С Новым годом! «Новый год!» — слышится теперь[45] со всех сторон. Но мы как‐то обыкновенно не вдумываемся в эти слова, не вникаем в их смысл; а между тем поучительно разобрать содержание этого понятия, задать себе вопрос: что, собственно, означает слово «год»? Обыкновенно год определяют как тот промежуток времени, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Но едва ли год был бы уже в глубокой древности единодушно принят всеми народами за нормальную меру времени, если бы все значение его ограничивалось одним этим, если бы он не имел гораздо более близкого отношения ко всей той обстановке, в которой всегда жил и продолжает жить человеческий род. Не следует забывать, что в то время как

на поверхности этого шара безостановочно протекает целый ряд разнообразнейших явлений, в которых проявляется и выражается жизнь обитаемой нами планеты. Год обнимает некоторый определенный, законченный цикл земных явлений. Сложный аккорд метеорологических факторов, составляющий то, что мы называем погодой, бесконечно варьирует во всех своих элементах в продолжение одного года, а по прошествии этого промежутка времени снова начинает обычный круг своих изменений. Параллельно с колебаниями температуры, влажности, осадков, напряжения атмосферного электричества и бесчисленного множества других метеорологических элементов изменяется и растительный мир: медленно пробуждаясь от долгого сна, он постепенно развивается, достигает пышного расцвета, образует почки и цветы, дает плоды и оставляет семена; исполнив свой годовой урок, он снова замирает, — и таким образом завершает один круг. Вслед за растениями и животный мир, теснейшим образом связанный с ними невидимой сетью сложных взаимоотношений, совершает также свой годовой круг, как бы вторя вместе с ними отдаленному эху властного аккорда климатических явлений.

Так происходит в каждой отдельной точке нашей планеты. Но и в жизни земного шара как одного целого нетрудно проследить этот годовой цикл явлений. В марте месяце Солнце пересекает экватор и переходит в северное полушарие, — и следом за его живительными лучами распространяется мощная волна зеленого океана; вместе с ней появляются бродячие животные и перелетные птицы, привлекаемые теплом и кормом; насекомые — эти важнейшие по своей многочисленности представители земной фауны — целыми мириадами населяют все уголки зеленого царства. С концом лета, когда Солнце поворачивает в южное полушарие, физиономия нашей части планеты изменяется; победоносное шествие света и тепла останавливается, и все разнообразие растительного и животного мира переселяется на юг, неизменно следуя за своим лучезарным путеводителем — Солнцем. Словом, в жизни обитаемого нами земного организма год — это как бы один удар его могучего пульса.

Мы так свыклись, сроднились с этой однообразной периодичностью совершающихся вокруг нас явлений, что непосредственно связываем с ней даже наше представление о скорости течения времени. Если бы Земля обращалась вокруг Солнца в меньший промежуток времени, то тот же цикл явлений должен был бы уложиться в более тесные пределы; явления совершались бы скорее, ход жизни был бы лихорадочнее, и само время протекало бы для нас быстрее.

Достаточно знать одну только голую цифру времени обращения вокруг Солнца для любой планеты, чтобы составить себе некоторое представление об интенсивности жизни на ее поверхности, о ее, так сказать, темпераменте; энергичная, быстрая, торопливая в мирах с коротким периодом обращения жизнь развивается вяло, медленно, бледно на планетах, требующих более или менее длинного промежутка времени для полного оборота вокруг Солнца.

Оставим теперь мысленно наш маленький земной шар и предпримем экскурсию по таинственным областям Вселенной. Вот перед нами Юпитер — раскаленный гигантский шар, более всех остальных своих братьев напоминающий породившее его Солнце. Год его равен почти 12 нашим годам, и соответственно этому и жизнь, которая разовьется в будущем на этой еще не совсем остывшей планете, будет гораздо менее быстрая, энергичная, нежели у нас. Еще более вялая, медленная жизнь может существовать на Сатурне и Уране, особенно же — на последней планете нашей системы, Нептуне[47]: в сто шестьдесят четыре года он совершает всего лишь один оборот вокруг Солнца. Растяните наш год на полтора века — и вы составите себе представление об убийственно медленном ходе времени на этом заброшенном мире, где даже Солнце светит немногим ярче обыкновенной звезды и, вероятно, нисколько не влияет на течение его убогой органической жизни.

Еще шаг — и мы очутимся в области беспредельного звездного мира, образующего осыпанный блестящею пылью величественный небесный свод.

Правда, скачок не мал. Знаете ли вы, как удалена от нас хотя бы ближайшая неподвижная звезда? Длинные ряды цифр мало пояснят дело, и мы обратимся лучше к примеру. Положим, что вы находитесь в Москве, в своей комнате. Пусть этот мяч посредине комнаты изображает Солнце; в трех шагах от него вы помещаете нашу Землю. Как вы думаете — где при таком масштабе придется поставить ближайшую звезду? Приблизительно на расстоянии Петербурга!

А ведь это только самая близкая к нам звезда. Вот по какому плану построена Вселенная!

Итак, перенесемся мысленно через эту невообразимо громадную пустыню в неведомую звездную даль, к тем многочисленным обителям дома нашего всеобщего Отца, которые так кротко манят нас чарующим светом своих лучей. Вот оно — загадочное, далекое, величественное небо! Какая страшная тишина, какое невообразимое спокойствие должно царить в этих глубинах бесконечности. Проходят годы, века, тысячелетия, десятки тысячелетий — а оно по-прежнему сияет над миром, как сияло, вероятно, и в первый день созданья. Одинокие солнца, рассыпанные на громадных расстояниях друг от друга, неизменно горят там, неподвижно вися в эфирном океане[48]. Какое страшное, мертвое молчание, какое подавляющее спокойствие! И не чудится ли, что в этих беспредельных холодных пустынях замерло, остановилось и само течение времени?

Годы, столетия, вся историческая жизнь человечества — все это лишь один ничтожный момент в сравнении с вечной, необъятной жизнью Вселенной. В то мимолетное мгновение, каким на часах вечности является наша эфемерная человеческая жизнь, нельзя заметить никакой перемены в звездном небе, которое поэтому и кажется нам неподвижным, мертвым, неизменным.

И только путем тщательных, кропотливых исследований в продолжение целых веков нам удалось обнаружить и постичь скрытую от нас жизнь Космоса.

И оказалось, что Вселенная — воплощенное движение. Каждое светило переносится в пространстве с такой непостижимой быстротой, которая в несколько часов совершенно изменила бы вид звездного неба, если бы звезды не были удалены от нас на громадные расстояния. Как странно звучат после этого слова «неподвижная звезда» в применении к солнцам, подвижнее которых мы ничего не можем себе и представить! Трудно даже вообразить этот колоссальный вихрь небесных светил, эту непостижимую пляску миров, этот настоящий дождь гигантских огненных капель, бешено несущихся в эфире и прорезающих мировое пространство в самых разнообразных направлениях.

В бесконечном пространстве мирового эфира постоянно гибнут и созидаются миры.

Человеческая мысль в недоумении останавливается перед этой непостижимой для нее картиной всеобщей жизни, тщетно ища в ней цели и смысл.

Для чего гибнут миры, для чего создаются они вновь? Куда низвергаются эти сонмища звезд, куда стремится этот вихрь мировых тел? Куда исчезают все организмы, развивающиеся и умирающие на их поверхности? И само сознание человеческое — для чего пробуждается оно из неведения и снова погружается во мрак? Кому нужен этот бесцельный круговорот вещества и силы, эта бесконечная вереница преобразований? Что за смысл в этой жизни, беспрестанно гибнущей и беспрестанно возрождающейся? В отчаянии останавливается слабый, односторонний, поверхностный человеческий ум перед этой великой тайной бытия, не видя в нем ни начала, ни конца, ни смысла, ни разумной цели. Но «неразумное Божие мудрее человеков» — и все мы верим, что в непостижимой жизни мирового целого существует некоторый высший смысл, знать который нам пока не дано.

Вернемся снова к покинутой нами Земле. С самого момента своего рождения она неизменно вращается вокруг Солнца. Но разве она кружится на одном и том же месте, разве с каждым оборотом она повторяет свой старый путь? Рассмотрим ее движения. Обращаясь вокруг Солнца, она вместе с ним переносится в пространстве. Из года в год совершая свои круги, она еще ни разу не повторяла старого; она движется, в сущности, по виткам спиральной линии, и с каждым оборотом подвигается вперед на один шаг винтового хода. Не то же ли замечается и во всех, по-видимому, однообразных и повторяющихся явлениях земного шара? Природа ежегодно оживает, развивается, достигает пышного расцвета и затем постепенно снова замирает — но разве из года в год она повторяет одно и то же? Вглядитесь повнимательнее в ее явления — и вы поймете, что подобно тому, как весь земной шар, совершая круги, движется вместе с тем и поступательно, так и органическая жизнь в ее однообразно-периодическом течении также с каждым разом делает незаметный шаг вперед. Движение это остается скрытым от мимолетного взора человека, и потребовался весь гений Ламарка[49], Уоллеса[50], Дарвина[51], Спенсера[52] и целого ряда других выдающихся умов, чтобы хотя бы отчасти раскрыть, ощутить этот ускользающий от нашего наблюдения поступательный ход органического мира. Разве из кровавой, не знающей пощады и примирения борьбы за существование, которую с самого появления своего на Земле и явно, и скрыто, беспрестанно и неослабно ведут друг с другом все живые существа, — разве из этой слепой вражды не создается прогресс? Разве продуктом ее не являются более совершенные сравнительно с прежними организмы? Разве, последовательно развиваясь в этой борьбе, не произошли из первоначальных жалких созданий такие разумные и совершенные существа, как люди, несущие в себе образ и подобие Божие? По ступеням эволюционной лестницы мудрые законы природы ведут нас сквозь мрак и страдания в неведомую, туманную, но светлую, лучезарную даль будущего. Из варварской борьбы, из мелких эгоистических стремлений, из грубого племенного инстинкта родились самые бескорыстные порывы души, самые возвышенные нравственные чувства.

Смерть и гибель, страдания и стоны, борьба и эгоизм, тьма и зло — все это, подчиняясь чудесным божественным законам, служит торжеству доброго начала, претворяется в дивную гармонию высшего усовершенствования!

В настоящее время криминалистика с успехом пользуется услугами целого ряда наук и технических искусств: физики, химии, медицины, микроскопии, фотографии; подчас ей приходится даже обращаться к астрономам, когда речь идет о правильной ориентировке на местности или точном определении времени какого‐либо происшествия.

Но особенно полезным вспомогательным средством при раскрытии разного рода преступлений является фотография. Почти ничто не в состоянии укрыться от зоркого и неподкупного стеклянного ока фотографической камеры, и там, где наш глаз не замечает ничего подозрительного, фотографический снимок, надлежащим образом приготовленный, часто открывает много интересных и важных подробностей. Фотография, например, положительно незаменима в тех случаях, когда возникает подозрение о подлоге документов.

Мы приводим ниже несколько любопытных примеров подобного рода. Рис. 1 изображает обыкновенным образом снятую фотографию простой расписки в получении денег; квитанция удостоверяет, что в июне 1900 г. должник уплатил 765 марок. А между тем лицо, выдавшее квитанцию, утверждает, что в его конторских книгах за июнь 1900 г. значится, что должник внес всего 55 марок. Рассматриваемая даже самым внимательным образом, квитанция не представляет ничего такого, что могло бы возбудить хотя бымалейшее подозрение.

Каждому из наших читателей приходилось, конечно, слышать, что существуют кажущиеся «истины», к которым приходишь, по-видимому, вполне логическим путем, но которые тем не менее заключают в себе явное противоречие: вывод опровергает ту мысль, из которой мы исходили. Многие из подобных противоречивых истин, или парадоксов, ведут свое начало с глубокой древности и являются иногда чуть ли не единственным наследием, оставленным нам знаменитыми в свое время греческими софистами. Весьма любопытно собрать вместе некоторые из подобных парадоксов и рассмотреть, что они представляют собой при свете логического анализа.

Кому из нас не случалось читать, слышать или самому произносить сотни раз фразу: «Нет правила без исключения»? Однако не всем приходила мысль спросить: «А это правило само имеет исключения?» Ведь раз оно правило, то, согласно самому себе, также должно иметь исключения: но если допустим, что оно не свободно хотя бы от одного исключения, то, стало быть, есть же такое правило, которое не имеет исключения. Отсюда вывод: «есть правило без исключения», совершенно опровергающий то положение, логическим следствием которого он является. Какой‐нибудь остроумный софист древней Эллады, пожалуй, нисколько бы не был смущен таким неожиданным выводом и ответил бы нечто вроде следующего: «Да, конечно, правило „нет правила без исключения“ имеет одно исключение; это исключение — оно само, так как не имеет ни одного исключения». Но нам нет никакой надобности прибегать к такой блестящей изворотливости; вместо того, чтобы нагромождать один парадокс на другой, обратимся к простой здравой логике. Противоречие вызвано здесь слишком широким пониманием основного положения «нет правила без исключения». Под правилом разумеют обыкновенно известного рода закономерность: в природе — закономерность в ходе естественных явлений; в практической жизни — положение, руководящее нами при совершении тех или иных поступков. Правило, понимаемое в таком смысле, всегда обнимает лишь бoльшую или меньшую часть действительности и никогда не распространяется на все подчиненные ему явления. Как правило, оно, в сущности, не имеет исключений, но так как в полной чистоте оно, ввиду сложности обнимаемых им явлений, почти никогда не может быть применяемо, то часто представляет кажущиеся исключения.

Точно так же обстоит дело и с тем давно известным логическим кругом, в который мы попадаем благодаря признанию одного критянина, что «все критяне лгуны». Но так как он сам при этом сказал правду, то, следовательно, опровергал свои собственные слова и оказывался таким образом лгуном, что снова оправдывает высказанное им мнение, и т.д. Мы могли бы продолжать подобное рассуждение до бесконечности и приходили бы постоянно к тому заключению, что критянин или сам солгал и, таким образом, высказал правду, или же сказал правду — и, следовательно, солгал. Причина логического круга лежит здесь в самом понятии слова «лгун». Если под этим словом разуметь человека, который абсолютно никогда, ни при каких условиях не говорил правды, то, конечно, этим опровергается возможность того, чтобы он сам себя назвал лгуном. К счастью, подобные экземпляры в жизни не встречаются; обыкновенно же лгунами мы называем людей, которые хотя и часто, но все же не при каждом слове говорят неправду, — и, таким образом, внутреннее противоречие в только что разобранном случае сглаживается.

Иного рода логическая ошибка имеется в следующем, не менее древнем парадоксе. Перед нами насыпана куча зерен. Я убираю одно зерно — и куча, разумеется, остается тем, чем была, — кучей. Я продолжаю убирать зерно за зерном, и когда наконец будет убрано примерно 200 зерен, то останется уже не куча, а просто 10–15 штук отдельных зерен. Неужели же, следовательно, удаление одного-единственного двухсотого зернышка достаточно, чтобы лишить все оставшееся количество характера кучи? И обратно: неужели прибавление одного зерна к 10–15 другим зернам достаточно, чтобы превратить эту горсть в целую кучу?

Понятие «куча» не заключает в себе ничего определенного, безусловного, и ни в каком случае не зависит от одного лишь числа составляющих ее элементов. Составные элементы кучи, в рассматриваемом случае — зерна, должны тесно прилегать один к другому, образовать определенную коническую поверхность, без всякого порядка лежать друг на друге и находиться в таком числе, чтобы их нельзя было сосчитать одним взглядом. При каком числе составных элементов эти условия уже не имеют места, при каком возникают вновь — нельзя, конечно, установить даже более или менее приблизительно; но, принимая во внимание вышеизложенное содержание понятия «куча», мы не имеем оснований видеть что‐либо невероятное в том, чтобы одно зерно в состоянии было произвести подобную перемену. Ведь если рассуждать так, то следовало бы удивляться также и тому, что 99 сантиметров еще не составляют метра, а присоединение одного лишнего сантиметра выполняет это условие, хотя этот сантиметр ничем не лучше остальных; на самом же деле у него есть одно преимущество — то, что он именно сотый, что присоединяют его не к 20 и не 50, а именно к 99 предшествовавшим. И выходит, что присутствие или отсутствие этого сотого сантиметра решает, так сказать, судьбу целого метра.

Обратимся теперь к разбору трех сходных друг с другом парадоксов, разрешение которых представляет уже несколько бoльшие затруднения.

Например, знаменитый «крокодиловый софизм», о котором, как гласит предание, Хризипп[53] написал целых шесть томов и на котором несчастный Филет[54] сошел с ума. Египтянка к величайшему своему ужасу заметила однажды, что ребенок ее, еще только что беззаботно резвившийся на цветущем лугу нильского берега, барахтается в крокодиловой пасти. Мать стала умолять чудовище возвратить ей дитя. Крокодил отвечал, что он не тронет ребенка, если она угадает, что он с ним сделает. «Ты мне не возвратишь дитя!» — воскликнула мать в ответ на его предложение. За этим последовал такого рода диалог. Крокодил: «Сказала ли ты правду или нет — во всяком случае ты ребенка уже не получишь. Если ты права, то ребенок, конечно, будет съеден; если же ты неправа, то он мой по уговору». Мать: «А я полагаю как раз противное: если я права — то ребенок мой по уговору; если же я солгала, т.е. ты мне его возвратишь, то ясное дело, что он будет у меня».

По делу Протагора и его ученика суд вынес такой приговор: процесс решается в пользу Квантлуса, но за Протагором удерживается право опять начать процесс на новом основании именно потому, что Квантлус выиграл свой первый судебный процесс — и тогда ученик уже несомненно будет приговорен к уплате долга. Если же рассуждать логично, то следовало просто испытать, в какой мере учитель исполнил свое дело, и соответственно успехам ученика присудить его к уплате гонорара или освободить. Ведь вся путаница произошла только от того, что первый же процесс ученика имел своим предметом уплату гонорара за обучение; выходит, стало быть, следующее: Квантлус тогда только обязан будет уплатить долг, когда он докажет перед судом, что не обязан его платить. Приблизительно в таком же роде разрешается и парадокс с крокодилом. Крокодил соглашается возвратить ребенка, если мать угадает, что он с ним сделает; но угадать ведь можно только нечто установившееся, незыблемое; крокодил же ставит будущее событие (слова египтянки) в зависимость от другого будущего события (его поступка с ребенком), которое само определяется первым (так как крокодил принимает решение уже после того, как мать высказала свое предположение).

Одним из наиболее любопытных парадоксов является классический парадокс Зенона[55] о том, что Ахилл не в состоянии догнать черепаху. Над разрешением его немало трудились в течение тех двух тысяч лет, которые протекли со времени его появления. Для большей ясности мы несколько упростим данные задачи. Условия состязания следующие: Ахилл, передвигающийся, положим, вдвое скорее черепахи и проходящий один шаг в секунду, находится от нее на расстоянии всего одного шага. И вот Зенон утверждает, что даже при таких, по-видимому, выгодных условиях быстроногий Ахилл не догонит черепаху. Действительно: в то время как Ахилл сделает один шаг, черепаха передвинется на полшага вперед; Ахилл пройдет эти полшага — черепаха отодвинется еще на ​¼ шага; в то время как Ахилл успеет пройти и эту ​¼ шага, черепаха проползет еще ⅛ шага и т.д.; ясно, что черепаха всегда будет на некоторую, хотя бы и незначительную долю шага впереди Ахилла. На первый взгляд оно так и кажется, но стоит приступить к решению той же задачи иным путем — и сейчас же станет ясно, в чем тут дело. Определим, сколько времени нужно Ахиллу, чтобы нагнать черепаху. Расстояние между состязающимися — 1 шаг; с каждой секундой расстояние это уменьшается на 1–½ = ½ шага; следовательно, оно обратится в нуль, т.е. Ахилл догонит черепаху, только спустя 1: ½ = 2 секунды; итак, по крайней мере две секунды нужны Ахиллу, чтобы догнать черепаху.

А сколько дается ему времени в рассматриваемом случае? Нетрудно сосчитать.

Ахилл пройдет 1 шаг + ½ шага + ​¼ + ⅛ и т.д.; в алгебре доказывается, что этот ряд стремится к определенному пределу, равному 2, но никогда, однако, не достигает его; следовательно, мы отводим Ахиллу столько времени, в течение которого он едва успевает пройти два шага, т.е. менее двух секунд. Но, как мы уже знаем, ему необходимо по крайней мере две секунды, чтобы догнать черепаху, и теперь вполне понятно, почему он не может догнать черепаху: ему дано слишком мало времени. Таким образом, парадокс Зенона должен быть высказан в следующей форме: Ахилл не догонит черепаху, если мы не дадим ему достаточный для этого промежуток времени. А при таких условиях уже совершенно ясно, где скрывается неправильность в этом пресловутом парадоксе.

Несколько недель тому назад[56] в г. Дармштадте скончался немецкий математик Пауль Вольфскель[57], оставивший Геттингенскому научному обществу довольно необычайное завещание. А именно, он завещал обществу капитал в 100 000 марок с тем, чтобы деньги эти были выданы в качестве премии за доказательство так называемого «великого предложения Ферма»[58]– теоремы, до сего времени остававшейся недоказанной.

Речь идет вот о какой теореме. Сумма квадратов двух чисел довольно часто также является точным квадратом: так, 6²+ 8²= 10²

и т.п. Но сумма кубов двух чисел никогда не бывает кубом какого‐либо числа; точно так же сумма четвертых, пятых и т.д. степеней какого‐ либо числа. В этом и состоит теорема Ферма: сумма двух одинаковых степеней (за исключением вторых) не может быть тою же степенью. За строгое доказательство этой истины и предлагается теперь сто тысяч марок.

Дети, впервые обучаемые счету, часто задают своим учителям вопрос: «Почему три обозначается знаком 3, а пять — знаком 5?» Мы обыкновенно считаем подобные вопросы праздными, однако здесь есть над чем призадуматься и взрослому. В самом деле — откуда наши цифры получили свои современные начертания, почему они обозначаются именно такими, а не иными знаками? Должна же быть какая‐нибудь естественная причина, и отчего бы не попытаться отыскать ее?

Среди отрывков и мелких заметок А. С. Пушкина есть между прочим такое замечание, прямо отвечающее на наш вопрос:

Трудно сказать, собственная ли это догадка нашего поэта или заметка выписана им из какого‐нибудь источника, но несомненно, что догадка эта совсем неудачна.

Правда, получающиеся по предлагаемому способу фигуры действительно весьма сходны с начертаниями арабских и римских цифр. Но дело ведь не в том, чтобы найти узор, из которого можно было бы получить начертания цифр. Весь вопрос о происхождении цифр заключается в том, чтобы объяснить, почему они имеют именно то, а не иное начертание. И если принять «объяснение» Пушкина, то все же останется непонятным, почему же собственно все цифры — и римские, и арабские — заимствовали свои формы как раз из указанной им фигуры, а не из какой‐нибудь другой. Ведь основная фигура — круг со вписанным в него квадратом — не имеет никакого отношения к числу и счету.

Поэтому приходится оставить эту остроумную, но ничего не объясняющую догадку и искать объяснения совсем в другом направлении. В настоящее время существует довольно удовлетворительное объяснение странных форм наших цифр, и с этим объяснением мы и постараемся познакомить читателей. Начнем с римских цифр, которые, несмотря на всю свою громоздкость и неудобство, были во всеобщем употреблении в Европе вплоть до XIV–XV столетия, когда они были вытеснены арабскими. Но эти цифры все же, как увидим ниже, гораздо моложе своих восточных заместителей, и вот почему в них легче открыть следы их естественного происхождения. Как известно, пальцы рук играли огромную роль в развитии счета: достаточно напомнить, что десятичная система счисления обязана своим происхождением десяти пальцам наших рук; да разве и теперь мы сплошь и рядом не прибегаем к их помощи при счете? Поэтому вполне естественно ожидать, что и сами начертания цифр так или иначе связаны с пальцами. И действительно, для римских цифр это очень легко доказать. Вот перед нами ряд римских цифр: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X.

(Для цифры «четыре» мы берем прежнее обозначение IIII вместо нынешнего IV; знак IIII приходится, впрочем, еще и теперь часто видеть на старых стенных часах.)

Ясно, что I означает один палец, II — два пальца и т.д. до V. Эта последняя есть не что иное, как растопыренная ладонь, сокращенно обозначенная обоими крайними пальцами — большим и мизинцем. Далее, VI есть ладонь и еще один палец, т.е. пять + единица. VII — ладонь и два пальца, VIII — ладонь и три пальца, X — две сросшиеся римские пятерки. Наконец, IX — десятка без единицы: если единица, поставленная справа, прибавляется к ней, то та же единица, помещенная с противоположной стороны, должна отниматься; точно так же объясняется и происхождение IV — ладонь без одного пальца. Римские обозначения для высших разрядов не менее легко объяснить.

Происхождение римских цифр

L — пятьдесят — видоизмененное V. Наконец, C и M — для ста и тысячи — суть начальные буквы слов centum и mille. Обозначение D для пятисот иного происхождения — это половина другого обозначения для тысячи CIC.

Итак, римские цифры суть не что иное, как упрощенные рисунки пальцев рук в их различных положениях. Но каково же происхождение общеупотребительных арабских цифр? Оказывается, что они произошли совершенно тем же путем, но установить генеалогию будет гораздо труднее.

Прежде всего заметим, что сами арабы не изобрели своих цифр, а переняли их от своих восточных соседей — индусов. От тех же индусов переняли обозначения цифр и китайцы. Первоначальные индийские начертания цифр, послужившие образцом для арабов и китайцев, до нас не дошли, и мы не знаем, какую форму они имели. Но если задаться вопросом, какие цифры ближе к своему прототипу — наши ли (т.е. арабские) или китайские, то долго думать над ответом не придется. «Недвижный Китай», консервативность которого вошла в поговорку, конечно, лучше сохранил первоначальные начертания цифр, нежели пылкий, подвижный араб. Поэтому, если искать сходства цифр с пальцами рук, то надо брать в основу не арабские цифры, сильно измененные, а более близкие к прототипу китайские цифры.

Происхождение китайских цифр

Мы так и поступим. Вот перед нами современные обозначения китайских цифр от единицы до десяти:

С первого взгляда может показаться, что никакого сходства между ними и нашими цифрами нет. Но это только кажется; при более же внимательном рассмотрении нетрудно убедиться в их кровном родстве. Надо только принять в соображение, что мы пишем перьями, а индусы и китайцы чертят палочками: в этом различии орудий письма кроется весь секрет видоизменения старинных цифр в современные. Действительно, попробуйте вырисовывать пером изображенные выше китайские цифры — вы сразу убедитесь, что скоропись требует видоизменения их в духе арабских цифр. Горизонтальные штрихи очень удобно делать палочкой, но очень неудобно выписывать пером; поэтому в арабских начертаниях они либо сокращены, либо заменены полукруглыми или вертикальными. Только цифры 8 и 9 утратили почти всякое сходство с китайскими.

Итак, нам остается теперь объяснить происхождение китайских цифр, этих оталенных праотцов современных арабских. Римские цифры изображают вертикальные пальцы, китайские изображают пальцы горизонтальные. Таким образом, происхождение китайских цифр 1, 2, 3 объясняется крайне просто. Цифра четыре, как нетрудно видеть, весьма сходна с римской IIII и произошла из фигуры четырех пальцев, или, еще вероятнее, от кулака с загнутым к ладони большим пальцем. Объяснить происхождение китайской пятерки также нетрудно — это очертания человеческого кулака: сходство станет еще больше, если в сжатом кулаке выставить вперед мизинец (см. рис.). Кстати заметим, что и в наши дни школьники при «подсказывании» пользуются этим китайским обозначением: если им надо подсказать 13, они показывают два сжатых кулака и затем три пальца.

Обозначение шестерки у китайцев значит ладонь и еще один палец; первоначально оно, вероятно, имело такое начертание:

лишь впоследствие перешедшее в современное китайское, где от всей ладони, как и в римской пятерке, сохранились лишь крайние пальцы — большой и мизинец. Происхождение китайской семерки и восьмерки трудно объяснить без большой натяжки — по всей вероятности, эти знаки уж слишком удалились от своего древнеиндийского прототипа, — это явствует также и из того, что арабская восьмерка совсем не похожа на китайскую. Зато китайская десятка совершенно тождественна с римской — это то же X, только лежачее. А китайская девятка есть знак десяти с обозначением: единицу скинуть. Но римляне пишут слева направо; поэтому у них единица, поставленная вправо от основного знака, прибавляется к нему; китайцы же пишут наоборот — справа налево, и для прибавления они ставят единицу слева, а для вычитания — справа от основного знака; теперь нам вполне понятно, откуда произошло китайское обозначение цифры 9. Наша «естественная история цифр» исчерпана, и нельзя не призадуматься над неожиданным и поучительным результатом этого исследования.

Мы видим, что сквозь очертания цифр глядит на нас седая, многовековая древность; каждый штрих говорит о жизни наших полудиких предков, прибегавших к грубому, примитивному счету на пальцах. И мы, в сущности, сами того не подозревая, делаем то же, что и они, изображая числа фигурами пальцев в разных положениях.

Настоящий снимок, сделанный 11 октября 1909 г. старшим астрономом Пулковской обсерватории С. К. Костинским[66], любезно предоставлен обсерваторией в распоряжение редакции «Природа и люди». Экспозиция длилась два часа. При фотографировании инструмент (астрограф) все время точно направлялся на комету, движущуюся между звездами; поэтому звезды вышли на снимке в виде черточек, величина и направление которых изображают путь, пройденный кометой за время экспозиции (в данном случае около четверти видимого диаметра Луны).

Что может быть точнее, определеннее цифр? И в то же время как часто эти цифры угрюмо молчат, ничего не говоря нашему уму, тая глубоко в себе скрытое в них знание. В таких случаях нужно уметь заставить цифры говорить, и лучшее средство для этого — сравнение. Надо сравнить данную цифру с другой, хорошо нам знакомой, — и мы покажем на немногих примерах, как красноречивы становятся тогда ряды голых цифр.

Из древней истории вы знаете о замечательном походе Александра Великого. Он прошел со своей армией по Европе, Африке и Азии 16 000 верст. Эта цифра — 16 000 верст — ничего не говорит вам, если не сравнивать ее с другими. Но если вам скажут, что от Петербурга до Порт-Артура всего 6500 верст, т.е. в два с половиной раза меньше, то вам сразу станет ясно, что Александр совершил нечто беспримерное. И действительно, вообразите только, что Куропаткин со своей армией двинулся к Порт-Артуру и обратно не по железной дороге, а пешком[67], — и вы ощутите всю грандиозность Александровых походов. Чингисхан, пройдя от центра Каракорума до Ольмюца, совершил переход в 7000 верст, т.е. гораздо менее, нежели Александр Македонский, Наполеон от берегов Вислы до Москвы — всего 1450 верст, а считая и обратный путь — 3000 верст. Все это бледнеет перед грандиозностью похода Александра Великого, похода, остающегося поистине беспримерным на протяжении всей истории.

Во время махдистского восстания в Африке[68] много говорили о походе английского генерала Китченера, прошедшего со своей армией от Каира до Хартума. На такое расстояние отстоит от Москвы Константинополь. Переход действительно колоссальный, но он все же в восемь раз менее похода македонского властителя!

Другой пример, опять‐таки из истории. Имеете ли вы ясное представление о величине Римской империи в эпоху расцвета ее могущества? Если вы узнаете, что расстояние между ее крайними пунктами — от Шотландии до первых Нильских порогов — равнялось 5000 верст, то эта столь определенная цифра скажет вам все же очень мало. Другое дело, если вы сравните площадь Римской империи с площадью, например, современного Китая и убедитесь, что Китай почти вдвое больше этой пресловутой империи, в которой для римлян заключался весь мир. А империя Карла Великого с удобством могла бы поместиться между реками Янтсекиангом и Гоанго[69].

Надо вообще заметить, что непосредственное сравнение карт различных материков ведет к весьма поучительным и подчас прямо неожиданным выводам. Мы привыкли видеть карту Европы в гораздо большем масштабе, нежели карты остальных частей света, — отсюда совершенно превратное представление о сравнительной величине их частей. Для многих, вероятно, будет настоящим открытием, что, например, Корея[70] почти такой же величины, как Италия, а остров Борнео по площади больше Черного моря!

Мы можем сообщить читателю целый ряд таких открытий. Остров Мадагаскар, — эта «небольшая французская колония» — больше всей Франции[71], своей метрополии. В озере Чад можно было бы утопить всю Сицилию, а озеро Танганьика, мысленно перенесенное в Европу, прорезало бы весь Балканский полуостров, простираясь от Вены до Салоникского залива. Напротив, европейские страны, перенесенные на карту других частей света, кажутся какими‐то географическими пигмеями: Скандинавский полуостров почти теряется в Сахаре, точно так же как Великобритания и Ирландия — в Южной Америке: они кажутся двумя мелкими островами в бассейне Амазонки.

Великая Китайская стена

Если бы великая Сибирская железная дорога шла вдоль северных берегов Южной Америки, начиная от перешейка, то конечный пункт ее пришелся бы как раз в Рио-де-Жанейро.

Весьма ошибочны также наши представления о картографии полярных стран — опять‐таки вследствие того, что на школьных картах мы привыкли видеть страны оттесненными к самому краю, откуда язычками высовываются лишь их жалкие кусочки. Поэтому мы думаем, например, что от Исландии, Гренландии, Нордкапа, Новой Земли — рукой подать до полюса. Ничего подобного на деле, конечно, нет. От Исландии до полюса так же далеко, как от Петербурга до Мессины (2700 верст); от Нордкапа до полюса немногим меньше того (2200 верст). От самой северной оконечности Новой Земли до полюса еще 1500 верст — ровно столько, сколько от Петербурга до Гамбурга.

Полюс удален от Берингова пролива на 2800 верст, а от южной оконечности Гренландии — на целых 3500 верст, — расстояние между Нордкапом и Неаполем! Вот вам и «рукой подать»!

Великие сооружения древности и новых времен также выступят перед нашим сознанием в совершенно ином свете, если голые цифры одеть плотью удачного сравнения.

Великая Китайская стена простирается на 3000 верст, — это пока еще ничего не говорит. Перенесите ее мысленно в Европу и попробуйте вообразить, что между Лиссабоном и Ригой тянется одна сплошная каменная стена — вот тогда вы постигнете всю колоссальность этой постройки. Другое чудо китайской техники — Императорский канал[72]– имеет 1100 верст в длину: в Европе он мог бы установить прямое сообщение Немецкого моря с Адриатическим заливом, а в Северной Америке — озера Мичиган с Мексиканским заливом. Весь Кавказский хребет имеет в длину не более этих 1100 верст.

Еще пример: пирамида Хеопса. При 66 саженях высоты она имеет в объеме 230 000 кубических саженей. Эти цифры пока еще молчат, но сейчас заговорят. Знаете ли, на скольких поездах надо было бы доставить на место весь нужный для этой постройки материал? 4500 товарных поездов по 50 вагонов в каждом! Из этого материала можно было бы вокруг всего земного шара выстроить по экватору каменный забор в сажень высоты и в 6 вершков ширины (т.е. «в один кирпич»). И все же этот колосс древности более чем вдвое ниже Эйфелевой башни, даже ниже Нью-Йорских небоскребов. А рисунок изображает ту же пирамиду рядом с исполином современной кораблестроительной техники. Вы видите, что «Мавритания» по внушительности едва ли уступает пирамиде.

Трансатлантический пароход «Мавритания» по сравнению с пирамидой Хеопса

Вообще надо заметить, что эти новейшие «плавучие города» и «плавучие крепости» — такие гиганты, что об истинных размерах их трудно даже составить себе ясное представление. Самыми большими пассажирскими пароходами знаменитой «Гамбург — Америка линии» считаются «Америка» и «Королева Августа-Виктория». Первая имеет в длину 101 сажень, в ширину 11; вторая — в длину 105 саженей, в ширину 12. Цифры эти, впрочем, ничего не скажут, если не привести подходящего сравнения. Перед нами Ульмский собор, возвышающийся на 80 саженей — постройка достаточно грандиозная; но она совершенно стушевалась бы, если бы рядом поместить «Императрицу Августу-Викторию».

Даже отдельные части этих морских колоссов поражают нас своими совершенно необычайными размерами. Достаточно сказать, что через трубу «Императрицы Августы-Виктории» с удобством может проехать целый поезд; а десять колоссальных пушек с недавно выстроенного Десять пушек броненосца уравновешивают два железнодорожных поезда броненосца «Дредноут»[73] весят столько же, сколько два полных пассажирских поезда.

Пароход «Императрица Августа-Виктория» по сравнению с Ульмским собором (101 сажень и 80 саженей)

Присвоенное этим гигантам, — с легкой руки Жюля Верна — наименование «плавучих городов» чрезвычайно метко и, пожалуй, нисколько не преувеличено. Как же иначе назвать колоссальное сооружение с сотнями кают, коридоров, зал, всевозможных кладовых, да еще с такими удобствами, которых лишены многие настоящие города не только у нас в России, но и на Западе. Около 4000 человек пассажиров и прислуги, перевозимых трансатлантическими пароходами, составляет население целого города.

Обширные пустыни океана, некогда совершенно безлюдные, теперь прорезаются во всех направлениях не менее чем сотней «плавучих городов» одновременно.

Впрочем, «гиганты лазури» обещают, по крайней мере по величине, далеко превзойти своих водяных и сухопутных коллег.

Итак, вот каким путем можно заставить цифры говорить: только посредством сравнения. Поставьте себе правилом не запоминать ни одной новой цифры без сравнения ее с другими, уже известными вам. Допустим, например, вы запомнили, что ближайшая звезда Альфа Центавра отстоит от Солнца на столько‐то и столько‐то триллионов верст; это пока еще нисколько не обогащает ваших познаний. Другое дело запомнить следующее сравнение: если лампа в вашей комнате в Москве изображает Солнце, а орех в сажени от нее — Землю, то, согласно этому масштабу, лампу — Альфу Центавра — надо было бы поместить… в Петербурге! Вот теперь вы действительно получили представление о масштабе, в котором построена звездная Вселенная.

Десять пушек броненосца уравновешивают два железнодорожных поезда

История науки полна рассказов о том, как простая случайность была причиной открытия или изобретения величайшей важности. Из целого ряда примеров подобного рода мы напомним только несколько наиболее общеизвестных.

Начнем с открытия закона Архимеда. Оно сделано было в ванне. Великий математик древности, принимая ванну, размышлял над заданной ему сиракузским царем задачей определить содержание серебра в золотой короне.

Облегчение собственного веса в воде внезапно навело его на мысль разрешить задачу о короне, определив удельный вес золота и серебра. Таким‐то образом физика обогатилась одним из важнейших своих законов.

Пять лет тому назад пишущий эти строки поместил в журнале «Природа и люди» небольшую заметку о капитале в сто тысяч марок, завещанном тому, кто докажет так называемое «великое предложение Ферма». С тех пор в редакцию стали чуть не еженедельно поступать «доказательства» этой теоремы. Ни одно из них, к сожалению, не оказалось правильным. Впрочем, математикам всего мира посчастливилось не больше, и сто тысяч марок еще по сей день остались нетронутыми. Так как редакцию часто запрашивали о судьбе этой теоремы, то считаем нелишним познакомить читателей с тем, как обстоит дело в настоящее время.

Прежде всего — напомним, в чем заключается теорема.

Известно, что можно подыскать много пар целых чисел, сумма вторых степеней которых также есть вторая степень какого‐нибудь целого числа.

Так, 3²+ 4²= 9 + 16 = 25 = 5²; 30²+16²= 34², и т.д.

СЕДОЮ древностью завещана нам мечта о чудесной шапке-невидимке, которая делает совершенно невидимым всякого, кто ее наденет. Наши народные сказки постоянно возвращаются к этому любопытному сюжету. Пушкин, ожививший в «Руслане и Людмиле» преданья старины глубокой, оставил нам классическое описание волшебных свойств шапки-невидимки:

Эта способность становиться невидимой является единственной защитой для пленной Людмилы, со всех сторон окруженной врагами. Под надежным покровом невидимости она ускользает от пристальных взоров своих сторожей.

О присутствии невидимой пленницы можно было судить только по ее действиям:

Многие заманчивые мечты древности давно уже осуществлены наукой; немало сказочных волшебств сделалось достоянием современного ученого. Эдгар По написал «1002‐ю ночь», — где перед реальными достояниями науки бледнеют все сказочные создания восточной фантазии. В наш прозаический век мы пробуравливаем горы, улавливаем молнии, летаем на коврах-самолетах… Не можем ли мы изобрести и шапку-невидимку? В дни всесветной войны, когда все усилия научной мысли, вся техническая изобретательность направлены к одной цели — одолению врага, особенно интересно остановиться на обсуждении этого оригинального способа защиты.

Проницательный автор научно-фантастических романов Герберт Уэллс давно уже сделал попытку перенести вопрос о шапке-невидимке из области мечтаний на почву положительной науки. В своем романе «Невидимый человек» он подходит к разрешению задачи невидимости с точки зрения физики. С поразительным остроумием романист убеждает нас, что человек может сделать свое тело совершенно невидимым, и наглядно показывает, как непобедимо-могуществен был бы такой невидимый человек среди миллионов своих видимых собратьев.

Под покровом невидимости герой романа Уэллса проникает в строго охраняемые помещения, внезапно появляется там, где его меньше всего ожидали, держит в смертельном страхе население целого округа, безнаказанно поражает всякую намеченную им жертву, благополучно ускользает от преследования целой толпы вооруженных людей… Он осуществляет свое могущество, не прибегая ни к каким волшебным средствам; он действует обыкновенной физической силою человека, почти без всякого оружия. Один, с голыми руками, без помощников и сообщников, он становится властелином целого округа.

«– Отныне округ уже не под властью королевы, — пишет он в приказе. — Передайте вашему полковнику, полиции и всем другим: округ под моею властью! Нынешний день — первый день первого года новой эры, эры Невидимого. Я — Невидимый Первый. Сначала мое правление будет милостиво. В первый день свершится казнь только одного человека… Пусть он запирается, пусть прячется, пусть окружает себя охраной, пусть закует себя в броню, если угодно, — смерть, невидимая смерть идет к нему. Не помогай ему, народ мой, дабы не постигла смерть и тебя…»

Эти слова не оказались пустой угрозой, — ничто не могло спасти обреченную жертву от гнева Невидимого.

В чем заключался секрет Невидимого? Каким способом этот человек мог сделать свое тело совершенно невидимым? Герой романа подробно объясняет этот способ, строго опираясь все время на законы оптики. Приведем полностью это поучительное место романа, которое является в то же время и интересной страницей из курса физики:

'– Видимость зависит от действия видимых тел на свет. Тела или поглощают свет, или отражают, или преломляют его, или же одновременно делают все вместе.

Если тело не отражает, не преломляет и не поглощает света, то оно не может быть видимо само по себе.

Так, например, вы видите непрозрачный красный ящик потому, что цвет поглощает некоторую долю света и отражает остальное, а именно все красные лучи.

Если бы ящик не поглощал некоторой доли света, а отражал бы его весь, то он был бы блестящим белым ящиком. Это было бы серебро!

Если вы положите кусок обыкновенного белого стекла в воду или, еще лучше, в какую‐нибудь жидкость, более плотную, чем вода, то вы стекла совсем почти не увидите, потому что свет, переходя из воды в стекло, преломляется и отражается очень слабо и вообще не подвергается почти никакому воздействию. Стекло в таком случае почти столь же невидимо, как струя углекислоты или водорода в воздухе. И происходит это по одинаковой причине. А вот и еще факт, хорошо известный всякому школьнику. Если разбить кусок стекла и превратить его в порошок, он становится гораздо более заметным в воздухе и превращается в конце концов в белый непрозрачный порошок. Это происходит потому, что превращение стекла в порошок увеличивает число плоскостей преломления и отражения. В стеклянной пластинке имеются всего две поверхности, в порошке же каждая крупинка представляет собой плоскость преломления и отражения света, и сквозь весь порошок проходит очень мало света.

Но если белый стеклянный порошок опустить в воду, то он почти совершенно исчезает. Стеклянный порошок и вода имеют почти одинаковый показатель преломления; это значит, что свет, переходя из одной из этих сред в другую, преломляется и отражается очень мало.

Вы делаете стекло невидимым, помещая его в жидкость с почти одинаковым с ним показателем преломления; всякая прозрачная вещь делается невидимой, если поместить ее в среду, обладающую одинаковым с ней показателем преломления.

И если вы чуточку подумаете, то вы поймете, что и стеклянный порошок можно сделать невидимым и в воздухе, если только вам удастся довести показатель преломления его до показателя преломления воздуха. Ибо в таком случае, при переходе света из порошка в воздух и обратно, он не будет ни отражаться, ни преломляться.

Сколько существует прозрачных веществ, которые вовсе не кажутся таковыми!

Бумага, например, состоит из прозрачных волокон, и если она представляется нам белой и непрозрачной, то это происходит по той же причине, по которой толченое стекло кажется нам белым и непрозрачным. Намаслите белую бумагу, заполните все поры между частицами бумаги маслом так, чтобы преломление и отражение происходило только на поверхностях, — и бумага сделается столь же прозрачной, как и стекло. И не только бумага, но и волокна хлопка, волокна льна, шерсти, дерева, а также — заметьте — кости, мясо, волосы, ногти и нервы.

Одним словом, все составные части человека, за исключением красных кровяных шариков и темного пигмента волос, состоят из прозрачной бесцветной ткани; вот как мало нужно, чтобы мы могли видеть друг друга! По большей части ткани живого существа не менее прозрачны, чем вода'.

Древние математики часто облекали задачи в стихотворную форму подобно тому, как теперь поступают составители шарад. До нас дошло, например, несколько таких стихотворных задач индийского математика XII века Бхаскары[93]. Четыре поэтических задачи из его сочинений мы приведем здесь в стихотворном переводе, заимствуемом из недавно вышедшей интересной книжки В. И. Лебедева «Кто изобрел алгебру?»:

В современном учебнике та же задача была бы редактирована не столь поэтично:

«Пятая часть пчелиной стайки опустилась на цветок кадамба; третья часть той же стайки села на симендгу; утроенная разность обеих групп села на кутай, и тогда из всей стайки осталась всего одна пчела. Сколько пчел было в стайке?» Решить эту задачу в уме, как требует индусский математик, довольно трудно. Зато письменно, с помощью уравнения, она решается весьма легко.

Обозначив искомое число пчел через x, составляем уравнение: