобусе его покусала “больная бешенством” собака. В бессвязном исковом заявлении на 22 страницы, написанном от руки, к которому была приложена фотография несуразно огромной повязки на среднем пальце, Пьюрисима требовал от управления городского транспорта Нью-Йорка, аэропорта Ла-Гуардия, кафе Au Bon Pain (где его якобы регулярно обсчитывали при покупке кофе), университетского медицинского центра города Хобокена и сотен других организаций выплаты компенсации на общую сумму, превышающую всю денежную массу на планете. В мае 2017 года иск был отклонен “за недостаточностью правовых и фактических оснований”. Будем надеяться, что познания Пьюрисимы в математике не распространяются на быстрорастущую иерархию – иначе за этим иском могут последовать другие, на еще бо́льшие суммы (раньше он уже подавал в суд на несколько крупных банков, Международный музыкальный фонд Лан Лана и Китайскую Народную Республику).

Функция f₃(n) представляет собой n повторений функции f₂(n), а получающееся в результате число чуть превышает 2 в степени n в степени n в степени n… со степенной башней высотой в n этажей. Это этап двух стрелок, или тетрации, – операции, что мы встречали на подступах к числу Грэма. Дальше продолжаем в том же духе: f₄(n) – это три стрелки, f₅(n) – четыре стрелки и так далее; то есть каждое увеличение ординала на единицу равносильно добавлению очередной стрелки и еще одному шагу к количеству стрелок n – 1. Это дает уже реально большие числа – не только по повседневным меркам, но даже по меркам сутяжника Пьюрисимы. Однако, если добавлять всего по одной стрелке за раз, даже до числа Грэма не скоро доберешься, не говоря уже о других, гораздо более солидных экземплярах. Здесь нужно какое-то неожиданное решение. Чтобы получить действительно колоссальные конечные числа, нам придется прибегнуть к помощи чисел бесконечных.

Как мы помним из предыдущей главы, самая маленькая из бесконечностей – это алеф-ноль, бесконечность натуральных чисел. Меняться по величине, то есть по количеству того, что в нем содержится, алеф-ноль не может, зато может меняться по длине – в зависимости от того, как его содержимое организовано. Самая маленькая длина алеф-нуля обозначается бесконечным ординалом омега (ω). Следующая – ω + 1, за ней ω + 2, потом ω + 3 и так далее, без конца. Эти бесконечные ординалы – они называются счетными, потому что их можно расставить по порядку, пронумеровать, – служат нам своего рода трамплином для прыжка в мир самых больших из когда-либо описанных конечных чисел. Для начала нам нужно определить, что подразумевается под функцией f_ω(n), где в качестве индекса стоит наименьший из бесконечных ординалов. Просто отнять 1 и применить рекурсию, о которой мы говорили выше, здесь не получится, поскольку такого понятия, как ω – 1, не существует. Вместо этого мы определяем f_ω(n) как f_n(n). Заметьте, это не значит, что ω = n. Мы просто выражаем f_ω(n) через (конечные) ординалы, меньшие ω, чтобы привести функцию к виду, удобному для вычислений. Вы, возможно, возразите и скажете, что с таким же успехом можно просто написать f_n(n) вместо f_ω(n) и получить тот же результат; но тогда нам не удастся сделать следующий шаг – а именно он является решающим и позволяет раскрыть весь невероятный потенциал, заложенный в быстрорастущей иерархии. Как только мы переходим от f_ω(n) к f_ω+1(n), происходит нечто качественно новое. Мы помним, что, увеличивая на единицу ординал, стоящий в индексе функции, мы подставляем предыдущую функцию саму в себя n раз. Если ординал конечный, в результате получается фиксированное количество стрелок. Ординал ω дает n –  1 стрелку. Использование же ординала ω + 1 позволяет нам применить рекурсию к количеству стрелок n раз – а это уже фантастический скачок, невероятно увеличивающий мощность рекурсии.

Возьмем для примера функцию f_ω + 1(2). Согласно нашему рекурсивному правилу, она равносильна f_ω(f_ω(2)). Раз мы определили f_ω(2) как f_n(2), то можем записать f_ω + 1(2) как f_ω(f₂(2)), просто заменив внутреннюю ω на 2. (Узнать значение внешней f_ω нельзя до тех пор, пока нам не будет известно, какое значение примет внутренняя.) Поскольку f₂(2) = 8, от f_ω + 1(2) у нас остается f_ω(8). Наконец, мы можем упростить внешнюю ω и получить f₈(8), включающую в себя семь стрелок. Этот пример, хоть и показывает, как можно использовать функцию f_ω + 1 для применения рекурсии к количеству стрелок, не дает полного представления о внушительных возможностях этой функции. Они становятся очевидными только по мере роста n и числа соответствующих ему петель обратной связи. При n = 64 получаем f_ω + 1(64), что приблизительно равно числу Грэма. Следующая ступенька быстрорастущей иерархии, f_ω + 2(n), открывает принципиально новые горизонты: на этом этапе весь математический аппарат, послуживший нам для достижения числа Грэма, подставляется сам в себя. В результате получается число, которое можно приближенно записать как g_{g … 64} (с 64 уровнями g в подстрочном индексе), но хотя бы отдаленно представить себе его масштаб не стоит даже пытаться.

Счетно-бесконечные ординалы простираются насколько хватает глаз, и каждый последующий из них – основа для новой, более мощной рекурсивной функции, оставляющей далеко позади предыдущую. Одни омеги составляют ряд такой длины, что он заканчивается только на омеге, возведенной в степенную башню высотой в омегу омег. Этот могучий ординал – эпсилон-ноль – настолько велик, что его невозможно описать средствами нашей классической арифметики, называемой арифметикой Пеано. С каждым шагом вдоль нескончаемой дороги омег конечное число, получаемое путем применения рекурсии, увеличивается на непостижимую величину. Но за самой величественной степенной башней из омег высятся башни, сложенные из многочисленных ярусов еще более внушительных бесконечных ординалов: сначала эпсилонов, потом дзет и так далее, и несть им числа – как мы уже выяснили раньше, когда говорили о бесконечности. С постоянным ростом ординалов растет и эффект обратной связи. И вот наконец мы добрались до умопомрачительно большого ординала гамма-ноль (Γ₀), у которого есть и более звучное название: ординал Фефермана – Шютте, в честь впервые описавших его американского философа и логика Соломона Фефермана и немецкого математика Карла Шютте. Несмотря на то, что гамма-ноль – все еще счетный ординал и есть после него и другие, определить его можно, только используя несчетные ординалы (то есть такие, которые невозможно получить путем перестановки элементов алеф-нуля; для несчетных ординалов требуется алеф-один или больше элементов). Этот процесс напоминает ход развития само2й быстрорастущей иерархии. Как для описания громадных конечных чисел нам пришлось в быстрорастущей иерархии прибегнуть к бесконечным ординалам, так и для описания огромных счетно-бесконечных ординалов мы вынуждены обратиться к ординалам несчетным. В языке просто не существует эпитетов, способных адекватно описать величину конечных чисел, которые можно получить с помощью рекурсии, используя ординал Фефермана – Шютте и другие, следующие за ним. Ни один математик, будь он хоть семи пядей во лбу, не в силах постичь всю безмерность чисел, порождаемых рекурсивными методами. Что, впрочем, нисколько не мешает математикам изобретать все более и более эффективные способы, генерирующие большие числа. Один из самых примечательных методов – функция TREE.

Как явствует из названия функции[47], она напоминает обычное дерево, растущее в лесу, или генеалогическое древо с ветвями, отходящими от общего ствола. Математические деревья – это особая разновидность так называемых графов. Их не нужно путать с графиками. График мы обычно представляем себе как кривую, показывающую соответствие между двумя величинами. Граф же в математике – нечто иное: это способ представления данных, когда точки, называемые узлами или вершинами, соединены отрезками – ребрами. Если, начав с одного из узлов графа и передвигаясь по его ребрам к другим узлам, можно вернуться к исходному, ни разу не проходя ни по одному ребру или узлу дважды, такой маршрут, и сам граф, называется циклом. Если от любого узла можно добраться до любого другого, не проходя дважды ни по одному ребру или узлу, то пройденный маршрут именуют путем, а граф – связным. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. И генеалогические, и биологические деревья имеют именно такую структуру. Если все узлы графа пронумеровать или присвоить им неповторяющиеся цвета, то такое дерево называется помеченным. Если одну из вершин дерева обозначить как корень, то получается корневое дерево. Одно из полезных свойств корневого дерева состоит в том, что от любого его узла можно проследить путь к корню.

Некоторые из математических деревьев, имеющих ту же структуру ветвей, что и у реального дерева, можно встроить в другие аналогичные деревья. Их называют “гомеоморфно вложимыми”. На простом языке это означает, что они похожи по форме или виду и одно из них – уменьшенный вариант другого. У математиков, конечно, есть для этого термина более точное определение. Они начинают с большего по размеру дерева и смотрят, как сильно можно “обрезать” его крону, используя два метода. Первый – удаление узлов. Если есть узел (кроме корневого), с которым соединены всего два ребра, его можно удалить, а ведущие к нему ребра срастить в одно. Второй метод – удаление ребер. Если два узла соединены единственным ребром, то это ребро стягивается, а узлы на его концах сливаются в один. Цветом получившегося нового узла становится цвет того из них, который был ближе к корню. Если можно, применяя эти две операции в любом порядке, из большего дерева получить меньшее, то говорят, что меньшее дерево гомеоморфно вложимо в большее. Американский математик и статистик Джозеф Краскал доказал важную теорему, связанную с ними. Предположим, у нас есть ряд деревьев, в котором первое дерево может иметь только один узел, второе – не больше двух узлов, третье – не больше трех и так далее; при этом ни одно не может быть гомеоморфно вложено ни в какое из последующих. Краскал обнаружил, что рано или поздно такая последовательность должна закончиться. Но какой может быть ее максимальная длина?

В ответ на поставленный вопрос американский математик и логик Харви Фридман, занесенный в 1967 году в “Книгу рекордов Гиннесса” как самый молодой университетский преподаватель в мире (в Стэнфорде в возрасте 18 лет), определил “функцию дерева” TREE(n) в качестве максимальной длины такой последовательности, где n – количество цветов для вершин. Фридман изучил выходные значения функции для различных значений n. Первое дерево состоит из единственного узла, имеющего определенный цвет, который нельзя использовать снова. Если n = 1, то этот цвет – единственный и последовательность тут же завершается, а значит, TREE(1) = 1. Если n = 2, у нас есть еще один цвет. Второе дерево может иметь до двух узлов включительно, так что содержит два узла, окрашенных в этот второй цвет. Третье дерево также должно содержать только этот цвет, но может иметь только один узел, поскольку иначе второе дерево будет гомеоморфно вложимо в третье. Больше в этом случае деревьев быть не может, поэтому TREE(2) = 3. И вот мы дошли до TREE(3) – и тут, как обнаружил Фридман, происходит нечто невероятное, настоящий взрыв. Совершив гигантский скачок, количество узлов внезапно вырастает до размеров, намного превышающих число Грэма, и достигает в быстрорастущей иерархии малого ординала Веблена – совсем не малого числа, которое мы уже упоминали, путешествуя по различным бесконечностям.

Гугология – поиск новых способов определения все бо́льших и бо́льших чисел – стала настолько популярной, что в этой области уже проводятся конкурсы. Один из первых, Bignum Bakeoff[48], организовал в 2001 году американский вундеркинд Дэвид Мейз. Перед участниками стояла задача написать на языке C программу не длиннее 512 символов (не считая пробелов), возвращающую как можно большее число. Поскольку для реального выполнения поданных на конкурс программ современным компьютерам понадобилось бы больше времени, чем существует Вселенная, код анализировали вручную, а победителя определяли на основании позиции в быстрорастущей иерархии. Первое место заняла программа loader.c, названная именем ее автора Ральфа Лоудера из Новой Зеландии. Для вычисления окончательного результата потребовались бы невероятно долгое время и машина с чудовищным объемом памяти. Но если бы это все же было возможно, то полученное число Лоудера затмило бы собой и TREE(3), и некоторых других героических обитателей гугологического космоса: таких, например, как SCG(13) – тринадцатый элемент последовательности, именуемой “числа субкубических графов” (схожей с последовательностью TREE, но состоящей из графов, в которых у каждой вершины не больше трех ребер).

В 2007 году в рамках конкурса Big Number Duel[49] в непримиримом поединке за самое большое число сошлись двое философов, старых школьных приятелей – Агустин Райо (он же Мексиканский Множитель) из Массачусетского технологического института и Адам Элга (он же Доктор Зло) из Принстона. Победителем становился тот, кто даст определение самому колоссальному числу. Схватка, в которой обмен остротами и сложнейшая математическая, логическая и философская полемика сочетались с драматизмом боя за звание чемпиона мира по боксу, проходила в забитой до отказа аудитории центра “Стата” МТИ. Первый удар нанес Элга, начертав на доске единицу (видимо, в надежде, что его соперник не в форме). Райо незамедлительно парировал этот выпад, заполнив единицами всю доску. Элга тут же удалил часть линии у основания всех единиц, кроме первых двух, превратив их тем самым в знаки факториала. Так поединок продолжался, постепенно выходя за рамки знакомой математики, пока соперники не стали на ходу изобретать собственную нотацию для все больших чисел. Говорят, что в какой-то момент один из зрителей спросил Элгу: “А это число вообще можно вычислить?” На что тот после краткой паузы ответил: “Нет”. Наконец Райо отправил соперника в нокаут сокрушительным числом, описанным им как “наименьшее положительное число, большее любого конечного положительного числа, которое может быть выражено на языке теории множеств первого порядка с использованием не более чем гугола символов”. Мы не знаем, насколько велико число Райо, и, скорее всего, никогда не узнаем. Ни один компьютер никогда не сумеет его вычислить, даже если бы во Вселенной хватило места для гугола символов. Дело здесь не в нехватке места или времени: число Райо невычислимо, так же как неразрешима проблема остановки.

Афиша конкурса Big Number Duel, проходившего в Массачусетском технологическом институте.

На сегодняшний день, если говорить о более-менее осмысленных больших числах, число Райо – своего рода граница, отделяющая нас от неизвестного. Называли и бо́льшие числа, такие, например, как BIG FOOT, объявленное в 2014 году. Но чтобы получить хотя бы смутное представление о BIG FOOT, нам придется погрузиться в странную область под названием “вселенная куч” (oodleverse) и выучить язык теории куч первого порядка – а здесь не обойтись без ученой степени в области высшей математики и очень своеобразного чувства юмора. Да и в любом случае все самые большие на сегодня числа построены по тому же принципу, что и число Райо.

Чтобы еще глубже проникнуть в бескрайнее пространство чисел, гугологам нужно развивать существующие методики или разрабатывать новые, так же как освоение все более дальних просторов космоса требует новых прорывов, больших и малых, в двигателестроении. А пока охотникам за большими числами придется полагаться на те же приемы, что использовал Райо, только применять их уже к расширенной версии теории множеств первого порядка. Можно, например, добавить в нее аксиомы, которые позволят оперировать бесконечностями еще более грандиозного масштаба, а с их помощью уже генерировать новые рекордные конечные числа.

Если говорить начистоту, вся эта суета с описанием больших чисел ради рекордов не слишком волнует профессиональных математиков, так же как они не видят особого смысла в вычислении все большего и большего количества знаков числа пи. Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса.

Заманчиво думать, что огромные числа вроде числа Райо дают нам возможность немножко приблизиться к бесконечности. Но на самом деле это не так. Бесконечные числа можно использовать для получения конечных, но конечное и бесконечность никогда не сольются. Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до трех.

В одной старой шутке говорится, что тополог – это человек, неспособный отличить кофейную чашку от бублика. Хотя точнее было бы сказать, что это человек, для которого различие между ними несущественно. В топологии чашка и бублик эквивалентны, поскольку (если предположить, что и то и другое сделано из пластичного материала вроде глины) из первого можно постепенной деформацией получить второе: ручка чашки превращается в отверстие бублика, а самой чашке можно придать форму кольца вокруг этого отверстия. Слово “отверстие” здесь имеет четко определенное значение. В топологии отверстие обязано иметь два конца и пронизывать предмет насквозь, как дырка у бублика, или, говоря по-научному, у тора. То, что мы в быту часто называем отверстием, – например, просверленное в стене углубление под шуруп – для тополога таковым не является, потому что оно не имеет двух входов и его можно постепенно деформировать так, чтобы оно полностью сгладилось. Если в двух словах, топология изучает такие свойства объектов, которые остаются неизменными, когда форма объекта меняется, но при этом сам он не разрезается и в нем не проделываются новые отверстия. Топология – современное расширение геометрии, порождающее множество парадоксальных выводов и дающее о себе знать в самых неожиданных местах.

В 2016 году Нобелевская премия по физике была присуждена британским ученым Данкану Холдейну, Майклу Костерлицу и Дэвиду Таулессу за работы в области так называемых экзотических состояний материи. При определенных условиях – например, при очень низких температурах – свойства материалов могут неожиданно и резко меняться. Однажды февральским утром 1980 года немецкий физик Клаус фон Клитцинг, проводя эксперименты с переохлажденными сверхтонкими образцами из кремния, помещенными в мощное магнитное поле, обратил внимание на очень странное явление. Кремний вдруг стал или проводить электричество пакетами определенной величины – сначала один, за ним другой, вдвое больше, потом еще один, втрое больше, и так далее, – или не проводить вообще. Никаких промежуточных значений, как это происходит с обычным электрическим током, не было. Это явление известно как квантовый эффект Холла, а Клитцингу за открытия в этой области в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. В процессе эксперимента кремний, очевидно, внезапно перешел в какое-то новое физическое состояние, в котором, как всегда бывает в таких случаях, произошла перегруппировка атомов. Но теоретики тщетно пытались объяснить, как подобная перегруппировка могла произойти в слое кремния настолько тонком, что для перемещения атомов внутри него вверх или вниз просто не было места. Костерлицу и Таулессу пришла в голову оригинальная идея. При охлаждении, предположили ученые, атомы кремния объединялись в завихряющиеся па́ры, которые при достижении критической температуры перехода спонтанно разделялись, образуя два миниатюрных вихря. Таулесс взялся произвести математические расчеты, объясняющие эти вихревые переходы, и обнаружил, что лучше всего явление формулируется в терминах топологии. Электроны в преобразующемся материале образуют так называемую топологическую квантовую жидкость: некое состояние, в котором они передвигаются совместно только на целое число шагов. Работая независимо от Таулесса, Холдейн обнаружил, что эти жидкости могут спонтанно появляться в сверхтонких слоях полупроводников даже в отсутствие сильных магнитных полей.

После объявления в Стокгольме лауреатов Нобелевской премии 2016 года один из членов Нобелевского комитета поднялся со своего места и достал из бумажного пакета булочку с корицей, бублик и (шведский) крендель. Между ними, отметил он, есть множество различий: разный вкус, например, – что-то соленое, что-то сладкое, – да и внешне они не похожи. Но для тополога из всех различий имеет значение только одно – количество отверстий: ноль в булочке, одно в бублике и два в кренделе. Лауреаты премии, объяснил он, нашли способ связать внезапный переход в экзотические физические состояния с изменениями в топологии, то есть фактически с “дырковатостью” соответствующих абстрактных структур. Своим открытием они указали путь к новой, чрезвычайно важной сфере применения дисциплины, породившей некоторые из самых невероятных результатов в математике.

Возьмите две копии одной картинки. Одну из них разгладьте на столе, а вторую хорошенько помните (не разрывая) и положите сверху. Неоспоримый факт: как минимум одна точка изображения на мятой копии окажется непосредственно над соответствующей точкой на разглаженном листе. (Строго говоря, расчеты, объясняющие этот феномен, оперируют непрерывными величинами, а материя реального мира имеет зернистую природу, поскольку состоит из атомов и прочего, – и тем не менее получающийся результат служит весьма неплохим приближением.) Тот же эффект наблюдается и с трехмерными объектами: сколько бы вы ни мешали воду в стакане, как минимум одна из молекул после перемешивания окажется на том же месте, что и до него. Первым математиком, опубликовавшим доказательство этого феномена в начале XX века, был голландец Лёйтзен Брауэр, поэтому соответствующая теорема получила название “теорема Брауэра о неподвижной точке”.

В 1912 году Брауэр доказал еще одну любопытную теорему, сформулированную ранее выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, – так называемую теорему о причесывании ежа. Речь в ней идет о том, что, как бы вы ни старались пригладить иголки у свернувшегося в клубок ежа, невозможно добиться того, чтобы они лежали гладко в каждой точке, – где-то все равно будут стоять торчком. Брауэр (и Пуанкаре), правда, рассуждал не о ежах, а о более скучных вещах: непрерывном касательном векторном поле на сфере, которое должно иметь как минимум одну точку, где вектор обращается в ноль. Но суть та же самая. На практике это означает, например, следующее: поскольку скорость ветра у земной поверхности является векторным полем, теорема гарантирует, что на планете обязательно должно быть место, где ветер не дует. Еще одна общеизвестная метеорологическая истина, тесно связанная с теоремой о неподвижной точке, называется теоремой Борсука – Улама. Она гласит: в любой момент времени на Земле существуют две точки, расположенные на ее противоположных сторонах, где температура и давление абсолютно одинаковы. Вы вправе сказать, что подобное вполне может произойти и по чистой случайности, но теорема Борсука – Улама дает математическую гарантию, что это всегда так.

Еще один странный, но истинный факт, который выводится из теоремы Борсука – Улама, – это так называемая теорема о бутерброде. Согласно ей, любой бутерброд с ветчиной и сыром можно одним разрезом рассечь таким образом, чтобы в обоих получившихся кусочках было поровну и хлеба, и ветчины, и сыра. На самом деле для этого даже не обязательно, чтобы ингредиенты касались друг друга: хлеб может быть в хлебнице, сыр в холодильнике, а ветчина на столе. Или они вообще могут находиться в разных частях галактики. Так или иначе, всегда существует такой плоский разрез (другими словами, такая плоскость), который рассек бы все три объекта ровно напополам.

Все эти странные теоремы – о неподвижной точке, о причесывании ежа, о бутерброде, Борсука – Улама – уходят корнями в благодатную почву топологии (от греческого слова tópos – “место”). В быту нам нечасто приходится с ней сталкиваться. Любой из нас знаком с геометрией – древней наукой о форме, размере и относительном расположении фигур вроде треугольников, эллипсов, пирамид, сфер и прочих. Топология связана и с геометрией, и с теорией множеств и изучает, как мы уже упоминали, свойства тел, которые не изменяются даже тогда, когда тело сгибают или растягивают, – эти свойства называют топологическими инвариантами. Примером такого инварианта может служить, скажем, число измерений, связность или количество элементов, составляющих тот или иной объект.

Начало топологии как дисциплине было положено в XVII веке, когда немецкий ученый-энциклопедист Готфрид Лейбниц поднял вопрос о разделении геометрии на две части: geometria situs, или геометрию положения, и analysis situs, то есть анализ, или разбор, положения. Первая, куда входит фактически та геометрия, что мы изучаем в школе, имеет дело со знакомыми нам понятиями: углами, длинами, фигурами, тогда как analysis situs занимается абстрактными структурами, независимыми от этих понятий. Швейцарский математик Леонард Эйлер впоследствии опубликовал одну из первых работ по топологии, в которой доказал, что невозможно прогуляться по всем семи мостам старого портового города Кёнигсберга в Пруссии (ныне – Калининград в России), не пройдя ни по одному из них дважды. Результат не зависел ни от размеров мостов, ни от расстояний между ними, а только от того, как они соединяли между собой участки суши – острова в русле реки и ее берега. Эйлеру удалось найти общее правило для решения такого рода задач и тем самым дать дорогу в жизнь новой области исследований – разделу топологии под названием “теория графов”[52].

Семь мостов Кёнигсберга через реку Преголя.

Эйлер также открыл ставшую знаменитой формулу многогранников (трехмерных тел с плоскими многоугольными гранями): В – Р + Г = 2, где В, Р и Г – число вершин, ребер и граней соответственно. И опять-таки она имеет прямое отношение к топологии – ведь она оперирует свойствами геометрических тел, не зависящими от количественных измерений.

Еще одним пионером в области топологии стал Август Мёбиус, изучивший свойства перекрученной на пол-оборота и свернутой в кольцо ленты, которая сегодня носит его имя – несмотря на то, что его соотечественник Иоганн Листинг опубликовал результаты собственных исследований ее свойств на несколько лет раньше, в 1861 году. Если полоску бумаги перекрутить на 180 градусов, а затем склеить концы вместе, получится кольцо с односторонней поверхностью – это легко проверить, ведя карандашом посередине полосы линию, пока та не вернется в исходную точку. Пол-оборота, соединение краев – и бумажная полоска превращается в ленту Мёбиуса, объект, который в глазах тополога коренным образом отличается от простого кольца или открытого с двух сторон цилиндра[53]. Любой разрыв в геометрическом теле или соединение вместе его концов превращает его в топологически новое тело. Отсюда следует еще одна особенность топологии: она хорошо подходит для описания внезапных скачкообразных изменений состояния системы – как обнаружили лауреаты Нобелевской премии по физике 2016 года.

Лента Мёбиуса: объект, который, будучи вложенным в трехмерное пространство, имеет только одну “сторону”.

В обычной геометрии все фигуры считаются жесткими и невзаимозаменяемыми. Квадрат – всегда квадрат, треугольник – всегда треугольник, и первый никогда не может превратиться во второй. Прямые линии обязаны оставаться идеально прямыми, а кривые – кривыми. В топологии же объекты вправе терять свою структурную жесткость и становиться эластичными, оставаясь при этом самими собой по сути, – при условии, что в них не делается разрезов и склеек. Квадрат, например, можно растяжением и сжатием превратить в треугольник, но с точки зрения топологии он останется самим собой: про такие фигуры говорят, что они гомеоморфны. Точно так же обе эти фигуры идентичны кругу (то есть “заполненной” окружности). Если говорить о трех измерениях, то куб гомеоморфен шару (“заполненной” сфере). Иными словами, поверхность куба топологически идентична поверхности сферы. А вот тор, или бублик, от сферы принципиально отличается: как бы вы их ни сжимали и ни растягивали, одинаковых фигур из них не получить.

Количество отверстий в объекте называется родом его поверхности. Сфера и куб имеют род 0, обычный тор – род 1, крендель (то есть двойной тор, с двумя отверстиями) – род 2 и так далее. Трехмерная топология может учитывать и более сложные факторы, скажем, структуру окружающего пространства, благодаря чему формируются узлы. Чтобы избежать путаницы, стоит сразу оговориться, что в теории узлов большинство известных нам узлов таковыми не считаются. Математический узел отличается от привычного нам узла на веревке или на шнурках ботинок тем, что его концы соединены вместе, так что развязать его невозможно.

Истинный узел удобно представить себе в виде окружности или любой другой замкнутой петли, обитающей в трехмерном евклидовом пространстве. Распутать его не поможет никакое растягивание и перекручивание. Единственный способ создать истинный (математический) узел из куска бечевки – это соединить его концы вместе, например склеить. Простейший узел, который можно получить с помощью этого метода, – тривиальный (или незаузленный) узел, то есть обычная петля. А вот дальше все становится сложнее.

Самый простой нетривиальный узел – это трилистник. Если вы попросите кого-то завязать кусок веревки узлом, а потом соедините свободные концы, чаще всего получится именно такой. Более сложные узлы – восьмерка и те, что состоят из нескольких простых: например, прямой (известный также как рифовый) или бабий узел. И прямой, и бабий узлы состоят из двух трилистников.

Узлами с точки зрения математики первым заинтересовался Карл Гаусс в 1830-х годах. Он придумал способ вычислить коэффициент зацепления – число, показывающее, сколько раз две замкнутые кривые в трехмерном пространстве обвивают друг друга. Зацепления, как и узлы, занимают в топологии центральное место. Математические узлы и зацепления встречаются и в природе, например, в электромагнетизме и квантовой механике, а также в биохимии.

Точно так же как есть тривиальный узел, существует и тривиальное зацепление: две отдельных, никак не соединенных друг с другом окружности. Узлы – это тоже зацепления, но простые, состоящие из одной окружности; а можно создать и более сложные, если взять не одну окружность, а больше. Зацепление Хопфа, состоящее из двух однократно зацепленных окружностей, названо в честь немецкого тополога Хайнца Хопфа, хотя Гаусс изучал его на целое столетие раньше, а в изобразительном искусстве и символике оно встречалось и задолго до того. Основанная в XVI веке японская буддийская секта Бузан-ха использовала его в своем гербе. Любопытнее кольца Борромео, состоящие из трех окружностей. Необычно (и на первый взгляд кажется невозможным) в них то, что, хотя ни одно из колец не сцеплено ни с одним другим, все вместе они сцеплены: если удалить любое из трех, оставшиеся два легко разъединяются. Название колец происходит от фамилии знатной итальянской семьи Борромео, использовавшей их в своем гербе, однако сам символ уходит корнями в глубокую древность. На артефактах викингов он имеет вид трех сцепленных треугольников, известных как валькнут (что означает “узел павших”) или треугольник Одина. Тот же узор встречается и в различных религиозных контекстах, в том числе в убранстве старинных христианских храмов, где он символизирует Святую Троицу.

Узлы и зацепления нашли даже в само́й химии жизни. Белки хорошо известны своей способностью сворачиваться в определенные формы, которые определяют то, как они функционируют в биологических системах. Совершенно неожиданно для себя в середине 1990-х годов биологи открыли, что белки могут образовывать узлы и даже сцепленные кольца. Нам, чтобы завязать любой, пусть даже самый простой, узел, нужно целенаправленно продевать свободный конец веревки в петлю. Непонятно было, каким образом белки способны не только спонтанно осуществлять самосборку, но еще и умудряться завязываться при этом в узлы. Собственно, при построении большинства математических моделей, предсказывающих результат сворачивания белков на основании затрачиваемой энергии, образование любых структур, имеющих форму узлов, заведомо исключалось – настолько невозможным это казалось. Ученым еще только предстоит разобраться, как в белках образуются узлы – и зачем.

В начале 2017 года группа химиков из Манчестерского университета объявила о создании самого тугого узла за всю историю. Состоящий из 192 соединенных в цепочку атомов, он имеет в ширину всего 20 миллионных миллиметра – примерно в 2 000 раз тоньше человеческого волоса. Молекулярная нить, содержащая атомы углерода, азота и кислорода, перекрещивается восемь раз и скручивается в тройную спираль. Расстояние между точками перекрещивания нити – именно оно определяет, насколько узел тугой, – составило всего 24 атома.

Есть в научном мире и другие необычные топологические структуры. Одна из самых удивительных – уже упомянутая лента Мёбиуса. В 2012 году химики из Университета Глазго сообщили, что им удалось превратить симметричную кольцеобразную молекулу в асимметричную, добавив в кольцо молибден-кислородное звено с формулой Mo₄O₈. Добавленное звено перекрутило кольцо на пол-оборота, превратив его в ленту Мёбиуса.

Сделать самостоятельно ленту Мёбиуса под силу даже ребенку. Посложнее обстоят дела с другой односторонней поверхностью – бутылкой Клейна, названной в честь немецкого математика Феликса Клейна, впервые ее описавшего. Предполагают, что сначала она именовалась Kleinsche Fläche, что означает “поверхность Клейна”, но впоследствии название исказили и она превратилась в Kleinsche Flasche – “бутылку Клейна”. Так или иначе, это название прижилось, а возможно, даже способствовало популярности объекта, несмотря на то что слово “поверхность” точнее описывает его суть.

В отличие от ленты Мёбиуса, у бутылки Клейна нет краев или границ, что роднит ее со сферой. Но в отличие от сферы, у бутылки Клейна нет внутренней и внешней стороны – они идентичны, – поскольку она представляет собой единую поверхность, переходящую саму в себя. В реальном мире мы с подобным обычно не сталкиваемся. Нам привычнее объекты вроде банок с бочонками или бутылок с божоле, имеющие четко определенные внутреннюю и внешнюю стороны, а значит, заключающие в себе определенный объем. Но поскольку бутылка Клейна не разделяет пространство на две различных области, то она ничего в себе и не заключает, а стало быть, ограничивает нулевой объем.

Бутылка Клейна, погруженная в три измерения. Ее “внутренняя” и “внешняя” стороны на деле неразличимы. Обычными способами этого не добиться – ее невозможно вложить в трехмерное пространство, – поэтому в нем поверхность бутылки Клейна пересекает саму себя.

И сферы, и торы, и ленты Мёбиуса – все это примеры двумерных поверхностей, которые можно “вложить” в трехмерное пространство. У термина “вложение” есть строгое математическое определение, но, если по-простому, это все равно что поместить одно пространство внутрь другого, отличного от него. Важно помнить, что сферы, ленты Мёбиуса, бутылки Клейна и другие геометрические объекты – это все абстракции, свойства которых никак не зависят от пространства, в котором они находятся: от того, сколько в нем измерений, плоское оно или искривленное и так далее. Но кое-что при вложении в разные пространства все же меняется. Например, тор можно вложить в три измерения (именно в таком виде мы с ним обычно и сталкиваемся), и тогда у него появляются отверстие – настоящее, математическое отверстие – и внешняя и внутренняя стороны.

Кое-кто из читающих эту книгу, возможно, еще помнит автоматы с классической игрой “Астероиды”. Управляя космическим кораблем, игрок должен сбить как можно больше пролетающих мимо него астероидов и летающих тарелок. Казалось бы, ничего общего со знакомым бубликом-тором. Но топологически они совершенно идентичны: и то и другое имеет тороидальную форму. Отверстие в бублике – это признак, появляющийся в результате погружения тора в три измерения, а вовсе не постоянное свойство всех торов. В “Астероидах” тороидальная топология пространства проявляется не в отверстии, а в том, как объекты, исчезающие с одной стороны экрана, тут же появляются с другой. Еще тор можно вложить в четырехмерное пространство. Одним из результатов такого вложения может оказаться тор Клиффорда, названный в честь жившего в Викторианскую эпоху математика Уильяма Кингдона Клиффорда (он, кроме прочего, впервые предположил, что тяготение – это следствие геометрии пространства, в котором мы живем). В отличие от хорошо известного нам тора-бублика с четко различимыми внешней и внутренней сторонами, тор Клиффорда не разделяет пространство, а потому ни внутренней, ни наружной стороны у него просто нет.

То же и с бутылкой Клейна. Австрийско-канадский математик Лео Мозер в форме лимерика описал, как родилась идея этой поверхности:

Ленту Мёбиуса Клейн свято чтил,Их двух лент он флакон сотворил.“Просто склеить края,И бутылка мояПолучается”, – он говорил.

Потому у бутылки Клейна и нет краев: когда концы двух лент Мёбиуса (c правой и левой закруткой) соединяются вместе, образуется единая связная поверхность. Еще один способ сделать бутылку Клейна – начать с квадрата. Нужно соединить вместе пару его противоположных сторон, а потом в получившемся цилиндре состыковать вторую пару сторон, предварительно перекрутив одну из них на пол-оборота. Вот только этот второй шаг, хоть он и кажется простым, невозможно осуществить в трехмерном пространстве. Чтобы заставить поверхность пройти сквозь саму себя, не проделывая в ней отверстия, без четвертого измерения не обойтись. Впрочем, это мелкое затруднение не мешает энтузиастам изготавливать трехмерные модели, которые почти идеально (но все же не совсем точно) воспроизводят бутылку Клейна. Среди таких умельцев есть настоящие эксперты своего дела: например, Клиффорд Столл из Окленда (Калифорния, США), возглавляющий компанию Acme Klein Bottle, и Алан Беннетт из Бедфорда (Англия), который изготовил для лондонского Музея науки целую серию бутылок Клейна, аналогичных лентам Мёбиуса с нечетным числом оборотов больше одного. Математики называют подобные модели “погружениями” бутылки Клейна в трехмерное пространство. Погружение – не то же самое, что вложение. Не углубляясь в технические детали, скажем лишь, что в трехмерной модели (то есть при погружении) бутылки Клейна всегда будет место, где ее поверхность пересекает сама себя. Истинная же бутылка Клейна не имеет такого самопересечения, и его действительно не будет при ее вложении в четырехмерное пространство.

Другое важное свойство бутылки Клейна, да и любой другой поверхности, связано с ориентируемостью. Большинство поверхностей, с которыми нам приходится иметь дело в физическом мире, “ориентируемы”. Это значит, что если нарисовать на такой поверхности маленькую круговую стрелку, указывающую либо одно, либо другое направление, а потом двигать ее вдоль всей поверхности, пока она не вернется на исходное место, то по возвращении стрелка будет указывать прежнее направление. Так будет, к примеру, если взять сферу или тор: и то и другое – ориентируемые поверхности. А вот попробуйте-ка сделать то же самое с бутылкой Клейна или лентой Мёбиуса – и увидите, что, обойдя всю поверхность, стрелка-путешественница изменит направление на противоположное, поскольку эти поверхности неориентируемы.

Топологам приходится то и дело мысленно переключаться между пространствами разной размерности. Чтобы оперировать при этом некими общими понятиями, они изобрели для себя целый словарь специальных терминов. С “вложением” и “погружением” мы уже знакомы. Еще один – “многообразие”: это обобщение термина “поверхность” в приложении к другим измерениям. Все то, что мы называем “поверхностью”, по определению двумерно, поэтому правильно говорить не “двумерная поверхность” (это тавтология), а “двумерное многообразие”. Сфера, тор, лента Мёбиуса и бутылка Клейна – все это примеры двумерных многообразий. Первые три из них можно вложить в трехмерное пространство, а бутылку Клейна – нет. Прямые и окружности – это одномерные многообразия, а кроме них есть еще (хоть мы и не способны толком их себе представить) трехмерные многообразия, четырехмерные и так далее. Одно из простейших трехмерных многообразий – это трехмерная сфера. Подобно обычной двумерной сфере, которая представляет собой поверхность, ограничивающую шар в трехмерном пространстве, трехмерная сфера – это объект, имеющий три измерения и образующий границу четырехмерного шара. Мы не можем точно представить себе, как выглядел бы трехмерный аналог поверхности, не говоря уже о границах в более высоких измерениях. Но, несмотря на эту нашу ограниченность, у математиков есть весь инструментарий, необходимый им, чтобы оперировать подобными понятиями.

При работе с высшими измерениями порой открываются совершенно неожиданные вещи. В четырехмерном пространстве, например, окружности не могут зацепляться, а обычных узлов просто не существует. То же касается и более высоких размерностей. В четырех измерениях происходит еще одна диковинная штука: сферы там могут “заузляться”. Представить, как это выглядит, мы не в силах – но ведь и двумерные существа так же были бы неспособны представить себе, как окружности могут быть заузлены и при этом не пересекать сами себя.

Как и все другие разделы математики, топология – динамично развивающаяся область знаний, в которой ежегодно делаются новые открытия и ждут своего решения старые и новые проблемы. Одна из наиболее важных – и в топологии, и в математике в целом – известна как гипотеза Пуанкаре. Ее важность не в каком-то очевидном практическом применении: вряд ли она поможет нам быстрее добраться до Марса или найти лекарство от старения. Ее значение для математики чисто теоретическое, оно связано с работой по классификации поверхностей (то есть многообразий) высших размерностей.

Гипотезу впервые выдвинул в 1900 году Анри Пуанкаре, один из основателей топологии как точной научной дисциплины. Многие почитают его как “последнего универсала” – эксперта во всех областях математики своего времени[54]. Пуанкаре разработал методику под названием “гомологии”, которая представляет собой, упрощенно говоря, способ определять и относить к той или иной категории отверстия в многообразиях. Здесь все не так очевидно, как может показаться, поскольку математические отверстия – штуки довольно хитрые, их не так просто заметить и сосчитать, как, скажем, дырки в кренделе или в старом носке. Двумерное пространство в “Астероидах”, например, топологически эквивалентно тору, хотя у тора есть совершенно очевидная дырка, а в пространстве “Астероидов” ее как-то не заметно. Нельзя забывать, что математические отверстия – это абстрактные понятия, которые бывает труднее себе представить, чем, допустим, дырку в бублике; а кроме того, они еще окружены “петлями” – так что гомологии можно определить и как способ анализа различных типов петель в многообразиях.

Исходное предположение Пуанкаре заключалось в том, что гомологий достаточно, чтобы определить, является ли то или иное трехмерное многообразие топологически эквивалентным трехмерной сфере. Но уже через несколько лет он сам опроверг эту гипотезу, построив контрпример: гомологическую сферу Пуанкаре, которая истинной трехмерной сферой не является, но имеет те же гомологии. После дальнейших исследований он сформулировал свою гипотезу в новом виде. Если говорить простым языком, она гласит, что любое конечное трехмерное пространство, не имеющее отверстий, может быть непрерывно деформировано в трехмерную сферу. Несмотря на все усилия математиков, в XX веке эта гипотеза так и осталась недоказанной. Ее значение было столь велико, что в 2000 году Математический институт Клэя включил ее в список семи важнейших проблем, за решение которых объявил вознаграждение в миллион долларов США. Три года спустя справедливость гипотезы Пуанкаре доказал российский математик Григорий Перельман в ходе доказательства другой близкой проблемы – гипотезы геометризации Тёрстона.

В 2006 году Перельману была присуждена Филдсовская премия, которую считают самой престижной наградой в математике и часто приравнивают по статусу к Нобелевской. Затем, в 2010 году, было объявлено, что его работа отвечает критериям для вручения 1 000 000 долларов от Математического института Клэя. Однако Перельман от обеих наград отказался, по всей видимости, по соображениям этического порядка. Во-первых, по его мнению, они не отражали важный вклад, который внесли в решение проблемы другие ученые, в первую очередь американский математик Ричард Гамильтон, чью работу Перельман развил и продолжил. Кроме того, он был недоволен неэтичным поведением некоторых исследователей, в особенности китайских математиков Чжу Сипина и Цао Хуайдуна, опубликовавших в 2006 году статью с результатами проверки доказательства Гамильтона – Перельмана, но при этом пытавшихся создать впечатление, что авторы доказательства – они сами. Позже они отозвали исходную статью, озаглавленную “Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: приложение теории Гамильтона – Перельмана о потоках Риччи”, и опубликовали новый вариант, с более скромными формулировками. Но сделанного не вернуть: Перельман был глубоко разочарован как их поведением, так и отсутствием осуждения их действий со стороны других математиков. В интервью журналу The New Yorker в 2012 году он сказал: “Пока я был не на виду, у меня имелся выбор: либо поднять шумиху [по поводу нарушения этических норм], либо ничего не делать и позволить обращаться с собой как с послушной собачкой. Теперь, когда я стал настолько заметным, я не могу оставаться собачкой и молчать. Вот почему мне пришлось уйти”. Не совсем понятно, то ли Перельман навсегда ушел из математики, то ли работает себе спокойно над другими проблемами. Ясно одно: быть в центре внимания – не для него. “Меня не интересуют деньги и слава, – сказал он после присуждения ему награды Математического института Клэя. – Я не хочу находиться на всеобщем обозрении, как животное в зоопарке”. Так или иначе, решив наконец одну из самых важных и сложных задач топологии, он прочно занял свое место в истории.

Еще одна проблема, много лет не дававшая покоя топологам, – гипотеза триангуляции. И она тоже не так давно была разрешена – правда, в этом случае исходное предположение было опровергнуто. В ней, по сути, ставится вопрос: возможно ли любое геометрическое пространство разделить на более мелкие фрагменты? Гипотеза предполагает, что да. Сферу, например, можно без остатка разделить на треугольные “плитки”. Правильный икосаэдр, или многогранник с двадцатью гранями в форме правильных треугольников, – вот грубое приближение сферы, однако его можно бесконечно улучшать, увеличивая число граней и меняя форму треугольников. Точно так же “триангулируется”, то есть разбивается на треугольники, и тор. Трехмерное пространство можно “нарезать” на произвольное количество тетраэдров. Но возможно ли триангулировать геометрические объекты во всех пространствах более высокой размерности, разбивая их на имеющиеся там аналоги треугольника? В 2013 году румынскому математику, тогда профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Чиприану Манолеску удалось доказать, что это невозможно. Манолеску, вундеркинд и единственный человек, кому удалось три раза подряд набрать максимальное количество баллов на Международной математической олимпиаде, впервые столкнулся с проблемой триангуляции, будучи аспирантом в Гарварде в начале 2000-х годов. В то время он не решился заняться “неприступной задачей”, но годы спустя понял, что та самая теория, о которой он писал в своей кандидатской диссертации (посвященной так называемым гомологиям Флоера), – ключ к решению проблемы. Воспользовавшись результатами своих более ранних исследований, он сумел доказать, что в размерностях 5 и выше существуют многообразия, для которых триангуляция невозможна, – опровергнув тем самым гипотезу триангуляции. Это очень серьезное достижение, учитывая, что с использованием иных методов анализ даже четырехмерного пространства на возможность триангуляции – задача чересчур сложная.

В начале 1980-х американский геометр Уильям Тёрстон, умерший в 2012 году, задумал проект, в рамках которого предполагалось описать все существующие трехмерные многообразия. Для двух измерений подобная задача уже решена. Вот двумерные многообразия: сфера, тор, двойной тор (крендель), тройной тор и так далее. К ним можно добавить неориентируемые поверхности, такие как бутылка Клейна и проективная плоскость (она получается, если соединить края двух лент Мёбиуса с одинаковой закруткой). Тёрстон применял метод, позволяющий представить многие из этих двумерных многообразий многоугольниками. Например, если взять квадрат и соединить его противоположные стороны, получится тор. С двойным тором уже сложнее, но Тёрстон победил и его. Он получил двойной тор, попарно соединив определенные стороны восьмиугольника, вложенного в гиперболическую плоскость. Такое вложение позволяет избежать проблемы, возникающей при попытке сделать то же с обычным евклидовым восьмиугольником. Иначе бы двойной тор имел точку, общую для всех вершин восьмиугольника, сумма углов которого равнялась бы 1080 градусам, а не 360, как требуется. В гиперболической геометрии – той, что имеет дело с седловидными поверхностями, или, точнее, поверхностями, в любой своей точке искривляющимися противоположным образом по сравнению со сферой, – восьмиугольники правильного размера могут иметь углы 45 градусов, что решает проблему.

Тёрстон попытался сделать для трех измерений нечто похожее. В двух измерениях существует три вида однородных геометрий: эллиптическая, евклидова и гиперболическая. Эллиптическую и евклидову можно легко вложить в пространство. Гиперболическую же вложить невозможно, именно поэтому она была открыта много позднее. В трехмерном пространстве у каждой из этих геометрий есть свой аналог, но кроме них в нем есть и другие – всего восемь. Так же как и в двух измерениях, самая сложная для понимания и работы – гиперболическая. В 2012 году Яну Аголу удалось составить перечень всех гиперболических многообразий (в то время только этот случай еще ждал своего разрешения). Некоторые из использованных им методов, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к исходной задаче: скажем, он строил комплексы из кубов различных размеров и анализировал гиперплоскости, рассекающие эти кубы пополам. У подобных многообразий есть практическое применение: например, ряд космологов предполагает, что Вселенная в целом имеет эллиптическую геометрию и представляет собой конечное многообразие – додекаэдр, определенные грани которого отождествлены. Такое многообразие возможно классифицировать, используя методику Агола.

Разумеется, в топологии и сейчас есть множество нерешенных проблем, и, вероятно, так будет всегда – ведь чем больше мы расширяем границы познанного, тем яснее понимаем, как многого еще не знаем. Но топология сегодня – уже не та узкоспециализированная, абстрактная область знаний, какой она была больше ста лет назад. Она имеет уйму практических применений, в том числе в робототехнике, физике конденсированного состояния, квантовой теории поля. А идеи топологии используются почти во всех областях математики.

Математика – единственная наука, где возможна абсолютная достоверность. Ее утверждения и теоремы могут быть доказаны безусловно и безоговорочно и останутся истинными уже навсегда. Именно поэтому математики так одержимы поиском доказательств. Строго доказанное предположение становится неопровержимым фактом, незыблемым фундаментом для будущих исследований. Единственное неизбежное и досадное облако, омрачающее в остальном ясный горизонт математики, – это сознание того, что всегда, в любой математической системе, будут существовать утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой системы.

Примерно в 1941 году логик австрийского происхождения Курт Гёдель, близкий друг и коллега Эйнштейна по Институту перспективных исследований в Принстоне, доказал существование Бога. В отличие от Эйнштейна, чьи религиозные убеждения находились где-то посередине между агностицизмом и пантеизмом (однажды он сказал, что верит в “Бога Спинозы”), Гёдель был не посещающим церковь теистом и, по утверждению его жены, “каждое воскресное утро читал в постели Библию”. Опубликованное им доказательство существования Бога, впрочем, не имело никакого отношения ни к его лютеранским корням, ни вообще к чему-либо, что могло бы найти отклик в душе человека неискушенного. Оно представляло собой плод его изощренного математического ума. Первая строка выглядит так:

Последующие выкладки тоже мало что проясняют. Заканчивается доказательство кульминационным

Для нас, простых смертных, это означает: “Нечто богоподобное безусловно существует”.

Само собой разумеется, доказательство Гёделя не могло остаться неоспоренным. И хотя, записанное в нотации так называемой модальной логики, оно выглядит весьма впечатляюще и строго научно, основано оно на множестве сомнительных и спорных допущений. Совсем иначе обстоит дело с результатами других, более известных исследований Гёделя – прежде всего с его потрясшими мир теоремами о неполноте, о которых мы поговорим чуть позже.

Для разных людей “доказательство” означает разные вещи. Для юриста оно может принимать различные формы в зависимости от типа разбираемого дела и судебного органа. В юриспруденции доказывание по сути сводится к сбору свидетельских показаний и вещественных улик, причем требования к их объему и качеству, необходимые, чтобы убедить судью или жюри присяжных, разнятся при рассмотрении гражданских и уголовных дел. В гражданском процессе решение основывается на принципе большей вероятности: судья вправе признать ответчика виновным, если придет к заключению, что тот “вероятнее всего” нарушил закон или что существуют “обоснованные подозрения”. В англо-американской системе уголовного права обвиняемый считается невиновным, пока его вина не доказана; в этом случае “доказательством” признается не просто высокая вероятность виновности, но виновность “вне всяких разумных сомнений”.

Курт Гёдель.

Ученым-естественникам, как и юристам, чаще приходится иметь дело со свидетельствами, чем с доказательствами. Современные ученые вообще обходятся довольно скромными формулировками и предпочитают не употреблять термины “доказательство” и “истина” в некоем абсолютном смысле. Естественные науки – это в основном наблюдения, выстраивание теорий, наиболее логично объясняющих результаты наблюдений, и последующая проверка теорий дальнейшими наблюдениями и экспериментами. Научные теории носят предварительный характер: это лишь лучший для своего времени способ с помощью доступной информации объяснить, как функционирует окружающий нас мир. Всего одного нового подтвержденного факта, не укладывающегося в теорию, достаточно, чтобы разбить ее в пух и прах. Возьмите хоть гравитацию. Аристотель был убежден, что тяжелые предметы падают с большей скоростью, чем легкие, – ведь если одновременно сбросить с высоты камень и перышко, камень приземлится гораздо быстрее. Потребовалось немало хитроумных экспериментов и почти две тысячи лет, чтобы доказать неправоту Аристотеля. Существует популярная легенда о том, как в 1589 году Галилей окончательно опроверг устаревшие представления о земном тяготении, взобравшись на Пизанскую башню и сбросив оттуда два пушечных ядра разной массы, которые достигли земли одновременно. Скорее всего, такого эксперимента никогда не было: единственный первичный источник, где он упоминается, – это биография Галилея, написанная одним из его учеников, Винченцо Вивиани, и опубликованная спустя годы после смерти автора. Зато мы точно знаем, что Галилей экспериментировал с шарами различной массы, которые он скатывал по наклонным плоскостям, ослабив таким остроумным способом эффекты земного тяготения, что позволило ему более точно измерять скорости, с какими падают тела. Результаты экспериментов Галилея и исследований немецкого астронома Иоганна Кеплера позже были положены Исааком Ньютоном в основу новой теории тяготения. Эту теорию до сих пор преподают в школах, с ее помощью составляют программы полетов космических кораблей по Солнечной системе, и на нее можно положиться почти в любой ситуации, когда требуется оценить гравитационные эффекты. Почти. Проблема в том, что она не всегда дает точный результат. Теория всемирного тяготения Ньютона позволяет с очень хорошей точностью предсказать эффекты гравитации – настолько хорошей, что в обычной ситуации разница между прогнозом и реальностью просто незаметна. И все же это лишь приближение. В 1915 году Эйнштейн обнародовал свою общую теорию относительности – на сегодняшний день нашу лучшую теорию гравитации. Она объясняет то, чего не может объяснить теория Ньютона, например, такие явления, как смещение орбиты Меркурия или отклонение света звезд вблизи Солнца, и ситуации с экстремальным гравитационным притяжением, как вблизи черных дыр. Никто ни на минуту не считает общую теорию относительности Эйнштейна последним словом в изучении гравитации – ведь она не объясняет, как действует притяжение в мире предельно малого, где царствует квантовая механика. Должна быть какая-то теория, объединяющая законы квантового мира и гравитацию, – мы просто пока не смогли ее найти.

Суть в том, что естественно-научную теорию можно опровергнуть или по крайней мере показать, что она не точна, – но вот доказать, что она всегда, при любых обстоятельствах верна, невозможно. Будущие открытия, о которых мы сегодня ничего не знаем, могут даже от самой стройной и убедительной теории не оставить камня на камне. С математикой же все иначе.

Доказательство – основа всей математической науки. В школе этим занимаются нечасто, там акцент больше на решении задач. Но в высшей математике без доказательства никуда, оно – главнейшая цель всех ученых. Математическую теорию возможно доказать так, чтоб не оставить и тени сомнения в ее правильности, и, будучи доказанной, она уже не изменится. К примеру, теорема Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника доказана достоверно: просто немыслимо, что кто-нибудь когда-нибудь ее опровергнет (с оговорками, которые мы обсудим через минуту). Из всех областей знания есть всего две науки – математика и ее близкая родственница логика, – где возможна определенность, не допускающая никаких сомнений.

Так же как и ученые в естественных науках, на начальном этапе математики ищут свидетельства чего-либо, фактический материал – будь то геометрическое правило или закономерность в ряду чисел, – а уже потом выдвигают теорию, объединяющую собранную информацию в единое целое. Но, в отличие от естественных наук, в математике теория не подвергается постоянной доработке на основании новых полученных данных. Сколько бы раз математическая теория ни выдерживала испытания практикой в разных ситуациях и с разными значениями, она не будет признана истинной до тех пор, пока не будет предъявлено ее строгое, безукоризненное доказательство. Сама возможность существования таких доказательств говорит о том, что одних подтверждающих данных, свидетельств, математикам недостаточно.

История доказательств начинается в Древней Греции. До того времени математика служила людям в основном в практических целях: для расчетов, в строительстве и так далее. Существовали арифметические правила, да при работе с фигурами и пространством применялись проверенные опытом методы, но не более того. Понятие доказательства, появившееся около VII века до нашей эры, связано с деятельностью одного из первых известных представителей натурфилософии Фалеса Милетского. Фалес, чьи интересы охватывали почти все области знаний, в том числе философию, естественные науки, инженерное дело, историю и географию, доказал несколько простых начальных теорем в геометрии. Его соотечественник Пифагор, родившийся полстолетия спустя, известен всем гораздо лучше благодаря теореме, носящей его имя. Сам ли он нашел некое доказательство “теоремы Пифагора”, или это сделал кто-то из его последователей, сказать невозможно, поскольку никаких письменных свидетельств о таком доказательстве с тех времен не сохранилось. И вавилоняне, и другие народы знали о существовании правила, гласившего, что квадрат самой длинной стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, и применяли его в строительстве. Но кто первый это доказал и в какой форме, неизвестно. Согласно более поздним научным стандартам, то доказательство определенно должно было быть неформальным. Пифагорейцы также причастны к открытию иррациональных чисел – тех, что невозможно представить как отношение одного целого числа к другому. Корни этой идеи опять-таки проследить трудно, но, согласно мифу, один из членов пифагорейского культа, Гиппас, каким-то образом доказал, что квадратный корень из 2 невозможно выразить в виде дроби. Остальных пифагорейцев это открытие якобы привело в такой ужас, что они утопили Гиппаса, дабы скрыть от всех изъян в своей картине мира. Однако те немногочисленные древние источники, в которых упоминается история с утоплением, либо не называют Гиппаса по имени, либо утверждают, что наказание постигло его за другое богомерзкое преступление – он доказал, что возможно построить додекаэдр внутри сферы.

Математическое доказательство сделало огромный шаг вперед и вплотную приблизилось к той форме, в какой оно известно нам сегодня, благодаря трудам другого грека, Евклида, жившего в Александрии, в Египте, в начале III века до нашей эры. В своих “Началах” он заложил основы современной теории доказательств: некие исходные положения, принимаемые как самоочевидные, сочетаются с пошаговыми рассуждениями, когда каждый шаг, основывающийся на одном или нескольких исходных положениях, логически и неоспоримо вытекает из предыдущего.

“Начала” посвящены в основном геометрии и впервые излагают строгие доказательства многих из геометрических теорем, уже известных в то время грекам. Евклид начинает с перечисления пяти основных посылок, называемых теперь постулатами Евклида: например, “От всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую линию” и “Ограниченную прямую [можно] непрерывно продолжать по прямой”[55]. Эти постулаты, которые сегодня мы именовали бы аксиомами, принимаются настолько очевидно верными, что не требуют доказательства. И даже если бы кто-то взялся их доказать, для этого потребовались бы другие исходные положения. С чего-то ведь все равно надо начинать. Сформулировав постулаты, Евклид приступает затем к рассуждениям, строка за строкой с безупречной логикой выводя каждое новое положение из предыдущего, пока не получит полное доказательство той или иной теоремы. Эти теоремы он использует для доказательства уже следующих, и так далее – упорядоченно и последовательно, позволяя читателю с легкостью отслеживать и проверять ход своих рассуждений[56].

Больше тысячи лет геометрия в том виде, как она изложена в “Началах” (она получила название евклидовой), не вызывала ни у кого вопросов. Но потом у некоторых математиков зародились сомнения в истинности одного из постулатов, на которых зиждется великий труд древнегреческого ученого. Первые четыре постулата Евклида просты, понятны и бесспорны, но пятый, так называемая аксиома параллельности, более сложен и не столь очевиден. У Евклида он сформулирован так: “И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых”[57]. Позже математики нашли способ выразить ту же мысль менее витиевато. Например, шотландец Джон Плейфер предложил такую альтернативную формулировку аксиомы параллельности: “Если дана прямая на плоскости и точка вне этой прямой, максимум одна прямая, параллельная данной прямой, может быть проведена через точку”. Существует и ряд других утверждений, по сути эквивалентных постулату о параллельных прямых; наиболее понятное из них, наверное, то, в котором говорится, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Но независимо от формулировки пятый постулат кажется менее очевидным и более запутанным, чем остальные четыре, а потому многие математики в последующие столетия подозревали, что возможно построить его доказательство с помощью первых четырех. Спустя более тысячи лет после Евклида некоторые арабские математики начали сомневаться в справедливости самого постулата: в их трудах содержатся первые намеки на то, что есть нечто и за пределами геометрии “Начал”.

В первой половине XIX века три математика – венгр Янош Бойяи, русский Николай Лобачевский и немец Карл Гаусс – осознали, что если изъять постулат о параллельных прямых, то получится не ущербная евклидова, а совершенно новая геометрия. Она получила название гиперболической, от греческого слова, означающего “слишком много” (в ней слишком много пространства для евклидовой плоскости). Гиперболическая геометрия характеризуется постоянной отрицательной кривизной (это означает, что гиперболическое пространство одинаково искривлено противоположным по сравнению со сферой образом). В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180 градусов, а теорема Пифагора не выполняется. Это не значит, что евклидова геометрия неверна, а данное Евклидом доказательство теоремы Пифагора ошибочно. При условиях, изложенных в аксиомах Евклида, теорема Пифагора выполняется всегда. Но вот если эти аксиомы меняются, то возникают иные геометрические системы, в которых выполняются другие теоремы. Замена пятого постулата на его отрицание приводит к рождению абсолютно новой геометрии – гиперболической. То же самое происходит в любой математической системе: изменение базовых аксиом открывает новый математический мир, где действуют иные правила. Теорему Пифагора можно доказать, пользуясь набором аксиом – теми самыми пятью постулатами, – что сформулировал Евклид. Но уберите пятый постулат – и вы получите неевклидову геометрию, в которой теорема Пифагора неверна. Математики открыли и еще одну геометрическую систему, где также отрицается пятый постулат, но, кроме того, видоизменяется второй: прямые линии в ней не могут продолжаться бесконечно, поскольку находятся на поверхности сферы. Эта вторая неевклидова геометрия, получившая название эллиптической, была разработана немцем Бернхардом Риманом.

Евклид показал миру, как правильно и точно доказывать математические утверждения. Он также продемонстрировал, что с помощью одного набора аксиом, сформулированных в конкретном разделе математики, возможно охватить всю эту науку. После “Начал” он написал другие труды, в которых применил свои пять постулатов для доказательства других, не относящихся к геометрии теорем. Например, переработав свои постулаты так, чтобы они оказались применимы к теории чисел, он сумел доказать, что существует бесконечно много простых чисел (тех, что делятся только сами на себя и на единицу). Современные математики используют тот же подход – берут аксиомы из одного раздела своей науки и применяют их в разных областях; правда, обращаются они не к геометрии, а к другому, более абстрактному разделу математики, известному как теория множеств.

Родоначальниками теории множеств были (и это не случайно) те же ученые, что стояли у истоков математики бесконечного: немцы Георг Кантор и Рихард Дедекинд, с которыми мы уже встречались в десятой главе. Теория множеств возникла потому, что она способна оперировать как конечными, так и бесконечными числами. Кроме того, в точном соответствии со своим названием она дает математикам теоретическую основу для работы с множествами – наборами объектов, будь то числа, буквы алфавита, планеты, жители Парижа, множества множеств или любые другие, какие только можно выдумать. В мире математики любой волен выбирать, какой набор аксиом положить в основу одного из многочисленных возможных вариантов теории множеств. Так уж сложилось, что система, которой математики сегодня пользуются чаще всего, поскольку она хорошо работает в большинстве ситуаций, – это теория множеств Цермело – Френкеля. К ней добавляют еще одну специальную аксиому, известную как аксиома выбора, и все вместе называют “системой ZFC”[58]. Многие из аксиом ZFC очевидны и не требуют разъяснений: “Два множества, содержащие одни и те же элементы, идентичны” и подобные. А вот аксиома выбора оказалась орешком покрепче. Ее даже провозгласили самой спорной аксиомой со времен евклидова постулата о параллельности.

Упрощая, сформулируем аксиому выбора так: если дан любой набор множеств, всегда возможно выбрать из каждого ровно по одному неповторяющемуся элементу и составить из них новое множество. В повседневных ситуациях это кажется очевидным: например, можно выбрать по одному человеку из каждой страны мира и собрать их в одном помещении. Проблема в том, что не совсем понятно, как это осуществить, если число множеств бесконечно и сами они имеют бесконечный размер. В таком случае сделать необходимый выбор может быть просто невозможно, и тогда аксиома выбора начинает больше походить на произвольно навязанное правило, чем на утверждение, с которым все могут согласиться. И все же, несмотря на это, большинство математиков сегодня охотно принимают аксиому выбора, поскольку она необходима им для доказательства множества важных теорем. Порой ее применение приводит к результатам, кажущимся на первый взгляд совершенно невероятными. Один из них: парадокс Банаха – Тарского, он же парадокс удвоения шара, который мы уже обсуждали в девятой главе и согласно которому шар можно разрезать на конечное число частей, а затем собрать из них две копии того же шара, удвоив таким образом исходный объем. Под “разрезанием” здесь подразумевается абстрактное, математическое разбиение, невозможное в реальном мире. И все равно это больше похоже на колдовство, чем на математику. Тем не менее, если применять аксиому выбора, промежуточные части разрезанного шара можно считать не сплошными кусочками, а своего рода разрозненными “облачками”, не имеющими определенного объема, так что при их сборке легко получить объем, в два раза (или хоть в миллион) превышающий начальный.

Раз математики вольны сами выбирать для себя наборы аксиом, которые им больше нравятся и лучше отвечают поставленным целям, то, казалось бы, ничто не мешает им в конце концов составить такую систему аксиом, что позволит доказать любое общезначимое утверждение в математике. Другими словами, с правильной системой аксиом должно быть возможно доказать все, что математически истинно. У ведущих теоретиков начала XX века не было повода усомниться в такой возможности, и они активно искали доказуемо полную систему математики. Видное место среди них занимал немец Давид Гильберт, известный своими многочисленными достижениями в современной математике и составленным им списком из двадцати трех самых важных не решенных на тот момент математических проблем. В 1920 году он предложил реализовать проект, который бы продемонстрировал, что вся математика основывается на грамотно выбранной системе аксиом и что непротиворечивость такой системы можно доказать. Десятилетие спустя эти надежды рухнули, разнесенные в пух и прах выводами австрийского (а позже американского) математика, логика и философа Курта Гёделя.

В 1931 году, за несколько лет до отъезда Гёделя из Австрии и начала работы в Институте перспективных исследований в Принстоне, где он подружился с Альбертом Эйнштейном, им были опубликованы две сенсационные, шокирующие теоремы – первая и вторая теоремы о неполноте. Если в двух словах, первая из них гласит, что любая математическая система, достаточно сложная, чтобы включать в себя обычную – школьную – арифметику, не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. Полная система – это такая, в которой все, что в нее входит, можно доказать или опровергнуть. Непротиворечивая – значит не содержащая таких утверждений, которые могут быть одновременно и доказаны, и опровергнуты. Как гром среди ясного неба, теоремы Гёделя о неполноте показывали, что в любой математической системе (за исключением самых простых) всегда найдутся утверждения истинные, но недоказуемые. Теоремы о неполноте в каком-то смысле аналогичны принципу неопределенности в физике, поскольку также указывают на существование фундаментального предела познания. И, как и принцип неопределенности, они раздражают и подавляют нас, дразня тем, что реальность – в том числе чисто интеллектуальная – самим своим поведением препятствует полному познанию того, что мы пытаемся постичь разумом. Грубо говоря, они показывают, что истина сильнее доказательства – а это ненавистно, особенно для математика.

Работа Гёделя и его поразительные выводы стали возможны только после того, как математики и логики признали необходимость формализовать математические системы с помощью четко сформулированных наборов аксиом. Путь в этом направлении был указан еще в античные времена Евклидом. Но только во второй половине XIX века, с разработкой теории множеств и математической логики, процесс формализации приобрел необходимую строгость и появилась возможность распространить его на любую систему математики, какую только можно себе представить. Для арифметики, которую мы проходим в школе (что изучает числа натурального ряда: 0, 1, 2, 3, …), аксиоматическое основание разработал итальянец Джузеппе Пеано; оно до сих пор используется математиками почти без изменений. Некоторые из утверждений обычной арифметики, например “2 + 2 = 4”, кажутся настолько очевидными, что непонятно, зачем их вообще доказывать. И все же это необходимо. Тот факт, что они знакомы нам с детства, вовсе не означает, что их можно принимать как сами собой разумеющиеся. В арифметике Пеано утверждения вроде “2 + 2 = 4” доказать очень просто, для этого 2 и 4 представляются в более обобщенной форме – как SS0 и SSSS0 (где S означает successor – элемент, следующий за числом ряда). Несложно в ней и опровергнуть утверждения типа “2 + 2 = 5”. В то же время в ней, как и следовало ожидать, невозможно опровергнуть, что 2 + 2 = 4, или доказать, что 2 + 2 = 5. Но в арифметике Пеано было бы мало толку, если бы она справлялась только с такими простенькими задачками. Ее сила – в способности оперировать гораздо более сложными утверждениями об арифметике. Первоначально математики считали, что с ее помощью можно доказать или опровергнуть любое из подобных сложных утверждений без исключения и весь вопрос лишь в наличии достаточного времени. Гёдель же своей первой теоремой показал, что это не так.

В качестве примера он взял одно из утверждений об арифметике Пеано, которое невозможно было ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой арифметической системы. Он показал, что если это утверждение доказуемо, то оно ложно (а значит, может быть опровергнуто), а если оно может быть опровергнуто, то может быть и доказано. В любом из этих случаев арифметика Пеано, если она полна, оказывается противоречивой. Мы вправе попробовать пойти на уступки: хорошо, пусть система неполна, но ведь должен же быть способ доказать, что арифметика Пеано (или любая другая система) непротиворечива. Увы, вторая теорема Гёделя о неполноте разбивает и эту последнюю надежду, демонстрируя, что любое доказательство непротиворечивости системы (средствами самой этой системы) автоматически доказывает и обратное – что она противоречива. Не все математики, правда, убеждены, что в вопросе непротиворечивости за Гёделем последнее слово.

В 1900 году Гильберт включил доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вторым пунктом в свой знаменитый список нерешенных (на тот момент) проблем. В 1931 году Гёдель своими теоремами, казалось бы, лишил математиков надежды, что эта проблема когда-нибудь будет решена. Но всего несколько лет спустя, в 1936-м, немецкий математик и логик Герхард Генцен, ассистент Гильберта в Гёттингенском университете в 1935–1939 годах, опубликовал статью, в которой доказал непротиворечивость арифметики Пеано – то есть пришел к заключению, вроде бы диаметрально противоположному выводу Гёделя. Однако, в отличие от Гёделя, Генцен не пытался доказать непротиворечивость системы Пеано средствами самой этой системы. Вместо этого он прибег к помощи ординалов с определенными свойствами, в частности одного очень большого ординала (c ним мы уже встречались в десятой главе), названного Кантором “эпсилон-ноль” (ε₀). Это число настолько колоссально, что его невозможно описать средствами арифметики Пеано. Тем не менее, как обнаружил Генцен, его можно использовать для формулировки и доказательства утверждений, которые нельзя доказать в арифметике Пеано, – в том числе утверждения о непротиворечивости самой этой системы.

Методику Генцена можно расширить и применять для доказательства непротиворечивости многих других систем, при условии что удастся построить достаточно большой ординал. Более того, как выяснилось, всякая математическая система характеризуется определенной “силой”, числом, которое показывает, какие ординалы могут быть выражены в этой системе, а какие нет. Например, так называемый теоретико-доказательственный ординал арифметики Пеано равен ε₀, то есть в ней можно выразить любой ординал, меньший эпсилон-нуля, но не сам эпсилон-ноль. У более объемных математических систем теоретико-доказательственный ординал больше. У системы ZFC он неизвестен. Зато благодаря Генцену известно, что систему ZFC можно усилить “аксиомами больших кардиналов” и описывать тогда с ее помощью кардинальные числа, намного превышающие все, что выразимо в ZFC, а это ведет к созданию еще более сильных систем с еще бо́льшим (но тоже неизвестным) теоретико-доказательственным ординалом.

Математики все еще расходятся во мнениях относительно второй проблемы Гильберта: возможно ли доказать, что арифметика непротиворечива? Одни разделяют вывод Гёделя и считают, что это невозможно в принципе, другие склоняются к точке зрения Генцена, предложившего частичное доказательство. Как бы то ни было, этот вопрос не затрагивает сути теорем Гёделя: что в рамках любой математической системы (такой, например, как арифметика Пеано или ZFC) возможно сформулировать неразрешимые утверждения. Можно, конечно, судить об истинности или ложности таких утверждений, используя средства другой системы (как это сделал Генцен, усилив простую арифметику ординалами), но мы все равно не будем знать, является ли эта другая система непротиворечивой. Нам остается только принять ее за таковую.

Прошло три десятка лет после публикации в начале 1930-х годов теорем о неполноте, а примеров неразрешимых утверждений у математиков было раз-два и обчелся, не считая слишком уж искусственных, вроде тех, что сам Гёдель использовал в своем доказательстве. А затем произошел настоящий прорыв, и причиной его стало предположение, тревожившее умы математиков с того самого момента, как его в 1873 году выдвинул Георг Кантор. Это предположение – континуум-гипотеза, с которой мы уже встречались в десятой главе. Она гласит, что число алеф-один (ﬡ₁) – мощность множества всех счетных ординалов – равно также мощности множества всех действительных чисел; другими словами, что действительных чисел (или точек на линии) столько же, сколько счетных ординалов. Если континуум-гипотеза истинна, значит, не существует множества, которое по мощности занимало бы промежуточное положение между множествами целых чисел и действительных чисел. Сам Кантор не сумел доказать это предположение, хоть и бился над ним бо́льшую часть жизни, чем, возможно, и подорвал свое психическое здоровье. Гильберт придавал континуум-гипотезе такое большое значение, что поставил ее на первое место в своем списке двадцати трех важнейших проблем. Лишь в 1963 году благодаря работе американского математика Пола Коэна был прояснен – если не окончательно определен – статус континуум-гипотезы. Коэн доказал, что в рамках ZFC (а они не так уж тесны!), самой широко используемой аксиоматической системы в современной математике, континуум-гипотеза неразрешима. Он обнаружил, что возможно сконструировать два различных набора аксиом, каждый из которых будет включать в себя все аксиомы ZFC и обладать внутренней непротиворечивостью, таких, что в одном из них континуум-гипотеза будет истинна, а в другом – ложна. Проще говоря, средствами системы ZFC континуум-гипотезу можно как доказать, так и опровергнуть – все зависит от того, какие дополнительные правила мы применим. Если же использовать ZFC в чистом виде, без дополнительных аксиом, невозможно ни то ни другое.

Подобная неразрешимость обнаруживается, как мы уже видели, даже в гораздо более простой евклидовой математике. Многие из начальных теорем Евклида, в том числе все первые 28 утверждений его “Начал”, не опираются на пятый постулат – тот, согласно которому параллельные прямые никогда не встретятся. Эти теоремы принадлежат к системе, ставшей известной как “абсолютная геометрия”: основанной на том же наборе аксиом, что и евклидова геометрия, за исключением пятого постулата. В абсолютной геометрии теорема Пифагора неразрешима, поскольку в евклидовой геометрии она верна, тогда как в неевклидовой (например, гиперболической), основанной на тех же аксиомах, но без постулата о параллельности, – неверна. Аналогично существуют аксиомы, добавление которых к системе ZFC позволяет как опровергнуть континуум-гипотезу (скажем, аксиомы форсинга), так и доказать ее (например, аксиома внутренней модели). В общем, континуум-гипотеза доказуемо неразрешима существующими сегодня методами. Даже используя мощнейший, охватывающий всю математическую науку инструментарий современной теории множеств, разрешить ее невозможно. Однако математика продолжает развиваться и расширяться – и надежда, что новые методики, такие как использование аксиом больших кардиналов, позволят найти решение, все еще теплится.

Самое известное из (до самого последнего времени) недоказанных утверждений в математике – это Великая (или Последняя) теорема Ферма. Название, к слову, не очень удачное, поскольку она не только не была последней из тех теорем, над которыми работал Пьер де Ферма, но и, строго говоря, вообще не была теоремой в том виде, в каком ее сформулировал великий француз. В более ранних работах она называлась точнее – гипотезой Ферма. “Последней” ее называют потому, что она была обнаружена лишь через тридцать лет после смерти математика его сыном Самюэлем в виде заметки, оставленной на полях одной книги из библиотеки ученого – “Арифметики” Диофанта. Формулируется утверждение очень просто: уравнение xⁿ+ yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых числах для значений n, превышающих 2. При n, равном 2, существует бесконечное число решений, например 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Но если, настаивал Ферма, n равно 3 или больше, решений нет вообще. “Я открыл этому поистине чудесное доказательство, – написал он (на латыни), – но эти поля для него слишком малы”[59].

Гравюра с портретом Пьера де Ферма.

Надо сказать, что Ферма был математиком поистине великим и в просчетах замечен не был. Ни в одном из опубликованных им доказательств не обнаружилось ошибок. Опровергнута была всего одна из его гипотез, причем Ферма и не утверждал, что может ее доказать. Так что же, его загадочный комментарий на полях был шуткой? Может, он таким образом бросал вызов современным ему и будущим математикам, пытаясь подтолкнуть их к поискам доказательства? Или же доказательство у него и правда было и ему действительно просто не хватило места, чтобы его изложить? История подсказывает, что последнее маловероятно: несмотря на многочисленные попытки решить проблему, никому в последующие столетия не удалось найти умеренно лаконичного доказательства. Лишь в 1995 году, через 358 лет после того, как Ферма начертал на полях свою дразнящую воображение заметку, его гипотеза была наконец переведена в разряд доказанных теорем, а потребовавшийся для этого математический арсенал по своей сложности намного превышал все, что было доступно в XVII веке.

Заслуга доказательства теоремы принадлежит британскому математику Эндрю Уайлсу, который “заболел” гипотезой Ферма в десятилетнем возрасте, впервые прочитав о ней по дороге из школы домой в книге, взятой в местной библиотеке. Почти четверть века спустя он всерьез занялся поиском доказательства. Эта работа привела его в область математики, связанную с эллиптическими кривыми и гипотезой Таниямы – Симуры, которую в 1957 году сформулировали японские математики Ютака Танияма и Горо Симура. Уайлс объявил о том, что нашел доказательство Великой теоремы Ферма, во время лекции в 1993 году, но впоследствии в нем был обнаружен изъян, и только два года спустя, уже почти отчаявшись исправить ошибку, Уайлс наконец представил миру безупречное доказательство, решившее вопрос окончательно и бесповоротно. Хотя Великая теорема Ферма – одна из самых известных сложных математических проблем, ее решение не так уж существенно для математики. Она, например, не была включена в составленный Гильбертом список кардинальных проблем. Зато гипотеза Таниямы – Симуры устанавливает важные взаимосвязи между, казалось бы, совершенно различными областями математики.

Доказательства, подобные найденному для Великой теоремы Ферма, непросты потому, что они мудреные и требуют поистине творческих прорывов. Другие сложны в основном из-за того, что трудоемки и немыслимо затратны по времени. Так называемая теорема о четырех красках, которая гласит, что любую карту можно раскрасить всего четырьмя красками так, чтобы ни в одном месте граничащие друг с другом регионы не оказались одного цвета, была впервые сформулирована в 1852 году в письме Огастеса де Моргана, первого профессора математики недавно открытого Университетского колледжа Лондона, своему другу, ирландскому математику Уильяму Гамильтону. Ограничения задачи: каждая из областей на карте должна быть связной; все области должны лежать на плоскости; граничащими друг с другом считаются области, имеющие общий участок границы, стык в одной точке не считается. Как выяснилось, доказать это совсем не просто. Одни теоретические выкладки – уже не подарок, но основная трудность была даже не в них, а в огромном количестве вариантов, требующих проверки. И вот, после более чем ста лет работы и изучения всех возможных карт, математикам удалось свести число уникальных конфигураций к 1936. Однако для проверки даже такого количества вариантов ни одиночному исследователю, ни группе ученых не хватило бы жизни, поэтому для обработки данных задействовали компьютеры. Наконец в 1976 году теорема о четырех красках была доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета и все перепроверено с помощью различных программ и компьютеров.

Несмотря на скрупулезную проверку Аппелем и Хакеном результатов компьютерной обработки данных, проделанная ими работа вызвала бурный протест ряда математиков и философов, утверждавших, что “машинное” доказательство либо нелегитимно, либо ненадежно, поскольку его невозможно проверить вручную. Споры о том, допустимо ли использовать компьютеры для доказательства теорем, не прекращаются и сегодня – из-за опасений получить неверный результат, если вдруг компьютер даст сбой или в программное обеспечение закрадется ошибка. И все же в силу необходимости этот подход получает со временем все большее распространение и признание. Сколько-то развеять сомнения скептиков позволят появившиеся недавно “системы автоматического доказательства теорем” – программы-верификаторы, приводящие доказательства к некоему стандартному виду и проверяющие их на ошибки.

Раздел математики, известный своими чудовищно длинными доказательствами, – теория Рамсея. Суть ее в том, что при раскраске элементов любого множества в нем неизбежно появляется некоторый порядок. Одна из проблем теории Рамсея носит название “булева проблема пифагоровых троек”. В ней спрашивается, возможно ли каждое из положительных целых чисел покрасить либо в красный, либо в синий цвет таким образом, чтобы ни одна из пифагоровых троек (чисел a, b и c, удовлетворяющих условию a² + b² = c²) не оказалась окрашена в один цвет. В мае 2016 года Марин Гейле, Оливер Кульман и Виктор Марек представили доказательство невозможности такой раскраски. Чтобы его получить, потребовалось два дня работы одного из самых быстродействующих компьютеров в мире, Stampede, расположенного в Техасском центре перспективных вычислительных систем, а объем файла с доказательством составил 200 терабайт. Чтобы просто с ним ознакомиться, человеку потребуется 10 миллиардов лет (примерно столько проживет суммарно наше Солнце), а чтобы проверить – и того больше. Впрочем, вполне вероятно, что в будущем нас ждут доказательства еще длиннее. Один из возможных претендентов на рекорд – теорема Рамсея для n = 5. Известно, что, как бы вы ни раскрасили в два цвета ребра графа с 49 вершинами, обязательно найдется пять таких вершин, что все соединяющие их ребра окажутся одного цвета. Известно также, что для 42 вершин это утверждение неверно. Но вот найти доказательство для минимального числа вершин, при котором это условие уже выполняется, – задача для математиков, вооруженных еще более мощными вычислительными системами.

* * *

Математика, вопреки бытующим представлениям о ней, – это бесконечное захватывающее путешествие в самые странные, невероятные и необжитые миры, в какие только может проникнуть человеческий разум. Она лишь притворяется скучной и приземленной, поскольку выросла из хорошо знакомого – из простых подсчетов и незатейливых фигур. Она начиналась как орудие купца, землепашца, строителя храмов и пирамид, помогала следить за временами года и наблюдать за небесными телами. Однако ничего приземленного в ней нет. Она пронизывает все аспекты реальности, куда мы погружены, и образует неосязаемую инфраструктуру, которая определяет поведение всего, что нас окружает, – от мельчайших частиц до Вселенной в целом.

Значительную часть своей жизни мы проживаем в твердой уверенности, что все, что мы ежедневно видим и ощущаем, буднично и заурядно. Но ничего подобного. Ядра большинства атомов, из которых мы состоим, сплавлены в горнилах гигантских звезд: наши тела почти в буквальном смысле сотканы из звездной пыли. Так что, глядя в ночное небо, мы видим те пространства, откуда в конечном счете появились. Наше повседневное существование невозможно без энергии солнечного света, накапливаемой химическими веществами в организмах, эволюционировавших из других, более простых, которым каким-то образом удалось зародиться на поверхности молодой пустынной планеты. Все окружающее нас пространство-время возникло спонтанно около 14 миллиардов лет назад из невообразимо крохотной точки и сейчас мчится в будущее, о котором мы еще почти ничего не знаем. Девяносто пять процентов всего вещества и энергии во Вселенной существует в виде темной материи и темной энергии, природа коих остается для нас загадкой. И всеми этими удивительными явлениями, всем, что разворачивается перед нашими глазами, – от субмикроскопического до космического масштаба – управляет незримая длань математики.

Случается, мы обнаруживаем, что тот или иной раздел математики, который мы разработали ради чистой науки, без всякой мысли о том, сможет ли он принести какую-то пользу, с поразительной точностью описывает поведение материалов при определенных условиях или последствия столкновения субатомных частиц на скоростях, близких к скорости света. Безумные экскурсы в самые непроходимые дебри топологии, высших измерений и фрактальных поверхностей оборачиваются вполне реальными практическими применениями в технологиях, физике, химии, астрономии и музыке. Биение нашего сердца, сложнейшая структура наших легких, возбуждение нейронов головного мозга при каждой мысли (в том числе и прямо сейчас) – все это опирается на уравнения и подчиняется строгим законам математической логики.

И пусть порой нам кажется, что математика оторвана от реального мира, – она с нами всегда, во всем, что мы видим и делаем. Бывают моменты, когда жизнь кажется нам обыденной и однообразной. Но оглянитесь вокруг: мы в самом центре знаменательных событий и явлений, и за всем этим вихрем созидания стоит удивительная и странная наука, имя которой – математика.

Выражаем свою благодарность Агустину Райо (Массачусетский технологический институт), Адаму Элге (Принстонский университет), Уинфриду Хенсингеру (Университет Сассекса) и Эндрю Баркеру за чтение рукописи и советы по ее улучшению. Спасибо редактору Сэму Картеру и помощнику редактора Джонатану Бентли-Смиту (издательство Oneworld), а также всем специалистам, занимавшимся оформлением и подготовкой книги к печати, чей талант помог сделать ее реальностью. Благодарим также Т. Дж. Келлехера, Кэрри Наполитано, Элен Бартелеми и их коллег в издательстве Basic Books, работавших над американским изданием.

Агниджо благодарит мисс Ханну Янг, миссис Ивонн О’Брайен и мисс Хелен Трис – педагогов, всегда вдохновлявших и мотивировавших его, – а также сотрудников Академии Гроув в Броти-Ферри за одобрение и поощрение. Больше всего он признателен родителям и младшему брату за то, что во всем его поддерживали.

Как всегда, Дэвид в своей работе полагался на поддержку бесконечно терпеливой супруги Джилл, детей и внуков. Кроме того, он всегда будет благодарен своим родителям за все, что они для него сделали.

Визгин В. П. “Догмат веры” физика-теоретика: “предустановленная гармония между чистой математикой и физикой” // Проблема знания в истории науки и культуры. СПб.: Алетейя, 2001. – Здесь и далее прим. перев., если не указано иное.

Чтобы это увидеть, можно, например, почитать книгу Математическая составляющая / Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. 2-е изд., расш. и доп. М.: Фонд “Математические этюды”, 2019. – Прим. науч. ред.

Кафаров В. В., Ветохин В. Н. Основы автоматизированного проектирования химических производств. М.: Наука, 1987.

Термин “чистая математика” приписывают Годфри Харолду Харди, который считал, что математика, “чистая” от приложений, является самой красивой, а прикладная математика “тривиальна”, “уродлива” или “скучна”. – Прим. науч. ред.

Уэллс Г. Машина времени. Остров доктора Моро. СПб.: Азбука-Аттикус, 2018.

Цитируется по изданию: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1981.

В русском языке для многомерных политопов устоялось название из стереометрии – “многогранник” (или еще “полиэдр”), так как математики называют многомерные ячейки гранями. – Прим. науч. ред.

Эбботт Э. Э. Флатландия. М.: Мир, 1976.

Хинтонъ С. Г. Четвертое измѣренiе и эра новой мысли. Петроградъ: Книгоиздательство “Новый человѣкъ”, 1915.

Центральный уголовный суд Англии и Уэльса. Здание суда традиционно носит название улицы, на которой оно расположено.

По состоянию на январь 2020 года известных нам знаков числа пи уже 50 триллионов. – Прим. науч. ред.

Септиллион – это триллион триллионов, или 10²⁴. – Прим. науч. ред.

От англ. frequency – “частота”.

Борхес Х. Л. Вавилонская библиотека. Рассказы. Харьков: Фолио, 1999.

Одно из крайне интересных свойств снежинки Коха состоит в том, что, подобно береговой линии Великобритании, образующая ее кривая имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает точно вычисляемую конечную площадь (ведь снежинку Коха можно полностью поместить в круг, а значит, ее площадь заведомо ограничена). – Прим. науч. ред.

Глик Дж. Хаос. Создание новой науки. М.: Corpus, 2020.

О притяжении и отталкивании рядом с множеством Жюлиа, с более подробным введением в теорию комплексных чисел, см.: Долбилин Н. Множества Жюлиа. Квант. 2008. 1: 9–14. – Прим. науч. ред.

Петцольд Ч. Читаем Тьюринга. М.: ДМК Пресс, 2016.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые считал важнейшими в математике. Эти задачи, называемые проблемами Гильберта, оказали существенное влияние на математику XX века. На настоящий момент полностью решены 12 из них (если не считать нескольких, в которых формулировка оказалась слишком расплывчатой для создания математического утверждения). – Прим. науч. ред.

Это одна из семи “задач тысячелетия”, определенных Математическим институтом Клэя в 2000 году. За решение любой из них назначено вознаграждение в миллион долларов. Пока единственная решенная задача из этой семерки – знаменитая гипотеза Пуанкаре, доказанная Григорием Перельманом в 2002–2003 годах. От премии Перельман отказался. – Прим. науч. ред.

От англ. Boolean Satisfiability Problem.

От англ. Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman.

Уже 291 311. – Прим. науч. ред.

26 – по числу букв в алфавите, в данном случае английском.

Пока самый большой квантовый компьютер оперирует 53 кубитами. Он построен IBM. – Прим. науч. ред.

“Песни космоса” (англ.).

“Темная энергия” (англ.).

От лат. quinta – “пятая”; quarta – “четвертая”; tertia – “третья”.

Однострунный инструмент для построения музыкальных интервалов.

Гарднер М. 1000 развивающих головоломок, математических загадок и ребусов для детей и взрослых. М.: АСТ, Астрель, 2010.

Зато в более поздней работе (Doolittle E. L. et al. Overtone-based pitch choice in hermit thrush song: unexpected convergence with scale construction in human music. Proceedings of the National Academy of Sciences. 2014. 111: 16616–16621) было показано, что в песнях дрозда-отшельника частоты относятся друг к другу как небольшие целые числа и укладываются в гармонический ряд. Это аргумент в пользу того, что пение человека имеет не только культурные, но и биологические корни. – Прим. науч. ред.

Ундециллион – это триллион триллионов триллионов, или 10³⁶. – Прим. науч. ред.

Не меньшей неожиданностью стало и доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре. – Прим. науч. ред.

И действительно, этот промежуток между числами в 2014 году был сокращен до 246 (а при некоторых предположениях о верности специфичных гипотез – даже до 6). – Прим. науч. ред.

Каспаров Г. Шахматы как модель жизни. М.: Эксмо, 2007.

Ливио М. Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса. М.: АСТ, 2016.

Хаксли О. Двери восприятия. СПб.: Азбука-классика, 2007.

Пейн Т. Избранные сочинения. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959.

Фигура речи (фр.).

Богомолов С. А. Актуальная бесконечность (Зенон Элейский и Георг Кантор). Пб.: Academia, 1923.

От англ. cardinal (“количественный”).

От англ. ordinal (“порядковый”).

Архимед. Сочинения. М.: ГИФМЛ, 1962.

Реньи А. Диалоги о математике. М.: Мир, 1969.

А у древних славян – “тьмой”.

Сриниваса Рамануджан Айенгор – знаменитый индийский математик-самоучка.

От англ. tree – “дерево”.

В вольном переводе с английского – “Испеки большое число”.

“Дуэль больших чисел” (англ.).

Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Просвещение, 1969.

Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М.: Логос, 2002.

В современной математике теорию графов нельзя считать разделом топологии. – Прим. науч. ред.

Справедливости ради отметим, что с точки зрения самого базового понятия “деформируемости” в топологии – гомотопической эквивалентности – и лента Мёбиуса, и цилиндр эквивалентны окружности. Однако можно определить деформацию и так, чтобы эти объекты были различны, то есть не деформируемы один в другой (например, используя гомеоморфность, обсуждаемую далее). – Прим. науч. ред.

Среди российских математиков последними универсалами считаются Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд. – Прим. науч. ред.

Начала Евклида. М., Л.: ГИТТЛ, 1948.

И все же Евклид не был абсолютно строг: гораздо позже были обнаружены некоторые утверждения, например так называемая теорема Паша, которые неявно использовались Евклидом в “Началах”, однако не являются следствиями его аксиом. – Прим. науч. ред.

И все же Евклид не был абсолютно строг: гораздо позже были обнаружены некоторые утверждения, например так называемая теорема Паша, которые неявно использовались Евклидом в “Началах”, однако не являются следствиями его аксиом. – Прим. науч. ред.

От англ. Zermelo – Fraenkel set theory with the axiom of Choice (“теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора”).

Цитируется по изданию Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.