Меня пригласили на ужин в дорогой ресторан: предполагалась встреча с генеральным директором крупной социальной сети и его женой. Я нервничала, оказавшись за столом роскошного ресторана, типичного дорогого заведения Кремниевой долины, размышляя, что принесет этот вечер. Организовать встречу помог один из моих друзей, который был знаком с женой генерального директора. Друг знал о моей деятельности по улучшению преподавания математики и решил, что пообщаться с таким руководителем будет полезно. После нескольких лет жизни и работы в Кремниевой долине я поняла, что подобная коммуникация – часть структуры этого региона и одна из причин развития инноваций и роста производительности.

Начало ужина обескураживало. Раньше я не сталкивалась ни с чем подобным: генеральный директор вел себя так, словно больше за столом никого не было. Он постоянно разговаривал по телефону с коллегами и деловито составлял рабочие планы, вынув из портфеля стопку рабочих документов. Такое поведение, намеренное или нет, заставляло всех нас ощущать собственную незначительность. Его жена выглядела смущенной и раз за разом бросала взгляд в сторону импровизированного офиса мужа на углу нашего стола. Это продолжалось, пока не принесли еду, и директор вынужденно закончил работу. В середине ужина он признал мое существование. Оторвав глаза от еды, генеральный директор пристально посмотрел на меня и с неодобрением спросил: «Значит, вы считаете, что преподавание математики стоит менять?»

Без малейшей паузы он принялся рассказывать, как хорошо у него было с математикой, перечисляя свои многочисленные достижения в школе и в колледже. В этот момент я поняла, что разговор будет непростым. Я многие годы пыталась улучшить преподавание этого проблемного у многих предмета и знала, что люди, добившиеся в нем успеха, обычно считают, что ничего менять не нужно. В их представлении математика – дело сложное, а их собственные успехи доказывают их блестящие способности. Но вам следует знать обо мне одну вещь: я готова бороться за то, что считаю реальными проблемами, с которыми сталкиваются многие учащиеся. Я решила познакомить директора с другой математикой.

Рис. 1.1. Автор демонстрирует предложенную Рут Паркер модель увеличивающихся фигур, которая показана на рис. 1.2.

Я рассказала, что нейробиологи установили, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные, и почему важен тот факт, что при математическом мышлении мы задействуем различные участки мозга, особенно зрительные пути. Он согласился взглянуть на диаграммы, которые я часто использую при знакомстве с новыми людьми. Я выбрала одну из своих любимых, предложенную преподавателем математики Рут Паркер (рис. 1.1 и 1.2).

Рис. 1.2. Модель увеличивающихся фигур Рут Паркер.

Обычно такие диаграммы используются, чтобы учащиеся задумались о закономерностях увеличения числа клеток и сумели выразить их с помощью алгебраических символов. На уроках математики ученикам часто задают вопросы по типу: «Сколько квадратиков будет на фигуре 10? А на фигуре 100? А на фигуре n?» Это хорошие вопросы, которые становятся намного понятней, когда задействовано визуальное мышление. Обычно преподаватель ожидает, что ученики нарисуют таблицу с числами, а затем будут глазеть на нее, пока не заметят какую-нибудь связь. Здесь можно обнаружить числовую закономерность: чтобы найти количество квадратиков фигуры, достаточно взять ее номер (например, 2), прибавить к нему единицу (3), а затем возвести это число в квадрат и получить 9. Прибавление единицы и возведение суммы в квадрат позволяет найти общее количество квадратиков в любой из фигур. Алгебраически эту закономерность можно выразить как (n + 1)².

Выражение (n + 1)² является квадратичной функцией. Когда ученики работают подобным образом – манипулируют числами и символами без связей и смысла, – они упускают важные возможности для понимания математических функций. На своих занятиях я не спрашиваю, сколько квадратиков в разных фигурах. Вместо этого я говорю: «В каком месте, по-вашему, увеличивается фигура? Где вы видите на ней новые квадратики?» Именно эти вопросы я и задала в тот вечер генеральному директору.

Количество квадратиков в каждой фигуре

Его ответ удивил меня. Дело не в том, что генеральный директор не видел способ роста; он видел и мог его описать: новые квадраты находились на верху каждого столбца. Другие люди называют это методом «дождя»: квадраты добавляются к фигуре сверху, словно капли, падающие с неба. На рисунке 1.3 показан не только этот метод, но и другие способы, как люди воспринимают рост фигуры на диаграммах.

Но, объяснив свое восприятие, директор задал мне вопрос, который мне не доводилось слышать раньше. С искренней растерянностью в голосе он спросил: «А разве не увеличение размеров разными способами. все видят это именно так?» Я не стала отвечать ему «нет», а просто попросила всех людей за столом сообщить, как они видят увеличение фигуры. Оказалось, что все наблюдают рост по-разному. Директор выглядел все более шокированным, словно ему никогда не приходило в голову, что в математике существует не одно ви́дение. Он недоуменно покачал головой. Мы завладели его вниманием.

Рис. 1.3. Люди видят и описывают

Чтобы продвинуться дальше в математике, очень важно изменять вопросы. Когда ученики сталкиваются с узким числовым вариантом и смотрят на таблички с числами, устанавливая закономерности и подбирая алгебраические выражения, они могут прийти к (n + 1)², но они не понимают, почему это выражение работает или что оно означает. Когда мы спрашиваем учеников, каким образом они воспринимают рост фигуры, это способствует более глубокому пониманию такой функции. Они могут визуально проследить, что количество квадратиков растет как квадрат, который всегда на единицу больше, чем номер фигуры. Нагляднее всего это демонстрирует последний метод на рисунке 1.3. Вот почему мы можем описать рост как (n + 1)².

Далее, в процессе ужина, я рассказала об интересующей меня ценности математического разнообразия, которое вытекает из важных нейронаучных исследований. Термин разнообразие означает различие, множественность. В этой книге я буду использовать термин математическое разнообразие для различных способов, с помощью которых мы можем смотреть на математику и изучать ее, подобно тому, как мы оперируем понятием «разнообразие людей» (расовое, культурное, социальное или любое другое). Я также буду говорить о ish-математике[1], чтобы описать способ восприятия этого предмета, который мы используем в реальном мире и который может стать мощным инструментом для развития мышления студентов. Принятие этих концепций математического разнообразия и ish-математики – это ключ к богатому пониманию математики, который в равной степени значим для всех, независимо от образования, пола, расовой или этнической принадлежности и так далее.

Исследования показывают, что разнообразие учащихся является важнейшим фактором для сотрудничества, решения проблем, сопереживания, успехов и многого другого¹. Ученые также пришли к выводу, что, когда математика воспринимается как предмет, на который можно смотреть по-разному и искать различные решения, это приводит к более высокой успеваемости, большей мотивации и удовольствию². Эти два аспекта разнообразия (математическое и человеческое) самостоятельны, но при этом прекрасно сочетаются, усиливая и поддерживая друг друга. Если мы хотим ценить то, что люди думают по-разному, и поощрять это, нам следует отказаться от узкой математики – той единственной, которую знает подавляющее большинство. Напротив, мы должны принять математическое разнообразие.

В тот вечер генеральный директор был поражен многоплановым подходом, которого часто не хватает в школах и домах – а это серьезно ухудшает отношения людей с математикой. Некоторые люди могут добиться успеха, используя узкую одномерную версию математики, но даже они упускают весь спектр и силу этой науки. Когда люди вовлекаются во все многообразие, это меняет восприятие информации, с которой они сталкиваются, – числовой, пространственной или связанной с данными.

Я профессор Стэнфордского университета, однако начинала карьеру с преподавания математики в лондонских школах. Сначала работала учительницей в Хаверстоке – средней школе в районе Камден-таун в центре Лондона³. Камден – колоритный и красивый, но недостаточно обеспеченный район; большинство учеников здесь происходят из семей, получающих материальную помощь для аренды жилья, и имеют право на бесплатное школьное питание. Когда я преподавала в Хаверстоке, ученики говорили более чем на сорока разных языках. Удивительное разнообразие.

Окончив Лондонский университет, я пошла работать в школу, преисполненная идей, каким образом показывать ученикам красоту и радость математики. Школьникам в классе было по тринадцать лет, и их только что разделили на группы по способностям. Мне досталась самая слабая – группа 4. Здесь я познакомилась с дерзкой ученицей Сью: позже я узнала, что она была на грани исключения из школы. Она открыто в школе Хаверсток (Лондон). не соглашалась с некоторыми идеями учителей, из-за чего ее часто отстраняли от уроков. В мой первый рабочий день Сью с фирменным нахальным выражением лица и блеском в глазах громко спросила: «А нам-то это зачем?»

Рис. 1.4. Мой первый день преподавания

Я медлила с ответом. Будучи новичком на своем первом в жизни уроке, я не знала, что сказать. Вопрос школьницы был вполне обоснован. В британской системе ученики, оказавшиеся в низких группах, могут получить на экзаменах только низкие оценки. Самая высокая оценка, на которую школьники из моего класса могли претендовать на государственных экзаменах, предстоявших через три года, – D[2]. Для большинства профессий и получения высшего образования требуется оценка C или выше. Если ученики слышат странный громкий звук в момент попадания в низкие группы, то это, вероятно, звук захлопывающихся дверей – дверей, которые могли бы вести к более светлому будущему. В тот момент я решила, что буду обучать Сью и ее ровесников на более высоком уровне. Через три года Сью получила оценку, необходимую для карьеры, и решила учиться звукорежиссуре. Сейчас она владеет и управляет крупными музыкальными и развлекательными компаниями на Бали.

Когда Сью впервые оказалась у меня на уроке, она полагала, что не способна к математике. Ей приходилось преодолевать трудности как дома, так и в школе – включая то, что ее отнесли к самой слабой группе. Несмотря на это, она смогла преуспеть в этой науке, а вместе с тем и изменить свою жизнь. Позже она рассказывала в прессе, что до достижений в математике она считала, что никогда в жизни не добьется каких-либо значимых результатов.

За прошедшие с тех пор годы я учила многих людей тому же, чему учила школьников в Хаверстоке, – подходу к математике, который ведет к успеху. Все начинается с математического разнообразия – признания ценности разных способов смотреть на математику и думать о ней. Уже одно это способно превратить школьный предмет из узкого, негибкого занятия в разнообразный, доступный и динамичный опыт. Это также подразумевает «ish»-подход к математике, но подробнее о нем я расскажу позже.

Многие знают не понаслышке, какой вред наносит отсутствие математического разнообразия в школьной системе. Я называю это узкой математикой. В рамках этой концепции задачи имеют лишь один подходящий метод и единственный ответ.

Они всегда числовые, никогда не привлекают визуальные образы, объекты, движения или творчество. Большинство людей сталкивались только с узкой математикой – именно поэтому в нашей стране так много учеников, испытывающих страх перед этим предметом⁴. Один из примеров отрицательного влияния такого подхода мы можем найти в системе колледжей. В примечательной статье в New York Times журналист Кристофер Дрю рассказал, что каждый год учащиеся поступают в колледжи с четырехлетним обучением, намереваясь изучать одну из дисциплин STEM – естественные науки (Science), технологию (Technology), инженерию (Engineering) и математику (Mathematics)⁵. Однако после окончания вводного курса, который Дрю описывает как «вихрь анализа[3], физики и химии», ошеломительные 60 % меняют выбранную дисциплину. Дрю цитирует Дэвида Голдберга, заслуженного профессора инженерии, который называет это «маршем смерти[4] в математике и естественных науках».

Дрю приводит в пример Мэтью, который в старшей школе[5] занимался анализом, прошел пять курсов углубленного изучения математики и набрал 800 баллов по этому предмету в тесте SAT[6]. Он поступил в колледж, намереваясь стать инженером, и надеялся встретить интересный материал, на который можно смотреть под различными углами. Как будущий инжеи естественных науках (Лондон). нер, Мэтт ожидал, что занятия будут полностью прикладными. Вместо этого его заставляли заучивать уравнения и формулы, учеба ограничивалась лишь теоретической частью. Парень настолько разочаровался узкими способами подачи материала, что сменил свою основную специальность, выбрав психологию, где студенты могли высказывать свои идеи и рассматривать одну и ту же концепцию по-разному.

Рис. 1.5. Марш смерти в математике

Узкая математика не только отталкивает талантливых школьников от программ STEM, но и оказывает разрушительное воздействие на студентов, которым необходимо сдавать математику для продолжения образования – вне зависимости от выбранного направления. Примерно 40 % американских учащихся поступают в общественные колледжи[7], где им приходится сдавать тесты по материалам курса Алгебра 2[8]. 80 % этих людей вынуждены посещать коррекционные курсы[9] по математике, которые часто подают материал таким же образом, как в средней школе, – опираясь лишь на теоретическую базу, быстро и неструктурированно. В Калифорнии свыше 170 000 учащихся направляются на коррекционные курсы по математике, причем более 110 000 не справляются с ними или бросают их, из-за чего не могут продолжить обучение в колледже⁶.

Узкая математика лишает надежды и мечты миллионы студентов колледжей. Это не только проблема для молодежи, но и серьезная угроза для американского общества, ставящая под сомнение будущее экономики, развитие науки, техники, медицины и искусства⁷. Действительно, эти факты настолько драматичны, негативны и значимы, что я удивлена, почему они не побудили федеральные власти и власти штатов принять меры по запрету узкой математики, изгнав ее из старшей школы и колледжей.

Проблема, на которую указывают приведенные факты о колледжах с двух– и четырехлетним обучением, существует во всех классах, начиная с детского сада и заканчивая колледжем: очень немногие учащиеся испытывают удовольствие от предлагаемой там математики, которая представляет собой узкую, обедненную версию этой дисциплины. По мере того как школьники переходят из класса в класс, математика становится все более узкой, и эта узость отражается на уменьшающемся количестве успешных учеников⁸.

Если же мы расширим подход к математике, соглашаясь с тем, что любую математическую мысль или концепцию можно рассматривать множеством способов, то есть преподавать математику с разнообразием, мы раскроем этот предмет для гораздо большего числа учеников⁹.

Еще в самом начале своей карьеры я знала, что существует более успешный способ преподавания и изучения математики. Но активно начала распространять эти идеи примерно десять лет назад, с появлением новой нейронауки об обучении, которая продемонстрировала, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные¹⁰. Когда я делюсь идеями с другими людьми, я не просто сообщаю абстрактные результаты нейронаучных исследований; я преобразую эти результаты в форму, показывающую их значение для изучения математики и – более широко – для отношений с ней.

Эти идеи способны трансформировать процесс учебы и поэтому невероятно полезны для родителей, учителей и учеников. Более того, они меняют и то, как люди применяют, казалось бы, школьный предмет в своей жизни. Математика может оказаться секретным оружием, невероятным инструментом, которым способен воспользоваться каждый из нас, однако зачастую мы делаем это недостаточно эффективно.

Если вы хотите жить полной жизнью, максимально используя математический объектив, через который можно рассматривать мир, я приглашаю вас повысить свою мощность, подходя к математике и жизни посредством математического разнообразия и ish-математики.

Идеи, которые я излагаю в этой книге, помогли не только тем, кто плохо успевал по математике. Я уже много лет учу студентов в Стэнфорде, и у большинства из них плохие отношения с этим предметом. Они достаточно успешно усваивают материал, но воспринимают его как набор процедур, которые нужно исполнять в быстром темпе. Когда я показываю им, что математика может быть прямой противоположностью – комплексом взаимосвязанных творческих идей, которые можно медленно обдумывать, – они удивляются и приходят в восторг¹¹. Студенты говорят мне, что никогда не захотят вернуться к той узкой, основанной на скорости математике, которую они знали раньше.

Лишь немногие видят и воспринимают разнообразие математики, тогда как последствия плохого преподавания реальны для миллионов людей по всему миру. В большинстве стран от 10 до 40 % взрослых не разбираются в математике и стараются ее избегать¹². Они оказываются в уязвимом положении всякий раз, когда им нужно прочитать график, диаграмму, таблицу или набор цифр. Многие из них живут в бедности, а неравенство в системе образования и обществе лишает их возможности учиться и улучшать свою жизнь. К сожалению, именно те люди, которым больше всего нужны математическая уверенность и знания, часто не имеют доступа к хорошему математическому образованию, поэтому перед ними закрыты многие карьерные пути¹³. Освоение математики может помочь молодежи выбраться из нищеты и обеспечить им полноценную жизнь¹⁴.

Плохие отношения с математикой у многих людей складываются не только из-за отсутствия разнообразия на уроках, но и потому, что она чаще всего используется для выставления оценок. Математика – самый перегружаемый тестами предмет в учебной программе, и к ней нередко обращаются для ранжирования учеников, а порой и для определения их ценности как людей. Ученики зачастую даже не думают о математике как таковой; они могут думать лишь об оценках по ней. Еще хуже то, что такое тестирование обычно включает выхолощенные узкие вопросы, на которые нужно отвечать за строго фиксированное время.

Такие узкие тесты на скорость вряд ли сформируют у кого-либо позитивное отношение к предмету. Тестирование по математике – это испытание процедурами. Те, кто справляется с подобной задачей, получают в награду встречу с настоящей математикой – игрой с идеями и установление связей между ними. Однако сочетание монотонных действий, давления и постоянного оценивания ведет большинство людей к убеждению, что математика – это страшно и неприятно.

Если вы родитель или учитель, чьи ученики сталкиваются с подобными проблемами, у меня есть хорошие новости: вы не одиноки, и эта книга поможет вам. Важная информация на ее страницах поможет детям не только встать на увлекательный математический путь, но и обрести надежду, найти радость и облегчение в описанном разнообразном подходе к этой дисциплине. Даже если вы взрослый человек со сложившимися хорошими отношениями с математикой, эта книга будет вам полезна, поскольку в ней обсуждаются новые исследования подхода, без которого не обойтись в современном мире. На протяжении долгих лет я работала с множеством людей, которые смогли изменить свои отношения с математикой, осознав, что проблема не в них, а в системе. Когда изменилось их взаимодействие с математикой, обнаружилось, что жизнь стала лучше¹⁵.

Один из математических навыков, которому я вас обучу, – умение упрощать сложные математические задачи. Большинство людей не подозревают, как это делать, или думают, что это «не разрешается». Они полагают, что обязаны решить задание в исходном виде. Однако видоизменять математические упражнения действительно полезно, причем не только в школе, но и в жизни, когда перед нами встают серьезные проблемы. Иной взгляд на математику – это новый ракурс, который можно использовать для чего угодно, и как только вы освоите эту суперспособность, ваше мышление изменится навсегда. Я также научу вас применять имеющиеся у вас знания и устанавливать связи с другими фактами. Если это звучит загадочно, не беспокойтесь и читайте дальше, потому что в следующих главах все прояснится.

Культура математических достижений в школах стала для меня очевидной несколько лет назад, когда я проводила опрос прохожих на улицах Сан-Франциско (Калифорния). Я тогда разрабатывала один из своих первых онлайн-курсов и приехала в город в прохладный день, прихватив с собой пару аспирантов и несколько фотоаппаратов¹⁶.

Я просила встреченных людей просто описать мне математику. Однако все они отвечали на совершенно другой вопрос. Один за другим они начинали рассказывать, насколько хорошо у них шли дела с предметом, – по сути, люди описывали свою успеваемость и даже ранжировали себя.

Поражала эмоциональность, с которой прохожие рассказывали о своем опыте – успешном или нет. Ни один человек не пояснял математику; все опрошенные излагали свой собственный путь из успехов или неудач. В этом и заключается вред культуры успеваемости: она лишает людей права наслаждаться математическими идеями и повышать свой потенциал¹⁷. Вместо этого большинство воспринимает математику исключительно в качестве инструмента для ранжирования, оценивания и разделения.

Причиняет вред не только избыточное тестирование; культура тестирования сочетается с традиционным неверным представлением о математике как о наборе операций и правильных или неправильных ответов. То, что эти аспекты идут бок о бок, не случайность. Чтобы создать тестовые вопросы, учитывающие разнообразный подход к математике, оценивающие мышление у учащихся, творческие способности и умение решать задачи, нужно потрудиться и приложить определенное воображение. Ни крупные издательства, выпускающие учебники по математике, ни разработчики приложений, ни компании, занимающиеся тестированием, никогда не занимались подобным делом. Они любят узкую, процедурную математику, потому что бездумные вопросы легко воспроизводить на сотнях тысяч страниц учебников, а тесты легко проводить. Однако движущей силой математического образования должно быть что-то иное.

Итак, пока у нас на сцене невзгод присутствует два злодея: чрезмерное тестирование и ложное представление о математике как о наборе процедур. Эти два злодея достаточно плохи, но им помогает третий: коварный «математический мозг» («математический склад ума»).

На протяжении веков многие верили, что одни люди рождаются с «математическим умом» и способны успешно освоить математику, другие же лишены этого дара. Часто такие идеи сочетались с сексистскими, расистскими и прочими дискриминационными представлениями о том, кто обладает этими особыми «талантами»¹⁸. Однако последние десять лет (или около того) вполне определенно показали, что «математического склада ума» не существует, а мозг человека постоянно развивается, строит новые связи[10] и изменяется¹⁹. Эти выводы подкрепляются нейронаучными исследованиями, демонстрирующими невероятный рост мозга после коротких вмешательств²⁰. Это также доказывают люди, которые испытывали проблемы в первые школьные годы (и даже получали ярлык нуждающихся в особых занятиях), но в дальнейшем достигли высочайшего математического уровня – вплоть до получения докторской степени по прикладной математике в Оксфордском университете²¹.

Эти три злодея – математический ум, процедурный подход к дисциплине и избыточное тестирование (а вдобавок еще и определенное системное неравенство) – работают абсолютно синхронно и порождают ужасный опыт, от которого мало кто оправляется. Мало того, некоторые из тех, кто пережил этот кошмар (обычно богатые и влиятельные личности), противостоят тем, кто пытается изменить ситуацию, стремясь сохранить сложившийся порядок вещей. Они ведь выдержали, почему бы не заставить и других пройти тем же путем? Я отказываюсь уступать этим людям, и мое постоянное сопротивление принесло мне за эти годы несколько боевых ран²². По завершении последнего проекта – я участвовала в создании новой системы обучения математике в штате Калифорния – на меня обрушился шквал писем с ненавистью и угрозами от группы людей, стремящихся дискредитировать мои исследования и работу²³. Я продолжаю эту борьбу и по сей день, потому что знаю, что математику можно воспринимать совершенно иным, прекрасным образом – через разнообразие, через многоплановый подход. И когда люди смотрят на математику под другим углом, даже в рамках жесткой культуры успеваемости, пронизывающей учебные заведения, они получают удовольствие от нее и добиваются высоких результатов²⁴.

К счастью, не все люди, добившиеся успеха в нынешней системе преподавания математики, сражаются за ее сохранение в прежнем виде. Я рада сотрудничать с выдающимися математиками, инженерами и учеными, которые понимают, что нам нужны кардинальные изменения в методах преподавания и изучения этого предмета²⁵. Юджиния Ченг – один из математиков, которыми я восхищаюсь, – посвятила бо́льшую часть своей карьеры попыткам изменить представления людей о том, чем является и чем может быть математика. Она точно подмечает, что мы не уделяем достаточно времени тому, чтобы дарить молодежи радости математики; вместо этого мы стараемся научить их прыгать сквозь непонятные обручи, поощряем запоминать методы и правила, которые, вероятно, мало помогут им в жизни, а то и вовсе не пригодятся²⁶.

Есть много причин для того, чтобы думать о математике по-другому. Важное исследование в этой области провел Лан Чэнь, нейробиолог и профессор Университета Санта-Клары²⁷. Уже давно известно, что учащиеся с положительным отношением к учебе добиваются более высоких результатов²⁸. Позитивный подход снижает тревожность, повышает мотивацию и увеличивает настойчивость учеников²⁹. Чэня интересовало более детальное изучение этой взаимосвязи, чтобы выявить задействованные неврологические механизмы и факторы, способствующие или препятствующие оптимистичному настрою.

Профессор и его коллеги пришли к выводу, что отношение учащихся к математике – положительное или отрицательное – коррелирует с их успеваемостью по этому предмету (но никак не связано с другими дисциплинами). Исследования учитывали также показатель IQ³⁰ испытуемых, их возраст, рабочую память[11] и наличие/отсутствие страха перед математикой³¹. Оказалось, что положительное отношение напрямую связано с активностью гиппокампа – точнее, с активацией правой и левой его областей. Это действительно важно, потому что многие люди – как относящиеся к научному миру, так и за его пределами – полагают, что их отношение не связано с математическими когнитивными способностями, что за них отвечают какие-то другие, неопределенные части мозга. Однако гиппокамп – одна из самых математических областей мозга, играющая важную роль в обучении и пространственном ориентировании. Возможности гиппокампа напоминают Google; нейробиолог Сиэн Байлок называет его «поисковой системой разума»³². Мы можем включить этот механизм у учеников, если начнем уделять больше времени тому, чтобы они получали удовольствие от занятий математикой, избавленной от тестов, оценок и других факторов, мешающих успеваемости. Чэнь обнаружил, что восприятие математики меняет гиппокамп, а значит, меняется и способ функционирования вашего мозга во время учебы³³. На получение знаний уходит много денег и сил, но почти никто не обращает внимания на тот важный факт, что огромный рост успеваемости (и не только) происходит, когда меняется отношение и ощущения учащихся, формируется их математический образ мышления.

Ученые выяснили, что, когда людям, испытывающим боязнь математики, задают какие-нибудь математические вопросы, в их мозгу возбуждается тот же самый центр страха[12], который активируется при виде змей и пауков³⁴. Существуют доказательства, что страх и тревога выводят из строя отдельные части нашего мозга, в том числе гиппокамп, что снижает эффективность обучения. И наоборот, позитивное мышление активизирует те же самые важные части мозга, что приводит к хорошей учебе и более высокой успеваемости. Уже один этот факт должен заставить отказаться от использования в математических классах методов, вызывающих тревогу, и поощрять подход, который формирует положительное отношение к математике. Именно так мы обучаем школьников средних и старших классов в летних лагерях, организованных Стэнфордским университетом, – результат налицо³⁵.

Первый летний лагерь, где мы преподавали, предназначался для учеников средней школы. Тесты успеваемости продемонстрировали, что за четыре недели, проведенные с нами, они получили прирост, эквивалентный 2,8 года обучения в школе³⁶. Школьники изменили образ мышления, поверили в собственный потенциал, наладили отношения с математикой. Сочетание этих перемен проявило всю свою мощь.

Результаты настолько впечатляли, что опытные педагоги из моей команды центра Youcubed в Стэнфорде начали проводить семинары для других учителей, чтобы они могли создавать аналогичные лагеря³⁷. Исследование, проведенное в десяти школьных округах США, показало такие же положительные результаты в успеваемости³⁸. Учащиеся не только добились значительного прогресса в результатах к окончанию лагеря, но и по возвращении в свои школы существенно повысили оценки GPA[13] по математике в следующем семестре по сравнению с учениками, не поехавшими в лагерь³⁹. Что же в этих лагерях настолько изменило траекторию обучения? Они научились тому подходу к математике, о котором я расскажу в этой книге.

Мои собственные знания о подходах к образованию, которые меняют опыт учащихся, черпаются из нескольких различных источников. Я учусь у нейробиологов из Стэнфорда, с которыми работаю: за последние годы они сделали невероятные и важные открытия и объяснили, как наш мозг обрабатывает математическую информацию⁴⁰. Я также прохожу обучение по когнитивной психологии у специалистов, исследующих, каким образом люди учатся. Такие ученые, как Кэрол Дуэк, Андерс Эрикссон и Джим Стиглер, написали книги, в которых изложили бесценные знания из области психологии⁴¹. Однако из многолетней практики преподавания я знаю, что, хотя эти нейроученые и психологи предлагают крайне важные концепции, их потенциал максимально раскрывается только в сочетании со знаниями, которыми обладают педагоги. Ведь именно педагоги имеют полное представление об обучении в школе и дома, и именно специалисты в сфере образования изучают разные учебные среды, чтобы понять влияние различных подходов к преподаванию и обучению. Понимание математики – это базовая форма грамотности, которая необходима каждому человеку, и этого может добиться каждый. В этой книге я делаю то, чего никогда не делала раньше: объединяю важнейшие идеи ученых в единую модель преподавания и изучения.

Именно эта методика, которую я и другие использовали в течение последних нескольких лет, обеспечила значительный и долговременный рост успеваемости⁴².

Популярные книги по математическому образованию описывают устройство и способы организации школьных кабинетов, которые могут оказаться продуктивной средой для развития мышления и обучения школьников и полезными для учителей, но зачастую ничего не упоминают о создании важных математических отношений⁴³. Эти отношения важны – между взрослыми и учащимися, между самими учащимися, с самими собой. Я знаю, что позитивные математические отношения возникают благодаря двум важным направлениям работы: одно из них включает трансформацию той математики, с которой люди имеют дело, – от узких вопросов к широким, приветствующим разнообразие творческих идей; другое включает поощрение уважительных сотруднических отношений между людьми. Эта книга содержит информацию о способах достижения обеих целей и вдохновляющие примеры людей, которые прошли этот путь и добились потрясающих результатов.

Я надеюсь, что идеи, изложенные в этой книге, помогут вам и тем, с кем вы работаете, сформировать прекрасные отношения с математикой. Кем бы вы ни были – родителем, учащимся, педагогом или просто человеком, который хотел бы улучшить свои взаимоотношения с этой дисциплиной, – я приглашаю вас встретиться или заново познакомиться с двумя понятиями, которые оживут на следующих страницах: математическим разнообразием и ish-математикой. Эти идеи рождаются, когда разнообразие, обеспечиваемое разными людьми и идеями, сочетается с той версией математики, которая достаточно открыта и «ish-на», чтобы извлечь пользу из этого разнообразия. Если вы по-настоящему познакомитесь с этой версией, она изменит вас. Возможно, после этого, если вас когда-нибудь остановят на улице и попросят описать математику, вы расскажете не о своем неприятном опыте или оценках, а о том, как она освещает ваш мир.

Оказывается, есть большая разница в изучении математики у людей, более способных к ней и менее. Первые достигают высоких результатов не потому, что родились какими-то особенными, а потому, что знакомы с некоторыми идеями и методами работы, о которых я расскажу в этой главе. Обычно о них узнают от друзей или членов семьи, поскольку в школьной системе подобные вещи обсуждают редко. Но когда у учащихся появляется информация, позволяющая им иначе взглянуть на математику, их пути обучения меняются.

Важно, что другому, более успешному подходу к пониманию математики вполне можно научиться. И эффект такого измененного подхода выходит за рамки одной науки: исследования показывают, что методы и представления, которые способствуют повышению успеваемости учащихся, одновременно способствуют улучшению их жизни. Измененный подход начинается с метакогнитивных действий, которые позволяют людям легче решать проблемы, формулировать мысли и задавать вопросы, мотивировать себя, выстраивать лучшие отношения и повышать успешность своей работы. Воздействие на учеников впечатляет: они получают огромный прирост в результатах, причем это преимущество распространяется на все возрастные группы и все предметы.

В ходе своего сотрудничества с педагогами я обнаружила, что, по мнению большинства людей, метапознание (метакогнитивные процессы) – это процесс размышления о собственном мышлении. Я предпочитаю воспринимать его как изучение процесса обучения, как приобретение навыков эффективности в жизни. Метапознание играет важную роль в развитии креативности, независимости, саморегулирования, гибкости и способности решать сложные проблемы. Несмотря на доказательства влияния методов метапознания на учебу и успеваемость, они редко применяются на уроках математики. Я сомневаюсь, что такие идеи регулярно поощряются на работе или дома. Подобное отсутствие мета-когнитивного обучения имеет серьезные последствия для долгосрочного успеха человека в математике и за ее пределами. К счастью, существует определенный набор стратегий, доступных любому человеку. Рассказывая о них в этой главе, я приглашаю вас в метакогнитивное путешествие, которое улучшит не только вашу учебу, но и жизнь в целом.

В 1979 году профессор психологии из Стэнфорда Джон Флейвелл разработал теорию метапознания (метакогнитивных процессов), и с тех пор исследователи изучают ее влияние⁴⁴.

Приставка «мета–» происходит от греческого слова μετα, означающего «после, за», так что метапознание подразумевает важные процессы, выходящие за рамки мышления, – такие как планирование, отслеживание и оценивание. Флейвелл описывает метапознание как совокупность знаний о себе, о поставленной задаче и о стратегиях, поэтому неудивительно, что оно способствует решению задач, поддерживает математическое разнообразие и повышает эффективность работы⁴⁵. В этой главе я поделюсь стратегиями, которые помогут вам сформировать метакогнитивный взгляд и многоплановый подход к математике, чтобы вы могли применить их при чтении книги.

В 2015 году широкомасштабная Международная программа по оценке образовательных достижений учащихся (PISA) исследовала подходы к обучению у 15 миллионов человек и их связь с успеваемостью по математике. Результаты показали, что худшие показатели были у учеников, опиравшихся исключительно на запоминание. Самые высокие результаты продемонстрировали те, кто придерживался «реляционного» подхода или метода «самоконтроля»⁴⁶: они либо старались находить связи между идеями (смотрите главу 6), либо стремились следить за своей учебой. Оба метода являются квинтэссенцией метакогнитивного подхода. Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), которая занимается проведением тестов PISA по всему миру, разработала «компас обучения 2030», определяющий «знания, навыки, установки и ценности, которые необходимы учащимся для реализации своего потенциала и внесения вклада в благополучие своих сообществ и планеты в целом»⁴⁷. Метакогнитивные навыки занимают центральное место в этих рекомендациях, предназначенных для того, чтобы сформировать людей, которые эффективно функционируют в обществе и могут внести значимый вклад в его развитие.

Джон Хэтти – специалист по метаанализу (методу, когда объединяется несколько различных научных исследований, а полученные результаты имеют широкую применимость). Хэтти провел новаторское исследование, рассматривавшее различные подходы в образовании, для каждого из которых определялся размер эффекта. Размер эффекта – это величина, отражающая степень взаимосвязи между двумя переменными. Чтобы понять, насколько сильно различные подходы влияют на успеваемость, Хэтти изучал связь между ними в образовании и успеваемостью учащихся. Он проанализировал 138 различных образовательных подходов, упоминаемых в 70 000 исследований, которые охватывали 300 миллионов учеников, и обнаружил, что средний размер эффекта (определяемый в виде коэффициента d Коэна) для различных подходов составил 0,40. Чтобы понять, какие подходы стоит использовать, он сравнил эффективность всех существующих относительно этой величины. Один из подходов сильно выделялся среди остальных размером эффекта 1,33: учащиеся составляли отчеты о своем прогрессе. Среди других подходов, показавших высокую результативность, оказались дискуссии на занятиях (0,82), использование метапознания (0,75) и изучение методов решения проблем (0,68). Среди подходов, которые отличались столь низким уровнем влияния, что не оправдывали применения, оказались индивидуализированное обучение (0,23), системы внешней отчетности (которые я рассматриваю как навязанные тесты!) (0,31) и распределение по способностям (0,12)⁴⁸. Метаанализ Хэтти обобщает результаты тысяч исследований, поэтому из него нельзя почерпнуть подробности, как применяются те или иные подходы, однако он дает полезные с точки зрения статистики подсказки, каким методикам отдать предпочтение.

«Метапознанием» именовалась только одна из категорий, однако то действие, которое оказывает наибольшее влияние – учащиеся сообщают о своем прогрессе, – весьма метакогнитивно; ниже в этой главе я расскажу о некоторых способах предоставления ученикам такой важной возможности.

Когда я работаю с учителями, я часто сталкиваюсь с тем, что они, может, и осознают ценность метакогнитивного подхода, но не знают, каким образом развить его у себя или своих учеников. В следующем разделе я расскажу о некоторых наиболее эффективных методах, которые я использовала сама или наблюдала, как применяют другие, а также о реакции тех, на ком их опробовали. Не будет преуменьшением сказать, что потенциал многих учащихся раскрывается после изучения стратегий.

Говорите о ценности метапознания Логичным началом метакогнитивного обучения является рассказ о важности различных способов взаимодействия со знаниями, которые доступны всем нам. Влияние метапознания на успеваемость учащихся показывают многие исследователи⁵⁵. Важно доносить до учащихся, что существуют разные способы взаимодействия с математикой (и не только с ней!) и что выбор подхода действительно имеет значение.

Донна Уилсон и Маркус Коньерс являются специалистами в сфере нейробиологических подходов к обучению, и одна из их стратегий для учеников помладше – предложение нарисовать собственный «мозговой автомобиль»: они говорят школьникам, что те способны «управлять своим мозгом»⁵⁶. Ученики могут представлять, что ведут свой автомобиль, уклоняясь от отвлекающих факторов или возвращаясь задним ходом, чтобы потом двинуться в другом направлении.

Но сообщение о важности метакогнитивного подхода принесет пользу только в том случае, если мы при этом будем поощрять любые способы становиться метакогнитивными личностями – различные возможные стратегии и способы мышления и общения. Я рекомендую сначала объяснить людям важность метакогнитивного подхода, а затем помочь им освоить ряд метакогнитивных стратегий.

За годы работы мне посчастливилось учиться у нескольких замечательных преподавателей математики, которые развивали подобного рода способности учащихся. Один из таких преподавателей – Карлос Кабана. Он применяет методы, помогающие развивать метакогнитивные способности учащихся при обсуждении как в классе, так и во внеурочное время. С примера Карлоса мы начнем рассмотрение различных метакогнитивных подходов, которые можно внедрить в жизнь и делиться ими.

Поощрение метапознания через обсуждение

Я знакома с Карлосом Кабаной и восхищаюсь им уже много лет, и мне посчастливилось изучать его подход к преподаванию в нескольких школах. Когда я встретилась с учениками школы Рейлсайд – городской средней школы, где Карлос работал с Лизой Джилк, – я увидела старшеклассников, которые весьма эффективно решали задачи, потому что преподаватели научили их успешно работать сообща⁵⁷. Если ученики понимали, что кто-то в их группе не приносит пользы или плохо работает, они приглашали его поучаствовать в обсуждении; когда ученики не знали, как подступиться к решению задачи, они начинали задавать друг другу наводящие вопросы – например, «о чем спрашивается в этом задании?». В процессе решения школьники пробовали применять различные стратегии, в ходе которых приходили к согласию⁵⁸. Я уверена, что многие учителя (или менеджеры компаний), понаблюдав за классами в школе Рейлсайд, поразились бы умению учеников работать независимо от учителей и слаженности их работы. Не сомневаюсь, что освоенная учениками практика согласованной работы сыграла свою роль в их успеваемости, которая существенно превышала успеваемость в более стандартных школах, с которыми я имела дело⁵⁹.

Помимо того, что школьники Рейлсайда учились эффективно решать задачи, они также обучались «отношенческому равенству» – форме равенства, которая заключается не в равных результатах тестов, а в уважительных отношениях между учениками⁶⁰. Одна из важнейших целей, которую мы должны ставить перед учениками, стремящимися стать гражданами нашего разнообразного мира, – это уважение к своим товарищам, независимо от их расы, класса, пола, успехов или любой иной формы различий⁶¹.

Уже в первую неделю своих занятий с шестиклассниками Карлос продемонстрировал, как педагоги могут поощрять вдумчивое метапознание у своих учеников. Наблюдать за преподавателем в первую неделю учебного года всегда невероятно познавательно, ведь именно в это время они устанавливают те стандарты, которые будут действовать в их классах в течение всего учебного процесса⁶². Когда я наблюдала за Карлосом на его первом уроке в шестом классе, мне стало ясно, каким образом его ученики пришли к осознанному и эффективному применению метакогнитивного подхода для решения задач. Я впервые обратила внимание на то, что каждое его указание школьникам являлось приглашением к метакогнитивному размышлению.

В классе Карлоса

Карлос начал свой урок с того, что предложил нарисовать на доске прямоугольник из двенадцати квадратиков. Поскольку для шестиклассников это было первое задание по математике в этом году, Карлос четко осознавал необходимость уважать мышление учеников, демонстрировать глубокое понимание, ясность и доброту. Добровольцем вызвалась Ана, став первой школьницей, выступающей перед классом в этом году. Пока она выходила к доске, Карлос обратился к остальным: «Что собирается делать Ана?» Некоторые ответили: «Нарисовать двенадцать квадратиков». Карлос отреагировал следующим вопросом: «А какая еще есть информация? Помимо уже упомянутых квадратов. Что-то еще?»

Возможно, это кажется стандартным взаимодействием, но на самом деле это весьма необычно. Прежде чем Ана что-то сделала, Карлос пригласил школьников поразмышлять над тем, что она собирается нарисовать, причем в деталях. Это метакогнитивное предложение поразмышлять над математическим процессом. Если ученики не проявляли достаточной конкретики, Карлос подталкивал их к более развернутым размышлениям. Пока девочка готовилась нарисовать прямоугольник, Карлос обратился к классу с важным заявлением. Он объявил всем остальным шестиклассникам, что у них есть особая роль во время работы Аны: проявлять уважение и обдумывать возможные вопросы для нее, чтобы потом все они могли «как следует обсудить эту работу».

Тем самым Карлос попросил учеников подумать над собственным поведением и способами взаимодействия с идеями выступающего человека. Он стремился привнести метапознание в процесс слушания. Примечательно, что он указал, что, даже если Ана даст правильное решение, остальные школьники должны поучаствовать в обсуждении ее действий, задавая разумные вопросы. Все учителя знают, что, когда кто-то выступает перед классом, остальные часто отключаются и теряют концентрацию. Чтобы воспрепятствовать этому, Карлос предлагает ученикам определенную роль, прося их придумать вопросы для человека у доски.

Когда Ана начала рисовать прямоугольник, Карлос попросил ее говорить вслух и пояснять свои мысли. Это еще одно важное метакогнитивное задание.

Ана нарисовала прямоугольник и произнесла: «Двенадцать». Карлос немедленно отреагировал: «Откуда ты знаешь, что двенадцать?» Это очень важный вопрос. Когда мы спрашиваем человека: «Откуда ты знаешь, что ответ верный?», это подталкивает его порассуждать о своем решении – что является важнейшей математической деятельностью. Карлос старательно работает над тем, чтобы расширить представления школьников о том, что значит действовать математически, и добавить подобные рассуждения в арсенал их инструментов, чтобы в будущем они могли успешно решать любые математические задачи. Когда Ана сообщила, что она посчитала до двенадцати, Карлос ответил: «Это хорошая стратегия. У кого-нибудь есть другое решение?». В таком высказывании одновременно содержится оценка подхода Аны и указание ученикам, что существуют другие методы и что он, как учитель, ценит их.

Позже на этом уроке Альфонсо нарисовал на доске другой прямоугольник, в котором было больше двенадцати квадратов. Затем школьник заявил, что он неправильный, и перечеркнул его крест-накрест (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Неправильный «двенадцатиквадратиковый» прямоугольник Альфонсо.

В ответ Карлос задал вопрос: «Откуда ты знаешь, что он неправильный? Почему ты его зачеркнул?» Альфонсо застыл у доски, нервно глядя на свой неверный рисунок. Карлос поднялся, одобрительно сказав: «Ты проделал отличную работу, и я хочу услышать, что происходило в твоем мозгу». Сначала Альфонсо пришибленно ответил «неважно», но Карлос упорно продолжал объяснять, что ход мыслей Альфонсо очень важен и если он сможет объяснить, что было неверно, то тем самым продвинет вперед весь класс.

В такие моменты Карлос доносил до учеников одну важную вещь. Он относился к ошибке точно так же, как к верной работе: выражал интерес к математическому рассуждению, спрашивал, почему оно неправильное, исследовал этот математический процесс и придавал ему важность. Он также постарался похвалить Альфонсо. Такой способ оценить ученика и его математическое мышление – важный момент урока. Альфонсо отреагировал на поощрительные слова Карлоса и верно объяснил, что считал тройками, и нарисовал прямоугольник, площадь которого равна 12 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Исправленный прямоугольник Альфонсо.

Позже Карлос пояснил мне, что оба школьника, выступавшие первыми, относились к числу нуждавшихся в особом образовательном подходе, и он пришел в восторг от проявленной ими смелости. Он отметил, что в те первые минуты главное, что требовалось от него как учителя, – защитить их и оценить их математическое мышление, вне зависимости от того, правильное оно или нет.

Не менее важным было и продолжение занятия, поскольку Карлос предложил шестиклассникам рассказать о своих методах нахождения двенадцати квадратиков. Несколько школьников сказали, что для получения двенадцати используют умножение, и на большинстве уроков на этом разговор бы и закончился. Однако Карлос задержался на этой математической операции, спросив: «Почему?» Некоторые ученики ответили, что умножение применяется потому, что оно быстрее, или потому, что оно дает ответ. Это не удовлетворило преподавателя, поскольку он желал, чтобы ученики концентрировались на математическом процессе. В ходе обсуждения Карлос семь раз задавал классу вопрос «почему?», пока один из школьников в конце концов не объяснил, что «каждый ряд – это группа из трех квадратов, а всего рядов четыре». В эти моменты Карлос демонстрировал, что ему важен математический процесс и понимание того, почему он работает, и что ученикам отводится важная роль – искать более глубокий смысл. Вопрос «почему?» – один из тех, что все мы можем применять при взаимодействии с другими людьми.

Гектор проиллюстрировал процесс умножения, обведя части прямоугольника, соответствующие нужным числам (рис. 2.3), и Карлос похвалил его, сказав, что такое объяснение и кодирование помогло людям увидеть ход мыслей друг друга.

Рис. 2.3. Объяснение Гектора, откуда взялось число 12.

Затем Карлос рассказал о важности такого кодирования, сказав, что его используют технические писатели[15], а «технические писатели – это люди, которые хорошо зарабатывают».

Карлос закончил урок ободряющими словами: «Мы будем решать много задач на площадь. Если вы освоили этот материал, вы в отличной форме. Если пока не разобрались, это не значит, что вы какие-то не такие. Не нужно паниковать или нервничать, просто продолжайте работать с заданиями подобного рода, и когда-нибудь все получится».

Тем самым Карлос просил учеников вспомнить ту математику, с которой они только что имели дело – нахождение площади с помощью мультипликативного мышления, – в простой, но содержательной форме, одновременно давая понять ученикам, что им необходимо знать этот материал, но если у них пока есть проблемы, это нормально, поскольку возможности потренироваться у них еще будут.

Таким образом Карлос предложил ученикам перейти от аддитивного мышления (сложение) к мультипликативному (умножение), что является важным математическим процессом. Для этого он задействовал восемь различных типов метакогнитивного мышления. Он попросил учеников уважительно слушать, высказывать вслух, заранее продумывать то, что выступающий собирается сказать, рассматривать различные стратегии, осознавать ценность ошибок, размышлять, почему методы работают, обращать внимание на цветовое кодирование и «технические чертежи», а также возвращаться к уже пройденному материалу. На протяжении всего этого обсуждения Карлос находился в той же части помещения, что и школьники, – чтобы показать ученикам, что они должны обмениваться идеями друг с другом, а не только с Карлосом.

Развитие метакогнитивного мышления у вас или ваших учеников – важный шаг на пути к формированию математического образа мышления, открытости к рефлексии и разнообразию. Родители, учителя и люди, совместно решающие задачи, могут организовывать подобные беседы, поощряя метакогнитивное мышление у других людей. Ключевым приглашением – другим или себе – является вопрос «почему?». Когда люди задумываются о том, почему они выбрали тот или иной метод, или почему данный метод или правило работает, или почему они выбрали конкретную бизнес-стратегию, они погружаются в более глубокую, более рефлексивную зону мышления.

Для учителей особенно ценны обсуждения всем классом – они поощряют и подчеркивают метакогнитивные действия и стратегии для всех без исключения.

Шестиклассники Карлоса добились очень высоких результатов в будущем: они получили серьезную работу и поступили в различные колледжи, включая Стэнфорд и Калифорнийский университет. Одна ученица, будучи одиннадцатиклассницей, даже заняла место в школьном совете, а впоследствии стала членом Совета по образованию штата Калифорния.

Возможно, самыми важными инструментами в арсенале метакогнитивных личностей являются стратегии, которые применяются при решении математических задач. В ряде исследований подчеркивается, что они зачастую определяют разницу между теми, кто счастливо изучают математику и добились успехов в целом, и менее успешными людьми⁶³. Я считаю многие из этих стратегий суперсилами, поскольку они позволяют людям быть счастливыми, хотя и не особо известны.

1. Сделайте шаг назад

Первая стратегия, полезная во всех сферах, заключается в том, чтобы сделать шаг назад и поразмыслить, что эта проблема от вас требует. Это может показаться очевидным, но большинство людей при чтении вопросов и задач по математике полагают, что нужно либо отвечать сразу, либо сдаваться. Когда ученики Карлоса Кабаны обращаются к нему за помощью, не зная, как подступиться к какой-нибудь задаче, он просит их озвучить проблему.

«О чем спрашивается в этой задаче? Скажите это вслух».

Когда после этого школьники озвучивают проблему, они нередко сразу же добавляют: «О, я знаю, что делать», словно повторение вопроса вслух запускает математическое мышление. Это одна из причин, почему важна совместная работа учащихся в группах: они получают возможность описывать проблемы и обсуждать их друг с другом.

Хорошо бы задать и следующее: «О чем этот вопрос?» Это шире и приглашает к метакогнитивному мышлению.

Я знаю, что распространенная стратегия обучения – учить школьников обращать внимание на ключевые слова при решении математических задач. Например, преподаватели предлагают ученикам искать в математических задачах слово «еще», наводящее на сложение чисел, а, допустим, глаголы «разложить», «разрезать» ассоциируются с делением.

Я вовсе не считаю, что ключевые слова продуктивны, и вот почему: на самом деле нам нужно, чтобы ученики понимали смысл задач и задумывались: «О чем меня здесь спрашивают?» Когда школьники сосредоточены на поиске ключевых слов, они не замечают общую картину и упускают общий смысл; ровно наоборот: они надеются, что ключевое слово подтолкнет их к использованию конкретного правила или метода. Такой подход не только приводит к неправильным ответам, но и способствует тому, что учащиеся не обращают внимания на смысл вопросов.

2. Изобразите проблему

Эту стратегию я использую для математических заданий и не могу не отметить ценность данного подхода. Как будет описано в главе 5, исследователи обнаружили, что основное отличие в мозговой активности математиков по сравнению с другими учеными связано с задействованием зрительной коры мозга – и это не зависит от характера математического материала⁶⁴. Если попросить людей изобразить какую-нибудь арифметическую задачу, это вызовет активность в зрительных областях мозга, а также запустит важную связь между числовыми и зрительными областями. Это приводит к совершенно иному способу восприятия и понимания задачи, что крайне важно.

3. Найдите новый подход

Третья стратегия заключается в том, чтобы попросить людей придумать альтернативный подход к поиску ответа.

Я обнаружила, что эта стратегия особенно эффективна в работе с хорошо успевающими учениками, многие из которых всегда применяли только один подход к решению задачи.

Этот метод также полезно взять на вооружение в классах, где учащиеся работают в разном темпе. Если одни заканчивают работу раньше других, я не даю им следующее задание, пока не спрошу, могут ли они найти другой способ решения, отличный от того, которым они только что воспользовались. Это важный способ знакомить школьников с математическим разнообразием.

4. Размышляйте над вопросом «почему?»

На занятии для шестиклассников Карлос не меньше семи раз задавал вопрос, почему умножение работает, прежде чем один из учеников перешел от слов «это работает» к объяснению соответствующего математического процесса и логики, лежащей в его основе. Знание того, почему что-то работает, имеет решающее значение для понимания математики, особенно для девочек и женщин, которые, как было установлено, стремятся к более глубокому пониманию, нежели мальчики и мужчины⁶⁵. Знание причин полезно для всех полов, но женщины и девочки часто теряют интерес к математике, если не получают доступ к такому глубокому пониманию.

5. Упрощайте

Упрощайте задачи, чтобы было легче понимать, вычислять или воспринимать. Как я детально покажу в главе 6, видоизменение задачи – то самое действие, которое отделяет отличников от неуспевающих при решении задач с числами⁶⁶. Например, когда школьников просят найти 19 + 6, они вместо этого складывают 20 + 5. Это может показаться само собой разумеющимся, однако я обнаружила, что многие слабо успевающие ученики уверены, что менять поставленную перед ними задачу «не позволяется». Подход с изменением чисел или фигур помогает людям повысить гибкость в решении задач.

6. Гипотезы

Шестая стратегия преподавания – предложить учащимся придумывать свои собственные гипотезы. В математике гипотеза – это идея, которая еще не доказана, а находится на стадии предположения. Из-за того, что в школах все внимание уделяют правилам, многие школьники не понимают ценности своих собственных мыслей. На занятиях я объясняю учащимся, что их роль в классе частично заключается в том, чтобы выдвигать свои собственные гипотезы.

7. Станьте скептиком Седьмая стратегия, которая отлично сочетается с придумыванием гипотез, – пригласить учащихся порассуждать и взять на себя роль скептика. Я пытаюсь донести мысль, что в математике очень важно приводить обоснования – объяснять, почему они выбрали те или иные методы, логические связи между ними и почему они работают. Подобные размышления являются сутью математики. Опубликованные работы ученых сплошь состоят из таких умозрений, поскольку именно так теоретики доказывают математические идеи. На рабочих местах также более эффективными являются те взрослые, которые умеют делиться своими умозаключениями⁶⁷.

Я рассказываю учащимся, что существует три уровня рассуждений: на самом низком уровне вы обычно можете убедить в чем-то себя; немного сложнее убедить друга; и самый высокий уровень – способность убедить скептика (рис. 2.4). Затем я предлагаю им роль скептиков!

Я поощряю схему скептика, поскольку считаю, что она невероятно эффективно преображает дискуссии в классе. До применения этой техники центром всех обсуждений является учитель, но, стоит только попросить учеников стать скептиками по отношению друг к другу, ситуация меняется.

Рис. 2.4. Схема скептика.

Как только я предлагаю ученикам средней школы в наших лагерях центра Youcubed проявлять скептицизм, они немедленно и охотно подхватывают эту идею. Когда мы организовали первые лагеря, я беспокоилась, что разговоры в классе сведутся преимущественно к ответам на вопросы преподавателей вместо общения друг с другом. Однако, благодаря «игре в скептика», мои опасения не подтвердились. Я до сих пор помню, как школьник Джош доказывал гипотезу другого школьника Мэтта. Мэтт высказал предположение, что сумма любых двух нечетных чисел всегда окажется четным числом. Я обратилась к классу, может ли кто-нибудь это доказать. Вызвавшийся Джош подошел к доске.

Он начал свои рассуждения с примера, сказав, что 1 + 2 = 3, а 3 – нечетное число, но при этом 1 + 1 = 2, а 2 – четное, и самоуверенно добавил: «И это работает для всего. Конец!» Школьники, которые научились быть скептиками, немедленно отреагировали: «Почему это работает?» и «Докажи нам это!» Джош принял вызов, радостно заявив: «Вы хотите, чтобы я это доказа-а-а-а-а-л?!» После чего выдал другой пример: «Складываем 201 (нечетное число) и 1103 (тоже нечетное), и в итоге получаем 1304, то есть четное». Остальные продолжали выражать скептицизм, спрашивая, почему так получается. Джош дополнил свое доказательство: «Потому что вы можете разделить 1304 на 2, и оно разделится на два четных числа. Бам!»

Тем самым ученики упражнялись в скептицизме, а Джош отвечал им дополнительными рассуждениями. Такая мощная связь побуждает детей понять, что их роль в изучении математики заключается в том, чтобы участвовать в осмыслении и обсуждении. Чем активнее размышляют отвечающие, тем больший доступ к пониманию появляется у их одноклассников.

Рис. 2.5. Шахматная доска.

8. Проведите простую аналогию

Последняя математическая стратегия – предложить школьникам решить задачу на более простом уровне. Например, если вас попросили определить, сколько квадратов имеется на шахматной доске 8 на 8 (рис. 2.5) (ответ: не 64!), полезно будет сначала подсчитать количество квадратов на досках размером 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4 (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Шахматные доски меньшего размера. Слева – Можете ли вы найти 5 квадратов?; посередине – Можете ли вы найти 14 квадратов?; справа – Можете ли вы найти 30 квадратов?

Обращение к более простому случаю позволит вам гораздо четче увидеть закономерности.

Такой метод подходит для всех математических операций. Так, если вас просят разделить 2 на 5/6 – задача, которая заставляет многих людей тревожиться и обливаться потом, – достаточно просто спросить себя: «Сколько будет 2, деленное на 1/6?», и нахождение ответа на исходный вопрос не заставит себя долго ждать.

Эти восемь стратегий помогут вам в решении любых математических вопросов, с которыми вы столкнетесь. Они не так хорошо известны и не особо применяются в математических классах, однако обладают огромной мощью. Памятку с ними можно скачать на сайте Mathish.org.

Я очень люблю давать учащимся дневники, в которых они описывают свой путь в изучении математики. Это не те рабочие тетради, в которых обычно записывают ответы на уроках математики, а открытое пространство для свободного выражения мыслей. Место, где можно излагать свои мысли, полезно иметь не только ученикам; оно принесет пользу всем. Я никуда не хожу без своего собственного дневника, куда заношу все, что считаю важным.

Мне больше нравятся ежедневники с пустыми страницами или с квадратами, слегка намеченными пунктиром, чтобы учащиеся могли выходить за рамки в буквальном смысле. В наших математических лагерях мы выдаем дневники ученикам, предлагая записывать любые полезные идеи, касающиеся математики или их учебы. В начале занятий мы также выделяем учащимся время на оформление дневников, чтобы они чувствовали себя их хозяевами. Время от времени мы собираем эти тетради и оставляем комментарии о проделанной работе, которые пишутся на вкладных стикерах, чтобы у школьников не возникало ощущения, что оценки учителей отбирают у них пространство для размышлений.

Исследования показали, что обдумывание своего обучения – важная часть метакогнитивного подхода, которая повышает успеваемость⁶⁸. Владение таким самоанализом часто определяет разницу между эффективной и неэффективной учебой, поэтому учителя и родители должны всячески поощрять эту практику. В таблице на с. 57 представлены варианты полезных вопросов, которые можно задавать ученикам на уроках, – для обдумывания либо в конце занятия, либо дома. Список дает ученикам возможность выбора, чтобы они могли рефлексировать над одним или несколькими утверждениями в то или иное время. Родители могут задавать детям подобные вопросы в ходе повседневного общения. Однако можно пойти дальше и попросить детей записывать эти вопросы в дневники, чтобы они могли регулярно размышлять над ними.

Рис. 2.7. Идеи для размышления.

Когда учителя, с которыми я сотрудничала, заменяют типичные домашние задания, часто не имеющие особого смысла, просьбой вспомнить урок (поразмышлять) дома, школьники отмечают, что это улучшает их понимание математики⁶⁹. Подобная практика эффективна, потому что ученики получают возможность проанализировать собственные знания и понимание – а это невероятно ценная вещь.

Учителя, с которыми я работала несколько лет назад, для каждого домашнего задания выбирали один или два таких вопроса. Ниже приведены комментарии учащихся, высказанные после того, как в их домашних заданиях узкие вопросы сменились заданиями поразмышлять:

Мне кажется, что такие вопросы помогают мне осмыслить то, что я узнал за день. Если я что-то не совсем запомнил, у меня есть возможность снова заглянуть в тетрадь.

Вопросы для размышления мне очень помогают.

Я вижу, над чем мне нужно поработать, а что у меня получается хорошо.

Я думаю, что то, как мы выполняем домашние задания, очень полезно. Когда ты тратишь больше времени на обдумывание изученного и меньше времени на выполнение дополнительных математических заданий, ты узнаешь больше⁷⁰.

Рефлексия также играет важную роль в развитии у учащихся установки на личностный рост, которая является еще одной частью метакогнитивного мышления. Многие учителя спрашивали меня, как определить, есть ли у их учеников установка на рост. Некоторые пробовали проводить соответствующие опросы, но они не приносили пользы: во всем мире большинство учащихся знают, как давать «правильные» или ожидаемые ответы в них. Важны не столько ответы, сколько то, как ведут себя учащиеся, когда встречаются со сложной работой или допускают ошибки. Чтобы помочь учителям и учащимся осознать свои установки и освоить важные мета-когнитивные стратегии, моя стэнфордская команда разработала схему для установок, приведенную на рисунке 2.8.

Учителя рассказывали мне, что эта схема помогла их ученикам сформировать математические стратегии и установку на рост. Некоторые преподаватели предлагают это задание дважды – в начале и в конце курса обучения, собирают ответы и изучают изменения.

Рис. 2.8. Схема установок.

Совместная работа в группе крайне важна, поскольку в это время люди учатся метакогнитивному взаимодействию. Я практикую командную работу уже много лет⁷¹ со своими студентами в Стэнфорде и в наших летних лагерях⁷². Как я уже упоминала, в период преподавания в школе Рейлсайд я стала свидетелем нескольких впечатляющих примеров слаженной совместной работы школьников, начиная с учеников 9-го класса, у которых метакогнитивные стратегии практически отсутствовали, и заканчивая учениками 12-го класса, которые превратились в весьма эффективных коммуникаторов и решателей задач. Это произошло не само по себе: именно преподаватели целенаправленно растили эффективных членов группы, уважающих друг друга и помогающих учиться и другим, и себе⁷³.

Эти учителя организовали эффективную работу в группе, используя стратегии комплексного обучения – подход, который уравнивает и сглаживает различия между учениками⁷⁴. Первые десять недель учителя посвящали уважительному взаимодействию школьников в группах – это время впоследствии окупилось эффективной коммуникацией между учащимися на протяжении всех оставшихся лет школы. В течение этих десяти недель преподаватели давали школьникам особые «групповые» задания, требующие участия всех членов группы. Когда ученики работали сообща, учителя отмечали и выделяли уважительное взаимодействие, создавая полезный цикл обратной связи.

Комплексное обучение способствует хорошей групповой работе и тем, что использует распределение ролей. Авторы метода рекомендуют, чтобы учащиеся работали в группах по четыре человека, каждому из которых отведена определенная роль⁷⁵. После многих лет обучения английских преподавателей я слегка адаптировала этот метод и добавила пятого члена команды.

Неограниченные роли, адаптированные из комплексного обучения

Выделение каждому ученику определенной роли в группе приносит множество выгод; кроме того, такой метод можно адаптировать для использования с детьми дома. Одно из преимуществ заключается в том, что все учащиеся ощущают себя вовлеченными в процесс и имеют конкретное задание. Роли также способствуют развитию метакогнитивного мышления, побуждая учеников спрашивать «почему» и мыслить глубоко и стратегически. Когда учителя из Рейлсайда предлагали ученикам выбирать и исполнять определенные роли, они использовали стратегию, в эффективности которой я убедилась на собственном опыте: тест участия⁷⁶. Он подразумевает, что учащиеся получают какое-то задание для работы в группах, но перед началом им дается набор оцениваемых математических подходов. Учителя из Рейлсайда предлагают следующий список – набор моделей поведения, которые также подталкивают учеников к метакогнитивным мыслям и действиям:

Математические методы работы

Во время теста я буду стремиться:

• понимать и описывать закономерности;

• обосновывать ход своих мыслей и применять разные способы представления;

• устанавливать связи между разными подходами;

• использовать слова, стрелки, числа и цветовое кодирование для разъяснения идей;

• четко объяснять идеи участникам команды и учителю;

• ставить вопросы, чтобы понять ход мыслей других членов команды;

• ставить вопросы, чтобы подтолкнуть группу к более глубокому анализу;

• готовить презентацию так, чтобы ученики, не входящие в состав нашей группы, могли понять ход ее мыслей[16].

Они также поделились следующей мантрой: Никто не может быть хорош во всем, но каждый хорош в чем-то. Чтобы успешно справиться с сегодняшним заданием, вам понадобятся все члены вашей группы.

В дополнение к этому списку преподаватели предложили перечень видов хорошего поведения в группе:

Виды хорошего поведения в группе

• работать, склоняясь над столом;

• предоставлять всем членам группы равное время;

• помогать друг другу;

• слушать друг друга;

• задавать друг другу много вопросов;

• исполнять свои роли в группе.

Учителя ходили по классу, отмечая хорошие (или плохие) виды поведения в группах, записывая на доске или на бумаге реплики учащихся. В конце урока школьники получали обратную связь, а иногда оценки поведения в группах. Когда я преподаю в Стэнфорде для студентов и аспирантов, я провожу тесты участия (хотя я называю их стимулированием участия) каждый раз, когда вижу, что работа в группе перестает быть равноправной. Рано или поздно это обязательно произойдет: одни учащиеся активно ведут математические дискуссии, в то время как другие предпочитают не участвовать. Когда я провожу стимулирование участия, ученики начинают лучше осознавать свое поведение, и ситуация с неравенством в группе исправляется. Эта метакогнитивная практика – важный шаг к тому, чтобы ученики осознали ценность математического разнообразия в групповой работе. Вы достигнете долгосрочного успеха, если акцентируете внимание на том, что ценно в их работе, – побуждайте их думать о том, как они учатся развивать метакогнитивные стратегии и брать на себя ответственность за свой путь в учебе.

Еще одна стратегия, которую использовали преподаватели Рейлсайда, – тесты, при которых они брали работы только одного члена группы (выбранного наугад), а остальные участники получали за работу оценку этого человека. Такой способ весьма наглядно демонстрировал, что каждый член группы несет ответственность за всех остальных.

Глава о метапознании была бы неполной без обсуждения той существенной роли, которую может сыграть оценивание. Я уже писала о том, как важно изменить отношение учащихся к образованию, перейдя от культуры результата к культуре учебы⁷⁷. Культура результата – это культура баллов и оценок в тестах, в которой не хватает полезной информации о путях саморазвития. Культура учебы, наоборот, предполагает, что учитель предоставляет обратную связь, которая дает информацию о процессе обучения и помогает учащимся понять, как можно совершенствоваться. Когда я посещала школы с выстроенной культурой учебы, ученики рассказывали мне, как они рады получать информацию о своем собственном обучении (типовой случай изложен в главе 7). Я не удивляюсь подобной реакции, ведь школьникам предложили взять ответственность за свою жизнь и за собственный прогресс. Как говорят лидеры в системах оценки учебы, таких школьников пригласили в гильдию⁷⁸.

Лучший способ донести до учеников информацию о ходе их обучения – воспользоваться специальными схемами. Они показывают, какие навыки следует освоить и на каком этапе находится ученик. Иногда учителя добавляют полезные и ценные комментарии, а иногда предлагают ученикам самостоятельно проанализировать свою учебу. На сайте нашего центра Youcubed приведен пример школы, которая переходит к культуре учебы, способствующей развитию установки на рост, сдвигаясь от тестов в сторону схем с обратной связью⁷⁹; в главе 7 мы увидим пример того, как учитель использует эти схемы, чтобы дать ученикам указатели-ориентиры на их учебном пути.

Для выстраивания шагов ради достижения учебной цели и оценивания прогресса необязательно ограничиваться оценочным подходом. Например, в своей последней книге я рассказала историю Милли и ее удивительной учительницы Нэнси Кушайр, которая возглавляет подразделение математики в организации International Baccalaureate⁸⁰. Милли пришла в класс Нэнси с ощущением, что она не способна к математике, поскольку другие работают быстрее нее. Она назвала себя «тупой». Чтобы помочь Милли, Нэнси предложила сосредоточиться на одной теме; школьница выбрала целые числа. Учительница предложила ей много задач на целые числа, используя различные визуальные представления и поддерживая обратную связь в течение всей ее работы – это помогает ученикам понимать, на каком этапе обучения они находятся. К концу года Милли стала другим человеком. Она написала Нэнси письмо, в котором сообщила, что визуальное восприятие идей и понимание того, почему и как они работают, изменили ее жизнь. Преображение девочки произошло из-за того, что преподавательница познакомила ее с разнообразием математических подходов, поставила перед ней четкие цели и оценивала ее прогресс в достижении этих целей. Когда я писала эту книгу, Нэнси связалась со мной и сообщила, что на занятии в Орегонском университете профессор математики запустил видеоролик, упомянутый в моей последней книге «Безграничный разум», где Милли рассказывала о переменах в себе⁸¹. При этом сама Милли присутствовала в аудитории. Прекрасный пример того, как замыкается круг: сначала математическое разнообразие помогло Милли, а затем она помогла другим.

Еще одним примером, как ставить цель в изучении математики и предоставлять обратную связь о ходе прогресса, со мной поделилась моя подруга Кристина, которая помогала своей дочери-третьекласснице Эбби изучать умножение. Кристину беспокоило, что школьный подход полностью базировался на цифрах и запоминании, поэтому она выдала Эбби новую тетрадь и предложила завести отдельную главу для каждого числа-множителя: одна глава для таблицы умножения на 2, другая – для таблицы умножения на 3 и так далее. Она попросила Эбби потратить на каждую главу примерно неделю, включив туда следующую информацию:

1. Наглядное представление одного или нескольких умножений.

2. Заметка об увиденной закономерности.

3. Пример из реальной жизни, придающий смысл этим числам.

Такая работа по всем двенадцати наборам умножений[17] могла оказаться непосильной для третьеклассницы, и она легко могла сбиться с пути математического мышления. Поэтому Кристина обозначила четкие цели и сделала ее увлекательной. По окончании работы над каждой главой она просматривала работу вместе с Эбби, давала отзыв и задавала вопросы; она также играла с дочкой в какую-нибудь веселую игру с соответствующими цифрами. Кристина полагала, что ей понадобится какое-нибудь внешнее вознаграждение за каждую завершенную главу, например что-нибудь вкусненькое, и очень обрадовалась, что обошлось без него: Эбби понравилось, что у нее есть двенадцать областей для работы, по одной в неделю (вполне реальная цель), плюс обратная связь и веселые игры с цифрами. Эбби также чувствовала, что эта работа помогает ей во время занятий математикой в школе.

На рисунке 2.9 приведена одна страничка из тетради Эбби.

Многие педагоги, руководители и родители знают, что люди по-разному подходят к образованию, но не понимают, что их вполне реально обучить эффективным способам учебы и решения задач. Большинство учителей посвящают отведенное на урок время изложению материала, полагая, что ученики умеют учиться. На самом деле ученики не только не владеют оптимальными подходами к обучению, но и часто усваивают контрпродуктивные методы, особенно если ранее окунались в атмосферу жесткой культуры результата и узкой математики⁸². Важно, что все реально поменять, если познакомить учеников с метакогнитивными подходами к учебе, которые поспособствуют их любознательности и открытости в отношении различных математических идей.

Рис. 2.9. Страница тетради Эбби, посвященная числу 7.

Обсуждения в классе, некоторые мощные математические стратегии, ведение дневника, размышления, уважительная работа в группах и оценивание, обеспечивающее обратную связь с учениками, – все это способствует эффективному уроку математики и взращиванию осознанных, самостоятельных личностей. Принципы, описываемые в этой главе, играют большую роль в формировании мировоззрения, ведь если мы научим человека быть восприимчивым к разнообразным точкам зрения, задавать вопросы, глубоко мыслить, то он научится учиться и будет извлекать больше пользы из каждой идеи, встречающейся ему на жизненном пути.

По мере того как мы читаем эту книгу, открывая для себя красоту математического разнообразия и радость идей ish-математики, формируется определенный образ мышления, который важно принять. Он меняет не только наш подход к учебе, но и способ взаимодействия с миром. Это происходит благодаря важной науке ошибок, борьбы и трудностей.

Обширные исследования свидетельствуют о том, что люди, обладающие мышлением роста (установкой на рост), более успешны в жизни⁸³. Но что это значит? Многие считают, что установку на рост имеют те, кто осознает, что может научиться чему угодно и что пробовать – это хорошо. Оба эти аспекта важны, но я считаю, что определяющее качество такой ментальности – комплекс убеждений, которые окружают нас в те моменты, когда мы боремся, совершаем ошибки и переживаем трудные времена в жизни. Ключевой чертой мышления роста, которое защищает людей, когда дела идут плохо, и помогает им упорно преодолевать сложные проблемы, является специфическая реакция на периоды борьбы и ошибок. Нейронаучные исследования показали, что, в то время как люди с фиксированным мышлением (установкой на данность, установкой на отсутствие изменений) относятся к ошибкам как к свидетельству собственной слабости, люди с установкой на рост рассматривают их как возможность учиться. В электроэнцефалографических[18] исследованиях выяснилось, что люди с установкой на рост лучше исправляли ошибки после обратной связи, демонстрировали больше нейронных маркеров внимания и меньше нейронных маркеров эмоционального расстройства из-за оплошностей по сравнению с людьми с фиксированным мышлением⁸⁴. Иными словами, они воспринимали ошибки совершенно не так, как люди с установкой на данность. Когда у людей поощряется развитие установки на рост, они положительно смотрят на трудности и не боятся ошибаться⁸⁵.

Следствия этой экспертизы весьма значимы – представьте себе, что в каждой сложной ситуации вы чувствуете себя сильнее, чувствуете стимул учиться, уделяете больше внимания обратной связи и формируете более эффективные реакции мозга, повышающие вашу обучаемость. Неудивительно, что многочисленные исследования показывают, что люди с установкой на рост добиваются более высоких результатов на всех уровнях образования⁸⁶.

Я рассказываю об этом сдвиге в сознании, позволяющем всем нам приветствовать проблемные идеи и ситуации, в самом начале книги, чтобы читатели могли подходить к идеям математического разнообразия и ish-математики с открытым умом и широтой взглядов. Это особенно важно для тех, кто сталкивался ранее с математическими травмами и неприятностями, а таких – давайте признаем – среди нас немало! Я уже писала об этой теме в предыдущих книгах, поскольку она занимает центральное место в моих исследованиях и работе. В этой главе мы рассмотрим свежие данные и идеи о том, как бороться с проблемами, а не сдаваться «без боя», чтобы улучшить наше понимание, учебу и жизнь, когда мы отправляемся в наше совместное математическое путешествие.

За последние десять лет я получила сотни писем от родителей, которые просили дать советы, как изучать математику их детям. Ответить на все невозможно, хотя я и стараюсь. Мое внимание привлекло одно из последних писем. Отец студентки Стэнфордского университета просил помочь дочери. Джулия поступила в Стэнфорд десять лет назад, но из-за серьезной болезни пропустила много месяцев. Он рассказал мне, что она ненавидит математику, сильно нервничает из-за нее, а курс статистики стал камнем преткновения для получения диплома по английской литературе. Идет самое начало четверти, и Джулия уже считает материал «непостижимым», а с учетом проблем со здоровьем этот курс, по словам отца, грозит довести ее до «грани полного физического краха». Когда я встретилась с Джулией, она сразу впечатлила меня интеллектуальной любознательностью и воодушевлением, с которым говорила об английском языке. В то же время я поразилась ее глубокой печали, когда речь зашла о математике. Она не дружила с предметом еще со средней школы и считала, что никогда не сможет пройти курс статистики.

Я договорилась с одной из своих аспиранток Марджи Хан о занятиях с Джулией. Сначала Марджи рассказывала мне, что Джулия не справляется с университетскими тестами, но они не сдавались, решив бороться. В частности, каждую неделю они анализировали тесты, разбирая те вопросы, в которых Джулия допустила ошибку. Марджи помогала студентке взглянуть на идеи по-другому и найти новые подходы к вопросам – помимо тех, которые показывали на лекциях. Постепенно Джулия начала улучшать результаты. В конце четверти я получила радостное сообщение от Марджи, что ее подопечная только что получила на итоговом экзамене оценку А, – все были в восторге. Девушка окончила Стэнфорд и теперь учится в аспирантуре.

Почему произошла такая резкая перемена? Когда Джулия сосредоточилась на своих ошибках и задумалась о другом подходе к решению задач, стена между ней и математикой разрушилась, и процесс обучения сдвинулся с мертвой точки. Это стало возможным благодаря важному педагогическому подходу ее преподавателя – возвращению к тестам для переосмысления и переделки. В преподавании такое происходит не так часто, хотя ошибки – один из самых важных факторов в любом учебном процессе.

Я читаю в Стэнфорде курс для студентов под названием «Как изучать математику». Каждый год я демонстрирую учащимся один видеоролик с урока математики в японской средней школе и рассказываю им, что этот ролик взят из исследования, изучавшего методику преподавания за рубежом. Объектом наблюдения выбрали Японию, поскольку эта страна демонстрирует очень высокие достижения в математике⁸⁷. Студенты всегда пребывают в восторге от этого видео. Что же там такое?

В японском классе примерно сорок учеников с разной степенью успеваемости. В начале урока учитель предлагает следующую задачу. Школьникам показывают участок земли, разделенный между двумя людьми. Ученики должны превратить эту границу в прямую, не изменив при этом количество земли у обоих владельцев. В этом вопросе нет числовых данных, и он сложен, поскольку участок имеет неправильную форму без прямых углов, которые значительно облегчили бы задачу деления пополам. Обычно мои студенты пробуют решать эту задачу до просмотра видео, но мало кто из них справляется с нею. Учитель в Японии дает своим ученикам время поработать над задачей в группах. Любопытно, что он также предоставляет им выбор: в процессе работы они могут либо обсудить проблему со своими друзьями, либо обратиться за помощью к учителю, либо получить карточки с подсказками.

Пока японский класс решает задачу, учитель передвигается по комнате и предлагает различным группам показать одноклассникам родившиеся идеи. В классе царит оживленная атмосфера: одни ученики стоят, другие сидят, в помещении много движения, разговоров и смеха.

В процессе общения со школьниками преподаватель улыбается и смеется, демонстрируя сложившиеся позитивные отношения. Взаимодействуя с друзьями в группах, почти все ученики улыбаются. И тут происходит событие, которое шокирует и восхищает моих студентов. Учитель просит одну группу школьников рассказать остальным об ошибке, которую они допустили. Ученики озадаченно смотрят на преподавателя и спрашивают: «Вы хотите, чтобы мы рассказали, что сделали неверно?» – «Да, – отвечает он. – Ошибки – вот что важно. Если бы люди их не делали, им незачем было бы ходить в школу». Это сильное заявление: преподаватель дает понять ученикам, что это естественная часть обучения и что он ценит неправильное решение настолько, что просит сообщить о нем всем ученикам, поскольку оно является источником продуктивного обучения для всех.

Урок продолжается: школьники весело и непринужденно делятся ошибками и решениями. Затем учитель расширяет исследование – наклеивает на доску несколько заготовленных фигур, предлагает дополнительные вопросы, просит учеников использовать свои знания о линиях и углах и поощряет их придумывать больше разных подходов.

Этот урок изумляет моих студентов по многим причинам. Первая – его исследовательский характер, особенно с учетом того, что многие студенты уверены, что в таких странах, как Япония и Китай, учеников натаскивают на применение фактов и правил. Вторая – использование преподавателем наглядных моделей, в том числе предварительно заготовленных картонных фигур (эту идею мы подробно рассмотрим в главе 5). Третья – отношение к ошибкам. Исследователи, изучавшие методы преподавания в других странах, также обнаружили кое-что, имеющее отношение к нам в США: в Японии школьники тратят 44 % своего времени на то, чтобы «изобретать, размышлять и биться над основными понятиями», в то время как у американских школьников на это уходит менее 1 % времени⁸⁸.

Стив Олсон – превосходный популяризатор науки – изучал школьников разных стран, участвовавших в международной математической олимпиаде. Он пришел к следующему выводу о роли усилий и математического разнообразия в японской школе:

Учителя хотят, чтобы их ученики испытывали сложности с задачами, потому что считают, что именно так школьники начинают по-настоящему понимать математические концепции. Школы не делят учеников на группы по уровню способностей, потому что различия между учениками рассматриваются как полезный ресурс, который может расширить дискуссию. Не все школьники выносят с урока одно и то же… но каждый усвоит больше, если его заставят побороться с задачей, а не принудительно скормят ему простую, заранее разжеванную процедуру⁸⁹.

В главе 1 я рассказывала о злодее – математическом складе ума. Напротив, бесспорно подтверждено, что все учащиеся находятся на пути роста и их мозг постоянно укрепляется, строит связи и увеличивается⁹⁰. Кроме того, периоды борьбы, ошибок и неудач – это вовсе не признаки того, что человек слаб или плохо разбирается в предмете; наоборот, это признаки невероятной активности мозга.

Когда я общаюсь с учениками, будь то школьники средних и старших классов в математических лагерях или студенты в Стэнфорде, я говорю им: «Я даю вам сложные задания, потому что хочу, чтобы вы боролись. Я хочу, чтобы вы трудились, чтобы у вас была отличная тренировка для мозга». Это раскрепощает учащихся, и они более охотно проявляют настойчивость, зная, что не тратят время впустую, а самосовершенствуются. Я объясняю им, что обучение кажется трудным, потому что их мозг напряженно работает. С этим посылом связана одна важная вещь – постановка задач с «низким полом» и «высоким потолком» – то есть задач, заняться которыми может каждый, но которые при этом помогают подняться высоко. Кроме того, предлагаемые мною задания имеют несколько точек входа, включая визуальные аспекты, хорошо понятные учащимся. Они работают над сложными проблемами, зная, что могут добиться успеха, а это очень важно. В последние годы я слышала, что некоторые преподаватели предлагают ученикам прикладывать усилия и работать самостоятельно, без посторонней помощи, однако предлагаемые ими задачи – это типичные узкие математические вопросы. Учащиеся расстраиваются, не знают, как подступиться к ним, и учеба становится непродуктивной. Время борьбы с проблемами обретает продуктивность, если учащимся предлагают упражнения, которые воплощают математическое разнообразие и «ish-подход». В следующих главах этой книги вы найдете множество примеров заданий подобного рода.

Исследования в области ментальности показывают, что, когда мы верим, что можем чему-то научиться, и стремимся к этому, мы с большей вероятностью получим пользу, чем когда не верим в себя или в важность процесса⁹¹. Отчасти причина низкой успеваемости по математике в стране заключается в том, что многие учителя и ученики воспринимают напряженные усилия как признак слабости. Если бы мы могли изменить отношение учителей и родителей, мы смогли бы поднять результаты в математике на всех уровнях.

Я уже читала один из своих онлайн-курсов, как услышала рассказ Кэрол Дуэк о событии, которое сподвигло ее начать исследование ментальности, породившее одну из самых значимых идей в области образования⁹². Она сообщила мне, что опрашивала маленьких детей, давая им различные задания, и наблюдала, как многие ученики отступают, столкнувшись с трудной проблемой. Однако один мальчик отреагировал совершенно иначе: когда ему предложили сложную задачу, он восторженно воскликнул, что любит трудности, и набросился на работу. Этот мальчик, сам того не подозревая, сыграл важную роль в мировом образовании. Его восклицание заставило Дуэк осознать, что наш подход к препятствиям может изменить то, как мы учимся. Десятилетия исследований, проведенных ею и ее коллегами, подтвердили влияние таких мысленных установок на наши способности к обучению⁹³.

Ученики с установкой на рост, а не на данность верят, что смогут научиться всему, и смотрят на ошибки и сложности как на возможность для учебы. Такой ментальный подход не только поддерживает их в трудные моменты, но и защищает от вредных стереотипов, а также поощряет упорство – и все это ведет к повышению успеваемости⁹⁴. Доказательства мощного влияния сдвига ментальности с фиксированного мышления на мышление роста просто ошеломляют: исследования показали, что это может повысить результаты⁹⁵, улучшить здоровье⁹⁶, помочь учащимся сдерживать агрессию⁹⁷ и уменьшить расовое неравенство⁹⁸.

Дуэк воочию убедилась, что существует значимая разница между большинством школьников, с которыми она работала в тот день, и мальчиком, которого трудная работа не только не пугала, но и приводила в восторг. Перед родителями и педагогами встает проблема – как развивать такое мышление и воодушевление перед лицом трудностей в наших учениках и в них самих. Есть факты, свидетельствующие, что некоторые ученики меняются, когда узнают о развитии мозга и важности упорства. Однако последние исследования показывают, что конкретно в математике для масштабного и длительного эффекта нужно не просто вносить различные идеи, а менять преподавание⁹⁹. Иными словами, то, что нам действительно нужно, – развивать культуры ментальности в классах и на рабочих местах. Подход к преподаванию, который помогает развить культуру ментальности, начинается, возможно, с самого важного условия преподавания и учебы – создания среды, в которой учащихся поощряют прикладывать усилия.

Нейробиологи, с которыми я сотрудничала в течение последних нескольких лет, изучают различные аспекты нашего мозга, используя разные методы, но все, с кем мне довелось поработать, единодушно утверждали: наиболее продуктивное время для нашего мозга – когда мы испытываем трудности и совершаем ошибки. Автор бестселлера «Код таланта» Дэниел Койл[19], изучая тех, кто добился наибольшего успеха в различных областях, пришел к выводу, что все они люди, которые учились, «работая на грани своего понимания» – совершая ошибки, исправляя их, двигаясь дальше и совершая еще больше ошибок¹⁰⁰. Это подтверждает мой собственный опыт: учащиеся, готовые бороться и работать на грани своего понимания, обычно добиваются большего.

Элли – школьница, настроенная работать на пределе своих возможностей, – посетила первый летний лагерь Youcubed. Если бы вы понаблюдали за занятиями, которые вели мы с Кэти Уильямс, то, вероятно, обратили бы внимание на Элли, поскольку она весьма охотно делилась своими мыслями и ответами – обычно неверными. Человек со стороны мог бы причислить Элли к плохо успевающим ученицам нашего класса, и это правда, ведь ей поставили низкие баллы на предварительном тестировании. Однако я действительно ценила тот факт, что Элли сообщала о своих ошибках, поскольку это давало пищу для размышлений другим ученикам. Элли решительно защищала свой ошибочный подход, но в итоге исправлялась и двигалась дальше. Она работала на грани своего понимания¹⁰¹. Когда мы проанализировали достижения школьников, выяснилось, что Элли улучшила свои показатели больше, чем остальные 82 человека, и оказалась одной из лучших учениц в группе¹⁰². Подтвердилось, что девочка действительно услышала наш посыл о борьбе и ментальности, и это изменило ее подход к математике. Через несколько лет, уже в старшей школе, Элли обратилась ко мне за помощью, поскольку решила написать работу на тему ментальности.

Стивен Строгац – специалист по прикладной математике из Корнелла, который занимался «графами тесного мира»¹⁰³. Эта концепция основана на идее, что все мы связаны друг с другом максимум шестью рукопожатиями и живем в маленьком мире[20]. Вместе со своим учеником Дунканом Уоттсом Стивен написал работу, демонстрирующую, что многие системы в мире – от электросетей до нейронных сетей червей и сотрудничества между голливудскими актерами – функционируют не случайным образом, а как кластерные сети с типичными длинами путей в них. На сегодняшний день статья Строгаца и Уоттса входит в сотню самых цитируемых научных работ в мире¹⁰⁴.

Я ценю тексты Стивена о преподавании математики, но мое внимание привлекает другое: его описание собственных трудностей с учебой. В потрясающем интервью, которое Строгац дал экономисту Стиву Левитту в одном из подкастов, ученый рассказывал о своей работе и своем математическом пути¹⁰⁵. В ходе этой беседы Стивен признался, что с трудом учился в средней школе, получая самые низкие оценки по всем предметам, потому что уроки не предлагали подключить интуицию или визуальное восприятие – иными словами, они были одномерными, лишенными разнообразия. Он также рассказал, когда влюбился в ощущение борьбы.

Это произошло в старшей школе, когда учитель дал задачу и заметил, что ранее ее не решил ни один из учеников. Преподаватель добавил, что решения не нашел и он сам, выпускник Массачусетского технологического института[21]. Это привлекло внимание юного Стивена. Он занялся задачей, но решения не появилось ни через час, ни через два. Дни упорной работы складывались в недели, а затем в месяцы. Через шесть месяцев он нашел доказательство. Учитель был так доволен, что показал работу директору школы.

За эти месяцы Стивен пристрастился к пути понимания через борьбу (сам он называл это «боем»). Ему так понравилось это ощущение, что он начал сам придумывать сложные задачи для себя, задавая вопросы об обширном и удивительном предмете, который мы именуем математикой.

Превращение Стивена в одного из ведущих математиков мира опровергает распространенный в системе образования миф, что борьба – это признак слабости и к ней прибегают только мыслители «низкого уровня». Упорство оказалось ключевой частью в математическом развитии будущего ученого. Еще один опасный миф заключается в том, что наиболее успешные люди не прикладывают усилий. Это совершенно неверно: фактически самые успешные люди – те, кому комфортно бороться за свой успех; они, подобно Стиву, учатся искать ощущение сражения, понимая, что это неотъемлемая часть результата.

Это важно помнить всем нам: мы должны приветствовать или даже выискивать возможности для работы, которая подталкивает нас к грани нашего понимания, поскольку именно так можно обнаружить величайшее знание; именно там проявляется творчество и совершаются важные открытия. Зачастую именно тогда, когда мы приближаемся к той границе, где у нас нет уверенности или знаний, мы достигаем самых больших успехов. Мы не добьемся многого в жизни, если будем перестраховываться, действовать осторожно, уступать нашим внутренним негативным голосам и страхам.

В четырех различных исследованиях, участники которых относились к разным возрастным группам и изучали разный материал, специалисты сравнивали подход, используемый в большинстве математических классов, – сначала рассказ о существующих методах решения заданий, а затем их применение на практике – с противоположным подходом¹⁰⁶, когда преподаватели сначала дают учащимся вопросы и задачи и только потом говорят о методах, необходимых для их выполнения. Для обсуждения возможных путей решения учащимся предлагается использовать свою интуицию. Все исследования показывают, что такой подход к преподаванию обеспечивает более высокие результаты, и специалисты заключают, что причина здесь в том, что учащиеся получают больше возможностей бороться – размышлять и делать выводы на основе уже имеющихся знаний¹⁰⁷. Когда студенты обучаются новому после того, как им пришлось приложить усилия, чтобы найти путь к решению, их мозг готов к усвоению нового материала.

В эксперименте, проведенном в Гарвардском университете, сравнивали разные подходы к изучению математического анализа¹⁰⁸. В одном случае студентам читали лекцию, после чего они решали задачи. Во втором – студенты работали над задачами до того, как узнавали о необходимых методах. Исследование было хорошо спланировано, так что обе группы использовали подходы в разное время. В ходе эксперимента выяснилось, что студенты лучше усваивают материал, если сначала борются, работают над проблемами, а потом изучают методику. В то же время оказалось, что, по мнению самих студентов, они больше усвоили, когда предварительно прослушали лекцию. Понятность лекции создавала у них иллюзию обучения, а необходимость прикладывать усилия заставляла чувствовать себя плохо. Ученые пришли к выводу, что одна из причин недооценки учащимися эффективности борьбы заключается в том, что их никогда не учили ее ценности. Несмотря на то, что студенты считали подход с усилиями менее эффективным, они учились лучше, если им сначала давали задачи, над которыми требовалось поразмышлять, и только потом – методы, которые позволяли им продвинуться вперед.

У нас есть множество доказательств того, что лучшие моменты для нашего мозга – когда мы сталкиваемся с проблемами и начинаем бороться¹⁰⁹. Эти данные оказывают огромное влияние на жизнь людей, причем они вступают в противоречие с теми сведениями, которые школы и другие учреждения вкладывают в голову многим из нас.

Швейцарский психолог Андерс Эрикссон, профессор Университета штата Флорида, получил международное признание как исследователь психологической природы опыта и деятельности человека. Он описал важный путь обучения для развития экспертности – путь проб, неудач, пересмотра подхода, новых попыток и так раз за разом¹¹⁰. Неудивительно, что в нашей стране низкие результаты по математике, ведь преподаватели редко прививают учащимся важный подход Эрикссона. Вместо этого в школе и дома основное внимание уделяется правильности, учеников хвалят за решение задач, в которых мало возможностей для прикладывания усилий. Кен Робинсон, всемирно признанный лидер в области образования и творчества, сказал как-то: «Невозможно заниматься творчеством, не совершая ошибок»¹¹¹. Я бы внесла свои коррективы в эту фразу: «Невозможно заниматься какой-либо значимой сложной математикой, не совершая ошибок». Так как же помочь учащимся осознать такую ценную максиму, невероятно полезную для учебы, понимания и жизни? Это не мелочь, ведь многие люди чувствуют себя плохо каждый раз, когда совершают ошибку, а потому стараются избегать трудностей. Вот несколько стратегий, которые мы с другими педагогами считаем наиболее эффективными для изменения мышления учеников и их подхода к учебе и жизни.

Рис. 3.1. Формирование, соединение и упрочнение путей в мозге.

Рассказывайте о нейронауке

Я всегда начинаю свои курсы с рассказа учащимся о том, что наш мозг постоянно создает, соединяет и укрепляет пути[23], как показано на рисунке 3.1. Не существует такого понятия, как «математический склад ума»: наш мозг постоянно меняется¹¹². Я хочу, чтобы мои ученики боролись и совершали ошибки. Моменты такой борьбы – очень важное время для нашего мозга: он формирует, соединяет и упрочняет пути.

Обсудите важность прикладывания усилий, будь то урок, семейный ужин или деловая встреча Интересная и важная тема для разговора – рассказать о ценности борьбы и поинтересоваться у других, что они об этом думают. Спросите, насколько часто они сталкиваются с трудностями и как ощущают себя в тот момент. Если можете, расскажите, как вы сами мучились с математикой, или изложите историю Стива Строгаца. Кэрол Дуэк призывает людей признать, что у всех нас бывают моменты фиксированного мышления (установки на данность), когда мы считаем, что не можем чего-то добиться. Она даже советует дать какое-нибудь имя нашим фиксированным мышлениям. Когда вы говорите о борьбе со своими детьми, учениками или коллегами, попросите их вспомнить те ситуации, когда у них превалировала установка на данность, и обсудите, как можно изменить эту установку на то, что борьба – это позитивный признак того, что они делают что-то значимое.

Мы знаем, что самое важное для развития любых способностей находится на грани нашего понимания¹¹³, и необходимо донести, насколько ценно это место и как мы должны стремиться ходить по грани.

Я также люблю просить учащихся поведать, когда, по их мнению, они находятся на этой грани, чтобы мы могли обсудить это вместе. Спросите ваших учеников: в какой момент это происходит? как ощущается? Придайте важность идее работы на грани, чтобы она поселилась в сознании учащихся и они ею гордились. Предложите им нарисовать себя на грани и сохранить это изображение в своих книгах.

Придумывайте метафоры о ценности борьбы Несколько лет назад ко мне обратилась Алина Шлайер, графический дизайнер из Германии. Она рассказала, что ее восьмилетняя дочь Грета очень нервничала по поводу математики, пока не занялась творческой визуальной частью и не узнала о ценности борьбы и ментальности. У самой Алины с математикой все было в порядке: прекрасные учителя в школе продемонстрировали ей различные способы мышления. Когда дочь в первом классе заявила, что ненавидит математику, потрясенная Алина поняла, что необходимо что-то предпринять. Она нашла сложные, но доступные задачи, которые мы придумывали и публиковали на сайте youcubed.org и в книгах, и предложила их Грете¹¹⁴. Алина сказала, что они понравились дочери и та стала просить семью играть по вечерам в математические игры. Я порадовалась преображению Греты. Мне также было интересно узнать об изменениях у самой Алины. Моя корреспондентка и не имела проблем с математикой, но когда она начала решать задачи вместе со своей дочерью, то получила возможность посмотреть на математические понятия «новыми глазами». Она сообщила мне, что никогда раньше не задумывалась о симметричности расположения положительных и отрицательных чисел или о том, как полезно визуально представлять умножение как нахождение площади. Она также признала, что теперь эффективнее выполняет свою работу и осознаннее подходит к вопросам.

На протяжении многих лет ко мне обращались за консультациями разработчики математических приложений, но создаваемые ими приложения неизменно принимали только один ответ. Нередко я наблюдала, как ученики разочаровывались, когда не вводили ту форму ответа, которую «хотела» программа. В процессе нашего общения с Алиной она показала мне, какие красивые дизайны может создавать ее команда, и мы пришли к общему мнению, что каждое приложение должно ценить различные способы мышления учащихся. Мы решили вместе разработать эффективное приложение и помочь тем самым учащимся почувствовать радость от усилий. Мы назвали его Struggly[24].

В Struggly люди знакомятся с математикой через визуальные задачи и игры. Программа знает все методы решения и предлагает знаки отличия за старания и иное мышление¹¹⁵ (рис. 3.2).

Одна из метафор, которую мы предлагаем пользователям Struggly, – изображение борьбы как облака, которое окутало их разум. Им может казаться, что разум затуманен и что они не могут четко мыслить; важно оставаться в борьбе, чувствовать и ценить ее, продолжать думать. В конце концов искры в мозге пробиваются сквозь тучи, мешающие увидеть решение.

Эти искры в мозге возникают, когда у нас зарождаются идеи. Программа Struggly предлагает ряд идей для преодоления трудностей, например:

• поговорить о задаче,

• изобразить задачу,

• написать о ней,

• сделать перерыв, например, погулять,

• взглянуть на проблему иначе,

• подумать нешаблонно.

Рис 3.2. Знаки отличия программы Struggly.[25]

Джеймс Ноттингем придумал метафору, которая оказалась весьма полезной для многих людей, – «яма борьбы» (или «яма усилий»)¹¹⁶. Некоторые учителя предлагают ученикам создать «яму» вместе; на рисунке 3.3 показана «яма», придуманная учениками Джен Шефер.

Когда ученики опускаются в «яму», они используют такие выражения, как «этот вопрос слишком трудный» и «я не могу это решить», но, когда они выбираются из «ямы», они меняют взгляды, произнося «я сделал», «в школе положено пробовать и ошибаться» и «мне просто нужно найти другой способ». Они также изобразили путь над «ямой», снабдив его надписью: «Опасно, не ходите этой дорогой». Джен Шефер, учительница из Канады, которая прорабатывала метод «ямы» вместе со своими учениками, говорит, что она и могла бы брать их за руку и переводить их через «яму» или перепрыгивать вместе с ними, однако это не будет помощью, поскольку таким образом она лишит школьников возможности бороться. Джен старается делать так, чтобы ее ученики чувствовали себя комфортно в моменты борьбы: для этого она дает доступные задания, которые позволяют этого добиваться.

Рис. 3.3. «Яма борьбы».

Иногда кто-нибудь из учеников Джен обращается к ней: «Мисс Шефер, я действительно в “яме”!» В этом случае она отвечает: «Отлично! Какие инструменты тебе нужны?» Этот ответ мне импонирует по двум причинам. Во-первых, Джен положительно относится к попаданию в «яму»; а во-вторых, она не погружается в задачу и не пытается изменить ее так, чтобы школьникам было легче избежать борьбы, – она спрашивает, что им может помочь для того, чтобы выбраться из «ямы».

Недавно, посещая одну из школ, я узнала об учительнице начальных классов, которая предлагает своим ученикам придумать интерпретирующий танец об «учебной яме», и она говорит, что старается внедрить эту идею во все свои уроки.

Такие различные метафоры – «обучение на грани», «ямы борьбы», «грозовые тучи» – оказались невероятно значимыми как для учащихся разных возрастов, так и для взрослых, которые хотят жить с установкой на рост, ценя моменты усилий и обучаясь в это время.

Предлагайте сложную работу, но с высокой степенью свободы

Когда люди занимаются математикой, им нужна трудная работа, чтобы у них появилась возможность прикладывать усилия. Но для этого подходят не все математические вопросы и задания, здесь требуется определенный набор важных качеств. Без толку задавать людям узкие вопросы, на которые они не могут ответить и которые не предлагают пространство для размышления. Вопросы, которые побуждают прикладывать усилия и при этом ощущать себя комфортно, – вот что нам нужно. Все они обладают «низким полом» и «высоким потолком». Хороший пример с таким свойством открывал эту книгу (рис. 3.4). Каждый может сказать, каким образом добавляются новые квадраты («низкий пол»), однако это задание распространяется и на алгебраические размышления высокого уровня о квадратичных функциях («высокий потолок»).

3.4. Увеличивающиеся фигуры из квадратов.

Я установила, что заданиям, поощряющим усилия и не вносящим дискомфорт, а также демонстрирующим красоту математического разнообразия, присущ ряд особенностей, о которых рассказывается ниже.

Разнообразные задачи, которые приглашают учеников выйти на грань понимания:

Эти задачи оказываются самыми интересными для учащихся, наиболее захватывающими, и я настоятельно рекомендую их вам. Со многими из них мы встретимся далее в этой книге.

Радуйтесь, когда ученики борются и совершают ошибки

Когда я даю ученикам трудное задание и они жалуются на сложность, я отвечаю, что это ощущение возникает потому, что их мозг напряженно работает – формируя и укрепляя пути и создавая новые связи, – а это именно то, к чему они должны стремиться. Я объясняю им, что это важный момент и что нужно ценить ощущение сложности работы. Как и японский учитель, о котором я говорила ранее, я разбираю ошибки на доске, чтобы весь класс мог извлечь из них пользу и увидеть их ценность. Джен Шефер предлагает своим ученикам написать текст и рассказать о своих самых любимых ошибках, самых серьезных усилиях или моментах эврики. Джен прислала мне несколько таких текстов, и меня поразила огромная математическая ценность рассуждений учеников о таких сложных идеях, как вычитание целых чисел, понимание единицы при сложении дробей и перестановка алгебраических выражений.

Лиза ван ден Манкхоф – учительница, с которой я познакомилась во время посещения школы Сенпокчин в Келоуне (Канада), где учатся дети коренных американцев, – рассказала мне, что, когда учителя или ученики допускают ошибки на уроке, они обмениваются жестом «дай пять» с пятью одноклассниками. Такая идея мне нравится, и когда я посетила класс Лизы, я увидела, что здесь создана культура дружеского отношения к ошибкам. Подробнее о своем приятном визите в эту школу я расскажу в главе 6.

Родителям же важно демонстрировать дома позитивное отношение к ошибкам – что порой может оказаться непросто, особенно когда дети разбивают ваше любимое украшение, проливают напиток на документы или в приливе чрезмерной энергичности роняют младшего брата или сестру. Я знаю, как трудно в такие моменты реагировать спокойно; мне самой пришлось поработать над этим в рамках собственного родительского опыта. Но мы знаем, что именно в семье рождаются представления учеников о себе, их установки и важность борьбы. Одно исследование, проведенное специалистами по ментальности, показало, что к трем годам у разных детей формируются разные установки – в зависимости от того, как их хвалят родители¹¹⁷. Поэтому в следующий раз, когда ваш ребенок совершит ошибку, не поленитесь донести до него полезную мысль: ошибки – это часть жизни и важная возможность учиться.

Используйте не фиксированную похвалу, а развивающую

Одно из исследований Кэрол Дуэк убедительно продемонстрировало влияние различных форм похвалы. Ученые провели эксперимент, в котором две группы выполняли сложное задание. Испытуемых из одной группы похвалили за усердную работу, а людям из другой сказали, что они очень умные. Затем обеим группам предложили выбрать между простой и сложной задачей. Девяносто процентов тех, кого похвалили за ум, выбрали легкое задание, в то время как большинство учащихся, которых хвалили за усердие, выбрали самое сложное¹¹⁸. Это исследование демонстрирует, что даже небольшое изменение в способе похвалы может дать немедленный результат. Мы знаем, что, когда мы хвалим других, делая акцент на их ум, они сначала гордятся этим, но когда позже такие люди путаются или ошибаются (как это бывает у всех), то они начинают думать: «Может быть, я не такой уж умный». Хвалить детей – хорошее дело, но отмечайте и полученный результат и проделанный путь. Не используйте ярлыки, а говорите, что вам нравится их творческое мышление или крутой подход к решению проблемы.

Участники вышеуказанного исследования выбрали легкое задание, потому что боялись потерять полученную характеристику «умный». Это обычная реакция на ярлык: она приводит к уязвимости, когда люди стараются защитить свой «умный» образ и отказываются от возможности задавать вопросы и бороться¹¹⁹.

Измените способ оценивания

В главе 7 я изложу некоторые идеи о полезных формах обратной связи. Если мы стремимся, чтобы учащиеся нормально воспринимали трудности, нам не следует наказывать их каждый раз, когда они совершают ошибку. Если мы так поступим, возникнет мощное противоречие, и ученики прекрасно это почувствуют. Безусловно, все мы понимаем, насколько важно, чтобы на итоговом экзамене ученики ошибались как можно меньше, однако оценки, выставляемые в течение какого-либо курса или года обучения, – совсем другое дело; они дают возможность поощрять борьбу и право ошибаться¹²⁰.

Расскажите об известных или важных ошибках

Марк Петри – учитель средней школы в Санта-Ане (Калифорния)¹²¹. Каждую неделю Марк показывает своим ученикам видеоролик с примером какого-нибудь человека, демонстрирующим установку на рост. Мне нравится эта идея, и я думаю, что ее можно распространить и на ошибки, ведь мир полон примеров оплошностей, которые в свое время, возможно, и выглядели несуразными, но в итоге оказались весьма полезными. Один из моих любимых примеров – это история Великой теоремы Ферма.

Великая теорема Ферма названа в честь французского математика Пьера де Ферма, который в XVII веке сделал смелое заявление, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в виде целых чисел, когда n > 2. Последнее число, при котором решение возможно, – 2: 3² + 4² = 5². Он также написал на полях «Арифметики» Диофанта, что у него есть «поистине чудесное» доказательство этого факта, но не привел его. В результате ученые сотни лет пытались доказать это утверждение, и лишь спустя более 350 лет застенчивый английский математик Эндрю Уайлс справился с задачей. Примечательно, что Уайлс впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма в возрасте десяти лет. Он так описывает момент знакомства:

Она выглядела такой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от нее. Я должен был решить ее[26]¹²².

Спустя много лет, когда Уайлс защитил диссертацию и стал математиком, он всерьез занялся этой задачей. Годами исследовал и искал закономерности, пытаясь найти доказательство. И однажды – спустя семь лет – он вышел из своего кабинета и объявил жене, что добился успеха.

Свой результат математик обнародовал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже. Из-за слухов о возможном доказательстве Великой теоремы Ферма в зале собралось более двухсот математиков и журналистов. Когда Уайлс закончил выступление, зал разразился аплодисментами. Однако через несколько недель выяснилось, что в работу закралась ошибка, так что математик вернулся в свой кабинет и провел там еще около года, прежде чем получил полное доказательство.

Эта история интересна сама по себе, но я люблю подчеркивать один из ее аспектов – тот факт, что ошибочные рассуждения, предлагавшиеся в качестве доказательства Великой теоремы Ферма, в итоге породили новые области математики, включая некоторые разделы алгебры. Как заметил писатель Питер Браун, «из руин этих неудач выросли глубокие теории, которые открыли новые обширные области математики»¹²³.

История Великой теоремы Ферма действительно поражает школьников, которых мы обучаем в наших летних лагерях. Во-первых, они удивляются тому, что кто-то работал над математической проблемой более семи лет[27], формулировку которой они вполне могут понять. Это меняет их представления о времени, которое им «следует» тратить на решение задач. На них также производит впечатление тот факт, что из ошибки выросли новые и важные области математики; вся эта история помогает подчеркнуть ценность ошибок в нашем мышлении и открытиях.

Скомканная бумага

Примерно в 2013 году, когда МОДК (массовые открытые дистанционные курсы) обрели популярность, я начала сотрудничать с экспертом Себастьяном Труном, профессором информатики из Стэнфорда, который ранее руководил разработкой роботизированного автомобиля. Себастьян тогда как раз основал образовательную организацию Udacity, предлагающую онлайн-курсы для всех желающих. Поработав с Udacity, я создала собственные МОДК для учителей математики – в виде онлайн-курса в Стэнфорде¹²⁴. У меня не было уверенности, что такой курс кого-нибудь заинтересует, и меня приятно удивило, что уже в течение первого лета его прослушали тридцать тысяч человек. В своем первом онлайн-курсе я рассказала о ценности ошибок и попросила участников придумать задание, которое помогало бы учащимся видеть их важность. Мне понравился вариант, присланный одной учительницей. Она предложила, чтобы ученики брали лист бумаги, сминали его с яростью и разочарованием, которые испытывают при трудностях, и швыряли бумагу в доску.

Затем учащимся предлагалось развернуть лист бумаги и раскрасить получившиеся линии: они демонстрируют рост мозга и построение связей в нем.

Выберите свою любимую ошибку

Я высоко ценю популярную среди учителей практику – выбрать «любимую ошибку» и рассказать о ней. Подобный метод позволяет не только продемонстрировать позитивное отношение к ошибкам, но и рассмотреть математические принципы, которые лежат в основе идей, изучаемых в классе или дома. Это полезно, поскольку область понимания любой математической задачи всегда выходит за рамки самого задания, и это важно учитывать.

Например, когда школьников просят сложить дроби 2/3 + 1/4, всегда найдутся несколько учеников, которые дадут ответ 3/7. Это ценная ошибка, которая вполне заслуживает обсуждения в классе. Если бы я вела такой урок, я бы начала со слов: «Это интересный пример, поскольку Надж сложил числители дробей, получив 3, и знаменатели, получив 7. О таком методе полезно поразмыслить. Однако другие ученики предложили ответ 11/12. В математике встречаются задачи, у которых есть несколько правильных ответов. Может быть, это одна из них? (Здесь я жду ответа школьников.) Если это не наш случай, то нам предстоит решить, какой ответ правильный и почему»¹²⁵.

Во время подобных дискуссий классом управляет не учитель, который мог бы легко дать правильный ответ, а математика, поскольку школьников просят обосновать свой путь к полученному результату. Мне нравится, когда класс предлагает разные ответы на вопрос: это говорит о том, что мы столкнулись с интересной проблемой, где есть что обсудить. Когда я прошу учеников поделиться своими рассуждениями, я также приглашаю их выйти к доске и отстоять тот ответ, который они считают правильным, добавляя (как я надеюсь) наглядные примеры. Когда мы совместно приходим к выводу, что данный ответ правилен, я всегда отмечаю важность ошибочного ответа для развития нашего понимания.

Аналогичное упражнение, которое мне очень нравится, – предлагать школьникам работу якобы другого школьника (хотя на самом деле ошибочное решение придумываете вы сами) и просить учеников дать отзыв на нее. Всегда полезно потратить время на размышления о том, почему работает или не работает тот или иной подход к решению задач. Когда при изучении математики люди совершают ошибки, в их рассуждениях зачастую обнаруживается определенная логика, и очень важно обнаружить эту логику и уделить ей внимание.

Все это – примеры того, как можно обсуждать ошибки и нестандартные вещи, делая математику гораздо интереснее и разнообразнее.

Используйте видеоролики и статьи

На нашем сайте youcubed.org можно найти ресурсы, помогающие учащимся формировать позитивное отношение к борьбе и ошибкам. Среди них видеоролики¹²⁶ и новостные статьи из журнала Science News¹²⁷.

Ученые и педагоги уже давно осознали ценность борьбы и ошибок. Задолго до того, как неврологи продемонстрировали важность таких моментов для нашего мозга, швейцарский психолог Жан Пиаже (1896–1980) заявлял о ценности нахождения учеников в состоянии неравновесия, что-то вроде «когнитивного дисбаланса», что побуждает нас изменить свои модели обучения и перейти к состоянию равновесия¹²⁸. Лев Выготский (1896–1934), еще один титан психологии и преподавания, уделял особое внимание тому, что он называл «зоной ближайшего развития», – пространству между тем, что учащиеся могут сделать без внешней помощи, и тем, на что они способны с помощью опытного наставника¹²⁹. Оба психолога понимали, что те моменты, когда учащиеся находятся в состоянии неравновесия или нуждаются в помощи взрослых, и являются самыми важными для их обучения. Сегодня мы знаем, что наиболее полезным для деятельности и развития мозга является время, когда учащиеся прикладывают усилия и работают на грани понимания. Несмотря на все эти факты, ученики повсеместно нервничают из-за трудностей и ошибок, что негативно сказывается на их дальнейшей учебе.

Нам – как обществу, а не только в рамках школ – необходимо пересмотреть распространенный в нашей культуре страх перед ошибками и борьбой, поскольку и то и другое имеет огромную важность и ценность для развития знания и креативности мозга.

Возможно, прежде чем помогать учащимся с формированием позитивного настроя, взрослым нужно как следует провести работу над собой. Во-первых, следует отказаться от чрезмерной самокритики, если у нас что-то не получается. Нормальное отношение к неопределенности и усилиям позволяет нам комфортно взаимодействовать с другими людьми; при этом важной частью является демонстрация такой нормальности. В какой бы стадии вы ни находились на пути к принятию себя и своих ошибок, я надеюсь, что эта глава вдохновила вас создать дружелюбную среду для ваших учеников и помогла вам самим сформировать положительное отношение к трудностям и ошибкам. Обучение – это процесс, а не результат, и именно во время борьбы открываются самые динамичные возможности.

Настало время для новых идей по изучению математики, которые, я надеюсь, вы примете с той открытостью и позитивным настроем, которые заложили первые главы книги.

Моя цель при написании этой книги – изложить идею ish-математики и показать математическое разнообразие. Ish-математика и понятие ish, как вы узнаете из этой главы, – это разнообразный подход к пониманию математики в том виде, в каком она существует в повседневной жизни самых разных людей. Концепция математического разнообразия включает в себя ценность культурного разнообразия и различий между людьми, а также многообразие в подходе к математике, признание различных способов видения и мышления. В главе 1 говорилось, что обе эти формы разнообразия (особенно совместно) способствуют эффективному сотрудничеству, решению задач и высоким результатам¹³⁰. В летних лагерях центра Youcubed мы с командой преподавали школьникам из разных стран, и учеба шла успешно, потому что наш математический подход ценил и учитывал различия между учащимися, уважая их разные способы видения, мышления и решения задач¹³¹. Разнообразие школьников обогатило математическое разнообразие, а математическое разнообразие расширило их опыт.

Наиболее убедительное и масштабное исследование влияния расового разнообразия принадлежит одному из моих коллег по Стэнфорду Шону Рирдону, который занимается изучением неравенства в сфере образования. Шон и его коллеги исследуют образовательные возможности, опираясь на колоссальный набор данных: сведения об успеваемости за 11 лет для более 50 миллионов учеников в более чем в 10 тысячах округов. Эти сведения позволяют сделать важнейший вывод: расовая сегрегация учащихся связана с разрывом в успеваемости, который начинается в третьем классе и продолжается до восьмого класса¹³². Сегодня школы не разделены по расовому признаку, как это было шестьдесят лет назад, однако за последние тридцать лет расовая и экономическая сегрегации увеличились. В 2022 году в той школе, где учился средний чернокожий ученик, было на 32 % больше чернокожих школьников и школьников латиноамериканского происхождения по сравнению со школой среднего белого ученика¹³³. Когда школы и сообщества не отличаются разнообразием, проигрывают все, особенно если учесть недостаточное финансирование многих школ и сообществ, и это приводит к существенным непростительным разрывам в возможностях, которые сильнее затрагивают цветных детей и детей из малообеспеченных слоев.

Исследование Рирдона демонстрирует, что равенство является важной целью для нас как общества, из чего следует, что нам необходимо пересмотреть организацию наших школ. За годы сотрудничества со школами Великобритании и США я убедилась, что наиболее эффективными являются те из них, где присутствует существенное разнообразие всех видов – расовое, культурное, социальное и так далее. Люди получают пользу, если открыты для нового и ценят разнообразный вклад различных культур и людей¹³⁴. При бережном преподавании у молодежи развивается уважение друг к другу, преодолевающее расовые, социальные и культурные различия, – одна из важнейших целей образования¹³⁵.

Разнообразие улучшает жизнь, а это улучшает математику.

Несколько лет назад мне позвонили с предложением помочь в создании благоприятной среды для более разнообразной математики в школьной системе двенадцатилетнего образования (K–12). Звонивший не принадлежал к моему профессиональному кругу общения и не был связан ни с образованием, ни с математикой. Это был Стив Левитт, экономист из Чикагского университета, прославившийся благодаря своей книге «Фрикономика»^136[28]. Он пригласил меня на подкаст, который обычно ведет его соавтор Стивен Дабнер. К этому разговору Левитта подтолкнуло недовольство домашними заданиями по математике, которые давали его детям в старшей школе, и в целом тем математическим материалом, который им преподавали. Он осознавал, что это та же самая математика, которую он изучал в школе, однако его собственная работа, связанная с экономическими исследованиями, использовала математику и математические инструменты, которые, по его словам, не имеют ничего общего с тем, что изучают его дети.

Такое несоответствие сподвигло Левитта провести специальный выпуск передачи под названием «Программа математики в Америке не сходится»¹³⁷. Выпуск начался с того, что его дочь-школьница прочитала в шутовской манере:

Затем состоялась оживленная дискуссия, в которой приняли участие я, экономист и бывший преподаватель Салли Садофф, аналитик-исследователь Дафна Ворченко и президент Совета колледжей[29] Дэвид Коулмен. Немало было сказано о несоответствии между математикой, которую следует преподавать, и математикой, которую преподают.

Коулмен сообщил, что Совет провел опрос преподавателей различных дисциплин в колледжах и средних школах на тему, какие разделы математики больше всего нужны для учебы. Он заявил, что разница в ответах этих двух групп «разбивает сердце»:

Это сильные и важные слова. Для преподавателей колледжа немногие вещи важны и имеют большое значение. Однако учителя средней школы считают, что охватить нужно всё. Это неудивительно, ведь штаты, округа, стандарты учебных программ, учебники и тесты внушили школьным учителям, что они должны обучать всему, что перечислено в стандартах. В главе 6 я попытаюсь помочь с проблемой, с которой сталкиваются все учителя программы K–12 и некоторые родители: как при таком изобилии материала учить со смыслом и обеспечить разнообразие, необходимое для школьников.

Возможно, вы сейчас задаетесь вопросом: какие именно немногие вещи имеют значение? Какие темы, по мнению профессоров колледжей, важны для различных курсов и математического будущего учащихся в целом?

Первая базовая математическая область (которую Дэвид называет «скромной») – арифметика (четыре операции и дроби); это та часть математики, которую я называю чувством числа. Вторая область – анализ данных и решение задач, включая такие понятия, как отношения и пропорции, позволяющие людям видеть, как величины соотносятся друг с другом; я называю это грамотностью данных. Третья область – линейные уравнения, часть математики, которая описывает, как вещи в жизни соотносятся друг с другом; она используется во многих дисциплинах. Эти три области математического мышления не только необходимы для учебы в колледже, но и больше всего востребованы в жизни и работе. С каждой из них можно знакомиться узким способом – как с набором правил, методов и процедур, а можно разнообразными ish-путями, подчеркивающими их потенциал, красоту и применимость в нашей жизни. В этой главе мы начнем рассматривать эти три области. Что в них интересного? И как мы можем работать с ними разнообразными ish-способами?

Чувство числа

Числа очень важны, но в обществе в целом они имеют негативную репутацию. Многие даже не подозревают, что числа обладают врожденной красотой; и это неудивительно, ведь подавляющее большинство никогда не пытались увидеть эту красоту. Как правило, люди относятся к числам и арифметике как к холодным, отчужденным объектам, не имеющим отношения к их жизни. Такое представление формируют учебные программы, разработанные в большинстве стран и штатов. Профессор Королевского колледжа Лондона Стивен Болл называет «программой мертвых» те учебные стандарты, которые не признают роли людей в производстве знаний, транслируя вместо этого «неоспоримое суждение поколений», и не предусматривают место для собственных экспериментов или представлений учащихся¹³⁹. Перечни математических методов, включенные в национальные стандарты и программы, безусловно, подходят под это описание. Когда книгоиздательские компании трансформируют эти стандарты в вопросы узких учебников, учащиеся начинают воспринимать числа как черствые жесткие факты, лишенные какого-либо культурного разнообразия или разнообразия вообще.

История чисел

Я оспариваю ту безжизненную и безличную версию чисел, с которой сталкиваются ученики, и один из способов для этого – рассказ о богатой культурной истории их развития.

Немногие школьники знакомятся с историей чисел, а зря.

Многие ученые сходятся во мнении, что первые количественные записи в мире появились в бразильской Амазонии¹⁴⁰. На рисунках, созданных местными индейцами более десяти тысяч лет назад, имеются крестики, обозначающие дни, месяцы и другие циклы. Археологи обнаружили множество свидетельств того, что древние жители Бразилии уделяли внимание количеству, и теперь эти находки считаются первыми древними числовыми величинами.

В центральной Африке найдена кость, которая на протяжении многих поколений является предметом восхищения историков. Так называемая кость Ишанго имеет глубокое математическое значение; считается, что ее возраст – двадцать тысяч лет, а отметины на ней свидетельствуют о знании простых чисел и десятичной системы. Эти первые указания на важные элементы нашей системы счисления обнаружены на территории современной Демократической Республики Конго¹⁴¹.

Я предлагаю учащимся посмотреть на изображение кости, которое взято из замечательной книги Клаудии Заславски (рис. 4.1), и задаю такие вопросы: «Почему вы думаете, что на кости изображены цифры? Как вы думаете, для чего использовалась эта кость?» Это позволяет им глубже оценить разнообразие нашей математической истории и расширяет представление об ish-числах в мире[30].

Шумерская цивилизация – самая ранняя из цивилизаций Месопотамии (Междуречья), располагающаяся на территории современного Ирака. Позже там же жили вавилоняне; считается, что именно шумеры и вавилоняне впервые начали использовать алгебру¹⁴². Большинство найденных глиняных табличек с алгебраическими знаками датируются 1800–1600 годами до нашей эры. Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр», что означает «восстановление, восполнение». Если проследить развитие во времени, то окажется, что наша западная система счисления происходит от арабской, которая, в свою очередь, произошла от индийской. Именно ученые Индии придумали ноль. Одно из первых применений чисел – фиксация времени. Людей интересует, почему наша система определения времени использует 12 или 24 часа; ответ на этот вопрос отсылает нас к египтянам, которые более трех тысяч лет назад разработали солнечные часы. Решение разделить день на 12 единиц было обусловлено тенью, которую они видели на солнечных часах. Они выделили 10 единиц от восхода до заката, а затем добавили одну единицу для рассвета и еще одну для сумерек. Греческие астрономы официально кодифицировали такую систему в эллинистический период – около 323 года до нашей эры. Такое деление со временем сохранилось; вот почему у нас в сутках 24 часа.

Рис. 4.1. Две стороны кости Ишанго. К. Заславски. «Математические игры и занятия со всего мира» (Math Games and Activities from Around the World).

Перед нами лишь несколько примеров из истории чисел, с которой школьников зачастую не знакомят. Я же считаю, что они демонстрируют богатую культурную историю математики, которая удивительно разнообразна, охватывает весь мир и является частью каждой культуры.

Я думаю о математике как о линзе, через которую можно смотреть на мир; когда мы вооружаемся таким инструментом, мы видим гораздо больше, замечая закономерности и интересные взаимосвязи.

Притягательность закономерностей

Числа очаровывали меня всегда, и я уверена, что причина тому – мое раннее знакомство с числами как с визуальной и физической игровой площадкой. Я часами возилась с набором палочек Кюизенера, которые принесла мне мама: несмотря на внешнюю простоту, они обладают невероятной мощью (рис. 4.2). Десять цветных палочек обозначают числа от 1 до 10. Их изобретатель, бельгийский педагог Жорж Кюизенер, обратил внимание, что дети изучают музыку, используя клавиши инструментов. Он решил, что аналогичный сенсорный опыт позволит им понять отношения между числами¹⁴³.

Если у вас есть маленькие дети, я советую вам купить набор палочек Кюизенера и просто выложить их на стол. Дети интуитивно начнут играть с ними, выстраивать и исследовать закономерности.

Рис. 4.2. Палочки Кюизенера.

В детстве я обожала эти цветные палочки и долгие часы раскладывала их разными способами, исследуя числовые закономерности. Когда я стала старше, у меня появился калькулятор, и я тратила много времени в школе (когда положено слушать учителей), вводя разные числа и применяя к ним различные операции, чтобы посмотреть, что с ними происходит. Я вела записи, и эта привычка сохранилась на всю жизнь. Мои детские блокноты часто содержали числовые закономерности, которые я продолжала исследовать целыми днями. Надеюсь, читатели не подумают, что я какой-то математический гений, которого с ранних лет тянуло к цифрам. Если что-нибудь и можно извлечь из этой истории, так это то, что я с раннего возраста научилась играть с числами; я умела воспринимать их визуально, физически и гибко; и благодаря этому у меня развился интерес к числам и восхищение ими.

Сейчас, будучи профессором в Стэнфорде, я восстановила связь со своей первой любовью: я предлагаю студентам изучать закономерности с помощью палочек Кюизенера.

Это занятие (как и многие другие, которые я высоко оцениваю и которыми мы делимся на нашем сайте youcubed) кажется простым – им может заниматься любой, включая маленьких детей, – однако оно выходит на весьма высокий уровень, который бросает вызов учащимся. В одном из моих любимых видеороликов моя студентка Ясмина Хан с помощью палочек Кюизенера дает наглядное доказательство одной сложной математической закономерности. В процессе доказательства она перемещает палочки, выделяя скрытое правило. Не будет преувеличением сказать, что, когда люди смотрят это видео, их изумляет и трогает замысловатость и красота той закономерности, которая появляется перед ними.

Людям действительно нравится смотреть этот ролик, и они спрашивают меня, можно ли посмотреть его еще раз и показать ученикам. Я люблю наблюдать за реакцией на наглядное доказательство Ясмины, ведь в эти моменты люди проявляют свою признательность, причем они признательны за нечто очень чистое – красивую, наглядную числовую закономерность, которая обеспечивает более глубокий смысл, нежели числа по отдельности.

Многие спрашивают, чем Ясмина занимается сейчас, предполагая, что она, возможно, трудится в сфере хайтека[31]. Ясмина работает в компании, занимающейся решением глобальных проблем[32]. Она говорит, что по-прежнему благодарна моим занятиям, поскольку они изменили ее ментальность и подход к математике; это помогло ей закончить «несколько курсов высшей математики (линейная алгебра, анализ функций нескольких переменных, теория вероятностей и статистика)» в Стэнфорде, что позволило добиться дальнейших успехов.

Очень важно обсуждать с людьми математику, которая имеет отношение к окружающему миру, однако я также знаю, что людей всех возрастов завораживают закономерности, связывающие числа. Дэвид Коулмен, руководитель Совета колледжей, подчеркивает важность чувства числа для учащихся, поступающих в колледж, и я твердо убеждена, что оптимальная база для чувства числа, которую мы можем дать любому человеку, начинается с приглашения поиграть с числами, понаблюдать за закономерностями и подойти к ним ish-способами. Этот опыт становится еще более значимым, когда числа обретают наглядность.

Брент Йорги – преподаватель математики и информатики в колледже Хендрикса. Когда я впервые увидела его визуализацию чисел, я была совершенно очарована¹⁴⁴.

Мы с командой часто предлагаем учащимся и преподавателям рисунок 4.3 и просим их сначала написать соответствующее число рядом с каждым изображением, чтобы они могли увидеть это число и получить наглядное представление о его составе – о его делителях и связях с другими числами. Затем мы просим поискать интересные закономерности. Когда мы занимаемся этим в школе, ученики с восторгом рассказывают о различных замеченных ими схемах. Некоторые из них представлены на рисунках 4.4–4.7:

• Все числа, кратные 3, имеют схожую структуру, которая указывает на их «тройственность» – все они включают треугольники.

• Все числа, кратные 7, имеют форму семиугольника.

• Все числа, кратные 6, обладают схожей формой.

• Простые числа (кроме 2) изображены в виде кругов.

Рис. 4.3. Визуальные представления чисел Брента Йорги.

Рис. 4.4. Числа, кратные 3.

Рис. 4.5. Числа, кратные 7.

Рис. 4.6. Числа, кратные 6.

Рис. 4.7. Простые числа.

Рис. 4.8. Число 2.

Большое впечатление произвел на меня учитель из Аризоны по имени Рэнди, который обратил внимание, что простые числа изображаются в виде кругов. Он страстно доказывал, что число 2 тоже можно считать кругом, и объяснял это, рисуя два круга на орбите (рис. 4.8).

Здесь Рэнди проявил математическую гибкость – важный творческий акт, который мы рассмотрим в главе 5.

Однажды я рассказала о такой визуализации чисел в одном из классов средней школы и попросила учеников поискать закономерности. Через несколько дней, когда я снова заглянула в эту школу, ко мне подошла одна из мам. Она взволнованно и воодушевленно спросила меня, что я сотворила с учениками, если ее дочь, ненавидевшая математику и не верившая, что эта наука ей может понравиться, изменила свое мнение. Я уже не раз наблюдала подобную реакцию; она происходит, когда люди осознают, что они могут «видеть» числа и играть с ними и что математика – творческая сфера. Когда учащиеся понимают, что числа – это не просто далекие жесткие факты, а классные милые персонажи, в их учебе все меняется.

Возможность просто поразвлечься с числами и числовыми закономерностями выходит за рамки стандартов, предусмотренных учебной программой. Поиграв с интересными числовыми закономерностями, люди начинают по-другому воспринимать числа и математику.

Числа всегда можно воспринимать визуально, и такая наглядность добавляет смысл. Помню, как я работала с группой учителей начальных классов, и одна из них радостно воскликнула, что не знала, что квадратные числа носят такое название, потому что их можно нарисовать в виде квадрата:

Рис. 4.9. Квадратные числа.

Визуально представлять квадратные числа гораздо выразительнее, чем использовать показатель степени и писать, например, 4². Людей зачастую шокирует и восхищает, когда мы рассказываем, что 4 – это квадратное число, потому что его можно нарисовать в виде квадрата 2 × 2, а 9 – следующее квадратное число, которое можно нарисовать в виде квадрата 3 × 3. На занятии я также сообщила той учительнице, что квадратные числа получаются в результате последовательного прибавления нечетных чисел, что можно увидеть на рисунке 4.10. В числовом виде это выглядит следующим образом:

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16 и так далее.

Рис. 4.10. Сложение последовательных нечетных чисел.

В тот день я также рассказала ей о треугольных числах – тех, которые можно изобразить точками, расположенными в виде треугольников (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Треугольные числа.

Я преподаю студентам в Стэнфорде уже много лет, и, несмотря на их многочисленные достижения в математике, большинство из них никогда не слышало о треугольных числах. Возможно, вы не сочтете это великой потерей для них: многие из этих студентов изменят мир благодаря своей работе в сфере образования, в благотворительных организациях, в компаниях, которые создадут и возглавят, в своих изобретениях; однако треугольные числа необходимы во многих областях математики, включая теорию вероятностей, алгебраические функции и т. д. Студенты изучали эти области, не прибегая к такому интересному представлению чисел. Конечно, это лишь симптом более серьезной проблемы – преподавание математики как предмета, жонглирующего символами и числами, лишенного математического разнообразия и радости. Когда мы предлагаем учащимся познакомиться с треугольными числами, узнать о визуальных представлениях и месте чисел в нашей истории и культуре, мы приглашаем их в важный мир числовых закономерностей и гибкости.

Ish-математика

Числа повсюду, и все мы используем их в той или иной степени каждый день. Однако в нашем повседневном употреблении чисел есть кое-что примечательное – то, что отличается от работы с ними в школе. Когда мы обращаемся к числам в жизни и на работе, они почти всегда являются приблизительными, и я называю их ish-числами. Для некоторых людей идея ish-чисел – ересь, поскольку они полагают, что числа всегда должны быть точными и правильными. Однако в жизни нам нужнее как раз ish-числа, и я считаю, что они могут изменить подход людей к математике, если мы включим их в учебный процесс. Вот несколько вопросов, на которые обычно отвечают с помощью ish-чисел:

• Сколько вам лет?

• Какую фазу луны можно увидеть сегодня ночью?

• Можно мне половинку этого печенья?

• Сколько времени ехать до аэропорта?

• Какая температура на улице?

• Какова площадь Соединенных Штатов?

• Длина Лондонского моста?

• Сколько муки используется в этом рецепте?

• Сколько краски купить, чтобы покрасить эту стену?

Это лишь несколько примеров задействования ish-чисел в повседневной жизни. Формы всегда идут с приставкой ish–, поскольку не существует идеальных кругов, треугольников или прямоугольников. Примеры ish-форм – кубики сахара, воздушные змеи, концентрические круги и пирамиды – показывают нам, насколько ish-подобны многие обычные формы.

Такие числа и фигуры встречаются повсеместно; мы видим их каждый день. Я рассказываю о них здесь не только потому, что они любопытны и интересны сами по себе, но и из-за их важности. Когда педагоги Великобритании захотели улучшить преподавание математики, они организовали комитет под руководством уважаемого педагога-математика сэра Уилфреда Кокрофта. Комитет особенно выделил важность оценивания, описав его следующим образом:

Промышленность и торговля в значительной степени зависят от умения оценивать. Здесь важны два аспекта. Первый – это способность судить, насколько разумен результат проведенного расчета или выполненного измерения. Это позволяет обнаруживать ошибки или избегать их; в качестве примера здесь можно привести ежемесячный счет, который заметно отличается от предыдущих, или отмеренную дозу лекарства, которая выглядит неправдоподобно большой или маленькой. Второе – это способность выносить субъективные суждения о различных показателях¹⁴⁵.

Возможно, самая ценная математическая способность, которую может развить любой школьник или взрослый, – способность оценить, правдоподобен ли данный результат вычислений, однако большинство учащихся упускают это. Меня это не удивляет, поскольку во всем мире при обучении математике основной акцент делают на точность и аккуратность, а приблизительной оценке и ish-ности не уделяется должного внимания. Британский комитет отметил, что на работе люди «активно опираются» на способность давать оценку. Я сама много раз в жизни использовала свою способность оценить ответ при числовых вычислениях и решении других математических задач.

Сюзанна Даунс, преподаватель математики в международных школах, говорит:

Меня огорчает, что младшеклассники и старшеклассники, когда их просят разделить в уме 272 на 8, пытаются выполнить длинное деление, не чувствуя, имеет ответ смысл или нет. То же самое касается сложения и вычитания смешанных дробей. Когда их просят сложить 19¾ и 27⅓, многие ученики превращают оба числа в неправильные дроби с общим знаменателем. При этом они теряют бо́льшую часть смысла этих чисел. Может быть, мы недостаточно уделяем времени осознанному подходу к выполнению задач? Неужели не хватает времени, чтобы привить радость от чувства числа и логического мышления?

Не только Сюзанна озабочена тем, что ученики дают бессмысленные ответы, поскольку не обладают важной способностью, отмеченной британской комиссией, – умением прикинуть, каким должен быть ответ, то есть подобрать ish-число, помогающее оценить, является ли их ответ правдоподобным. Эта проблема затрагивает учеников всех классов и всех уровней. Сюзанна задается вопросом, не связано ли это с недостатком времени. Возможно, это играет свою роль, однако у меня есть решение, которое поможет справиться даже с этой насущной проблемой и которое все учителя или родители смогут использовать в любое время. Эта идея невероятно эффективна и годится для всех учащихся.

Вводите ish-числа и ish-фигуры в преподавание математики и цените их!

Я предлагаю, чтобы перед тем, как заняться вычислениями или решать любую другую математическую задачу, мы прикидывали, каким будет результат, и давали ish-ответ.

Вернемся к примеру Сюзанны с числом 272, деленным на 8. Если бы мне в жизни понадобился ответ на этот вопрос, я бы прикинула, что 8 × 30 = 240, поэтому ответ должен быть несколько больше 30. Поэтому я могла бы дать ish-ответ 32.

Я могу получить такое ish-число только потому, что у меня развито чувство числа – тот самый подход к числам, на отсутствие которого у учащихся сетуют многие педагоги. Если вы попросите учеников дать примерный ответ перед вычислениями, то, скорее всего, обнаружите, что они сначала вычислят точный, а затем округлят его, чтобы он выглядел оценкой. Они не жалеют сил на все это, потому что их не научили оценивать и подбирать ish-числа. Если бы люди перед вычислениями делали паузу и задумывались о приближенном ответе, это помогало бы им развивать чувство числа, они не давали бы бессмысленные ответы и научились бы ценить ish-ность – важнейший инструмент для жизни.

Просить людей предварительно прикинуть ish-ответ можно при решении самых разных задач. Например, вы можете спросить школьника, получившего задание построить график функции f(x+3): «Как, по-твоему, он будет выглядеть?» Когда мы просим учеников предварительно подумать о том, что они ожидают получить, мы делаем нечто чрезвычайно ценное для них. Когда я работала над этой книгой, я совершила изящную ошибку. Я хотела отправить электронное письмо своему другу-специалисту по когнитивной психологии, чтобы узнать его мнение о когнитивных процессах, связанных с ish-числами. Однако письмо случайно ушло человеку с очень похожим именем – нейробиологу из Стэнфорда. Он любезно ответил, что письмо, вероятно, предназначалось не ему, но при этом сообщил, что был восхищен моим вопросом; он отметил, что эти два процесса – работы с приблизительными и точными величинами – вероятно, задействуют разные области мозга: лобно-теменную сеть контроля (FPCN) и сеть пассивного режима работы (DMN). Нейробиологов интересует вопрос связности и коммуникации мозга, поскольку они понимают, что улучшение функционирования происходит благодаря синхронизации в работе различных областей¹⁴⁶.

Такой акт прогнозирования кажется мелким действием, однако при этом происходит очень важная вещь: мозг переходит из состояния сосредоточения в другой режим. Происходит сдвиг от мышления, сконцентрированного на точности, к режиму «общей картины» или от микро– к макромышлению¹⁴⁷. Обучение математики пойдет куда проще, если люди научатся использовать разные режимы мышления. Когда учащиеся оценивают, работают с ish-числами, они находятся в режиме «общей картины». Они также могут давать и выверенные ответы, но ценностью обладает именно взаимодействие между этими двумя режимами – точными и ish-числами (или сосредоточенным режимом и «общей картиной»).

Точность немаловажна, но не менее важны и ish-числа (и формы); несмотря на это, при обучении школьников математике им почти не уделяется внимания. Эти неброские числа могли бы оказать огромную помощь ученикам, открыв путь к развитию чувства числа и формы. Они также помогут смягчить острые углы математики – а ведь именно это требуется многим школьникам, чтобы втянуться в процесс. Учителя могут использовать ish для работы с учащимися, которые уже почти у цели, но еще не достигли ее. Когда мы привносим ish в нашу жизнь, мы становимся более защищенными от опасностей перфекционизма (пагубной установки), а также от бинарного мышления[33]. Меня спрашивали, чем использование ish-чисел отличается от приблизительной оценки. Казалось бы, разные формулировки, но все же между ними есть небольшая разница. Когда мы просим учеников оценить что-то, они считают, что их просят прибегнуть к очередному математическому приему. Но когда мы просим их воспользоваться ish-числами, они чувствуют себя свободнее и охотнее делятся своими идеями, одновременно развивая чувство числа. Зайдите на сайт Mathish.org, и вы увидите, как ish-точка зрения улучшает вовлеченность и понимание учеников. Возможно, всем нам нужно больше ish в жизни.

Потребность учеников в оценивании величин также вытекает из увлекательной области нейронауки, занимающейся частью мозга под названием «система приблизительной оценки количества» (ANS). Психолог Дарко Одич и нейробиолог Ариэль Старр утверждают, что еще до начала учебы в школе у детей формируется «интуитивное, абстрактное и гибкое» чувство числа, которое опирается на эту область¹⁴⁸. Это базовая система, позволяющая людям начать понимать числа, и исследователи отмечают, что ANS существует в разных культурах, возрастах и даже у некоторых животных. Как следует из названия, эта часть мозга фокусируется конкретно на аппроксимации чисел[34] и – что примечательно – прогнозирует успехи учеников в математике на много лет вперед¹⁴⁹. Однако мы прикладываем мало усилий для развития ANS. В следующей главе я расскажу о прекрасном упражнении, которое подойдет абсолютно всем и которое способствует развить систему приблизительной оценки.

Наше совместное размышление о разнообразии чисел и необходимости играть с ними и приветствовать их ish-ность начинается с природы самих чисел. Если бы люди уделяли время изучению чисел, исследованию числовых закономерностей и ish-чисел, гибким играм с числами, они бы набирали бо́льшую математическую силу, а маленькие дети обеспечивали себе оптимальный старт в математике. Но это касается не только молодых: взрослые также могут поменять свое отношение к математике, если начнут воспринимать числа в игровой форме.

Далее мы увидим еще больше ish-форм. Если мы хотим, чтобы математика стала полезной линзой, через которую ученики смотрят на мир, очень важно, чтобы мы ценили ish-природу чисел и фигур, приветствовали их и в большей степени опирались на них на занятиях. Когда я впервые поделилась идеей ish на одной математической конференции, один из слушателей порекомендовал мне прочитать детскую книгу Питера Рейнольдса Ish. В этой прекрасной книге, вдохновившей многих учителей и учеников, автор рассказывает историю Рамона, мальчика, который обретает веру в себя и мотивацию продолжать рисовать, когда думает «ish-но». В своей книге Рейнольдс отразил суть того, что я надеюсь выразить с помощью ish-математики. Когда мы позволяем ученикам думать о математике «ish-но», это раскрепощает их мышление и зовет в новые края математического творчества и разнообразия.

Большинство учащихся не знакомятся с математикой в ish-ной, игровой, визуальной или любых других формах, что идет им во вред. Это уже достаточно плохо, но все действительно начинает идти наперекосяк, когда дети начинают изучать математические операции – сложение, вычитание, умножение и деление, а затем и дроби. Эти важные и весомые темы нужны людям в течение всей жизни, и скоро мы начнем изучать их творческим образом. Но до этого мы рассмотрим область математики, которая зародилась совсем недавно, но уже играет важную роль в подготовке нашей молодежи к будущему, предлагая еще одну возможность увидеть красоту математического разнообразия и ish-ность.

Информационная грамотность

Около десяти лет назад в мире произошли значительные перемены: мы стали собирать и хранить все бо́льшие и бо́льшие объемы данных. В 2020 году количество битов информации на планете в 10 раз превосходило число звезд во Вселенной. Сегодня данные используются во всех видах бизнеса, больших и малых, в спортивной аналитике, здравоохранении, образовании, развлечениях и практически во всех областях, какие только можно вообразить. Федеральное бюро статистики труда США считает науку о данных одной из двадцати самых быстро развивающихся профессий, и, по его оценкам, в ближайшие десять лет спрос на таких специалистов возрастет более чем на 30 %¹⁵⁰. Нет сомнений, что современные дети, выйдя из школы, попадут в мир, наполненный данными, и почти все работники будут трудиться более эффективно, если научатся читать и интерпретировать информацию¹⁵¹.

Однако такое умение принесет пользу не только на рабочем месте. Как только молодые люди начинают пользоваться социальными сетями и интернетом, они становятся уязвимыми к дезинформации. Мы должны помочь им научиться отделять факты от вымысла, разбираться в получаемых визуальных источниках, включая и те, которые призваны ввести их в заблуждение. Я считаю это необходимым для обеспечения справедливости. Если мы не научим нашу молодежь разбираться в бесчисленных пластах информации и отбирать только нужные сведения, мы оставим их беззащитными перед ожидающим их миром, где эмоции превалируют над фактами. Даже самых маленьких можно и нужно знакомить с информацией, и в оставшейся части этой главы я изложу несколько серьезных идей, касающихся грамотности в сфере данных, которые важны для всех, а также соображения о развитии информационной грамотности в семьях и классах.

Когда Стив Левитт приглашал меня выступить в одном из выпусков «Фрикономики», он рассказал о группе лиц, которые продвигают идею внедрять уроки по информационной грамотности в программу двенадцатилетнего образования К–12. В эту группу входили сам Левитт, Арне Дункан – бывший министр образования, Нейт Сильвер – статистик и создатель сайта FiveThirtyEight, фокусирующегося на анализе опросов общественного мнения, а также Эрик Шмидт – бывший исполнительный директор Google. Я согласилась поучаствовать, и наша команда в Стэнфорде приступила к созданию информационного ресурса для помощи преподавателям. Я понимала, что учащимся необходимо разбираться в данных, но одновременно сознавала, что у учителей просто не найдется места в расписании для нового материала; поэтому мы разработали нечто более полезное, нежели контент, – методику понимания данных, которая позволит учителям внедрять идеи работы с данными в те курсы, которые они уже ведут¹⁵². Уже в детском саду дети смогут развивать информационную грамотность, которая поможет в восприятии мира. В школе они познакомятся с данными и вероятностью на уроках математики, а в старших классах смогут пойти на вводные курсы по данным и выбрать программу с акцентом на науку о данных, а не на алгебру, тригонометрию или анализ¹⁵³. К счастью, университеты начинают ценить такие схемы так же высоко, как и стандартную программу анализа.

Системное неравенство: математическая реальность

Гарвардский университет, который, как и многие другие учебные заведения, поддерживает расширение математических курсов, утверждает, что занятия математикой в средней школе должны быть направлены на развитие концептуального мышления: необходимо поощрять школьников рассуждать и анализировать для критического изучения мира¹⁵⁴. Курс науки о данных – идеальная возможность для учащихся приобрести эти важные навыки.

Может показаться, что подобные изменения, позволяющие школьникам старших классов заняться наукой о данных и статистикой, – это небольшой шаг; однако это первый случай изменения математической программы старшей школы с XIX века. В 1892 году Комитет десяти (рабочая группа педагогов из США) разработал учебную программу по математике для школьников¹⁵⁵. Удивительно, что мы до сих пор преподаем по ней, хотя математические потребности мира с тех пор резко изменились. Естественно, перемены встречают серьезный отпор со стороны традиционалистов, которые считают, что школьникам нужно преподавать только алгебру и анализ.

Я люблю и ценю анализ. В нем множество идей, и без него, как отмечает Стив Строгац, у нас не было бы ни сотовых телефонов, ни компьютеров, ни микроволновых печей, ни радио, ни телевидения¹⁵⁶. В моей старшей школе его вела замечательная учительница математики, которая втягивала своих учеников в обсуждение. Она стала первой преподавательницей математики, которая предоставила мне такую возможность, и это полностью изменило мое представление об учебе. Однако в США существует серьезная проблема, связанная с траекторией изучения анализа: число курсов в старшей школе, которые проходят перед изучением анализа, превышает количество лет обучения. Поэтому, чтобы двигаться по программе анализа, ученики должны пройти курс алгебры еще в средней школе. В результате школьные округа создали две учебные траектории в средней школе: одна включает алгебру в 8-м классе, а другая – нет. Зачастую разделение начинается в 6-м классе средней школы, опираясь на данные тестов, проведенных еще у четвероклашек. Это означает, что какой-то узкий тест, который дети проходили в возрасте десяти лет (а то и младше), определяет, какую программу они будут изучать в 12-м классе, и их дальнейшее будущее – колледж или что-то иное. Такая сортировка учеников привела к неоправданному расовому и социальному неравенству. Анализ изучают 46 % учащихся азиатского происхождения, в то время как среди латиноамериканских школьников этот показатель составляет 9 %, а среди черных – 6 %; в целом в США анализ проходят только 16 % школьников¹⁵⁷. Причина в том, что большую часть учеников, особенно цветных, с раннего возраста сталкивают с пути, ведущего к высокому уровню знаний. Программы углубленного анализа предлагает лишь половина старших школ в США (как правило, в более богатых районах), что создает проблемы, если такой курс требуется при поступлении в колледжи¹⁵⁸. Даже у тех 16 % учащихся, которые изучают анализ в старшей школе, преподавание ведется не на должном уровне. Дэвид Брессуд, профессор математики в колледже Макалестер и бывший президент Математической ассоциации Америки, проанализировал данные более 800 тысяч учащихся и обнаружил, что свыше двух третей студентов, изучавших ранее анализ в школе, в колледже либо пересдавали его, либо брали курс более низкого уровня¹⁵⁹.

Решение этих проблем системного расизма и низких результатов, конечно, заключается не в отмене анализа; требуется пересмотреть последовательность и материал занятий. Если бы старшая школа не требовала четырех курсов, предшествующих анализу (алгебра – геометрия – алгебра 2 – начала анализа[35]), то средним школам не пришлось бы выстраивать различные траектории, опирающиеся на результаты начальной школы. Я была одним из пяти авторов программы California Mathematics Framework 2023 – комплекса базовых принципов, единогласно принятых Советом по образованию штата Калифорния. Одна из рекомендаций этой программы – переосмыслить и упорядочить содержание курсов в старшей школе¹⁶⁰. Если из занятий убрать материал, который уже не актуален для современного мира, а оставшуюся программу преподавать в соответствии с рекомендациями Гарварда, чтобы школьники могли «использовать рассуждения для критического изучения мира», у нас будет гораздо больше выпускников, владеющих математикой. Математическая ассоциация Америки рекомендует школам прекратить то, что она назвала «гонкой к анализу», и оставить этот предмет для колледжа¹⁶¹.

Еще один способ преодолеть это системное неравенство – ввести науку о данных в качестве одного из курсов старшей школы. Ученики могли бы изучать ее в десятых-одиннадцатых классах, при этом им не требовалась бы какая-то углубленная подготовка в средней школе. Если раньше большинство учеников, переведенных на низкий уровень, двигались по пути в математическое никуда, то теперь они могли бы остаться на траектории, ведущей в прекрасное математическое нечто. В идеале за курсом науки о данных должна идти статистика. Через год после того, как Стив Левитт попросил меня помочь внедрить науку о данных в программу K–12, моя команда в Стэнфорде разработала курс по этой дисциплине для старшей школы, консультируясь со специалистами и преподавателями статистики. Наша программа опирается исключительно на бесплатные инструменты¹⁶². На момент написания этих строк американским школьникам доступны пять курсов по науке о данных. На второй год существования нашей программы ее уже прошли более 160 тысяч школьников. Их учителя рассказали, что среди учеников:

• 46 % девушек,

• 57 % цветных людей,

• 68 % людей, не имевших особой математической подготовки.

Этот бесплатный курс предоставляет возможность изучать математику каждому – вне зависимости от его математического прошлого. Исследования студентов, изучающих науку о данных, показывают, что к концу курса они активнее занимаются математикой и с бо́льшим энтузиазмом относятся к дисциплинам STEM (естественные науки, технологии, инженерия и математика) и к высшему образованию¹⁶³.

К сожалению, традиционалисты выступают против открытости и расширения возможностей для людей, которые обычно не имеют шансов учиться и работать в сфере STEM. Борьба за то, чтобы математика была доступна большему числу людей, ведется на протяжении всей истории человечества¹⁶⁴. Что интересно, противодействие исходит от тех, кто добился больших успехов в этой дисциплине. Циник мог бы сказать: идея, что каждый может продвинуться в изучении математики до высокого уровня, угрожает личности тех «особенных» людей, которые продемонстрировали свое превосходство. Другой мог бы заявить, что ему нравится система математического образования, которая сегрегирует детей по расе, гендеру и социальному классу. Конечно, не все выдающиеся математики поддерживают подобные тревожные идеи; я предполагаю, что те, кто выступает против широкого доступа к математике на базе расизма и предвзятости, – небольшая, хотя и громкая группа. К этому вопросу я вернусь в главе 8.

Наука о данных в классах системы К–12 – это не только новая возможность для старшеклассников, но и новый инструмент для взгляда на математику, предлагающий всем преподавателям возможность разнообразить материал для учеников всех возрастов. Когда учителя используют данные, они, возможно, говорят о тех же числах, что и раньше, но теперь эти числа обретают смысл – они отражают реальность мира. Конечно, нужно признать, что все числа, с которыми учащиеся сталкиваются в повседневности, – это ish-числа. Например, вы можете рассказать аудитории о десятичных числах. Вместо того чтобы раздавать ученикам готовые бланки с числами, можно попросить их измерить предметы в комнате или около школы и внести собранные данные в таблицу. Или, скажем, они могут измерить рост растений. Мир полон естественных десятичных и ish-чисел!

Проявляйте любопытство к данным

Существуют не только числовые данные: некоторые являются «категориальными» или «качественными». Например, если вы решите выяснить любимый цвет разных людей, то вы будете собирать категориальные данные.

Числовые данные различаются по важному параметру – они могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывность возникает, когда возможные величины занимают целый интервал. Например, если вы собираете данные о росте людей, формально вы можете получить любое число. Пример дискретных данных – количество ног в вашей семье, включая домашних животных, или количество братьев и сестер в какой-нибудь группе людей. У вас не может быть двух с половиной братьев или ног.

Подобные виды данных окружают нас повсюду, и школьники могут получить массу удовольствия, исследуя данные в собственных мирах. Это придает смысл не только ish-числам, с которыми они сталкиваются, но и математике в целом. Когда ученики освоятся с данными, они могут заняться их изучением, начав с какого-нибудь вопроса, как показано на рисунке 4.12. В исследованиях данных мне особенно нравится то, что они приглашают людей искать закономерности – этот подход помогает во всех областях математики. Когда учащиеся находят закономерности, им предлагается выделить суть и рассказать о своих результатах. Этот процесс прекрасно годится для всех дисциплин и соответствует стандартам в математике, естественных науках (или по любой другой теме исследования), английском языке и во многих других предметах.

Рис. 4.12. Исследовательский процесс для науки о данных.

Идеально начинать урок или семейный разговор с того, что мы называем «беседой о данных». Ученикам предлагается «обратить внимание и поразмышлять» над представлением данных. Очень важно демонстрировать детям наглядные примеры и помогать им улавливать смысл, чтобы развивать ту грамотность, которая будет защищать их в мире, что только и ждет, чтобы ввести их в заблуждение¹⁶⁵. Представления данных можно найти везде: в журналах, газетах, социальных сетях и на сайтах. Когда я провожу такие беседы в классе, я призываю школьников обращать пристальное внимание на данные и их источник.

Такие беседы не только иллюстрируют мощь размышления над информацией, но и демонстрируют учащимся всех возрастов творческие подходы в современной визуализации данных. Примером отставания традиционных учебных программ от потребностей общества является тот факт, что школы предлагают ученикам каждый год в течение пяти лет изучать линейные графики. Однако в современном мире визуализация данных чрезвычайно креативна, и она может продемонстрировать те свойства, на которые неспособны в сезоне 2015–2016. линейные графики. Одна из моих любимых тем – данные о точках на площадке, откуда совершает броски легендарный баскетболист Стефен Карри; они приведены на рисунке 4.13. Ту же самую информацию можно изобразить, используя линейный график, но представление с помощью баскетбольной площадки намного информативнее¹⁶⁶.

Рис. 4.13. Представление данных о бросках с игры Стефена Карри

Когда мы впервые выложили такое наглядное представление на сайте youcubed.org, я поняла, что мы можем также обрабатывать данные из моего любимого вида спорта – футбола. В наши дни подобные данные представляют огромную ценность, поскольку используются для подбора игроков и улучшения результатов футболистов и команд.

Когда я занималась поисками визуальных представлений футбольных данных, я познакомилась с Майклом Помой, который работал аналитиком данных в женской футбольной программе в Университете Джеймса Мэдисона, а сейчас занимается тем же в женской профессиональной футбольной команде «Хьюстон Даш». Его должность, на мой взгляд, демонстрирует тот диапазон работ, что доступен для людей, разбирающихся в данных. Он показал нам схему, приведенную на рисунке 4.14, где изображены футбольные ворота и зоны, в которые летел мяч при пенальти для тех, кто не следит за футболом: пенальти (одиннадцатиметровые удары) назначают за нарушения игроков в пределах штрафной площади, и во время такого удара между бьющим и воротами находится только вратарь). Показатель PSxG, или ожидаемые голы после удара, – это вероятность гола при том или ином направлении удара. Плотность цветов на диаграмме соответствует успешности ударов.

Рис. 4.14. Представление данных по пенальти в матчах женских футбольных команд в Дивизионе I NCAA (Национальной ассоциации студенческого спорта) между 2017 и 2019 годами (примерно 6500 игр).

Я привела две диаграммы, посвященные спорту – области, которая изобилует данными и их анализом и может по-настоящему увлечь учеников, – однако в беседах о данных вы можете выбирать любые темы, например: сведение лесов, стоимость жилья, популярность собак, защита от вирусов и так далее¹⁶⁷. Такие разговоры преподносят данные в наглядной и творческой форме, что способствует продуктивному разговору и, что важно, развитию грамотности в этой области, поскольку люди учатся их читать.

Я родилась в Великобритании, и после переезда в США мне пришлось изрядно полетать через Атлантику. В свете этого мне было особенно интересно узнать о дизайнерах Джорджии Лупи и Стефани Посавек, которые живут по разные стороны океана: Стефани – в Лондоне, а Джорджия – в Нью-Йорке. Чтобы поддерживать связь друг с другом, дизайнеры в течение года каждую неделю отправляли друг другу открытки, в которых делились различными аспектами своей жизни с помощью данных. Они выбирали разные темы – улыбки, смех или нерешительность, а весь проект получил название «дорогие данные»[36] ¹⁶⁸. Для каждой из подобных тем они собирали различные сведения, которые называются переменными. Если переменных несколько, данные именуются многомерными – это центральная идея в науке о данных и в грамотности в этой области. Например, на одной из недель они сосредоточились на прощаниях (рис. 4.15), и собираемыми переменными стали тип прощания, с кем дизайнеры прощались и где оно происходило. Их прекрасные материалы теперь размещены на веб-сайтах и в книгах¹⁶⁹.

Рис. 4.15. Неделя прощаний: открытка, отправленная Стефани Посавек Джорджии Лупи.

dear-data.com.

Вдохновившись работой Стефани и Джорджии, я включила подобные вещи в свой курс в Стэнфорде, в уроки на нашем сайте и в наш курс науки о данных для старшей школы. Я предложила учащимся собрать произвольные данные о своей жизни, используя три или более переменных, и выделила им время для презентации данных в классе. Такое задание в значительной степени изменило взгляды студентов на данные и математику.

Кира Конте – студентка, посещавшая мой курс в Стэнфорде; ее мама работала в центре Youcubed и делилась с дочерью важностью установки на рост. Благодаря этому Кира поступила в Стэнфорд, а затем начала сама исследовать тему ментальности. Когда я предложила студентам задание сделать подборку данных о своей жизни, причем использовать не менее трех переменных, Кира решила сосредоточиться на взаимодействии со своей собакой Дейзи.

Ее данные включали тип взаимодействия, реакцию Дейзи и время суток. Получившийся у нее наглядный материал иллюстрирует креативность, которую можно применять к работе с данными.

Кира Конте

Задание: Как изучать математику – и что-то еще

Профессор Джо Боулер и Таня ЛаМар

Дорогие данные: В течение дня (с 6 утра до 22 вечера, пока я бодрствовала, я фиксировала взаимодействия с моей собакой – голдендудлем[37] Дейзи – и ее (иногда непочтительным) поведением. Обычно мы с ней вместе учимся.

Эти данные – за среду, 4 ноября 2020 года. Ниже вы найдете объяснения. Следует сказать, что порядок действий – от внешнего края лепестка внутрь.

Рис. 4.16. Наглядное представление данных о взаимодействии Киры с ее собакой Дейзи.

В первом разделе нашего бесплатного курса науки о данных учащимся предлагается собрать данные о собственной жизни и создать совместные наглядные материалы¹⁷⁰. Ученики, участвовавшие в этом занятии, сказали, что впервые рассказывают о себе на уроке математики. Один из них решил проследить за своим питанием, в результате чего заметил, что ему необходимо есть больше здоровой пищи! Другой в течение двадцати четырех часов фиксировал действия своего хомяка с помощью диктофона на телефоне. Подростки кодировали музыку, которую слушали, языки, на которых разговаривали дома, и произнесенные ругательства, которые забавно иллюстрировали! Они отмечали, что благодаря личному отношению впервые ощутили связь с изучаемой математикой. Любой учитель может включить такой модуль в свою программу, чтобы ученики получили возможность обрабатывать данные и осмысленно изучать математику.

Учащиеся курса центра Youcubed знакомятся с данными, собирая сведения из своей повседневности. Далее они учатся работать с большими массивами данных, строить и использовать математические модели и овладевать навыками эффективного анализа. Студенты, проходившие курс, утверждают, что данная программа разительно отличается от их предыдущего взаимодействия с математикой – не по уровню строгости или сложности концепций, а по способам доступа и разнообразию идей, с которыми они сталкивались¹⁷¹. Ранее при изучении математики они сталкивались с правильными/неправильными ответами и точностью, что контрастирует с изучением науки о данных, которая, как правило, сильнее связана с использованием и интерпретацией широкого набора идей и интерпретацией ish-чисел. Все это – важные составляющие математического разнообразия. Математическое разнообразие позволяет учащимся добиться более глубокого понимания математики – даже таких традиционных областей, как алгебра. Это продемонстрировал эксперимент с учениками, проходившими курс алгебры 2 и/или курс науки о данных в нескольких школах. Мы просили участников рассмотреть взаимосвязь между различными переменными – суточным потреблением калорий, продолжительностью жизни и младенческой смертностью – и построить линейную модель для этих взаимосвязей. Такой материал мы выбрали потому, что он является центральным как для курсов алгебры, так и для курсов науки о данных. Школьники, занимавшиеся наукой о данных, показали значительно более высокие результаты, нежели те, кто изучал алгебру 2 (уровень значимости p составил менее 0,001). Последнее означает: вероятность, что такая большая разница между уровнями наблюдается случайно, не превосходит одной тысячной. Хотя ученики, изучавшие алгебру 2, должны уметь исследовать переменные и создавать линейные модели, они, похоже, продемонстрировали неспособность работать с реальными данными.

В начале главы я упоминала, как мы просили преподавателей колледжей выделить те области математики, которые важны для учащихся, поступающих в колледж. В тройку упомянутых ими областей вошла та, что была выбрана для приведенного выше эксперимента: работа с линейными зависимостями. Эта важная математическая концепция, показывающая, как переменные связаны друг с другом, преподается в рамках курсов науки о данных и алгебры и находит применение в жизни людей за пределами школ и университетов.

Линейная зависимость

Во время пандемии COVID–19 наши экраны заполонили линейные модели, которые демонстрировали, как распространяется вирус, какую опасность он представляет и как можно минимизировать его распространение с помощью вакцин.

Одни люди, знакомые с наукой о данных, хорошо понимали представленную информацию; многие другие испытывали проблемы и в результате неправильного понимания плохо подготовились к защите себя и своих близких. С помощью линейной зависимости выражается значительная часть информации: вероятно, она попадалась вам в данных о ставках по ипотечным кредитам, о здоровье и фитнесе, спорте, погоде и многом другом.

Говоря о линейной зависимости, нельзя не упомянуть об одной важной концепции, которую изучают на курсах науки о данных: разнице между корреляцией и причинно-следственной связью. На графике на рисунке 4.17 на одной оси показан объем продаж мороженого, а на другой – количество нападений акул.

Многие люди, взглянув на этот график, заметят корреляцию двух переменных и подумают, что изменение одной из них вызывает изменение другой, что означает причинно-следственную связь. Но на самом деле это кажущаяся связь, и она обусловлена третьей переменной – так называемой спутывающей (или спутывающим фактором). Возможно, вы уже сообразили, что это за переменная.

Рис. 4.17. Продажи мороженого и нападения акул.

Спутывающая переменная в данном случае – количество часов жаркой погоды. Чем ярче светит солнце, тем больше людей проводит время на пляже и купается в море; следовательно, растет и количество нападений акул. Одновременно в жаркую погоду растут и продажи мороженого. В результате две переменные – количество нападений акул и продажи мороженого – коррелируют, однако причиной для обеих является третий фактор – количество знойных часов.

Существует множество данных, которые с виду демонстрируют причинно-следственную связь, однако на самом деле их сходство обусловлено одной или несколькими спутывающими переменными. Тайлер Виген даже создал забавный сайт, где выкладывает такие «ложные корреляции»¹⁷². Одна из его корреляций – между потреблением сыра моцарелла и количеством ученых степеней в области гражданского строительства.

Рис. 4.18. Потребление сыра моцарелла и ученые степени инженеров. Министерство сельского хозяйства США и Национальный научный фонд; tylervigen.com.

Когда я показываю аудитории график на рисунке 4.18 и прошу объяснить его, слушатели предполагают, что инженеры, вероятно, ели много пиццы, когда писали диссертацию! На сайте не сообщается, что является спутывающей переменной; вероятно, хотят, чтобы мы продолжали гадать![38]

За годы бесед с различными преподавателями я обнаружила, что, когда люди привносят данные в свою жизнь и в свое преподавание, они начинают воспринимать их и математику более ish-ным образом, то есть эти вещи становятся доступнее и всеохватнее.

По мере того как исследование данных становится все более популярным явлением, распространяется и другое – количество дезинформации, и во многих случаях это приводит к серьезным последствиям¹⁷³. Чтобы защитить себя и других от ложной информации, я рекомендую задаваться следующими важными вопросами каждый раз, когда вы видите данные или их визуальное представление:

• Кто подготовил эти данные? С какой целью?

• Все ли данные отображены? Если нет, то что пропущено?

• Являются ли оси/подписи разумными? Или они сделаны так, чтобы акцентировать на чем-то внимание?

• Какие взаимосвязи бросаются в глаза?

• Являются ли эти связи причинно-следственными, или величины просто коррелируют?

Если вы будете учитывать это в своей жизни, вы защитите себя от негодяев, которые пытаются ввести вас в заблуждение (включая банки и кредиторов), и будете эффективно использовать данные!

В этой главе мы обсудили математику в повседневной жизни, включая три математические идеи, которые, по мнению преподавателей колледжей, являются наиболее важными – чувство числа, грамотность данных и линейные взаимосвязи, – и то, как они выглядят при математическом разнообразии. В следующей главе мы рассмотрим эти идеи через новую линзу – это важная часть математического разнообразия.

Это было в 2016 году, через год после того, как мы провели первый летний лагерь Youcubed для группы учащихся средней школы в кампусе Стэнфорда. Мы знали, что после лагеря школьники продемонстрировали значительно более высокие результаты по математике, но хотели выяснить, сохранилось ли какое-либо долгосрочное влияние¹⁷⁴. Мы приехали в школы к своим бывшим ученикам и побеседовали с ними. Школьники по-разному рассказывали о полученной помощи и о том, как осознание того, что к математике можно подходить по-разному, изменило их дальнейшую учебу.

Мне особенно запомнилось рассуждение, связанное с нашим заданием под названием «Раскрашенный куб»¹⁷⁵. Ученикам показывали изображение куба размером 4 × 4 × 4 сантиметра, составленного из маленьких кубиков размером 1 сантиметр.

Куб опускали в банку с синей краской. Мы спрашивали, сколько маленьких кубиков будут иметь 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 сторон синего цвета.

Это задание приводит к алгебраическим рассуждениям высокого уровня. Школьники получали кубики сахара размером 1 сантиметр и строили в своих группах кубы 4 × 4 × 4. Конструирование такого физического куба означало, что учащиеся активизировали различные пути в мозге, развивая области, которые отвечают за обработку числовой, визуальной и физической информации¹⁷⁶. Год спустя я поинтересовалась у одного из школьников, Джеда, как лагерь повлиял на него. Ответ мальчика меня удивил. Джед сказал мне, что сейчас у него идет курс геометрии, и ему постоянно помогают воспоминания о том сантиметровом кубике сахара, который он держал в руках в нашем лагере. Он добавил, что помнит, как выглядел этот кубик, помнит физические ощущения от удерживания его в руке, и это дает ему представление, что значит «1 кубический сантиметр». Школьник объяснил, что возвращается к этому воспоминанию для решения многих вопросов по геометрии. Например, когда учеников попросили оценить объем их обуви, Джед вообразил себе, как его ботинок заполняется кубиками сахара размером 1 сантиметр. Сейчас я знаю, что Джед описывал тот вид «мысленного представления» («мысленного образа»), который Андерс Эрикссон и Роберт Пул называют критически важным для развития опыта¹⁷⁷.

Эти мысленные представления необязательно должны быть физическими объектами, но для них требуется то, чего большинству школьников не предлагают на уроках математики. В следующих нескольких главах я опишу и расскажу о нескольких представлениях, которые могут оказать учащимся неоценимую помощь. Полагаю, что некоторые из них удивят вас.

Андерс Эрикссон, мировой эксперт в области опыта, изучал природу обучения у людей, добившихся высочайших результатов в самых разных областях, включая шахматы, спорт и школу. Вместе с Робертом Пулом они описали такое важное условие обучения, как «целенаправленная практика»¹⁷⁸. Самое важное качество целенаправленной практики – возможность, которую она предоставляет для развития мысленных представлений. Второе важное качество – способность прилагать серьезные усилия. Эрикссон и Пул описывают это так:

Несмотря на то что образы, которые создает наш мозг, называются “мысленными”, только мыслить для их формирования недостаточно. Чтобы усовершенствовать мысленные представления о чем-либо, необходимо “обезьянничать”: повторять действия признанных мастеров, в случае неудачи пытаться понять, что пошло не так, пробовать снова – и так много-много раз подряд[39].

Эрикссон и Пул описывают мысленные представления на примере американского и обычного футбола (иначе именуемого соккером). Когда новичок смотрит на поле, в обоих случаях он наблюдает хаос в виде двадцати двух игроков, разбросанных по всему полю (рис. 5.1).

Но знаток футбола обнаружит закономерности, и эти закономерности помогут ему понять принципы игры и последовательность важных действий, как показано на рисунке 5.2.

Эрикссон и Пул отмечают, что новичкам движения футболистов «кажутся бессмысленными и хаотичными (если не считать очевидного стремления каждого игрока завладеть мячом)», однако для любителя или специалиста «происходящее на поле уже не кажется бессмыслицей. Он видит детально проработанную схему, которая постоянно изменяется в зависимости от передвижений игроков и мяча»¹⁷⁹. Знатоки обладают хорошо развитой способностью интерпретировать модели поведения на поле.

Я и сама заметила это. Я выросла на английском футболе (соккере!) и с четырех лет сидела на трибунах стадиона «Хоторнс», где играет клуб «Вест Бромвич Альбион». В 1970-х годах я очень гордилась тем, что моя команда стала первой в истории, в которой играли три чернокожих игрока[40]. Мой клуб до сих пор продолжает продвигать ценности расового и культурного разнообразия в спорте.

Рис. 5.1. Футбольное поле с 22 игроками.

Рис. 5.2. Футбольное поле с 22 игроками, где показаны мысленные представления о моделях поведения.

Переехав в США, я много лет игнорировала американский футбол: меня немного забавляло, что футболом называется игра, в которой мяч ловят, бросают и держат руками. Однако в последние годы я заинтересовалась этим видом спорта – начав с просмотра команды Стэнфордского университета, а затем переключившись на матчи клуба «Сан-Франциско Форти Найнерс» и игры других команд. Когда я начинала смотреть американский футбол, расположение игроков не имело для меня никакого смысла; казалось, что для понимания происходящего нужно следить за большим количеством вещей – все выглядело хаотичной путаницей игроков. Постепенно я знакомилась с игрой и получала все больше удовольствия от нее; я не изучала какие-то факты или процессы, связанные с американским футболом, но научилась видеть закономерности, и эти модели теперь являются мысленными представлениями в моем сознании, которые позволяют мне смотреть матчи с осознанием происходящего.

Эрикссон и Пул не единственные исследователи, пишущие о важности мысленных представлений или моделей. Когнитивистика (наука о мышлении) уже давно доказывает ценность ментальных моделей для обучения и производительности. Интересно, что сейчас это становится базовым выводом нейронауки: наш мозг функционирует, создавая модели мира. Невролог Джефф Хокинс посвятил свою карьеру изучению роли лобной доли головного мозга¹⁸⁰. Эта часть мозга отвечает за когнитивные навыки, решение задач, функционирование на более высоком уровне и социальное взаимодействие – весьма широкий и критически важный набор умений. Хокинс обнаружил, что наш мозг работает посредством создания моделей мира, которые постоянно видоизменяются по мере того, как мы переходим от одного опыта к другому. Это согласуется с когнитивной наукой, показывающей ценность ментальных моделей для нашего обучения и понимания. Неудивительно, что учащимся необходимы ментальные модели, чтобы выстраивать мышление и знания, ведь именно так функционирует мозг не только в процессе обучения, но и в жизни.

Я начала эту главу с примера с моим учеником Джедом, который рассказывал, как важно ему было увидеть и подержать в руках кубик сахара размером 1 сантиметр. Ментальная модель Джеда была физической, и существует много доказательств того, что взаимодействие людей с физическими представлениями математических понятий крайне полезно для их учебы¹⁸¹. Но ученики и учителя могут также создавать визуальные представления, которые являются другой важной формой ментальной модели. Проведите мысленный эксперимент: вспомните, какие физические или визуальные представления вам предлагали создать в качестве ментальных моделей каких-либо математических идей. Если ваш математический опыт взаимодействия с числами и процедурами был типичным, то вы, возможно, не сможете вспомнить ни одного такого случая. Ведь для большинства людей математика – это почти целиком символьный, численный опыт. Если наглядность и появляется, то это нередко нарисованные издателями стерильные картинки, на которых изображены биссектрисы углов или круги, разделенные на секторы, которые не помогают ученикам развивать собственные визуальные или физические модели математических понятий. Я надеюсь, что оставшаяся часть этой главы будет особенно полезной для взрослых людей, у которых было мало возможностей для развития ментальных моделей математических идей (или не было вообще).

Когда исследователи сравнивают мозг математиков с мозгом успешных ученых, работающих в других областях, они обнаруживают нечто интересное. Можно было бы предположить, что, когда люди думают численно, они думают «языком» и что для математических рассуждений высокого уровня задействуются области мозга, обрабатывающие языковые данные. Однако исследователи обнаружили, что активность мозга, которая отличает математиков от других ученых, относится к областям, работающим с визуальными данными, вне зависимости от математического содержания¹⁸². Не только геометрия и топология, но и алгебра, и другие вычисления вызывают активность в зрительных структурах мозга, при этом все языковые области вовлекаются минимально. В результате ученые предложили следующее объяснение: достижения математиков обусловлены ранним детским опытом работы с «числом и формой», и я бы добавила, что это, вероятно, помогло им развить мысленные представления математических идей с юного возраста.

Рис. 5.3. Зоны мозга, задействованные при математическом мышлении.

Новаторская работа нейробиолога Вино Менона показала, что, когда люди работают над какой-нибудь математической задачей (пусть даже проводя абстрактные вычисления), они задействуют пять различных мозговых путей (рис. 5.3)¹⁸³.

Когда журнал National Geographic подводил итоги исследования природы «гения», он добавил полезную информацию об этих путях. Рассматривались выдающиеся личности, которых назвали «первопроходцами». Их выделили за «блистательный вклад» в развитие своих дисциплин – ученые Альберт Эйнштейн и Мария Кюри, исследовательница комизма Энн Либера и математик Теренс Тао. Вывод из этой увлекательной дискуссии: достижения, которые люди приписывают «гениальности», на самом деле являются результатом сложного сочетания обстоятельств, включающих возможности обучения, а также культуру, географию, привилегии и, конечно же, развитие мозга. Примечательно, что мозг первопроходцев отличается от мозга обычных людей количеством связей и лучшим развитием зрительных зон¹⁸⁴. Два мозговых пути, которые сосредоточены на визуальном восприятии, находятся в затылочной части мозга. Когда мы сталкиваемся с числовой проблемой и видим визуальное представление или описание, хорошо сформулированное словами, между областями мозга создаются связи. Исследователи доказали, что учащиеся добиваются более высоких результатов, когда в предложенных им математических заданиях присутствуют и цифры, и визуальные образы¹⁸⁵.

К счастью, преподаватели математики располагают массой возможностей предложить ученикам идеи, которые стимулируют различные мозговые пути и связи – например, рассматривать понятия не только как числа, но и как слова, визуальные образы, физические представления, таблицы, алгоритмы, модели и движение. Мы должны стремиться к тому, чтобы обеспечивать ученикам, детям и самим себе связный, многомерный опыт математики, который стимулирует соединение и коммуникацию различных мозговых путей.

В сфере математического образования, когнитивных наук и нейронаук уже несколько десятилетий ведутся исследования, показывающие, что визуальное и физическое представление математики повышает продуктивность учебы¹⁸⁶. Несмотря на эти масштабные работы, математические классы и учебники по математике, издаваемые влиятельными и доминирующими компаниями, повсеместно заполнены цифрами. Традиции преподавания математики меняются медленно, однако уже сейчас преподаватели могут помочь своим ученикам с разработкой мощных ментальных моделей – визуальных и физических, являющихся основой для качественного и глубокого понимания математики. Когда люди учатся создавать и использовать эти модели, они попадают в царство математической многоликости, получают возможность увидеть математику с разных сторон и ощутить ее как разнообразный набор идей. Я приведу примеры из разных областей, входящих в программу К–12, – числа, умножение, деление, дроби и алгебра. Эти примеры призваны помочь учителям, родителям и всем читателям понять, что они могут – и должны – создавать возможности для учащихся (в том числе и для самих себя) по развитию собственных ментальных моделей в любой области математики.

Видеть цифры

Нейробиолог Брюс Маккэндлисс, мой коллега по Стэнфорду, занимается вопросами образования и обучения¹⁸⁷. Вместе со своей командой он провел потрясающее исследование, показавшее, что то, как юные ученики видят и группируют числа, предсказывает их результаты в государственных тестах на годы вперед и даже смягчает влияние низких семейных доходов¹⁸⁸. Ранее исследователи и педагоги отмечали важность так называемой субитизации – способности бросить взгляд на группу объектов и мгновенно (без подсчета) определить их количество, если это количество находится в диапазоне от 1 до 4. Такая способность обычно проявляется в детском саду и развивается в последующих классах. Маккэндлисс и его коллеги ввели термин «группитизация» (groupitizing) – способность группировать большее множество объектов с помощью субитизации. Например, если показать человеку рисунок 5.4 и спросить, сколько здесь точек, он может сказать, что их 10, так как он видит (посредством субитизации) группы из 4, 4 и 2 точек.

Рис. 5.4. Группитизация: 4 + 4 + 2 = 10.

Рис. 5.5. Визуальное представление взаимосвязей между группитизацией, семейным доходом и результатами на государственных тестах по математике (согласно Маккэндлиссу и др.).

В своем исследовании, в котором участвовали 1209 школьников, учившихся по программе K–8 (восьмилетнее образование), экспериментаторы установили, что уровень умения «группитизировать» прогнозирует результаты детей в государственных тестах по математике более надежно, нежели владение цифрами или успехи в арифметике. Полученные результаты оказались надежными вплоть до 8-го класса. На рисунке 5.5 показаны важные взаимосвязи, которые установили исследователи.

Исследователи обнаружили, что результаты тестов сильно связаны с уровнем семейного дохода (параметр, который использовался в качестве меры равенства): стандартный коэффициент регрессии равен 0,67 (в нижней части диаграммы), даже с учетом успеваемости по математике. Однако эта модель также демонстрирует, что группитизация оказывает почти такое же влияние: коэффициент регрессии равен 0,56. В нижней строке диаграммы показано, что, когда школьники научились группитизировать, влияние низкого семейного дохода упало до 0,25. Эти данные демонстрируют, что группитизация значительно повышает математические результаты учащихся и снижает влияние системного неравенства – две чрезвычайно веские причины для того, чтобы обучать школьников этому методу.

Один из способов обучения группитизации – упражнение, которое называется «разговор о количестве точек на карточке». Учителя или родители показывают набор точек и спрашивают детей, сколько точек они видят. Важно предупредить учащихся, что у них будет всего несколько секунд для рассматривания картинки, поэтому им следует не считать точки, а группировать их. Я обычно объясняю своему классу, что группировка – естественное занятие для нашего мозга, и поэтому это может сделать каждый.

Когда я недавно проводила такое занятие для девочек из средней школы, они придумали 24 разных способа сгруппировать семь точек (рис. 5.6 и 5.7).

Рис. 5.6. Семь точек.

Я всегда рисую все придуманные группировки на доске и даю каждому методу имя учащегося, который его предложил, – как изображено на рисунке 5.8. Я также прошу учеников сопроводить свою картинку цифрами, которые соответствуют такому визуальному представлению, что позволяет нам увидеть множество различных способов образования чисел.

Исследование Брюса Маккэндлисса и его команды поражает воображение. Мы тратим массу времени в начальной школе, рассказывая детям о числах и операциях, но не даем им возможности увидеть, как можно сгруппировать точки в различные числа, хотя это в значительно большей степени улучшает их результаты – даже на узких государственных тестах. Когда ученики учатся группитизировать, у них формируются ментальные модели, к которым они могут возвращаться каждый раз, когда думают о числах. Уже одно это исследование, на мой взгляд, должно заставить пересмотреть приоритеты математики в начальных школах. В другой своей работе Брюс с коллегами показывают, что математические занятия на основе палочек Кюизенера, о которых я рассказывала в главе 4, существенно меняют понимание чисел, дробей и основополагающих идей (например, эквивалентности). Важно отметить, что эти палочки позволяют ученикам сформировать мысленные представления абстрактных идей, которые распространяются на изучение алгебры¹⁸⁹.

Рис. 5.7. 24 способа группировки семи точек, предложенные девочками из средней школы.

Рис. 5.8. Наш первый лагерь Youcubed, где я обсуждала количество точек на карточке, демонстрируя рисунки школьников с их именами и соответствующими цифрами.

Еще одна важная модель чисел – это наши пальцы. Недавние исследования подтвердили важность восприятия пальцев (термин, который нейроученые используют для описания уровня, на котором вы чувствуете собственные пальцы) для нашего понимания математики. Тест на восприятие пальцев: поместите руку под книгу или под стол, чтобы вы ее не видели, и попросите кого-нибудь легонько коснуться ваших пальцев по отдельности. Если вы сможете правильно идентифицировать все пальцы, значит, чувствительность развита. Исследователи выяснили, что восприятие пальцев лучше прогнозирует успеваемость по математике во втором классе, нежели результаты тестов¹⁹⁰. Они также установили, что запрещать ученикам задействовать пальцы равносильно остановке их математического развития¹⁹¹. Я убеждена, что пальцы обладают огромной ценностью, поскольку дают нам физическую модель числовой прямой. Доказательством этого утверждения служат другие исследования, показывающие, что ученики, которые используют числовые прямые, значительно улучшают свою успеваемость. В одном из исследований ученые отметили, что на первом году обучения у школьников наблюдались различия в понимании числа, связанные с семейным доходом (у учеников из менее обеспеченных семей чувство числа было слабее). После четырех 15-минутных занятий, заполненных играми с числовой прямой, эти различия полностью исчезли¹⁹².

Рис. 5.9. Дорожка чисел.

Числовая прямая изображает все числа, однако для маленьких детей это может представлять проблему, поскольку они могут попасть пальцем между целыми числами и не понять, что это означает. Показанная на рисунке 5.9 дорожка чисел – более удобный инструмент для развития мысленного представления чисел у начинающих.

В одном классе, где я недавно побывала, обнаружилась гигантская дорожка чисел, обвивающая стены, и ученики часто смотрели на нее и использовали ее при работе.

Школьники могут применять собственные пальцы для создания ментальной модели чисел. Ученики, использующие пальцы для рассмотрения чисел, выстраивают модель, которая окажется с ними на всю жизнь.

Мы еще только начинаем понимать, насколько важны визуальные и физические модели для понимания учащимися математики, и новые исследования в области нейронауки и образования должны иметь самый высокий приоритет.

Когда ученики знакомятся с числами, важно, чтобы они воспринимали их не только в визуальной и физической, но и в игровой форме. Противоположный подход – восприятие чисел и операций как набора чуждых правил, которым нужно следовать. Я собираюсь проиллюстрировать разницу между этими подходами на примере двух занятий, посвященных сложению чисел в пределах 20 – темы, которую в США изучают в первом классе. Один из этих уроков – пример узкой математики, другой – пример математического разнообразия и развития возможностей, позволяющий ученикам создавать ментальные модели.

Рис. 5.10. Подход в учебниках к сложению чисел.

Сложение чисел

Во многих учебниках, используемых повсеместно, математика сводится к серии вопросов на бланке, как показано на рисунке 5.10.

Рисунок 5.11 демонстрирует другой подход к изложению того же материала. Ученикам показывают несколько животных с разным количеством ног и приглашают провести «парады ног» для разного их количества. Например, каких животных вы возьмете, если организуете парад из 20 ног?

Рис. 5.11. Животные для парада ног. Дж. Боулер и др. Математическое мышление. Класс 1.

Одна учительница, которая использовала в своем классе бланк узкого метода, задала мне вопрос: как работать с учениками, если одни умеют складывать в пределах 20, а другие нет? Это вполне резонный вопрос в мире узкой математики. Представьте себе первоклассников, сидящих за партами с таким бланком: одни, уже научившиеся складывать, могут быстренько пробежаться по нему без особых раздумий. Другие придут в замешательство и будут смотреть на бланк в панике и страхе. Вполне понятно, почему учителя не хотят давать этот материал школьникам с разным уровнем результатов и разными текущими возможностями.

Все изменится, если мы вырвемся из мира узкой математики в мир математического разнообразия, создавая для учеников возможности для построения ментальных моделей. Вариант сложения с помощью парада ног отличается от бланка с заданиями по крайней мере в трех аспектах. Первое отличие – визуальный характер парада; это важно не только потому, что метод более нагляден, но и потому, что он дает детям то, что можно посчитать, и модель, которую они могут построить в голове. Это означает, что работать могут и те ученики, которые хотят считать ноги, и те, которые могут образовывать числовые связи без подсчета. Второе отличие заключается в том, что ученики взаимодействуют с интересными и увлекательными объектами из окружающего мира. Мой опыт показывает, что детям нравится выбирать разных животных и изображать их на плакатах (рис. 5.12).

Третье отличие заключается в том, что одно и то же число можно составить разными способами. Поэтому ученики могут создать свой собственный парад ног (и ощутить гордость), а не гоняться за тем, чтобы получить тот же ответ, что у других. В подобных заданиях неважно, обладают ли ученики какими-то специальными знаниями, – широта вопроса и различные точки доступа означают, что включиться и работать могут абсолютно все школьники. Кроме того, на смену беспокойству и скуке, вызванным примерами на бланке, приходят вовлеченность и удовольствие – несмотря на то, что ученикам преподают ровно тот же материал. Причина в том, что мы вырвались из мира узкой математики и попали в удивительный мир математического разнообразия.

Можно поднять эту задачу на следующий уровень – выясняя, сколько существует различных вариантов, например, для 18 ног. Если математические задачи разнообразны, нам незачем разделять учеников на разные группы и классы, нанося им вред представлением об их потенциале. Очень важно, что разнообразие задач позволяет учащимся развивать визуальные мысленные представления, и это можно использовать при дальнейшем обучении.

Рис. 5.12. Плакат с парадом ног.

Умножение и деление

Позднее школьники знакомятся с умножением и делением – темами, которые обычно преподают в числовом виде. В узкой версии объяснения используется один высоко ценимый метод и один высоко ценимый ответ. Однако разнообразие (многоплановый подход) дает возможность ученикам размышлять о различных способах умножения или деления и о визуальных способах их представления, что создает важные возможности для развития мозговых связей и ментальных моделей.

Не думаю, что есть необходимость в еще одном бланке с заданиями, аналогичном бланку со сложением. Скорей всего, у вас уже полно таких листков с примерами на умножение и деление. Вместо этого давайте начнем обсуждать умножение со следующего: представьте мысленно 38 × 5, ничего не записывая. Когда я предлагаю такое задание школьникам в первый раз, они не понимают, как создать визуализацию; зачастую у них вообще нет никаких зрительных идей. Однако со временем они осваиваются с визуализацией чисел. На рисунке 5.13 приведены методы и зрительные представления, которые, по их словам, часто помогают им в понимании.

Рис. 5.13. Числовые и визуальные решения для умножения 38 × 5.

Когда я показала своим студентам в Стэнфорде умножение 38 × 5 в виде рисунка 5.14, они сказали мне, что впервые поняли, почему при умножении чисел можно использовать метод, когда один множитель удваивается, а второй уменьшается вдвое.

38 × 5 = 19 × 10

Рис. 5.14. Одно из решений для умножения 38 × 5.

Я описала различия между тем или иным способом вычислить 38 × 5 и в начале дискуссии предложила студентам рассмотреть разные способы произведения 38 × 5. Некоторые люди критикуют теории ментальности, утверждая, что сторонники методов с установками на рост возлагают ответственность за изменения на самих учеников. Я понимаю эту критику, но твердо убеждена, что преподаватель обязан раскрывать содержание так, чтобы посылы на установку могли закрепиться. Если вы говорите ученикам, что они могут научиться чему угодно, но затем даете узкий материал (например, вычисление 38 × 5 с одним ответом и одним ценимым методом), то школьники не поймут, где здесь они могут учиться и развиваться. Но когда контент раскрывается, и ученикам предлагается подумать и порассуждать, они ощущают, как закрепляются установки и улучшается их учеба. Хотя некоторые исследования показывают, что посылы на установку, которые даются вне уроков, без изменений в преподавании, не оказывают никакого влияния (или их влияние незначительно)¹⁹³, вкупе с изменением подхода к математике они значительно улучшают успеваемость и установки учащихся¹⁹⁴.

Вместо того чтобы просить школьников разделить 273 на 7, в правильном подходе к делению, задействующем визуализацию, мы просим учащихся построить прямоугольник с площадью 273 и длиной одной стороны 7, как показано на рисунке 5.15¹⁹⁵. Их задача – найти длину второй стороны различными способами.

Подобные визуальные представления умножения и деления важны не только потому, что они способствуют созданию ментальных моделей, но и потому, что они показывают, насколько по-разному мы можем думать о вычислениях, а также причины, почему эти методы работают. Это помогает ученикам развить то самое чувство числа – подход к числам, который приводит к высоким результатам¹⁹⁶. Когда у учащихся сформировано чувство числа, они могут воспринимать смысл чисел и гибко использовать их в различных ситуациях. Чувство числа не появляется в результате слепого заучивания математических фактов! Как я уже рассказывала в предыдущей главе, оно развивается, когда мы задействуем ish-математику.

Рис. 5.15. Различные визуальные решения для деления 273 на 7.

Рис. 5.16. Подход в учебниках к умножению чисел.

За годы своей карьеры мне посчастливилось поработать с несколькими невероятными учителями начальных классов, которые поощряют развитие ментальных представлений у своих учеников, приглашая их мыслить не только визуально, но и физически. Одна из них – Джин Мэддокс, учительница пятого класса в Калифорнийской долине. До нашего знакомства она преподавала умножение по принятому в их школьном округе учебнику, страничка из которого показана на рисунке 5.16.

Это типичный пример из учебников, используемых в США. Сейчас Джин отдает предпочтение математическому разнообразию и предлагает ученикам думать об умножении разными способами – физически, визуально и численно. Школьники производят умножение, выстраивая числа с помощью кубиков, рисуя их и работая с цифрами. На рисунке 5.17 показаны примеры их различных работ.

Рис. 5.17. Примеры школьных работ, где умножение выполняется физически, визуально и численно.

Разница между узкой задачей и заданием, которое вносит разнообразие и мотивирует учеников углубляться в предмет, может быть незначительной. Например, вместо того чтобы просить учеников вычислить площадь прямоугольника 12 × 2, вы можете спросить их, сколько прямоугольников с площадью 24 они могут найти (рис. 5.18). Первый вопрос сводится к вычислению, а второй превращается в радостное наглядное исследование, где школьники получают возможность рассмотреть взаимосвязь между длиной и шириной, что открывает доступ к принципиальному пониманию площади.

Рис. 5.18. Сколько прямоугольников имеют площадь 24?

Деление дробей

Одна из самых проблемных тем в начальных школах, которая вызывает огромные трудности у учеников, дает низкие результаты на тестах и не имеет практической ценности, – это деление дробей. Когда взрослых просят привести примеры деления дробей из реальной жизни, большинство из них не могут придумать ни одного¹⁹⁷. На мой взгляд, эта операция – главный кандидат на полное переосмысление методики преподавания, включая перенос в учебные программы более поздних лет. Деление дробей лучше всего преподавать маленьким детям концептуально (на уровне идеи), чтобы у них сформировалось понимание происходящего. Вместо того чтобы объяснять смысл процесса, учителя обычно озвучивают правило: чтобы разделить число на дробь, нужно ее перевернуть, а затем умножить число на перевернутую дробь. Этот процесс не имеет смысла для учеников, и даже появилась популярная мнемоника: «Ours is not to reason why, just to flip and multiply»[41].

Это печально, ведь рассуждения – главное в математике. Они суть самой дисциплины, и именно они лежат в основе всех математических работ высшего уровня и математических доказательств. Когда математики пишут статьи и общаются друг с другом, они используют математические рассуждения, устанавливая логические связи между идеями. Когда школьники учатся объяснять друг другу суть выбранных ими методов и их применение, они занимаются, пожалуй, самым важным видом математической деятельности – рассуждением. Я уверена, что фраза «Ours is not to reason why, just to flip and multiply» появилась потому, что сама операция слишком сложна для понимания или рассуждений в десятилетнем возрасте, когда эту тему изучают в американских школах.

Последние несколько лет я имею удовольствие учить и учиться у человека, с которым я впервые познакомилась, когда еще училась в Стэнфорде – на занятиях по математике для первокурсников. Монтсе Кордеро приехала из Коста-Рики; в ее багаже были успехи в школьной математике и на Международной математической олимпиаде. Монтсе обладает подлинным математическим любопытством – ее глаза загорались каждый раз, когда мы обсуждали, почему работает тот или иной подход. С тех пор Монтсе стала чем-то вроде звезды среди учителей математики: она принимает участие в моем онлайн-курсе для учащихся¹⁹⁸ и появляется в качестве супергероя Youcubed в наших видеороликах¹⁹⁹. Но настоящая звездность Монтсе заключается в ее упорстве и уверенности в себе: она выбрала математику в качестве основной специальности в учебном заведении, где руководство игнорировало ее как студентку и даже не предоставило ей руководителя, а затем поступила в магистратуру по математике – к счастью, в другом университете. Сейчас Монтсе готовится к защите докторской диссертации по математике.

Монтсе Кордеро

Одно из моих воспоминаний о Монтсе связано с уроком, на котором я знакомила первокурсников с делением дробей и просила представить это действие наглядно. Предполагалось, что обсуждение будет кратким, однако в итоге ему пришлось посвятить все занятие, поскольку студенты осознали, что никогда не понимали, что происходит при делении дробей; они только «переворачивали и умножали». Их потряс показанный видеоролик, на котором Кэти Хамфрис учит семиклассников, как можно визуализировать процесс деления 1 на 2/3 ²⁰⁰.

В этом видеоролике ученики осмысливают деление дробей тремя визуальными способами (рис. 5.19):

Рис. 5.19. Три визуальных подхода к делению 1 на 2/3.

Слева: более светлая часть представляет собой 2/3 круга. Учащиеся видят, что эта светлая часть помещается внутри круга полтора раза. В середине: более темная часть представляет собой 2/3 прямоугольника. Учащиеся видят, что эта темная часть помещается внутри прямоугольника полтора раза. Справа: линия под числовой прямой представляет собой 2/3. Учащиеся видят, что линии над числовой прямой показывают 2/3 плюс половину от 2/3.

Я записала видеоролик, где объясняю кукле-овечке визуальный подход к делению дробей²⁰¹! Эта овечка принадлежит математику Тиму Шартье, который любит использовать куклы, чтобы помогать ученикам изучать математику.

Спустя годы, когда Монтсе уже была на последнем курсе Стэнфорда, она решила написать диплом по педагогике и сосредоточилась на делении дробей. Монтсе рассказывает о важности того момента на первом курсе, когда впервые осознала, что в делении дробей вполне можно разобраться и что эта тема не выходит у нее из головы и увлекает ее. Дипломная работа Монтсе начинается с размышлений:

Три года назад я смотрела видеоролик, в котором семиклассники решали примеры на деление дробей, не прибегая к заученному алгоритму, и обратила внимание, что не совсем понимаю, что они делают. Было удивительно наблюдать, как 12-летние дети действуют точно маленькие математики. За делением дробей стояла настоящая математическая работа, которой я никогда раньше не видела. Я могла ответить на этот вопрос, используя идею «переверни-и-умножь», оставшуюся в памяти, однако я даже не осознавала, что понятия не имею, почему она работает²⁰².

В своей работе Монтсе использовала интересный подход – она привлекла компьютер, чтобы изучить эффективность и концептуальные требования алгоритма «переверни и умножь» и более удачного метода, который начинается с нахождения общих знаменателей. Один из интересных выводов Монтсе заключается в том, что для понимания этого алгоритма ученики должны владеть материалом, который еще не изучается в том классе, когда вводят деление дробей²⁰³! Это важно, поскольку отсюда следует: мы ожидаем, что школьники вызубрят и будут использовать алгоритм, не понимая его, не рассуждая о причинах.

Если вводить алгоритмы, которые ученики не понимают, возникает одна проблема. Учителя начальных классов немало трудятся, помогая школьникам развивать чувство числа и в целом осмысливать встреченные математические идеи, используя важные визуальные и физические представления, но, когда школьников обучают алгоритмам, процесс осмысления, похоже, останавливается. Песек и Киршнер, исследовавшие явление, когда изучение правил приводит к неспособности мыслить по-иному, назвали его «когнитивной интерференцией»²⁰⁴. Когда ученики сначала знакомятся с алгоритмами, а затем учатся концептуально (на уровне идей), используя разнообразные способы окунуться в математику, их успеваемость ниже, чем у тех, кто учится исключительно концептуально. Оказалось, что изучение методов и правил мешает учащимся разрабатывать полезные ментальные модели. В главе 6 я вернусь к этому исследованию и расскажу о нем подробнее.

Школьники испытывают проблемы не только с делением, но и со сложением дробей, о чем свидетельствует один из вопросов Национальной оценки прогресса в образовании (NAEP)[42], предложенный тринадцатилетним американским школьникам. Когда их попросили приблизительно оценить сумму 12/13 + 7/8 (с вариантами ответов: 1, 2, 19 или 21), то чаще всего они давали ответ 19, а затем 21. Эти числа получаются при сложении числителей (19) или знаменателей (21). Всего 24 % учащихся выбрали правильный ответ: 2²⁰⁵. Если бы школьники умели применять ish-подход к такого рода заданиям, они бы увидели, что приблизительная сумма этих дробей равна 2.

Почему меня не удивляет, что учащиеся дают нелепые ответы? Когда школьники изучают дроби, они не думают о них концептуально или ish-способом; обычно они заучивают какой-то набор правил:

• Чтобы сложить дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите сумму числителей.

• Чтобы вычесть дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите разность числителей.

• Чтобы умножить дроби, перемножьте числители и знаменатели.

• Чтобы разделить дроби, перейдите от деления к умножению, поменяв местами числитель и знаменатель второй дроби (переверните и умножьте).

Все эти правила игнорируют самую важную часть понимания дробей: тот факт, что два числа – числитель и знаменатель – связаны между собой. При размышлении о дробях не важно, какого размера числитель или знаменатель; важно, как они соотносятся друг с другом. Когда мы просим учеников сделать что-то с числителем или со знаменателем, они забывают, что означает дробь. Когда школьники складывают 12/13 и 7/8, получая при этом 19, они не думают об отношениях между числами 12 и 13 или 7 и 8. Это происходит потому, что они не тратили время на рассмотрение дробей как единого целого, на осмысление числителя и знаменателя относительно друг друга; они не разработали ментальные модели дробей и не дали ish-ответы.

Я до сих пор помню вечер со старшей дочерью, которая в то время училась в пятом классе. Она испытывала трудности с дробями, и ее учительница сказала мне, что она просто «не может» понять их. Возможно, отчасти это было связано с отличающимся подходом к учебе, что некоторые учителя воспринимали как недостаток (к счастью, у нее были также и замечательные учителя, которые понимали, что думать по-другому – не значит думать неправильно). В тот вечер мы решили вместе разобраться с дробями, поскольку на следующий день ей предстояло сдавать тест. У меня было не так много времени по сравнению с тем, которое моя дочь потратила на изучение дробей в классе, но мы управилась за один час: я просто донесла мысль, что дочь всегда должна обращать внимание на отношения. Мы вместе визуализировали различные дроби и рассматривали их смысл, взаимосвязь между числителем и знаменателем. Прежде чем выполнять какие-либо операции, мы прикидывали общее значение дроби. Затем мы пробовали складывать, вычитать, умножать и делить, применяя к дробям ish-подход – оценивая, каким будет приблизительный ответ, прежде чем вычислять точный. Я вдохновляла ее увидеть общую картину и применение наглядных моделей, которые так важны для учебы (об этом я рассказывала в предыдущей главе). На следующий день дочка вернулась из школы с улыбкой до ушей и сообщила, что получила самый высокий балл в классе за тест на дроби. Такой ish-подход к дробям, учитывающий отношения и поощряющий учащихся строить ментальные модели, включен в мой бесплатный онлайн-курс для учащихся, который прослушали более миллиона человек²⁰⁶.

И дома, и в школе я привожу доводы в пользу другого подхода к дробям – который основан на осмыслении, на числовых соотношениях, на визуальном и физическом мышлении, которое приводит к мысленным представлениям. Я не заявляю, что от алгоритмов нет пользы; я утверждаю, что не следует рассказывать о них до тех пор, пока школьники не поймут дроби концептуально. Ученики должны уяснить, что такое дробь, и получить время на размышление о значении дробей как концептуального целого.

Деление дробей часто становится самой ненавистной темой учебной программы, на которую чаще всего жалуются и дети, и взрослые (хотя существует и другой претендент на звание Самой Ненавистной Области – алгебра). Но с этой темой можно справиться, если дать ученикам возможность разработать визуальные и физические модели, которые лежат в основе понимания. Например, если вас просят вычислить результат деления 1 на 3/4, вы можете перевернуть и умножить, получив правильный ответ: 1 × 4/3 = 4/3, но при этом вы практически не осознаете, что происходит. Или вы можете изобразить эту дробь, задав другой вопрос: сколько раз 3/4 помещается в 1?

Рис. 5.20. Визуальный подход к делению 1 на 3/4.

Взгляните на рисунок 5.20: мы видим, что 3/4 (темная часть) один раз помещается в целом (единице), и еще остается свободное место. Вы видите, что этого свободного места достаточно для трети нашей темной части. Следовательно, мы получаем ответ – 1 и еще 1/3. Итак, 3/4 помещаются внутри единицы 1⅓ раза. Визуальная модель процесса деления дроби, как и ish-подход, может отнять немного больше времени, чем переворачивание и умножение, однако это дает мысленное представление, которое может стать основой для дальнейшей работы с вычислениями и алгоритмами.

При делении дроби на дробь (то, чем большинство людей никогда после школы не занимались) я предпочитаю сначала сделать так, чтобы у обеих дробей был одинаковый знаменатель. Переход от дробей с разными знаменателями к дробям с одинаковым знаменателем – действие, которое фокусируется на отношениях, что очень ценно для учащихся. Предположим, что нам нужно разделить 3/4 на 2/3. Мы можем привести обе дроби к знаменателю 12:

Умножайте числитель и знаменатель каждой дроби на последовательные числа (при этом дробь остается той же самой), пока у обеих не окажется одинаковый знаменатель – в данном случае 12.

Теперь вместо того, чтобы 3/4 делить на 2/3, нам требуется 9/12 делить на 8/12. Применяя ish-подход к обоим вопросам, вы, вероятно, затруднитесь прикинуть ответ для деления 3/4 на 2/3, однако нетрудно сообразить, сколько раз 8/12 помещается в 9/12: ish-ответ должен оказаться немного больше 1.

Обучая этому детей, я бы изобразила 9/12, деленное на 8/12.

На рисунке 5.21 показано, что 8/12 помещается 1⅛ раза.

Этот визуальный подход к математике может применяться в любом классе, на любом уровне, в любой области и при решении любых задач.

Рис. 5.21. Визуальный подход к делению 9/12 на 8/12.

Алгебра

Впервые мы организовали летний лагерь для школьников после того, как узнали о пластичности мозга и его установках. За предыдущие пять лет появилось множество свидетельств, что понятия «математический мозг» не существует, что наш мозг постоянно развивается, укрепляется, строит связи²⁰⁷. Исследования доказывают, что важно верить в свой потенциал, иметь «установку на рост»²⁰⁸.

В местном школьном округе мы собрали 82 ученика, не особо друживших с математикой. Они по-разному учились, принадлежали к разным культурам и расам. Одни из них перед приходом к нам получили ноль баллов в тесте своего школьного округа; другие набрали очень высокие баллы; третьи показали промежуточные результаты.

Школьники были из разных классов: одни из них готовились к поступлению в седьмой, другие – в восьмой²⁰⁹. Мы решили, что наиболее полезным материалом для них будет алгебра. Мы знали, что при преподавании этого важнейшего предмета до учеников важно донести концепцию переменности и смысл понятия «переменная». Я выбрала одну из своих любимых задач, которая начинается с вопроса, сколько квадратиков находится на внешнем краю квадрата 10 × 10. Я показала детям изображение с рисунка 5.22 – всего на несколько секунд, чтобы они не считали, а группировали числа.

Рис. 5.22. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10?

Школьники дали много разных ответов, в том числе 36, 37, 38, 40 и 44. Это вызвало оживленное обсуждение. Я сказала, что мне нравится расхождение в ответах, поскольку это означает, что проблема интересная и нам есть о чем подумать и поговорить. После некоторого обсуждения класс пришел к выводу, что общее количество квадратиков на внешнем краю квадрата равно 36. Пока каждый ученик рассказывал, как он представляет число 36, я рисовала это на маркерной доске, и в результате у нас получился набор изображений, показанных на рисунке 5.23.

Рис. 5.23. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально и с помощью цифр.

Пару занятий мы посвятили работе с квадратами разных размеров, рассказав школьникам, что для описания закономерности можно использовать переменную, и поэтому наши рассуждения можно применить к квадратам любого размера. Ученики видели край фигуры различными способами, которые можно выразить в виде эквивалентных алгебраических выражений, как показано на рисунке 5.24:

Рис. 5.24. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально, с помощью цифр и с помощью алгебраических выражений.

Так школьники познакомились с алгеброй, и это занятие увлекло их – они узнали, что такое переменные и почему они полезны. Мы спросили учеников, каким образом они видят границу фигуры, и я зафиксировала на доске их зрительные представления, указав имена авторов: «метод Джоша», «метод Элизы» и так далее. Позже, когда мы перешли к квадратам другого размера, мы предлагали школьникам выбрать какой-нибудь метод (например, метод Элизы) и исследовать его. В процессе такой работы учащиеся обсуждали различающиеся способы видения и мышления, сотрудничая друг с другом и развивая чужие идеи. Важно, что представления учеников об алгебраическом обобщении были наглядными и красивыми. В итоге у нас набралось шесть различных, но эквивалентных вариантов для одного и того же математического выражения (4n – 4), и для каждого из них имелось наглядное изображение.

Когда ученики прибегают к алгебре для описания закономерностей, они используют переменные как язык для описания мира – и такое важное и полезное применение переменных имеет больше смысла, чем бесконечные примеры вычисления x²¹⁰. Школьники видят закономерности и тем самым развивают ментальные модели для алгебры и обобщения²¹¹.

Один из самых красивых примеров визуального представления алгебры принадлежит женщине, которую я имела удовольствие учить в Стэнфорде в рамках образовательной программы для преподавателей. На занятиях по подготовке учителей я рассказываю о том, что математику можно преподавать как предмет с многоплановым подходом, используя визуальные и другие мысленные представления. Порой в слушателях зажигается искра, и они распространяют эти идеи на многие сферы своей жизни. Так произошло с Диаррой Буоссо, которая выросла в Сенегале, а сегодня использует линейные и квадратные уравнения для создания красивой одежды, которая продается в ведущих магазинах мира (Nordstrom, Shopbop, Stitch Fix и многих других)²¹².

Диарра давала интервью многим журналистам; ее история появилась в журнале Vogue, на CNN и в других СМИ²¹³. В ряде интервью Диарра рассказывает, что она происходит из сенегальского рода ремесленников; она любит математику и поехала в США учиться в колледже, а затем стала аналитиком на Уолл-стрит. По ее словам, в те дни она не чувствовала удовлетворения, потому что любила и искусство, и математику и не могла выбрать между ними. Она не хотела целыми днями заниматься вычислениями, не имея возможности выражать себя в искусстве, и ровно так же не желала погружаться в сферу искусства, отказавшись от математики. Желание заняться чем-то вне рамок банковской работы привело Диарру в мой педагогический класс в Стэнфорде.

За год наших занятий Диарра познакомилась с визуальными, творческими, разнообразными версиями математики и была очарована ими. Однажды она отозвала меня в сторону и сообщила, что загорелась идеей использовать математические формулы для разработки дизайна одежды. Она полагала, что я отвергну эту идею как слишком «ботанскую».

Рис. 5.25. Дизайн одежды Диарры Буоссо, вдохновленный функциями из алгебры.

Рис. 5.26. Пример ученической работы с использованием графического калькулятора Desmos.

Вопреки ее ожиданиям, я ответила, что это звучит потрясающе. Диарра занялась дизайном красивой одежды, прибегая к линейным и квадратичным функциям; примеры приведены на рисунке 5.25.

Диарра говорит, что обучение в нашем классе помогло ей понять, что она может заниматься сразу и искусством, и математикой; это раскрыло ее творческий потенциал и обеспечило прекрасную самореализацию²¹⁴. Она замечательная учительница, которая предлагает своим ученикам в старшей школе трансформировать алгебраические выражения в искусство (рис. 5.26). Чтобы наладить контакт со школьниками, она спрашивает их, как они проводят большую часть своего времени; оказалось, что ее ученики в среднем сидят в социальных сетях двадцать шесть часов в неделю, поэтому она встречается с ними и там. Получив разрешение директора, она завела аккаунт в Instagram[43] и использует функцию Instagram Stories, чтобы предлагать школьникам опросы и задания. 92 % учеников утверждают, что это идет на пользу их учебе. Они ценят возможность голосовать за ответы и любят получать одобрение своих работ. По словам Диарры, «игрофицирование математики с помощью платформы, которая у детей уже ассоциируется с развлечением, сделала предмет более доступным».

Диарра осознала, что ее ученики вовсе не ненавидят математику, как они поначалу утверждали; им просто не нравилось, как ее преподавали ранее. Сейчас Диарра выступает за глобальное чествование африканской культуры и страстно желает объединить миры математики и искусства, чтобы обеспечить студентам разнообразие подходов. Я горжусь тем, что сыграла некоторую роль в ее жизни, ведь ее творческие способности раскрылись благодаря изучению математического разнообразия²¹⁵.

Когда математические задания предлагают ученикам мыслить исключительно численно, пропадают важные возможности – для развития связей внутри мозга, расширения доступа к пониманию, более глубокого вовлечения и мотивации, а также для строительства важных ментальных моделей. Я надеюсь, что в этой главе удалось продемонстрировать, что придать вопросу наглядность не так уж сложно: зачастую достаточно просто спросить слушателей: «Как вы это видите?» Когда учащиеся в ответ на этот вопрос делятся своими идеями, у них формируются важные ментальные модели, и они ощущают сопричастность к математике.

Увлекательная мыслительная задача для учителей или родителей, читающих эту книгу, – подумать, какие мысленные представления нужно развивать ученикам для ключевых математических понятий, входящих в их дисциплину.

Если ничего не приходит на ум, перед вами возникает интересная проблема: создать для учеников возможность визуализировать математику и взаимодействовать с физическими моделями идей.

Одна знакомая учительница старшей школы изменила свой традиционный подход. Раньше она приходила на урок, безупречно читала лекцию и заставляла учеников отвечать на однотипные вопросы. Она рассказала мне, как все изменилось в один прекрасный день: она просто обратилась к классу с вопросом, что школьники думают о ее заданиях. Ее поразило, с какой радостью ученики стали предлагать различные идеи. Вместе они перешли к содержательным беседам, где рассматривали, как работают различные методы, и рисовали изображения на доске. К монотонным лекциям она больше не возвращалась.

Точно так же в своей собственной преподавательской деятельности я демонстрирую уважение к мышлению учащихся и их стремлению к социальной вовлеченности – тем, что спрашиваю их, как они видят и понимают идеи. Я знаю, что мой самый значительный ресурс в классе – это мышление учеников.

Мой любимый метод ведения урока – дать визуальное представление для какой-либо математической темы и задать вопросы: «Что вы заметили? Что вас удивило?» Эти приглашающие слова, впервые предложенные Энни Фетер, можно использовать при обсуждении точек на карточках с числами; при обсуждении данных, когда мы предлагаем ученикам осмыслить данные реального мира и поощрить рост их грамотности в информационной сфере; а также при обсуждении геометрических чертежей²¹⁶. Примеры всех трех видов приведены на рисунке 5.27. (В главе 6 я расскажу о том, что произошло, когда меня пригласили в индейскую школу в Канаде, ученики и учителя которой принадлежат народу оканаган, и мы вместе изучали визуальный образ ловца снов.

Рис. 5.27. Начните день с беседы о точках, с разговора о данных или с обсуждения форм.

Эти совершенно невероятные дискуссии школьников вели к визуальным представлениям алгебраических функций).

Начало занятий или семейных бесед с визуального приглашения обладает огромным преимуществом: учеников поощряют высказывать идеи, в которых нет правильных или неправильных ответов, а пространство класса или семьи открыто для различных точек зрения. Вместо пугающего разбора домашнего задания, учителя могут начать урок с забавных интерактивных вопросов, а учащиеся – с озвучивания идей и их развития, открывая свой разум и укрепляя уверенность в себе для последующих математических приключений!

Математика – это концептуальный предмет. Многие считают, что она представляет собой какой-то перечень правил и методов, но на самом деле это небольшой набор важных понятий, которые ученики (да и все люди) могут понять и полюбить. Эдди Грей и Дэвид Толл, исследователи из Уорикского университета в Англии, убедительно показали это в своей работе 1994 года, посвященной изучению подходов детей к арифметике и числам²¹⁷. В течение многих лет я опиралась в преподавании на их исследование, а недавно мне удалось воспроизвести его с детьми в Сан-Хосе (Калифорния). Я считаю их работу столь важной по той причине, что она выявила разницу в действиях хорошо и плохо успевающих учащихся. Исследование, которое мы провели в США двадцать девять лет спустя, привело к тому же результату, а также к новой идее.

Грей и Толл предлагали ученикам в возрасте от 7 до 13 лет решить ряд арифметических задач, например 6 + 19, и фиксировали стратегии, применяемые школьниками. Предварительно исследователи попросили учителей указать детей с низкой и высокой успеваемостью. Грей и Толл обнаружили нечто удивительное: успешные ученики для ответов на вопросы опирались на чувство числа. Считается, что у человека развито это чувство, когда он может гибко работать с числами: например, разбивать их на части разными способами, представлять их визуально и использовать различные методы для операций с ними. В описанном эксперименте школьник с чувством числа, которому требовалось сложить 6 и 19, вместо этого складывал 5 и 20. Напротив, плохо успевающие ученики не применяли такой гибкий подход, а пытались прибавлять по единице. Если им предлагали найти 19 − 16, они «двигались назад», начиная с 19 и отсчитывая 16 шагов, что очень сложно. А вот школьники с чувством числа поступали гораздо проще: вычитали 10 из 10 и 6 из 9.

Исследователи сделали важный вывод: плохо успевающие дети зачастую испытывают проблемы, поскольку подходят к числам как к методам и правилам, а не на уровне идей – они не научились работать с ними гибко. Но когда округа и школы видят, что их ученики показывают низкие результаты, они часто дают детям бланки, заполненные «практическими упражнениями», и тем самым закрепляют их подход к арифметике как к набору правил. Большинство людей нуждается как раз в противоположном.

Грей и Толл подчеркивают важное различие в отношении к математике при изучении чисел и арифметики – к ней можно относиться как к набору методов и правил, а можно воспринимать как множество понятий и идей (рис. 6.1).

Грей и Толл отмечают, что, когда ученики осваивают счет, они изучают какой-то метод, однако в результате должно сформироваться понимание понятия числа. Когда они изучают метод подсчета, это должно привести к концепции суммы, а когда переходят к методу сложения – к концепции произведения. Изучение понятий предполагает глубокий мыслительный процесс, когда задаются, например, вопросы: «Что такое число? Как его можно разделить на части, чтобы получить другие числа? Как его можно представить визуально? Где мы видим числа в мире?» Некоторые учащиеся так и не овладевают концептуальным мышлением, потому что их обучение сводится к правилам и методам.

Рис. 6.1. Математика – концептуальный предмет.

Если вы изучали математику (или что-либо иное) как набор правил, еще не поздно перейти к концептуальному подходу, который может дать вам совершенно иное представление о важных идеях, из которых состоит наш мир. Я встречала многих взрослых, которых не учили гибко подходить к числам, но они были бы не прочь попробовать.

Одна из многих проблем подхода, основанного на правилах, связана с интересным процессом в мозге, который называется сжатием. Когда мы осваиваем новые знания, они занимают большое пространство в нашем мозгу – реальное физическое пространство, пока мозг выясняет, как они соотносятся с уже имеющимися у нас знаниями. Когда маленькие дети впервые сталкиваются со сложением, оно занимает много места в их голове. С годами знания о сложении ужимаются, занимая все меньше и меньше физического пространства. Отвечая во взрослом возрасте на вопрос о сумме, к примеру, 3 + 4, мы можем быстро и легко извлечь эти знания из сжатого маленького пространства. Благодаря такому сжатию в нашем мозгу освобождается место для новых знаний. Грей и Толл в своей фундаментальной работе утверждают, что сжать можно только понятия. Если дети учат лишь правила и методы, сжатия не происходит²¹⁸.

Уильям Терстон, получивший за свою работу одну из высших математических наград – Филдсовскую премию, написал о сжатии так:

Математика удивительно сжимаема: вы можете прилагать усилия в течение длительного времени, предпринимая попытку за попыткой и заходя с разных сторон. Но как только у вас вырабатывается настоящее понимание и появляется возможность увидеть картину как единое целое, зачастую происходит колоссальное ментальное сжатие. Вы можете убрать это знание в архив, но быстро и целиком извлечь из памяти, когда оно вам понадобится, и использовать его в качестве одного из шагов в каком-нибудь другом ментальном процессе. Озарение, которое сопутствует такому сжатию, – одна из настоящих радостей математики²¹⁹.

Терстон считает сжатие источником собственной радости при изучении математики, но, как отмечают Грей и Толл, у людей, представляющих математику набором фактов и правил, этот важный мозговой процесс никогда не происходит. То, что они никогда не изучают математику концептуально, как раз и может являться причиной того, что такие люди редко описывают математику как «настоящую радость».

В 2023 году моя команда в Стэнфорде повторила исследование Грея и Толла, чтобы проверить их результаты – спустя двадцать девять лет и в другой стране. Мы попросили учителей с первого по пятый класс указать трех самых успевающих и трех самых неуспевающих детей в каждом классе. Нас интересовало, различаются ли эти две группы по подходу к решению математических задач, как это обнаружили Грей и Толл. При этом мы работали в сотрудничестве с нейробиологом Брюсом Маккэндлиссом и его командой, добавив вопросы на группитизацию (о которой рассказывается в главе 5) – во время исследования Грея и Толла это понятие еще не было известно. Мы дали 30 школьникам тест на группитизацию, а затем предложили шесть арифметических заданий. Ученики находились с преподавателем один на один в тихом помещении с небольшим столом и стульями. На столе лежал набор счетных фишек, и мы объяснили детям, что они могут в любое время воспользоваться ими. По окончании исследователи применили двойное кодирование для ответов школьников.

Мы сделали два важных вывода, один из которых повторил результат Грея и Толла: успешные ученики опирались на чувство числа при решении арифметических задач; слабо успевающие применяли менее эффективные методы счета. Кроме того, наше исследование показало, что учащиеся, умевшие группитизировать, с большей вероятностью использовали чувство числа и добивались высоких результатов. Это первая установленная связь между группитизацией и чувством числа²²⁰.

Наше исследование (как и работа Грея и Толла) показало, что ученики добивались высоких результатов не потому, что больше знали, а потому, что они иначе обращались с числами. Их подход отличался от подхода плохо успевающих учеников тем, что они действовали концептуально и гибко – для решения примеров разбивали числа на части и составляли их по-другому. Поскольку группитизация – это как раз и есть разбиение чисел на части разными способами (смотрите главу 5), то неудивительно, что дети, научившиеся группитизировать, также развили гибкость в работе с числами.

Концептуальный подход к числам, который применяли отличники и на который способны все мы, часто предполагает отход от детальных методов, таких как сложение, и сосредоточение на какой-то более масштабной идее или концепции. Один из способов помочь всем ученикам развить концептуальный и гибкий подход к числам – предложить им рассматривать числа на уровне идеи и использовать ish-подход к своей работе.

В разгар глобальной пандемии COVID–19 мне позвонили из Управления образования штата Калифорния и спросили, не могу ли я помочь учителям, работающим в условиях локдауна, – выделить более важный математический материал, который школьники обязательно должны усвоить. Совет по образованию штата признал, что пандемия сильно усложнила преподавание и учителя перестали справляться со всеми отдельными изолированными стандартными темами, которые требовалось доносить до учеников. Я считаю, что вне зависимости от обстоятельств учителя не могут дать не на поверхностном уровне тот огромный объем материала, который входит в программы. Я не встречала ни одного учителя математики, который бы не считал, что в его курс запихнули слишком много.

На момент звонка я уже являлась одним из авторов новой концепции образования в штате, а также выполняла свои обычные обязанности профессора и содиректора нашего центра Youcubed, так что мне самой не хватало времени. И все же я откликнулась, поскольку увидела идеальную возможность помочь калифорнийским учителям перейти к связному и концептуальному подходу.

В прошлом какие-то организации уже пытались помочь учителям справиться с чрезмерным объемом материала, изложенного в стандартах, – путем сортировки его по важности. Я отказалась от такого подхода. Вместе с Кэти Уильямс, сооснователем центра Youcubed, мы реорганизовали в детском саду и 6-м классе. стандарты в набор взаимосвязанных, последовательных, крупных (масштабных) идей²²¹. На рисунке 6.2 приведены примеры для детского сада и 6-го класса.

Рис. 6.2. Математика как взаимосвязанные крупные идеи

Когда учителя сосредоточены на масштабных идеях, а не на мелких методах, учащиеся получают доступ к концептуальному пониманию, а более узкие темы изучаются в рамках более широких.

Комитеты по математике по всему штату рассмотрели нашу идею реорганизации материала в крупные идеи, и в мае 2021 года Совет по образованию штата Калифорния единогласно ее одобрил. Этот подход также стал центральной частью новой программы California Mathematics Framework, которую единогласно утвердили в июле 2023 года.

Национальный исследовательский совет – важная часть Национальной академии наук; он дает рекомендации по политике в сфере образования, а также за ее пределами. Когда группе ученых поручили изложить результаты исследований в области обучения в книге для педагогов, они сделали следующее заключение:

Поверхностный охват всего существующего в какой-либо области следует заменить углубленным изучением небольшого количества тем; это позволит понять ключевые концепции этой дисциплины. Конечно, нет необходимости полностью отказываться от стремления охватить всё. Однако требуется сделать акцент на детальный анализ основных тезисов, чтобы учащиеся могли усвоить определяющие понятия в конкретных областях какой-либо дисциплины²²².

Красота преподавания и изучения нескольких взаимосвязанных крупных идей заключается в том, что учителя и родители располагают бо́льшим количеством времени для погружения в каждую из них. Когда учащиеся глубоко окунаются в математические концепции, они изучают ту же самую математику, но вместо того, чтобы осваивать разрозненные методы по кускам, они изучают определенное множество связанных идей и методов с помощью разнообразных заданий. Этот подход изложен как в программе California Mathematics Framework 2023²²³, так и в наших книгах для программы К–8²²⁴.

С вышеизложенными советами по обучению хорошо согласуется предположение нейробиолога Джеффа Хокинса, каким образом мозг хранит знания и информацию. Ученый утверждает, что мозг упорядочивает все знания с помощью опорных точек – они расположены в нашем мозгу, как большие города на карте²²⁵. Они помогают нам понимать, где мы находимся и что нам нужно сделать, чтобы перейти от одной области знаний к другой. Часто такие опорные точки имеют визуальные представления, которые мы можем увидеть или вообразить. Хокинс приводит пример с ДНК. Если вы изучали генетику, то при упоминании ДНК в разговоре ваш мозг, скорее всего, представит себе двойную спираль, которая может расцепляться. Вы никогда не видели молекулу ДНК, но ваш мозг создал некую систему координат для этой области знаний, которая помогает в их организации.

Если люди учатся эффективно, они создают такие опорные точки. Они не просто хранят факты в общей куче, а соотносят свои знания с более крупными концептуальными системами координат. Наша рекомендация – помочь учащимся глубоко и качественно усвоить набор крупных идей, чтобы они послужили системами координат, способными упорядочить знания всех учеников.

Когда учителя просят у меня совет по качественному преподаванию (несмотря на наличие длинных списков материала, который требуется изложить, обязательных тестов и несвязных вопросов из учебников), я говорю следующее: если ученики основательно усвоят примерно восемь крупных концепций на уровне своего класса, изученное послужит фундаментом для всего, что они будут осваивать дальше. Это же я посоветовала бы всем, кто желает изучить что-то новое. Вместо того чтобы фокусироваться на мелких деталях, рассмотрите картину в целом: что на самом деле означают они и как связаны друг с другом? Иногда за деталями скрыты важные понятия.

Такой концептуальный подход к материалу полезен учащимся, которым нужно выучить и запомнить термины по какой-либо теме. Кэти Уильямс – сооснователь и содиректор центра Youcubed – ранее работала в управлении округа, а до того в старшей школе, где преподавала математику и вела программу AVID, предназначенную для подготовки школьников к колледжу (особенно социально незащищенных). Она вспоминает, как к ней пришли растерянные ученики, ошеломленные различными понятиями, которые им требовалось зазубрить. Когда они объяснили ей, что им нужно запомнить митохондрию, ядро, рибосому и цитоплазму, она предложила им написать и визуализировать какую-нибудь осмысленную историю, которая как-то связывала бы эти термины. Это помогло школьникам проникнуться идеями и перейти от заучивания и концентрации на деталях к концептуализации и общей картине²²⁶.

Еще одна цель нашей работы по заказу штата – представить математику в виде набора взаимосвязанных идей. Если вы попросите любого вдумчивого математика описать этот предмет, он назовет небольшое количество важных идей и множество связей, аналогичных сетевым картам, изображенным на рисунке 6.2 (с. 196), и опорным точкам, описанным нейробиологом Джеффом Хокинсом. Но когда за материал берутся авторы стандартных программ, они режут эту карту на крохотные кусочки, которые затем передают учителям в виде сотен стандартов для учебных программ. Неудивительно, что школьники считают математику бессвязной дисциплиной; именно так ее преподносят учителя. Те же самые не соединенные между собой мелкие стандарты авторы учебников берут за основу при составлении вопросов. В своей работе для штата мы не только изложили крупные математические идеи, но и продемонстрировали отношения между ними, возвращаясь к взаимосвязям между различными концепциями, которые показывают, как идеи могут развиваться на основе друг друга.

Джим Стиглер, психолог из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, исследует, как специалисты хранят свои знания. Он и его команда подчеркивают важность концептуального понимания, мысленных представлений и связей между ними для достижения экспертного уровня знания²²⁷. Авторы работы указывают, что когда люди извлекают из памяти и пытаются применить знания, не связанные с другими понятиями (например, отношения между частью и целым), то решение проблемы затормаживается, и они сдаются. В то же время, если человеку со связными знаниями задали какой-нибудь вопрос о пропорции, а он помнит арифметические операции, он сумеет без проблем найти ответ.

Сара Нолан – учительница четвертого и пятого классов из Калифорнии – входила в группу преподавателей, работавших со мной и моей командой в Стэнфорде. Идея преподавания математики как концептуального и пронизанного связями предмета вдохновила Сару. Вооружившись концепцией крупных идей из наших книг, она объяснила своим ученикам, что они займутся совместным поиском связей между идеями²²⁸. Она сказала им, что математика – это сеть понятий и они убедятся, что связи между ними помогают их осваивать. Сара вывесила на стене класса математические темы следующего года в виде крупных идей и объяснила, как указывать связи между ними. Далее этим занялись дети: если они находили связь, то добавляли ее. Это происходило естественным образом: когда школьники обнаруживали связи, они писали их на листке бумаги, а затем прикрепляли к веревочке, которая соединяла соответствующие идеи на стене. На рисунке 6.3 приведена фотография стены со связями, сделанная в середине года, а видеоролик из класса Сары с картами связей выложен на сайте youcubed.org под названием «Не надо тревожиться по поводу математики». К концу года стена напоминала паутину. Когда Сара убирала что-то с доски, ученики просили разрешения забрать это домой – они гордились своими открытиями!

Рис. 6.3. Математические связи в классе Сары Нолан.

Рис. 6.4. Наброски-заметки с моими идеями преподавания.

Лаура Уилер и Impact Wales.

Еще один мой любимый метод, помогающий людям развивать концептуальные и связанные знания об идеях – это создание набросков-заметок²²⁹. Группа исследователей из Испании и Австралии описывает их так: «наглядная форма, объединяющая наброски и заметки для объяснения научных тем»²³⁰. Двое учителей любезно предоставили сделанные ими наброски, отражающие мои собственные преподавательские идеи (рис. 6.4).

Люди все чаще используют такие наброски для представления и запоминания идей, излагаемых на конференциях, семинарах и деловых встречах, однако учителя также могут показать учащимся, как выделять крупные идеи и связи между ними – тот навык, который должны развивать все ученики, что бы они ни изучали²³¹. В частности, я люблю такие наброски, поскольку их форма – во многом похожая на карту понятий – может выразить идеи так, как не делают или не могут сделать традиционные методы. В предыдущей главе рассказывалось об исследованиях, посвященных пользе наглядного восприятия математики, а наброски-заметки – отличный способ для учеников создавать свои собственные визуальные представления.

Джанет Наззи, лидер в области математического образования, стремится, чтобы ее ученики изучали математику с глубиной и пониманием, опираясь на идеи ментальной установки. Мы с нею набросали несколько наиболее важных понятий в преподавании дробей; они приведены на рисунке 6.5.

Исследования показали, что, когда ученики делают заметки в ноутбуках, они запоминают меньше, чем когда рисуют или записывают идеи от руки²³². Традиционные записи – дословное изложение идей – подразумевают неглубокую их обработку, в то время как создание набросков-заметок требует от учеников обрабатывать информацию, рассматривать общую картину, визуализировать ее и переосмысливать – все это ценные шаги в обучении.

Установлено даже, что создание учениками таких набросков улучшает их результаты при решении математических текстовых задач, а также повышает их вовлеченность и мотивацию – что особенно важно для учащихся с особенностями²³³. Хайди Винсент, университетский профессор математики, использует подобные наброски-заметки, чтобы помочь своим студентам понимать математику; на рисунке 6.6 дан ее набросок, отражающий важные идеи в сфере грамотности работы с данными, статистики и науки о данных²³⁴.

Рис. 6.5. Набросок с важными понятиями для дробей.

Рис. 6.6. Набросок Хайди Винсент.

Я рекомендую вам попробовать составить набросок для тех идей, с которыми вы имеете дело. Если вы колеблетесь из-за того, что не умеете рисовать, воспользуйтесь пиктограммами, которые можно бесплатно найти в Интернете²³⁵. Напомните себе (и своим ученикам), что главная цель такого наброска – не создать красивое произведение искусства, а представить идеи, придать им нужное значение и мыслить концептуально, устанавливая связи между ними.

Я помню тот день, когда в моем кабинете в Стэнфорде появилась Шела Фельдштейн из управления округа Туларе (Калифорния).

Она попросила меня помочь округу и рассказать учителям пятых классов этого района о рекомендованном нами подходе – когда школьники работают над крупными идеями и связями. Вместе мы разработали план, в соответствии с которым учителя должны были пройти мой онлайн-курс по преподаванию математики, а затем собраться в группах и спланировать изменения в своей работе на базе освоенных идей²³⁶. В следующем учебном году мы приступили к реализации плана, и в течение этого года учителя следовали новому подходу. При этом они стали замечать, что успеваемость их подопечных повысилась²³⁷.

Тот год оказался только началом; учителя продолжали повышать квалификацию, а руководители округа распространяли новые идеи среди других преподавателей.

Через несколько лет после той первой встречи в моем кабинете собрались учителя четвертых классов – Энни Браун, Джереми Кемп и Стефани Гомес. Преподаватели с воодушевлением обсуждали перемены в своей работе – как они поощряли детей мыслить по-новому и позитивно относились к ошибкам; однако больше всего меня заинтересовал следующий аспект изменений.

Джереми описал «поразительную вещь». Он давал ученикам разнообразные, глубокие и расширенные задания с обыкновенными дробями, но нервничал по поводу других тем учебной программы, которые ему предстояло излагать, – десятичных дробей, геометрии, измерений и так далее. Когда класс приступил к десятичным дробям, его нервозность быстро рассеялась:

Энни и Стефани согласились, добавив, что школьники редко видят математические связи, и все они считают, что это «действительно круто и удивительно». В конце первого года нашего сотрудничества с руководителями и учителями в Калифорнийской долине ученики, обучавшиеся таким образом, показали значительно более высокие результаты на экзаменах по математике – особенно девочки, изучающие английский как основной или второй язык, а также ученики из семей с низким уровнем доходов, то есть как раз категории, обычно испытывающие проблемы с математикой²³⁸. После того как управление округа провело хорошо продуманное повышение квалификации учителей, школьники округа Туларе начали воспринимать математику как концептуальный, связный и разнообразный многоплановый предмет.

Не всем школьникам преподают математику так осмысленно; я неоднократно становилась свидетелем проблем, с которыми сталкиваются ученики, когда их не учат подходить к математике как к концептуальному и связному предмету. Однажды я наблюдала, как великолепная учительница Кэти Хамфрис работала с группой учеников средней школы в Калифорнии (их специализацией был язык, а не математика)²³⁹. Кэти пригласили провести уроки, посвященные дробям; школьный учитель объяснил ей, что дети испытывают трудности с изучением этой темы. Кэти составила план визуального и концептуального изучения дробей. Во время одного из уроков Кэти показала классу изображение, приведенное на рисунке 6.7, и задала простой, на ее взгляд, вопрос: «Какая доля этой фигуры закрашена?»

Рис. 6.7. Одна четверть.

Кэти бросилось в глаза, что руки поднимают немногие дети, и то неуверенно. Поэтому она предложила обсудить проблему в небольших группах. Именно тогда я услышала одно из самых увлекательных и познавательных математических обсуждений в своей жизни. Вот его часть:

ХУГО: Я думаю, одна вторая. Здесь две фигуры, и одна из них закрашена.

ЛУКАС: Я думаю, что треть.

СОФИЯ: Я думаю, что это одно целое.

ХУГО: Нет, половина – одна из двух частей.

ПАБЛО: Я думаю, что одна четвертая.

ЛУКАС: Почему?

ПАБЛО: Ну, если представить себе прямые линии вот здесь и вот здесь… (он делит нарисованную фигуру, рисуя карандашом в воздухе линии, рассекающие ее по горизонтали и вертикали).

ЛУКАС: Но здесь нет никаких прямых линий. Кроме того, она не сказала «докажите», она просто спросила: «Какая здесь доля?»

Меня не удивили ответы «половина» или «треть», поскольку такие ошибки весьма распространены. Заинтересовало меня то, что, когда Пабло дал четкое и правильное объяснение, показав линии, которыми можно разделить фигуру на четыре равные части, Лукас возразил, указав, что никаких видимых линий нет.

Здесь мы увидели, как ученик следовал тому, что считал правилами математики, – отвечать на поставленный вопрос, а не менять его, например добавляя линии. Однако предложение Пабло относится к самым важным математическим действиям, которым может научиться школьник, – это называется гибкостью формы. Точно так же, как гибкость числа позволяет нам при вычислениях менять числа на более удобные, гибкость формы позволяет нам перемещать части фигуры или добавлять линии, чтобы стало понятнее. Майкл Баттиста называет это пространственным структурированием²⁴⁰, и оно тесно связано с чувством числа²⁴¹. Лукас продемонстрировал, что внимательно следит за лексикой учителя, заявив, что, возможно, гибкий подход Пабло годился бы, если бы их попросили доказать ответ, а не просто назвать дробь. Такая реакция сказала мне, что Лукас научился следовать правилам, и их усвоение помешало ему воспринимать точные математические рассуждения Пабло.

Урок стал еще интереснее, когда Кэти попросила класс поделиться своими рассуждениями. К доске вышел Хесус, который дал замечательно четкое объяснение. Он показал фигуру, разделенную на четыре части, и сказал:

Я думаю, что в ответе одна четвертая, потому что если разделить вот здесь и здесь (он делит квадрат на доске на четыре части), то получится четыре квадрата. У всех них одинаковая площадь, и если закрасить один, то получится одна четвертая.

Кэти спросила класс, доказал ли свой ответ Хесус, объяснив, что если нет, то нужно задать вопрос, ответ на который их убедит; она предложила классу «заставить его нести ответственность за свое доказательство». И тогда Хорхе задал Хесусу потрясающий вопрос. Он спросил Хесуса: «Что это за правило?»

Класс в напряжении ждал. Хесус у доски неуверенно пожал плечами. Хорхе продолжал: «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?»

Подобные моменты восхищают меня, поскольку они иллюстрируют – посредством обсуждения в классе – то, что исследователи назвали «когнитивной интерференцией»²⁴². Хорхе, Лукаса, а также, вероятно, многих других их одноклассников учили правилам работы с дробями. Они настолько прочно закрепились в сознании учеников, что блокировали их способность мыслить концептуально и обращаться к математическим рассуждениям, которые являются ключевыми для понимания. Школьники словно не верили, что математические рассуждения и осмысление – это законные действия; они считали, что нужно просто следовать правилам.

Аналогичный процесс происходит, когда на ранних этапах изучения арифметики и дробей детям рассказывают про алгоритмы. Я видела, как учителя активно развивают у своих учеников чувство числа, но, когда они обучают их алгоритмам, все осмысление школьников как будто испаряется, и они начинают слепо следовать правилам, которым их обучили (я обсуждала это в главе 5 применительно к дробям). Я не против преподавания алгоритмов, но считаю, что детей зачастую знакомят с ними слишком рано, когда школьники еще не способны понять их по-настоящему. Это переключает учеников в режим исполнения правил и, похоже, уводит их в сторону от важного концептуального мышления.

Долорес Песек и Дэвид Киршнер, исследователи в сфере математического образования, заинтересовались концепцией когнитивной интерференции после того, как неоднократно столкнулись с ситуацией, когда правила, заученные школьниками, мешали им мыслить математически²⁴³. Один из случаев был связан с изучением алгебры²⁴⁴, второй – с десятичными дробями²⁴⁵, а третий – с обыкновенными дробями²⁴⁶. Подобные ситуации подтолкнули Песек и Киршнера ввести и тщательно изучить понятие когнитивной интерференции: это проблема, возникающая, когда «предыдущее понимание в какой-либо области настолько сильно, что спонтанно проникает в дальнейшее обучение»²⁴⁷.

Чтобы изучить этот феномен, который, по их предположению, может вызывать проблемы с изучением математики у многих учеников, они провели контролируемое исследование.

Песек и Киршнер рассмотрели те причины, которые мешают учителям использовать концептуальный подход. Одни ссылались на нехватку времени, другие утверждали, что к концептуальному обучению можно прибегать только после того, как ученики выучат методы и правила – если будет время. Для эксперимента ученые взяли шесть классов пятиклассников и разделили детей на две группы случайным образом. Обе группы изучали площадь и периметр квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Одной группе досталось восемь уроков: пять уроков традиционного обучения, а затем три урока концептуального обучения; у другой провели только три урока концептуального обучения. Обеим группам организовали тестирование – перед экспериментом, после него, а затем еще одно спустя некоторое время. На уроках организовали наблюдение, а со школьниками вели беседы.

При традиционном обучении детям показывали формулы для нахождения периметра и площади квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Учитель объяснял, затем ученики тренировались в группах. В конце каждого урока учитель повторял формулы.

При концептуальном обучении, которое проходили обе группы, школьников просили придумать собственные способы находить площадь и периметр с учетом взаимосвязи между этими понятиями. Ученикам предлагалось рисовать или измерять собственными руками, по квадратикам или с помощью геодоски[44]; они изучали идеи, применяя разнообразные подходы.

Группа с традиционным обучением училась восемь дней (многие учителя считают такой срок идеальным: пять дней на изучение методов и правил и три дня на концептуальную работу). Другая группа три дня занималась только концептуальным обучением. Результаты ошеломляли: школьники, которые учились всего три дня, показали значительно более высокие результаты во всех заданиях, нежели те, кто потратил восемь дней²⁴⁸.

Когда исследователи стали выяснять причины столь впечатляющих результатов (посредством устных опросов и тестирования), они обнаружили, что у школьников, обучавшихся традиционным способом, сформировались устойчивые представления. Например, они ассоциировали слово «внутри» с площадью, а «снаружи» – с периметром. Когда их спросили, какую формулу они применят для вычисления количества краски, необходимого для покраски комнаты, шесть школьников ответили, что не знают или что им нужно знать периметр, потому что «стены не имеют площади, они идут вокруг». Исследователи пришли к выводу, что заучивание правил мешало детям усваивать понятия – вероятно, потому что запоминание формул и правил требует серьезных умственных усилий, и учащиеся сконцентрировались на этом, а не на том, чтобы думать, рассуждать и решать задачи.

Описанный эксперимент представляется особенно важным в связи с тем, что многие учителя полагают, что у них нет времени на глубокое и концептуальное вовлечение учащихся. Результаты эксперимента показывают, что на такое вовлечение уходит значительно меньше времени (три восьмых), а потраченное время используется более эффективно.

Конечно, концентрация внимания на правилах влечет за собой и другие проблемы, как продемонстрировал выше Хесус, когда возражал против концептуального объяснения. Его вопросы «Что это за правило?» и «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?» демонстрируют, что, когда ученики считают, что их роль в математике заключается в запоминании и выполнении правил, у них развивается нежелание прибегать к концептуальному мышлению, а кто-то даже считает, что это «не разрешается».

Некоторые преподаватели, посмотревшие мои видеоролики с вовлечением учеников в концептуальное обучение, говорили мне, что не могут позволить себе обучать подобным образом, поскольку их классы слишком велики. После этого я даже обрадовалась, когда сотрудники инженерного факультета Стэнфорда пригласили меня прочитать летний курс анализа для группы будущих первокурсников, насчитывавшей девяносто девять учеников. Поскольку слушателей было много, я пригласила поучаствовать членов моей команды из центра Youcubed – роскошь, которую могут себе позволить немногие учителя²⁴⁹. В то лето мы поставили себе цель учить, опираясь на подход, основанный на крупных идеях и связях, создавая многочисленные возможности для изучения анализа через мысленные представления. Нашу работу осложняло (но и делало более интересной) то, что одни учащиеся изучали анализ в школе на высоком уровне, а другие не имели с ним дела вообще. Различия в мышлении и понимании людей – это проблема, с которой сталкиваются все преподаватели, вне зависимости от того, на каком уровне они преподают или в какой степени школы группируют учащихся по предыдущим результатам. Все ученики разные, и я рассматриваю это различие как замечательный ресурс для создания стимулирующей среды преподавания и обучения.

В главе 3 я рассказывала о Стиве Строгаце, специалисте по прикладной математике из Корнеллского университета, который посвятил большую часть своей жизни и работы тому, чтобы делиться красотой математики со своими учениками и другими людьми²⁵⁰. Одна из целей Стива перекликается с моей – рассказывать о математике как о предмете из понятий и крупных идей. Стив занимается этим и многим другим в своей книге о математическом анализе под названием «Бесконечная сила»²⁵¹. Если вы знаете кого-нибудь, кто изучает или преподает анализ, рекомендую вам рассказать им об этой книге, поскольку она дает читателям то, чего не найти во многих курсах анализа, – концептуальное представление о масштабных идеях. Вот что Стив говорит о больших идеях – в противопоставление типичным методам изучения анализа:

К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему. Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений.

Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа, – и концептуально, и исторически[45].

Интересно, что Стив упоминает масштабную идею бесконечности, указывая, что с нею знакомы все специалисты, но при этом отмечает, что он никогда не видел, чтобы в курсе анализа ее выделяли. Я готова поспорить, что все специалисты не только знают эту идею, но и имеют мысленные представления, которые сразу же приходят на ум, когда они размышляют о крупных идеях в анализе.

Когда будущие студенты Стэнфорда пришли к нам на летние занятия анализом, стало ясно, что их знакомили не с этой идеей и не с концептуальным представлением, а с методами, правилами и процедурами. Мы с командой решили предложить учащимся крупные идеи анализа, полагая, что это будет полезно даже для тех, кто уже проходил курс анализа в школе, поскольку обеспечит те концептуальные рамки, в которые они смогут поместить свои знания методов и правил, и даст им столь необходимые возможности для развития мысленных представлений и видения математических связей. Ну, а для тех, кто никогда не изучал анализ, такой подход обеспечит доступное и осмысленное знакомство с его идеями. Труд Стива мы использовали в качестве учебной книги, а его главы помогли нам спланировать занятия, посвященные крупным идеям. Стив описывает масштабную идею анализа следующим образом:

Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями.

Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением[46]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением[47] ²⁵².

Чтобы побудить учеников задуматься над крупной идеей разрезания на мелкие части и восстановления целого (а также создать ментальные модели для этого процесса), мы адаптировали урок, который я наблюдала в школе Рейлсайд. Мы предложили ученикам придумать методы для нахождения объема лимона. Одно из основных применений анализа – нахождение объемов сложных криволинейных тел²⁵³. Ранее при изучении анализа учащиеся могли рисовать фигуры, но нынешнее задание дало им возможность подержать сложное тело в руках и внедрить идеи анализа в собственное построение ментальной модели для этого тела. Мы разделили учеников на группы, выдали каждой группе по лимону и предложили им поэкспериментировать с нахождением объема этого плода, предоставив некоторые инструменты для работы – нож, разделочную доску, вазы с водой, нитки, электронные штангенциркули, массу для лепки Play-Doh, транспортиры и линейки²⁵⁴.

На рисунке 6.8 представлены некоторые из идей, предложенных учащимися для определения объема лимона.

Когда будущие студенты изучали тем летом основные идеи анализа, им понравилось наличие в руках физических моделей, реальных объектов, таких как колеса и снежинки, и применение методов, которые многие из них уже изучали в школе. Одна из учениц, София, объясняла:

Первой задачей, которая действительно открыла мне глаза, стала задача о лимоне. Моя группа весьма творчески осмыслила три использованных нами метода, и физические манипуляции с лимоном помогли мне понять, почему разные методы хорошо работают.

Но в конце, когда мы обсуждали задачу всем классом, я осознала, что все решения моей группы, по сути, просто разные способы выполнения суммирования и интегрирования. Тогда я впервые увидела формулу интегрирования и график, и они действительно обрели для меня смысл. С тех пор у меня высокие результаты в классе. Сейчас мне кажется, что если я очень постараюсь и буду думать достаточно креативно, то смогу разобраться в чем угодно²⁵⁵.

Рис. 6.8. Различные методы визуализации суммирования и интегрирования.

Работа с лимоном и знакомство с математическим разнообразием подтолкнули эту девушку к важной мысли, что она может научиться чему угодно, что позволило ей показывать «высокие результаты» на других занятиях. В ответе Софии также прослеживается важный подход к преподаванию, о котором я расскажу в следующей главе: учащиеся исследуют идеи, а затем в ходе дискуссии, в которой участвует весь класс, преподаватель предлагает методы, идет поиск связей, обсуждение и осмысление.

Некоторые студенты считали использование физических объектов, которые мы выдавали им для воплощения идей анализа (лимоны, мячи, снежинки и минибайки)²⁵⁶, «элементарной» вещью, но все равно отмечали, что этот опыт позволил им глубже вникнуть в те понятия, с которыми они раньше сталкивались только в виде формул для запоминания²⁵⁷. Еще один будущий студент, Алек, рассказал нам, что раньше предполагалось, что он просто «примет истину» математических идей; теперь же «возня с блоками, веревками и лимонами, как в начальной школе», позволила ему по-настоящему разобраться в материале. Это помогло ему развить концептуальное понимание крупных идей анализа и овладеть ими.

Я всегда радуюсь, когда меня зовут в какую-нибудь школу, но недавно я получила особенно примечательное приглашение. Оно поступило от Джулии Шоу, энергичного директора школы, работающей по программе K–7 International Baccalaureate. Школа Сенпокчин, открытая для всех, находится в канадской резервации для коренного населения и в основном обслуживает народ нкмип – одну из семи племенных групп на традиционных землях народа оканаган, расположенных в окрестностях города Келоуна в Канаде²⁵⁸. В ходе нашей переписки по электронной почте я уже уяснила, что Джулия – человек с установкой на рост, однако убедилась в этом, когда отменили рейс, которым летели мы с Кэти Уильямс. Джулия бросилась искать другие маршруты, авиакомпании и машины. К счастью, вопрос решился, и на следующее утро мы прибыли в школу, взволнованные и польщенные тем, что нас включили в программу занятий.

Утро началось с барабанной дроби – церемонии, в которой ежедневно принимают участие разные ученики, преподаватели и члены общины; наблюдает за ней вся школа. Руководитель общины Кларенс Луи пообщался со мной после нашего приезда и теперь с гордостью наблюдал, как барабанили школьники. День в Келоуне выдался холодным, но это, казалось, никого не смущало, поскольку ученики выбивали дробь и пели, создавая четкое ощущение единства.

Джулия попросила нас с Кэти провести два урока: один – для учеников 3–5-х классов, другой – для учеников 6-х и 7-х классов. Я начала свои уроки с важных фактов, которые установили нейробиологи: рассказала ученикам, что их учебу ничто не ограничивает и что пути в мозге постоянно развиваются, укрепляются и соединяются. Я объяснила детям, что самое важное время для них – это моменты усилий и трудностей, что математика – это вовсе не скоростное мышление и что все математические задачи можно рассматривать с разных точек зрения и решать разными способами. Я также рассказала им, что подход к математике, при котором применяются различные способы видения и решения задач и используется много представлений, ведет к формированию важных связей в мозге. Для иллюстрации сказанного мы взяли задачу о точках на карточке (описанной в главе 5). После моего рассказа о мозге ученики охотно придумывали различные способы представить семь точек.

После этого мы с Кэти сообщили, что нам понравилась математическая красота, заключенная в нескольких произведениях искусства коренных народов. Кэти показала изображение ловца снов (рис. 6.9) и спросила школьников, что оно значит для них. Ученики рассказали о роли ловца снов в их жизни и культуре. Затем Кэти попросила их подумать об этом рисунке с математической точки зрения, глядя на мир через линзу математики.

Рис. 6.9. Ловец снов.

Ученики возбужденно рассказывали, что они видят на картинке, включая математические фигуры (например, треугольники, трапеции и круги) и объекты из реального мира (например, ноутбук, реку и комнату). Когда Кэти задала вопрос: «Сколько треугольников вы видите?», ученики решили, что в ответе «бесконечное число», поскольку каждый треугольник можно разрезать пополам, еще раз пополам и так далее. Кто-то, взглянув на рисунок, может возразить, что на самом деле никаких треугольников здесь нет, поскольку края треугольных фигур изогнуты. Однако мы с радостью использовали для этого изображения ish-взгляд (который обсуждался в главе 4). На ловце снов есть фигуры, похожие на треугольники, ish-треугольные формы. Чтобы математическая линза была полезной, нам нужно принимать и ish-свойство чисел и форм в мире, и более точные версии. Вполне вероятно, что ish-версии окажутся гораздо полезнее для людей в их жизни. Важно, что мы должны помогать детям изучать и использовать как неточные, так и точные версии фигур и чисел, давая им возможность переключаться между общей картиной и сфокусированным мышлением²⁵⁹.

Для меня было большой честью познакомиться в ходе нашего волшебного посещения с культурой народа оканаган и поработать с местными учениками и учителями. Однако наше сотрудничество получило замечательное продолжение: позже я получила письмо от Лизы ван ден Манкхоф, учительницы 6-х и 7-х классов, которая в тот день наблюдала, как мы вели урок у ее школьников. Она рассказала о своей работе, проделанной после нашего визита. Сначала она предложила ученикам самостоятельно сконструировать собственные ловцы снов, предоставив им свободу использовать имеющиеся у них знания, подумать и активировать то, что Заретта Хаммонд называет собственным «культурным капиталом» (рис. 6.10)²⁶⁰. Эта работа фокусируется на крупной идее математических закономерностей.

После того как ученики создали свои ловцы снов и изучили узоры-закономерности в них, Лиза искусно переключила их мышление в область переменных, помогая им описать эти закономерности с помощью алгебры. Лиза писала, что это вызвало у школьников сложности, что они оказались в «яме», а это самый лучший момент для учебы и роста. Она сообщила, что в какой-то момент обсуждения даже допустила ошибку, которую класс отметил жестом «дай пять»: именно так дети поступают всякий раз, когда ученики или учителя допускают какую-нибудь ошибку. Важно, что, по словам Лизы, такая деятельность позволила ученикам установить «прекрасные связи». Я не удивлена, что учителя и ученики вдохновляются связями между узорами и алгеброй, ведь именно в математических связях кроется истинная красота. Собственные узоры школьников были близкими и культурно значимыми для них, они оживляли абстрактные понятия алгебры.

Рис. 6.10. Ловцы снов, спроектированные школьниками.

Наш опыт работы в этой школе и внимание к ценности сохранения и уважения культуры коренных народов послужили толчком к новой инициативе: педагоги всего мира, работающие с коренными народами, делятся различными примерами сочетания математики и искусства коренных народов²⁶¹.

Подход, который я изложила в этой главе, – учить и учиться таким образом, чтобы люди могли сформировать концептуальное и связное понимание, – ключевая часть математического разнообразия. Широкий спектр заданий дает ученикам возможность бороться и прикладывать усилия, позволяет им развивать мысленные представления и способствует глубокому концептуальному пониманию, на которое они будут опираться всю оставшуюся жизнь²⁶².

Концептуальное мышление и поиск связей подходят не только школьникам; все мы можем использовать такой подход к обретению знаний, и он, вероятно, приведет нас к красоте и озарениям. Один из моих любимых методов развития концептуальных представлений, касающихся масштабных идей – ведение дневника или создание набросков-заметок. Фиксировать слова или визуальные образы – очень хорошее упражнение для того, чтобы прислушиваться к идеям, связывать и отслеживать их.

В главе 4 я писала, что часто предлагаю посмотреть видеоролик, на котором одна из моих бывших студенток Ясмина решает задачи по математике визуально, подчеркивая математические связи. Мне интересно наблюдать за эффектом этого видео – людей буквально завораживает красота математических понятий и связей, которые они видят в образах и движении. Я страстно желаю изменить взаимодействие учеников и взрослых с математикой, поскольку знаю, что эта красота доступна всем нам – если мы начнем подходить к математике как к комплексу понятий, крупных идей и связей.

Я надеюсь, что к этому моменту вы, ваши ученики или дети уже попробовали подходить к математике через призму разнообразия и ish-ности, концептуально осмысливая связи между идеями путем глубоких метакогнитивных размышлений и как можно чаще задавая очень важный вопрос «почему?». Я надеюсь, что сейчас вы уже применяете этот гибкий, концептуальный подход к математике и в учебе, и в жизни. Возможно, вы даже общались с другими людьми, выдвигая предположения и принимая на себя роль скептика. Я надеюсь, что если вы учитель или родитель, только начинающие знакомиться с разнообразным подходом к математике, то вы постараетесь знакомить детей с этой дисциплиной, используя такие разнообразные и увлекательные способы взаимодействия с математикой.

За эти годы многие люди уже пробовали некоторые подобные идеи и вернулись ко мне за новыми рекомендациями. Мне часто задают примерно такие вопросы:

• Теперь, когда работа с учениками строится на исследованиях и обсуждениях, нужно ли давать им обычные бланки с заданиями?

• После того как ученики изучили материал, надо ли проводить тест, чтобы убедиться, что они усвоили эти идеи?

• Как правильно оценивать учеников?

В этой главе мы ответим на эти важные вопросы. Подчеркнем, что, когда учащиеся занимаются практикой или работают над оцениванием, они должны по-прежнему действовать математически разнообразно, глубоко, стратегически и концептуально.

Один из специалистов, повлиявших на формирование моих представлений о продуктивных формах практической деятельности, – Андерс Эрикссон²⁶³, швейцарский психолог и профессор университета штата Флорида. В соавторстве с Робертом Пулом он описал важную часть процесса превращения в специалиста в произвольной области – участие в «целенаправленной практике»²⁶⁴. Эрикссон определяет ее как преднамеренную практику, которая приводит к формированию специализированных мысленных представлений, с четкой обратной связью, дающей возможность совершенствования.

Когда Эрикссон опубликовал свою работу и заявил, что практика очень важна для развития опыта, сторонники традиционного обучения утверждали, что их методы идеально подходят для обеспечения такой практики. Однако возможности, которые предоставляют математические классы с обычным преподаванием, во многих отношениях недостаточны. Целенаправленная практика – это работа со значимыми идеями, в ходе которой учащиеся разрабатывают репрезентативные модели, и она включает в себя четкий цикл обратной связи, предоставляющий возможности для совершенствования²⁶⁵.

В классе с традиционным подходом учащиеся отрабатывают содержание без смысла, разнообразия или сложностей; преподаватель не поощряет разработку репрезентативных моделей; а та обратная связь, которую подразумевает тестирование, – просто тупая оценка, не дающая информации о путях совершенствования. К счастью, мы можем добиться гораздо большего, и, когда мы это делаем, студенты преуспевают²⁶⁶.

Когда я собралась получать степень PhD[48] в Королевском колледже Лондона, я знала, что хочу исследовать. Последние два года я училась в магистратуре, изучая преподавание математики: днем работала в одной из лондонских средних школ (7–12-е классы), а вечером занималась на курсах. Я чувствовала себя готовой к сложностям получения степени PhD и подала заявку на участие в одной из программ финансирования; конкуренция там была острой, но в случае удачи я получала грант, который позволил бы мне исследовать методы преподавания и изучения математики. Через несколько месяцев я узнала об успехе и решила оставить работу учительницы и на несколько лет снова стать полноценной студенткой.

В своей заявке я изложила план исследования двух различных подходов к преподаванию и изучению математики и сбора данных об эффективности каждого из них. Я обратила внимание, что о методах преподавания математики много спорят, однако в этой сфере имеется очень мало научных данных. Я решила внести свой вклад в эту область, обогатив ее фактами и доказательствами. В течение следующих трех лет я наблюдала за когортой[49] школьников с 13 до 16 лет (окончания обязательного школьного образования в Великобритании). Эти подростки учились в двух разных школах, которые походили друг на друга в отношении успеваемости и демографической ситуации, но сильно различались по методам преподавания математики. Я провела сотни часов в классах этих школ, собирая множество данных, включая наблюдения за классом, беседы с учителями и учениками, оценки понимания учениками материала и анализ результатов экзаменов²⁶⁷. Это детальное исследование того, как различные подходы к преподаванию влияют на обучение, получило награду Британской ассоциации педагогических исследований (BERA) за лучшую диссертацию PhD в области образования в Великобритании.

В одной из школ (которую я назвала Амбер-Хилл) учителя практиковали типичный подход к преподаванию математики, когда преподаватель объяснял школьникам методы, а ученики затем отрабатывали их, решая задачи из учебника. Школьники нарабатывали сотни часов практики, а преподаватели, обладавшие высокой квалификацией, всегда были готовы помочь и поддержать. В другой школе (которую я назвала Феникс-Парк) учителя знакомили детей с идеями и разными видами деятельности; давали им возможность исследовать эти идеи; вовлекали в обсуждение всем классом, в ходе которого идеи развивались и увязывались между собой; потом преподаватели подводили итог²⁶⁸.

Например, учащиеся школы Феникс-Парк изучали тему «геометрическое место точек» (ГМТ). В математике это понятие определяется как множество точек, обладающее определенным свойством. Такой математический инструмент полезен в исследовании отношений между точками, линиями и кривыми. Он используется, когда требуется прогнозировать и анализировать биологические или социальные системы в науке и других областях. Дети в школе Феникс-Парк начали изучать эту тему с рассмотрения одиночных точек, а затем перешли к пониманию того, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной, – это окружность.

В обычных американских учебниках понятие ГМТ вводится в виде определения, после чего школьники решают узкие задачи. Преподаватели Феникс-Парка знакомили учеников с этим понятием, выводя их на игровую площадку и расставляя определенным образом. Сначала детей попросили встать на расстоянии 5 метров от учителя, и ученики увидели, что получается окружность.

Затем понятие расширили: учеников попросили встать на расстоянии 5 метров от прямой, потом на равных расстояниях от двух разных точек. Они провели целый урок, размышляя над понятием ГМТ и экспериментируя с идеярассказывают про ГМТ. ми на физическом уровне через движение. В Феникс-Парке учеников не разделяли по результатам, а предлагаемые задачи всегда обладали достаточной открытостью, чтобы ученики могли думать в разных направлениях – в зависимости от своих знаний и понимания. Для одних учеников это задание стало возможностью поразмыслить о фигурах и симметрии, для других – узнать о Пифагоре, для третьих – познакомиться с директрисой параболы.

Рис. 7.1. Пример того, как в школе Феникс-Парк

Может показаться, что на изучение понятия, которое вполне можно проиллюстрировать рисунками в учебнике, тратится слишком много времени, однако исследования демонстрируют, что ценность восприятия математических идей через физические движения огромна; таким мощным мысленным представлениям, которые следует выстраивать для всех математических понятий, посвящены целые книги и номера журналов²⁶⁹. Например, в одном исследовании наблюдали за тем, как ученики изучают отрицательные числа, складывая бумагу (рис. 7.2):

Рис. 7.2. Складывание бумаги для демонстрации отрицательных чисел.

Исследователи обнаружили, что физические манипуляции с бумагой позволяли учащимся развивать мысленные представления целых чисел. Это привело к тому, что учащиеся продемонстрировали более высокие результаты не только в тестах на отрицательные числа, но также в тестах на дроби и алгебру²⁷⁰.

После того как ученики Феникс-Парка познакомились с концепцией ГМТ на игровой площадке, их попросили отработать идеи в домашнем задании. Школьникам предложили изобразить путь, который опишет точка, нарисованная на круглой картонке, если эту картонку прокатить по ровной поверхности. Также им предложили подумать о движении точки, нарисованной на треугольнике, квадрате и фигуре по их собственному выбору, и проследить, как меняется путь точки, если менять ее положение на фигурах.

Подобная деятельность важна для учеников школы Феникс-Парк по многим причинам (например, из-за ее ish-ности и разнообразия), но я бы хотела акцентировать ваше внимание на многоплановой природе таких упражнений.

Это домашнее задание не предполагало монотонной работы над одинаковыми вопросами; от школьников требовалось применить свое понимание к разным фигурам. Это не только означало практический характер работы, но и подразумевало ее сложность – следовательно, школьники боролись, прикладывали усилия. Такой практике присущи и другие важные аспекты: когда ученики рисовали ГМТ для треугольника и квадрата, они работали с тем, что исследователи назвали «контрастирующими примерами».

Сара Левин и Дэн Шварц, мои коллеги по Высшей школе образования Стэнфордского университета, рассказывают о важности контрастирующих примеров для развития компетентности. Например, вы можете попросить людей описать предмет, изображенный на рисунке 7.3.

Рис. 7.3. Ножницы.

Большинство из них ответит, что это ножницы.

Но если вы попросите их описать два предмета на рисунке 7.4, они, вероятно, скажут, что слева – короткие ножницы с пластмассовыми ручками, не очень острые, с затупленными концами; возможно, детские ножницы. Про ножницы справа они могут сказать: длинные заостренные ножницы с упором на одной из металлических ручек²⁷¹. Такие подробности появляются в наблюдениях только потому, что на рисунке даны контрастирующие примеры.

Рис. 7.4. Двое разных ножниц.

Этот принцип можно применять ко многим жизненным ситуациям, включая, конечно, математику.

Если вы попросите школьников описать фигуру на рисунке 7.5, они, скорее всего, скажут, что это треугольник.

Но если вы попросите их описать фигуры на рисунке 7.6…

Рис. 7.5. Треугольник.

Рис. 7.6. Два разных треугольника.

…то они, вероятно, скажут, что фигура слева – равносторонний треугольник, или треугольник с тремя примерно равными сторонами и примерно равными углами, а фигура справа – это равнобедренный треугольник, или треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами, и он отличается от треугольника слева. Разумеется, при рассмотрении контрастирующих примеров важно не только произносить слова, но и размышлять, что стоит за этими словами. Исследователи обнаружили, что изучение контрастирующих примеров значительно повышает уровень понимания учащихся²⁷².

Еще один пример иллюстрируют два сценария ниже: контрастирующие примеры для них взяты из двух областей математики, которые часто вызывают затруднения у школьников: проценты и дроби. Важно, что эти вопросы касаются концептуальной идеи, а не вычислений.

Рис. 7.7. Кто из двух девочек получает больше денег на карманные расходы? Дайте обоснование. Используйте рисунки, слова и числа.

Покажите ученикам эти два сценария и попросите дать ответ, обосновав свой выбор. Если они работают вместе, что является идеальным вариантом, они могут посовещаться друг с другом, а затем предъявить свои математические доказательства, которые потом можно будет обсудить и изучить.

Рис. 7.8. Кто из девочек хочет больше коржика? Дайте обоснование. Используйте рисунки, слова и числа.

В процессе преподавания математики мы должны как можно чаще предлагать ученикам контрастирующие примеры. Учащиеся получают возможность обдумать их сходства и различия, выделить особенности различных математических идей, извлечь уроки из видимой разницы и обосновать свой выбор – такие ценные действия способствуют осмысленному изучению и прочным знаниям²⁷³.

Недавно я ездила в Сан-Диего к своему другу. Мне захотелось узнать, каково это – жить там, и я задала ему вопрос, который (как я осознала позже), опирался на мою веру в контрастирующие примеры. Я поинтересовалась, жил ли он когда-нибудь в другом городе. Когда он ответил, что жил в Бостоне и в Санта-Барбаре, я обрадовалась, ведь у него имелось представление о разных городах, иначе откуда ему было бы знать, какие особенности Сан-Диего интересны или примечательны?

В школе Феникс-Парк часто обращались к контрастирующим примерам. Ученики осваивали идею ГМТ, прослеживая путь разных точек на движущихся треугольниках, квадратах и выбранных самостоятельно фигурах. Задание рассмотреть ГМТ относительно различных движущихся форм подталкивало их к наблюдению и размышлению, как это понятие соотносится со свойствами различных фигур. Ученики узнали больше, чем если бы они рассматривали ГМТ только для определения окружности – стандартный пример при изучении в школе.

Учителя из Феникс-Парка сделали выбор в пользу практического опыта, который сосредоточен на масштабной идее, а не на мелких методах, что помогло ученикам развить визуальные мысленные представления на основе физических, с которыми они столкнулись. Когда ученики могут строить свои собственные фигуры, это привносит агентность[50] в процесс изучения математики. Когда ученикам разрешается выбирать направления в своей работе, это приводит к более глубокой вовлеченности²⁷⁴. К этому важному свойству обучения приводит простое предложение создать свои собственные фигуры.

Разнообразие методов, опробованных учениками, способствовало их успеху как на экзаменах, так и в жизни в целом²⁷⁵. Они обдумывали идеи в ходе исследований и проектов; учителя вводили новые методы по мере того, как они обретали актуальность для школьников, а школьники осваивали свое новое понимание, применяя идеи в новых разнообразных ситуациях. Что бы ни делали учащиеся – изучали новый материал, исследовали идеи или практиковались в их применении – они активно вовлекались в работу через многоплановый подход и разнообразие.

Вероятно, вы не удивитесь, узнав, что учащиеся школы Финикс-Парк достигли значительно больших успехов в решении прикладных задач, нежели школьники, обучавшиеся по стандартной программе. Однако вас может удивить тот факт, что они также показали значительно более высокие результаты на традиционных национальных экзаменах – в серии коротких вопросов, на которые отведено определенное время²⁷⁶. В Англии национальные экзамены – очень важная вещь: аттестационные комиссии проводят их для шестнадцатилетних школьников. В рамках работы над диссертацией я провела исследование успеваемости двух групп учеников, изучая их ответы на вопросы национального экзамена.

Мне посодействовал мой научный руководитель Пол Блэк, очень влиятельный человек в Великобритании: он добился для меня разрешения находиться в маленькой комнате без окон в месте, где проводились экзамены, и читать все сданные учениками работы (они уже получили свои результаты). Анализируя, на какие вопросы школьники отвечали правильно, а где ошибались, я заметила нечто удивительное.

Перед тем как провести день в этой крошечной комнате, я разделила все вопросы на две категории. К одной я отнесла задания, которые назвала процедурными: с ними можно было справиться, просто применив какой-нибудь метод. Если же для задания требовалось что-то большее (например, адаптировать метод или переосмыслить ситуацию), я относила их к категории концептуальных вопросов. Например, вопрос «Найдите среднее арифметическое данного множества чисел» классифицировался как процедурный, поскольку ученикам не требовалось подбирать или видоизменять какой-то метод; достаточно было просто вспомнить, как вычислять среднее арифметическое. Сравните с примером концептуального вопроса: «Фигура состоит из 4 прямоугольников, и ее площадь равна 220 квадратных сантиметров. Запишите в терминах x площадь одного из прямоугольников».

На рисунке 7.9 приведены результаты учащихся для этих двух типов вопросов.

Рис. 7.9. Результаты учащихся на процедурных и концептуальных вопросах.

Учащиеся школы Амбер-Хилл хорошо справились с процедурными вопросами, но плохо – с концептуальными (которые обычно сложнее). Школьники из Феникс-Парк показали одинаковые результаты по обоим типам вопросов – и при этом значительно более высокие результаты по концептуальным вопросам, нежели учащиеся из Амбер-Хилл. Этот более высокий уровень работы не только обеспечил им в целом более высокие результаты на экзаменах, но и оказал значительное влияние на их будущую работу, учебу и жизнь. Примечательно, что подход школы Феникс-Парк сгладил неравенство, существовавшее в среде ее учеников, а вот неравенство среди учащихся традиционной школы Амбер-Хилл было воспроизведено и на национальных экзаменах.

Из бесед с учениками школы Феникс-Парк мне стало ясно, что они достигли более высокого уровня на экзамене, потому что школа научила их использовать и применять методы и задумываться об их смысле. Подтверждением послужило экзаменационное задание, где требовалось использовать систему уравнений. В Амбер-Хилл школьники неоднократно решали системы уравнений с помощью определенного метода. Во время экзамена они попытались применить этот метод, но большинство из них запутались в процедуре и дали неправильный ответ. Ученики из Феникс-Парк успешно справились с этим заданием, несмотря на то что их не обучали формальному методу для решения: они подошли к задаче с тем, что я теперь называю установкой на рост, – они выработали решение, используя и применяя другие известные им методы.

Я спросила Ангуса, ученика 11-го класса (10-й класс в США) школы Феникс-Парк, не кажется ли ему, что экзамен включал темы и вопросы, с которыми он не встречался в классе.

Ну, иногда, полагаю, вопросы ставятся так, чтобы сбить тебя с толку, но если есть материал, с которым я раньше не работал, то я пытаюсь разобраться, насколько это в моих силах. Пробую понять и ответить как можно лучше, а если не получилось, то, значит, не получилось²⁷⁷.

Спустя годы я провела повторное исследование учащихся, которым было уже около 24 лет. Оно показало, что математический подход школы Феникс-Парк продолжает оказывать влияние: он позволил ученикам добиться большего успеха, поскольку они применяли свои знания и позитивную ментальность у себя на работе²⁷⁸. Категоризация их рабочих мест продемонстрировала, что ученики из Феникс-Парк занимают значительно более высокие места на социально-экономической шкале (SES). На диаграмме 7.10 показаны рабочие места этих молодых людей на момент моих бесед с ними в сравнении с рабочими местами их родителей на момент первоначального исследования. Разница в увеличении значима.

В беседах бывшие школьники Феникс-Парк связывали свои успехи в жизни (в частности, в поиске работы и трудоустройстве) с гибким подходом, которым овладели на уроках математики, и с ответственностью, которую возлагали на них при решении задач. Рассказывая о рабочих требованиях, они по сравнению с местами их родителей. говорили, что на разных рабочих местах им предлагалось брать на себя ответственность, и они могли это сделать, потому что научились этому на уроках математики. Они сказали мне, что гибкий математический подход также помог им понять, что если они не чувствуют удовлетворения на работе, то лучше поискать другое место. Часто мы, преподаватели, считаем, что учим школьников математике, чтобы они хорошо усвоили математические знания, но мы всегда делаем больше: мы учим подходу к жизни. Исследование, в котором участвовали эти молодые люди, показало, что те подходы и идеи, с которыми они встречались в классах Феникс-Парк, принесли им пользу и в последующие годы.

Рис. 7.10. Анализ рабочих мест учащихся

Эти учащиеся поняли то, что важно помнить всем нам: если мы начнем подходить к новым проблемам с мыслью, что можем пробовать применять полученные знания и, как выразился Ангус, «разобраться, насколько это в моих силах», то добьемся большего успеха в учебе и в жизни.

Гийо Хатано и Йоко Оура – японские профессора, которые внесли большой вклад в мировое понимание компетенции (знаний и опыта в определенной области). Они описывают два типа людей. Одни, развившие «стандартные компетенции», способны быстро и точно справляться со знакомыми проблемами, но не могут выйти за рамки того, что они назвали процедурной эффективностью. В то же время те, у кого развиты «адаптивные компетенции», выделяются гибкими, инновационными, творческими умениями в рамках этой области, а не скоростью, точностью и автоматизмом при решении знакомых задач²⁷⁹.

Для меня, как и для Хатано с Оурой было очевидно, что школьники Феникс-Парк развили адаптивные компетенции, что, в свою очередь, позволило им добиться успеха как на государственных экзаменах, так и в жизни.

Когда учащиеся работают с визуальными и физическими представлениями, как это делали школьники, изучавшие геометрическое место точек с помощью движения, происходит целенаправленная практика, а когда они учатся приспосабливать и применять методы в различных ситуациях, у них развиваются адаптивные компетенции. Этот опыт оказался важен для молодых людей, посещавших Феникс-Парк, многие из которых выросли в бедности, но достигли более устойчивого финансового положения, овладев в школе гибким подходом к математическим знаниям – что, в свою очередь, научило их справляться с ответственностью²⁸⁰.

Математическое разнообразие можно воплотить на практике и другим способом. В традиционных учебниках ученикам часто предлагают набор почти одинаковых изображений и примеров, но зачастую полезнее показать, почему некий пример не работает, нежели приводить много работающих примеров. Например, когда мы рассказываем школьникам о птицах, мы часто показываем им именно птиц – например, воробья, колибри и голубя. Но в этом случае детям гораздо полезнее посмотреть на летающих существ, которые не являются птицами – например, на летучих мышей. Тот же принцип действует и в математике.

На моих математических семинарах для учителей мне больше всего нравится наблюдать за их восторгом при встречах с различными версиями той математики, которую они преподают. На протяжении многих лет во время наших обсуждений учителя часто называли фигуру на рисунке 7.11 перевернутым треугольником. Иногда я бесцеремонно отвечала: «Вы имеете в виду фигуру, которую также именуют треугольником?» Я не удивлена, что учителя называют ее именно так, поскольку треугольники почти всегда рисуют с двумя вершинами внизу и одной вверху – особенно когда с ними знакомят школьников. Примерам в книгах обычно не хватает разнообразия, и это создает проблемы для учащихся.

Рис. 7.11. «Перевернутый» треугольник.

Например, когда восьмиклассникам показали картинку на рисунке 7.12, они не поняли, что это изображение параллельных прямых.

Рис. 7.12. Параллельные прямые.

Рис. 7.13. Параллельные прямые.

Рис. 7.14. Параллельные прямые.

А когда мы спрашивали, параллельны ли прямые a и с на рисунке 7.13, большинство одиннадцатилетних детей отвечали: «Нет, потому что b мешает».

Параллельные прямые обычно изображаются так, как показано на рисунке 7.14, что и объясняет подобные рассуждения учащихся.

Точно так же, как мы должны предлагать практические задания, где используются методы и контрастирующие примеры, мы также должны стараться давать учащимся больше примеров нетипичных идей и представлений.

Такие виды практики, по-видимому, позволяют достичь «целенаправленной практики», описываемой Андерсом Эрикссоном как «преднамеренная практика, которая ведет к формированию репрезентативных моделей». Чтобы обеспечивать целенаправленные и эффективные действия, практика должна включать в себя как можно больше следующих элементов:

Характеристики эффективной практики

1. Применение методов: проблемы должны заставлять людей использовать методы в новых, нетипичных ситуациях.

2. Рассмотрение контрастирующих случаев.

3. Фокус на концепциях и крупных идеях, а не на мелких методах.

4. Создание репрезентативных моделей, включающих визуальные или физические референты (обозначаемые объекты).

5. Нестандартные примеры и представления.

6. Связи, которые люди могут найти и изучить; связи между математическими идеями и между математикой и миром.

Эрикссон описывает три аспекта целенаправленной практики: практика значимых идей, разработка репрезентативных моделей и четкий цикл обратной связи, обеспечивающий возможности для совершенствования. Остаток этой главы мы посвятим способам, с помощью которых учащиеся – да и все люди – могут продуктивно предоставлять и получать обратную связь, поскольку я редко наблюдаю подобное, когда бываю в учебных заведениях и на предприятиях. Школьникам и работающим людям постоянно говорят, что они правы или не правы, но это не то, что подразумевается под обратной связью.

Многие учителя и родители сетуют на то, что их ученики или дети не применяют метакогнитивные стратегии, описанные в главе 2. Вместо этого ученики хотят найти ответ немедленно, а в противном случае сдаются. Подобная реакция формируется, когда оценивание сосредоточено исключительно на ответах. Если мы хотим способствовать различным видам позитивного математического поведения, наши оценки должны поощрять и вознаграждать их. Это означает, что мы должны выделить продуктивные модели математического поведения и обеспечить школьникам обратную связь (и при необходимости суммарную оценку) касательно использования ими различных моделей поведения. Математические цели служат ориентирами в учебном процессе, которые задают ученикам направление на их пути и стимулируют развитие метакогнитивного мышления и понимания.

Нэнси Кушайр – глава отдела математики в одной из средних школ программы International Baccalaureate в Калифорнии. Нэнси не только ценит многоплановый разнообразный подход в преподавании, но и предоставляет школьникам возможность обучаться на основе собственных математических стратегий, обеспечивая значимую обратную связь.

Рис. 7.15. Цикл математического моделирования.

Как и многие другие педагоги, Нэнси обратила внимание, что после глобальной пандемии ученики потеряли уверенность и стали хуже решать задачи²⁸¹. Некоторые менее опытные учителя начали делать упор на изложение правил и процедур и увеличили количество лекций, но Нэнси вовлекла учащихся в цикл математического моделирования, показанный на рисунке 7.15, который дает ученикам ориентиры, превращающие оценивание в итеративный процесс обучения и адаптации. Меня настолько заинтересовала модель преподавания и оценивания Нэнси, что я приняла ее приглашение приехать к ней в школу и самой встретиться с учениками.

Центральное место в разработанном Нэнси учебном блоке занимал вопрос об экономии воды – важная тема для подростков Калифорнии (Нэнси узнала об этом из одной учебной статьи)²⁸². В своем классе Нэнси уже выстроила культуру дружелюбного отношения к ошибкам и усилиям, показывая ученикам множество наших видеороликов, рассказывающих о ценности борьбы²⁸³. Заложив эту важную основу, она задала вопрос: «Что расходует больше воды – душ или ванна?»

Она объяснила школьникам, что люди расходятся во мнениях по этому вопросу, и их задача – изучить вопрос, собрать данные и изложить свою точку зрения. Ученикам предлагалось выяснить расход воды в лейке душа и для различных по размеру ванн в разных домах и выбрать желаемые расходы: это обеспечивало гибкость и выбор, а также множество возможностей использовать ish-числа. Параллельно Нэнси излагала в классе новые идеи, включая базовые алгебраические понятия линейности и обобщения; важно, что она обучала школьников этим понятиям в тот момент, когда они работали с выбранными ими самими данными и расходами: это ключевой принцип преподнесения идей в то самое время, когда ученики работают над заданиями. Это позволяет школьникам сформировать мысленное представление о величинах и алгебраических идеях, столкнувшись с ними в контексте реального мира. Они узнали о связях между такими идеями, как постоянные и переменные, и сконцентрировались на масштабной идее обобщения.

Рис. 7.16. Душ или ванна?

Но для меня самым интересным было то, что произошло в заключительной части такого моделирования.

Я приехала в школу в тот день, когда ученики рассказывали родителям о своих значимых проектах, выполненных в течение учебного года. Многие из учеников выбрали математический проект – задачу о сбережении воды. Когда я общалась со школьниками после их презентаций, мне было приятно услышать, как они рассказывали о различных важных для них аспектах проекта. Многие отметили, как полезно рассматривать что-то реальное из окружающего мира. Они говорили о том, как узнали, что математика – это поиск закономерностей и это необходимо для их развития, и о том, насколько ценной является совместная работа в группах. Но что меня действительно поразило, так это восторженные рассказы школьников, каким образом их пригласили в собственное учебное путешествие – овладевать метакогнитивным подходом (смотрите главу 2). Нэнси добилась этого важного результата с помощью нескольких педагогических приемов.

Во-первых, она дала ученикам описание процесса обучения – цикл моделирования, показанный на рисунке 7.15, который направлял их в работе и учебе. Многие школьники отметили, что взгляд на эту модель помогал им в процессе обучения. Бен описывал так:

Я думаю, это очень полезно, потому что [такая модель] разбивает задание на части. Обычно это просто “решите задачу”, но здесь все поделено на пять основных категорий. Это “проанализируйте ситуацию, используйте вспомогательную информацию, вычислите, проанализируйте свой ответ, а затем выдайте заключение”. И в рамках этой структуры все разбивается на более мелкие части, чтобы было легче выполнять.

Некоторые дети заявили, что модель не только помогала им сориентироваться в процессе решения задач, но и побудила их учиться более усердно. Нота выразила это следующим образом:

Мы смотрели на задачу и пытались понять не только то, что она требует, но и то, что находится на более глубоком уровне.

Тейлор – еще один вдумчивый подросток, с которым я общалась в тот день, – отметил, что цикл математического моделирования применим не только к математике, и заметил, что его можно использовать «практически для всего», подчеркнув обобщенную природу цикла.

Во-вторых, Нэнси выделила место для оценивания работы школьников, что оказалось крайне полезным. Ученики использовали эти критерии как ориентиры, и в результате обучение воспринималось как циклический процесс работы, пересмотра и совершенствования. Тейлор хорошо описал этот процесс:

Я думаю, что этот цикл тоже не совсем пошаговый процесс. Например, если вы где-то напутали или сделали ошибку, вы можете вернуться назад и включить эту часть или использовать ее для помощи. Я не думаю, что тут просто пошаговый процесс. Я имею в виду, что при желании вы можете действовать таким образом, но считаю, что его также можно использовать для возвращения назад и переоценки своей работы.

В-третьих, ученики в классе Нэнси регулярно получали отзывы о своей работе, причем все отзывы были ориентированы на продолжение учебы. Нэнси писала комментарии к работам школьников; я всегда считала, что такое понимание преподавателем того, каким образом ученики могут совершенствоваться, – это большой подарок. Брейден упомянул о своей признательности за эту обратную связь:

Еще мне нравятся комментарии учителя, потому что я время от времени делаю ошибки. Я знаю, что все здесь уже совершали их, и чувствую, что простой взгляд назад на свои ошибки и комментарии просто поможет мне действовать лучше в следующий раз.

Брейден уловил природу итеративного процесса обучения, с которым познакомился. Для него, как и для всех подростков, с которыми я встретилась в тот день, обучение воспринималось как путешествие, а предложенные Нэнси указатели и карты направляли их на этом пути. Они осознанно придерживались собственного пути и понимали, что им нужно делать, чтобы совершенствоваться. Бен противопоставил этот осознанный итеративный путь тем методам изучения математики, которые использовались в его предыдущей школе:

До того, как я перешел сюда, мы делали проект, и ты просто получал оценку. Просто оценку – восемь баллов или что-то другое. Учитель обычно не писал комментариев, не было никакой обратной связи – хороших или плохих слов. Всегда только оценка.

Школьники в классе Нэнси с удовольствием выполняли задание по поиску наилучших способов экономии воды, изучали алгебраические понятия, решая реальные задачи с данными, и получали пользу от работы в группах и поиска закономерностей. Но, возможно, важнее всего было то, что они стали рассматривать свою учебу как итеративный процесс работы, пересмотра и совершенствования. Они получили инструменты, которые помогли им понять, на каком этапе пути обучения они находятся, и научились метакогнитивному подходу. Как раз те атрибуты, которые Нэнси встроила в свое преподавание и оценивание, – предоставление ученикам обратной связи и возможности пересмотреть и улучшить свои результаты – признаются одними из важнейших характеристик для развития у учеников установки на рост²⁸⁴.

Конрад Вольфрам, мой друг и коллега из Великобритании, его брат Стивен Вольфрам, а также их команды внесли огромный вклад в мир прикладной математики. Например, они создали программу Mathematica²⁸⁵ и математический инструмент WolframAlpha²⁸⁶, который не только помогает всем, кто изучает математику или работает с ней; он также используется для Siri, Alexa и ChatGPT. Помимо этой невероятной работы, Конрад многое сделал для математического образования: например, он выступил на конференции TED[51], где убедительно представил цикл моделирования (рис. 7.17), похожий на тот, что использовали школьники Нэнси, как руководство для изучения всей математики²⁸⁷.

Рис. 7.17. Математическое моделирование.

Конрад Вольфрам.

Конрад указывает, что в реальной математической практике важно уметь интерпретировать ситуации и формулировать вопрос; затем они должны преобразовать вопрос в вычислимую форму, выполнить эти вычисления и интерпретировать результаты. Он отмечает, что на занятиях учащиеся преимущественно сосредоточены только на третьей части этого цикла – на вычислениях. Однако вследствие появления доступных технологий эта часть процесса, пожалуй, стала наименее важной и потому не требующей особого внимания. Конрад не просто говорит об этом; он и его команда разработали цельный подход для изучения математики в старшей школе, который предполагает, что учащиеся начнут производить вычисления не вручную, а с привлечением технологий, а освободившееся время педагоги используют для привлечения школьников к решению различных математических задач, обучая их тому, как их ставить и использовать инструменты для вычислений, а затем интерпретировать и анализировать результаты²⁸⁸. Примеры вовлекающих задач – проектирование дронов и расследование предвзятого и мошеннического поведения.

Такой процесс моделирования, в который Конрад и его команда вовлекают учащихся, может пригодиться молодежи в их будущей учебе и работе. Похожим образом действует и Нэнси, предоставляя школьникам возможность не только изучать процесс моделирования, но и отслеживать свою работу и постоянно получать обратную связь. Хотя этот процесс невероятно ценен для учеников, он не предусмотрен в большинстве курсов математики в старшей школе.

Одно из самых важных свойств цикла обратной связи заключается в том, что он не фокусируется на личных результатах: иными словами, он не говорит, прав человек или нет.

Вместо этого он сосредоточен на представленной работе и на необходимости ее пересмотра. Такое изменение в подходе подчеркивают Элизабет и Роберт Бьорки – специалисты по когнитивистике. Они отмечают важность регулярной самопроверки²⁸⁹. Они объясняют, что процесс извлечения информации из нашего мозга повышает ее доступность в будущем. Они также упоминают, что продуктивная форма тестирования, создающая «желательные трудности», не носит оценочного характера, поэтому они предлагают проводить само– и взаимопроверку. Важно отметить, что успешными являются те тесты и циклы обратной связи, которые смещают фокус с людей и результатов на идеи.

Об одном из самых интересных случаев, когда учащиеся получали цикл обратной связи такого качества, мне рассказал один коллега из Высшей школы образования Стэнфордского университета. Лауреат Нобелевской премии физик Карл Виман заинтересовался проблемами образования, когда работал в Колорадском университете в Боулдере²⁹⁰. Он заметил, что «яркие, успешные аспиранты» зачастую не разбирались в физике, пока не провели какое-то время в лабораториях, где наработали практический опыт, и только после этого они начинали превращаться в специалистов.

Желая разобраться в этой ситуации, он обратился к науке и обнаружил, что исследования в области нейронаук, когнитивных наук и образования свидетельствуют, что лекционный подход не является самым оптимальным и существует более удачный способ преподавать и учиться. Это привело Вимана в сферу образования: он задался целью внедрить более активное обучение в занятия науками в колледже²⁹¹. Сейчас он трудится в Стэнфорде, занимаясь и физикой, и проблемами образования²⁹². Несколькими годами ранее, когда Виман работал в Университете Британской Колумбии, он и его команда провели любопытный эксперимент. Они сравнили типичный лекционный подход с подходом на основе принципов целенаправленной практики, выбрав для эксперимента второй семестр первого курса физики. Студентов разделили на два потока: одному опытный преподаватель читал лекции, для другого неопытный докторант использовал подход, основанный на целенаправленной практике. В рамках второго метода студентам выдавались кликеры[52], с помощью которых те отвечали на вопросы. Перед занятием студенты читали короткие статьи. На занятиях они разбивались на небольшие группы, где обсуждали эти идеи и отвечали на вопросы по материалу, используя кликеры. Эти вопросы касались понятий, которые обычно вызывают у учащихся затруднения. Затем преподаватель демонстрировал результаты и обсуждал их с учениками. Иногда он предлагал студентам обсудить это понятие еще раз, изложив новые идеи.

Предыдущая успеваемость и опыт студентов в обоих потоках были практически идентичны. По окончании занятий средняя успеваемость студентов, слушавших лекции, составила 41 %, а средняя успеваемость студентов, занимавшихся целенаправленной практикой, – 74 %. Исследователи спрашивали студентов, что они думают о таком подходе (ведь учащиеся колледжей часто сопротивляются учебному подходу, не основанному на лекциях). Ответы показали, что 90 % студентов новая система понравилась, а 77 % из этой группы сочли, что узнали бы больше, если бы подобный подход практиковался на протяжении всего курса физики²⁹³. Обратная связь полезна при любом обучении, однако решающее значение имеет ее качество. В примере выше студентам предложили проголосовать за идеи целой группой, а затем им показали правильные и неправильные ответы, которые легли в основу дальнейшего обсуждения²⁹⁴. Подобный цикл обратной связи идеален, поскольку он не оценивает учащихся; в центре внимания находится изучаемая концепция. Идеи студентов можно собирать с помощью каких-нибудь технологических методов (например, Google Forms или Quizlets) или вообще без привлечения технологий (например, путем голосования на бумаге). Главное, чтобы учащиеся оценивали различные варианты, работая совместно и голосуя за идеи коллективно.

Описанный в этом примере цикл обратной связи не типичен – он сильно отличается от того, когда учитель говорит ученикам, что они правы или ошибаются. Еще одна важная особенность эксперимента Вимана заключается в том, что исследователи сосредоточились на преподавании тех концепций, которые обычно вызывают у учащихся затруднения. Учителя и родители, которые хотят разработать задания для учеников – для крупных проектов, обсуждения или оценивания, – могут многое почерпнуть из исследований, посвященных контрастирующим примерам и применению учащимися своих знаний (наподобие этому). Все они показывают, что даже математическая практика и обратная связь должны отталкиваться от концепции математического разнообразия.

В этой главе мы сосредоточились на важности содержательной целенаправленной практики и обратной связи. Я привела несколько примеров, которые иллюстрируют эти аспекты, включая Феникс-Парк, среднюю школу в Калифорнии и колледж, где работали Виман и его коллеги. Примеры разные, но каждый из них демонстрирует нечто ценное: даже практика и оценивание – полезные составляющие учебного процесса – могут и должны использовать математическое разнообразие. В этом случае они предоставляют учащимся важные возможности изучать концепции через решение прикладных задач с опорой на мысленные представления и получать обратную связь в процессе обучения, что обеспечивает рекомендации и возможности для совершенствования. В заключительной главе я соберу воедино все изложенные ранее идеи и опишу модель преподавания, которая позволяет добиться всех этих целей, а также расскажу несколько вдохновляющих историй о людях, эффективно практикующих многоплановый подход к математике.

Примеры, которые я приводила ранее в этой книге, демонстрируют необходимые признаки эффективного преподавания, обучения и оценивания. Я начала с рассказа о важности того, чтобы люди учились использовать учебные стратегии, расширяющие потенциал, и о важности развития комфортного отношения к усилиям и борьбе. Я объяснила, почему ценно изучать не только точные, но и ish-числа и фигуры, а также иметь массу возможностей для создания репрезентативных моделей. Я изложила важность изучения математики как набора крупных идей и связей, описала ценность гибкого подхода к числам и фигурам и, наконец, рассказала, что, когда ученики воплощают идеи на практике и получают обратную связь, эти пункты должны обладать разнообразием и включать в себя применение математики. Различные идеи исходят из множества разных источников, и одна из целей, которые я преследовала при написании этой книги, – объединить рекомендации по образованию, которые поступают из разных областей: самой сферы образования, а также психологии, когнитивистики и нейронауки. Все подобные идеи складываются в модель обучения и оценивания, представленную на рисунке 8.1.

Рис. 8.1. Преподавание для преодоления неравенства и развития компетенций.

Эта модель намеренно абстрактна, чтобы ее можно было применять в разных сферах преподавания; я надеюсь, что различные примеры, которые я привела, привнесут в нее определенные детали и яркость, которые помогут этим идеям ожить в разных классах и обстоятельствах. Хороший способ ее применения на практике, как излагалось в предыдущих главах, – изменить стандартный порядок обучения, чтобы учащиеся получали задания до того, как им сообщат новые идеи. Каким образом вы будете сочетать эти компоненты, зависит от конкретной ситуации. Сама модель – напоминание о том, что, какой бы подход к обучению ни применялся, он должен включать в себя как можно больше различных элементов.

Как гласит подпись к рисунку, такой метод способствует компетенциям и равенству. Математическое образование крайне неравноправная система; невозможно не заметить тот факт, что лишь немногие учащиеся переходят на более высокий уровень, причем те, кому это удается, не отражают разнообразие нашего общества²⁹⁵. Учеников африканского и латиноамериканского происхождения «придерживают», даже если они имеют такие же результаты, как их белые и азиатские сверстники, что наглядно продемонстрировала одна юридическая группа из Сан-Франциско²⁹⁶. Это неприемлемо, поэтому главная цель программы California Mathematics Framework 2023, к которой имела отношение и я, – обратить внимание на это неравенство и предложить способы для борьбы с ним²⁹⁷. Некоторые лица противились этому проекту и распространяли дезинформацию о нем. Но когда этот вопрос вынесли на рассмотрение Совета по образованию штата Калифорния в Сакраменто, программа получила широкую поддержку у присутствовавших педагогов, а также во всех окружных управлениях и организациях по обеспечению равенства со всего штата. В июле 2023 года Совет единогласно проголосовал за ее реализацию.

В своей карьере мне посчастливилось поработать с учителями, которые озабочены ликвидацией неравенства в процессе своего преподавания математики и добились невероятного успеха в сокращении или полном устранении расового, гендерного и социального неравенства на своих занятиях²⁹⁸. Такие учителя придерживаются подхода, показанного на рис. 8.1, потому что, как оказывается, когда мы открываем математику с другой стороны и поощряем разнообразные способы взаимодействия с этим предметом и его восприятия, успех приходит к гораздо большему количеству учеников. Узкая математика нанесла огромный ущерб, когда поделила учеников на успевающих и нет, и тем самым вытеснила большинство, отрезав путь к пониманию и оставив лишь «избранных»²⁹⁹. К счастью, мы можем изменить ситуацию к лучшему. Диверсификация математики способствует вовлечению более разнообразных групп учащихся, что бросает вызов даже самому сильному неравенству.

Такая модель преподавания используется и в других странах, добившихся высоких результатов. Так, швейцарский исследователь Стефан Кливаз и японский исследователь Такеши Миякава изучали два любопытных случая в Японии и Швейцарии³⁰⁰. Для начала они проанализировали структуру обычного урока в Японии и выделили следующие пункты:

• Введение: излагается задача.

• Исследование: учащиеся изучают ее и работают в группах над ее решением.

• Обмен мнениями: идеи выносятся на общее обсуждением всем классом.

• Синтез: подводится итог и систематизируется необходимое для дальнейших операций математическое знание.

Однажды холодным зимним днем в Северной Калифорнии я получила электронное письмо от математика Сола Гарфанкела³⁰⁸. Это письмо подняло мне настроение, поскольку Сол – яркая и интересная личность. Преподаватель университета, посвятивший свою жизнь и работу образованию в сфере математики, вел передачи службы PBS[54] и последние несколько десятилетий работал исполнительным директором авторитетной организации – Consortium for Mathematics and Its Applications (Консорциум по математике и ее приложениям)³⁰⁹. Наше общение с Солом началось в режиме видеоконференций, и он нередко показывал мне окружающие его зимние снежные пейзажи. Я люблю снег, и поэтому наши разговоры доставляли мне еще больше радости.

Я узнала, что Сол не только создал множество интересных математических ресурсов, но и организовал международный математический конкурс по моделированию данных для старшеклассников и студентов колледжей³¹⁰. Возможно, вы думаете, что такой формат не особо интересен или важен для вашей жизни, но позвольте мне сначала сообщить некоторые потрясающие факты.

Математическая олимпиада – одно из популярных соревнований, которые проводятся в школах США и многих других стран³¹¹. Мне очень нравятся задачи математических олимпиад, поскольку они часто бывают творческими и интересными, но мне не по душе, что этим заданиям сопутствует высокое давление и на них отводится ограниченное время³¹². Каждый год самые успешные школьники отправляются на Международную математическую олимпиаду. За последние тринадцать лет в американских командах не было ни одной девушки, ни одного ученика афроамериканского или латиноамериканского происхождения[55] ³¹³. Еще один математический конкурс, который приводит к ужасающему неравенству, – это математическая олимпиада имени Уильяма Патнема. Она известна как «самое престижное» математическое соревнование для учащихся колледжей, и медианное количество набранных баллов зачастую оказывается 0 или 1 из 120 возможных[56] ³¹⁴. В этом конкурсе предлагаются короткие сложные вопросы. Если вы просмотрите сайты, на которых представлены люди, добившиеся успеха на олимпиаде имени Патнема, вы не увидите ни одной женщины, равно как и представителей других рас³¹⁵. Одна молодая специалистка по информатике из Стэнфорда рассказала мне, что, когда она училась в университете, от студентов требовали указывать свой результат в олимпиаде Патнема каждый раз, когда они приходили на собрание математического отделения. По-моему, это форма издевательства – людей заставляют думать, что их ценность определятся по результатам какого-то узкого стрессового теста.

Но посреди этого мрачного ландшафта математических тестов, результаты которых настолько серьезно увязаны с полом и расой, что должны заставлять звонить в тревожные колокола на всех математических отделениях, существует один проблеск. Сол придумал соревнование, где оценивается математическое моделирование. В течение четырех дней около 80 000 студентов работают над сложными и разнообразными прикладными математическими задачами – в группах до трех человек. В качестве примера можно привести анализ возобновляемых источников энергии в различных государствах, изучение тенденций в развитии мировых языков и планирование схемы вертолетного оптического поиска. Когда учащиеся решают эти задачи, они имеют дело с математическим разнообразием и ish-математикой – черпают знания из разных областей математики, пробуют разные подходы, сотрудничают друг с другом и опираются на чужие идеи. Впечатляет, что 43 % участников (и такое же соотношение победителей) – девушки³¹⁶. Изначально конкурс был рассчитан на студентов колледжей, но на третий год его выиграла команда старшеклассников – организаторы даже не знали, что в соревновании участвовала какая-то старшая школа. С тех пор это состязание привлекает все больше и больше школьных команд³¹⁷.

Я заинтересовалась этим необычным математическим соревнованием, когда Сол спросил, не может ли моя команда в Стэнфорде изучить, почему этот конкурс приводит к гораздо более впечатляющим гендерным результатам, нежели другие университетские математические соревнования. Мы попытались ответить на этот вопрос, прибегнув к комбинированному методу: исследование включало более 42 часов наблюдений, беседы с преподавателями и учениками, а также опросы 1327 учащихся в десяти странах. Один из наших выводов заключался в том, что студенты участвовали в конкурсе, потому что чувствовали, что им позволяют полноценно проявить себя, а не ставят оценки по узким математическим требованиям³¹⁸. Мы закодировали и проанализировали опросы и беседы с целью выявить те особенности конкурса, которые привели к следующему выводу: такой тип соревнования дает более справедливые результаты. На рисунке 8.2 показаны три обнаруженные темы, свидетельствующие о причинах участия в конкурсе, – это возможность:

• сотрудничать с другими,

• заниматься многомерной математикой и моделированием и

• создавать математические идеи.

Рис. 8.2. Причины, по которым студенты участвуют в конкурсе моделирования.

Один из преподавателей математики, который каждый год с энтузиазмом рекомендует этот конкурс студентам своего колледжа, объясняет свой выбор так:

Это совсем другой опыт по сравнению с соревнованиями вроде математической олимпиады имени Патнема. На мой взгляд, здесь более точно воплощается то, как работают профессиональные ученые-математики (читают, пишут, работают в команде, обмениваются математическими идеями, берутся за задачи, которые изначально не очень хорошо определены, решают задачу, не ограничиваясь фиксированным промежутком времени, и так далее). Помимо прочего, я рекомендую этот конкурс студентам, которые хотят ощутить вкус математического «исследования», а также тем, кто хочет сразу после окончания университета идти на работу в промышленность³¹⁹.

Размышления профессора и результаты нашего исследования подчеркивают ценность математического разнообразия – не только для заинтересованности студентов, их успеха и долгосрочного обучения, но и для оценивания.

Он выражает важную мысль: именно такой разнообразный опыт и есть настоящая математика.

Это соревнование – помимо демонстрации того, что, когда мы предлагаем ученикам заниматься более разнообразным материалом, успеха добивается большее количество людей, – также показывает интерес учащихся к исследованию данных. Весьма удачно, потому что мы живем в мире, наполненном данными, и любой учитель математики в программах К–16 может разнообразить свой курс, наполняя ее данными. Тэмпл Грандин, профессор животноводства, выдвинул смелое предложение изменить обязательный материал в старшей школе и на младших курсах колледжей – перейти от алгебры к анализу данных³²⁰. Исследования, включая наш анализ конкурса Сола, подтверждают, что такое изменение может повысить разнообразие и успеваемость учащихся, а также их заинтересованность в дисциплинах STEM³²¹.

На протяжении многих лет я выступала за более разнообразный математический опыт для учащихся; я знаю немало родителей и преподавателей, обеспокоенных тем, что они не могут повлиять на ситуацию, когда их дети и ученики вынуждены в школе иметь дело с узкой математикой. Иногда они считают, что можно смириться с этой системой и тоже учить узким образом. На это у меня есть два аргумента.

Во-первых, я знаю, что, когда учеников учат видеть математику с всевозможных ракурсов и подходить к ней с разных сторон, опираясь на стратегии, которые я изложила в главе 2, дети меняются и получают огромные преимущества, даже если в дальнейшем столкнутся в классе с узким преподаванием математики. В главе 4 я изложила историю Ясмины – студентки, которая добилась наглядности с помощью палочек Кюизенера. Когда я обратилась к Ясмине за разрешением рассказать о ней в своей книге, она сообщила, что новый подход к математике, который она освоила на моих занятиях, позволил ей успешно пройти «несколько курсов высшей математики в Стэнфорде (линейную алгебру, анализ нескольких переменных, вероятность и статистику)». Изучение математики с опорой на ментальность и разнообразие настраивает учеников на успех в дальнейшей жизни – какой бы подход ни выбрали учителя или родители.

Второй аргумент заключается в том, что я знаю бесчисленное множество учителей программы K–12, которые обеспечивали разнообразие в преподавании математики в рамках школьной системы с ее нескончаемым потоком узких стандартов и тестов, и это оказывало сильное воздействие на школьников – и в момент изучения, и впоследствии³²². Когда учителя демонстрируют детям, что те могут видеть математику по-иному, это меняет подход учеников к предмету во всех смыслах. Один-единственный преподаватель может сильно повлиять на жизнь любого человека, и я призываю вас стать той самой личностью, которая изменит людей, с которыми вы взаимодействуете, и вас самих³²³.

Наверное, нет ничего удивительного в том, что я так сильно убеждена во влиянии одного учителя на всю систему обучения в целом, поскольку убедилась в этом на собственном опыте. Я посещала английскую государственную общеобразовательную школу, успешно осваивала методы, умела быстро считать, и преподаватели вполне ценили подобный способ работы, но мне он не особо нравился. Я собиралась заниматься естественными науками в колледже, и поэтому в 17 лет выбрала курс математики на продвинутом А-уровне[57]. Именно тогда я встретила миссис Маршалл и столкнулась с совсем другой математикой.

Миссис Маршалл была своеобразной личностью – значительно более интересной, нежели все предыдущие мои учителя математики. Она часто влетала в наш класс, запыхавшись, потому что мчалась по коридорам, чтобы не нарваться на директора, – она носила длинные серьги, которые директор запретил даже учителям. Миссис Маршалл однозначно произвела на меня впечатление. Я помню, как с некоторым удивлением отметила для себя, что, оказывается, высокий уровень математических знаний может сочетаться с бурным характером! Именно манера преподавания миссис Маршалл окончательно раскрыла мой потенциал и интерес к предмету.

Миссис Маршалл использовала тот же учебник математики для A-уровня, набитый идеями анализа, что и другие учителя школы, но она не придерживалась стандартного метода – прочитать лекцию, а затем дать задания на вычисление. Она выделяла несколько вопросов в каждой главе и предлагала нам порассуждать о них в группах. После этого начиналась дискуссия всем классом. В этот важный момент миссис Маршалл предлагала оригинальные идеи и рассказывала о новых методах. Такой подход к изучению математики – как к предмету, на который можно смотреть с разных сторон, в котором ценятся разнообразные идеи и мысли учеников, – изменил для меня все. Он повлиял на мое отношение не только к школьному предмету, но и к самой себе. В результате я стала смотреть на математику как на свою будущую работу.

Сегодня, когда я размышляю о том опыте, который получила, будучи школьницей 17–18 лет, мне кажется интересным тот факт, что учительница преобразила для меня математику, изменив два аспекта в процессе обучения: она приглашала школьников обсуждать идеи и излагала новые методы после того, как мы уже подискутировали и осознали их необходимость, – и эту систему я показала на нескольких примерах, описанных в этой книге.

С тех пор я преподавала математику в школах Лондона и Калифорнии и изучала, как это делают в разных местах Англии и США. Мой собственный опыт преподавания и проведенные мною исследования демонстрируют ценность разнообразных математических подходов для учебы и успеваемости учащихся³²⁴. Однако есть и другие преимущества, не менее важные, чем успеваемость. Одно из них я назвала «отношенческим равенством»: это форма равенства, которая возникает, когда ученики начинают рассматривать математику как возможность сотрудничества, а не соревнования, учатся относиться друг к другу с уважением и учитывать другие точки зрения в процессе обучения³²⁵. Когда мы прививаем детям идею сотрудничества, тщательно выстраивая групповые нормы уважительных отношений, мы вносим огромный вклад в развитие справедливого общества. Одной из целей школы должно стать воспитание молодых людей, которые относятся друг к другу с уважением; которые ценят вклад других людей, с которыми общаются, – независимо от расы, класса, пола или любых других различий; которые руководствуются чувством справедливости, учитывая потребности других членов общества. Первый шаг к воспитанию граждан, ведущих себя подобным образом, – это создание классов, в которых ученики учатся вести себя подобным образом.

В дополнение к этой общественной пользе, люди пробуют ценить математическое разнообразие и все, что оно может им дать. Участники разных исследований, которые я проводила, отмечают, что изучение математического разнообразия помогает им добиваться высоких результатов. Например, Сет занимался математическим анализом в классе, принимавшем участие в исследовании различных подходов к анализу, которое проводили мы с моим коллегой по Стэнфорду Джимом Грино³²⁶. Ученикам в классе Сета предлагалось совместно обсуждать идеи; по его словам, этот опыт помогал ему и позже, когда он работал один, – он уже знал, что в случае застревания нужно смотреть на задачу под другим углом. Коллективная работа над задачами в классе научила его ценить математическое разнообразие. То, о чем рассказывал мне Сет, резко контрастировало с мнением учеников, которые трудились над узкими вопросами в одиночку³²⁷. Однако такой подход весьма редко встречается в математической практике учащихся, особенно на более высоких уровнях.

Другие дети помогли мне осознать еще одну ценность математического разнообразия. Лакинита, 13-летняя ученица американской средней школы, приехала в первый летний математический лагерь, где я преподавала. Один из школьных округов организовал подобные лагеря для неуспевающих школьников, и посещение сделали обязательным. В табеле Лакиниты утверждалось, что она «чересчур экспрессивная». Мы же увидели, что она вдумчивая и увлеченная девочка, готовая делиться своими мыслями, что мы высоко ценили.

В конце летнего лагеря Лакинита противопоставила полученный опыт изучению математики в обычной школе:

Описание Лакиниты прекрасно отражает еще одну ценность математического разнообразия, помимо успеваемости и вовлеченности: развитие у учащихся математической восприимчивости, чему в школьной системе уделяется слишком мало внимания³²⁹. Некоторые люди предпочитают «черно-белую» математику, но значительно больше тех, кого привлекает красота «цветной» и «яркой» математики.

В одном из исследований подходов к изучению математики в старших классах школ я познакомилась с Тоби, 17-лет-ним выпускником Гриндейлской средней школы, который изучал математику по программе «Взаимосвязанная математика» (IMP); при таком подходе предмет преподают как единую взаимосвязанную дисциплину, а не отдельно алгебру и геометрию – взяв за основу разнообразные сложные математические ситуации³³⁰. Наблюдая за ходом занятий, я видела, что школьники работают комплексно, развивают чужие идеи и совместно находят решения. Часто они увлекались и при обсуждении различных подходов к решению задач переходили на математический язык высокого уровня. Когда я пригласила своего коллегу из Стэнфорда Джима Грино, всемирно известного специалиста по когнитивной психологии, поприсутствовать на одном из занятий, он описал его словом «волшебство». В конце этого исследования я попросила Тоби описать мне математику своими словами:

Все трое процитированных мною школьников говорят о математике нетипично – как о чем-то красочном, даже красивом, и как о предмете социальном, в котором пониманию сопутствует многоплановый взгляд на идеи. Они описывают математику как набор паттернов, освещающих мир искусства и музыки. Лакинита, которой было всего тринадцать лет, прекрасно передала математическое разнообразие: «Можно посмотреть так, потом повернуть голову и вдруг увидеть совершенно другую картину».

Такие представления о математике отражают ее истинную суть, но, к сожалению, они встречаются редко. Более того, наша стандартная узкая версия математики, воспроизводимая в классах по всей стране, заставляет людей, думающих по-иному, верить, что с ними что-то не так, что они неполноценные³³¹. Но мы можем создать нечто более совершенное – математику, которая приветствует различные способы видения и мышления и позволяет людям создавать математические связи и развивать глубокое понимание. Ученики, чьи слова я привела – обычные дети из обычных школ, и каждый из нас может помочь изучающим математику – и самим себе – достичь чего-то столь же прекрасного и значимого.

Некоторые читатели знают, что мои идеи о математическом разнообразии – в частности, идея, что все ученики заслуживают доступа к математике высокого уровня, – сталкиваются с серьезным сопротивлением, особенно со стороны тех, кто успешен при нынешней несправедливой системе³³². Эта традиционная система математического образования сортирует, ранжирует и разделяет учащихся, и узкая математика, которая сейчас ценится, легко приносит успех детям из состоятельных семей, поскольку они могут оплатить репетиторство, ориентированное на успешную сдачу тестов. Некоторые люди весьма заинтересованы в том, чтобы система функционировала именно таким образом; они осознают, что гораздо труднее учиться математике, которая ценит и требует творческий подход и рассуждения, поскольку это предполагает истинное понимание. Если учесть этот более широкий контекст, неудивительно, что сопротивление моим идеям и результатам моих исследований выливалось в преследования, оскорбления, а недавно даже в угрозы убить – меня и моих детей. Но это сделало меня сильнее, и сила эта появилась благодаря выработанной ментальности, которая защитила меня от преследований и оскорблений: я решила, что настало время поделиться подходом и стратегиями, которые использую. В завершение этой книги я изложу пять принципов, которые, на мой взгляд, полезны всем нам, особенно тем, кто старается изменить несправедливые системы.

Впервые я столкнулась с агрессивным противодействием и распространением дезинформации о моей работе после того, как опубликовала результаты исследования, показавшего, что ученики городской школы Рейлсайд достигли более высоких результатов при многоплановом подходе к преподаванию, нежели школьники из семей среднего класса в более благополучном районе, где преподавание велось по традиционной методике³³³. Традиционалисты, пытавшиеся воспрепятствовать переменам, утверждали, что для своего вывода я манипулировала данными, – ведь мой результат показывал, что, когда мы меняем методы преподавания и открываем пути, гораздо больше учеников добиваются успеха. То же самое они говорили и о моем исследовании в Англии – работе, которая получила награды за свою строгость³³⁴. Когда меня пригласили участвовать в создании новой программы по математике для штата Калифорния, дезинформация снова начала распространяться, а сопротивление усилилось – вплоть до угрозы убийства³³⁵. Однажды пятничным вечером в мой электронный почтовый ящик посыпались оскорбления. Я быстро выяснила, что Такер Карлсон[58] показал мою фотографию в своем шоу и высмеял идею, что система, предложенная нами для Калифорнии, поощряет социальную справедливость³³⁶. За этим последовали несколько беспокойных месяцев; полиция Стэнфорда даже добавила мой дом в маршрут своего ежедневного патрулирования. Многие люди испытывали шок и тревогу по поводу того, что исследователь, устанавливающий факты, подвергается оскорблениям и преследованиям. К сожалению, подобная реакция становится все более и более привычной в академических кругах³³⁷; ученые, изучающие изменение климата, проходят через аналогичную травлю³³⁸.

Я считаю себя застенчивым интровертом. В детстве я часто отказывалась разговаривать с посторонними людьми, и все общение шло через сестру. В юности избегала публичных выступлений и старалась, чтобы эту роль брали на себя другие. Прошло много лет, и я выступаю перед многотысячными аудиториями, хотя всегда немного нервничаю. Что меня поражает и чего я никогда бы для себя не пожелала, так это наклеенный на меня ярлык «публичной фигуры», к которому впоследствии добавили «противоречивой». Я никогда не хотела быть публичной личностью, а еще меньше желала оказаться в центре какой-либо публичной «войны».

Когда я впервые увидела это выражение применительно к себе в новостной статье, я обратилась к журналистке и попросила убрать слово «противоречивый». Она возразила, мол, оно вполне уместно, поскольку существует множество людей, которые открыто не согласны с моими идеями, и это провоцирует баталии вокруг преподавания математики. Она назвала и других публичных фигур, которых считает противоречивыми, – и все они оказались людьми, которыми я безмерно восхищаюсь! Другие люди считают, что противоречивые личности – это люди, чьи страницы постоянно правят в Википедии³³⁹. Моя страница не просто подвергалась многочисленным правкам; они были настолько неточными и целенаправленными, что Википедия поставила частичную защиту[59] ³⁴⁰.

Я начала смиряться с мыслью, что являюсь «противоречивой публичной фигурой». Но этот шаг – и даже обнаружение ценности в том, чтобы принять известность и наслаждаться ею, – стал частью перемен в моей собственной ментальности. Многие люди спрашивали меня, как я справляюсь с нападками на мою работу, как я продолжаю двигаться вперед после угроз и оскорблений. То, что я справилась и стала более сильной личностью, еще решительнее настроенной на борьбу за равенство в сфере образования, стало возможным благодаря комплексу идей, которые я считаю важными для всех, поэтому ими я и завершу эту книгу.

1. Верьте в себя

Если вы решили изменить систему образования, первый принцип – верить в себя. В США, как и в других обществах, процветает культура неуважения ко всем, кто отличается от «стандарта». Однако педагоги, несмотря на отсутствие уважения, обладают особыми знаниями, которых нет у других специалистов. Ли Шульман, выдающийся преподаватель, представил миру форму знания, которую он назвал педагогическим содержанием знаний (PCK)³⁴¹. Эти знания, относящиеся к методам эффективного преподавания, находятся на пересечении содержания (материала) и педагогики. Например, как давать знания, чтобы они были максимально понятны учащимся? Какие представления лучше всего отражают данную идею? Какие заблуждения типичны? Как мы справляемся с ошибками? Некоторые университетские преподаватели знают свой материал на очень высоком уровне, но у них полностью отсутствует PCK, поэтому они не умеют хорошо учить. Хорошие преподаватели обладают высоко специализированным PCK, на формирование которого могут уйти годы, и лучше всего оно развивается на практике. Дебора Болл, бывший декан Мичиганского университета и специалист в области образования, заметила, что учиться преподавать без преподавания – все равно что учиться плавать на тротуаре³⁴².

Существует мнение, что преподавание не является интеллектуально сложным делом. Когда я слышу подобное, я привожу в качестве примера конкретный сценарий. Представьте себе, что вы начали обсуждать какую-то математическую идею в классе с тридцатью учащимися. Предположим, вы задаете аудитории вопрос, и кто-то из учеников предлагает ответ. Прежде чем отреагировать, вам приходится принять множество решений, поскольку вы учитываете различные аспекты. Что понял этот человек? Как это понимание связано с той математикой, которую мы обсуждаем? Как мышление этого ученика согласуется с более широким математическим кругозором? Куда это может привести? Что больше всего с математической точки зрения требуется этому ученику в дальнейшем, и что требуется другим ученикам в классе? Все эти мысли должны определить следующий вопрос или утверждение преподавателя, причем такое решение приходится принимать за доли секунды, в то время как тридцать человек наблюдают за вами и ждут ваших слов. Очень немногие профессии требуют мышления такой сложности и принятия решений на высокой скорости. Конечно, это лишь одна мелкая ситуация; учителю также необходимо уметь активно вовлекать учеников в изучаемый материал – а это требует знания материала вдоль и поперек, что не под силу большинству людей. Я рада, что Ли Шульман подчеркнул педагогическое содержание знания и придал ему важный статус.

За годы учебы и практики преподаватели накопили значительные знания и опыт, однако многие люди, далекие от преподавания, полагают, что они лучше знают, как должен проходить процесс обучения в классе, потому что когда-то сами ходили в школу³⁴³. Вот мой совет педагогам, сталкивающимся с людьми, которые плохо информированы и противятся новым идеям разнообразия: помните, что именно вы обладаете знаниями и опытом, и верьте в себя. Объясняйте людям, которые критикуют вас, всю сложность преподавания и некоторые его нюансы. Не бойтесь упирать на педагогическое содержание знания. Большинство преподавателей стесняются демонстрировать свои знания, но, возможно, пришло время делиться примерами, которые подчеркивают ценность ваших образовательных решений.

2. Прибегайте к эмпатии

Второй мой совет – как можно больше проявляйте глубокую целенаправленную эмпатию. Одна междисциплинарная группа профессоров и студентов Стэнфорда провела исследование, как можно выстраивать здоровый диалог даже при политических разногласиях. Проанализировав четыре исследования, охватывавшие 4780 человек, они пришли к выводу, что, когда люди с сопереживанием относятся к позициям и идеям оппонентов, у них гораздо больше шансов повлиять на их мышление³⁴⁴.

Попробуйте сказать, что вы разделяете их озабоченность и можете предложить примеры, которые, возможно, полезны в их ситуации. Многие из нас ценят разнообразие людей и идей, но мы не особо приветствуем идеи, отличные от наших собственных³⁴⁵. Если мы действительно дорожим разнообразием, мы должны начинать разговор с готовности выслушать и обсудить другие точки зрения. Когда я размышляю, как общаться с людьми с противоположными взглядами, я вспоминаю буддийский совет: лучше походить на гибкую иву, нежели на жесткое дерево. Если начинается снегопад, на деревья ложится лишняя тяжесть. Снег накапливается, жесткие ветви в конце концов трескаются и ломаются. В то же время ива сгибается под тяжестью снега, а потом ветви сбрасывают снег и расправляются, свежие и обновленные³⁴⁶. Я уже писала о важности гибкости при столкновении с новыми ситуациями и различными точками зрения³⁴⁷. Иногда гибкость помогает нам добраться до самых сложных целей.

Здесь я хочу отметить, что никто из тех, кто противился программе California Mathematics Framework и пытался дискредитировать меня, не демонстрировал открытость для обсуждения идей. Я искренне верю, что в противном случае согласия у нас было бы куда больше, чем разногласия, и их идеи принесли бы больше пользы. Я всегда приветствую уважительные вызовы; оживленные споры – признак здорового и продуктивного сообщества, и именно так все люди учатся. Ненормально нападать на людей и пытаться дискредитировать не идеи, а личность³⁴⁸.

3. Создавайте сеть

Мой третий совет касается невероятной ценности других людей и общения. Если вы работаете в какой-то сложной области, я настоятельно рекомендую вам найти союзников, которые поддержат; это могут быть любые люди в вашей жизни – друзья, семья, коллеги. Я обнаружила, что люди, подвергающиеся нападкам, в том числе и я, склонны замыкаться в себе и молчать.

Это печально, потому что при давлении продуктивнее всего общаться с другими людьми. Когда я в конце концов решилась рассказать о нападках на мою работу, со мной связались сотни женщин-ученых, которые прошли через аналогичные преследования и дискредитацию³⁴⁹. Поддержка со стороны людей, переживших похожую ситуацию, изменила для меня все.

4. Исследуйте

Моя четвертая рекомендация – собирать и распространять данные (самых различных видов). Одно из самых значительных изменений, которые мне довелось наблюдать, произошло, когда директор одной школы в Торонто, убежденный в ценности принципов установки на рост в сфере преподавания, побеседовал с учениками, записывая ответы на вопросы об их отношении к математике. Он показал эти видеоролики учителям, и в результате подход к преподаванию изменился³⁵⁰. Если вы видите, что какой-то аспект, возможно, нуждается в переменах, соберите сведения. При этом смотрите на обнаруженное через призму разнообразия. Как показывает приведенный выше пример, данные могут принимать самые разные формы – траектории обучения учащихся, их успеваемость, расовое неравенство, ощущения после сдачи узких тестов по математике. И все они могут стать мощным фактором для достижения положительных результатов.

5. Развивайте ментальность воина

Мой пятый и последний совет, возможно, важнее всего, поскольку он касается нашей ментальности и формирования ответных действий. В изучении этой сферы я опираюсь на буддийские и даосские учения, хотя и не являюсь экспертом ни в одной из этих религий. Конечно, обе эти традиции отвергают саму идею превращения в эксперта, поскольку считают, что даже самые мудрые распространители этих идей постоянно учатся. Далее я излагаю собственную интерпретацию идеи, которая помогает мне в моей непрекращающейся работе по трансформации образования в фундаментальное право человека для всех учащихся.

Как в буддийских, так и в даосских учениях лидеры преподносят попытки менять ситуацию как работу воина. Слово «воин» имеет общий корень со словом «война», однако буддийская и даосская концепции состояния воина – это не сражения и не война; они подразумевают взаимодействие с миром с помощью новых и разнообразных способов, ориентированных на перемены к лучшему³⁵¹. Осознание, которое приходит в результате такого определения работы по достижению равенства, может изменить наш путь в мире, давая нам возможность добиться большей эффективности и защищая нас от вредоносных сил, которые пытаются блокировать перемены. Важно отметить, что состояние воина – это состояние внутренней осознанности, вид иной связи с собственным разумом.

Джон Литтл излагает философию Брюса Ли, который прославился благодаря голливудским фильмам, где исполнял роль мастера боевых искусств, а также отличался глубоким складом ума и подходом к жизни³⁵². Литтл утверждает, что многие люди в западном мире пренебрегают связью со своей силой воина, игнорируя ее наличие, и поэтому гораздо менее сильны, чем могли бы. Все, кто воссоединяется со своим внутренним воином, зачастую получают доступ к нереализованным внутренним силам, которые позволяют им устанавливать связи и максимизировать свой потенциал³⁵³.

Быть воином – значит взять на себя обязательство менять весь мир, а не только свою жизнь или жизнь своих детей. Для этого сначала нужно признать собственную силу и добродетель, чтобы потом проецировать их на других. Воины не обладают бесконечной позитивностью или оптимизмом, однако они предпочитают смотреть со своей позиции и улучшать ситуацию, распространяя по миру хорошие идеи и благо.

Когда мы с коллегами проводили в Стэнфорде первый лагерь Youcubed, мы излагали идеи ментальности, развития мозга и математического разнообразия. Позже мы узнали, что ученики вернулись в свои школы и поделились этими идеями с людьми, которым не довелось побывать у нас. Они объясняли своим одноклассникам, что нужно не сдаваться, а подумать, что они пока еще чему-то не научились. Они призывали друг друга подходить к решению математических задач иначе – например, рисовать или конструировать. Я слышала от других учителей о школьниках, которые с энтузиазмом делятся идеями ментальности в своих классах. Эти ученики ведут себя как воины ментальности: они берут то, что считают полезной информацией, и несут это другим.

Когда вы признаете ценность того, что можете дать другим людям, и возьмете на себя обязательство менять ситуацию к лучшему, вам потребуется установить связь со своим истинным «я». Отказываясь от застывших идей и развивая более гибкий ум, мы с большей вероятностью по-настоящему присутствуем в этом мире. Состояние воина – самореализация вашей силы и потенциала ради пользы для мира – предполагает знакомство с настоящим собой, своим честным «я». Знать себя важнее, чем знать кого угодно другого. Самопознание позволяет вам в полной мере интерпретировать окружающий мир. Пробуждение вашего разума поможет вам преодолеть сомнения и нерешительность в отношении истинного «я». Я не стану больше ничего говорить об этом важном способе существования, ограничившись следующим: истинность – это состояние, которое после достижения уже никогда не теряется.

Следующий аспект развития состояния воина связан с идеей инь и ян – понятием, важным почти для всех древних культур, изучаемых современной археологией, включая буддийскую и даосскую религии³⁵⁴. Инь и ян воплощает естественный дуализм мира – солнце и тень, огонь и воду, правильность и неправильность; эта модель выражает важную взаимосвязанность противоположных идей. Противоположности должны существовать совместно, в равновесии. Если вы слишком далеко продвинулись в одном направлении (например, в сторону инь), вам пойдет на пользу немного ян. Некоторые из нас выросли с мыслью, что мы всегда должны быть счастливыми, сильными или позитивными – никакой печали, слабости или негатива. Однако такая ментальность противоречит естественному равновесию мира. Никто не может быть бесконечно счастливым, позитивным или сильным; важно осознать это и смириться с теми ощущениями, которые мы, возможно, пытались подавить. И тогда вместо того чтобы отпихивать от себя чувства негатива или беспомощности, мы признаем и пройдем через них, чтобы вернуться в состояние равновесия³⁵⁵.

Некоторые люди считают, что понятие «воин» подразумевает силу, но, хотя сила порой необходима, невозможно – и даже нежелательно – быть сильным все время. Даже воинам полезно признавать свою уязвимость. Ощущение, что мы всегда должны быть сильными или успешными, что мы ни в коем случае не должны напортачить или потерпеть неудачу, – вот что заставляет людей отказываться от своих мечтаний и целей. Признание необходимости инь и ян во всех аспектах жизни и роли воина может принести настоящее освобождение.

Чогьям Трунгпа, тибетский буддийский монах и плодовитый писатель, рассказывает, как воины осмысливают двойственность опыта:

Полнота его опыта принадлежит ему, и он должен жить со своей собственной правдой. И в то же время он все больше и больше влюбляется в мир. Именно это сочетание любви и одиночества позволяет воину постоянно протягивать руку помощи другим³⁵⁶.

Концепция инь и ян служит мне напоминанием о вечном равновесии. Когда вы пытаетесь распространять идеи перемен, вы, возможно, получите массу положительных откликов, но неизбежно столкнетесь и с сопротивлением, и вам следует ожидать этого – более того, даже приветствовать это как знак того, что ваши идеи способны что-то изменить. Люди не станут сопротивляться, если не почувствуют, что ваши идеи что-нибудь изменят (и это по какой-то причине их пугает). В своей деятельности, связанной с распространением ценности другого подхода к математике, мне часто приходилось прибегать в сложных ситуациях к храбрости воина. Эта работа слишком важна, чтобы сдаться. Одна из главных составляющих роли воина заключается в том, чтобы спокойнее относиться к различным способам существования. Меня укрепляет знание, что те, кто нападает и дискредитирует меня, не сведущи не только в образовании и математике, но и в том, как следует уживаться с людьми, с которыми они не согласны. Мне трудно сердиться на тех, у кого отсутствует такое понимание, поскольку это говорит о том, что они были лишены возможности учиться и развиваться. Я также знаю, что моя сила и мужество уравновешиваются моей уязвимостью, и мне следует спокойно это воспринимать.

Концепция воина отражает сложные идеи ментальности и мировоззрения, которые дают нам различные осознанные стратегии преодоления трудностей. В главе 3 я рассказывала, насколько важно находиться у грани понимания, поскольку именно здесь лучше всего развиваются знания. Работу в области справедливости я рассматриваю как движение по другой грани – грани перемен. Те, кто способен инициировать изменения, зачастую становятся мишенью, двигаясь по этой грани. Когда вы идете здесь, в вас, скорее всего, полетят стрелы.

Вы должны выдержать это, чтобы попасть на другую сторону, но обычно другая сторона – это прекрасное место. Не позволяйте этим стрелам заставить вас отступить или упасть. Важно сохранять спокойствие не только на грани борьбы, но и на грани перемен. Когда у людей не хватает настроя и мужества, необходимых для хождения по грани, они при первых стрелах отступают в безопасное место. Это одна из причин того, что важные изменения не происходят.

Особенно уязвимы для нападок те, кто пытается сделать систему образования более справедливой, потому что наша школьная система выстроена на привилегиях. Многие устаревшие методы, которые до сих пор используются в образовании, уходят корнями в прошлое, когда у нас еще не было современных знаний о нейропластичности, нейроразнообразии, ментальности и связях мозга; от этих методов не отказываются, потому что их поддерживают влиятельные люди, которым это выгодно. Если вы научитесь воспринимать сопротивление как положительный знак, как подтверждение того, что вы действительно можете принести перемены, вы вызовете дух воина.

Несколько лет назад я приехала в Нью-Мексико, чтобы поработать с учителями над распространением идей ментальности и математического разнообразия. Две молодые женщины в аудитории привлекли мое внимание своими футболками.

Я спросила этих учительниц – Яну Уорд и Заиру Фоллинер – что побудило их нанести на майки хештег #trueBoaliever[60]. Они рассказали, что только что окончили магистратуру и занимаются популяризацией идей менталитета и математического разнообразия среди местных преподавателей. Это было прекрасное время: учителя горели энтузиазмом, а учащиеся добились ощутимых результатов – как в достижениях, так и в убеждениях. Яна и Заира создали группу под названием «Команда математической деятельности». Однако приверженцы традиционных методов ополчились на группу, назвав ее сектой. Я тоже сталкивалась с этим странным обвинением. Яна и Заира отреагировали на эти нападки, изготовив футболки, отражающие их «Boalief»[61]! Яна заметила, что они обе знают, что лучше для учеников, и их не остановить. Это прекрасный пример воинского духа. Когда на Яну и Заиру набросились и навесили ярлыки, они погрузились в эти идеи, приняли их и сделали своими собственными.

Сенсей Косин – учитель дзен, психотерапевт и писатель – отмечает, что во всех историях великие герои сталкиваются с проблемами. То, как люди справляются с этими трудностями, и делает их теми, кто они есть³⁵⁷. Если вы педагог, стремящийся открыть доступ к образованию для всех учащихся, продвинуть тех из них, кто не имеет возможностей, и бороться за малоимущих членов нашего общества, вы один из таких героев, и ваша история, вероятно, переплетется с какими-то сложностями или вызовами. Ваша история зависит от вашей реакции на эти сложности и вызовы, особенно от того, как вы используете свои знания и свою ментальность, чтобы трансформировать этот опыт в силу.

Я не считаю свои идеи особо противоречивыми, хотя другие и наклеивают такой ярлык. Но если вера в то, что все люди способны учиться и что недопустимо, чтобы среди людей, занимающихся высшей математикой в школах и колледжах, существовало расовое неравенство, означает, что я противоречива, то я готова принять такой ярлык. Более того, я буду с гордостью носить его. Если работа, которую вы делаете, способна переломить сложившуюся ситуацию, то вы тоже должны гордо его носить. Потому что, когда вы решите переосмыслить, принять и использовать навешенные на вас ярлыки, вы сделаете нечто важное. Ментальность воина добавит слой непроницаемости к вашему поведению в жизни. Вы продемонстрируете миру, что не намерены трусить, медлить, пугаться или даже волноваться по поводу того, что говорят нападающие, потому что вы понимаете, откуда они явились и что ими движет. Яна и Заира применили этот подход: когда на них навесили ярлык сектантов, они прониклись этой идеей и с гордостью заявили, что они – «Boaliever». Это тот воинский дух, который нам всем необходимо взращивать, если мы стремимся к справедливости.

Эта книга рассказывает о качествах преподавания, которые способствуют математическому разнообразию и ish-ности, и приводит множество примеров того, как учителя добиваются этого у себя на занятиях. Мы начали с важной цели – учить людей учиться, используя некоторые важные метако-гнитивные и математические стратегии, доступные любому человеку. Затем мы рассмотрели важность принятия борьбы и изложили стратегии, с помощью которых мы можем культивировать в себе комфортное отношение к борьбе. Но наше настоящее путешествие в математическое разнообразие началось с определения наиболее важных областей математики и способов взглянуть на них с разных точек зрения. Я рассказала о ценности ish-чисел и ish-фигур в учебе и в жизни. Затем мы увидели мощь визуальной математики, познакомившись с несколькими примерами, охватывающими все уровни. Затем рассмотрели математику как концептуальный и связный предмет, к которому важно подходить гибко. И в завершение обсудили разнообразие в математической практике, оценивании и обратной связи.

Надеюсь, что в этих описаниях и примерах я донесла до вас, что учащиеся проявляют больший интерес и добиваются большего успеха, когда изучаемый материал позволяет применять различные методы. Это важно для изучения любого материала, в любом возрасте и на любом уровне. Проблема не в том, что население нашей страны не может успешно изучать математику. А в том, что миллионы наших сограждан оказались бы гораздо более успешными и более увлеченными предметом, если бы встретились с математическим разнообразием и ish-математикой. Независимо от того, нужно ли вам взрастить дух воина, чтобы реализовать эти идеи, стратегии и подходы, я надеюсь, что они укрепят вас в жизни, позволят вам видеть больше и научиться большему в любой ситуации, с которой вы столкнетесь, и дадут вам возможность поднимать других людей на уровень, достичь которого они даже не мечтали, вдохновляя красотой ish-математики и математического разнообразия.

1. A. F. Cabrera, J. L. Crissman, E. M. Bernal, A. Nora, P. T. Terenzini, and E. T. Pascarella, “Collaborative Learning: Its Impact on College Students’ Development and Diversity,” Journal of College Student Development 43, no. 1 (2002): 20–34; H. Jazaieri, K. McGonigal, T. Jinpa, J. R. Doty, J. J. Gross, and P. R. Goldin, “A Randomized Controlled Trial of Compassion Cultivation Training: Effects on Mindfulness, Affect, and Emotion Regulation,” Motivation and Emotion 38 (2014): 23–35; Organisation for Economic Co-operation and Development, PISA 2015 Results, vol. 5: Collaborative Problem Solving (Paris: PISA, OECD, 2015); M. F. Winters, Inclusive Conversations: Fostering Equity, Empathy, and Belonging Across Differences (Oakland, CA: Berrett-Koehler Publishers, 2020).

2. J. Boaler and M. Staples, “Creating Mathematical Futures Through an Equitable Teaching Approach: The Case of Railside School,” Teachers College Record 110, no. 3 (2008): 608–45; R. K. Anderson, J. Boaler, and J. A. Dieckmann, “Achieving Elusive Teacher Change Through Challenging Myths About Learning: A Blended Approach,” Education Sciences 8, no. 3 (2018): 98, https://www. mdpi.com/2227-7102/8/3/98; J. Boaler, J. A. Dieckmann, G. Pérez-Núñez, K. L. Sun, and C. Williams, “Changing Students’ Minds and Achievement in Mathematics: The Impact of a Free Online Student Course,” Frontiers in Education (2018): 26; J. Boaler, J. A. Dieckmann, T. La-Mar, M. Leshin, M. Selbach-Allen, and G. Pérez-Núñez, “The Transformative Impact of a Mathematical Mindset Experience Taught at Scale,” Frontiers in Education (2021): 512.

3. О школе Хаверсток смотрите https://www.haverstock.camden. sch.uk.

4. M. Suárez-Pellicioni, M. I. Núñez-Peña, and A. Colomé, “Math Anxiety: A Review of Its Cognitive Consequences, Psychophysiological Correlates, and Brain Bases,” Cognitive, Affective, and Behavioral Neuroscience 16 (2016): 3–22, https://pubmed.ncbi. nlm.nih.gov/26250692/.

5. C. Drew, “Why Science Majors Change Their Minds (It’s Just So Darn Hard),” New York Times, November 4, 2011, https://www. nytimes.com/2011/11/06/education/edlife/why-science-ma-jors-change-their-mind-its-just-so-darn-hard.html.

6. C. Edley Jr., “At Cal State, Algebra Is a Civil Rights Issue,” Ed-Source, June 5, 2017, https://edsource.org/2017/at-cal-state-al-gebra-is-a-civil-rights-issue/582950.

7. J. Boaler, “Op-Ed: How Can We Make More Students Fall in Love with Math?” Los Angeles Times, March 14, 2022, https:// www.latimes.com/opinion/story/2022-03-14/math-frame-work-california-low-achieving.

8. J. Boaler, What’s Math Got to Do with It? How Teachers and Parents Can Transform Mathematics Learning and Inspire Success (New York: Penguin, 2015).

9. Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98; Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

10. Смотрите мою биографию в разделе «Наша команда» на сайте https://www.youcubed.org/our-team/.

11. Z. Clute, “Bad at Math No More,” Hechinger Report, April 4, 2017, https://hechingerreport.org/opinion-bad-math-no/.

12. OECD, Skills Matter: Additional Results from the Survey of Adult Skills (Paris: OECD Publishing, 2019), https://doi.org/10.1787/ 1f029d8f-en.

13. OECD, Skills Matter.

14. L. Abrams, “Study: Math Skills at Age 7 Predict How Much Money You’ll Make,” Atlantic, May 9, 2013, https://www.theat-lantic.com/health/archive/2013/05/study-math-skills-at-age-7-predict-how-much-money-youll-make/275690/.

15. J. Boaler, Limitless Mind: Learn, Lead, and Live Without Barriers (New York: HarperCollins, 2019).

16. “How to Learn Math for Teachers,” Stanford Online, https://on-line.stanford.edu/courses/xeduc115n-how-learn-math-teachers.

17. J. Boaler, K. Dance, and E. Woodbury, From Performance to Learning: Assessing to Encourage Growth Mindsets (Stanford, CA: youcubed, 2018), https://www.youcubed.org/wp-content/up-loads/2018/04/Assessent-paper-final-4.23.18.pdf.

18. E. K. Chestnut, R. F. Lei, S. J. Leslie, and A. Cimpian, “The Myth That Only Brilliant People Are Good at Math and Its Implications for Diversity,” Education Sciences 8, no. 2 (2018): 65; S. Leslie, A. Cimpian, M. Meyer, and E. Freeland, “Expectations of Brilliance Underlie Gender Distributions Across Academic Disciplines,” Science 347 (2015): 262–65.

19. M. Merzenich, SoV-Wired: How the New Science of Brain Plasticity Can Change Your Life (San Francisco: Parnassus, 2013), 2; N. Doidge, The Brain That Changes Itself (New York: Penguin, 2007).

20. T. Iuculano, M. Rosenberg-Lee, J. Richardson, C. Tenison, L. Fuchs, K. Supekar, and V. Menon, “Cognitive Tutoring Induces Widespread Neuroplasticity and Remediates Brain Function in Children with Mathematical Learning Disabilities,” Nature Communications 6 (2015): 8453, https://doi.org/10.1038/ ncomms9453.

21. L. Letchford, Reversed: A Memoir (Irvine, CA: Acorn, 2018).

22. J. Boaler, “Crossing the Line: When Academic Disagreement Becomes Harassment and Abuse,” Stanford University, March 2023, https://joboaler.people.stanford.edu/.

23. Программа 2023 Mathematics Framework, California Department of Education, проверено 20 октября 2023 года, https:// www.cde.ca.gov/ci/ma/cf/.

24. Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98.

25. Смотрите, например, работы Юджинии Ченг, Кейт Девлин, Дэна Финкела, Мариам Мирзахани, Стивена Строгаца и Та-литии Уильямс.

26. E. Cheng, “What If Nobody Is Bad at Maths?,” Guardian, May 29, 2023, https://www.theguardian.com/books/2023/may/29/ what-if-nobody-is-bad-at-maths.

27. L. Chen, S. R. Bae, C. Battista, S. Qin, T. Chen, T. M. Evans, and V. Menon, “Positive Attitude Toward Math Supports Early Academic Success: Behavioral Evidence and Neurocognitive Mechanisms,” Psychological Science 29, no. 3 (2018): 390–402.

28. L. R. Aiken and R. M. Dreger, “The Effect of Attitudes on Performance in Mathematics,” Journal of Educational Psychology 52, no. 1 (1961): 19–24, https://doi.org/10.1037/h0041309; L. R. Aiken, “Update on Attitudes and Other Affective Variables in Learning Mathematics,” Review of Educational Research 46 (1976): 293–311, https://www.jstor.org/stable/1170042.

29. F. Pajares and M. D. Miller, “Role of Self-Efficacy and Self-Concept Beliefs in Mathematical Problem Solving: A Path Analysis,” Journal of Educational Psychology 86 (1994): 193–203, https://doi.org/10.1037/0022-0663.86.2.193; K. Singh, M. Granville, and S. Dika, “Mathematics and Science Achievement: Effects of Motivation, Interest, and Academic Engagement,” Journal of Educational Research 95 (2002): 323–32, https://doi. org/10.1080/0022067020996607.

30. Исследователи часто применяют показатель IQ, хотя этот тест имеет расистские корни. Смотрите, например, “History of the Race and Intelligence Controversy,” Wikipedia, проверено 16 сентября 2023 года, https://en.wikipedia.org/ wiki/History_of_the_race_and_intelligence_controversy.

31. Chen et al., “Positive Attitude Toward Math.”

32. S. Beilock, How the Body Knows Its Mind: The Surprising Power of the Physical Environment to Influence How You Think and Feel (New York: Simon and Schuster, 2015).

33. Chen et al., “Positive Attitude Toward Math.”

34. C. B. Young, S. S. Wu, and V. Menon, “The Neurodevelopmental Basis of Math Anxiety,” Psychological Science 23, no. 5 (2012): 492–501.

35. J. Boaler, “Prove It to Me!” Mathematics Teaching in the Middle School 24, no. 7 (2019): 422–28.

36. Boaler, “Prove It to Me!”

37. Смотрите раздел «Моя команда» на https://www.youcubed. org/our-team/.

38. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

39. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

40. Iuculano et al., “Cognitive Tutoring,” 8453; Chen et al., “Positive Attitude Toward Math”; V. Menon, “Salience Network,” in A. W. Toga, Brain Mapping: An Encyclopedic Reference, Academic Press, 2015, https://med.stanford.edu/content/dam/sm/scsnl/ documents/Menon_Salience_Network_15.pdf.

41. C. S. Dweck, Mindset: The New Psychology of Success (New York: Random House, 2006); J. W. Stigler and J. Hiebert, The Teaching Gap: Best Ideas from the World’s Teachers for Improving Education in the Classroom (New York: Simon and Schuster, 2009); H. Stevenson and J. W. Stigler, Learning Gap: Why Our Schools Are Failing and What We Can Learn from Japanese and Chinese Education (New York: Simon and Schuster, 1994); A. Ericsson and R. Pool, Peak: Secrets from the New Science of Expertise (New York: Random House, 2016).

42. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

43. P. Liljedahl, “Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem-Solving,” in Posing and Solving Mathematical Problems: Advances and New Perspectives, eds. P. Felmer, E. Pehkonen, and J. Kilpatrick, 361–86, (Switzerland: Springer, 2016).

44. “John H. Flavell,” Wikipedia, проверено 19 февраля 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/John_H._Flavell.

45. S. Moritz and P. H. Lysaker, “Metacognition – What Did James H. Flavell Really Say and the Implications for the Conceptualization and Design of Metacognitive Interventions,” Schizophrenia Research 201 (2018): 20–26.

46. J. Boaler and P. Zoido, “Why Math Education in the US Doesn’t Add Up,” Scientific American Mind 27, no. 6 (2016): 18–19.

47. OECD Learning Compass for Mathematics, “The Future of Education and Skills: The Future We Want,” https://www.oecd.org/ education/2030/OECD-Learning-Compass-for-Mathematics-2023-13-Oct.pdf.

48. “Hattie Ranking: 252 Influences and Effect Sizes Related to Student Achievement,” Visible Learning, n.d., https://visible-learning. org/hattie-ranking-influ ences-effect-sizes-learning-achievement/.

49. S. M. Fleming, “The Power of Reflection,” Scientific American Mind 25, no. 5 (2014): 30–37.

50. E. Mitsea, A. Drigas, and P. Mantas, “SoЇ Skills and Metacognition as Inclusion Amplifiers in the 21st Century,” International Journal of Online and Biomedical Engineering (iJOE) 17, no. 4 (2021): 121–32, https://doi.org/10.3991/ijoe.v17i04.20567.

51. A. Grant, “The Impact of Life Coaching on Goal Attainment, Metacognition and Mental Health,” Social Behavior and Personality: An International Journal 31 (2003): 253–63, https://doi. org/10.2224/sbp.2003.31.3.253.

52. D. Wilson and M. Conyers, Teaching Students to Drive Their Brains: Metacognitive Strategies, Activities and Lesson Ideas (Alexandria, VA: ASCD, 2016).

53. P. Black and D. Wiliam, “Assessment for Learning,” in Assessing Educational Achievement, ed. D. Nutall, 7–18 (London: Falmer, 1986).

54. C. A. Hecht, M. C. Murphy, C. S. Dweck, C. J. Bryan, K. H. Trzesniewski, F. N. Medrano… and D. S. Yeager, “ShiЇing the Mindset Culture to Address Global Educational Disparities,” npj Science of Learning 8, no. 29 (2023), https://doi.org/10.1038/s41539-023-00181-y.

55. A. Vrugt and F. J. Oort, “Metacognition, Achievement Goals, Study Strategies and Academic Achievement: Pathways to Achievement,” Metacognition and Learning 3 (2008): 123–46, https://doi. org/10.1007/s11409-008-9022-4; G. Özsoy, “An Investigation of the Relationship Between Metacognition and Mathematics Achievement,” Asia Pacific Education Review 12 (2011): 227–35, https://doi.org/10.1007/s12564-010-9129-6; M. V. Veenman, R. D. Hesselink, S. Sleeuwaegen, S. I. Liem, and M. G. Van Haaren, “Assessing Developmental Differences in Metacognitive Skills with Computer Logfiles: Gender by Age Interactions,” Psihologijske teme 23, no. 1 (2014): 99–113; Wilson and Conyers, Teaching Students to Drive Their Brains.

56. Wilson and Conyers, Teaching Students to Drive Their Brains.

57. J. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity’ and High Mathematics Achievement Through an Innovative Mixed-Ability Approach,” British Educational Research Journal 34, no. 2 (2008): 167–94; Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

58. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity.’”

59. Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

60. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity.’”

61. S. F. Reardon, E. Weathers, E. Fahle, H. Jang, and D. Kalogrides, Is Separate Still Unequal? New Evidence on School Segregation and Racial Academic Achievement Gaps (Stanford, CA: Stanford CEPA, 2019); S. F. Reardon, E. Fahle, H. Jang, and E. Weathers, “Why School Desegregation Still Matters (a Lot),” Educational Leadership 80, no. 4 (2023): 38–44.

62. P. Cobb, T. Wood, E. Yackel, and B. McNeal, “Characteristics of Classroom Mathematics Traditions: An Interactional Analysis,” American Educational Research Journal 29, no. 3 (1992): 573–604.

63. Wilson and Conyers, Teaching Students to Drive Their Brains; “Hattie Ranking: 252 Influences,” Visible Learning.

64. M. Amalric and S. Dehaene, “Origins of the Brain Networks for Advanced Mathematics in Expert Mathematicians,” Proceedings of the National Academy of Sciences 113, no. 18 (2016): 4909–17.

65. J. Boaler, “Paying the Price for ‘Sugar and Spice’: ShiЇing the Analytical Lens in Equity Research,” Mathematical Thinking and Learning 4, nos. 2–3 (2002): 127–44.

66. E. Gray and D. O. Tall, “Duality, Ambiguity, and Flexibility: A ‘Proceptual’ View of Simple Arithmetic,” Journal for Research in Mathematics Education 25, no. 2 (1994): 116–40.

67. Boaler, Limitless Mind.

68. Vrugt and Oort, “Metacognition, Achievement Goals”; Özsoy, “Investigation of the Relationship”; Veenman et al., “Assessing Developmental Differences”; Wilson and Conyers, Teaching Students to Drive Their Brains.

69. J. Boaler, Mathematical Mindsets: Unleashing Students’ Potential Through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching (Hoboken, NJ: Wiley, 2015).

70. Boaler, Mathematical Mindsets, 47.

71. T. LaMar, M. Leshin, and J. Boaler, “The Derailing Impact of Content Standards – An Equity Focused District Held Back by Narrow Mathematics,” International Journal of Educational Research Open 1 (2020): 100015; Boaler, “Promoting ‘Relational Equity’”; Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

72. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

73. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity’”; Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

74. E. G. Cohen, R. A. Lotan, B. A. Scarloss, and A. R. Arellano, “Complex Instruction: Equity in Cooperative Learning Classrooms,” Theory into Practice 38, no. 2 (1999): 80–86.

75. Cohen et al., “Complex Instruction.”

76. E. G. Cohen and R. A. Lotan, Designing Groupwork: Strategies for the Heterogeneous Classroom, 3rd ed. (New York: Teachers College Press, 2014).

77. Boaler et al., From Performance to Learning.

78. Boaler, Mathematical Mindsets, 141–70.

79. “An Example of a Growth Mindset K–8 School,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed.org/resources/an-example-of-a-growth-mindset-k-8-school/.

80. Boaler, Limitless Mind.

81. Моя видеокнига «Безграничный разум» доступна по адресу: https://litvideobooks.com/limitless-mind.

82. Boaler et al., From Performance to Learning.

83. C. S. Dweck and D. S. Yeager, “Mindsets: A View from Two Eras,” Perspectives on Psychological Science 14, no. 3 (2019), 481–96; L. S. Blackwell, K. H. Trzesniewski, and C. S. Dweck, “Implicit Theories of Intelligence Predict Achievement Across an Adolescent Transition: A Longitudinal Study and an Intervention,” Child Development 78, no. 1 (2007): 246–63; O. H. Zahrt and A. J. Crum, “Perceived Physical Activity and Mortality: Evidence from Three Nationally Representative US Samples,” Health Psychology 36, no. 11 (2017): 1017; D. S. Yeager, K. H. Trzesniewski, and C. S. Dweck, “An Implicit Theories of Personality Intervention Reduces Adolescent Aggression in Response to Victimization and Exclusion,” Child Development 84, no. 3 (2013): 970–88; J. A. Okonofua, J. P. Goyer, C. A. Lindsay, J. Haugabrook, and G. M. Walton, “A Scalable Empathic-Mindset Intervention Reduces Group Disparities in School Suspensions,” Science Advances 8, no. 12 (2022): eabj0691.

84. J. A. Mangels, B. Butterfield, J. Lamb, C. Good, and C. S. Dweck, “Why Do Beliefs About Intelligence Influence Learning Success?: A Social Cognitive Neuroscience Model,” Social Cognitive and Affective Neuroscience 1, no. 2 (2006): 75–86; J. S. Moser, H. S. Schroder, C. Heeter, T. P. Moran, and Y. H. Lee, “Mind Your Errors: Evidence for a Neural Mechanism Linking Growth Mind-Set to Adaptive Posterror Adjustments,” Psychological Science 22, no. 12 (2011): 1484–89.

85. H. S. Schroder, T. P. Moran, M. B. Donnellan, and J. S. Moser, “Mindset Induction Effects on Cognitive Control: A Neurobehavioral Investigation,” Biological Psychology 103 (2014): 27–37.

86. Dweck and Yeager, “Mindsets.”

87. J. W. Stigler and J. Hiebert, “Understanding and Improving Classroom Mathematics Instruction: An Overview of the TIMSS Video Study,” Phi Delta Kappan 79, no. 1 (1997): 14; Stevenson and Stigler, Learning Gap; Stigler and Hiebert, Teaching Gap.

88. Stigler and Hiebert, Teaching Gap.

89. S. Olson, Countdown: Six Kids Vie for Glory at the World’s Toughest Math Competition (Boston: Houghton Mifflin, 2004), 48–49, https://steveolson.com/assets/countdown.pdf.

90. Merzenich, SoV-Wired, 2; N. Doidge, The Brain That Changes Itself (New York: Penguin, 2007).

91. Dweck and Yeager, “Mindsets.”

92. C. S. Dweck, “The Secret to Raising Smart Kids,” Scientific American, January 1, 2015, https://www.scientificamerican.com/arti-cle/the-secret-to-raising-smart-kids1/.

93. Hecht et al., “ShiЇing the Mindset Culture”; D. S. Yeager, J. M. Carroll, J. Buontempo, A. Cimpian, S. Woody, R. Crosnoe… and C.S.Dweck,“TeacherMindsetsHelpExplainWhereaGrowth-Mindset Intervention Does and Doesn’t Work,” Psychological Science 33, no. 1 (2022): 18–32, https://doi.org/10.1177/09567976211028984; Okonofua et al., “Scalable Empathic-Mindset Intervention”; Dweck and Yeager, “Mindsets”; D. S. Yeager, P. Hanselman, G. M. Walton, J. S. Murray, R. Crosnoe, C. Muller… and C. S. Dweck, “A National Experiment Reveals Where a Growth Mindset Improves Achievement,” Nature 573, no. 7774 (2019): 364–69; Blackwell et al., “Implicit Theories of Intelligence.”

94. C. Good, C. S. Dweck, and J. Aronson, “Social Identity, Stereotype Threat, and Self-Theories,” in Contesting Stereotypes and Creating Identities: Social Categories, Social Identities, and Educational Participation, ed. A. J. Fuligni, 115–135 (New York: Russell Sage Foundation, 2007); S. R. Levy and C. S. Dweck, “The Impact of Children’s Static Versus Dynamic Conceptions of People on Stereotype Formation,” Child Development 70, no. 5 (1999): 1163–80.

95. Blackwell et al., “Implicit Theories of Intelligence.”

96. Zahrt and Crum, “Perceived Physical Activity and Mortality,” 1017.

97. Yeager et al., “Implicit Theories of Personality Intervention.”

98. Okonofua et al., “Scalable Empathic-Mindset Intervention.”

99. Yeager et al., “Teacher Mindsets Help Explain”; Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98; P. Bui, N. Pongsakdi, J. McMullen, E. Lehtinen, and M. M. Hannula-Sormunen, “A Systematic Review of Mindset Interventions in Mathematics Classrooms: What Works and What Does Not?” Educational Research Review 40 (August 2023): 100554.

100. D. Coyle, The Talent Code: Unlocking the Secret of Skill in Maths, Art, Music, Sport and Just about Everything Else (New York: Random House, 2009).

101. Coyle, The Talent Code.

102. Boaler, “Prove It to Me!”

103. “Steven Strogatz,” Wikipedia, проверено 12 октября 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz.

104. D. J. Watts and S. H. Strogatz, “Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks,” Nature 393, no. 6684 (1998): 440–42, https:// www.nature.com/articles/30918.

105. S. D. Levitt, “Steven Strogatz Thinks You Don’t Know What Math Is,” People I (Mostly) Admire, podcast episode 96, produced by Morgan Levey, Freakonomics Radio, January 6, 2023, https:// freakonomics.com/podcast/steven-strogatz-thinks-you-dont-know-what-math-is/.

106. L. Deslauriers, L. S. McCarty, K. Miller, K. Callaghan, and G. Kestin, Measuring Actual Learning versus Feeling of Learning in Response to being Actively Engaged in the Classroom, Proceedings of the National Academy of Sciences (2019): 201821936. M. Kapur, “Productive Failure in Learning Math,” Cognitive Science 38, no. 5 (2014): 1008–22; D. L. Schwartz, C. C. Chase, M. A. Oppezzo, and D. B. Chin, “Practicing Versus Inventing with Contrasting Cases: The Effects of Telling First on Learning and Transfer,” Journal of Educational Psychology 103, no. 4 (2011): 759; D. Schwartz and J. Bransford, “A Time for Telling,” Cognition and Instruction 16, no. 4 (1998): 475–522.

107. Deslauriers et al., “Measuring Actual Learning”; Kapur, “Productive Failure in Learning Math”; Schwartz et al., “Practicing Versus Inventing,” 759; Schwartz and Bransford, “Time for Telling.”

108. Deslauriers et al., “Measuring Actual Learning.”

109. Dweck and Yeager, “Mindsets”; Deslauriers et al., “Measuring Actual Learning”; P. Barrouillet, “Theories of Cognitive Development: From Piaget to Today,” Developmental Review 38 (2015): 1–12; Kapur, “Productive Failure in Learning Math”; K. Shabani, M. Khatib, and S. Ebadi, “Vygotsky’s Zone of Proximal Development: Instructional Implications and Teachers’ Professional Development,” English Language Teaching 3, no. 4 (2010): 237–48.

110. Ericsson and Pool, Peak.

111. “Ken Robinson (educationalist),” Wikipedia, August 17, 2023, https://en.wikipedia.org/wiki/Ken_Robinson_(educationalist); Ken Robinson, “Do Schools Kill Creativity?,” James Clear, transcript from TED Talk delivered February 2006, https://jamesclear.com/great-speeches/do-schools-kill-creativity-by-ken-robinson.

112. Merzenich, SoЇ-Wired, 2; Doidge, Brain That Changes Itself.

113. Coyle, Talent Code.

114. “Tasks,” youcubed, n.d., https://www.youcubed.org/tasks/; “K-8 Curriculum,” youcubed, n.d., https://www.youcubed.org/ resource/k-8-curriculum/.

115. “Unlock Your Child’s Limitless Potential with Math Education Based in Neuroscience,” Struggly, n.d., https://www.struggly.com/.

116. Смотрите «Яма борьбы» на сайте https://www.learningpit.org/.

117. E. A. Gunderson, S. J. Gripshover, C. Romero, C. S. Dweck, S. Goldin-Meadow, and S. C. Levine, “Parent Praise to 1– to 3–Year-Olds Predicts Children’s Motivational Frameworks 5 Years Later,” Child Development 84, no. 5 (2013): 1526–41.

118. C. S. Dweck, “Secret to Raising Smart Kids.”

119. “Rethinking GiЇedness Film,” youcubed, n.d., https://www. youcubed.org/rethinking-giЇedness-film/.

120. Hecht et al., “ShiЇing the Mindset Culture”; J. Feldman, Grading for Equity: What It Is, Why It Matters, and How It Can Transform Schools and Classrooms (Thousand Oaks, CA: Corwin Press, 2018).

121. Boaler, Limitless Mind.

122. S. Singh, Fermat’s Enigma: The Epic Quest to Solve the World’s Greatest Mathematical Problem (New York: Anchor, 2017), 6.

123. P. Brown, “How Math’s Most Famous Proof Nearly Broke,” Nautilus, May 21, 2015, https://nautil.us/how-maths-most-famous-proof-nearly-broke-235447/.

124. “How to Learn Math for Teachers,” Stanford Online.

125. Правильный ответ 11/12. Его можно получить, если записать дробь 2/3 в виде 8/12, а дробь 1/4 – в виде 3/12.

126. “The Importance of Struggle,” youcubed.org, n.d., https://www. youcubed.org/resources/the-importance-of-struggle/; “Excerpt of Jo from ‘The Importance of Struggle,’” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed.org/resources/excerpt-of-jo-from-the-importance-of-struggle/.

127. R. Kehoe, “A Secret of Science: Mistakes Boost Understanding,” Science News Explores, September 10, 2020, https://www.snex-plores.org/article/secret-science-mistakes-boost-understanding.

128. Barrouillet, “Theories of Cognitive Development.”

129. Shabani et al., “Vygotsky’s Zone of Proximal Development.”

130. Cabrera et al., “Collaborative Learning”; Jazaieri et al., “Randomized Controlled Trial”; OECD, PISA 2015 Results, vol. 5; Winters, Inclusive Conversations; Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures”; Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98; Boaler et al., “Changing Students’ Minds and Achievement,” 26; Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

131. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

132. Reardon et al., Is Separate Still Unequal?; Reardon et al., “Why School Desegregation Still Matters.”

133. Reardon et al., “Why School Desegregation Still Matters.”

134. Boaler, Limitless Mind.

135. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity.’”

136. S. D. Levitt and S. J. Dubner, Freakonomics: A Rogue Economist Explores the Hidden Side of Everything, rev. ed. (New York: William Morrow, 2010).

137. S. Levitt and S. Dubner, “America’s Math Curriculum Doesn’t Add Up,” podcast episode 391, produced by Zack Lapinski, Freakonomics Radio, October 2, 2019, https://freakonomics.com/podcast/math-curriculum-doesnt-add-up-ep-391.

138. Levitt and Dubner, “America’s Math Curriculum.”

139. S. J. Ball, “Education, Majorism and ‘the Curriculum of the Dead,’” Curriculum Studies 1, no. 2 (1993): 195–214.

140. C. Everett, Numbers and the Making of Us: Counting and the Course of Human Cultures (Cambridge, MA: Harvard Univ. Press, 2017).

141. Everett, Numbers and the Making of Us.

142. Everett, Numbers and the Making of Us.

143. “Cuisenaire Rods: Gattegno and Other Films,” Association of Teachers of Mathematics,n.d.,https://www.atm.org.uk/Cuise-naire-Rods-Gattegno-and-other-f ilms#:~:text=Cuisenaire%20 rods%20 were%20invented%20in,music%20with%20an%20in-strument%20gave.

144. “Factorization Diagrams,” Math Less Traveled, n.d., https:// mathlesstraveled.com/factorization/.

145. W. H. CockcroЇ, Mathematics Counts (London: HM Stationery Office, 1982).

146. T. Requarth, “Global Brain,” March 3, 2016, https://www.si-monsfoundation.org/2016/03/03/how-do-different-brain-re-gions-interact-to-enhance-function/.

147. J. Clack, “Distinguishing Between ‘Macro’ and ‘Micro’ Possibility Thinking: Seen and Unseen Creativity,” Thinking Skills and Creativity 26 (2017): 60–70.

148. A. Starr, M. E. Libertus, and E. M. Brannon, “Number Sense in Infancy Predicts Mathematical Abilities in Childhood,” Proceedings of the National Academy of Sciences 110, no. 45 (2013): 18116–20.

149. Starr et al, “Number Sense in Infancy.”

150. Sakshi Gupta, “Highest Paying Data Analytics Jobs in 2024,” Springboard, December 21, 2023, https://www.springboard.com/blog/data-analytics/high est-paying-analyst-jobs/.

151. J. Boaler and S. D. Levitt, “Opinion: Modern High School Math Should Be About Data Science – Not Algebra 2,” Los Angeles Times, October 23, 2019, https://www.youcubed.org/wp-con-tent/uploads/2019/10/LA-times-op-ed.pdf.

152. “21st Century Teaching and Learning: Data Science,” youcubed. org, n.d., https://www.youcubed.org/21st-century-teaching-and-learning/.

153. “Explorations in Data Science,” youcubed.org, n.d., https://hsda-tascience.you cubed.org/.

154. “Application Requirements,” Harvard College, n.d., https://col-lege.harvard.edu/admissions/apply/application-requirements.

155. “Committee of Ten,” Wikipedia, проверено 19 сентября 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Committee_of_Ten#:~:tex-t=The%20National%20Education%20Association%20of,mak-ing%20recommendations%20for%20future%20practice.

156. S. Strogatz, Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe (New York: Eamon Dolan Books, 2019).

157. National Center for Education Statistics, “High School Mathematics and Science Course Completion,” Condition of Education (US Department of Education: Institute of Education Sciences, 2022), https://nces.ed.gov/programs/coe/indicator/sod/high-school-courses.

158. M. L. Hayes, 2018 NSSME+: Status of High School Mathematics (Chapel Hill, NC: Horizon Research, 2019), http://horizon-re-search.com/NSSME/wp-content/uploads/2019/05/2018-NS-SME-Status-of-High-School-Math.pdf.

159. D. Bressoud, ed., The Role of Calculus in the Transition from High School to College Mathematics (Mathematical Association of America & National Council of Teachers of Mathematics, 2017).

160. Смотрите программу 2023 Mathematics Framework, California Department of Education.

161. J. Ewing, “Should I Take Calculus in High School?” Forbes, February 15, 2020, https://www.forbes.com/sites/johnewing/2020/02/15/ should-i-take-calculus-in-high-school/?sh=69ae46867625.

162. Смотрите “Explorations in Data Science,” youcubed.org.

163. J. Boaler, K. Conte, K. Cor, J. Dieckmann, T. LaMar, J. Ramirez, and M. Selbach-Allen, “Studying the Opportunities Provided by an Applied High School Mathematics Course: Explorations in Data Science,” Journal of Statistics and Data Science Education (готовится к выходу).

164. Jessica Furr (Waggener), “A Brief History of Mathematics Education in America,” University of Georgia, spring 1996, http:// jwilson.coe.uga.edu/EMAT 7050/HistoryWeggener.html.

165. R. Swartzentruber, “Data-Wisdom as a Framework for Building Data Literacy” (master’s thesis, University of Tennessee, 2023), https://trace.tennessee.edu/utk_gradthes/9229.

166. Цветную версию таких наглядных данных смотрите на сайте www.youcubed.org/resource/data-talks/.

167. T. Chartier, Get in the Game: An Interactive Introduction to Sports Analytics (Chicago: Univ. Press, 2022).

168. Dear Data, http://www.dear-data.com/.

169. Dear Data.

170. Смотрите “Explorations in Data Science,” youcubed.org.

171. T. LaMar, “Data Science as a Gateway to Belonging in STEM and Other Quantitative Fields” (диссертация на соискание докторской степени, Стэнфордский университет, 2023).

172. “Spurious Correlations,” tylervigen.com, n.d., https://www.ty-lervigen.com/spurious-correlations.

173. “Facebook – Cambridge Analytica Data Scandal,” Wikipedia, n.d., https://en.wikipedia.org/wiki/Facebook%E2%80%93Cam-bridge_Analytica_data_scandal.

174. Boaler, “Prove It to Me!”

175. “Painted Cube,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed.org/ tasks/painted-cube/.

176. Menon, “Brain Networks for Mental Arithmetic.”

177. Ericsson and Pool, Peak.

178. Ericsson and Pool, Peak.

179. Ericsson and Pool, Peak.

180. J. Hawkins, A Thousand Brains: A New Theory of Intelligence (New York: Basic Books, 2021).

181. L. Bofferding, “Negative Integer Understanding: Characterizing First Graders’ Mental Models,” Journal for Research in Mathematics Education 45, no. 2 (2014): 194–245; J. M. Tsang, K. P. Blair, L. Bofferding, and D. L. Schwartz, “Learning to ‘See’ Less Than Nothing: Putting Perceptual Skills to Work for Learning Numerical Structure,” Cognition and Instruction 33, no. 2, (2015): 154–97; S. L. Macrine and J. M. Fugate, eds., Movement Matters: How Embodied Cognition Informs Teaching and Learning (Chicago: MIT Press, 2022).

182. Amalric and Dehaene, “Origins of the Brain Networks”; R. A. Cortes, E. G. Peterson, D. J. Kraemer, R. A. Kolvoord, D. H. Uttal, N. Dinh… and A. E. Green, “Transfer from Spatial Education to Verbal Reasoning and Prediction of Transfer from Learning-Related Neural Change,” Science Advances 8, no. 31 (2022): eabo3555.

183. Menon, “Brain Networks for Mental Arithmetic.”

184. C. Kalb, “What Makes a Genius?” National Geographic, May 2017.

185. J. Park and E. M. Brannon, “Training the Approximate Number System Improves Math Proficiency,” Psychological Science 24, no. 10 (2013): 2013–19; Cortes et al., “Transfer from Spatial Education.”

186. Bofferding, “Negative Integer Understanding”; Tsang et al., “Learning to ‘See’”; Macrine and Fugate, eds., Movement Matters.

187. Bruce McCandliss, Stanford Graduate School of Education, n.d., https://ed.stanford.edu/faculty/brucemc.

188. M. Guillaume, E. Roy, A. Van Rinsveld, G. S. Starkey, Project iLe-ad Consortium, M. R. Uncapher, and B. D. McCandliss, “Groupi-tizing Reflects Conceptual Developments in Math Cognition and Inequities in Math Achievement from Childhood through Adolescence,” Child Development 94, no. 2 (2023): 335–47.

189. I. Benson, N. Marriott, and B. D. McCandliss, “Equational Reasoning: A Systematic Review of the Cuisenaire-Gattegno Approach,” Frontiers in Education (2022): 507.

190. M. Penner-Wilger, L. Fast, J.-A. LeFevre, B. L. Smith-Chant, S.-L. Skwarchuk, D. Kamawar, and J. Bisanz, “Subitizing, Finger Gnosis, and the Representation of Number,” Proceedings of the 31st Annual Cognitive Science Society 31 (2009): 520–25.

191. J. Boaler and L. Chen, “Why Kids Should Use Their Fingers in Math Class,” Atlantic, April 13, 2016, https://www.theatlantic.com/education/archive/2016/04/why-kids-should-use-their-fin-gers-in-math-class/478053/.

192. R. S. Siegler and G. B. Ramani, “Playing Linear Numerical Board Games Promotes Low-Income Children’s Numerical Development,” Developmental Science 11 (2008): 655–61.

193. Yeager et al., “Teacher Mindsets Help Explain.”

194. Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98; Bui et al., “Systematic Review.”

195. Мы с соавторами Джен Мансон и Кэти Уильямс написали несколько книг по математике для программы К–8; смотрите “K–8 Curriculum”, youcubed.org.

196. Gray and Tall, “Duality, Ambiguity, and Flexibility”; H. Chang, L. Chen, Y. Zhang, Y. Xie, C. de Los Angeles, E. Adair… and V. Menon, “Foundational Number Sense Training Gains Are Predicted by Hippocampal – Parietal Circuits,” Journal of Neuroscience 42, no. 19 (2022): 4000–15.

197. L. Ma, Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States, Studies in Mathematical Thinking and Learning Series (Oxfordshire, UK: Routledge, 2010).

198. “Online Student Course,” youcubed.org, n.d., https://www. youcubed.org/online-student-course/.

199. “WIM Videos,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed.org/ resource/wim-videos/.

200. J. Boaler and C. Humphreys, Connecting Mathematical Ideas: Middle School Video Cases to Support Teaching and Learning (Portsmouth, NH: Heinemann, 2005).

201. “Videos,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed.org/resource/ videos/.

202. M. Cordero, “It’s (Not) Ours to Reason Why: A Comparative Analysis of Algorithms for the Division of Fractions” (honor’s thesis, Stanford University, 2017), 1.

203. Cordero, “It’s (Not) Ours to Reason Why,” 1.

204. D. D. Pesek and D. Kirshner, “Interference of Instrumental Instruction in Subsequent Relational Learning,” Journal for Research in Mathematics Education 31, no. 5 (2000): 524–40.

205. T. P. Carpenter and M. K. Corbitt, eds., “Results from the Second Mathematics Assessment of the National Assessment of Educational Progress,” Fraction Bars, n.d., https://fractionbars.com/ Research_Tch_Fracs/Results2nd.html.

206. “Online Student Course,” youcubed.org.

207. Merzenich, SoV-Wired, 2; Doidge, Brain That Changes Itself.

208. Dweck and Yeager, “Mindsets.”

209. Boaler, “Prove It to Me!”

210. Фон Нгуен дает множество примеров алгебраических паттернов на своем прекрасном сайте “Visual Patterns,” https:// www.visualpatterns.org/.

211. “Mathematical Mindset Algebra,” youcubed.org, n.d., https:// www.youcubed.org/algebra/.

212. A. Proehl, “For Bay Area Designer Diarra Bousso, Math + Art = Happiness,” KQED, June 1, 2023, https://www.kqed.org/arts/13929878/ for-bay-area-designer-diarra-bousso-math-art-happiness.

213. E. Farra, “A Senegal-Raised, Silicon Valley-Based Designer Shares Her Vision for a More Sustainable and Inclusive Future,” Vogue, June 5, 2020, https://www.vogue.com/article/ diarra-bousso-diarrablu-sustainable-made-in-senegal-collec-tion; H. Jennings, “Meet Diarra Bousso: One of Senegal’s Most Promising Designers,” CNN, April 19, 2021, https://www.cnn.com/style/article/diarrablu-diarra-bousso-senegal/index.html.

214. “Diarra Bousso, MA ’18 Stanford Teacher Education Program: Fusing Fashion and Math,” Stanford Graduate School of Education, December 12, 2022, https://ed.stanford.edu/about/commu-nity/diarra-bousso.

215. Proehl, “For Bay Area Designer Diarra Bousso.”

216. “What Is Notice and Wonder?” National Council of Teachers of Mathematics, n.d., https://www.nctm.org/noticeandwonder/.

217. Gray and Tall, “Duality, Ambiguity, and Flexibility.”

218. Gray and Tall, “Duality, Ambiguity, and Flexibility.”

219. W. P. Thurston, “Mathematical Education” (2005): 5, arXiv.org/ abs/math/0503081.

220. Статья появится позже; смотрите обновления на сайте youcubed.org.

221. California Digital Learning Integration and Standards Guidance, https://www.cadlsg.com/.

222. J. D. Bransford, A. L. Brown, and R. R. Cocking, How People Learn, vol. 11 (Washington, DC: National Academy Press, 2000), 20.

223. Смотрите программу 2023 Mathematics Framework, California Department of Education.

224. “K–8 Curriculum,” youcubed.org.

225. Hawkins, A Thousand Brains.

226. “Big Picture Thinking: Definition, Strategies and Careers,” Indeed, проверено 24 июня 2022 года, https://www.indeed.com/ca-reer-advice/career-development/big-picture-thinking-strategies.

227. L. Fries, J. Y. Son, K. B. Givvin, and J. W. Stigler, “Practicing Connections: A Framework to Guide Instructional Design for Developing Understanding in Complex Domains,” Educational Psychology Review 33, no. 2 (2021): 739–62.

228. “K–8 Curriculum,” youcubed.org.

229. “Sketchnoting in the Classroom,” Verbal to Visual, n.d., https:// verbaltovisual.com/sketchnoting-in-the-classroom/.

230. A. Fernández-Fontecha, K. L. O’Halloran, S. Tan, and P. Wignell, “A Multimodal Approach to Visual Thinking: The Scientific Sketch-note,” Visual Communication 18, no. 1 (2019): 5–29, at 7, https:// journals.sagepub.com/doi/pdf/10.1177/1470357218759808.

231. Педагоги делятся практикой составления таких набросков и создают полезные ресурсы для всех; в частности, это Лаура и ее канал в социальных сетях Verbal to Visual; смотрите “Tap Into the Power of Your Visual Brain,” Verbal to Visual, n.d., https://verbaltovisual.com/an-introduction-to-visual-note-taking.

232. P. A. Mueller and D. M. Oppenheimer, “The Pen Is Mightier Than the Keyboard: Advantages of Longhand over Laptop Note Taking,” Psychological Science 25, no. 6 (2014): 1159–68.

233. A. H. Ziadat, “Sketchnote and Working Memory to Improve Mathematical Word Problem Solving Among Children with Dyscalculia,” International Journal of Instruction 15, no. 1 (2022): 509–26; K. Fernandez and J. He, “Designing Sketch and Learn:

Creating a Playful Sketching Experience That Helps Learners Build a Practice Toward Visual Notetaking (aka Sketchnotes),” Stanford Libraries Digital Stack, 2018, https://stacks.stanford. edu/file/druid: jx835yk3980/fernandez_he_sketch_and_learn.pdf.

234. M. Rohde, “Heidee Vincent Creates Sketchnotes to Help Her University Students Learn and Understand Math,” Sketchnote Army (blog), December 7, 2020, https://sketchnotearmy.com/ blog/2020/12/7/heidee-vincent-math-sketchnotes.

235. “Icons, Illustrations, Photos, Music, and Design Tools,” Icons8, n.d., https://icons8.com/.

236. “How to Learn Math for Teachers,” Stanford Online.

237. Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98.

238. Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98.

239. Boaler and Humphreys, Connecting Mathematical Ideas; C. Humphreys and R. Parker, Making Number Talks Matter (Grandview Heights, OH: Stenhouse Publishers, 2015); R. Parker and C. Humphreys, Digging Deeper: Making Number Talks Matter Even More (Grandview Heights, OH: Stenhouse Publishers, 2018).

240. M. T. Battista, “FiЇh Graders’ Enumeration of Cubes in 3D Arrays: Conceptual Progress in an Inquiry-Based Classroom,” Journal for Research in Mathematics Education 30, no. 4 (1999): 417–48.

241. J. F. Shumway, Number Sense Routines: Building Mathematical Understanding Every Day in Grades 3–5 (Grandview Heights, OH: Stenhouse Publishers, 2018).

242. Pesek and Kirshner, “Interference of Instrumental Instruction.”

243. Pesek and Kirshner, “Interference of Instrumental Instruction.”

244. C. Kieran, “A Comparison Between Novice and More-Expert Algebra Students on Tasks Dealing with the Equivalence of Equations,” in Proceedings of the Sixth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, ed. J. M. Moser, 83–91 (Madison: Univ. of Wisconsin, 1984).

245. D. Wearne and J. Hiebert, “A Cognitive Approach to Meaningful Mathematics Instruction: Testing a Local Theory Using Decimal Numbers,” Journal for Research in Mathematics Education 19 (1988): 371–84.

246. N. K. Mack, “Learning Fractions with Understanding: Building on Informal Knowledge,” Journal for Research in Mathematics Education 21 (1990): 16–32.

247. Pesek and Kirshner, “Interference of Instrumental Instruction,” 526.

248. Pesek and Kirshner, “Interference of Instrumental Instruction.”

249. M. Cordero, M. Leshin, M. Selbach-Allen, and T. LaMar, “Exploring Calculus,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed. org/exploring-calculus/.

250. “What Can Math Reveal About Our World and Ourselves?” Steven Strogatz, n.d., https://www.stevenstrogatz.com/.

251. Strogatz, Infinite Powers.

252. Strogatz, Infinite Powers, xv.

253. Strogatz, Infinite Powers.

254. “The Volume of a Lemon,” youcubed.org, n.d., https://www. youcubed.org/resources/the-volume-of-a-lemon/.

255. J. Boaler, K. Brown, T. LaMar, M. Leshin, and M. Selbach-Allen, “Infusing Mindset Through Mathematical Problem Solving and Collaboration: Studying the Impact of a Short College Intervention,” Education Sciences 12 (2022): 694, https://doi. org/10.3390/educsci12100694.

256. Cordero et al., “Exploring Calculus.”

257. Boaler et al., “Infusing Mindset,” 694.

258. “Our People,” Nk’mip Desert Cultural Centre, n.d., https://nkmi-pdesert.com/our-people/.

259. Clack, “Distinguishing Between ‘Macro’ and ‘Micro’ Possibility Thinking.”

260. Z. Hammond, Culturally Responsive Teaching and the Brain: Promoting Authentic Engagement and Rigor Among Culturally and Linguistically Diverse Students (Thousand Oaks, CA: Corwin Press, 2014).

261. “Indigenous Mathematical Art,” youcubed.org., n.d., https:// www.youcubed.org/resource/indigenous-maths-art/.

262. Примеры заданий смотрите в наших книгах для программы K–8, которые излагают масштабные идеи для каждого класса; многие педагоги-математики делятся там красивыми концептуальными задачами: “K–8 Curriculum,” youcubed.org.

263. “K. Anders Ericsson,” Wikipedia, проверено 16 декабря 2022 года, https://en.wikipedia.org/wiki/K._Anders_Ericsson.

264. Ericsson and Pool, Peak.

265. Ericsson and Pool, Peak.

266. Hecht et al., “ShiЇing the Mindset Culture.”.

267. J. Boaler, “Open and Closed Mathematics Approaches: Student Experiences and Understandings,” Journal for Research in Mathematics Education 29, no. 1 (1998): 41–62; J. Boaler, Experiencing School Mathematics: Traditional and Reform Approaches to Teaching and Their Impact on Student Learning (Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 2002).

268. Boaler, Experiencing School Mathematics.

269. Macrine and Fugate, eds., Movement Matters; L. Shapiro and S. A. Stolz, “Embodied Cognition and Its Significance for Education,” Theory and Research in Education 17, no. 1 (2019): 19–39; D. Abrahamson and A. Bakker, “Making Sense of Movement in Embodied Design for Mathematics Learning,” Cognitive Research: Principles and Implications 1, no. 1 (2016): 1–13; D. Abrahamson, “Embodied Design: Constructing Means for Constructing Meaning,” Educational Studies in Mathematics 70 (2009): 27–47.

270. K. P. Blair, M. Rosenberg-Lee, J. M. Tsang, D. L. Schwartz, and V. Menon, “Beyond Natural Numbers: Negative Number Representation in Parietal Cortex,” Frontiers in Human Neuroscience 6 (2012): 7.

271. D. L. Schwartz, J. M. Tsang, and K. P. Blair, The ABCs of How We Learn: 26 Scientifically Proven Approaches, How They Work, and When to Use Them (New York: W. W. Norton, 2016); Schwartz and Bransford, “Time for Telling”; S. Levine, “Contrasting Cases: A Simple Strategy for Deep Understanding,” Cult of Pedagogy, March 20, 2022, https://www.cultofpedagogy.com/contrast-ing-cases/.

272. Schwartz et al., ABCs of How We Learn; Schwartz and Bransford, “Time for Telling”; Levine, “Contrasting Cases.”

273. Schwartz et al., ABCs of How We Learn; Schwartz and Bransford, “Time for Telling”; Levine, “Contrasting Cases.”

274. Schwartz et al., ABCs of How We Learn; Schwartz and Bransford, “Time for Telling”; Levine, “Contrasting Cases.”

275. H. Luo, T. Yang, J. Xue, and M. Zuo, “Impact of Student Agency on Learning Performance and Learning Experience in a Flipped Classroom,” British Journal of Educational Technology 50, no. 2 (2019): 819–31; P. Wiliams, “Student Agency for Powerful Learning,” Knowledge Quest 45, no. 4 (2017): 8–15; J. Boaler and T. Sengupta-Irving, “The Many Colors of Algebra: The Impact of Equity Focused Teaching upon Student Learning and Engagement,” Journal of Mathematical Behavior 41 (2016): 179–90; J. Arnold and D. J. Clarke, “What Is ‘Agency’? Perspectives in Science Education Research,” International Journal of Science Education 36, no. 5 (2014): 735–54; J. Boaler and J. G. Greeno, “Identity, Agency, and Knowing,” Multiple Perspectives on Mathematics Teaching and Learning 1 (2000): 171.

276. J. Boaler and S. K. Selling, “Psychological Imprisonment or Intellectual Freedom?: A Longitudinal Study of Contrasting School Mathematics Approaches and Their Impact on Adults’ Lives,” Journal for Research in Mathematics Education 48, no. 1 (2017): 78–105.

277. Boaler, Experiencing School Mathematics; Boaler, “Open and Closed Mathematics.”

278. Boaler, Experiencing School Mathematics.

279. Boaler and Selling, “Psychological Imprisonment or Intellectual Freedom?”

280. G. Hatano and Y. Oura, “Commentary: Reconceptualizing School Learning Using Insight from Expertise Research,” Educational Researcher 32, no. 8 (2003): 26–29.

281. Boaler and Selling, “Psychological Imprisonment or Intellectual Freedom?”

282. M. Suri, “Declines in Math Readiness Underscore the Urgency of Math Awareness,” The 74, April 5, 2023, https://www.the-74million.org/article/declines-in-math-readiness-underscore-the-urgency-of-math-awareness/.

283. M. D. Felton, C. O. Anhalt, and R. Cortez, “Going with the Flow: Challenging Students to Make Assumptions,” Mathematics Teaching in the Middle School 20, no. 6 (2015): 342–49.

284. Выдержка из Джо “Важности борьбы” на сайте youcubed. org; “The Importance of Struggle,” youcubed.org.

285. Boaler, Mathematical Mindsets; Hecht et al., “ShiЇing the Mindset Culture.”

286. “Wolfram Mathematica,” Wolfram, n.d., https://www.wolfram.com/mathematica/.

287. “WolframAlpha,” Wolfram, n.d., https://www.wolframalpha.com/.

288. C. Wolfram, “Teaching Kids Real Math with Computers,” TED, July 2010, www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_ real_math_with_com puters?language=en.

289. “Let’s Fix Maths Education,” computerbasedmath.org, n.d., https://www.computerbasedmath.org/.

290. E. L. Bjork and R. A. Bjork, “Making Things Hard on Yourself, But in a Good Way: Creating Desirable Difficulties to Enhance Learning,” Psychology and the Real World: Essays Illustrating Fundamental Contributions to Society 2 (2011): 59–68.

291. “Carl Wieman,” Wikipedia, проверено 18 октября 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Wieman.

292. C. Wieman, “Why Not Try a Scientific Approach to Science Education?” Change: The Magazine of Higher Learning 39, no. 5 (2007): 9–15.

293. “Carl Wieman,” Stanford Profiles, n.d., https://profiles.stanford. edu/carl-wieman.

294. L. Deslauriers, E. Schelew, and C. Wieman, “Improved Learning in a Large-Enrollment Physics Class,” Science 332, no. 6031 (2011): 862–64.

295. Bryan et al., “ShiЇing the Mindset Culture.”

296. Lawyers’ Committee for Civil Rights of the San Francisco Bay Area, Held Back: Addressing Misplacement of 9th Grade Students in Bay Area School Math Classes, January 2013, https://lccrsf.org/ wp-content/uploads/HELD-BACK-9th-Grade-Math-Misplace-ment.pdf.

297. Программа 2023 Mathematics Framework, California Department of Education.

298. Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures”; Boaler, “Open and Closed Mathematics.”

299. Drew, “Why Science Majors Change Their Minds.”

300. S. Clivaz and T. Miyakawa, “The Effects of Culture on Mathematics Lessons: An International Comparative Study of a Collaboratively Designed Lesson,” Educational Studies in Mathematics 105, no. 1 (2020): 53–70.

301. Deslauriers et al., “Measuring Actual Learning”; Kapur, “Productive Failure in Learning Math”; Schwartz et al., “Practicing Versus Inventing,” 759; Schwartz and Bransford, “Time for Telling.”

302. Deslauriers et al., “Improved Learning.”

303. Boaler et al., “Transformative Impact,” 512.

304. Алексей – senior lecturer в Эссекском университете; в США этой должности соответствует профессор. [Должность senior lecturer (буквально – «старший лектор») примерно соответствует нашему доценту. Аналог в североамериканской системе – ассоциированный профессор (нечто среднее между ассистент-профессором и полным профессором). – Прим. пер.].

305. I. Daly, J. Bourgaize, and A. Vernitski, “Mathematical Mindsets Increase Student Motivation: Evidence from the EEG,” Trends in Neuroscience and Education 15 (2019): 18–28.

306. Daly et al., “Mathematical Mindsets Increase Student Motivation.”

307. A. L. Campbell, M. Mokhithi, J. P. Shock, “Exploring Mathematical Mindset in Question Design: Boaler’s Taxonomy Applied to University Mathematics,” in REES AAEE 2021 Conference: Engineering Education Research Capability Development, 980–88 (Perth, WA: Engineers Australia, 2021).

308. “Sol Garfunkel,” Wikipedia, n.d., https://en.wikipedia.org/wiki/ Sol_Garfunkel.

309. Смотрите сайт организации Consortium for Mathematics and Its Applications, https://www.comap.com/.

310. Смотрите “The Mathematical Contest in Modeling (MCM) / The Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM),” Consortium for Mathematics and Its Applications, https://www.comap.com/ contests/mcm-icm.

311. Смотрите сайт международных математических олимпиад https://www.imo-official.org/.

312. Boaler, “Paying the Price for ‘Sugar and Spice.’”

313. A. K. Whitney, “Math for Girls, Math for Boys,” Atlantic, April 18, 2016, https://www.theatlantic.com/education/archive/2016/04/ girls-math-international-competition/478533/.

314. “William Lowell Putnam Mathematical Competition,” Wikipedia, проверено 1 октября 2023 года, https://en.wikipedia.org/ wiki/William_Lowell_Putnam_Mathematical_Competition

315. “William Lowell Putnam Mathematical Competition,” Mathematical Association of America, n.d., https://www.maa.org/ sites/default/files/pdf/Putnam/Competition_Archive/List%20 of%20Previous%20Putnam%20Winners.pdf.

316. J. Boaler, M. Cordero, and J. Dieckmann, “Pursuing Gender Equity in Mathematics Competitions: A Case of Mathematical Freedom,” MAA Focus (February/March 2019), http://digitaledi-tions.walsworthprintgroup.com/pub lication/?m=7656&l=1&i= 566588&p=18&ver=html5.

317. Смотрите Consortium for Mathematics and Its Applications, https://www.comap.com/contests/mcm-icm.

318. Boaler et al., “Pursuing Gender Equity.”

319. Boaler et al., “Pursuing Gender Equity.”

320. T. Grandin, Visual Thinking: The Hidden GiVs of People Who Think in Pictures, Patterns, and Abstractions (New York: Penguin, 2022).

321. S. M. Iversen and C. J. Larson, “Simple Thinking Using Complex Math Vs. Complex Thinking Using Simple Math – A Study Using Model Eliciting Activities to Compare Students’ Abilities in Standardized Tests to Their Modelling Abilities,” ZDM 38 (2006): 281–92; Boaler et al., “Studying the Opportunities.”

322 Anderson et al., “Achieving Elusive Teacher Change,” 98.

323. “Tai-Danae Bradley,” youcubed.org, n.d., https://www.youcubed. org/resources/tai-danae-bradley/.

324. “Research Articles,” youcubed, n.d., https://www.youcubed.org/ evidence/research-articles/.

325. Boaler, “Promoting ‘Relational Equity.’”

326. Boaler and Greeno, “Identity, Agency, and Knowing,” 171.

327. Boaler and Greeno, “Identity, Agency, and Knowing.”

328. Boaler and Sengupta-Irving, “The Many Colors of Algebra.”

329. Cheng, “What If Nobody Is Bad at Maths?”; E. Cheng, Is Math Real? How Simple Questions Lead Us to Mathematics’ Deepest Truths (New York, Basic Books, 2023).

330. “The Interactive Mathematics Program (IMP),” Activate Learning, n.d., https://activatelearning.com/interactive-mathematics-program-imp/.

331. Grandin, Visual Thinking.

332. Boaler, “Crossing the Line.”

333. Boaler and Staples, “Creating Mathematical Futures.”

334. Boaler, “Open and Closed Mathematics.”

335. Boaler, “Crossing the Line.”

336. “Tucker Carlson,” Wikipedia, проверено 20 октября 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Tucker_Carlson.

337. A. Oksanen, M. Celuch, R. Latikka, R. Oksa, and N. Savela, “Hate and Harassment in Academia: The Rising Concern of the Online Environment,” Higher Education 84 (2022): 541–67, https://doi. org/10.1007/s10734-021-00787-4.

338. M. V. Valero, “Death Threats, Trolling, and Sexist Abuse: Climate Scientists Report Online Attacks,” Nature, April 6, 2023, https://www.nature.com/articles/d41586-023-01018-9.

339. J. V. Chamary, “Wikipedia’s 100 Most Controversial People,” Forbes, January 25, 2016, https://www.forbes.com/sites/jvcham-ary/2016/01/25/wikipedia-people/?sh=5522df036ffb.

340. “Jo Boaler,” Wikipedia, проверено 14 августа 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Jo_Boaler.

341. L. S. Shulman, “PCK: Its Genesis and Exodus,” in Re-Examining Pedagogical Content Knowledge in Science Education, 13–23 (Oxfordshire, UK: Routledge, 2015).

342. D. L. Ball and D. K. Cohen, “Developing Practice, Developing Practitioners: Toward a Practice-Based Theory of Professional Education,” Teaching as the Learning Profession: Handbook of Policy and Practice 1 (1999): 3–22.

343. J. Boaler, “Educators, You’re the Real Experts. Here’s How to Defend Your Profession,” Education Week, November 3, 2022, https:// www.edweek.org/teaching-learning/opinion-educators-youre-thereal-experts-heres-how-to-defend-your-profession/2022/11.

344. L. A. Santos, J. G. Voelkel, R. Willer, and J. Zaki, “Belief in the Utility of Cross-Partisan Empathy Reduces Partisan Animosity and Facilitates Political Persuasion,” Psychological Science 33, no. 9 (2022), https://doi.org/10.1177/09567976221098594.

345. I. Manji, Don’t Label Me: An Incredible Conversation for Divided Times (New York: St. Martin’s Press, 2019).

346. J. Little, The Warrior Within: The Philosophies of Bruce Lee (New York: Chartwell Books, 2016).

347. Boaler, Limitless Mind.

348. G. Lukianoff and J. Haidt, The Coddling of the American Mind: How Good Intentions and Bad Ideas Are Setting Up a Generation for Failure (New York: Penguin, 2019).

349. Boaler, “Crossing the Line.”

350. “An Example of a Growth Mindset K–8 School,” youcubed. org, n.d., https://www.youcubed.org/resources/an-example-of-a-growth-mindset-k-8-school/.

351. C. Trungpa, Shambhala: The Sacred Path of the Warrior (Boulder, CO: Shambhala Publications, 2009).

352. “Bruce Lee,” Wikipedia, проверено 17 октября 2023 года, https://en.wikipedia.org/wiki/Bruce_Lee.

353. Little, Warrior Within, xxii.

354. K. Danaos, Nei Kung: The Secret Teachings of the Warrior Sages (New York: Simon and Schuster, 2002).

355. Little, Warrior Within, xxii.

356. Trungpa, Shambhala, 262.

357. K. P. Ellison, Untangled: Walking the Eightfold Path to Clarity, Courage, and Compassion (New York: Balance Books, 2022), 62.