Шрифты предоставлены компанией «ПараТайп»

© Джеймс Уэллс, 2019

12+

ISBN 978-5-4496-4219-6

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

• Геометрия для родителей

• ПОСВЯЩЕНИЕ

• Введение

• Параллельные линии

• Многоугольники

• Треугольники

• Высота треугольника

• Биссектриса

• Свойства средней линии треугольника

• Медиана

• Перпендикулярная биссектриса

• Стороны треугольника

• Равнобедренный треугольник

• Равносторонние треугольники

• Теорема Пифагора

• Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс

• Сходство треугольников

• Равенство треугольников

• Три признака равенства треугольников

• Четырехугольники

• Параллелограммы

• Прямоугольники

• Квадраты

• Ромб

• Трапеции

• Круг и Сфера

• Теорема о вписанном угле

• Цилиндр

• Конус

• Графики. Координатная геометрия

• Линейные функции

• Угловой коэффициент прямой или наклон прямой

• Нелинейные Функции

• Парабола

• Вершина, Фокус и Директриса Параболы

• Кубическая функция

• Задачи

• Ответы и решения

• ОБ АВТОРЕ

• PHP Programming for Beginners

• The Easiest Way to Understand Chemistry

• The Easiest Way to Understand Algebra

• Просто хочется

• Книги Сергея Скудаева на Amazon.com

• C++ Programming by Example

• Learn SQL By Examples

• Visual Basic 6.0 Programming by Examples

Я хочу посвятить свою книгу моей матери, которая в детстве мечтала стать математиком. К сожалению, она не закончила школу, потому что когда ей было 15 лет, Вторая мировая война помешала ей закончить свое образование. Ей пришлось начать работать, и у нее никогда не было возможности снова пойти в школу, но она приложила большие усилия, чтобы я и мои братья получили высшее образование. Я думаю, что она была бы счастлива узнать, что моя книга по геометрии посвящена ей.

Геометрия имеет дело с точками, линиями, углами и многоугольниками.

Прямая линия в геометрии — это линия без начала и конца.

Точка может быть началом бесконечной линии, и эта линия называется лучом. Луч имеет отправную точку, но не имеет конца.

Если прямая линия имеет две конечные точки (начало и конец), она называется отрезком. Смотрите рисунок 1.

Рисунок 1. Прямая, Луч, Отрезок

Когда две или более линии пересекаются друг с другом, они образуют острые и тупые углы. Если угол меньше 90 градусов, он называется острым. Если угол больше 90 градусов, он называется тупым.

Две пересекающиеся линии образуют четыре угла. Противоположные углы называются вертикальными углами. Углы, которые имеют одну общую сторону и находятся на одной линии, называются смежными углами. Смотрите рисунок 2.

Рисунок 2. Вертикальные углы 1 и 2 равны.

Смежные углы 1 и 4 вместе образуют прямую линию и их сумма равна 180 градусов. Углы 1 и 2 на рисунке 2 тупые. Углы 3 и 4 острые.

Если угол составляет 90 градусов, он называется прямым углом. Смотрите рисунок 3.

Рисунок 3. Прямой угол

Если две линии никогда не пересекаются друг с другом, они параллельны. Вы можете увидеть символ ||, который используется для обозначения параллельных линий.

Согласно теореме Фреда, если две параллельные линии пересекают третью линию, образуются два вида углов: острые и тупые углы. Все острые углы равны и все тупые углы равны. Смежные углы составляют 180 градусов. Смотрите рисунок 4.

Figure 4. AB || CD Угол 1 = 2 = 3 = 4. Угол 5 = 6 = 7 = 8

H — точка пересечения прямых AB и EF.

Точно так же G является точкой пересечения линий CD и EF.

Углы 1 и 5 являются смежными и составляют 180 градусов.

Смежные углы: 1 и 6; 2 и 5; 6 и 2; 3 и 7; 3 и 8; 7 и 4; 8 и 4.

В геометрии углы обозначаются тремя буквами, начиная с буквы, обозначающей любую сторону угла. Угол 1 можно обозначить как AHE или EHA.

Угол 5 можно обозначить как EHB или BHE. Угол 2 можно обозначить как BHG или GHB. Угол 6 можно обозначить как AHG или GHA. Угол 8 может быть обозначен как CGF или FGC и так далее.

Есть три условия, которые доказывают, что две линии параллельны.

Первое условие: если две линии пересекаются третьей линией и два внутренних угла, смежных с третьей линией, составляют в целом 180 градусов, то линии параллельны. См. Рисунок 5.

Рисунок 5. Если угол BGH + DHG = 180, то AB || CD

Второе условие: если две линии пересекаются третьей и соответствующие углы равны, то эти линии параллельны. Смотрите рисунок 6.

Рисунок 6. Если угол BGE = DHG, то AB || CD

Третье условие: если две линии пересекают третью линию и углы, лежащие поперек, равны, то эти две линии параллельны. См. Рисунок 7

Рисунок 7. Если угол AGH = DHG, то AB || CD

Если две линии пересекаются и образуют угол 90 градусов, они перпендикулярны друг другу.

В этом случае все четыре угла равны, и каждый угол равен 90 градусам. Символ _|_ используется для обозначения перпендикулярности линий.

AB CD. Смотрите рисунок 8.

Рисунок 8. Перпендикулярные линии

Многоугольники — это двумерные фигуры, состоящие из переменного числа отрезков. Например, многоугольники, состоящие из 3 отрезков, называются треугольниками. Многоугольники, состоящие из 4 отрезков, называются четырехугольниками. Многоугольники, состоящие из пяти отрезков, называются пятиугольниками. Многоугольники, состоящие из шести отрезков, называются шестиугольниками. Если все стороны многоугольника равны, то многоугольник называется правильным многоугольником: равносторонний треугольник, правильный четырехугольник, правильный пятиугольник и правильный шестиугольник. Смотрите рисунок 9.

Figure 9. Правильные многоугольники.

Треугольники имеют три стороны и три угла.

Есть три типа треугольников. Треугольник, имеющий три стороны равной длины, называется равносторонним треугольником. Треугольник, имеющий две стороны равной длины, называется равнобедренным треугольником. Треугольник, имеющий три неравные стороны, называется разносторонним треугольником. Смотрите рисунок 10.

Рисунок 10. Различные типы треугольников.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Смотрите рисунок 11.

Рисунок 11.

Если треугольник имеет все три угла меньше 90 градусов, он называется острым или остроугольным треугольником.

Если треугольник имеет один угол, равный 90 градусам, он называется прямоугольным или прямым треугольником.

Если у треугольника один угол больше 90 градусов, он называется тупоугольным треугольником. Смотрите рисунок 12.

Рисунок 12. Различные треугольники.

Если вы хотите дать название углу, вы обозначаете его тремя буквами, начиная с буквы, обозначающей любую сторону угла. Например, вы можете обозначить угол ABC как CBA. В любом случае это правильно, хотя первый вариант предпочтительней.

Угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением смежной стороны того же треугольника называется внешним углом. Угол BAD это внешний угол треугольника. Угол BAC является смежным по отношению к углу BAD. Внешний угол BAD равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. См. Рисунок 13.

Figure 13. BAD = ABC + ACB

Если линия, проведенная из вершины, перпендикулярна противоположной стороне треугольника, эта линия называется высотой. Высоты, проведенные из вершины каждого угла, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.

Сторона треугольника, на которую опущена высота, называется основанием треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.

Смотрите рисунок 14.

Рисунок 14. Площадь = AC * BE / 2 AD _|_ BC, BE _|_ AC, CF _|_ AB

Линия, проведенная из вершины треугольника, которая делит угол на два равных угла, называется биссектрисой. Биссектрисы треугольника пересекаются. Точка их пересечения равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной окружности. Смотрите рисунок 15.

Рисунок 15. Центр треугольника с вписанным кругом.

Рисунок 16. Линия соединяет середины двух сторон треугольника.

AD = DB и BE = EC, DE || АС

Докажем, что отрезок DE, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне AC и что DE = AC / 2. Продолжите линию DE и начертите линию EF, равную DE. Смотрите рисунок 17.

Рисунок 17. AD = DB, BE = EC, DE = EF

Тогда треугольник DBE = треугольник EFC, потому что BE = EC, DE = EF и угол BED = углу CEF как вертикальные углы. Поскольку эти треугольники равны, их стороны и углы равны.

BD = CF и угол ECF = углу DBE. Если BD = AD и BD = CF, то AD = CF. Поскольку угол DBE = углу ECF, то BD || CF, потому что DBE и ECF являются противоположными внутренними углами. Если BD || CF, то AD || CF. Так как AD || CF и AD = CF, то ADFC — параллелограмм, и это означает, что DF = AC и DF || AC.

Поскольку DE = EF (дано) и DE + EF = DF = AC, тогда DE = AC / 2.

Линия, проведенная из вершины, которая делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка, называется медианой. Рисунок 18

Рисунок 18. Медиана CD.

Медианы треугольника пересекаются. Точка пересечения медиан называется центроидом. Центроид — это геометрический центр треугольника. Если вы вырежете треугольник из картона, найдите его центр тяжести и поместите треугольник на кончик карандаша так, чтобы наконечник находился в центре тяжести треугольника, треугольник будет идеально сбалансирован. Смотрите рисунок 19.

.

Рисунок 19. Центроид — геометрический центр треугольника.

AD, CE и BF являются медианами.

Перпендикулярная линия, проведенная от середины стороны треугольника, называется перпендикулярной биссектрисой. Смотрите рисунок 20.

Рисунок 20. ED _ | _AC; JH_ | _AB; GF_ | _BC; AD = DC; AH = HB; BF = FC;

Перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника пересекаются. Точка, в которой пересекаются перпендикулярные биссектрисы, является центром описанной окружности. Смотрите рисунок 21.

Рисунок 21. О — центр описанной окружности.

Точка, лежащая на перпендикулярной биссектрисе, одинаково удалена от вершин треугольника, образованных стороной, перпендикулярной к биссектрисе. Смотрите рисунок 22.

Рисунок 22. Перпендикулярная биссектриса DG.

Если DG — перпендикулярная биссектриса стороны AC, то AE = EC и AF = FC.

В любом треугольнике ортоцентр O (точка пересечения высот треугольника), центр описанной окружности C (точка пересечения перпендикулярных биссектрис) и центроид I (точка пересечения медиан) лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера в честь швейцарского математика и физика Леонарда Эйлера. Расстояние от ортоцентра О до центроида I вдвое больше расстояния от центроида I до центра описанной окружности С. См. Рисунок 23.

Рисунок 23. Линия Эйлера. (CIO). IO = 2IC.

GF, JH, ED — перпендикулярные биссектрисы. Точка С — это центр окружности.

AI, BI, KI — это медианы. Точка I это центроид. AL, BJ и KE являются перпендикулярами. Точка О является ортоцентром.

Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем третья сторона. Разница в длине любых двух сторон треугольника должна быть меньше, чем у третьей стороны. Смотрите рисунок 24

Рисунок 24. Длина сторон треугольника. 8> 15 — 13; 15 <8 +13

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным треугольником.

Равнобедренный треугольник имеет много интересных свойств и особенностей. Смотрите рисунок 25.

1. Если две стороны треугольника AB и BC равны, то два угла, которые лежат напротив равных линий, равны. Угол BAD = BCD.

2. Если вы проведете линию от угла между двумя равными сторонами к средней точке третьей стороны, эта линия будет биссектрисой угла.

Рисунок 25. AB = BC.

Линия BD является биссектрисой. Она делит угол ABC на 2 равных угла ABD и DBC.

3. Биссектриса, проведенная от вершины треугольника между его равными сторонами, перпендикулярна третьей линии АС, а угол АDB и угол CDB являются прямыми и равными 90 градусам.

Биссектриса, проведённая от вершины угла, делит его пополам.

AD = DC.

Два полученных треугольника также равны.

Треугольник ABD = Треугольник DBC.

Если все три стороны треугольника равны, такой треугольник называется равносторонним треугольником.

То, что верно для равнобедренного треугольника, верно и для равностороннего треугольника.

Кроме того, все три угла равностороннего треугольника равны 60 градусам. Смотрите рисунок 26.

Рисунок 26. Равносторонний треугольник. Углы А, В и С = 60 градусов.

AB = BC = AC

Биссектрисы, опущеные от каждого угла равностороннего треугольника, одновременно являются высотами и медианами. Медиана, высота или биссектриса делят равносторонний треугольник на два равных треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов. Смотрите рисунок 27.

Рисунок 27. Равносторонний треугольник ABC.

BD — это биссектриса, высота и медиана. Треугольники ABD и BDC равны.

В прямоугольных треугольниках квадрат гипотенузы BC равен сумме квадратов катетов AB и AC. Смотрите рисунок 28.

Рисунок 28. Теорема Пифагора

Рисунок 29. Тригонометрические функции.

Синус угла А — это отношение противоположной стороны к гипотенузе.

Косинус угла A — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Тангенс угла A является отношением противоположной стороны к прилежащей стороне.

Котангенс угла A — это отношение прилежащей стороны к противоположной стороне.

Закон косинусов показывает соотношение сторон a, b, c любого треугольника и косинуса угла C между сторонами a и b:

C^2 = a^2 + b^2 -2ab * cos (C)

Найдем неизвестную сторону треугольника ABC. Смотрите рисунок 30

AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC cos (ABC)

AC^2 = 8^2 +15^2 — 2 * 8 * 15 cos (65)

AC^2 = 64 +225 — 240 * cos (65)

cos 65 = 0.4226182617

AC^2 = 64 +225 — 240 * 0.42

AC^2 = 289 — 100.8=188.2

AC = квадратный корень из (188,2) = 13,72

Площадь треугольника можно найти, если известны две стороны и угол между ними. Площадь = 0,5 * (AB * BC) sin (ABC). Смотрите рисунок 30.

Рисунок 30. Второй способ найти область треугольника.

Если вы измените размер одного треугольника, сохраняя пропорции его сторон, то полученный треугольник будет подобным оригинальному треугольнику. Есть 3 признака подобия или сходства треугольников.

1. Если два треугольника имеют три пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, то такие треугольники подобны. Смотрите рисунок 31.

2. Если два треугольника имеют две пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, а угол, образованный этими сторонами одного треугольника, равен углу, образованному этими сторонами другого треугольника, то треугольники подобны. Смотрите рисунок 32.

Рисунок 31. Подобные треугольники. AC / DF = AB / DE = BC / EF

Рисунок 32. Подобные треугольники. AC / DF = CB / EF, ACB = DFE

.Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники подобны. Смотрите рисунок 33.

Рисунок 33. Подобные треугольники. CAB = FDE, ACB = DFE

В геометрии равные треугольники называются конгруэнтными. Если вы положите один треугольник поверх другого треугольника и они совпадут, значит треугольники равны.

1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между сторонами одного треугольника равны двум сторонам и углу между сторонами другого треугольника. Смотрите рисунок 34.

Рисунок 34. Равные треугольники

2. Два треугольника равны, если все стороны одного треугольника равны всем сторонам другого треугольника. Смотрите рисунок 35.

Рисунок 35. Равные треугольники. AB = DE, AC = DF, BC = EF

3. Два треугольника равны, если два угла и сторона между этими углами одного треугольника равны двум углам и стороне между этими углами другого треугольника. Смотрите рисунок 36.

Рисунок 36. Равные треугольники. AB = DF, BAC = EDF, ACB = DFE

Четырехугольники — это фигуры, которые имеют 4 стороны.

Четырехугольники, противоположные стороны которых равны и параллельны, называются параллелограммами.

Параллелограммы, которые имеют прямые углы, называются прямоугольниками.

Прямоугольники, у которых 4 стороны равны, называются квадратами.

Параллелограмм с 4 равными сторонами называется ромбом

Трапеции — это четырехугольники, две противоположные стороны которых параллельны, но не равны.

Существуют четырехугольники, стороны которых не параллельны и не равны, но мы не будем их обсуждать.

На рисунке 37 показаны все типы четырехугольников, упомянутых выше.

Внутренние углы любого четырехугольника составляют 360 градусов.

Рисунок 38. Параллелограмм

KLMN — это параллелограмм. Он образован пересечением 2 пар параллельных линий. Одна пара AB и CD, другая пара EF и GH.

Противоположные стороны в параллелограмме равны.

KN = LM и KL = MN.

Противоположные углы в параллелограмме равны.

LKN = LMN и KLM = KNM.

Сумма смежных углов в параллелограмме LKN и KLM равна 180 градусов.

Две диагонали параллелограмма KM и LN пересекаются друг с другом в средней точке. Смотрите рисунок 39.

Рисунок 39. KO = OM и LO = ON

Угол KOL = углу MON и угол KON = углу LOM, потому что они являются вертикальными.

Площадь параллелограмма — это высота, умноженная на основание. Смотрите рисунок 40.

Рисунок 40. Площадь параллелограмма KLMN = LO * KN

Прямоугольники имеют все свойства параллелограмма. Кроме того, каждый угол прямоугольника равен 90 градусам. Диагонали в прямоугольнике равны. Точка пересечения диагоналей является центром описанной окружности. Смотрите рисунок 41.

Рисунок 41. ABCD — это прямоугольник.

CB = AD AO = CO = OD = OB.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является центром описывающей окружности. AD и CB являются диагоналями. О является центром круга.

Квадраты имеют те же свойства, что и прямоугольники, плюс все 4 стороны квадрата равны. Смотрите рисунок 42.

Рисунок 42. ABCD — это квадрат.

AB = BC = CD = AD. AO = OC = OD = BО. AC = BD

Диагонали квадрата равны и пересекаются в точке, которая является центром описываемой окружности.

AC и BD являются диагоналями. О является центром круга.

Ромб — это параллелограмм, 4 стороны которого равны, но 4 угла не равны. Как и в любом параллелограмме, противоположные углы ромба равны, а противоположные стороны равны и параллельны.

Диагонали ромба не равны. Точка пересечения диагоналей равноудалена от сторон ромба. Следовательно, это центр вписанного круга. Смотрите рисунок 43.

Рисунок 43. ABCD — ромб. AC и BD являются диагоналями.

Точка пересечения диагоналей O является центром вписанной окружности.

В трапеции две противоположные стороны (верх и низ) параллельны, но не равны. Они называются основаниями трапеции. Две другие стороны трапеции не параллельны и называются боковыми сторонами. На рисунке 44 AD и BC — основания, а AB и CD — боковыми стороны.

Площадь трапеции равна ее высоте, умноженной на сумму ее оснований, деленную на 2. BE — это высота трапеции. Если одна боковая сторона трапеции перпендикулярна основанию, то трапеция называется правильной трапецией.

Рисунок 44. Площадь трапеции.

Два угла, прилегающие к боковой стороне трапеции, называются дополнительными и составляют 180 градусов.

Сумма сторон трапеции называется периметром. Как правило, периметр любого многоугольника является суммой всех его сторон.

Две диагонали в трапеции AC и BD пересекают друг друга, создавая пропорциональные отрезки. См. Рисунок 45.

Рисунок 45. AO / OC = DO / OB

AOD = BOC как вертикальные углы и OAD = OCB поскольку накрест лежащие углы равны. OBC = ODA, как накрест лежащие углы равны. Треугольник AOD подобен треугольнику BOC.

Прямая, соединяющая середины боковых сторон трапеции, параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы оснований. Смотри рисунок 46.

Рис. 46. EF — это прямая линия, соединяющая середины боковых сторон трапеции. EF || AD

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.

У равнобедренной трапеции есть дополнительные свойства. Ее диагонали равны.

Рисунок 47. Равнобедренная трапеция. Диагональ AD = BC.

Диагонали делятся на пропорциональные отрезки CO/OB = DO/OA

Диагонали образуют конгруэнтные противоположные углы.

Угол AOC = BOD и угол AOB = COD

У равнобедренной трапеции углы, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равны.

Треугольники ACD и CDB равны, потому что их стороны равны. Треугольники ACO и BOD также равны, потому что две боковые стороны трапеции раны (AC = BD). Одна сторона (СD) общая. Cторона AO = OB, так как диагонали равны и делятся на пропорциональные отрезки. Если три стороны у треугольников равны, то такие треугольники равны.

Рисунок 48. Круг.

Отношение длины окружности любого круга к его диаметру, является математической константой, обозначаемой греческой буквой π (пи). π примерно равно 3,14.

Отрезок прямой от центра круга до его окружности является радиусом круга.

Периметр круга равен произведению его радиуса на 2 π.

Площадь круга равна произведению π на квадрат его радиуса.

Поверхность сферы равна произведению 4 π на радиус круга.

Объем сферы равен 4/3 π * R ^ 3

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку является касательной. Касательная перпендикулярна радиусу окружности, которая заканчивается в точке касания. Смотрите рисунок 49.

Рисунок 49. AC — касательная. OB — радиус. AC _I_ OB.

Теорема: Отрезки, касающиеся окружности, опущенные из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр круга. Смотрите рисунок 50.

Рисунок 50. AB и BC — касательные к окружности.

AB = BC и углы AOB и BOC равны.

Доказательство: треугольник ABO = треугольнику BCO, потому что они имеют общую сторону OB, углы OAB и OCB являются прямыми углами и равны. И стороны AO = CO, потому что они радиусы.

Поскольку треугольник ABO = BCO, стороны треугольников AB и CB равны, а углы AOB и BOC равны.

Круг, вписанный в треугольник, делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков, потому что AB, BC и AC являются касательными

Смотрите рисунок 51.

Рисунок 51. BE = BF, CD = CF, AD = AE

Вписанный угол равен половине дуги. Смотрите рисунок 52.

Рисунок 52. AOC — центральный угол. ABC это вписанный угол. AC это дуга.

Угол ABC = ½ дуги AC.

Доказательство: поскольку AO и OB — это радиусы, AO = OB. Тогда треугольник ABO представляет собой равнобедренный треугольник, а угол BAO = углу ABO.

Угол AOC = 180 — угол AOB. Углы BAO + ABO = 180 — угол AOB. Из этого следует, что угол AOC = BAO + ABO. Поскольку углы BAO и ABO равны, то угол ABO = ½ угла AOC или угол ABC = 1/2 угла AOC.

Поскольку центральный угол AOC равен дуге AC, то угол ABC = ½ дуги AC.

Рисунок 53. Углы ACB, ADB и AEB равны

Если вписанные углы пересекают одну и ту же дугу, они равны. Это является следствием теоремы о вписанных углах.

Рис. 54. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Как следствие теоремы о вписанном угле, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Рисунок 55. Угол, образованный пересечением двух касательных, равен половине разницы перехваченных дуг.

ABC = ½ (дуга AEC — дуга ADC)

Рисунок 56. Угол BAC, образованный пересечением касательной и хорды, равен половине измерения перехваченной дуги AC.

Рисунок 57. Угол, образованный пересечением 2 секущих, равен половине разницы перехваченных дуг. ACE = ½ (дуга AE — дуга BD)

Рисунок 58. Угол, образованный пересечением касательной и секущей, равен половине разницы перехваченных дуг

ABD = ½ (дуга DE — дуга CE).

Угол, образованный двумя хордами, которые пересекаются внутри круга, составляет половину суммы дуг, образованых данным углом и его вертикальным углом. AEB = ½ (дуга AB + дуга CD). Рисунок 59.

Рис. 59.

Теорема:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180º. Смотрите рисунок 60.

Рисунок 60. Углы BAD + BCD = 180º

Доказательство: угол BAD равен ½ от меры перехваченной дуги BCD.

Угол BCD равен ½ от меры перехваченной дуги BAD.

Тогда угол BAD + угол BCD = ½ меры (дуга BCD + дуга BAD).

Поскольку (дуга BCD + дуга BAD) = 360, то угол BAD + угол BCD = 180.

Следствия из теоремы:

1. Из всех параллелограммов только прямоугольник может быть вписан в круг (включая квадрат).

2. Только равнобедренная трапеция может быть вписана в круг

Рисунок 61. Цилиндр

Площадь поверхности цилиндра состоит из поверхности двух торцов, которые являются кругами, и площади боковой поверхности, которая является параллелограммом. Площадь одного круга равна π * R ^ 2, а площадь двух кругов будет равна 2 π * R ^ 2.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра цилиндра на его радиус.

Периметр цилиндра равен периметру основания и равен 2 π р.

Тогда площадь боковой поверхности равна 2 π R * h.

Полная площадь цилиндра — это площадь двух торцов и площадь боковой поверхности:

A = 2 π * R * h +2 π * R ^ 2

Рисунок 62. Конус

Площадь поверхности конуса состоит из площади основного круга и площади стороны.

Площадь круга равна π R ^ 2, а площадь боковой поверхности равна π * R * S.

В декартовой системе координат каждая точка определяется расстоянием от перпендикулярных линий, которые обозначены как ось X и ось Y.

Простейшая функция Y = X представлена прямой линией, которая пересекает начало координат (точку пересечения между осью X и осью Y) и делит пополам прямой угол между осью X и осью Y.

Чтобы построить функцию в системе координат, присвойте любое значение X и вычислите соответствующее значение для Y. Например, для функции Y = X, если X = 0, то Y = 0. Если X = 4, то Y = 4.

Двух точек достаточно, чтобы нарисовать график для линейной функции, которая является прямой линией в системе координат.

Для функции Y = — X график будет иметь зеркальную ориентацию.

Если X = 0, то Y = 0; если X = 3, то Y = -3

На рисунке 63 вы можете увидеть, как были рассчитаны точки. Обратите внимание, что для любой линейной функции

Y = aX + b, где a и b являются константами и представлены действительными числами; изменение «a» на отрицательное число изменит ориентацию графика.

Рисунок 63. График функций: Y = X и Y = — X

На рисунке 64 видно, что график функции Y = 3X имеет зеркальную ориентацию графика функции Y = — 3X.

Кроме того, вы можете видеть, что крутизна линии для функции Y = 3X больше, чем крутизна линии для функции Y = X.

Найдем 2 точки для функции Y = 3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = 3

Найдем 2 точки для функции Y = -3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = -3

Рисунок 64. График функций: Y = 3X и Y = -3X

Угловой коэффициент прямой линии — это отношение вертикальных изменений к горизонтальным изменениям. Смотрите рисунок 65.

У треугольника ABC вертикальная сторона BC является катетом, противоположным углу BAC, который является углом наклона прямой.

Сторона AC является катетом, прилегающим к углу BAC. Отношение противоположного катета к прилежащему является тангенсом угла BAC. Поэтому угловой коэффициент прямой численно равен тангенсу угла BAC.

Рисунок 65. Угловой коэффициент прямой. УКП. (5 — 1) / (5 — 1) = 1

Рисунок 66. Параллельные линии для функций (f, g, h) с одинаковым угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Прямые для функций Y = X, Y = X +3 и Y = X — 3 параллельны, потому что эти функции имеют одинаковый коэффициент перед X. Это верно для любой линейной функции: Y = aX + b.

Y = aX + b — уравнение прямой с наклоном a и y-пересечением b.

Для Y = X +3, a = 1 и b = 3. На графике видно, что точка пересечения оси Y для функции Y = X +3 равна 3.

Для функции Y = X — 3, a = 1 и b = — 3. Таким образом, точка пересечения оси Y для функции Y = X — 3 равна -3.

Наклон для обеих функций равен 1.

Вопрос: Найти угловой коэффициент прямой (наклон) и X, Y-пересечения для функции Y = 3X +7

Ответ: Поскольку коэффициент перед X равен 3, то наклон = 3, а поскольку b равно 7, Y-точка пересечения будет равна 7.

Как найти точку пересечения оси X? Присвойте Y = 0, тогда 0 = 3X +7

0 — 3X = 3X +7 — 3X. Вычтите 3X с обеих сторон уравнения.

— 3X = 7

Х = -7/3; точка пересечения оси X = — 2,33

Вы можете построить график и проверить правильность решения.

Посмотрите на следующие графики:

Рисунок 67. Графики линейных функций с разными наклонами.

Обратите внимание, что для графика функции Y = aX + b наклон будет увеличиваться с увеличением коэффициента перед X. Это можно увидеть на рисунке 67.

Чем больше коэффициент перед X, тем больше наклон функции.

Функция может быть написана в другой форме. Например, Y = 2X +9 можно записать как:

Y — 2X = 9 или Y — 9 = 2X.

Вы не должны паниковать, если видите такое уравнение. Вместо этого вы должны решить это уравнение для Y и записать его в правильной форме.

Рассмотрим уравнение 3Y — 6X = 9

Найти угол наклона и точки пересечения X и Y для функции 3Y — 6X = 9.

Сначала решите уравнение для Y. Добавим 6X к обеим сторонам уравнения.

3Y — 6X +6X = 9 +6X.

Тогда получим 3Y = 6X +9.

Разделим каждую часть уравнения на 3 и получим:

Y = 2X +3.

Теперь вы можете видеть, что наклон уравнения равен 2, потому что коэффициент 2 находится перед X, а точка пересечения Y равна 3. Чтобы найти точку пересечения X, найдите X, когда Y = 0.

0 = 2X +3

Вычтите 2X с обеих сторон уравнения.

0 — 2X = 2X +3 — 2X

— 2X = 3

Х = -3/2 = -1,5

Точка пересечения X = -1,5

Постройте график, чтобы проверить, правы ли вы. Найдите хотя бы две точки, чтобы начертить линию.

Х = 0, Y = 2 * 0 +3 = 3

Х = 1, Y = 2 * 1 +3 = 5

Рисунок 68. Наклон и точки пересечения x и y осей для функции Y=2X +3.

Из графика вы можете видеть, что точка пересечения Y равен 3, а точка пересечения X -1,5.

Наклон = (Y2 — Y1) / (X2 — X1) = (5 — 3) / (1 — 0) = 2/1 = 2.

Для линейной функции изменение X соответствует пропорциональному изменению Y. Для нелинейной функции это правило не используется.

Например, для функции Y = 2X +3, если X = 1, Y = 5, если X = 2, Y = 7, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 11. Таким образом, каждое увеличение X на один вызывает увеличение Y на 2.

Для функции Y = X^2, если X = 1, Y = 1, если X = 2, Y = 4, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 16.

Для каждого возрастания X на единицу Y изменяется на 3, затем на 5, затем на 7.

Увеличение Y не пропорционально увеличению X. Следовательно, эта функция не является линейной.

Функция Y = 1 / X также является нелинейной. Давайте построим ее график.

Если X = 0,25, Y = 4.

Если X = 0,5, Y = 2.

Если X = 1, то Y = 1.

Если X = 2, то Y = 1/2.

Если X = 3, то Y = 1/3.

Если X = 4, Y = 1/4. Если Х = -0,25, Y = -4.

Если X = -0,5, Y = -2.

Если X = 1, Y = -1.

Если X = -2, Y = -1/2.

Если X = -3, то Y = -1 / 3.

Если X = -4, Y = — 1/4.

Рисунок 69. Функция Y = 1 / X

Обратите внимание, что линии, представляющие функцию Y = 1 / X, не могут пересекать начало координат, поскольку X не может быть равно 0. Деление на ноль не определено.

Построим график для функции Y = X^2.

Если X = 0, Y = 0.

Если X = 1, Y = 1.

Если X = 2, Y = 4.

Если X = 3, Y = 9. Если X = -1, Y = 1.

Если X = -2, Y = 4.

Если X = -3, Y = 9.

Построим график для функции Y = -X^2.Если X = 0, Y = 0.

Если X = 1, Y = -1.

Если X = 2, Y = — 4.

Если X = 3, Y = — 9. Если X = -1, Y = -1.

Если X = -2, Y = — 4.

Если X = — 3, Y = — 9.

Смотрите графики на рисунке 70.

Рисунок 70. Параболы

На рисунке 70 вы можете увидеть, как построить параболу в системе координат.

Обратите внимание, что парабола с отрицательным знаком перед X открывается вниз.

Парабола — это зеркально-симметричный набор точек, равноудаленных от данной точки (фокуса).

Вершина параболы — это минимальная или максимальная точка, в которой парабола пересекает ось симметрии.

Директриса параболы — это прямая, перпендикулярная оси симметрии.

От любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Рисунок 71. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.

Приведенная выше парабола построена с использованием функции

Y = 0,125 X^2

Были найдены следующие точки:

Х = 0; Y = 0,

X = 1; Y = 0,125,

X = 2; Y = 0,5,

Х = 3; Y = 1,125

Х = -1; Y = 0,125

X = -2; Y = 0,5

Х = -3; Y = 1,125

Как найти вершину, фокус и директрису параболы?

Уравнение вертикальной параболы с вершиной (h, k) имеет вид:

4p (y — k) = (x — h) ^2

Число p называется фокусным параметром; оно равно расстоянию от фокуса до директрисы.

Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, ее вершина находится между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от обеих.

Найти вершину, фокус и директрису для уравнения параболы

8Y = 4X ^ 2 -24X +44

Решение:

Упростим уравнение, разделив обе его стороны на 4

8Y / 4 = (4X^2 -24X +44) /4

2Y = X^2 — 6X +11

Рисунок 72. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.

Теперь нам нужно получить уравнение в виде 4p (Y -k) = (X -h) ^2

Вы можете видеть, что X^2 — 6X +9 = (X — 3) ^2

Тогда мы можем изменить наше уравнение:

2Y = X^2 — 6X +9 +2 (потому что 9 +2 = 11)

Или 2Y = (X — 3) ^2 +2

Вычтите 2 с обеих сторон уравнения.

2Y -2 = (X -3) ^2 +2 -2

Наше уравнение 2 (Y -1) = (X -3) ^2 теперь имеет вид

4p (Y -k) = (X -h) ^2

Из нашего уравнения 4p = 2, тогда p = 0.5

Вершина = (h, k) = (3, 1) или X = 3, Y = 1

Фокус = (h, к + р) = (3, 1 +0,5) = (3, 1,5)

Директриса представляет собой прямую, параллельную оси X с уравнением Y = k-p = 1 — 0,5 = 0,5

Мы можем проверить, правильно ли мы вычислили координаты вершины, если мы заменим X на 3 в исходном уравнении или в уравнении

2Y = X ^ 2 -6X +11

2Y = 3^2 -6 * 3 +11

2Y = 9 -18 +11 = 11—9 = 2

Y = 1

Так как мы получаем Y = 1, координаты вершины правильные

X = 3, Y = 1.

Y = X^3

Построим график кубической функции Y = X^3.

X = 0 Y = 0 ^ 3 = 0

X = 1 Y = 1 ^ 3 = 1

X = 2 Y = 2 ^ 3 = 8

X = -1 Y = (-1) ^3 = -1

X = -2 Y = (-2) ^3 = -8

График функции Y = X^3 показан на рисунке 73. Обратите внимание, что график функции Y = X^3 +3 смещен вверх, а график функции Y = X^3 — 3 смещен вниз.

Для функции Y = X^3 +3, если X = 0, Y = +3.

Для функции Y = X^3 — 3, если X = 0, Y = — 3.

Рисунок 73. Кубическая функция X.

Функция квадратного корня из X выглядит как горизонтальная парабола.

Рисунок 74. Функция квадратного корня.

Задача 1. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы должны быть _________.

а) равными

б) пропорциональными

в) равны 180 градусам.

Задача 2. Соотношение углов в треугольнике составляет 6: 9: 15. Найти измерение каждого угла в градусах.

а) 24, 36, 60

б) 36, 54, 90

в) 46, 54, 80

г) 35, 65, 90

Задача 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 30, 40 и 50.

Задача 4. Найдите площадь параллелограмма ABCD на рисунке 75:

Рисунок 75. ABCD — это параллелограмм. AD = 19 см, CE = 11 см

Задача 5. В параллелограмме на рисунке 1 найдите длину стороны AB, если ED = 5.5.cm

Задача 6. В задаче 4 вы нашли, что площадь ABCD равна 209. Найдите длину BF, если угол BFC = 90 градусов. Смотрите рисунок 76.

Рисунок 76. AD = 19, CE = 11

Задача 7. На рисунке 76 найдите площадь многоугольника ABFD.

Задача 8. На рисунке 2 найдите площадь треугольника BCF.

Задача 9. Найдите площадь трапеции на рисунке 77.

Рисунок 77. Трапеция ABCD

Задача 10. Найти площадь круга, если его радиус = 7. См. Рисунок 78.

Рисунок 78. Круг

Задача 11. Площадь круга равна 255. Найти радиус. (Приблизительно)

Задача 12. Прямоугольный треугольник имеет стороны 8, 3X и 5x.

5х — гипотенуза треугольника.

Найдите стороны и площадь треугольника. Смотрите рисунок 79.

Figure 79.

Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Рисунок 80.

Рисунок 80

Задача 14. Углы треугольника равны 2x, 2 x — 45 и x. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длину всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 81.

Рисунок 81

Задача 15. В равнобедренном треугольнике длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника? Рисунок 82

Рисунок 82

Задача 16. Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 5м. Смотрите рисунок 83.

Рисунок 83.

Решение такое же, как и для задачи 15.

Задача 17. D, E и F — средние точки треугольника со сторонами AB, BC и AC. Площадь треугольника ABC = 100м^2. Найдите площадь треугольника DEF. Смотрите рисунок 84.

Рисунок 84

Задача 18. Найти площадь поверхности и объем куба с радиусом 4.

Задача 19. Найти радиус и площадь поверхности сферы, если ее объем равен 77.

Задача 20. Найти точки пересечения X, Y для функции

8Y +2X = 24. Построить график функции.

Задача 21. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 4 и точкой пересечением Y= 3.

Задача 22. Есть две линейные функции Y = 2X +3 и Y = 2X — 3

Какие утверждения верны для этих функций?

а) Их наклоны одинаковы.

б) Их наклоны не совпадают.

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются в точке.

(X=0, Y=0)

Задача 23. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 3 и точкой пересечения Y равной -3.

Задача 24. Есть две линейные функции Y = 4X +3 и Y = 2X — 3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их наклоны одинаковы.

б) Их наклоны не одинаковы

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Задача 25. Есть две линейные функции Y = -2X +3 и Y = 2X +3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их наклоны одинаковы.

б) Их наклоны не одинаковы

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Задача 1. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы должны быть равны. Правильный ответ: а.

а) Равный

б) Пропорциональный

в) Равно 180 градусам

Задача 2. Соотношение углов в треугольнике составляет 6: 9: 15. Найти значение каждого угла в градусах.

Ответ б. 36:54:90 = 6: 9: 15 и 36 +54 +90 = 180 градусов (сумма всех углов треугольника).

а) 24, 36, 60

б) 36, 54, 90

в) 46, 54, 80

г) 35, 65, 90

Задача 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 30, 40 и 50.

Решение:

Наибольший угол в треугольнике расположен напротив наибольшей стороны. Это означает, что прямой угол расположен напротив стороны, равной 50. То есть гипотенуза треугольника равна 50, а катеты 30 и 40. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катеров:

А = 0,5 (30 * 40) = 600

Задача 4. Найдите площадь параллелограмма на рисунке 85.

Рисунок 85. ABCD — параллелограмм. AD = 19см и CE = 11см

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

A = 19 см * 11 см = 209 см^2

Задача 5. В параллелограмме на рисунке 1 найдите длину стороны AB, если ED = 5,5 см.

Решение:

Из теоремы Пифагора CD^2 = CE^2 + DE^2

CD ^ 2 = 11^2 +5,5^2

CD ^ 2 = 121 +30,25 = 151,25

CD = 12,3

AB = CD = 12,3

Задача 6. В задаче 4 вы нашли, что площадь ABCD равна 209. Найдите длину BF, если угол BFC = 90 градусов. См. Рисунок 86

Рисунок 86. AD = 19, CD = 12,30 DF = 8,5, DE = 5,5, CE = 11

Решение:

Площадь ABCD = CD * BF, тогда BF = Площадь / CD

В задаче 5 мы нашли, что CD = 12,3

BF = 209 / 12,3 = 16,99

Задача 7. На рисунке 86 найдите площадь многоугольника ABFD.

Решение:

Поскольку ABCD является параллелограммом, AB || CD, и тогда AB || DF.

Если AB || DF, тогда ABFD — это трапеция, а одна сторона трапеции (BF) — это ее высота, потому что угол BFC = 90 и угол BFC + угол BFD = 180 градусов (прямая линия). Тогда BFD = 90.

Так как AB || CD, угол BFC и угол ABF являются соответствующими углами и равны, то согласно теореме Фреда, площадь трапеции равна 0,5 (AB + DF) * BF

Нам нужно найти DF. DF = CD — CF. Мы знаем, что CD = 12,3. BC = 19. Угол BFC = 90.

Из теоремы Пифагора BC^2 = BF^2 + CF^2.

Тогда CF^2 = BC^2 — BF^2

Мы нашли в задаче 6, что BF = 16.99.

CF^2 = 19^2 — (16.99) ^2 = 361 — 288,66 = 72,34

CF = 8,5.

DF = 12,3 — 8,5 = 3,81

Площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму оснований.

Значит площадь ABFD = 0,5 (12,30 +3,81) * 16,99 = 136,85 см^2

Рисунок 87.

Задача 8. На рисунке 87 найдите площадь треугольника BCF.

Решение:

В задаче 4 мы нашли, что площадь ABCD = 209, а в задаче 7

установлено, что площадь ABFD составляет 136,85 см ^ 2.

Тогда площадь треугольника BCF будет 209 — 136,85 = 72,15

Второе решение:

Площадь треугольника BCF = 0,5 * BF * CF = 0,5 * 16,99 * 8,5 = 72,21

Задача 9. Найдите площадь трапеции на рисунке 88.

Рисунок 88. Трапеция ABCD

Решение:

Площадь трапеции равна 1/2 от суммы оснований трапеции по высоте.

A = 0,5 (15 +25) * 7 = 20 * 7 = 140

Задача 10. Найдите площадь круга на рисунке 89.

Рисунок 89. Круг

Решение: Площадь круга = Pi * R^2 = 3,14 * 49 = 153,86

Задача 11. Площадь круга равна 255. Найти радиус. (Приблизительно)

R^2 = Площадь / Pi

Решение: R^2 = 255 / 3,14 приблизительно = 81. Радиус 9.

Задача 12. Прямоугольный треугольник имеет стороны 8, 3X и 5x.

5х — гипотенуза треугольника. Найдите стороны и площадь треугольника. См. Рисунок 90.

Figure 90.

Решение: согласно теореме Пифагора

(5x) ^2 = 8^2 + (3x) ^2

25x^2 = 64 +9x^2

25x^2 — 9x^2 = 64

16x^2 = 64

X^2 = 4

х = 2

AC = 3 * 2 = 6

BC = 5 * 2 = 10

Площадь = (8 * 6) / 2 = 24

Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Смотрите рисунок 91.

Рисунок 91

Решение: Сумма всех углов в треугольнике равна 180. Один угол равен 90, а другой — 45. Тогда неизвестный угол равен 180 — 90 — 45 = 45.

Если угол B = C = 45, то AB = AC = 9

Согласно теореме Пифагора BC^2 = AC^2 + AB^2.

BC^2 = 9^2 +9^2 = 81 +81 = 162

BC = квадратный корень из (162) = 12,73

Задача 14: Углы треугольника равны 2х, 2х — 45 и х. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длины всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 92.

Рисунок 92

Решение: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов. Итак, мы можем написать:

2x + (2x-45) + x = 180

2x +2x — 45 + x = 180

2x +2x — 45 +45 + x = 180 +45

2x +2x + x = 225

5x = 225

х = 225/5 = 45

Если х = 45 тогда угол ABC равен 45, а угол BAC равен

2x = 2 * 45 = 90.

Угол ACB = 90 — 45 = 45.

Если углы ABC и ACB равны, то AB = AC.

Если угол BAC = 90, то BC — это гипотенуза. BC = х = 45.

Из теоремы Пифагора мы можем найти длину AB и AC

BC^2 = AB^2 + AC^2

45 * 45 = AB^2 + AC^2

Так как AB и AC равны, мы можем написать

45 * 45 = 2AB^2

2025 = 2AB^2

2025/2 = (2AB^2) / 2

AB^2 = 1012,5

AB = квадратный корень из (1012,5) = 31,8

AB = 31,8 AC = 31,8

Задача 15. В равнобедренном треугольнике на рис. 93 длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника?

Рисунок 93

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота равнобедренного треугольника является медианой и делит основание треугольника на два равных сегмента. AD = CD.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = AD^2 + BD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

AD = 7/2 = 3,5

BD ^ 2 = 10 ^ 2 — 3,5 ^ 2 = 100 — 12,25 = 87,75

BD = квадратный корень из (87,75) = 8,69

Площадь = 8,69 * 3,5 = 30,41

Задача 16. Найдите площадь равностороннего треугольника на рисунке 94, если его сторона равна 5м.

Рисунок 94

Решение такое же, как и для задачи 15.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = BD^2 + AD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна (AC * BD) / 2 или AD * BD

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

Если AC = 5 м, то AD = 2,5 м

Площадь = 2,5 м * квадратный корень из (25 — 2,5 ^ 2) =

2,5 м * квадратный корень из (25 — 6,25) =

2,5 м * 4,3 м = 10,83 м ^ 2

Задача 17.

Дано: D, E и F — средние точки треугольника со сторонами AB, BC и AC. Площадь ABC = 100м^2. Найдите площадь треугольника DEF. См. Рисунок 95.

Рисунок 95

Решение: Продолжите линию DE и начертите линию EG, равную DE. Смотрите рисунок 96.

Рисунок 96.

Тогда треугольник DBE = треугольник EGC, потому что BE = EC, DE = EG и угол BED = углу CEG как вертикальные углы. Поскольку эти треугольники равны, их стороны и углы равны.

BD = CG и угол ECG = углу DBE. Если BD = AD и BD = CG, то AD = CG

Если угол DBE = углу ECG, то AB || CG и AD || CG и AD = CG, а это означает, что AC = DG и AC || DG.

Если AF = FC и DE = EG, то AD || EF и если DE || AF и DE = AF,

то AD = EF

И если EG = DE и DE = AF = FC, то EG = FC и EF || CG

Треугольник ECG = FCE, потому что оба треугольника имеют общую сторону EC и FC = EG

А угол ECF = углу CEG так как AG || AC.

Если треугольники имеют две равные стороны и угол между этими сторонами, то треугольники равны.

Если треугольник DBE = EGC и треугольник FCE = EGC, то треугольник DBE = FCE.

Рассмотрим треугольники DBE и DEF. Они имеют общую сторону DE и стороны FE и DB, которые равны из-за равенства треугольников DBE и FCE. Угол BDE = DEF так как AB || EF.

Если две стороны и угол у треугольников DBE и DEF равны, то такие треугольники равны.

Треугольник ADF = DBE, потому что AD = DB и DE = AF, а угол

DAF = EDB потому что DE || AF

Если треугольник BDE = DEF = CEF = CEG, то треугольник ADF = BDE = DEF = CEF = CEG.

Если все 4 треугольника внутри треугольника ABC равны, то площадь треугольника DEF = ¼ площади треугольника ABC = 100/4 = 25

Задача 18. Найти площадь поверхности и объем сферы с радиусом 4.

Решение: Площадь поверхности сферы = 4PiR ^ 2

Площадь = 4 * 3,14 * 4 * 4 = 200,96

Объем сферы = 4/3 Pi R^3

V = 4/3 * 3.14 * 4 * 4 * 4=267.95

Задача 19. Найти радиус и площадь поверхности сферы, если ее объем составляет 113,04

Решение:

V = 4/3 Pi R ^ 3. Разделите обе части уравнения на 4/3 Pi

V / ((4/3) Pi) = R ^ 3

113,04 / ((4/3) * 3,14) = R ^ 3

R ^ 3 = 27, тогда R = 3

Задача 20. Найти наклон и точки пересечения X и Y для функции 8Y +2X = 24

Решение: Решите уравнение для Y.

8Y +2X — 2X = 24 — 2X

8Y = 24 — 2X

8Y / 8 = (24 — 2X) / 8

Y = 3 — 2X / 8 = 3 — 0,25X

Если коэффициент перед X равен — 0,25, то наклон = — 0,25

Точка пересечение Y = 3

(Y = aX + b, точка пересечение Y = b, в нашем уравнении b = 3)

Чтобы найти пересечение X, решите уравнение для X, когда Y = 0.

0 = 3 — 0,25Х

0 — 3 = 3 — 0,25X — 3

— 3 = — 0,25Х. Умножьте обе стороны на -1

0,25X = 3

Х = 3 / 0,25 = 12

X-пересечение = 12. Рисунок 97.

Рисунок 97.

Задача 21. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 4 и точкой пересечения Y= 3.

Ответ: Y = 4X +3.

Y = aX + b, точка пересечения Y = b, в нашем уравнении

b = 3, наклон = a = 4. Рисунок 98.

Рисунок 98.

Задача 22. Есть две линейные функции

Y = 2X +3 и Y = 2X — 3

Какие утверждения верны для этих функций?

а) Их склоны одинаковы.

б) Их склоны не одинаковы

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ:

а) Их наклоны одинаковы и равны 2, потому что коэффициент перед X равен 2 в обоих случаях.

Точка пересечения Y равна 3 для первого уравнения и -3 для второго. Это означает, что оба графика не пересекаются с точкой. (0, 0).

Один график на 3 точки выше, а другой график на 3 точки ниже точки (0, 0).

d) Поскольку наклоны равны, а точки пересечения Y не равны, линии параллельны. Рисунок 99.

Рисунок 99.

Задача 23. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 3 и точкой пересечения Y равной -3.

Поскольку наклон равен 3, то коэффициент перед X равен 3, а если точка пересечения Y равна -3, то уравнение:

Y = 3X — 3. Вы можете построить график и проверить ответ. Рисунок 100.

Рисунок 100.

Задача 24. Есть две линейные функции Y = 4X +3 и Y = 2X — 3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их наклоны одинаковы.

б) Их наклоны не одинаковы.

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ:

Наклон для первого графика равен 4, а для второго 2, и они не равны.

Поскольку наклоны не равны, графики не параллельны.

Точка пересечения Y для обоих графиков не равна 0. Это 3 для первого графика и -3 для второго.

Графики не пересекают исходную точку (0, 0). Рисунок 101.

Рисунок 101.

Задача 25. Есть две линейные функции

Y = -2X +3 и Y = 2X +3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их склоны одинаковы.

б) Их склоны не одинаковы.

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ

Наклоны не равны, потому что противоположны.

Поскольку наклоны не равны, графики не параллельны.

Оба графика не пересекаются в точке (0, 0). Они пересекаются в точке Х=0, У = 3, потому что b =3. Рисунок 102.

Рисунок 102. График функций Y = — 2X +3 и Y = 2X +3.

Джеймс Уэллс в настоящее время живет в г. Седона, штата Аризона.

Он окончил City University оf New York по специальности Computer Science.

С тех пор Джеймс работает программистом и веб-разработчиком.

У него более десяти лет опыта преподавания в частной компьютерной школе.

В свободное время Джеймс любит гулять с двумя своими псами на пешеходных тропах Седоны.

Вы можете связаться с Джеймсом по электронной почте james.wells@learn-coding.today

Джеймс рекомендует книги своего друга Сергея Скудаева на litres.ru

Programming Concepts. How to use PHP

with MySQL and Oracle databases (MySqli, PDO)

https://www.litres.ru/sergey-d-skudaev/php-programming-for-beginners-key-programming-concepts-ho/

https://www.litres.ru/sergey-d-skudaev/the-easiest-way-to-understand-chemistry-chemistry-concept/

https://www.litres.ru/sergey-skudaev-15429/the-easiest-way-to-understand-algebra-algebra-equatio/

В книге собраны лучшие стихи автора, написанные в течение 40 лет

https://www.litres.ru/sergey-skudaev/prosto-hochetsya

Key computer programming concepts for

beginners

http://www.amazon.com/dp/B00EUSMTUW

Examples of SQL Queries and Stored

Procedures for MySQL and Oracle Databases

http://www.amazon.com/dp/B009PD6A2U

Бесплатная ккнига

http://www.amazon.com/dp/B00JNSNL8S