В книгу «Занимательная логика. Задачи и решения» вошли задания и рассказы, собранные из разных книг Якова Перельмана, увидевших свет в 10-е – 30-е годы ХХ века. Это легкие и веселые упражнения, которые учат рассуждать и делать выводы. Это увлекательные рассказы из истории разных наук, которые погружают нас в атмосферу начала прошлого столетия, когда открытия совершались без сложных приборов и вычислений на суперкомпьютерах – только благодаря остроте ума, наблюдательности и любопытству исследователей.
Эта книга развивает:
• Логическое мышление
• Внимание к деталям
• Умение рассуждать
• Сообразительность
Такие упражнения учат находить ошибки в рассуждениях и мыслить нестандартно.
В формате PDF A4 сохранен издательский макет книги.
v1.0 – Roland
© Ситникова А., иллюстрации, 2026
© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2026
Спросили меня как-то о полупустой бочке. Полупустая бочка – это ведь то же, что и полуполная. Но если половины равны, то должны быть равны и целые.
Полупустая бочка равна полуполной, – значит, пустая бочка должна равняться полной. Выходит, что пустой равен полному!
Почему получился такой несообразный вывод?
Как вы думаете: существует ли на свете два человека с одинаковым числом волос?
Вы ответите, пожалуй, что два совершенно лысых человека имеют волос поровну, потому что и у того и у другого их ноль.
Это, если хотите, правильно.
Но я спрашиваю не о безволосых людях, а о таких, у которых имеются на голове густые волосы. Найдется ли в мире два человека, у которых число волос на голове было бы в точности одинаково?
А может быть, двое таких людей отыщутся в Ленинграде[1] или Москве?
Собирателю редкостей сообщили, что в Риме при раскопках найдена монета с надписью по-латыни:
– Монета, конечно, поддельная, – ответил собиратель.
Как мог он знать это, не видя ни самой монеты, ни даже ее изображения?
Вы сидите в вагоне железной дороги и желаете узнать, с какою скоростью он мчится. Можете ли вы это определить по стуку колес?
Жил некогда жестокий правитель, который не желал никого впускать в свои владения. У моста через пограничную реку был поставлен часовой, вооруженный с головы до ног, и ему приказано было допрашивать каждого путника:
– Зачем идешь?
Если путник говорил неправду, часовой обязан был схватить его и тут же повесить. Если же путник отвечал правду, ему и тогда не было спасения: часовой должен был немедленно утопить его в реке.
Таков был суровый закон жестокосердного правителя, и неудивительно, что никто не решался приблизиться к его владениям.
Но вот нашелся крестьянин, который, несмотря на это, спокойно подошел к охраняемому мосту у запретной границы.
– Зачем идешь? – сурово остановил его часовой, готовясь казнить смельчака, безрассудно идущего на верную гибель.
Но ответ был таков, что озадаченный часовой, строго исполняя жестокий закон, не мог ничего поделать с догадливым крестьянином.
Каков же был ответ?
В некотором государстве был такой обычай. Каждый преступник, осужденный на смерть, тянул перед казнью жребий, который давал ему надежду на спасение. В ящик опускали две бумажки: одну с надписью «Жизнь», другую с надписью «Смерть». Если осужденный вынимал первую бумажку, – он получал помилование; если же он имел несчастие вынуть бумажку с надписью «Смерть», – приговор приводился в исполнение.
У одного человека, жившего в этой стране, были враги, которые оклеветали его и добились того, что суд приговорил несчастного к смертной казни.
Мало того: враги не желали оставить невинно осужденному ни малейшей возможности спастись. В ночь перед казнью они вытащили из ящика бумажку с надписью «Жизнь» и заменили ее бумажкой с надписью «Смерть».
Значит, какую бы бумажку ни вытянул осужденный, он не мог избегнуть смерти.
Так думали его враги. Но у него были друзья, которым стали известны козни врагов. Они успели предупредить осужденного, что в ящике оба жребия имеют надпись «Смерть». Друзья убеждали несчастного открыть перед судьями преступный подлог его врагов и настаивать на осмотре ящика со жребиями.
Но, к их изумлению, осужденный просил друзей хранить проделку врагов в строжайшей тайне и уверял, что тогда он будет наверное спасен. Друзья приняли его за сумасшедшего…
Наутро осужденный, ничего не сказав судьям о заговоре своих врагов, тянул жребий и – был отпущен на свободу!
Как же ему удалось так счастливо выйти из своего, казалось бы, безнадежного положения?
То, что описано ниже, произошло, говорят, в Древней Греции. Учитель мудрости, софист Протагор взялся обучить Квантла всем приемам адвокатского искусства. Между учителем и учеником было заключено условие, по которому ученик обязывался уплатить своему учителю вознаграждение тотчас же после того, как впервые обнаружатся его успехи, т. е. после первой же выигранной им тяжбы.
Квантл прошел уже полный курс обучения. Протагор ожидает платы, – но ученик не торопится выступать на суде защитником. Как же быть?
Учитель, наконец, напал на мысль взыскать с ученика долг по суду. Протагор подал на ученика в суд. Он рассуждал так: если дело будет им выиграно, то деньги должны быть взысканы на основании судебного приговора; если же тяжба будет им проиграна и, следовательно, выиграна его учеником, то деньги опять‐таки должны быть уплачены Квантлом по уговору – платить после первой же выигранной тяжбы, на которой ученик выступит.
Однако ученик, напротив, считал тяжбу Протагора совершенно безнадежною. Он, как видно, действительно кое-что перенял у своего учителя и рассуждал так: если его присудят к уплате, то он не должен платить по уговору – ведь он проиграл первую тяжбу; если же дело будет решено в его пользу, то он опять‐таки не обязан платить – на основании судебного приговора.
Настал день суда. Судья был в большом затруднении. Однако после долгого размышления судья нашел, наконец, выход: такой приговор, который, нисколько не нарушая условий уговора между учителем и учеником, в то же время давал учителю возможность получить условленное вознаграждение.
Каков же был приговор судьи?
Отряд французских солдат во время похода в Алжире очутился однажды в местности, совершенно лишенной растительности и притом с почвой настолько болотистой, что хотя по ней и можно было ступать, но сесть на нее было положительно невозможно.
Усталый отряд подвигался вперед в поисках подходящего места для привала, но на десятки верст простиралась все та же болотистая почва. Как отдохнуть, если нет кругом ни единого сухого местечка и ничего такого, что можно было бы подложить или на что можно было бы сесть?
И все‐таки одному солдату удалось напасть на счастливую мысль, которая выручила весь отряд из затруднительного положения. Солдаты удобно уселись и отдохнули.
Как? Отгадайте!
Не в менее затруднительном положении оказались однажды трое пеших разведчиков, которым необходимо было перебраться на противоположный берег реки при отсутствии моста. Правда, на реке катались в челноке два мальчика, готовые помочь солдатам. Но челнок был так мал, что мог выдержать вес только одного солдата: даже солдат и один мальчик не могли одновременно сесть в лодку без риска ее потопить. Плавать солдаты совсем не умели.
Казалось бы, при таких условиях мог переправиться через реку только один солдат. Между тем все три разведчика вскоре благополучно очутились на противоположном берегу и возвратили лодку мальчикам.
Как они это сделали?
У меня есть отец и мать. У моего отца и у моей матери тоже, конечно, были отец и мать. Значит, восходя к 3‐му поколению, я нахожу у себя 4 предков.
Каждый из моих двух дедов и каждая из моих двух бабушек также имели отца и мать. Следовательно в 4‐м поколении у меня 8 прямых предков.
Восходя к 5‐му, 6‐му, 7‐му и т. д. поколениям назад, я нахожу, что число моих предков все возрастает, и притом чрезвычайно обильно. А именно:
Во 2‐м поколении 2 предка
В 3 поколении 4 предка
В 4 поколении 8 предка
В 5 поколении 16 предков
В 6 поколении 32 предка
В 7 поколении 64 предка
В 8 поколении 128 предков
В 9 поколении 256 предков
В 10 поколении 512 предков
В 11 поколении 1024 предка
В 12 поколении 2048 предков
В 13 поколении 4096 предков
В 14 поколении 8192 предка
В 15 поколении 16 384 предка
В 16 поколении 32 768 предков
В 17 поколении 65 536 предков
В 18 поколении 31 072 предка
В 19 поколении 262 144 предка
В 20 поколении 524 288 предков
Вы видите, что 20 поколений назад у меня была уже целая армия прямых предков, больше полумиллиона. И с каждым дальнейшим поколением это число удваивается.
Если считать, как обыкновенно принимается, по три поколения в столетие, то в начале нашей эры, 19 веков тому назад [2], на земле должно было жить несметное количество моих предков: можно вычислить, что число их должно заключать в себе 18 цифр!
Чем дальше в глубь веков, тем больше число моих предков должно возрастать.
В эпоху первых фараонов численность их должна была доходить до умопомрачительной величины. В каменный век, предшествовавший египетской истории, моим предкам было уже, вероятно, тесно на земном шаре.
Но ведь и у вас, читатель, было столько же прямых предков. Прибавьте их к моим и присоедините еще предков всех своих знакомых, да прибавьте еще предков всех вообще людей, живущих ныне на земле, – и вы легко вообразите, в какой страшной тесноте жили наши предки: ведь для них буквально не хватало места на земном шаре!
Не укажете ли вы им выход из этого затруднительного положения?
Три брата, возвращаясь из театра домой, подошли к рельсам трамвая, чтобы вскочить в первый же вагон, который подойдет. Вагон не показывался, и старший брат предложил подождать.
– Чем стоять здесь и ждать, – ответил средний брат, – лучше пойдем вперед. Когда вагон догонит нас, тогда и вскочим; а тем временем часть пути будет уже за нами – скорее домой приедем.
– Если уж идти, – возразил младший брат, – то не вперед по движению, а в обратную сторону: тогда нам, конечно, скорее попадется встречный вагон; мы раньше и домой прибудем.
Так как братья не могли убедить друг друга, то каждый поступил по-своему: старший остался ожидать на месте, средний пошел вперед, младший – назад.
Кто из трех братьев раньше приехал домой?
Кто из них поступил благоразумнее?
Можно ли посадить 11 гостей на 10 стульев так, чтобы на каждом стуле сидело по одному человеку?
Вы думаете – нельзя? Нет, можно: надо только умеючи взяться за дело.
Поступите так. Первого гостя посадите на первый стул.
Затем попросите 11‐го гостя сесть временно на тот же первый стул.
Усадив этих двух гостей на первый стул, вы усаживаете:
3‐го гостя на 2‐й стул
4‐го гостя на 3‐й стул
5‐го гостя на 4‐й стул
6‐го гостя на 5‐й стул
7‐го гостя на 6‐й стул
8‐го гостя на 7‐й стул
9‐го гостя на 8‐й стул
10‐го гостя на 9‐й стул
Как видите, остается свободным 10‐й стул. На него вы и посадите 11‐го гостя, который временно сидел на 1‐м стуле.
Теперь вы счастливо вышли из затруднительного положения: у вас рассажены все 11 гостей на 10‐ти стульях.
А все‐таки куда девался один гость?
Вам принесли на дом 10 килограммов сливочного масла. Вы желаете купить всего только 5 килограммов. У одного из ваших соседей нашлись весы с коромыслом, но гирь нет ни у вас, ни у разносчика и ни у кого из соседей.
Можете ли вы без всяких гирь отвесить 5 килограммов от 10 килограммов?
Представьте себе, что, когда вы догадались, наконец, как отвесить масло без гирь, входит ваш сосед, ссудивший вам весы, и сообщает, что весы его очень ненадежны: на верность их полагаться нельзя.
Можете ли вы даже и на неверных весах, притом без гирь, отвесить правильно 5 килограммов от 10‐килограммовой партии?
Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.
– Понадобится сторожить целые сутки без смены и перерыва, никуда не отлучаясь. Поспать успеете потом, когда отдежурите.
– Хорошо, буду без смены. Но платить вам придется не ровно: за каждый следующий час вдвое против предыдущего.
– Это бы можно; но сколько же вы хотите за первый час?
– Уж чего меньше: одно яблоко за первый час дадите, и достаточно.
За второй – два яблока положите, и довольно. За третий – четыре, и хватит. За четвертый…
– Ладно, – поспешил согласиться арендатор. «Если этот чудак так же честен, как нерасчетлив, то я, кажется, сделал выгодное дело: за несколько десятков яблок достал сторожа на целые сутки», – подумал он, уходя.
Сторож был нанят, и арендатор спокойно уехал, радуясь тому, что на свете есть люди, не умеющие считать.
Когда спустя сутки арендатор возвратился к своему саду, он увидел у ворот телегу, на которую его сторож ссыпал один мешок яблок за другим.
– Это что такое! – накинулся на него арендатор. – Я нанимал вас сторожить, а не грабить. Куда увозите мои яблоки?
– Были ваши, теперь мои, – спокойно ответил сторож. – Забыли, небось, уговор?
– Уговор? Да разве по нашему уговору вам за одни сутки следует яблок целый воз? Считать не умеете…
– И не один воз следует. Сами считать не умеете.
– Не один воз! Что за вздор! Уж не все ли яблоки моего сада?
– Не только вашего. Во всем городе не закупите яблок, чтобы со мной расплатиться. Возов тысячи три понадобится, не меньше.
– Три тысячи возов яблок? За одни сутки? Ничего не понимаю…
А вы, читатель, понимаете? Кто из них считать не умел: сторож или арендатор? А может быть, ни тот, ни другой?
Железнодорожный машинист задолжал крестьянке за молоко и уклонялся от платежа. Молочница долго ждала и наконец придумала, что делать.
Однажды, когда пары были уже разведены и поезд должен был тронуться, она стала у паровоза и заявила машинисту:
– Отдавай сейчас долг, иначе не пущу поезда!
Машинист, разумеется, только усмехнулся, услыхав такую угрозу.
Но женщина не шутя намеревалась остановить поезд.
И что же? Машинист пустил в ход машину, но паровоз ни с места. Машина работает, а поезд стоит, словно заколдованный.
– Отдай деньги – пущу поезд! – с торжеством объявила крестьянка.
Пришлось машинисту заплатить долг полностью; тогда только поезд тронулся.
В чем же состояло «колдовство» молочницы и как оно было ею снято?
Существует шуточный рассказ об одном турке, который будто бы попал однажды в «самую восточную страну». Турок так описывает эту сказочную страну:
«И впереди восток и с боков восток. А запад? Вы, может быть, думаете, что он все‐ таки виден, как точка какая‐нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток! Короче – везде и всюду нескончаемый восток!» Такой страны, которая со всех сторон окружена востоком, конечно, быть не может. Но зато существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом: во все стороны от этого места простирается «один нескончаемый юг».
Это кажется с первого взгляда невозможным, – а между тем стоит лишь немного подумать, чтобы понять, что такое необычайное место на земном шаре существует.
В этом удивительном месте развевается теперь английский флаг, и я уверен, что вы даже знаете имя человека, который водрузил его.
Где же находится это место?
Чтобы помочь вам догадаться, я прибавлю, что в этом месте вовсе не жарко, даже не тепло, хотя во все стороны оно прямо примыкает к югу.
Может ли человек состязаться с земным шаром в его суточном движении вокруг оси? Может ли человек «перегнать Землю» если не пешком, то, например, на быстро мчащемся автомобиле?
Заодно ответьте и на такие вопросы:
Может ли человек на Земле увидать солнце восходящим с запада? И прав ли был Кольцов, когда восклицал:
Посмотрите на изображенную здесь картинку – закат солнца – и скажите: правильно ли она нарисована?
В этом рисунке есть одна несообразность, которую вам и нужно открыть.
Где на земле легче всего живется?
Вопрос похож на загадку или на задачу-шутку вроде вопросов: «Почему птица летает?» (По чему? – По воздуху.) Но наш вопрос не совсем такого рода. Если хорошенько подумать, то на него можно дать разумный, вполне обоснованный ответ.
Какой?
На Луне все вещи весят в 6 раз меньше, чем на Земле, так как Луна в 6 раз слабее притягивает к себе тела, чем наш земной шар. Килограмм, перенесенный на Луну, весил бы там всего 160 граммов.
Вообразите, что на Луне существует озеро, и в нем пресная вода. На это озеро спущен пароход, который в земных пресноводных озерах сидит в воде на 3 метра. Как глубоко будет сидеть наш пароход в воде этого лунного озера?
Заодно решите еще задачу: где не умеющий плавать человек скорее может утонуть – в земном озере или в нашем воображаемом лунном?
Мальчик с завязанными глазами безошибочно угадывает, в какой руке у вас гривенник. Делает он это так.
– Возьмите, – говорит он вам, – в одну руку гривенник, а в другую монету в 3 копейки.
Когда вы это сделали, он продолжает:
– Удвойте мысленно то, что у вас в правой руке, и утройте то, что в левой.
Вы исполняете его просьбу; тогда он просит вас сложить оба числа и спрашивает, получилось ли четное или же нечетное число.
– Четное, – отвечаете вы, например.
– Гривенник в левой руке, – тотчас же объявляет он, и всегда угадывает безошибочно.
Почему?
Часто приходится читать и слышать, что одно из убедительных доказательств шарообразности Земли – круглый вид горизонта. Так как всюду линия горизонта – окружность, то Земля наша должна быть шаром.
Подумайте, однако: какую фигуру имела бы линия горизонта, если бы Земля наша была не шарообразная, а плоская, бесконечно простираясь во все стороны?
Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок:
Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, одно другому противоречащие.
Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; существуют места на земле, где такое определение времени вполне применимо и относится к некоторому реальному моменту.
Где же и когда это бывает?
У меня была в руках длинная бумажная лента, с одной стороны красная, с другой – белая. Я склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол.
Внимание мое привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и нигде не переползала через ее край. Продолжая следить за ее движениями, я вскоре увидел ее снова на красной стороне ленты, хотя положительно мог утверждать, что она не переступала и не перелетала через края ленты и ползла все время, не покидая ее.
Не объясните ли вы, как могло это случиться?
Двое человек считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них на тротуаре. Один из считавших стоял у ворот дома, другой прохаживался туда и назад по тротуару.
Кто насчитал больше прохожих?
Теперь мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза.
Сколько ему лет?
Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется пройти 24 версты туда и назад в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно – со скоростью 24 версты в час.
Победила на состязании первая лодка, хотя, казалось бы, вторая должна была на пути в одном направлении отстать от первой ровно на столько же, на сколько она опережала ее на обратном пути, и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она опоздала?
Попробуйте сказать, что изображено на рисунке.
Непривычный поворот придает изображениям этих предметов странный вид, затрудняющий отгадывание. Попытайтесь, однако, сообразить, что именно нарисовал художник. Все это – хорошо знакомые вам предметы обихода.
Должно ли зеркало достигать пола для того, чтобы вы могли видеть себя в нем с головы до ног?
Что важнее иметь для правильного взвешивания: верные весы или верные гири?
Можно ли верными гирями правильно взвесить на неверных весах? А неверными гирями на верных весах?
Стоя на платформе уравновешенных десятичных весов, человек приседает. Куда в этот момент двинется платформа – вниз или вверх?
Я достаточно силен, чтобы поднять с пола груз в 100 кг. Для удобства я хочу тянуть его за веревку, перекинутую через неподвижный блок, который укреплен под потолком.
Какой величины груз смогу я тогда поднять?
Поезд идет со скоростью 36 километров в час. Находясь в вагоне этого поезда, вы подпрыгнули вверх и продержались в воздухе одну секунду.
Опуститесь ли вы на то же место, откуда подпрыгнули, или нет? Если на другое место, то куда ближе – к передней или к задней стенке вагона?
Вам нужно из быстро мчащегося поезда выбросить бутылку так, чтобы опасность разбить ее при ударе о землю была наименьшая.
В какую сторону должны вы ее выбросить: вперед или назад?
Аэростат уносится ветром в северном направлении. В какую сторону протягиваются при этом флаги его гондолы?
Я получил недавно письмо, в котором корреспондент предлагает весьма дешевый способ путешествовать. Проект состоит в том, чтобы подняться вверх на воздушном шаре или самолете и продержаться так на одном месте определенное время.
«Пока шар или самолет отделен от земной поверхности, – рассуждает корреспондент, – планета наша, вертясь вокруг оси, подведет под путешественника другую местность, более западную. На широте Ленинграда можно таким способом перенестись в одну минуту на 15 километров к западу, а в час – на 900 км, почти не затрачивая горючего (на самолете)».
Годится ли этот проект?
Известно, как плачевно кончилась дружба котла с горшком, о которой рассказал Крылов:
Чем объясните вы такой финал, если из механики известно, что действие всегда равно противодействию и что, следовательно, горшок получал от котла удары столь же сильные, как и те, которые котел терпел от горшка?
Что надо сделать с ходиками, когда они отстают, и что – когда они уходят?
В бутылку с водою попал кусочек пробки. Он свободно мог бы пройти через ее горлышко, но при наклонении и опрокидывании бутылки выливающаяся вода почему‐то не выносит этого кусочка пробки; он покидает бутылку только с последней порцией воды.
Почему?
Выпущенные из рук детские воздушные шары куда‐то улетают. Куда?
Как высоко могут они улететь?
Существует ли на земном шаре такое место, где северный конец стрелки компаса показывает на юг?
Что притягивается сильнее: железо магнитом или магнит железом?
В Сибири шьют полушубки шерстью наружу, у нас – шерстью внутрь. Что правильнее в смысле сбережения тепла?
Как лучше шить шубы: мехом наружу или мехом внутрь?
Вот простой вопрос, на который, однако, не все дают правильный ответ.
Сколько граней у шестигранного карандаша?
Вот поучительная старая задача, разрешение которой заставит вас крепко призадуматься.
(Изобретателем этой задачи является английский математик Льюис Кэррол – автор популярных не в одной лишь Англии сказок «Алиса в стране чудес» и «Алиса в зазеркалье».) Через блок перекинута веревка, как показано на рисунке.
По одну сторону блока повешен груз, по другую уцепилась за веревку обезьяна такого же веса, как и груз. Вопрос задачи: что сделается с грузом, если обезьяна станет взбираться по веревке вверх? Поднимется ли при этом груз, опустится или останется неподвижным?
С аэростата, держащегося в воздухе неподвижно, свободно свешивается лестница. По ней снизу вверх стал взбираться человек. Куда при этом подвинется аэростат – вверх или вниз?
Почему снег белого цвета?
Говорят: «Вода долбит камень». Как вы это объясните? Ведь чтобы на поверхности камня оставить хотя бы малейший след, надо действовать телом более твердым, чем камень. Но вода, конечно, не тверже камня. Как же может она долбить каменную породу?
Почему для лимонада часто употребляют стаканы с толстым дном?
Почему их делают такими и почему они не годятся для чая?
Чем отличается бег от ходьбы?
Верен ли буквальный смысл существующей на многих языках пословицы «В темноте все кошки серы»?
В рассказе А. П. Чехова «Письмо» читаем такие строки:
«Сквозь опущенные шторы сюда не проникали солнечные лучи, было сумеречно, так что все розы в большом букете казались одного цвета».
Верно ли подмечено Чеховым исчезновение цветовых различий в полумраке?
Агент уголовного розыска при осмотре квартиры обнаружил в оконном стекле круглое отверстие, пробитое пулей.
Необходимо установить, с какой стороны был произведен выстрел: с улицы в комнату или из комнаты на улицу?
Можно ли определить это по наружному виду отверстия?
В крышке чайника имеется дырочка для пропуска пара. При нагревании крышка, как известно, расширяется во всех направлениях.
Может ли крышка быть нагрета так, чтобы дырочка от расширения окружающего вещества совсем закрылась?
Вы стоите на взморье и следите в бинокль за лодкой, которая приближается прямо к берегу. Бинокль увеличивает в 3 раза.
Во сколько раз увеличится для вас скорость приближающейся лодки?
Двое играют в мяч на идущем пароходе. Один стоит на корме, другой – у носа. Кому труднее добросить до партнера мяч: стоящему на корме или стоящему у носа?
Когда советские герои-летчики совершали перелет из Москвы в Америку через Северный полюс, вращались ли они вместе с земным шаром вокруг его оси?
Какую форму надо придать зернам пороха, чтобы в начале сгорания поверхность их не уменьшилась, а увеличилась?
Что произойдет, если мальчик подвинется ближе к одному из зеркал?
Уменьшится или увеличится кажущееся расстояние между обоими изображениями мальчика в зеркалах? Другими словами, сойдутся или разойдутся оба эти изображения?
На нашем рисунке изображен графин с водой, стоящий у окна на столе.
Может ли этот графин, наполненный водой, стать причиной пожара?
Что происходит с воздухом в шине во время движения автомобиля?
Движется ли воздух внутри шины, или же он вращается с такой же скоростью, как и шина и, следовательно, остается неподвижным относительно нее? Если воздух движется внутри шины, то как именно: в том же направлении, в котором вращается колесо, или в обратном?
Имеются два сосуда одинакового объема, но разной формы. Чтобы погрузить их на одну и ту же глубину, надо давить на них с одинаковой силой или с различной? Если с различной, то на какой сосуд надо давить сильнее: на узкий и длинный или же на широкий и короткий?
На одной из чашек точных весов стоят песочные часы. Песок из верхней половины часов пересыпается в нижнюю. Определенное число песчинок в каждый момент находится в воздухе и не оказывает давления на дно нижнего сосуда.
Спрашивается, будут ли песочные часы весить во время пересыпания песка столько же, сколько они весят тогда, когда весь песок находится уже в нижнем сосуде?
Сильная струя воздуха, идущая от вентилятора, несет летом прохладу и свежесть.
Можно ли этой струей охладить кусок мороженого?
Удастся ли таким образом дольше сохранить его в твердом виде?
Этот мальчик держит в каждой руке по кирпичу. Платформа, на которой он стоит, вращается с равномерной скоростью.
Что произойдет, если мальчик опустит обе руки: ускорится ли вращение платформы, замедлится ли оно, или скорость его останется прежней?
Четверо играли в шашки. Каждый играл 3 раза.
Сколько партий было сыграно?
Четырехногий стол с неравными ногами часто качается на плоском полу.
Может ли качаться трехногий стол, если у него ноги неравной длины?
В какую сторону горизонта направился Амундсен, возвращаясь с северного полюса, и в какую – возвращаясь с южного?
Дайте ответ, не заглядывая в дневники великого путешественника.
Полярные путешественники отмечают любопытную особенность лучей летнего Солнца в высоких широтах. Лучи его слабо греют там землю, зато оказывают неожиданно сильное действие на все предметы, возвышающиеся отвесно.
Заметно нагреваются крутые склоны скал и стены домов, быстро тают ледяные горы, растопляется смола в бортах деревянных судов, обжигается кожа лица и т. п.
Чем же объяснить подобное действие лучей полярного солнца на вертикально стоящие предметы?
В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:
«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100‐летним молодым человеком, я женился на 34‐летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами.
Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц»
и т. д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?
Полупустая бочка есть не половина пустой бочки, а такая бочка, одна половина которой пуста, другая – полна. Мы же рассуждали так, как будто слово «полупустая» значит: «половина пустой бочки», а «полуполная» – половина полной. Неудивительно, что при таком неправильном понимании мы пришли к неправильному выводу.
Прежде чем решить задачу, задайте себе вопрос: чего больше – людей на свете или волос на голове одного человека?
Разумеется, людей на свете неизмеримо больше, чем волос на голове. У нас волос на голове всего 150–200 тысяч, людей же на свете 1800 миллионов [3]. А если так, то неизбежно должны существовать люди с одинаковым числом волос! И не только во всем мире, но даже в каждом многолюдном городе, насчитывающем больше 200 тысяч жителей. В Москве 13,3 миллиона человек [4], и, значит, десятки москвичей должны иметь одинаковое число волос. Ведь не может же быть 1,5 миллиона
Чеканя монету до Р. X., римляне разве могли знать, что через 53 года родится Христос?
Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне все время ощущаются мерные толчки; никакие рессоры не могут сделать их неощутительными. Толчки эти происходят оттого, что колеса слегка сотрясаются в местах соединения двух рельсов, и этот толчок передается всему вагону. Значит, стоит лишь вам сосчитать, сколько толчков в минуту испытывает вагон, чтобы узнать, сколько рельсов пробежал поезд.
Теперь остается лишь умножить это число на длину рельса, – и вы получите расстояние, проходимое поездом в одну минуту.
На вопрос часового: «Зачем идешь?» – крестьянин дал такой ответ:
– Иду, чтобы быть повешенным вот на этой виселице.
Такой ответ поставил часового в тупик. Что он должен сделать с крестьянином? Повесить? Но тогда крестьянин сказал правду, за правдивый же ответ было приказано не вешать, а топить. Но и утопить нельзя: в таком случае крестьянин солгал, а за ложное показание предписывалось повесить.
Так часовой и не мог ничего поделать со сметливым крестьянином.
Вынимая жребий, осужденный поступил так: он вынул одну бумажку из ящика и, никому не показывая, разорвал ее. Судьи, желая установить, что было написано на уничтоженной бумажке, должны были извлечь из ящика оставшуюся бумажку: на ней была надпись «Смерть». Следовательно, – рассуждали судьи, – на разорванной бумажке была надпись «Жизнь» (они ведь ничего не знали о заговоре).
Готовя невинно осужденному верную гибель, враги обеспечили ему спасение.
Приговор был таков: учителю в иске отказать, но предоставить ему право вторично возбудить дело на новом основании – именно на том, что ученик выиграл свою первую тяжбу. Эта вторая тяжба должна быть решена уже бесспорно в пользу учителя.
Солдаты сели… друг к другу на колени! Выстроились по кругу, и каждый сел на колени своего соседа. Вы думаете, что последнему солдату пришлось все‐таки сидеть на болоте? Ничуть: при круговом расположении вовсе и нет этого «последнего» солдата: каждый опирается на колени своего соседа, и кольцо сидящих замыкается.
Если это представляется вам сомнительным, попробуйте с несколькими десятками товарищей устроить такое кольцо сидящих.
Вы сможете на деле убедиться, что изобретательный солдат нашел действительный, а не кажущийся выход из положения.
Пришлось сделать 6 следующих поездок:
1‐я поездка. Оба мальчика подъезжают к противоположному берегу, и один из них привозит лодку к разведчикам (другой остается на том берегу).
2‐я поездка. Мальчик, привезший лодку, остается на этом берегу, а в челнок садится первый солдат, который и переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с другим мальчиком.
3‐я поездка. Оба мальчика переправляются через реку, и один из них возвращается с челноком.
4‐я поездка. Второй солдат переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком.
5‐я поездка – повторение 3‐й.
6‐я поездка. Третий солдат переправляется на противоположный берег.
Челнок возвращается с мальчиком, и дети продолжают свое прерванное катание по реке.
Теперь все три солдата находятся на другом берегу.
Нелепый результат, который мы получили, исчисляя своих предков, объясняется тем, что нами упущено из виду одно весьма простое обстоятельство.
Мы не приняли в расчет, что наши отдаленные предки могут быть в кровном родстве между собой и, следовательно, иметь общих предков. Мой отец и моя мать, может, уже в 5‐м или 6‐м поколении назад имели общего деда, который, возможно, был и вашим предком, читатель. Это соображение разбивает все наши расчеты и уменьшает несметные полчища наших отдаленных предков до весьма скромной цифры, при которой не может быть речи о тесноте.
Младший брат, пойдя назад по движению, увидел идущий навстречу вагон и вскочил в него. Когда этот вагон дошел до места, где ожидал старший брат, последний вскочил в него. Немного спустя тот же вагон догнал шедшего впереди среднего брата и принял его. Все три брата очутились в одном и том же вагоне – и, конечно, приехали домой одновременно. Однако благоразумнее всего поступил старший брат: спокойно ожидая на одном месте, он устал меньше других.
Исчезнувший гость – это второй гость, который был незаметно пропущен при распределении стульев: после 1‐го и 11‐го гостя мы сразу перешли к 3‐му и следующим, миновав 2‐го. Оттого‐то нам и удалось разместить гостей на 10 стульях, по одному человеку на каждом.
Задача сводится, в сущности, к тому, чтобы разделить 10 килограммов масла на две равные по весу части. Положите на каждую чашку по бумажному листу и накладывайте на них масло до тех пор, пока 10 килограммов не распределятся поровну между ними. Ясно, что теперь на каждой чашке ровно 5 килограммов, – если только весы правильны.
И на неверных весах можно достичь того же, но более сложным путем.
Сначала надо разделить десять килограммов масла на две части так, чтобы они были приблизительно (на глаз) равны. Затем берут одну из этих частей, кладут на чашку весов, – на другую же чашку накладывают камешков или чего угодно до тех пор, пока чашки не будут уравновешены. Тогда снимают с чашки первую часть масла и вместо нее кладут вторую. Если окажется при этом, что чашки весов остаются на прежнем месте, то, значит, обе части масла равны, так как заменяют одна другую по весу. В таком случае, разумеется, каждая из них весит ровно 5 килограммов.
Если же чашки не будут на одном уровне, то надо от одного куска переложить немного масла на другой и повторять это до тех пор, пока обе порции не будут вполне заменять друг друга на одной и той же чашке весов.
Подобным же образом можно поступать на неверных пружинных весах: перекладывать масло из одного пакета в другой до тех пор, пока оба пакета не будут оттягивать указатель весов до одной и той же черты (хотя бы эта черта и не стояла против 5 килограммов).
Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно следовало даже более трех тысяч возов яблок, – как это ни невероятно.
В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.
За 1‐й час сторожу следовало 1 яблоко, за 2‐й час – 2 яблока, за 3‐й – 4 яблока, за 4‐й – 8, за 5‐й – 16, за 6‐й – 32, за 7‐й – 64, за 8‐й – 128, за 9‐й – 256, за 10‐й – 512.
Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около тысячи яблок. Но будем продолжать исчисление.
За 11‐й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12‐й – 2048, за 13‐й – 4096, за 14‐й – 8192, за 15‐й – 10 384.
Число яблок накапливается внушительное, но все же это далеко от трех тысяч возов.
Дальше. За 16‐й час уже следовало 32 768 яблок.
За 17‐й час следовало 65 536 яблок.
За 18‐й час следовало 131 072 яблок.
За 19‐й час следовало 262 144 яблок.
За 20‐й час следовало 524 288 яблок.
Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены – остается еще 4 часа.
За 21‐й час надо было уплатить 1 048 576 яблок.
За 22‐й час надо было уплатить 2 097 152 яблок.
За 23‐й час надо было уплатить 4 194 304 яблок.
За 24‐й час надо было уплатить 8 388 608 яблок.
Теперь остается сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Составится 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое число яблок по одному в секунду, понадобилось бы полгода непрерывного счета! Полагая по 10 яблок на килограмм, получаем, что все причитающиеся сторожу яблоки должны были весить 1 677 721 килограммов, или 1677 тонн. Это составило бы вагонов 80, груженых яблоками, или – считая по полтонны на воз – свыше 3000 возов.
Не правда ли, можно было найти сторожа и подешевле?
Крестьянка остановила поезд тем, что смазала маслом рельсы впереди паровоза. По скользким рельсам не могут катиться колеса паровоза; они вертятся на одном месте, но не катятся вперед, так как нет трения, благодаря которому колеса словно цепляются за рельсы. Вспомните, как трудно ходить по гладкому льду: ноги скользят, не находя опоры, и мы не можем сдвинуться с места. По той же причине не может сдвинуться и паровоз на скользких рельсах.
Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком.
История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются особые песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.
Место на Земле, откуда во все стороны горизонта простирается юг – это… северный полюс! И действительно: ведь северный полюс есть самая северная точка земного шара, и все точки кругом него лежат уже южнее.
Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912 году водружал в этом пункте английский флаг, он со всех сторон был окружен югом: «везде и всюду нескончаемый юг».
Перегнать Землю в ее суточном вращении вокруг оси вполне возможно на современном гоночном автомобиле, пробегающем свыше 200 километров в час (55 метров в секунду) или, еще лучше, на аэроплане, могущем лететь со скоростью 300 и более км в час. Конечно, этого нельзя сделать на экваторе, точки которого движутся со скоростью 460 метров в секунду; невозможно это даже и на широте Ленинграда (60°), где движение точек земной поверхности совершается со скоростью 230 метров в секунду. Но это вполне возможно уже на 83‐й широте и более. Здесь автомобилист, мчащийся в своем моторе с востока на запад, будет видеть солнце неподвижно висящим на небе, не приближаясь к закату [5].
Земля, конечно, продолжает вращаться, но автомобилист будет отъезжать на столько же в обратную сторону и, следовательно, по отношению к солнцу будет оставаться неподвижным.
При еще большей скорости автомобилист мог бы перегнать Землю и увидеть новое чудо: солнце, восходящее не с востока, а с запада! Земля под колесами автомобиля будет вращаться по-прежнему с запада на восток, но сам автомобиль будет обращаться вокруг земной оси с востока на запад.
Несообразность рисунка состоит в том, что лунный серп обращен своею выпуклою стороною не к солнцу, а от солнца. Ведь Луна освещается Солнцем, значит, она никак не может быть обращена к нему своею неосвещенною стороною…
«Большинство живописцев, – замечает по этому поводу известный французский астроном Фламмарион, – не знают еще этого, потому что не проходит года, чтобы в Парижском Салоне (зал для выставок) не появлялось большого числа лун в обратном положении».
Из всех мест земного шара легче всего живется, конечно, на экваторе – по той простой причине, что там все предметы становятся легче. Паровоз, весящий в Москве 60 тонн, становится по прибытии в Архангельск на 60 килограммов тяжелее, а в Одессе – на столько же легче.
Кто же похищает у паровоза эти 60 килограммов? Главным образом похищает их «центробежная сила»; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/250 долю по сравнению с весом того же тела у полюсов. А так как земной шар у экватора немного вздут, т. е. поверхность Земли там немного дальше от центра планеты, то это еще немного уменьшает вес предметов близ экватора.
В общей сложности потеря веса на экваторе достигает 1/250 доли по сравнению с весом того же тела на полюсе.
На этом основании какой‐то затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в экваториальных странах, а продавать их поближе к полюсам. Килограмм, будучи перенесен с экватора на полюс, прибавится в весе на целых 5 граммов, – если только пользоваться для взвешивания не весами с коромыслом, а пружинными (и притом непременно своего, «южного» изготовления); иначе, конечно, никакой выгоды не получится: на весах с гирями товар станет тяжелее, – но настолько же тяжелее сделаются и гири. Едва ли можно разбогатеть на такой торговле, – но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно увеличивается с удалением от экватора, где «всего легче живется на свете».
Пароход сделался бы на Луне в 6 раз легче, – но это вовсе не значит, что он будет гораздо мельче сидеть в лунном озере. Ведь и вода должна была бы на Луне весить в шесть раз меньше, чем на Земле. Плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно весит (закон Архимеда); следовательно, ничто не должно измениться в степени погружения парохода: он будет сидеть в воде на те же 3 метра.
Точно так же ничто не изменится и для пловца: его вес уменьшится во столько же раз, во сколько раз уменьшится вес вытесняемой им воды. Следовательно, плавучесть человека будет в лунном озере та же, что и в земном. Утонуть и там и здесь одинаково легко.
Когда вы удваиваете или утраиваете четное число, вы всегда получаете в результате тоже четное число. Другое дело с числом нечетным: при удвоении оно становится четным, но при утроении остается нечетным. Гривенник, следовательно, дает четное число и при удвоении и при утроении; напротив, 3 копейки дают четное только при удвоении; утроенные они дают число нечетное. Мы знаем также, что, складывая четное число с четным, получим четное, а складывая четное и нечетное, получим нечетное число.
Отсюда прямо вытекает, что если в нашем фокусе сумма оказалась четной, значит, три копейки были удвоены, а не утроены, – т. е. находились в правой руке.
Если бы сумма была нечетной, это означало бы, что три копейки подверглись утроению и, следовательно, находились в левой руке.
Если бы Земля была совершенно плоская, линия горизонта и в таком случае была бы окружностью!
Действительно: что такое горизонт? Линия, по которой небесный свод кажущимся образом встречается с землей. Но свод небесный имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии может пересекаться шаровая поверхность с плоскостью, как не по окружности?
Итак, круглая форма горизонта сама по себе не доказывает еще, что Земля кругла!
Где? За полярным кругом.
Когда? Около 21‐го декабря, когда зимнее солнце лишь на мгновение показывается верхним краем из-под горизонта в 12 часов дня, чтобы тотчас же скрыться снова под горизонт.
Действительно. Этот момент есть «утро», так как совпадает с восходом солнца; но он в то же время и вечер, так как совпадает с заходом солнца. Это безусловно полдень – 12 часов дня, и, конечно, рассвет, так как, пока солнце еще не вынырнуло из-под горизонта, длится утренняя заря. Итак, это – «рано утром, вечерком, в полдень, на рассвете».
Загадка объясняется тем, что один конец ленты, прежде чем приклеить его к другому, был повернут один раз. Легко убедиться на опыте, что тогда получается кольцо, ползая по которому, муха может обойти обе его стороны, нигде не переступая через края.
Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, тот, кто ходил, видел зато вдвое больше встречных людей.
Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на двойной его возраст. Пять лет назад отец был также, конечно, старше сына на двойной нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на тройной его тогдашний возраст.
Следовательно, двойной нынешний возраст сына равен тройному прежнему возрасту его, или – что то же самое – сын теперь в 11/2 раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет – это половина прежнего возраста сына; и, значит, пять лет назад сыну было 10 лет, а теперь ему 15 лет. Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Действительно: пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.
Вторая лодка опоздала потому, что двигалась с 24‐верстной скоростью меньшее время, чем с 16‐верстной. Действительно, с 24‐верстною скоростью она двигалась 24: 24 = 1 час, а с 16‐верстною 24: 16 = 11/2 часа. Поэтому она на пути туда потеряла времени больше, чем выгадала на обратном пути.
Нарисованы – в необычном повороте – следующие вещи: ножницы, бритва, вилка, карманные часы, ложка. Рассматривая какой‐нибудь предмет, мы, собственно говоря, видим его проекцию на плоскость, перпендикулярную к лучу зрения. В данном случае нам были показаны не те проекции, к которым мы привыкли, и этого достаточно, чтобы предмет сделался почти неузнаваемым.
Ошибочно думать, что для того, чтобы видеть себя в зеркале во весь рост, необходимо иметь зеркало до самого пола.
Нетрудно убедиться геометрическим построением, что нижняя половина зеркала вовсе не нужна: можно и без нее видеть свое отражение во весь рост.
Рассмотрим рисунок. Фигура
Линии
Сказанное остается справедливым, как бы далеко фигура ни отстояла от зеркала (см. рисунок).
Итак, чтобы видеть себя в зеркале во весь рост, вовсе не нужно иметь зеркало, доходящее до пола: достаточно, чтобы оно было вдвое короче нашего роста; повесить это зеркало надо на вертикальной стене так, чтобы верхний край его был чуть выше уровня наших глаз.
Если же зеркало повешено наклонно, то, как легко убедиться геометрическим построением, оно может быть даже короче, чем половина человеческого роста, и вы все‐таки увидите себя в нем с головы до ног.
Многие думают, что важнее иметь правильные весы, нежели правильный разновес. На деле же наоборот. Без правильных гирь не взвесить верно; если же гири правильны, то вы и на неверных весах сможете произвести верное взвешивание.
Для этого поступаете так. Кладете вещь, которую хотите взвесить, не сразу, а прежде помещаете на одну чашку какой‐нибудь другой груз, потяжелее вашей вещи; на другую чашку ставите столько гирь, сколько надо для равновесия.
Когда сказанное сделано, вы кладете вашу вещь на чашку с гирями. От этого чашка, конечно, перетянет, и для равновесия придется часть стоящих на ней гирь снять. Снятые гири и покажут правильный вес вещи. Понятно почему: ведь вещь теперь тянет на чашке с такой же силой, с какою тянули перед тем гири; значит, их вес в точности одинаков.
Этот прекрасный способ верно взвешивать на неправильных весах придуман великим русским химиком Д. И. Менделеевым. Способ Менделеева годится и для пружинного безмена; нетрудно догадаться, как, имея правильный разновес, верно взвесить на неверном пружинном безмене.
Платформа качнется вверх. Когда мы приседаем, мускулы, увлекающие наше туловище вниз, тянут ноги вверх; от этого давление тела на платформу уменьшается, и она должна податься вверх.
С помощью блока можно при указанных условиях поднять меньше, чем непосредственно. Когда я тяну за веревку, перекинутую через неподвижный блок, я могу поднять груз, не превышающий веса моего тела. Так как я вешу меньше 100 кило, то поднять такой груз с помощью блока я не могу.
Человек опустится на пол в то самое место, с которого он подпрыгнул. Не надо думать, что, пока он витал в воздухе, пол под ним вместе с вагоном, уносясь вперед, обгонял подпрыгнувшего. Вагон, конечно, мчался вперед, но подпрыгнувший человек тоже переносился вперед по инерции, и притом с одинаковой скоростью: он все время находился как раз над тем местом, с которого подпрыгнул.
Ошибочно думать, что бутылка скорее уцелеет, если будет брошена вперед по движению поезда. Надо, наоборот, бросить ее против движения вагона. Тогда скорость, сообщаемая бутылке при бросании, уменьшает ту скорость, которою обладает бутылка вследствие инерции, и оттого удар о землю ослабляется.
Другое дело – для человека, вынужденного почему‐либо покинуть вагон во время движения. Человеку следует прыгать вперед, – но не для того, чтобы уменьшить силу удара о землю, а для того, чтобы бегом вперед или выставлением рук уменьшить последствия удара.
Аэростат, уносимый воздушным течением, находится по отношению к окружающему воздуху в покое; поэтому флаги не станут протягиваться ветром ни в какую сторону, а будут свисать вниз, как в безветрие.
Проект несбыточен. Отделившись от земной поверхности, самолет (или стратостат) сохраняет по инерции окружную скорость Земли; он продолжает двигаться вместе с вращением земного шара и потому опустится в том самом месте, откуда поднялся.
По той же причине и цирковой наездник, подпрыгнув вверх с седла скачущей лошади, опускается не позади седла, а на самое седло.
Котел и горшок, согласно закону действия и противодействия, наносили друг другу удары строго одинаковой силы. Но котел был чугунный, горшок – глиняный; поэтому одинаковые удары должны переноситься ими не с одинаковой стойкостью. Это картинно отмечено и баснописцем:
Этою «слабостью натуры» и объясняется печальный финал дружбы горшка с котлом. Равенству взаимодействий нисколько не противоречит различие последствий этих действий, зависящее от неодинаковой прочности обоих тел.
Короткий маятник качается быстрее, нежели длинный, – в этом нетрудно убедиться, проделав опыты с маятниками различной длины. Поэтому, когда ходики отстают, надо несколько поднять шишку маятника, то есть укоротить его. Напротив, когда часы уходят, надо маятник удлинить, опустив его шишку.
Пробка выносится из бутылки только с последней порцией воды потому, что, будучи легче воды, она всегда находится на ее поверхности.
Воздушный шар, вырвавшись из рук, уносится не к крайним границам атмосферы, а лишь до своего «потолка», до той высоты, где вследствие большой разреженности воздуха вес шара равен весу вытесняемого им воздуха.
Но он не всегда достигает потолка. Так как шар, поднимаясь, раздувается (из-за уменьшения наружного давления), то еще до достижения «потолка» он может лопнуть, распираемый изнутри.
Северный магнитный полюс Земли, к которому направляется конец стрелки компаса, не совпадает с северным географическим полюсом.
Поэтому компас, помещенный между северным магнитным и северным географическим полюсами, должен показать северным концом своей стрелки не на север, а на юг.
Магнит и железо притягивают друг друга с одинаковой силою (по закону действия и противодействия). Сдвигается при этом с места то тело, которое подвижнее. Поэтому, когда мы приближаем легкий кусок железа к более тяжелому магниту, нам кажется, что железо притягивается магнитом; при обратном соотношении весов мы наблюдаем, как магнит притягивается железом.
Правильнее в смысле сбережения тепла шить шубы мехом внутрь – вот почему. Шуба «греет» оттого, что воздух, заключенный между волосами ее меха, дурно проводит теплоту, следовательно, уменьшает теплоотдачу нашего тела. В шубе, сшитой мехом внутрь, воздух между волосами, нагретый нашим телом, сохраняется дольше, нежели в мехе, обращенном наружу, где он гораздо скорее заменяется холодным окружающим воздухом.
Шьют же сибиряки полушубки шерстью наружу просто из соображений гигиенических – в таком мехе менее часто заводятся паразиты-насекомые.
Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления.
У шестигранного карандаша не шесть граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинен, восемь: шесть боковых и еще две маленькие «торцевые» грани. Будь у него в действительности шесть граней, он имел бы совсем иную форму – бруска с четырехугольным сечением.
Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: трехгранная призма, четырехгранная призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть треугольная, четырехугольная и т. д. – по форме основания. Трехгранной призмы, то есть призмы о трех гранях, даже и не существует. Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не «шестигранным», а «шестиугольным».
Ответы не были единообразны. Одни из решавших задачу утверждали, что, бегая по веревке, обезьяна не может оказать никакого действия на груз: гиря не сдвинется с места. Другие полагали, что при движении обезьяны вверх груз будет опускаться. И лишь меньшинство высказало мысль, что гиря подвинется вверх, навстречу обезьяне.
Последний ответ и является единственно правильным [6]: движение обезьяны вверх должно вызвать не опускание, а подъем гири. Когда обезьяна взбирается вверх по свисающей с блока веревке, сама веревка под ее руками должна двигаться обратно вниз.
Не следует думать, что аэростат остается в покое. Пока человек взбирается по лестнице вверх, аэростат будет опускаться вниз.
Вспомните, что получается, когда вы ходите по легкой лодке: под вашими ногами она отступает назад. Точно так же и лестница, отталкиваемая вниз ногами взбирающегося по ней человека, увлечет аэростат к земле.
Величина перемещения шара вниз при этом во столько же раз меньше величины поднятия человека по лестнице, во сколько раз масса шара больше массы человека.
Снег имеет белый цвет по той причине, по какой белым кажется толченое стекло и вообще всякие измельченные вещества. Растолките лед в ступке или наскребите его ножом, – у вас получится порошок белого цвета. Объясняется это тем, что лучи света, проникая в мелкие кусочки прозрачного льда, не проходят через них, а отражаются на границах льдинок и воздуха в различные стороны (полное внутреннее отражение). Поверхность же, беспорядочно рассеивающая во все стороны падающие на нее лучи, воспринимается глазом как белая.
Чистая вода, попадая на камень, не оставляет на его поверхности ни малейшего следа, сколько бы лет или тысячелетий ни длился такой процесс. Если бы падающая вода была абсолютно свободна от примесей, она не «долбила» бы камень. Но вода в природе всегда содержит в большем или меньшем количестве твердые частицы, например, кварцевого песка, способные царапать поверхность камня. Как ни слабы эти царапины, они все же производят в конце концов заметные разрушения.
Следовательно, не вода долбит камень, а те твердые незаметные для глаза частицы, которые она несет с собою. Точно так же не кожаная подошва стирает каменные ступени лестниц, а те крупинки песка, которые пристают к обуви.
Для холодных напитков делают стаканы с толстым дном, чтобы они устойчиво стояли и не так легко опрокидывались (центр тяжести их близок к основанию). Для горячих напитков пользоваться такими стаканами нельзя потому, что толстое стеклянное дно из-за неравномерного прогревания жидкостью растрескивается.
При ходьбе какая‐то часть наших ступней всегда соприкасается с землей, а при беге на каждом шагу бывает момент, когда тело находится в воздухе без опоры. В этом, а вовсе не в скорости, и отличие ходьбы от бега.
Строго говоря, следовало бы утверждать, что «в темноте все кошки черны», потому что при отсутствии освещения предметы не видны вовсе.
Но поговорка имеет в виду не полную темноту, а мрак в обиходном смысле слова, т. е. весьма слабое освещение. Первоначальный, не переносный смысл поговорки тот, что при недостаточном освещении глаз наш перестает различать окраску – каждая поверхность кажется серой.
Легко убедиться в полной правильности этого утверждения. Приглядываясь в сумерки к цветам предметов, мы замечаем, что цветовые различия стираются, и все вещи кажутся более или менее темно-серыми: и красное одеяло, и синие обои, и оранжевая обивка мебели, и фиолетовые цветы, и зеленые листья.
Точные измерения подтверждают это наблюдение. Если окрашенную поверхность осветить слабым белым светом (или белую поверхность – слабым окрашенным светом), постепенно усиливая освещение, то глаз сначала видит просто серый цвет, без какого‐либо цветового оттенка. И лишь когда освещение усиливается до определенной степени, становится заметным, что поверхность имеет цвет. Ta степень освещения, при которой начинает улавливаться окраска, называется в науке «низшим порогом цветового ощущения».
Итак, буквальный и вполне правильный смысл пословицы тот, что ниже порога цветового ощущения все предметы кажутся серыми.
Наблюдение А. П. Чехова совершенно правильно и находится в полном согласии с физикой. Установлено, что если окрашенную поверхность освещать слабым белым светом, постепенно усиливая освещение, то глаз сначала видит просто серый цвет, без какого‐либо цветового оттенка. И лишь когда освещение усиливается до определенной степени (до «низшего порога цветового ощущения»), глаз начинает замечать, что поверхность окрашена.
Это давно подмечено и народной мудростью: у многих народов есть поговорка «в темноте все кошки серы».
Отверстие в стекле, образуемое пулей, всегда расширяется в сторону, противоположную той, откуда стреляли. По этому признаку легко установить, сделан ли выстрел изнутри или снаружи.
Ни при каком нагревании отверстие не закроется, так как при повышении температуры отверстия не сужаются, а, напротив, расширяются.
Это ясно из следующего рассуждения. Если бы дырочки не было, то заполняющее ее вещество при нагревании тела расширялось бы в такой же мере, как и окружающий материал; иначе образовались бы либо складки, либо зазор. Между тем известно, что при тепловом расширении всякого однородного тела никаких складок или скважин в нем не возникает. Отсюда ясно, что лист с дырочкой расширяется так, будто дырочка заполнена железом; иначе говоря, дыра при нагревании увеличивается как равный ей участок железного листа. Поэтому объемы сосудов, просветы труб, всякого рода полости в телах при нагревании увеличиваются (а при охлаждении уменьшаются).
Итак, добиться закрытия дырочки нагреванием невозможно: дырочка сделается еще больше. Можно ли достигнуть этой цели путем охлаждения? Можно ли настолько охладить железный лист, чтобы дырочка в нем исчезла?
Так как коэффициент расширения железа 0,000 012, а наибольшее охлаждение равно минус 273 °C, то ясно, что дырочка никак не может уменьшить диаметра просвета более чем на 0,000 012 * 273, т. е. примерно на 0,003.
Значит, никаким изменением температуры нельзя достичь того, чтобы отверстие в твердом теле, даже самое маленькое, закрылось.
Задача кажется очень легкой, однако редко приходится слышать правильный ответ. Большинство думает, что скорость лодки в такой бинокль увеличится втрое; меньшинство полагает, что наблюдение в бинокль совсем не меняет величины скорости. Но редко кто догадывается, что бинокль уменьшает скорость, и как раз во столько раз, во сколько он увеличивает предмет!
Это неожиданное свойство бинокля объясняется довольно просто.
Предположите, что лодка находится от вас на расстоянии 6 км. Глядя в бинокль, вы увидите лодку словно на расстоянии двух километров, потому что ваш бинокль увеличивает ее видимые размеры втрое. Пусть лодка идет со скоростью 6 км/ч. Через полчаса она приблизится к вам на 3 км, т. е. очутится от вас на расстоянии 3 км. В бинокль же она будет казаться втрое ближе – в одном километре. Если вы сравните прежнее расстояние лодки, видимой в бинокль, с новым, т. е. 2 км с 1 км, то выйдет, что за полчаса лодка подошла только на 1 километр и, значит, двигалась со скоростью 2 км/ч.
Вы убеждаетесь, что скорость приближающейся лодки при наблюдении в бинокль действительно втрое меньше, чем для невооруженного глаза: 2 км/ч вместо 6 км/ч.
Игроки в одинаковых условиях: обоим одинаково легко (или одинаково трудно) добросить свой мяч до партнера.
Это кажется на первый взгляд неправдоподобным: ведь мяч, брошенный к носу парохода, должен догонять стоящего там игрока, который несется вперед вместе с пароходом; напротив, мяч, брошенный к корме, летит к игроку, который несется ему навстречу. Это, безусловно, верно; но к скорости мяча, брошенного от кормы к носу, прибавляется скорость парохода, а от скорости мяча, брошенного к корме, скорость парохода отнимается. Поэтому невыгода первого мяча смягчается, а выгода второго понижается, и оба мяча оказываются в одинаковых условиях.
Если бы это было не так, то стрелок, стреляющий в восточном направлении, в сторону вращения Земли, имел бы огромную выгоду перед тем стрелком, который посылает пулю на запад, против вращения Земли. На самом деле ничего подобного не наблюдается.
Допустим ради простоты, что трасса полета пролегала по одному из земных меридианов. Так как все точки каждого меридиана Земли вместе с атмосферой вращаются вокруг ее оси, то очевидно, что самолет во всех точках своего пути должен участвовать во вращении нашей планеты. То же самое должно происходить и в случае, если трасса полета не совпадает с меридианальным направлением.
Зернам надо придать форму цилиндров с продольными каналами.
При горении наружная поверхность цилиндра будет уменьшаться, а внутренняя поверхность каналов благодаря расширению от нагрева будет увеличиваться. Так как каналов несколько, то увеличение их поверхности на первых порах значительнее, чем уменьшение наружной поверхности.
Изображение, которое мы видим в плоском зеркале, находится как бы позади поверхности зеркала. Оно кажется нам удаленным от этой поверхности на такое же расстояние, на какое мы сами удалены от нее, поэтому, если мальчик приблизится к одному из зеркал, скажем, на 1 метр, то его изображение в этом зеркале приблизится к нему на 2 метра, но зато его изображение в другом зеркале отдалится от него также на 2 метра.
Таким образом, расстояние между изображениями в обоих зеркалах будет всегда оставаться постоянным.
Круглый графин или колба, наполненные водой, могут действовать как зажигательное стекло, если на них падают солнечные лучи. Известны случаи, когда круглый графин с водой, стоявший у окна в солнечный день, зажигал бумагу, на которой он стоял, и служил непосредственной причиной пожара.
Под действием веса автомобиля шина более или менее сдавливается в месте соприкосновения с поверхностью дороги. По мере вращения колеса вся шина проходит через этот процесс сдавливания. Сдавленное место перемещается, причем это перемещение происходит в направлении, обратном вращению колеса. Поэтому воздух, находящийся в шине, также начинает вращаться в сторону, противоположную вращению колеса автомобиля.
Так как открытый конец длинного сосуда опускается на бoльшую глубину, чем открытый конец широкого сосуда, то воздух, находящийся в длинном сосуде, сжимается сильнее, чем воздух в коротком сосуде, поэтому длинный сосуд вытесняет меньше воды, чем короткий, и поэтому, по закону Архимеда, для погружения его в воду придется применить меньшую силу, чем для погружения в воду короткого и широкого сосуда.
Вес песочных часов все время остается одним и тем же. Потеря в весе, происходящая от того, что часть падающих песчинок находится в воздухе, точно и полностью уравновешивается той силой, с которой другие песчинки в этот момент ударяют о дно нижнего сосуда.
Мороженое тает потому, что оно поглощает теплоту из окружающего воздуха. По мере того как воздух, находящийся близ мороженого, охлаждается, он опускается вниз, а на смену ему приходит сверху более теплый воздух.
Чем скорее происходит этот обмен воздуха, тем скорее будет таять мороженое, поэтому вентилятор, который сильно ускоряет обмен воздуха, не только не охладит мороженое и не сохранит его в твердом виде, а наоборот, только ускорит его таяние.
Когда руки мальчика вытянуты в стороны, кирпичи описывают круг большего диаметра, чем в том случае, когда мальчик опускает руки. Скорость их движения в первом случае больше, чем во втором. А так как по инерции кирпичи стремятся сохранить свою первоначальную скорость, то когда мальчик опустит руки, будет наблюдаться внезапное увеличение скорости платформы, на которой он стоит.
Если мальчик вновь поднимет руки с кирпичами, то произойдет обратное явление, и скорость вращения платформы внезапно замедлится.
Играли четверо, каждый играл 3 раза, но всех партий было сыграно не 12, а только 6: ведь в партии участвуют двое.
В самом деле. Пусть играют А, Б, В и Г. В шести партиях играли:
А с Б Б с В
А с В Б с Г
А с Г В с Г
Легко убедиться, что каждый играл трижды.
Трехногий стол никогда не качается. Если вы спросите математика, почему это так, он ответит:
«Потому что через три точки пространства может проходить только одна плоскость. Концы ног стола – это три точки пространства, а пол – плоскость».
Теперь вам должно быть понятно, почему фотоаппараты, землемерные и т. п. инструменты всегда устанавливаются на треногах. Делается это не из желания сэкономить материал четвертой ножки, а для того, чтобы приборы не качались.
Северный полюс – самая северная точка земного шара.
Куда бы мы оттуда ни направились, – мы бы отправились на юг. Возвращаясь с северного полюса, Амундсен мог направиться только на юг; иного направления оттуда не было. Вот выписка из дневника его полета к северному полюсу на «Норвегии»:
«„Норвегия“ описала круг около северного полюса. Затем мы продолжали путь… Курс был взят на юг в первый раз с того времени, как дирижабль оставил Рим».
Точно так же с южного полюса Амундсен мог идти только к северу.
У Козьмы Пруткова есть шуточный рассказ о турке, попавшем в «самую восточную» страну. «И впереди восток, и с боков восток. А запад? Вы думаете, может быть, что он все‐таки виден, как точка какая‐нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток. Короче: везде и всюду нескончаемый восток».
Такой страны, окруженной со всех сторон востоком, на земном шаре существовать не может. Но место, окруженное всюду югом, на Земле имеется, как и пункт, охваченный со всех сторон «нескончаемым» севером. На северном полюсе можно было бы соорудить дом, все четыре стены которого обращены на юг.
Мы имеем здесь неожиданное следствие физического закона, в силу которого действие лучей тем значительнее, чем отвеснее падают они на поверхность тела. Солнце в полярных странах даже летом стоит невысоко: его высота за полярным кругом не может превышать половины прямого угла, а в высоких широтах значительно меньше половины прямого угла.
Легко сообразить, что если солнечные лучи составляют с горизонтальной поверхностью угол меньше половины прямого, то с отвесной линией они должны составлять угол больше половины прямого, иначе говоря, встречать вертикальные поверхности довольно круто.
Теперь понятно, что по той же причине, по какой лучи полярного солнца слабо греют землю, они должны усиленно нагревать все отвесно возвышающиеся предметы.
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления – вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44‐летнего возраста), 100‐летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 – наибольшая в этой системе (как 9 – в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5.
Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором – не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 × 10 + 4, как в десятичной системе, a 4 × 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:
«34» = 3 × 5 + 4 = 19
«11» = 5 + 1 = 6
«200» = 2 × 25 = 50
«10» = 5
«1/10» = 1/5
«130» = 25 + 3 × 5 = 40
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет.
«Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25‐летним молодым человеком, я женился на 19‐летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 6 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей».
Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда: 119: 5 = 23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе – 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5: 23: 5 = 4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») – 4.
Итак, 119 = 4 × 25 + 3 × 5 + 4, или в пятеричной системе «434».
Произведенныее действия для удобства располагают так:
Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.
Предметом настоящего очерка будут не бесплодные мистические умозрения, которым так любили предаваться философы пифагорской школы, но то чудесное, которое действительно заключается в числах. Во всех тех случаях, где наши представления о предметах становятся неясными вследствие их невообразимой громадности или ничтожности, там «мертвые» цифры одни лишь в состоянии дать твердую опору нашему мышлению. Конечно, не всегда употребление чисел ведет к уяснению предмета. Часто приходится слышать такие фразы: «Что можно разобрать в этих длинных рядах чисел?» Разумеется – ничего, если числа употреблены неуместно. Но в громадном большинстве случаев в том и состоит достоинство чисел, что они дают воображению нормальную меру для оценки вещей, и можно указать на много примеров, где наши знания, не основанные на точных числовых данных, теряют всякое значение. С особенным правом это можно сказать о чрезвычайно малых величинах, еще менее доступных нашему воображению, чем те нескончаемые колонны цифр, с какими беспрестанно приходится сталкиваться в астрономии.
Начнем с последней. Блуждая глазами в чудный летний вечер по темно-синему бархату неба, усеянному тысячами мерцающих точек, кто не задавал себе вопроса: как далеки от нас эти загадочные светила? Из каких отдаленных областей Вселенной шлют они нам свой кроткий, мерцающий свет? Ответ на подобный вопрос не так прост. Возьмем для примера яркую звезду в задней левой ноге всем известной Большой Медведицы – звезду, которая по Струве [7] в 120 раз превосходит наше Солнце в объеме; оказывается, расстояние ее от нас в 71/2 миллионов раз более радиуса земной орбиты. Умножьте 20 000 000 миль [8] на 7 500 000, и вы получите для этого расстояния почтенную величину в 150 триллионов миль!
Свет, как известно, пробегает в секунду круглым числом 40 000 миль и употребляет 8½ минут, чтобы пройти расстояние от нас до Солнца. Но чтобы достигнуть до нас от ближайшей звезды – яркой α в созвездии Центавра (невидимой в северном полушарии), световой луч должен пространствовать целых 3½ года. Для избежания очень больших чисел при измерении звездных расстояний астрономы даже ввели в употребление особую единицу – так называемый «световой год», т. е. путь, проходимый светом в течение одного года [9]. Световой год, следовательно, равен 40 000 миль, умноженным на число секунд в году; мы советуем читателю проделать это вычисление, чтобы убедиться, что эта новая «космическая» мера длины не очень мала. Тем не менее, она не оказалась и слишком громоздкой: Гершель, например, пытался определить расстояние до Земли самого отдаленного из видимых в его телескоп туманных пятен – и оказалось, что оно равно не менее чем 20 миллионам световых лет! Над этим стоит призадуматься. Световой год равен 1¼ триллиону миль; следовательно, упомянутое туманное пятно удалено от нас на 1 250 000 000 000 × 20 000 000 = 25 квинтиллионов миль!
Будет совершенно бесполезно продолжать далее, если мы не составим себе сколько‐нибудь ясного представления об упомянутых числах. Мы слышим о триллионах и квинтиллионах, но понимаем ли мы ясно, как велик один триллион? Постараемся несколько разъяснить это понятие. Знаете ли, например, сколько нужно времени, чтобы сосчитать до триллиона? Считая безостановочно день и ночь по три в секунду, мы должны будем продолжать такой счет… 10 000 лет!
Но в астрономии приходится иметь дело не с одними расстояниями, а и с объемами небесных тел; так, например, объем Солнца равен 3,326 триллионам кубических миль [10]. Для того чтобы сосчитать эти 3,326 триллиона, потребовалось бы по прежнему расчету 34 миллиона лет!
Даже одна кубическая и квадратная миля есть также очень солидная величина. Вообразим, что мы складываем в одно место кубики в 1 кубический дециметр, каждую секунду по одному; проработав таким образом 13 миллионов лет, мы сложим наконец одну кубическую милю. На поле, имеющем по миле в длину и ширину, с удобством может поместиться 1/3 всего населения земного шара [11].
После этого отступления мы можем идти далее. Какова истинная температура Солнца – того очага, который служит единственным источником энергии на Земле и других планетах нашей системы – точно установить, разумеется, нельзя [12]. Целльнер [13] определяет ее в 13 250° по Цельсию на поверхности светила и в 1 112 000 °C в центре, в то время как другие исследователи дают или меньшие числа – 8 000 °C, или гораздо бoльшие – 4 000 000 °C. Точнее удается определить то количество тепла, какое наша Земля получает от Солнца.
Если бы можно было собрать все тепло, получаемое нами в течение года, то его хватило бы, чтобы растопить слой льда, облекающий всю поверхность Земли и имеющий в толщину 15 саженей [14]. Количеством теплоты, которое излучает Солнце на Землю в один день, можно было бы нагреть 273 миллиона кубических метров воды на 1 °C; нужно сжечь 9 триллионов килограммов углерода (каменного угля, например), чтобы искусственно произвести то же количество тепла. Не забудем, однако, что тепло исходит от Солнца по всем направлениям и на нашу долю перепадает, следовательно, лишь незначительная часть того теплового богатства, которое дневное светило в изобилии изливает в холодное мировое пространство и которое, по-видимому, тратится совершенно бесплодно. Рассчитать, какою именно частью всего излучаемого Солнцем тепла пользуется Земля, нетрудно; она равна одной 2160‐миллионной, и только об этой ничтожной части тепловой энергии Солнца дают нам понятие вышеприведенные числа.
Так как мы упомянули ранее об углероде, то уместно будет обратить внимание на следующие обстоятельства. Углерод не только является главным источником искусственного тепла на земной поверхности, но составляет также около 1/2 всей массы растения в сухом состоянии. Весь этот углерод поглощается растениями в течение их жизни из окружающей среды и усваивается ими процессом питания. Эта главная составная часть растения берется не из почвы, а из атмосферы, и именно в виде углекислоты. Последней в воздухе находится не более 0,0004 по объему; но так как вся атмосфера, облекающая земной шар, весит 51/2 квинтиллионов килограммов, а литр углекислоты весит 2 грамма, то весь запас этого газа на земном шаре равен 3000 триллионов килограммов; 3/11 этого числа, т. е. 818 триллионов килограммов, приходится на чистый углерод. Этих огромных запасов углерода, растворенных в атмосфере, окажется достаточно, чтобы в течение неопределенно долгого времени поддерживать круговорот органической жизни на земной поверхности. Но вычислено, что уже один только пушечно-литейный завод Круппа ежедневно сжигает 21/3 миллиона килограммов угля, т. е. превращает их в 9 миллионов килограммов углекислоты; считая по 300 рабочих дней в году, мы придем к заключению, что упомянутый завод ежегодно вносит в атмосферу 21/2 миллиарда килограммов углекислого газа. Если уже один этот завод в такой степени обогащает воздух углекислотой, то сколько этого газа поступает от совокупной деятельности всех заводов и фабрик всего мира?
Но это еще не все. Человек выделяет ежедневно около 450 000 кубических сантиметров углекислого газа, весящих 900 граммов и содержащих 245 граммов чистого углерода. Все население земного шара определяется в 1400 миллионов человек; принимая в расчет только что приведенные цифры, нетрудно убедиться, что человечество ежедневно производит круглым числом 1300 миллионов килограммов углекислоты, содержащих 350 миллионов килограммов углерода. Это дает в год для одних только людей 130 000 миллионов килограммов, которые и поступают целиком в атмосферу. Если же принять в расчет и всех животных, обитающих на земном шаре, то придем к заключению, что одним лишь процессом дыхания доставляются в атмосферу ежегодно сотни тысяч миллионов килограммов углекислоты.
Уже ряды чисел, измеряющих грандиозные предметы и явления природы, подавляют наше воображение. Но то же действие оказывают на нас и мельчайшие дроби, с которыми мы встречаемся, спустившись из «макрокосмоса» в «микрокосмос». Материальной основой жизни является, как известно, клетка – животная или растительная; это тот элемент, или кирпич, из массы которого слагается весь сложный организм животного и растения. Каких же размеров эти органические кирпичики? Клетки, диаметр которых составляет крупную долю миллиметра, уже считаются большими; мельчайшие же клетки имеют в поперечнике только 1/1000 миллиметра, а часто и того меньше. Но какие числа мы получим, если вздумаем определить вес подобного, только под микроскопом заметного органического существа? По Негели [15] одноклеточный грибок в 1/500 миллиметра в диаметре весит приблизительно 1/250000000 миллиграмма. Но так как у большинства растений главную часть их массы, именно 75 %, составляет вода, то тот же грибок в сухом виде должен весить всего 1/800000000 миллиграмма. У еще меньших грибков и бактерий число это уменьшается до 1/30000000000 миллиграммов, т. е. требуется 30 миллиардов таких грибков, чтобы получить массу в 1 грамм (1/5 золотника [16]).
Но всего удивительнее необыкновенно быстрое размножение этих ничтожных организмов. Одна бактерия в течение 20 минут посредством простого деления пополам распадается на 2 новых организма, каждый из которых через 20 минут снова делится надвое и т. д., поэтому через 2 часа могут образоваться уже 64 организма, через 3 часа – 512, через 4 часа – 4096, через 8 часов – более 16 миллионов, через 16 часов – более 280 триллионов! Здесь кстати будет припомнить известную историю о награде, которую пожелал получить изобретатель шахматной игры, – она также основана на подобном процессе удвоения. Когда индийский шах Ширам, придя в восторг от остроумной игры, предложил изобретателю назначить себе любую награду, то последний пожелал только одно пшеничное зерно за первое поле шахматной доски, 2 – за второе, 4 – за третье и т. д. Шах, удивленный скромностью изобретателя, отдал приказ исполнить его желание, но был, вероятно, не менее изумлен, когда ему доложили, что на последнее, 64‐е поле доски приходится около 18 446 744 073 709 552 000 зерен! [17] Чтобы собрать такое количество, необходимо в течение 70 лет подряд засевать всю твердую поверхность земного шара.
Возвращаясь опять к бактериям, припомним, что среди них находятся наиболее опасные возбудители болезней. Результаты наблюдений Микеля [18] в обсерватории на Монтсури крайне неутешительны для человечества. Чтобы определить природу и количество заключающейся в воздухе пыли, названный ученый употреблял покрытые глицерином доски, над которыми заставлял проходить определенный объем воздуха. Вывод был таков, что в той местности, где производились опыты, ежедневно путем дыхания в человеческий организм проникает около 300 000 грибных спор и 2500 бактерий. Подобными же наблюдениями выяснилось, что в одной из лучших парижских лечебниц каждый человек ежедневно вдыхает всего 80 000 спор, но зато более 150 000 бактерий.
К мельчайшим образованиям в природе принадлежат, между прочим, и так называемые устьица, или дыхальца растений, при помощи которых у них совершается процесс дыхания и испарения поглощенной корнями воды.
Эти образования, в огромном количестве разбросанные главным образом на нижней поверхности листьев, необыкновенно малы: они едва достигают 6 или 7 сотых долей миллиметра, а их отверстие часто не превышает 1/80 миллиметра. Будучи столь малы, устьица тем не менее играют огромную роль в жизни растения благодаря своей необыкновенной многочисленности.
На один квадратный миллиметр поверхности листа приходится часто около 700 устьиц; если даже взять среднюю цифру 200 на квадратный миллиметр, то мы придем к заключению, что самый маленький листок с поверхностью в 1 квадратный сантиметр имеет на одной только своей стороне около 2 миллионов этих микроскопических образований.
Человеческий волос, как известно, очень тонок: его тонкость даже вошла в поговорку. Диаметр волоса колеблется между 1/10 и 1/20 миллиметра; но уже обыкновенные волокна шелка превосходят волос по тонкости, так как едва достигают 1/60 доли миллиметра. Но что это значит в сравнении с необыкновенной тонкостью паутинной нити, которая в свою очередь состоит из нескольких сот еще более нежных волоконец, продавливаемых при своем образовании через микроскопическое решето на брюшке паука?! Впрочем, теперь и искусственно удалось приготовить волокна, которые по тонкости не уступают паутинным; кварцевые нити, полученные Бойсом [19], имеют в диаметре около 3/10000 миллиметра.
Крайне мелкими предметами являются, далее, кровяные шарики. Объем одного такого тельца человеческой крови определяется в 0,000 000 07 кубических миллиметров, вес – в 0,00008 миллиграммов и общая поверхность в 0,000 128 квадратных миллиметров. Один кубический сантиметр крови содержит около 5 миллионов этих образований, так что во всех 5 литрах крови, заключающихся в человеческом теле, находится 25 миллиардов кровяных шариков. Нетрудно вычислить, что все эти 25 миллиардов телец, положенные рядом, дадут нить, которую можно три с половиною раза обмотать вокруг земного шара по экватору.
Чрезвычайно тонки также и те кровеносные сосуды, которым присвоено название волосных [20], хотя в действительности они много тоньше волоса.
Наиболее нежные волосные сосуды находятся в мозгу и сетчатой оболочке глаза: их диаметр определяют в 0,006 миллиметра и даже еще менее. Вообще человеческий организм представляет много любопытных примеров, которые следовало бы вместить в рамки нашей статьи: так, например, число потовых желез, заключенных в коже человека, доходит до 4 миллионов.
Если мы вычислим, какой запас энергии поступает в организм благодаря той массе пищи, которую взрослый человек ежедневно принимает, то получим поразительную цифру в 2½ миллиона малых калорий теплоты [21].
Так как одна единица тепла способна произвести работу в 424 граммометра [22], т. е. поднять, например, 1 грамм на высоту 424 метра, то полученное нами количество теплоты представляет запас механической работы, которая способна поднять 1 килограмм на высоту 115 миллионов метров, или (принимая вес человеческого тела за 75 килограммов) поднять человека на высоту более 15 тысяч метров – вдвое выше, чем высочайшая гора в мире. В действительности, однако, этот гигантский запас энергии не превращается целиком в механическую работу, но передается воздуху и окружающим предметам через теплопроводность и излучение и тратится на испарение.
Известно, что наши ощущения вызываются внешними раздражениями окончаний нервов. Многим покажется невероятным, чтобы и в этой области было что‐нибудь измеримое. Но в самом деле точными методами опытной психологии [23] удалось определить величину того промежутка времени, который отделяет раздражение от соответствующего ему ощущения: он равен в среднем 1/10 секунды. Поэтому когда, например, сверкает молния, то проходит около 1/10 секунды, прежде чем явление это проникнет в наше сознание. Астрономы даже принимают в расчет этот промежуток времени и вводят его в свои рассуждения под именем «личного уравнения» [24]. Была измерена даже скорость мышления, т. е. та скорость, с какой отдельные представления вызывают друг друга в нашем сознании (скорость ассоциации представлений). Оказывается, что мы мыслим в сущности довольно медленно, и столь часто употребляемое выражение «двигаться с быстротой мысли» должно утратить теперь свой смысл. Представления, которые часто возникали вместе, воссоздают друг друга приблизительно в 1/3 секунды, а менее тесно связанные представления вызывают одно другое даже по истечении целой секунды. Это единственный пример того, что мы иногда до смешного преувеличиваем числа и величины. Любопытным примером заблуждений подобного рода могут служить наши обычные представления о числе звезд на небе. Мы уверены, что видим на небе «мириады» звезд, и склонны думать, что сосчитать звезды – самая неисполнимая задача. Но стоит только приняться за подобный счет, чтобы убедиться, насколько все эти уже издавна укоренившиеся представления далеки от истины. Действительно, в самую ясную ночь хороший глаз видит не более 3000 звезд, а средний – и того меньше; поэтому считать звезды так же легко, как сосчитать, например, число солдат в полку.
Деятельность сердца также представляет много поразительного с количественной стороны. Масса крови, приводимой в движение одним ударом сердца, равна 175 граммам; принимая в расчет, что сердце делает в среднем 75 ударов в минуту, мы придем к заключению, что суточная работа сердца равна 75 000 килограммометров. Наконец, любопытно отметить, что в продолжение всей человеческой жизни (70 лет) сердце, работая безостановочно день и ночь от рождения до смерти, успевает сделать 2550 миллионов ударов.
Спускаясь в мир мельчайших живых существ, справедливо названных простейшими, мы снова сталкиваемся с удивительными числами. Необходимо более 11/2 миллионов красивых раковин корненожек, чтобы получить массу в 1 грамм; и все же целые слои земной коры составлены из остатков этих животных. То же самое можно сказать и о радиоляриях, микроскопические кремневые скелеты которых, представляющие поистине чудо искусства, не превышают в диаметре 0,06 миллиметра; а между тем остров Барбадос целиком состоит из праха этих существ, не говоря уже о мощных отложениях их скелетов на материке.
По уверениям физиков, мельчайшие водяные пузырьки, плавающие в туманном воздухе и соединяющиеся в дождевые капли, обладают объемом в 0,000 000 07 кубического миллиметра. Необходимо поэтому, чтобы миллиард таких пузырьков слились друг с другом – и тогда лишь мы получим одну каплю воды. Здесь, как и во всех других случаях, сталкиваясь с ничтожными величинами, мы встречаемся также и с огромными множителями, благодаря которым эти сами по себе незаметные величины становятся доступными для наших чувств.
Самые малые предметы, с которыми науке приходится иметь дело и которые были измерены, – это, конечно, молекулы, т. е. мельчайшие частицы, из которых состоят все тела в природе. Никогда человеческий глаз не видел ни одной из них, никогда, вероятно, не увидит их и в будущем; тем не менее физики так же мало сомневаются в их существовании, как и в существовании Солнца или Луны. Мало того, эти недоступные чувствам элементы были сосчитаны, измерены и взвешены – конечно, не теми способами, которые употребляются обыкновенно для подобных целей. Определение размеров молекул – плод глубокомысленных изысканий и тончайших измерений целого поколения физиков – является, бесспорно, самым удивительным завоеванием науки истекшего века [25].
Не вдаваясь в подробности, мы приведем лишь некоторые из добытых результатов. В одном кубическом сантиметре воздуха заключается более 20 квинтиллионов молекул, каждая величиной в 3–4 миллионных доли миллиметра и весом в одну десятиквинтиллионную миллиграмма. Размеры молекул других тел выражаются приблизительно теми же числами. Числа эти сами по себе, конечно, ничего не говорят воображению, но мы постараемся разъяснить сказанное о величине и числе молекул двумя примерами.
Если представить себе, что капля воды раздулась до размеров земного шара, то каждая молекула ее равнялась бы приблизительно ружейной пуле: во сколько раз пуля меньше Земли, во столько раз молекула воды меньше капли. Но если мы вообразим, что все молекулы, заключенные в этой капле, расположены рядом в одну линию, то полученную нить можно было бы 1000 раз обмотать вокруг земного шара.
Словом, куда ни кинем взоры – всюду в природе малое и великое тесно переплетаются одно с другим, и нужно много труда, чтобы распутать эту дивную ткань Вселенной.
«Однако ж прав упрямый Галилей…»
Опрос о том, вращается ли земной шар вокруг своей оси или нет, имеет гораздо более широкое философское значение, чем это кажется на первый взгляд. Здесь, в сущности, не то важно, находится ли в покое или движется та мертвая глыба, которая служит нам обиталищем: за вопросом о движении земного шара скрывается вопрос о нашем положении во Вселенной. Ведь если Земля неподвижна, то придется допустить, что мириады светил, совершающих ежедневно правильные круги на небе – Солнце, Луна, планеты, бесчисленные сонмища звезд, – все это обращается вокруг Земли как вокруг центра; и земной шар, на котором мы живем, является, следовательно, центральным телом всего мироздания. Так действительно и полагали до того времени, как после упорной борьбы человечество согласилось отвести наконец земному шару надлежащее место во Вселенной. Весь мир, казалось, создан был единственно окружающим лишь для человека, восседающего в его центре; Солнце правильно восходило и заходило, посылало свои благодатные лучи, освещало и грело Землю – для блага человека; для него создана была Луна, светившая по ночам; чтобы ласкать его взор, рассыпаны были по темному небесному своду мелкие мерцающие огоньки. Поэтому вопрос о движении Земли – не просто задача небесной механики, а более важная философская проблема: с перемещением центра Вселенной изменяется и угол зрения на Землю, на все земное, на человека.
Нет ничего удивительного поэтому в том, что общественное мнение с таким негодованием встретило впервые высказанную мысль о подвижности Земли. Идея эта казалась дикой, нелепой, богопротивной. Провозвестники новых воззрений должны были с венцом мучеников на голове защищать то, что четыре столетия спустя стало достоянием любого школьника. Гениальный прозорливец Джордано Бруно [26] пал первый жертвою человеческого неразумия: он был с позором сожжен на костре как еретик (1600 г.). А 33 года спустя старец Галилей после продолжительного заключения в страшной инквизиционной тюрьме и, по всей вероятности, мучительных пыток [27], вынужден был для спасения жизни публично отречься от того, что впоследствии сделало его имя бессмертным в истории мысли.
– «Я, Галилео Галилей, семидесяти лет от роду, самолично поставленный перед судом, здесь, на коленях перед вами, высокопреосвященными кардиналами, генерал-инквизиторами всемирно-христианской общины против всякого еретического растления, перед Евангелием, которое вижу собственными глазами и которого касаюсь собственными руками…
Предание присовокупляет, что, произнеся это торжественное отречение, Галилей тут же, топнув ногой, с негодованием воскликнул «E pur se muove! – А все‐таки она вертится!» Было ли это действительно так или нет – неизвестно (как и вообще многие стороны этого дела остаются еще совершенно неосвещенными [28]), – но все же несомненно то, что дальнейший ход науки блестящим образом подтвердил: вопреки свидетельству наших чувств – «она все‐таки вертится»; и истина эта вместе со всеми вытекающими из нее важными следствиями стала основой научного миросозерцания всякого просвещенного человека.
Только два века спустя найдено было первое
Основания этого остроумного доказательства понять нетрудно. Фуко воспользовался тем свойством маятника, что
После этих теоретических разъяснений можем приступить к описанию опыта Фуко. Все дело, очевидно, заключается в том, чтобы соорудить маятник, который был бы в состоянии без посторонней помощи качаться более или менее продолжительное время. Тут уже мы встречаемся с затруднением; всякий знает, что маятник обыкновенно скоро останавливается и редко качается более 3–5 минут; нам же необходимо наблюдать качание в течение 1–2 часов, чтобы убедиться в том, что опыт вполне удался. Правда, часовые маятники способны безостановочно колебаться сколько угодно времени, но тут действует часовой механизм, который после каждого качания сообщает маятнику легкий удар. Для нашей цели нельзя прибегнуть к такому приспособлению, так как при ударе будет изменяться также и направление качаний маятника; он должен качаться совершенно свободно и притом – долго. Чтобы достичь этого, пришлось употребить в дело очень длинную нить: известно ведь, что чем длиннее маятник, тем дольше он качается, будучи однажды выведен из равновесия. Фуко воспользовался страшной высотой свода парижского Пантеона, чтобы прикрепить к нему проволочную нить своего гигантского маятника: он имел в длину 32 сажени. К проволоке был привязан тяжелый свинцовый шар в 70 фунтов весом, оканчивающийся острием.
Когда маятник висел свободно и неподвижно, то острие его гири приходилось как раз в центре установленного внизу круглого и несколько вогнутого диска; в этом круге проведено было несколько диаметров, а по окружности нанесены деления; кроме того, на концах одного диаметра установлены были два валика из песка – так, чтобы маятник при каждом колебании делал своим острием отметки на них в виде небольших черточек. До опыта маятник отвели на некоторый угол в сторону и привязали гирю его бечевкой. Опыт производился при большом стечении публики. Начали с того, что пережгли нить, привязывавшую гирю, – и маятник начал свои медленные плавные качания, употребляя на прохождение всего пути, от одного края помоста до другого, 8 секунд [31]. Каждый размах оставлял след на мягком песке, которым был усыпан помост, и уже спустя 5 минут нетрудно было заметить, что маятник изменяет плоскость качаний: Земля явственно ускользает из-под него. Величина этого отклонения в достаточной степени согласовалась с заранее вычисленной теоретически. Это было в 1852 году.
Несколько лет спустя тот же опыт был повторен ученым аббатом, иезуитом Анджело Секки [32] в церкви св. Игнатия в Риме – в том самом Риме, где за два века до того католическое духовенство заставило Галилея позорно отречься от открытой им истины. И вот представитель того же духовенства берет на себя труд публично восстановить истину в ее поруганных правах. «
Обстановка была самая торжественная: министры, представители военной свиты президента, профессора, делегаты от высших учебных заведений, множество ученых – все присутствовали на этом празднике науки. После блестящей речи Фламмариона, в которой он между прочим прочел «урок популярной астрономии», данный ровно полвека тому назад Леоном Фуко, министр народного просвещения Шомье [34] поздравил всех собравшихся с повторением замечательного опыта, который хотя и не необходим уже в настоящее время, но тем не менее представляет высокий интерес для каждого образованного человека. Затем приступлено было к самому совершению опыта, который был полным повторением опыта Фуко. Министр народного просвещения поднес пламя к бечевке, прикреплявшей груз к краю помоста. Воцарилась полная тишина. Маятник, освобожденный от привязи, величественно начал свои медленные колебания, неизменно сохраняя одно и то же направление над явственно ускользающей из-под него Землей и красноречивее, чем когда‐либо, подтверждая: «
«И небеса прославят чудные дела Твои…»
Девятнадцать веков тому назад, как повествует св. евангелист Матфей, несколько неизвестных восточных странников-волхвов пришли в Иерусалим и принесли с собой поразительную весть, которая, передаваясь из уст в уста, быстро облетела город и сильно встревожила все население: родился Младенец – Царь Иудейский. Звездная книга, заключающая столько дивных тайн на своих страницах, открыла им, как посвященным, эту великую весть. Твердо веруя в полученное откровение, волхвы прямо направились к правителю страны с вопросом: «
Волхвы отправились по указанному пути –
Много загадочного, таинственного и глубоко интересного заключает в себе этот факт, так просто и кратко рассказанный евангелистом. Кто были эти волхвы, покинувшие свою страну и предпринявшие далекое путешествие на запад единственно для того, чтобы поклониться сыну простого назаретского плотника? Что заставило их воздавать царские почести новорожденному Младенцу, лежащему в яслях, в скотном стойле убогого постоялого двора?
Что это было за чудное небесное знамение, открывшее им, язычникам и чужестранцам, ранее, нежели всем другим, великую тайну появления Спасителя?
Все это и до сих пор остается неизвестным, и только туманные, более или менее правдоподобные догадки могут хотя бы немного осветить этот важный и интересный факт в истории христианства. На этом пункте встречаются и переплетаются друг с другом самые разнообразные культуры и верования: события евангельской истории, астрологические воззрения древнего мира, равно разделявшиеся как язычниками, так и иудеями, вера в возвещенное пророками пришествие Мессии, смутное ожидание людьми своего Спасителя и данные современной науки. Нет поэтому ничего удивительного в том, что краткий рассказ св. Матфея уже издавна был предметом как научного исследования, так и многочисленных апокрифических сказаний. Эти последние, основываясь на словах пророка Исайи «и придут народы к свету Твоему, и цари к восходящему над Тобой сиянию» – повествуют уже не о волхвах, а о трех царях: старце Мелхиоре, человеке зрелого возраста Валтасаре и юноше Каспаре. В Кельнском соборе и теперь еще можно видеть найденные, по преданию, царицей Еленой черепа этих трех волхвов в золотых царских коронах, украшенных драгоценными камнями.
В чем же состояло знамение, приведшее волхвов к колыбели Божественного Младенца? В Евангелии от Матфея говорится о «звезде». Это могла быть действительно звезда, вспыхнувшая внезапно на небе, могло быть и другое редкое небесное явление, как, например, странное соединение планет, могло также быть кометой или даже падающей звездой. Впрочем, последние два предположения отпадают сами собой; метеоритам как случайным, мимолетным явлениям древняя астрология не придавала никакого важного значения, а кометы у всех народов во все времена возвещали лишь бедствия – войны, голод, смерть правителя, и потому ни в коем случае не могли считаться вестницами рождения Царя Иудейского. Остаются, таким образом, только два первых предположения, к последовательному разбору которых мы теперь и приступим.
Появление новой звезды на небе не должно считаться чем‐то исключительным: астрономы насчитывают уже около 25 вполне достоверных случаев, когда на небе вдруг вспыхивала новая звезда, иногда ослепительной яркости, и, лихорадочно просветив несколько месяцев или лет, начинала меркнуть и наконец снова становилась невидимой; не позже как два года тому назад в созвездии Персея внезапно появилась новая звезда, сделавшаяся предметом самого тщательного исследования [36]. Что же касается причин этого странного явления, то надо заметить, что наши сведения о них пока еще очень скудны, как по сложности самого явления, так и по его редкости. Один-два раза в столетие – это по человеческим понятиям очень редко, хотя как космическое явление это даже довольно часто. Давно ли изобретен спектроскоп – могущественное орудие научного анализа, которое одно только в этой области может оказать существенные услуги? 50 лет тому назад, а за это время удалось наблюдать всего 3–4 новые звезды [37]. Но во всяком случае, не подлежит сомнению, что появление новой звезды, которое мы наблюдаем как мирное, безмолвное вспыхивание маленькой светлой точки, есть на самом деле громадная катастрофа, невообразимый хаос мировых сил, разыгравшийся где‐то в далеком уголке беспредельного звездного мира. Две ли звезды – два гигантских солнца – с головокружительной быстротой столкнулись друг с другом в своем неудержимом полете, и скрывшаяся при соединении энергия вновь возродилась в ярком свете раскаленных газов? Страшный ли пожар охватил водородную атмосферу какого‐нибудь солнца? Излились ли вновь веками таившиеся в недрах жидкие огненные массы на поверхность полузастывшего светила, тонкая кора которого разорвалась по какой‐либо неизвестной причине? Прорезало ли потухшее солнце при своем полете рой метеоритов и на мгновение засветилось миллионами огней, чтобы вскоре снова погрузиться в холодное царство ночи? Все это пока еще неизвестно, но каждая из упомянутых гипотез имеет значительную долю вероятности [38]. Одно из самых поразительных появлений новых звезд – это, несомненно, Nova в созвездии Кассиопеи [39], вспыхнувшая на нашем северном небе 11 ноября 1572 года. Это феноменальное явление нашло себе и достойного летописца: знаменитый Тихо Браге [40] первый заметил новую звезду, тщательно следил за ней и оставил нам подробное ее описание. И действительно, явление было замечательное: неожиданная гостья затмила блеском своим все остальные звезды; Сириус, самая яркая звезда на небе, сиял гораздо бледнее ее. Она видна была даже днем, а ночью, когда слой облаков сплошным покровом затягивал небо, эта единственная звезда все‐таки просвечивала сквозь него в виде неясного сияния. Нельзя описать ужаса, охватившего суеверные народные массы, угнетенные страшными бедствиями того времени: это было в темную эпоху религиозных войн, когда еще свежа была кровавая память Варфоломеевской ночи. И вот все вспомнили звезду, загоревшуюся некогда над Вифлеемом, и стали видеть в новой звезде вестницу второго пришествия и Страшного Суда. В таком напряженном ожидании и беспрестанном страхе звезда продержала Европу целых полтора года, когда, померкнув окончательно, опять скрылась от невооруженного глаза, чтобы никогда уже более не появляться, или, быть может, через несколько столетий вновь вспыхнуть в предсмертной агонии. Но что всего более замечательно в этом эпизоде – это то, что объятая страхом народная мысль как бы смутно угадывала истину, признав новую звезду за ту самую, которая возвестила когда‐то миру о рождении Божественного Младенца. Беспристрастное научное исследование, предпринятое гораздо позже, дало этой туманной догадке некоторое, хотя, правда, еще не полное подтверждение [41].
Дело в том, что в летописи астрономии занесено появление новой звезды в том же созвездии Кассиопеи в 1264 и 945 годах, и хотя положение этих двух звезд не было определено так точно, как положение звезды Тихо, однако всего вероятнее будет предположить, что во всех трех случаях обнаруженное явление было одной и той же звездой. Мы имеем здесь, следовательно, дело не с «новой» звездой в полном смысле этого слова, а со звездой, относящейся к разряду так называемых переменных звезд – т. е. таких, которые периодически изменяют напряжение своего света: они горят то ярче, то слабее, так что даже совершенно скрываются от невооруженного глаза, и эти изменения блеска подвержены более или менее правильной периодичности. Правда, в данном случае придется допустить период приблизительно в 300 лет, между тем как для остальных известных нам переменных звезд полный цикл совершается в гораздо более короткое время – от нескольких дней до целого года. Аргумент этот мог бы считаться веским, если бы недавно не было установлено существование переменной звезды с еще бoльшим, нежели у нашей, периодом, подверженным к тому же и сильным колебаниям. Это звезда π в созвездии Скорпиона, последовательное появление которой было замечено в 134 году до Р. X., 393, 827, 1203 и 1584 годах после Р. X.; между этими появлениями лежат промежутки в 522, 434, 376 и 381 год, которые, несмотря на свою величину и неравномерность, не помешали установить за звездой ее периодичность. Далее, между 945 и 1264 годами прошло 319 лет, а между 1264 и 1572–308 лет: оба периода не равны, но это опять‐таки не имеет существенного значения, так как даже среди настоящих переменных звезд мы имеем немало таких, которые не представляют строгой периодичности. Рассуждая относительно, это отклонение нельзя даже считать значительным; переменная звезда в созвездии Кита, прозванная «Чудесной» (Мира), представляет нередко отклонение в 25 дней при среднем периоде в 330 дней, что составляет 1/13; в нашем же случае отклонение не превышает 1/30. Если принять за средний период появления нашей звезды 315 лет (среднее между 308 и 319), то окажется, что промежуток этот ровно три раза укладывается в 945 годах, а следовательно, одно из появлений должно было произойти около 1‐го года нашей эры; оно‐то и могло быть упоминаемой в Евангелии Вифлеемской звездой.
Против только что изложенной теории много возражали, указывая на ее слишком шаткую обоснованность и другие слабые стороны. Некоторых возражений мы уже касались и показали их несостоятельность, как, например, неравномерность периода и его чересчур значительная продолжительность.
Указывают еще на отсутствие всяких сведений о появлении этой звезды в промежуток времени между первым и 945 годом: действительно, здесь должно было быть два появления – около 315 и 630 годов. Но наши сведения о небесных явлениях, особенно подобного рода, настолько случайны, а «астрономическая летопись» до того отрывочна и неполна, что отрицательные доказательства, основанные на них, не могут иметь никакой силы.
Гораздо важнее следующий аргумент: если Вифлеемская звезда действительно периодическая, то, явившись в 1572 году, она должна была вспыхнуть около 1887 года (1572 + 315), а между тем ничего подобного не было замечено.
Но ведь и звезда Мира, о которой мы уже упоминали раньше, запаздывает часто на 95 дней; если и здесь допустить такое же относительное опоздание, т. е. 1/13 от 315 лет, то получим «отсрочку» в 24 года. Поэтому, если звезда не появилась в 1887 году, то это еще ничего не доказывает: мы должны ожидать ее по крайней мере до 1911 года, а принимая во внимание «неаккуратность» звезды π Скорпиона – даже гораздо дольше. Местоположение звезды Тихо нам хорошо известно благодаря его точным измерениям, и вот в этой точке созвездия Кассиопеи мы можем со дня на день ожидать появления новой звезды небывалой яркости. Здесь видна теперь маленькая туманная звездочка зеленоватого цвета, и, быть может, она каждые триста лет по какой‐то непонятной причине приобретает вдруг ослепительную яркость, затмевая все звезды нашего неба. Вместе с Фламмарионом мы можем посоветовать каждому любителю астрономии время от времени направлять свою трубу на эту точку неба [42] в надежде заметить первые стадии этой загадочной звездной метаморфозы.
Таким образом, все сделанные возражения оказываются несущественными, и мы имеем полное основание остановиться на этом предположении как на весьма вероятной гипотезе. Если так, если действительно звезда, упоминаемая св. Матфеем, есть та самая, которая зажглась вновь 16 веков спустя, то мы легко можем создать в своем воображении картину той святой ночи, когда неведомо никому родился на земле Дарственный Младенец, Сын Божий и Сын Человеческий.
Гигантским темно-синим куполом широко раскинулось дивное южное небо над уснувшей Святой Землей. В ясном, холодном ночном воздухе безмолвно и величественно горели далекие звезды, золотою пылью рассыпанные по своду, и дружно сплетались в чудные узоры, издавна известные нашим отдаленным предкам, привыкшим чаще нас обращать взор свой к звездам.
И вот на небе, невозмутимом и спокойном, как и тысячи лет назад, вдруг появляется близ полюса новая светлая точка и загорается ослепительно ярким блеском, перед которым тускнеют и меркнут мириады остальных звезд.
Высоко и светло горит она в небе над спящей, ничего не ведающей грешной землей, торжественно возвещая о пришествии Того, Кто Сам есть Свет миру. А навстречу кротким лучам загоревшегося нового солнца несутся и далеко замирают в эфире райские звуки ангельских голосов:
Мы уже упоминали о том, что слово «звезда» в повествовании евангелиста может иметь различный смысл. Нет ничего невозможного в том, что это действительно была звезда, и из всего вышеизложенного следует, что такое предположение даже весьма вероятно. Но оно не исключает возможности и иного толкования, по которому под словом «звезда» следует разуметь вообще редкое небесное явление.
В 1604 году знаменитый Кеплер [43] наблюдал редкое явление одновременной встречи трех планет в одном и том же месте неба – встречи, конечно, только кажущейся в перспективе: три планеты, находящияся на огромном расстоянии друг от друга, движущиеся по совершенно различным путям и с различною скоростью, расположились почти в одну прямую линию с нашей Землей, которая сама находится в беспрестанном движении; при наблюдении с Земли планеты эти – Марс, Юпитер и Сатурн – казались как бы соединившимися в одной точке неба – в зодиакальном знаке Рыб. Явление это само по себе чрезвычайно редко; и оно было тем более замечательно, что внезапно в той же точке, между Марсом и Сатурном, вспыхнула далеко за пределами нашей Солнечной системы яркая звезда. Вероятность того, чтобы
Здесь мы должны сделать небольшое отступление по поводу эпохи рождения Спасителя. Мы ведем свое летоисчисление, как известно, от Рождества Христова, принимая за 1‐й год 753 от основания Рима. Но дата эта, впервые указанная Дионисием Малым, далеко не должна считаться вполне точно установленной: это лишь предположение, истинный же год рождения Спасителя еще до настоящего времени остается неизвестным. Разнообразные исторические справки все согласно говорят за то, что Иисус Христос родился на несколько лет ранее 753 года. Нам достоверно известно, например, что Ирод Великий, со смертью которого Святое Семейство вернулось из Египта на родину, умер в 750 году, а так как Христос родился еще при жизни этого царя, то ясно, что он не мог родиться позже 750 года. Многие другие соображения исторического характера, в которые мы здесь не будем вдаваться, заставляют отодвинуть год рождения Спасителя на 7 лет назад, до 748 года от основания Рима. Поэтому наступающий 1903 год будет, в сущности, 1910 от Р. X.
Возвращаясь теперь снова к предыдущему, мы заметим, что знаменательное соединение трех планет случилось как раз в год рождения Спасителя.
Поэтому весьма вероятно, что именно это явление послужило тем небесным знамением, которое привело восточных волхвов к колыбели Господа. Редкое сочетание Юпитера, Сатурна и Марса – символов царственного величия, силы рока и победы – в знаке Рыб, астрологически связанном с историей Иудеи, дало волхвам основание предполагать о рождении в этой стране Царя, Который величием Своей кротости победит мир и окажет величайшее влияние на всю дальнейшую историю человечества.
Вот все, что современная наука может сказать пока об этом замечательном обстоятельстве, сопровождавшем факт рождения Богочеловека. Правда, и теперь еще, 19 веков спустя, в нем много остается неясного и необъяснимого, тайна по-прежнему во многом осталась тайной. Но, как видит читатель, строгий научный анализ, нисколько не вступая в противоречие с евангельским повествованием, сумел, хотя и отчасти, осветить этот темный, но близкий и дорогой нам всем вопрос [44].
С Новым годом! «Новый год!» – слышится теперь [45] со всех сторон. Но мы как‐то обыкновенно не вдумываемся в эти слова, не вникаем в их смысл; а между тем поучительно разобрать содержание этого понятия, задать себе вопрос: что, собственно, означает слово «год»? Обыкновенно год определяют как тот промежуток времени, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Но едва ли год был бы уже в глубокой древности единодушно принят всеми народами за нормальную меру времени, если бы все значение его ограничивалось одним этим, если бы он не имел гораздо более близкого отношения ко всей той обстановке, в которой всегда жил и продолжает жить человеческий род. Не следует забывать, что в то время как
на поверхности этого шара безостановочно протекает целый ряд разнообразнейших явлений, в которых проявляется и выражается жизнь обитаемой нами планеты. Год обнимает некоторый определенный, законченный цикл земных явлений. Сложный аккорд метеорологических факторов, составляющий то, что мы называем погодой, бесконечно варьирует во всех своих элементах в продолжение одного года, а по прошествии этого промежутка времени снова начинает обычный круг своих изменений. Параллельно с колебаниями температуры, влажности, осадков, напряжения атмосферного электричества и бесчисленного множества других метеорологических элементов изменяется и растительный мир: медленно пробуждаясь от долгого сна, он постепенно развивается, достигает пышного расцвета, образует почки и цветы, дает плоды и оставляет семена; исполнив свой годовой урок, он снова замирает, – и таким образом завершает один круг. Вслед за растениями и животный мир, теснейшим образом связанный с ними невидимой сетью сложных взаимоотношений, совершает также свой годовой круг, как бы вторя вместе с ними отдаленному эху властного аккорда климатических явлений.
Так происходит в каждой отдельной точке нашей планеты. Но и в жизни земного шара как одного целого нетрудно проследить этот годовой цикл явлений. В марте месяце Солнце пересекает экватор и переходит в северное полушарие, – и следом за его живительными лучами распространяется мощная волна зеленого океана; вместе с ней появляются бродячие животные и перелетные птицы, привлекаемые теплом и кормом; насекомые – эти важнейшие по своей многочисленности представители земной фауны – целыми мириадами населяют все уголки зеленого царства. С концом лета, когда Солнце поворачивает в южное полушарие, физиономия нашей части планеты изменяется; победоносное шествие света и тепла останавливается, и все разнообразие растительного и животного мира переселяется на юг, неизменно следуя за своим лучезарным путеводителем – Солнцем. Словом, в жизни обитаемого нами земного организма год – это как бы один удар его могучего пульса.
Мы так свыклись, сроднились с этой однообразной периодичностью совершающихся вокруг нас явлений, что непосредственно связываем с ней даже наше представление о скорости течения времени. Если бы Земля обращалась вокруг Солнца в меньший промежуток времени, то тот же цикл явлений должен был бы уложиться в более тесные пределы; явления совершались бы скорее, ход жизни был бы лихорадочнее, и само время протекало бы для нас быстрее.
Достаточно знать одну только голую цифру времени обращения вокруг Солнца для любой планеты, чтобы составить себе некоторое представление об интенсивности жизни на ее поверхности, о ее, так сказать, темпераменте; энергичная, быстрая, торопливая в мирах с коротким периодом обращения жизнь развивается вяло, медленно, бледно на планетах, требующих более или менее длинного промежутка времени для полного оборота вокруг Солнца.
Оставим теперь мысленно наш маленький земной шар и предпримем экскурсию по таинственным областям Вселенной. Вот перед нами Юпитер – раскаленный гигантский шар, более всех остальных своих братьев напоминающий породившее его Солнце. Год его равен почти 12 нашим годам, и соответственно этому и жизнь, которая разовьется в будущем на этой еще не совсем остывшей планете, будет гораздо менее быстрая, энергичная, нежели у нас. Еще более вялая, медленная жизнь может существовать на Сатурне и Уране, особенно же – на последней планете нашей системы, Нептуне [47]: в сто шестьдесят четыре года он совершает всего лишь один оборот вокруг Солнца. Растяните наш год на полтора века – и вы составите себе представление об убийственно медленном ходе времени на этом заброшенном мире, где даже Солнце светит немногим ярче обыкновенной звезды и, вероятно, нисколько не влияет на течение его убогой органической жизни.
Еще шаг – и мы очутимся в области беспредельного звездного мира, образующего осыпанный блестящею пылью величественный небесный свод.
Правда, скачок не мал. Знаете ли вы, как удалена от нас хотя бы ближайшая неподвижная звезда? Длинные ряды цифр мало пояснят дело, и мы обратимся лучше к примеру. Положим, что вы находитесь в Москве, в своей комнате. Пусть этот мяч посредине комнаты изображает Солнце; в трех шагах от него вы помещаете нашу Землю. Как вы думаете – где при таком масштабе придется поставить ближайшую звезду? Приблизительно на расстоянии Петербурга!
А ведь это только самая близкая к нам звезда. Вот по какому плану построена Вселенная!
Итак, перенесемся мысленно через эту невообразимо громадную пустыню в неведомую звездную даль, к тем многочисленным обителям дома нашего всеобщего Отца, которые так кротко манят нас чарующим светом своих лучей. Вот оно – загадочное, далекое, величественное небо! Какая страшная тишина, какое невообразимое спокойствие должно царить в этих глубинах бесконечности. Проходят годы, века, тысячелетия, десятки тысячелетий – а оно по-прежнему сияет над миром, как сияло, вероятно, и в первый день созданья. Одинокие солнца, рассыпанные на громадных расстояниях друг от друга, неизменно горят там, неподвижно вися в эфирном океане [48]. Какое страшное, мертвое молчание, какое подавляющее спокойствие! И не чудится ли, что в этих беспредельных холодных пустынях замерло, остановилось и само течение времени?
Годы, столетия, вся историческая жизнь человечества – все это лишь один ничтожный момент в сравнении с вечной, необъятной жизнью Вселенной. В то мимолетное мгновение, каким на часах вечности является наша эфемерная человеческая жизнь, нельзя заметить никакой перемены в звездном небе, которое поэтому и кажется нам неподвижным, мертвым, неизменным.
И только путем тщательных, кропотливых исследований в продолжение целых веков нам удалось обнаружить и постичь скрытую от нас жизнь Космоса.
И оказалось, что Вселенная – воплощенное движение. Каждое светило переносится в пространстве с такой непостижимой быстротой, которая в несколько часов совершенно изменила бы вид звездного неба, если бы звезды не были удалены от нас на громадные расстояния. Как странно звучат после этого слова «неподвижная звезда» в применении к солнцам, подвижнее которых мы ничего не можем себе и представить! Трудно даже вообразить этот колоссальный вихрь небесных светил, эту непостижимую пляску миров, этот настоящий дождь гигантских огненных капель, бешено несущихся в эфире и прорезающих мировое пространство в самых разнообразных направлениях.
В бесконечном пространстве мирового эфира постоянно гибнут и созидаются миры.
Человеческая мысль в недоумении останавливается перед этой непостижимой для нее картиной всеобщей жизни, тщетно ища в ней цели и смысл.
Для чего гибнут миры, для чего создаются они вновь? Куда низвергаются эти сонмища звезд, куда стремится этот вихрь мировых тел? Куда исчезают все организмы, развивающиеся и умирающие на их поверхности? И само сознание человеческое – для чего пробуждается оно из неведения и снова погружается во мрак? Кому нужен этот бесцельный круговорот вещества и силы, эта бесконечная вереница преобразований? Что за смысл в этой жизни, беспрестанно гибнущей и беспрестанно возрождающейся? В отчаянии останавливается слабый, односторонний, поверхностный человеческий ум перед этой великой тайной бытия, не видя в нем ни начала, ни конца, ни смысла, ни разумной цели. Но «неразумное Божие мудрее человеков» – и все мы верим, что в непостижимой жизни мирового целого существует некоторый высший смысл, знать который нам пока не дано.
Вернемся снова к покинутой нами Земле. С самого момента своего рождения она неизменно вращается вокруг Солнца. Но разве она кружится на одном и том же месте, разве с каждым оборотом она повторяет свой старый путь? Рассмотрим ее движения. Обращаясь вокруг Солнца, она вместе с ним переносится в пространстве. Из года в год совершая свои круги, она еще ни разу не повторяла старого; она движется, в сущности, по виткам спиральной линии, и с каждым оборотом подвигается вперед на один шаг винтового хода. Не то же ли замечается и во всех, по-видимому, однообразных и повторяющихся явлениях земного шара? Природа ежегодно оживает, развивается, достигает пышного расцвета и затем постепенно снова замирает – но разве из года в год она повторяет одно и то же? Вглядитесь повнимательнее в ее явления – и вы поймете, что подобно тому, как весь земной шар, совершая круги, движется вместе с тем и поступательно, так и органическая жизнь в ее однообразно-периодическом течении также с каждым разом делает незаметный шаг вперед. Движение это остается скрытым от мимолетного взора человека, и потребовался весь гений Ламарка [49], Уоллеса [50], Дарвина [51], Спенсера [52] и целого ряда других выдающихся умов, чтобы хотя бы отчасти раскрыть, ощутить этот ускользающий от нашего наблюдения поступательный ход органического мира. Разве из кровавой, не знающей пощады и примирения борьбы за существование, которую с самого появления своего на Земле и явно, и скрыто, беспрестанно и неослабно ведут друг с другом все живые существа, – разве из этой слепой вражды не создается прогресс? Разве продуктом ее не являются более совершенные сравнительно с прежними организмы? Разве, последовательно развиваясь в этой борьбе, не произошли из первоначальных жалких созданий такие разумные и совершенные существа, как люди, несущие в себе образ и подобие Божие? По ступеням эволюционной лестницы мудрые законы природы ведут нас сквозь мрак и страдания в неведомую, туманную, но светлую, лучезарную даль будущего. Из варварской борьбы, из мелких эгоистических стремлений, из грубого племенного инстинкта родились самые бескорыстные порывы души, самые возвышенные нравственные чувства.
Смерть и гибель, страдания и стоны, борьба и эгоизм, тьма и зло – все это, подчиняясь чудесным божественным законам, служит торжеству доброго начала, претворяется в дивную гармонию высшего усовершенствования!
В настоящее время криминалистика с успехом пользуется услугами целого ряда наук и технических искусств: физики, химии, медицины, микроскопии, фотографии; подчас ей приходится даже обращаться к астрономам, когда речь идет о правильной ориентировке на местности или точном определении времени какого‐либо происшествия.
Но особенно полезным вспомогательным средством при раскрытии разного рода преступлений является фотография. Почти ничто не в состоянии укрыться от зоркого и неподкупного стеклянного ока фотографической камеры, и там, где наш глаз не замечает ничего подозрительного, фотографический снимок, надлежащим образом приготовленный, часто открывает много интересных и важных подробностей. Фотография, например, положительно незаменима в тех случаях, когда возникает подозрение о подлоге документов.
Мы приводим ниже несколько любопытных примеров подобного рода. Рис. 1 изображает обыкновенным образом снятую фотографию простой расписки в получении денег; квитанция удостоверяет, что в июне 1900 г. должник уплатил 765 марок. А между тем лицо, выдавшее квитанцию, утверждает, что в его конторских книгах за июнь 1900 г. значится, что должник внес всего 55 марок. Рассматриваемая даже самым внимательным образом, квитанция не представляет ничего такого, что могло бы возбудить хотя бымалейшее подозрение.
Совсем иное дело, если мы, подвергнув предварительно сомнительный документ действию известных химических реактивов, приготовим с него сильно увеличенный фотографический снимок (рис. 2). Рассматривая его, мы прежде всего заметим вокруг числа как бы светлое сияние – это просто следствие тех химических процессов, которым мы подвергли бумагу.
Но главное – на приготовленном таким образом снимке уже заметно совершенно ясно, что с цифрой 6 дело обстоит не совсем чисто: очевидно, что прежде на этом месте была цифра 5, но верхняя черточка ее была выскоблена (на что указывает светлое пятно правее 6) и затем овал пятерки был замкнут, так что получилась шестерка; кроме того, сверху прибавлена еще маленькая черточка для придания цифре более естественных очертаний. Все эти «поправки», внесенные в квитанцию чужой рукой, легко распознаются по значительно более темным чернилам, употреблявшимся для подлога; они заметно разнятся от более светлых штрихов цифры 5, стоящей справа и не подвергавшейся, по-видимому, никаким поправкам. Ясно также, что цифра 7 впереди числа отличается более темными штрихами и приписана, следовательно, впоследствии чужой рукой; но странно, что поперечная черточка этой цифры не сделана посторонним лицом, а была на квитанции еще раньше, с самого начала, – она написана прежними светлыми чернилами. Загадка эта разрешается очень просто: стоит только бросить взгляд на первоначальную квитанцию (рис. 1), и мы заметим, что точно такая же черточка поставлена на том месте, где вписываются пфенниги, в знак того, что пфеннигов в уплачиваемой сумме не было. Писавший квитанцию, очевидно, имеет обыкновение ставить такие крючки; первоначально, до подлога, подобный крючок находился и перед числом 55 для указания, что сотен марок не было уплачено.
Отсюда ясно, что в настоящей квитанции значилось лишь 55 марок, а не 765, – и это с поразительною очевидностью раскрывает всякому надлежащим образом приготовленный фотографический снимок с квитанции.
Вот еще один подобный же случай (рис. 3 и 4). Здесь также первоначально значившаяся в квитанции сумма была переделана в бoльшую.
Получивший квитанцию занял 1100 марок и обязался выплатить их по 100 марок в месяц; вместо этого он первую же расписку в уплате 100 марок «обработал» так, что вышло, будто вся сумма уже внесена им единовременно, и таким образом совершенно избавился от своего долга. В этом случае даже на обыкновенной фотографии легко заметить, что в слове Elfhundert (одиннадцать сотен) буквы l и f несколько непохожи на остальные: они гораздо темнее. С особенной же ясностью это раскрывается, если обратить внимание на увеличенный снимок с того же места квитанции (рис. 4).
При сильном увеличении бумага вообще кажется грубее и шероховатее, но место вокруг букв Elf ясно носит следы ножика, которым что‐то выскабливалось: из первоначального ein было переделано Elf; заметны остатки точки над i, а черта под всем словом в этом месте затянута вновь после того, как часть ее была выскоблена, – здесь даже в двух местечках на вытертой бумаге расплылись чернила. Кроме того, расстояние между f и следующей буквой h слишком велико, гораздо больше взаимного расстояния остальных букв; чтобы не навлечь подозрений в том, что здесь первоначально было два отдельных слова, преступник попытался хотя бы отчасти скрыть это, сделав в этом месте завиток.
Совершенно иным путем был открыт подлог в документе, изображенном на рис. 5.
Дело в том, что любая рукопись, будучи сильно увеличена, обнаруживает в своих штрихах слабую волнистость, указывающую на то, что рука обыкновенно слегка дрожит при письме. Но особенно ясно эта волнистость и неровность штрихов заметна у нервных, впечатлительных людей и у лиц, которые почему‐либо сильно волновались при письме. Циркуляция крови в наших сосудах изменяется в зависимости от нашего душевного состояния; эти колебания пульса передаются руке пишущего и запечатлеваются незаметным для нас образом на бумаге. Легко убедиться, что пальцы наши в самом деле постоянно дрожат под давлением приливающей и отливающей крови: прикрепите воском к пальцу маленькое зеркальце, величиной с копеечную монету; зеркальце будет посылать отражение (так называемый в общежитии «зайчик») на стены или потолок комнаты. Тогда заметно будет, что зайчик этот ни секунды не будет оставаться неподвижным: он будет совершать довольно значительные правильные размахи – увеличенное отражение слабых колебаний наших пальцев. Более подробные исследования покажут вам, что колебания эти усиливаются после приема внутрь возбуждающих напитков, что перед едой они несколько иного рода, нежели после нее, и т. п.
Всякий, пускающийся на подлог (если только это благородное занятие не стало еще его профессией) находится непременно в некотором волнении: сознание гнусного преступления, внутренняя борьба побуждающих и удерживающих мотивов, боязнь быть застигнутым, страх наказания – все это вызывает возбужденное состояние, сопровождающееся лихорадочным биением пульса; дрожащей, нерешительной, неверной рукой выводит он буквы и цифры, и таким образом, помимо сознания и против своей воли, запечатлевает на бумаге свое душевное состояние. Обратимся теперь к рис. 5. Какая‐то фирма заказала 500 центнеров цинковых пластинок; доставщик же в своих видах переделал значившиеся на расписке 500 в 15 000, приписав спереди 1, а сзади 0. И вот увеличенная фотография легко раскрывает обман, что было бы совершенно невозможно без этого вспомогательного средства. Нетрудно установить, что цифра 1 и последний 0 написаны другой рукой, нежели среднее число 500; рука эта действовала нетвердо, и в обеих цифрах ясно заметны страх и беспокойство писавшего.
Весьма полезна фотография и там, где речь идет о воспроизведении и укреплении легко стирающихся и утрачивающихся следов преступления.
Род и величина отпечатка ладони, форма и размеры следов, оставляемых сапогами, могут при благоприятных обстоятельствах дать более или менее определенные указания на фигуру или одежду преступника.
Следы тяжелых, снабженных железными подковами сапог простого рабочего существенно отличаются от следов элегантных ботинок человека, вращающегося в более высшем обществе; точно так же грубая, широкая ладонь с мозолистыми пальцами руки крестьянина заметно разнится от узкой с коническими пальцами кисти белоручки.
Следы ног, отпечатки пальцев на оконных стеклах, царапины и другие знаки, оставленные преступником на полу или на стенах, – все это без труда может быть воспроизведено фотографией; уже не раз один лишь отпечаток окровавленного пальца вел к раскрытию преступления и поимке преступника. Осмотрите внимательно вашу руку: вся она покрыта мелкими складочками кожи; нет двух людей, у которых расположение и форма этих складок были бы вполне тождественны.
Как пользуется этим современная криминалистика, показывают рис. 6 и 7. Рис. 6 представляет отпечаток окровавленного большого пальца на газетном листе, сильно увеличенный фотографией; мелкие складки и узор, ими образуемый, заметен без всякого напряжения; видно даже, что правильность их несколько нарушена слабой царапиной кожи. В руках полиции находился человек, подозреваемый по некоторым причинам в совершении преступления. Чтобы убедиться в справедливости подозрения, достаточно было только сравнить фотографию ладонной стороны большого пальца с упомянутой выше фотографией отпечатка. Рис. 7 изображает эту фотографию: ясно, что отпечаток на газете принадлежит именно подозреваемому лицу, так как оба изображения во всех подробностях сходны (не следует смущаться тем обстоятельством, что на обоих рисунках линии имеют противоположное направление: первый рисунок есть воспроизведение отпечатка пальца, а второй – прямая фотография этого пальца).
Нередко едва заметный кончик ножа, найденный в ране жертвы, ведет к установлению личности преступника, если он задержан по подозрению и у него найден был нож.
Здесь все основано на том, что определяют при помощи рассматривания ножа и его обломка в микроскоп, сходятся ли поверхности излома или нет.
На нашем последнем рисунке изображается фотография клинка и его кончика; несмотря на то, что в этом случае употреблялось увеличение всего в 4 раза, можно с полной уверенностью заключить, что это – части одного целого.
Уже эти немногие примеры, далеко не исчерпывающие предмета, показывают, как разнообразны и сложны применения техники к криминалистике и какие условия ума, какая необыкновенная изобретательность необходима людям, призванным нести высокую и ответственную обязанность защиты общества от вредных элементов, которые нарушают нормальное течение его жизни.
Каждому из наших читателей приходилось, конечно, слышать, что существуют кажущиеся «истины», к которым приходишь, по-видимому, вполне логическим путем, но которые тем не менее заключают в себе явное противоречие: вывод опровергает ту мысль, из которой мы исходили. Многие из подобных противоречивых истин, или парадоксов, ведут свое начало с глубокой древности и являются иногда чуть ли не единственным наследием, оставленным нам знаменитыми в свое время греческими софистами. Весьма любопытно собрать вместе некоторые из подобных парадоксов и рассмотреть, что они представляют собой при свете логического анализа.
Кому из нас не случалось читать, слышать или самому произносить сотни раз фразу: «Нет правила без исключения»? Однако не всем приходила мысль спросить: «А это правило само имеет исключения?» Ведь раз оно правило, то, согласно самому себе, также должно иметь исключения: но если допустим, что оно не свободно хотя бы от одного исключения, то, стало быть, есть же такое правило, которое не имеет исключения. Отсюда вывод: «есть правило без исключения», совершенно опровергающий то положение, логическим следствием которого он является. Какой‐нибудь остроумный софист древней Эллады, пожалуй, нисколько бы не был смущен таким неожиданным выводом и ответил бы нечто вроде следующего: «Да, конечно, правило „нет правила без исключения“ имеет одно исключение; это исключение – оно само, так как не имеет ни одного исключения». Но нам нет никакой надобности прибегать к такой блестящей изворотливости; вместо того, чтобы нагромождать один парадокс на другой, обратимся к простой здравой логике. Противоречие вызвано здесь слишком широким пониманием основного положения «нет правила без исключения». Под правилом разумеют обыкновенно известного рода закономерность: в природе – закономерность в ходе естественных явлений; в практической жизни – положение, руководящее нами при совершении тех или иных поступков. Правило, понимаемое в таком смысле, всегда обнимает лишь бoльшую или меньшую часть действительности и никогда не распространяется на все подчиненные ему явления. Как правило, оно, в сущности, не имеет исключений, но так как в полной чистоте оно, ввиду сложности обнимаемых им явлений, почти никогда не может быть применяемо, то часто представляет кажущиеся исключения.
Точно так же обстоит дело и с тем давно известным логическим кругом, в который мы попадаем благодаря признанию одного критянина, что «все критяне лгуны». Но так как он сам при этом сказал правду, то, следовательно, опровергал свои собственные слова и оказывался таким образом лгуном, что снова оправдывает высказанное им мнение, и т. д. Мы могли бы продолжать подобное рассуждение до бесконечности и приходили бы постоянно к тому заключению, что критянин или сам солгал и, таким образом, высказал правду, или же сказал правду – и, следовательно, солгал. Причина логического круга лежит здесь в самом понятии слова «лгун». Если под этим словом разуметь человека, который абсолютно никогда, ни при каких условиях не говорил правды, то, конечно, этим опровергается возможность того, чтобы он сам себя назвал лгуном. К счастью, подобные экземпляры в жизни не встречаются; обыкновенно же лгунами мы называем людей, которые хотя и часто, но все же не при каждом слове говорят неправду, – и, таким образом, внутреннее противоречие в только что разобранном случае сглаживается.
Иного рода логическая ошибка имеется в следующем, не менее древнем парадоксе. Перед нами насыпана куча зерен. Я убираю одно зерно – и куча, разумеется, остается тем, чем была, – кучей. Я продолжаю убирать зерно за зерном, и когда наконец будет убрано примерно 200 зерен, то останется уже не куча, а просто 10–15 штук отдельных зерен. Неужели же, следовательно, удаление одного-единственного двухсотого зернышка достаточно, чтобы лишить все оставшееся количество характера кучи? И обратно: неужели прибавление одного зерна к 10–15 другим зернам достаточно, чтобы превратить эту горсть в целую кучу?
Понятие «куча» не заключает в себе ничего определенного, безусловного, и ни в каком случае не зависит от одного лишь числа составляющих ее элементов. Составные элементы кучи, в рассматриваемом случае – зерна, должны тесно прилегать один к другому, образовать определенную коническую поверхность, без всякого порядка лежать друг на друге и находиться в таком числе, чтобы их нельзя было сосчитать одним взглядом. При каком числе составных элементов эти условия уже не имеют места, при каком возникают вновь – нельзя, конечно, установить даже более или менее приблизительно; но, принимая во внимание вышеизложенное содержание понятия «куча», мы не имеем оснований видеть что‐либо невероятное в том, чтобы одно зерно в состоянии было произвести подобную перемену. Ведь если рассуждать так, то следовало бы удивляться также и тому, что 99 сантиметров еще не составляют метра, а присоединение одного лишнего сантиметра выполняет это условие, хотя этот сантиметр ничем не лучше остальных; на самом же деле у него есть одно преимущество – то, что он именно сотый, что присоединяют его не к 20 и не 50, а именно к 99 предшествовавшим. И выходит, что присутствие или отсутствие этого сотого сантиметра решает, так сказать, судьбу целого метра.
Обратимся теперь к разбору трех сходных друг с другом парадоксов, разрешение которых представляет уже несколько бoльшие затруднения.
Например, знаменитый «крокодиловый софизм», о котором, как гласит предание, Хризипп [53] написал целых шесть томов и на котором несчастный Филет [54] сошел с ума. Египтянка к величайшему своему ужасу заметила однажды, что ребенок ее, еще только что беззаботно резвившийся на цветущем лугу нильского берега, барахтается в крокодиловой пасти. Мать стала умолять чудовище возвратить ей дитя. Крокодил отвечал, что он не тронет ребенка, если она угадает, что он с ним сделает. «Ты мне не возвратишь дитя!» – воскликнула мать в ответ на его предложение. За этим последовал такого рода диалог. Крокодил: «Сказала ли ты правду или нет – во всяком случае ты ребенка уже не получишь. Если ты права, то ребенок, конечно, будет съеден; если же ты неправа, то он мой по уговору». Мать: «А я полагаю как раз противное: если я права – то ребенок мой по уговору; если же я солгала, т. е. ты мне его возвратишь, то ясное дело, что он будет у меня».
По делу Протагора и его ученика суд вынес такой приговор: процесс решается в пользу Квантлуса, но за Протагором удерживается право опять начать процесс на новом основании именно потому, что Квантлус выиграл свой первый судебный процесс – и тогда ученик уже несомненно будет приговорен к уплате долга. Если же рассуждать логично, то следовало просто испытать, в какой мере учитель исполнил свое дело, и соответственно успехам ученика присудить его к уплате гонорара или освободить. Ведь вся путаница произошла только от того, что первый же процесс ученика имел своим предметом уплату гонорара за обучение; выходит, стало быть, следующее: Квантлус тогда только обязан будет уплатить долг, когда он докажет перед судом, что не обязан его платить. Приблизительно в таком же роде разрешается и парадокс с крокодилом. Крокодил соглашается возвратить ребенка, если мать угадает, что он с ним сделает; но угадать ведь можно только нечто установившееся, незыблемое; крокодил же ставит будущее событие (слова египтянки) в зависимость от другого будущего события (его поступка с ребенком), которое само определяется первым (так как крокодил принимает решение уже после того, как мать высказала свое предположение).
Одним из наиболее любопытных парадоксов является классический парадокс Зенона [55] о том, что Ахилл не в состоянии догнать черепаху. Над разрешением его немало трудились в течение тех двух тысяч лет, которые протекли со времени его появления. Для большей ясности мы несколько упростим данные задачи. Условия состязания следующие: Ахилл, передвигающийся, положим, вдвое скорее черепахи и проходящий один шаг в секунду, находится от нее на расстоянии всего одного шага. И вот Зенон утверждает, что даже при таких, по-видимому, выгодных условиях быстроногий Ахилл не догонит черепаху. Действительно: в то время как Ахилл сделает один шаг, черепаха передвинется на полшага вперед; Ахилл пройдет эти полшага – черепаха отодвинется еще на 1/4 шага; в то время как Ахилл успеет пройти и эту 1/4 шага, черепаха проползет еще 1/8 шага и т. д.; ясно, что черепаха всегда будет на некоторую, хотя бы и незначительную долю шага впереди Ахилла. На первый взгляд оно так и кажется, но стоит приступить к решению той же задачи иным путем – и сейчас же станет ясно, в чем тут дело. Определим, сколько времени нужно Ахиллу, чтобы нагнать черепаху. Расстояние между состязающимися – 1 шаг; с каждой секундой расстояние это уменьшается на 1–1/2 = 1/2 шага; следовательно, оно обратится в нуль, т. е. Ахилл догонит черепаху, только спустя 1: 1/2 = 2 секунды; итак, по крайней мере две секунды нужны Ахиллу, чтобы догнать черепаху.
А сколько дается ему времени в рассматриваемом случае? Нетрудно сосчитать.
Ахилл пройдет 1 шаг + 1/2 шага + 1/4 + 1/8 и т. д.; в алгебре доказывается, что этот ряд стремится к определенному пределу, равному 2, но никогда, однако, не достигает его; следовательно, мы отводим Ахиллу столько времени, в течение которого он едва успевает пройти два шага, т. е. менее двух секунд. Но, как мы уже знаем, ему необходимо по крайней мере две секунды, чтобы догнать черепаху, и теперь вполне понятно, почему он не может догнать черепаху: ему дано слишком мало времени. Таким образом, парадокс Зенона должен быть высказан в следующей форме: Ахилл не догонит черепаху, если мы не дадим ему достаточный для этого промежуток времени. А при таких условиях уже совершенно ясно, где скрывается неправильность в этом пресловутом парадоксе.
Несколько недель тому назад [56] в г. Дармштадте скончался немецкий математик Пауль Вольфскель [57], оставивший Геттингенскому научному обществу довольно необычайное завещание. А именно, он завещал обществу капитал в 100 000 марок с тем, чтобы деньги эти были выданы в качестве премии за доказательство так называемого «великого предложения Ферма» [58] – теоремы, до сего времени остававшейся недоказанной.
Речь идет вот о какой теореме. Сумма квадратов двух чисел довольно часто также является точным квадратом: так, 62 + 82 = 102 и т. п. Но сумма кубов двух чисел
Немало математиков в свое время уже трудилось над доказательством этой неподатливой теоремы, высказанной более двух с половиной веков тому назад, и никому еще не удалось найти общее, строго математическое ее доказательство – для всех степеней выше второй. И если теперь искомое доказательство оценено такой огромной суммой, то оно вполне этого заслужило за свою упорную неуловимость для самых сильных математических умов.
Любопытнее всего, что названная теорема не требует для своего доказательства обширных математических знаний. Подобно многим положениям так называемой теории чисел, она, по всей вероятности, доказывается средствами элементарной алгебры, и вот почему многие ученые трудились над ней еще на школьной скамье. Стоя вполне особняком в системе математических теорем, она не имеет большого значения для науки, и если заставляет так много говорить о себе, то главным образом благодаря своей любопытной истории.
Она, можно сказать, просто заинтриговала математиков.
А история ее действительно интересна и способна заинтриговать самого бесстрастного математика. Ее автор, Пьер Ферма, юрист по профессии, советник Тулузского парламента по положению, занимался математикой лишь между прочим, для развлечения. Это не мешало, однако, ему сделать целый ряд огромной важности открытий, справедливо окруживших его славой гениального математика. Он почти не печатал своих трудов, а сообщал их в письмах к своим друзьям, среди которых были такие ученые, как оба Паскаля [59], Роберваль [60], Декарт, Гюйгенс и др. Целый ряд теорем из области теории чисел разбросан этим гениальным дилетантом… на полях одной греческой книги! Впрочем, автором сочинения, которому посчастливилось служить записной книжкой для Ферма, был не кто иной, как не менее знаменитый александрийский математик Диофант [61], также занимавшийся теорией чисел.
Все эти теоремы записаны без доказательства, просто в виде предложений, доказательства которых были найдены Ферма, но не были опубликованы и до нас не дошли. Впоследствии все они были строго доказаны позднейшими математиками, все, кроме одной, – той самой, о которой у нас сейчас идет речь.
Но может быть, эта единственная недоказанная еще теорема, найденная среди заметок на полях сочинения Диофанта, просто неверна? Нет, она совершенно верна, и вы можете испытать это на любом числе примером. Тогда, быть может, она совсем недоказуема, как недоказуем знаменитый постулат Евклида о параллельных линиях? [62] И этого нет! Она была несомненно доказана самим Ферма, о чем свидетельствует следующая приписка на полях книги: «Я нашел замечательно интересное доказательство этой теоремы, но оно, к сожалению, не поместится на этих узких полях». Такому добросовестному ученому, как Ферма, можно смело верить, и раз он утверждает, что нашел доказательство, значит, он его действительно нашел.
Как популярна эта любопытная теорема у представителей точного естествознания, видно из того, что она сделалась в их среде, что называется, «притчей во языцех».
Вот, например, в каких выражениях немецкий математик Кронекер [63] поздравлял знаменитого физика Гельмгольца с 67‐м днем его рождения:
«От души поздравляю вас с достижением 67‐летнего возраста. Число 67 – последнее из трех критических чисел первой сотни, для которых не удалось еще доказать теоремы Ферма. Вы пережили уже первые два из этих критических чисел; позвольте пожелать Вам благополучно отпраздновать и наступающую 67‐ю годовщину вашей плодотворной жизни».
Такова интересная история знаменитой теоремы, которая ныне снова привлекла к себе всеобщее внимание. Премия в 100 000 слишком достаточна, чтобы оживить энергию математиков, и кто знает, быть может, на ней пожелают попытать счастья и некоторые из наших многочисленных читателей…
От души желаем им большего успеха, чем тот, какого добились в свое время Гаусс и Эйлер [64].
Дети, впервые обучаемые счету, часто задают своим учителям вопрос: «Почему три обозначается знаком 3, а пять – знаком 5?» Мы обыкновенно считаем подобные вопросы праздными, однако здесь есть над чем призадуматься и взрослому. В самом деле – откуда наши цифры получили свои современные начертания, почему они обозначаются именно такими, а не иными знаками? Должна же быть какая‐нибудь естественная причина, и отчего бы не попытаться отыскать ее?
Среди отрывков и мелких заметок А. С. Пушкина есть между прочим такое замечание, прямо отвечающее на наш вопрос:
«Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры (см. рис.): AD (1), EABDC (2), ABECD (3), ABD + AE (4) и проч. Римские цифры составлены по тому же образцу».
Трудно сказать, собственная ли это догадка нашего поэта или заметка выписана им из какого‐нибудь источника, но несомненно, что догадка эта совсем неудачна.
Правда, получающиеся по предлагаемому способу фигуры действительно весьма сходны с начертаниями арабских и римских цифр. Но дело ведь не в том, чтобы найти
Поэтому приходится оставить эту остроумную, но ничего не объясняющую догадку и искать объяснения совсем в другом направлении. В настоящее время существует довольно удовлетворительное объяснение странных форм наших цифр, и с этим объяснением мы и постараемся познакомить читателей. Начнем с римских цифр, которые, несмотря на всю свою громоздкость и неудобство, были во всеобщем употреблении в Европе вплоть до XIV–XV столетия, когда они были вытеснены арабскими. Но эти цифры все же, как увидим ниже, гораздо моложе своих восточных заместителей, и вот почему в них легче открыть следы их естественного происхождения. Как известно, пальцы рук играли огромную роль в развитии счета: достаточно напомнить, что десятичная система счисления обязана своим происхождением десяти пальцам наших рук; да разве и теперь мы сплошь и рядом не прибегаем к их помощи при счете? Поэтому вполне естественно ожидать, что и сами начертания цифр так или иначе связаны с пальцами. И действительно, для римских цифр это очень легко доказать. Вот перед нами ряд римских цифр: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X.
(Для цифры «четыре» мы берем прежнее обозначение IIII вместо нынешнего IV; знак IIII приходится, впрочем, еще и теперь часто видеть на старых стенных часах.)
Ясно, что I означает один палец, II – два пальца и т. д. до V. Эта последняя есть не что иное, как растопыренная ладонь, сокращенно обозначенная обоими крайними пальцами – большим и мизинцем. Далее, VI есть ладонь и еще один палец, т. е. пять + единица. VII – ладонь и два пальца, VIII – ладонь и три пальца, X – две сросшиеся римские пятерки. Наконец, IX – десятка без единицы: если единица, поставленная справа, прибавляется к ней, то та же единица, помещенная с противоположной стороны, должна отниматься; точно так же объясняется и происхождение IV – ладонь без одного пальца. Римские обозначения для высших разрядов не менее легко объяснить.
L – пятьдесят – видоизмененное V. Наконец, C и M – для ста и тысячи – суть начальные буквы слов
Итак, римские цифры суть не что иное, как упрощенные рисунки пальцев рук в их различных положениях. Но каково же происхождение общеупотребительных арабских цифр? Оказывается, что они произошли совершенно тем же путем, но установить генеалогию будет гораздо труднее.
Прежде всего заметим, что сами арабы не изобрели своих цифр, а переняли их от своих восточных соседей – индусов. От тех же индусов переняли обозначения цифр и китайцы. Первоначальные индийские начертания цифр, послужившие образцом для арабов и китайцев, до нас не дошли, и мы не знаем, какую форму они имели. Но если задаться вопросом, какие цифры ближе к своему прототипу – наши ли (т. е. арабские) или китайские, то долго думать над ответом не придется. «Недвижный Китай», консервативность которого вошла в поговорку, конечно, лучше сохранил первоначальные начертания цифр, нежели пылкий, подвижный араб. Поэтому, если искать сходства цифр с пальцами рук, то надо брать в основу не арабские цифры, сильно измененные, а более близкие к прототипу китайские цифры.
Мы так и поступим. Вот перед нами современные обозначения китайских цифр от единицы до десяти:
С первого взгляда может показаться, что никакого сходства между ними и нашими цифрами нет. Но это только кажется; при более же внимательном рассмотрении нетрудно убедиться в их кровном родстве. Надо только принять в соображение, что мы пишем перьями, а индусы и китайцы чертят палочками: в этом различии орудий письма кроется весь секрет видоизменения старинных цифр в современные. Действительно, попробуйте вырисовывать пером изображенные выше китайские цифры – вы сразу убедитесь, что скоропись требует видоизменения их в духе арабских цифр. Горизонтальные штрихи очень удобно делать палочкой, но очень неудобно выписывать пером; поэтому в арабских начертаниях они либо сокращены, либо заменены полукруглыми или вертикальными. Только цифры 8 и 9 утратили почти всякое сходство с китайскими.
Итак, нам остается теперь объяснить происхождение китайских цифр, этих оталенных праотцов современных арабских. Римские цифры изображают вертикальные пальцы, китайские изображают пальцы горизонтальные. Таким образом, происхождение китайских цифр 1, 2, 3 объясняется крайне просто. Цифра четыре, как нетрудно видеть, весьма сходна с римской IIII и произошла из фигуры четырех пальцев, или, еще вероятнее, от кулака с загнутым к ладони большим пальцем. Объяснить происхождение китайской пятерки также нетрудно – это очертания человеческого кулака: сходство станет еще больше, если в сжатом кулаке выставить вперед мизинец (см. рис.). Кстати заметим, что и в наши дни школьники при «подсказывании» пользуются этим китайским обозначением: если им надо подсказать 13, они показывают два сжатых кулака и затем три пальца.
Обозначение шестерки у китайцев значит ладонь и еще один палец; первоначально оно, вероятно, имело такое начертание:
лишь впоследствие перешедшее в современное китайское, где от всей ладони, как и в римской пятерке, сохранились лишь крайние пальцы – большой и мизинец. Происхождение китайской семерки и восьмерки трудно объяснить без большой натяжки – по всей вероятности, эти знаки уж слишком удалились от своего древнеиндийского прототипа, – это явствует также и из того, что арабская восьмерка совсем не похожа на китайскую. Зато китайская десятка совершенно тождественна с римской – это то же X, только лежачее. А китайская девятка есть знак десяти с обозначением: единицу скинуть. Но римляне пишут слева направо; поэтому у них единица, поставленная вправо от основного знака, прибавляется к нему; китайцы же пишут наоборот – справа налево, и для прибавления они ставят единицу слева, а для вычитания – справа от основного знака; теперь нам вполне понятно, откуда произошло китайское обозначение цифры 9. Наша «естественная история цифр» исчерпана, и нельзя не призадуматься над неожиданным и поучительным результатом этого исследования.
Мы видим, что сквозь очертания цифр глядит на нас седая, многовековая древность; каждый штрих говорит о жизни наших полудиких предков, прибегавших к грубому, примитивному счету на пальцах. И мы, в сущности, сами того не подозревая, делаем то же, что и они, изображая числа фигурами пальцев в разных положениях.
Настоящий снимок, сделанный 11 октября 1909 г. старшим астрономом Пулковской обсерватории С. К. Костинским [66], любезно предоставлен обсерваторией в распоряжение редакции «Природа и люди». Экспозиция длилась два часа. При фотографировании инструмент (астрограф) все время точно направлялся на комету, движущуюся между звездами; поэтому звезды вышли на снимке в виде черточек, величина и направление которых изображают путь, пройденный кометой за время экспозиции (в данном случае около четверти видимого диаметра Луны).
Что может быть точнее, определеннее цифр? И в то же время как часто эти цифры угрюмо молчат, ничего не говоря нашему уму, тая глубоко в себе скрытое в них знание. В таких случаях нужно уметь заставить цифры говорить, и лучшее средство для этого – сравнение. Надо сравнить данную цифру с другой, хорошо нам знакомой, – и мы покажем на немногих примерах, как красноречивы становятся тогда ряды голых цифр.
Из древней истории вы знаете о замечательном походе Александра Великого. Он прошел со своей армией по Европе, Африке и Азии 16 000 верст. Эта цифра – 16 000 верст – ничего не говорит вам, если не сравнивать ее с другими. Но если вам скажут, что от Петербурга до Порт-Артура всего 6500 верст, т. е. в два с половиной раза меньше, то вам сразу станет ясно, что Александр совершил нечто беспримерное. И действительно, вообразите только, что Куропаткин со своей армией двинулся к Порт-Артуру и обратно не по железной дороге, а пешком [67], – и вы ощутите всю грандиозность Александровых походов. Чингисхан, пройдя от центра Каракорума до Ольмюца, совершил переход в 7000 верст, т. е. гораздо менее, нежели Александр Македонский, Наполеон от берегов Вислы до Москвы – всего 1450 верст, а считая и обратный путь – 3000 верст. Все это бледнеет перед грандиозностью похода Александра Великого, похода, остающегося поистине беспримерным на протяжении всей истории.
Во время махдистского восстания в Африке [68] много говорили о походе английского генерала Китченера, прошедшего со своей армией от Каира до Хартума. На такое расстояние отстоит от Москвы Константинополь. Переход действительно колоссальный, но он все же в восемь раз менее похода македонского властителя!
Другой пример, опять‐таки из истории. Имеете ли вы ясное представление о величине Римской империи в эпоху расцвета ее могущества? Если вы узнаете, что расстояние между ее крайними пунктами – от Шотландии до первых Нильских порогов – равнялось 5000 верст, то эта столь определенная цифра скажет вам все же очень мало. Другое дело, если вы сравните площадь Римской империи с площадью, например, современного Китая и убедитесь, что Китай почти вдвое больше этой пресловутой империи, в которой для римлян заключался весь мир. А империя Карла Великого с удобством могла бы поместиться между реками Янтсекиангом и Гоанго [69].
Надо вообще заметить, что непосредственное сравнение карт различных материков ведет к весьма поучительным и подчас прямо неожиданным выводам. Мы привыкли видеть карту Европы в гораздо большем масштабе, нежели карты остальных частей света, – отсюда совершенно превратное представление о сравнительной величине их частей. Для многих, вероятно, будет настоящим открытием, что, например, Корея [70] почти такой же величины, как Италия, а остров Борнео по площади больше Черного моря!
Мы можем сообщить читателю целый ряд таких открытий. Остров Мадагаскар, – эта «небольшая французская колония» – больше всей Франции [71], своей метрополии. В озере Чад можно было бы утопить всю Сицилию, а озеро Танганьика, мысленно перенесенное в Европу, прорезало бы весь Балканский полуостров, простираясь от Вены до Салоникского залива. Напротив, европейские страны, перенесенные на карту других частей света, кажутся какими‐то географическими пигмеями: Скандинавский полуостров почти теряется в Сахаре, точно так же как Великобритания и Ирландия – в Южной Америке: они кажутся двумя мелкими островами в бассейне Амазонки.
Если бы великая Сибирская железная дорога шла вдоль северных берегов Южной Америки, начиная от перешейка, то конечный пункт ее пришелся бы как раз в Рио-де-Жанейро.
Весьма ошибочны также наши представления о картографии полярных стран – опять‐таки вследствие того, что на школьных картах мы привыкли видеть страны оттесненными к самому краю, откуда язычками высовываются лишь их жалкие кусочки. Поэтому мы думаем, например, что от Исландии, Гренландии, Нордкапа, Новой Земли – рукой подать до полюса. Ничего подобного на деле, конечно, нет. От Исландии до полюса так же далеко, как от Петербурга до Мессины (2700 верст); от Нордкапа до полюса немногим меньше того (2200 верст). От самой северной оконечности Новой Земли до полюса еще 1500 верст – ровно столько, сколько от Петербурга до Гамбурга.
Полюс удален от Берингова пролива на 2800 верст, а от южной оконечности Гренландии – на целых 3500 верст, – расстояние между Нордкапом и Неаполем! Вот вам и «рукой подать»!
Великие сооружения древности и новых времен также выступят перед нашим сознанием в совершенно ином свете, если голые цифры одеть плотью удачного сравнения.
Великая Китайская стена простирается на 3000 верст, – это пока еще ничего не говорит. Перенесите ее мысленно в Европу и попробуйте вообразить, что между Лиссабоном и Ригой тянется одна сплошная каменная стена – вот тогда вы постигнете всю колоссальность этой постройки. Другое чудо китайской техники – Императорский канал [72] – имеет 1100 верст в длину: в Европе он мог бы установить прямое сообщение Немецкого моря с Адриатическим заливом, а в Северной Америке – озера Мичиган с Мексиканским заливом. Весь Кавказский хребет имеет в длину не более этих 1100 верст.
Еще пример: пирамида Хеопса. При 66 саженях высоты она имеет в объеме 230 000 кубических саженей. Эти цифры пока еще молчат, но сейчас заговорят. Знаете ли, на скольких поездах надо было бы доставить на место весь нужный для этой постройки материал? 4500 товарных поездов по 50 вагонов в каждом! Из этого материала можно было бы вокруг всего земного шара выстроить по экватору каменный забор в сажень высоты и в 6 вершков ширины (т. е. «в один кирпич»). И все же этот колосс древности более чем вдвое ниже Эйфелевой башни, даже ниже Нью-Йорских небоскребов. А рисунок изображает ту же пирамиду рядом с исполином современной кораблестроительной техники. Вы видите, что «Мавритания» по внушительности едва ли уступает пирамиде.
Вообще надо заметить, что эти новейшие «плавучие города» и «плавучие крепости» – такие гиганты, что об истинных размерах их трудно даже составить себе ясное представление. Самыми большими пассажирскими пароходами знаменитой «Гамбург – Америка линии» считаются «Америка» и «Королева Августа-Виктория». Первая имеет в длину 101 сажень, в ширину 11; вторая – в длину 105 саженей, в ширину 12. Цифры эти, впрочем, ничего не скажут, если не привести подходящего сравнения. Перед нами Ульмский собор, возвышающийся на 80 саженей – постройка достаточно грандиозная; но она совершенно стушевалась бы, если бы рядом поместить «Императрицу Августу-Викторию».
Даже отдельные части этих морских колоссов поражают нас своими совершенно необычайными размерами. Достаточно сказать, что через трубу «Императрицы Августы-Виктории» с удобством может проехать целый поезд; а десять колоссальных пушек с недавно выстроенного Десять пушек броненосца уравновешивают два железнодорожных поезда броненосца «Дредноут» [73] весят столько же, сколько два полных пассажирских поезда.
Присвоенное этим гигантам, – с легкой руки Жюля Верна – наименование «плавучих городов» чрезвычайно метко и, пожалуй, нисколько не преувеличено. Как же иначе назвать колоссальное сооружение с сотнями кают, коридоров, зал, всевозможных кладовых, да еще с такими удобствами, которых лишены многие настоящие города не только у нас в России, но и на Западе. Около 4000 человек пассажиров и прислуги, перевозимых трансатлантическими пароходами, составляет население целого города.
Обширные пустыни океана, некогда совершенно безлюдные, теперь прорезаются во всех направлениях не менее чем сотней «плавучих городов» одновременно.
Впрочем, «гиганты лазури» обещают, по крайней мере по величине, далеко превзойти своих водяных и сухопутных коллег.
Итак, вот каким путем можно заставить цифры говорить: только посредством сравнения. Поставьте себе правилом не запоминать ни одной новой цифры без сравнения ее с другими, уже известными вам. Допустим, например, вы запомнили, что ближайшая звезда Альфа Центавра отстоит от Солнца на столько‐то и столько‐то триллионов верст; это пока еще нисколько не обогащает ваших познаний. Другое дело запомнить следующее сравнение: если лампа в вашей комнате в Москве изображает Солнце, а орех в сажени от нее – Землю, то, согласно этому масштабу, лампу – Альфу Центавра – надо было бы поместить… в Петербурге! Вот теперь вы действительно получили представление о масштабе, в котором построена звездная Вселенная.
История науки полна рассказов о том, как простая случайность была причиной открытия или изобретения величайшей важности. Из целого ряда примеров подобного рода мы напомним только несколько наиболее общеизвестных.
Начнем с открытия закона Архимеда. Оно сделано было в ванне. Великий математик древности, принимая ванну, размышлял над заданной ему сиракузским царем задачей определить содержание серебра в золотой короне.
Облегчение собственного веса в воде внезапно навело его на мысль разрешить задачу о короне, определив удельный вес золота и серебра. Таким‐то образом физика обогатилась одним из важнейших своих законов.
Законы качания маятника открыты были также случайно Галилеем. Девятнадцатилетним юношей он, находясь в Пизанском соборе, обратил внимание на то, как раскачивается тяжелая люстра [74]работы Бенвенуто Челлини.
Незадолго до того церковный служитель, зажигая свечи люстры, вывел ее из равновесия – и она продолжала совершать плавные колебания, все уменьшая их размах. Юношу-ученого поразило то, что продолжительность колебаний при больших и малых размахах одна и та же. Биение собственного пульса заменило ему часы, и он мог тут же с точностью проверить свою догадку. Так был открыт закон «изохронности» (равновременности) колебаний маятника.
Один из величайших законов – закон всемирного притяжения, на котором зиждется все здание современной астрономии – также, как рассказывают, обязан случаю своим открытием. Сидя в саду, Ньютон размышлял над тем, какая сила удерживает Луну на ее орбите и мешает ей удалиться от Земли в мировое пространство. Падение яблока с дерева вывело великого ученого из задумчивости [75], – и вдруг его осенила плодотворная мысль: «Вот упало яблоко… Почему? Его притягивает Земля? Отчего же не допустить, что и Луна удерживается на своей орбите той же силой земного притяжения?» Ученый принимается за вычисления – и убеждается, что догадка верна. Так сделано было важное открытие, что сила, заставляющая земные предметы падать, и сила, управляющая движениями небесных светил – одна и та же.
Нам эта мысль кажется до того простой, что мы не усматриваем в догадке Ньютона ничего необыкновенного. Но это – повторение истории с колумбовым яйцом. До Ньютона ни один ученый не предполагал, что земная тяжесть и есть та же самая сила, которая управляет движением Луны. Это была поистине гениальная
Таких примеров можно привести целое множество. Франклин открыл тождество молнии с электрической искрой, запуская бумажного змея. Джеймс Уатт [76] наведен был на идею паровой машины, наблюдая, как поднимается крышка чайника силою пара. Монгольфье [77] однажды заметил, что женская юбка, висевшая подле огня, вздувается и поднимается силою нагретого воздуха, – и вот в уме его возникает счастливая мысль наполнить шар нагретым воздухом; так изобретен был первый монгольфьер. Даже обыкновенная паутина, висящая в углу, могла навести на плодотворную мысль: инженер Браун [78] именно таким путем приведен был к идее сооружения висячих мостов…
Словом, примеров того, как простая случайность приводила к великим открытиям и изобретениям, можно было бы собрать бесконечное множество. И все‐таки… и все‐таки это ровно ничего не доказывает! Не доказывает того, что случайности и только одной случайности обязаны мы открытием всех этих важных законов. Потому что только выдающемуся уму простая случайность может подсказать плодотворную идею.
В самом деле, ведь Архимед, Галилей, Ньютон, Франклин, Уатт, Монгольфье, Браун не потому стали великими людьми, что сделали свои великие открытия; наоборот, они оттого и сделали великие открытия, что были великими людьми.
Мало ли людей принимало ванны до Архимеда? Разве до Галилея никто не видал качающейся люстры? Разве до Ньютона яблоки не падали у деревьев?
И все же только этим выдающимся людям пришли в голову счастливые, плодотворные сопоставления. До Уатта, Монгольфье, Брауна поднимались крышки кипящих чайников, тысячи женщин сушили у огня свои юбки, тысячи пауков ткали свои паутины; однако же никто ранее не изобрел ни паровой машины, ни воздушного шара, ни висячего моста!..
Нет, здесь дело не в случайности, не в ванне, не в яблоке или чайнике, а в направлении пытливого ума наблюдателя. Обратили ли вы внимание на одну существенную подробность во всех этих рассказах о роли случая в великих открытиях? Архимед принимал ванну,
Мало того: идею, уже возникшую в уме, нужно уметь додумать до конца, сделать все выводы и подвергнуть их критике. Чрезвычайно поучителен в этом отношении случай с Ньютоном. Он далеко не сразу открыл свой закон всемирного тяготения. Дело обстояло гораздо сложнее, чем описывает легенда о яблоке. Наведенный на мысль о тождестве земного и всемирного притяжения, молодой ученый принялся за математическую проверку этой идеи. Он вычислил, на какое расстояние должна была бы Луна ежесекундно приближаться к Земле, если бы она перемещалась под действием тяжести. Это расстояние Ньютон сравнил с тем расстоянием, на какое Луна действительно ежесекундно отклоняется от касательной к своей орбите. Если бы в обоих случаях получился одинаковый результат – это значило бы, что догадка о тождестве сил верна.
Что же получилось? Расстояния были
В течение многих лет Ньютон не только не публиковал своего открытия, считая его необоснованным, – но даже никому и не рассказывал о нем. И только 16 лет спустя, узнав о новом измерении земного радиуса, Ньютон опять повторил свои вычисления. На этот раз, вследствие большей точности данных, лежащих в основе вычисления, результат получился совершенно верный. И лишь тогда Ньютон счел свою догадку справедливой. Редкий, необыкновенный пример научной добросовестности!
Вот поучительный образчик того, какую в сущности ничтожную роль играет случай в истории великих открытий. Идея, порожденная падением яблока, возникла не случайно, а потому, что Ньютон уже ранее упорно думал над этой проблемой; даже раз появившись, мысль подвергается всесторонней проверке и тщательной критике; и лишь пройдя через горнило мыслительной мастерской гения, случайная идея становится истиной.
Английский философ Бэкон Веруламский [79] дает целый ряд правил, облегчающих искусство выслеживать истину, – искусство, которое он остроумно назвал «Охотой Пана». Оно состоит в том, чтобы, наблюдая опыт, не удовлетворяться первой же возникшей идеей; надо извлекать из опыта все, что он способен дать. Бэкон выработал целую систему такой охоты за истиной, целый ряд приемов, которые носят у него специальные названия. Каждый опыт надо «варьировать», т. е. производить его над различными вещами, чтобы убедиться в одинаковости результатов. Затем опыт надо «переносить», т. е. переводить его по аналогии в другую область (телескоп – телефон; микроскоп – микрофон и т. п.). Далее надо «обращать» опыт, т. е. воспроизводить его в обратной последовательности. «Истощать» опыт – значит продолжать его до крайних пределов, до исчезновения предмета исследования (нагревать магнит, чтобы проследить, не уменьшается ли его сила). И так далее. Всех правил «охоты» мы не приводим, так как общая идея их ясна: комбинировать опыт на всякие лады при неустанной работе мысли.
Это последнее обстоятельство, – т. е. настойчивость в мышлении – играет самую важную роль в искусстве делать открытия. Когда Ньютона спрашивали, каким путем достиг он своих открытий, великий мыслитель отвечал: «Я постоянно держу в уме предмет моего исследования и терпеливо жду, пока слабое предрассветное мерцание мало-помалу превратится в яркий, блестящий свет». Вот лучший рецепт делать великие открытия – рецепт испытанный и надежный! Думайте много, упорно, настойчиво, размышляйте как можно больше, – и ваша мысль приобретет ту силу, гибкость и оригинальность, которые порождают открытия. «Гений – это терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении», – слова эти принадлежат одному из величайших гениев всех веков, тому же Исааку Ньютону.
Пять лет тому назад пишущий эти строки поместил в журнале «Природа и люди» небольшую заметку о капитале в сто тысяч марок, завещанном тому, кто докажет так называемое «великое предложение Ферма». С тех пор в редакцию стали чуть не еженедельно поступать «доказательства» этой теоремы. Ни одно из них, к сожалению, не оказалось правильным. Впрочем, математикам всего мира посчастливилось не больше, и сто тысяч марок еще по сей день остались нетронутыми. Так как редакцию часто запрашивали о судьбе этой теоремы, то считаем нелишним познакомить читателей с тем, как обстоит дело в настоящее время.
Прежде всего – напомним, в чем заключается теорема.
Известно, что можно подыскать много пар целых чисел, сумма вторых степеней которых также есть вторая степень какого‐нибудь целого числа.
Так, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52; 302 + 162 = 342, и т. д.
Таких чисел можно найти сколько угодно. Но попробуйте подыскивать подобные же примеры для третьей степени. Вы не найдете ни одного! Полная неудача постигнет вас и при подыскании примера для четвертой, пятой и других высших степеней. В этом и состоит «великое предложение Ферма».
В справедливости этой теоремы никто не сомневается – но все же доказательства ее мы в настоящее время не знаем. Кто найдет строгое математическое ее
Любопытнее всего то, что теорема эта уже была раз доказана, но доказательство это бесследно утрачено. Знаменитый математик Пьер Ферма записал на полях одной математической книги эту теорему, но доказательства ее не поместил, так как оно «немного длинновато».
«Совершенно невозможно, – писал Ферма, – разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень на сумму двух четвертых степеней, вообще какую‐либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».
В бумагах Ферма не найдено было этого доказательства, и в чем оно состояло, мы так и не знаем. Однако нет причин сомневаться, что такое доказательство было действительно открыто Ферма. Гениального французского математика нельзя заподозрить ни в хвастовстве, ни в опрометчивости. Многие из положений, найденных им, дошли до нас без доказательств, но позднейшие изыскания показали, что положения эти вполне правильны. Лишь одной теоремы не удалось доказать до сих пор – той, о которой у нас идет теперь речь. Целый ряд гениальных математиков старался доказать эту столь простую на вид теорему – и безуспешно. Удавалось лишь доказать ее для отдельных
«У нас накопилась, – пишет по этому поводу знаменитый немецкий математик Клейн [83] – чуть не целая гора доказательств. Люди всех профессий – инженеры, народные учителя, священники, банкиры, дамы и т. д, – являются авторами этих работ. Общее во всех этих работах лишь то, что их авторы
К сожалению, буквально то же самое приходится повторить и о большинстве русских претендентов на наследие Вольфскеля. Кстати, пользуемся случаем опровергнуть слух, до сих распространенный в обществе, – будто теорема Ферма была доказана одним русским реалистом и будто доказательство это было одобрено нашей Академией наук. Известие это действительно появилось в газетах в сентябре 1908 года и не было официально опровергнуто Академией. Тем не менее оно совершенно неверно. Редакция нашего журнала немедленно же навела справки в Академии и убедилась, что слух основан на недоразумении. Некий реалист действительно послал в Академию наук свое воображаемое доказательство и даже получил от секретаря Академии любезный, но нисколько не обнадеживающий ответ: «Присланное вами рукописное доказательство теоремы Фермата передано в I Отделение библиотеки Академии». Дело просто в том, что Академия, как казенное учреждение, не может выбрасывать поступающие в нее рукописи и обязана хранить их в своей библиотеке [84]. Доказательство юного математика даже не рассматривалось Академией по существу. Но и он, и окружающие его приняли это извещение за одобрение; отсюда и пошел упомянутый слух.
До настоящего времени из процентов на завещанный капитал выдана только тысяча марок немцу Вифериху [85], доказавшему теорему Ферма для одной группы
Очень поучителен случай с профессором Линдеманом [86], одним из величайших математиков нашего времени. В 1909 году он выпустил брошюру, в которой предлагает два доказательства Ферматовой теоремы. Но как оказалось, этот выдающийся математик стал жертвой простой описки: в ходе доказательства он в одном месте вместо показателя 6 написал 5… Во втором доказательстве также замечены были подобного рода описки. А между тем профессор Линдеман – первоклассный математик, зарекомендовавший себя рядом ценных, прямо классических работ.
Читатели часто запрашивают редакцию, куда следует направлять доказательства. Считаем необходимым дать по этому поводу некоторые разъяснения.
Хотя присуждение премии предоставлено Геттингенскому научному обществу, но
Таким постановлением Геттингенское общество освобождает себя от рассмотрения многих сотен и тысяч неверных доказательств, частью перелагая эту неблагодарную работу на редакции математических журналов. Общество выступит со своим заявлением лишь тогда, когда правильное доказательство будет опубликовано. Пока же общество молчит – это означает, что правильное доказательство еще не опубликовано.
Впрочем, присуждение премии должно состояться не ранее, чем спустя два года по опубликовании доказательства. Такой срок дается для того, чтобы математики всего мира успели рассмотреть доказательство и обнаружить ошибку, если таковая была допущена (как в случае с профессором Линдеманом). Зато постановление общества неоспоримо, и выданный капитал ни в каком случае не может быть потребован обратно (даже если бы обнаружена была ошибочность доказательства).
В заключение познакомим читателей с любопытной теоремой, которая хотя и кажется сложнее Ферматовой, но все же недавно строго доказана математиками. Теорема эта гласит, что нет такого числа (целого и положительного), которое нельзя было бы представить в виде суммы одинаковых степеней целых и положительных чисел. Для второй степени число этих слагаемых ограничено 4‐мя: это значит, что нет такого числа, которое нельзя было бы представить в виде суммы 2, 3 или 4 квадратов. Возьмем наудачу число 23.
Оно равно 32 + 32 + 22 + 12. Число 54 = 72 + 22 + 12, и т. д. Для квадратов эта теорема доказана была еще Лагранжем [87] и Эйлером, а в общем виде – в прошлом году профессором Гильбертом [88].
Наши шахматисты развивают свою игру на плоской доске, т. е. на пространстве двух измерений; теперь, по остроумному замыслу гамбургского ученого Маака [89], появились шахматы
Объясним подробнее, в чем заключается это оригинальное усовершенствование.
До сих пор, играя в шахматы, мы имели перед собой лишь одну квадратную доску с 64 полями и по этой плоскости перемещали фигуры. Изобретатель трехмерных шахмат употребляет для игры не квадрат, а куб: в нем не 64 поля, а 8 × 8 × 8 = 512 кубиков, попеременно черных и белых. Этот куб с 512 кубиками только воображается, – в действительности игроки пользуются этажеркой с 8 шахматными досками: поля этих досок суть основания 512 кубиков. Доски в этажерке расположены так, что и в вертикальном направлении черные и белые поля чередуются в шахматном порядке.
Как же перемещаются фигуры в этом «шахматном кубе»? Мы легко поймем это, если усвоим себе, что фигуры движутся по аналогии с их обычными движениями на плоской шахматной доске. Так, ладья движется перпендикулярно к сторонам поля: на плоской доске только по двум взаимоперпендикулярным направлениям, а в кубической шахматнице – по трем (т. е. еще верх и вниз). Другими словами, в трехмерных шахматах ладья
Трехмерные шахматы – новинка в полном смысле слова: они существуют официально всего два года – с осени 1910 года, когда впервые были демонстрированы на 27 германском шахматном конгрессе. До сих пор еще не выработаны для них дебюты, гамбиты и вообще практические приемы игры; но теория их ясна, и, по мнению специалистов, они заслуживают самого серьезного внимания. Действительно, если уже обыкновенные «плоские» шахматы требуют от игрока не только сообразительности, но и развитого воображения, умения отчетливо представлять себе ожидаемое размещение фигур, – то еще значительнее требования, предъявляемые к игроку «трехмерными» шахматами. Здесь, чтобы сделать один простой ход, часто нужно уже немалое усилие воображения. Ведь восемь полок шахматной этажерки суть в геометрическом смысле лишь
Обсуждая, откуда той или иной фигуре может угрожать атака, нам
Легко видеть уже по одному этому, как должно изощряться «геометрическое воображение» у шахматного игрока такого рода. Неудивительно, что изобретатель трехмерных шахмат д-р Маак, ученый и философ, возлагает огромные надежды на свое детище – как на средство развития геометрического воображения. Он утверждает, что для человека, играющего в пространственные шахматы, изучение таких наук, как начертательная и проективная геометрия, аналитическая геометрия, кристаллография и т. п. должны стать простым и легким делом. Многие труднейшие отделы высшей математики и механики, требующие уменья быстро строить мысленные геометрические образы, отчетливо удерживать их в памяти и свободно ими оперировать – станут простыми и легкими, если ум изучающего будет заранее подготовлен к подобной работе игрой в трехмерные шахматы [90].
Для тех, кто пожелал бы ближе познакомиться с трехмерными шахматами, мы, к сожалению, не можем указать какого‐либо русского сочинения.
В Германии также нет, сколько нам известно, отдельных книг по этому предмету. Имеются лишь издаваемые изобретателем в Гамбурге «Известия о пространственных шахматах» (полное заглавие: Mitteilungen uber Raumschach, wissenshafftliche Schachforchung und verwandte raum wissenshafftliche Probleme).
Это издание можно приобрести через любую крупную книжную торговлю в Гамбурге.
СЕДОЮ древностью завещана нам мечта о чудесной шапке-невидимке, которая делает совершенно невидимым всякого, кто ее наденет. Наши народные сказки постоянно возвращаются к этому любопытному сюжету. Пушкин, ожививший в «Руслане и Людмиле» преданья старины глубокой, оставил нам классическое описание волшебных свойств шапки-невидимки:
Эта способность становиться невидимой является единственной защитой для пленной Людмилы, со всех сторон окруженной врагами. Под надежным покровом невидимости она ускользает от пристальных взоров своих сторожей.
О присутствии невидимой пленницы можно было судить только по ее действиям:
Многие заманчивые мечты древности давно уже осуществлены наукой; немало сказочных волшебств сделалось достоянием современного ученого. Эдгар По написал «1002‐ю ночь», – где перед реальными достояниями науки бледнеют все сказочные создания восточной фантазии. В наш прозаический век мы пробуравливаем горы, улавливаем молнии, летаем на коврах-самолетах… Не можем ли мы изобрести и шапку-невидимку? В дни всесветной войны, когда все усилия научной мысли, вся техническая изобретательность направлены к одной цели – одолению врага, особенно интересно остановиться на обсуждении этого оригинального способа защиты.
Проницательный автор научно-фантастических романов Герберт Уэллс давно уже сделал попытку перенести вопрос о шапке-невидимке из области мечтаний на почву положительной науки. В своем романе «Невидимый человек» он подходит к разрешению задачи невидимости с точки зрения физики. С поразительным остроумием романист убеждает нас, что человек может сделать свое тело совершенно невидимым, и наглядно показывает, как непобедимо-могуществен был бы такой невидимый человек среди миллионов своих видимых собратьев.
Под покровом невидимости герой романа Уэллса проникает в строго охраняемые помещения, внезапно появляется там, где его меньше всего ожидали, держит в смертельном страхе население целого округа, безнаказанно поражает всякую намеченную им жертву, благополучно ускользает от преследования целой толпы вооруженных людей… Он осуществляет свое могущество, не прибегая ни к каким волшебным средствам; он действует обыкновенной физической силою человека, почти без всякого оружия. Один, с голыми руками, без помощников и сообщников, он становится властелином целого округа.
«– Отныне округ уже не под властью королевы, – пишет он в приказе. – Передайте вашему полковнику, полиции и всем другим: округ под моею властью! Нынешний день – первый день первого года новой эры, эры Невидимого. Я – Невидимый Первый. Сначала мое правление будет милостиво. В первый день свершится казнь только одного человека… Пусть он запирается, пусть прячется, пусть окружает себя охраной, пусть закует себя в броню, если угодно, – смерть, невидимая смерть идет к нему. Не помогай ему, народ мой, дабы не постигла смерть и тебя…»
Эти слова не оказались пустой угрозой, – ничто не могло спасти обреченную жертву от гнева Невидимого.
В чем заключался секрет Невидимого? Каким способом этот человек мог сделать свое тело совершенно невидимым? Герой романа подробно объясняет этот способ, строго опираясь все время на законы оптики. Приведем полностью это поучительное место романа, которое является в то же время и интересной страницей из курса физики:
«– Видимость зависит от действия видимых тел на свет. Тела или поглощают свет, или отражают, или преломляют его, или же одновременно делают все вместе.
Если тело не отражает, не преломляет и не поглощает света, то оно не может быть видимо само по себе.
Так, например, вы видите непрозрачный красный ящик потому, что цвет поглощает некоторую долю света и отражает остальное, а именно все красные лучи.
Если бы ящик не поглощал некоторой доли света, а отражал бы его весь, то он был бы блестящим белым ящиком. Это было бы серебро!
Если вы положите кусок обыкновенного белого стекла в воду или, еще лучше, в какую‐нибудь жидкость, более плотную, чем вода, то вы стекла совсем почти не увидите, потому что свет, переходя из воды в стекло, преломляется и отражается очень слабо и вообще не подвергается почти никакому воздействию. Стекло в таком случае почти столь же невидимо, как струя углекислоты или водорода в воздухе. И происходит это по одинаковой причине. А вот и еще факт, хорошо известный всякому школьнику. Если разбить кусок стекла и превратить его в порошок, он становится гораздо более заметным в воздухе и превращается в конце концов в белый непрозрачный порошок. Это происходит потому, что превращение стекла в порошок увеличивает число плоскостей преломления и отражения. В стеклянной пластинке имеются всего две поверхности, в порошке же каждая крупинка представляет собой плоскость преломления и отражения света, и сквозь весь порошок проходит очень мало света.
Но если белый стеклянный порошок опустить в воду, то он почти совершенно исчезает. Стеклянный порошок и вода имеют почти одинаковый показатель преломления; это значит, что свет, переходя из одной из этих сред в другую, преломляется и отражается очень мало.
Вы делаете стекло невидимым, помещая его в жидкость с почти одинаковым с ним показателем преломления; всякая прозрачная вещь делается невидимой, если поместить ее в среду, обладающую одинаковым с ней показателем преломления.
И если вы чуточку подумаете, то вы поймете, что и стеклянный порошок можно сделать невидимым и в воздухе, если только вам удастся довести показатель преломления его до показателя преломления воздуха. Ибо в таком случае, при переходе света из порошка в воздух и обратно, он не будет ни отражаться, ни преломляться.
Сколько существует прозрачных веществ, которые вовсе не кажутся таковыми!
Бумага, например, состоит из прозрачных волокон, и если она представляется нам белой и непрозрачной, то это происходит по той же причине, по которой толченое стекло кажется нам белым и непрозрачным. Намаслите белую бумагу, заполните все поры между частицами бумаги маслом так, чтобы преломление и отражение происходило только на поверхностях, – и бумага сделается столь же прозрачной, как и стекло. И не только бумага, но и волокна хлопка, волокна льна, шерсти, дерева, а также – заметьте – кости, мясо, волосы, ногти и нервы.
Одним словом, все составные части человека, за исключением красных кровяных шариков и темного пигмента волос, состоят из прозрачной бесцветной ткани; вот как мало нужно, чтобы мы могли видеть друг друга! По большей части ткани живого существа не менее прозрачны, чем вода».
Верны ли физические основания этого рассуждения? Безусловно. Более того: в самое последнее время те же соображения с успехом применяются на практике при изготовлении прозрачных анатомических препаратов.
Прозрачные препараты частей тела и даже целых небольших животных можно видеть теперь в коллекциях не только на Западе, но и у нас. Способ изготовления их разработан лет восемь назад известным анатомом, профессором В. Шпальтегольцем [91]. Та часть тела или то животное, которое желают сделать прозрачным, пропитывают особой жидкостью, подобранной так, что показатель ее преломления равен показателю преломления тканей взятого тела. Когда препарат пропитается этою жидкостью и она заполнит его поры, он становится прозрачным и ясно обнаруживает разветвленные в нем сосуды, нервы и т. п. Каждая органическая ткань обладает особым показателем преломления, и, следовательно, для просветления ее надо брать соответствующую жидкость. Даже такие тела, как кости, зубы, дерево удается делать прозрачными по этому способу. Существуют прозрачные препараты целых животных – лягушек, мышей, рыб, раков и т. п.
Конечно, отсюда еще очень далеко до осуществления уэллсовой утопии о живом человеке, прозрачном настолько, что он совершенно невидим. Далеко потому, что надо еще, во‐первых, найти способ пропитывать просветляющей жидкостью ткани живого организма, не нарушая его отправлений. Во-вторых, препараты профессора Шпальтегольца только прозрачны, не невидимы; ткани этих препаратов могут быть невидимы лишь до тех пор, пока они погружены в сосуд с жидкостью соответствующей преломляемости. Для того, чтобы они были невидимы в воздухе, нужно, чтобы показатель их преломления равнялся показателю преломления воздуха, – а как этого достигнуть, мы не знаем.
Но допустим, что со временем удастся добиться того и другого и, следовательно, осуществить на деле мечту английского романиста. Будут ли у нас тогда невидимые солдаты, невидимые батальоны, которые нежданно оказываются в тылу неприятеля и наводят панику на целую армию своими непостижимыми, сверхъестественными действиями?
Нет! Все мечты Уэллса о всемогуществе невидимого человека основаны на курьезном недоразумении. Английский романист, увлекшись своей идеей, упустил из виду одно обстоятельство, вытекающее из элементарных оснований физики. И это досадное упущение уничтожает все заманчивые возможности, рисуемые романистом. Невидимый человек Уэллса – если бы мог существовать в действительности – был бы не могущественнейшим из смертных, а самым беспомощным созданием в мире…
Может быть, вдумавшись в физические особенности воздушно-прозрачного человека, читатель и сам догадается, в чем заключалась ошибка английского романиста?
Вероятно, Уэллс никогда не написал бы своего романа о приключениях невидимого человека, если бы задал себе вопрос: может ли невидимый человек видеть? Дело в том, что невидимый ничего не может видеть, именно вследствие своей невидимости. Ведь все части его тела, не исключая и глаз, вполне прозрачны и притом преломляют световые лучи совершенно так же, как окружающий воздух. Ясно, что такой воздушно-прозрачный глаз перестает быть глазом; он не преломляет световых лучей, не собирает их в фокус на сетчатке, не поглощает их пигментом; лучи света проходят через такой глаз вполне свободно, не преломляясь и не задерживаясь… Уже под водой наш глаз с трудом различает предметы, так как показатель преломления воды близок к показателю преломления прозрачных средин нашего глаза. Что же было бы, если бы наш глаз и окружающая среда обладали вполне одинаковою преломляемостью? Мы не видели бы ровно ничего, были бы совершенно слепы.
И так же слеп должен быть невидимый человек Уэллса. Пресловутая «новая эра, эра Невидимого» должна была бы в действительности состоять в том, что грозный претендент на власть скитался бы ощупью по улицам, прося милостыню, которой никто не мог бы подать, так как проситель невидим. Вместо могущественнейшего из смертных перед нами был бы беспомощный калека, обреченный на жалкое существование…
Могущество современной подводной лодки также заключается в ее невидимости, – в том, что она совершенно незаметно подкрадывается к вооруженному стальному гиганту и выпускает в него свою разрушительную мину.
Но стоит метким выстрелом повредить у подводной лодки ее глаз – перископ, и она становится беспомощной; «слепота» лишает ее всякой возможности воспользоваться преимуществами своей невидимости.
Итак, в поисках «шапки-невидимки» нам нет нужды идти по пути, указываемому Уэллсом – этот путь, даже при полном успехе поисков, не может привести к цели. Единственное, к чему можно было бы с пользою приложить идею английского романиста, это – изготовление прозрачных, а потому и невидимых военных механизмов. Аэропланы с прозрачными поддерживающими плоскостями, применяемые в германской и французской армиях, являются гораздо более могущественным орудием, нежели обыкновенные «видимые» аэропланы: малозаметные уже на небольшой высоте, они могут поражать неприятеля и производить разведку там, где менее всего ожидают этого [92].
Кроме прозрачности, есть еще и другой путь к разрешению задачи «шапки-невидимки». Он состоит в окраске предметов соответствующим цветом, «защитным цветом», делающим их незаметными для глаза. Это, конечно, лишь отчасти достигает цели, но в военном деле приходится пользоваться даже и незначительными преимуществами.
Джек Лондон в одном из своих рассказов пытался, впрочем, дать полное разрешение задачи невидимости путем окраски. Читателям, вероятно, известен его рассказ «Тень и блеск». Герой рассказа стремится достичь полной невидимости посредством окраски предмета в «безусловно черный» цвет.
«– Цвет есть не что иное как ощущение, – говорил он. – Он не имеет объективной реальности. Без цвета мы не можем видеть ни красок, ни самих предметов. Все предметы черны в темноте, и в темноте мы не можем их увидеть. Если на них падает свет, они не отражают лучей к нашему глазу, и таким образом, мы не получаем зрительного доказательства их существования… Поэтому я утверждаю, что целесообразным смешением соответствующих частей можно достигнуть безусловно черной краски, делающей невидимым всякий окрашенный ею предмет.
– Окунись я в такую краску, – продолжает герой Джека Лондона, – весь мир очутился бы у моих ног. Мне принадлежали бы тайны королей и дворов, комбинации дипломатов и политических деятелей, планы биржевиков, замыслы трестов и синдикатов… Я мог бы держать в руке внутренний пульс мира и был бы величайшей в свете силой!..»
Способ, предлагаемый (конечно, не серьезно) Джеком Лондоном, не выдерживает критики. Черный предмет невидим только на черном фоне; на всяком же ином фоне резко выделяется его темный силуэт. Фокусники пользуются этим для своих целей: они обивают сцену черным бархатом, и тогда сообщник фокусника, невидимый благодаря своему черному костюму и маске, незаметно выполняет все приказания волшебной палочки… Но этот костюм-невидимка, спасающий на фоне того же цвета, очень резко обнаруживается на всяком другом.
Вообще принятие окраски окружающего фона есть самый простой и естественный способ укрыться от взгляда, стать незаметным. К нему постоянно прибегает природа, наделяя свои создания «охранительной» окраской.
К нему прибегает и человек в современной войне. Пестрое, блестящее одеяние воинов старого времени отошло в область преданий и заменилось обмундированием однообразного «защитного» цвета, трудноразличимым в поле, на лугу или в лесу. На снежных равнинах Польши германские солдаты надевают белые плащи, делающие их невидимыми; турецкие разведчики часто окрашивают лицо и руки в зеленый цвет, чтобы стать неразличимыми в яркой листве южного театра войны, как невидим зеленый кузнечик на лугу.
Этим не исчерпываются все применения соответствующей окраски для целей невидимости. Существуют еще и другие возможности, которые частью уже осуществляются. Так, например, физиология зрения учит, что в силу особенностей нашего глаза синие и зеленые тона более пригодны для роли «защитных», чем красные и оранжевые; из всех цветов красный наиболее заметен на расстоянии, между тем как синие и фиолетовые предметы издали становятся расплывчатыми и поглощаются фоном. Недаром садовники размещают синие и лиловые цветы на переднем плане клумб, группируя красные и оранжевые подальше, в центре. Этот факт может быть с пользою применен и в практике военного дела.
Далее, путем опытов найден способ делать предметы незаметными даже на таком фоне, который, как небо или море, не имеет одного постоянного цвета, а вечно изменяет свой вид и окраску. Способ этот состоит в применении так называемого «правила лоскутьев», гласящего, что очертания предметов становятся почти неразличимыми, если они покрыты полосами и пятнами.
Немцы пользуются этим принципом для маскирования своих земляных укреплений: мешки с песком они кладут так, чтобы темные чередовались с более светлыми.
«Это было первое, что я заметил в немецких траншеях, – пишет с фронта английский офицер. – Благодаря такой лоскутной уловке невозможно выследить, где их бойницы, тогда как наши оказываются легко заметными». Опыты, произведенные в американском флоте, показали, что неправильные спиральные темные линии и пестрые темные пятна на сером фоне делают боевое судно почти невидимым с далекого расстояния. Лоскутный принцип позволяет также скрыть местоположение аэродрома от взора неприятельского летчика; для этого вокруг аэродрома очищают землю от травы разбросанными участками, а сам аэродром окрашивают под бурые и зеленые лоскутья.
Универсальным защитным цветом, пригодным для всякой обстановки, была бы зеркальная поверхность, отражающая фон. Предмет с такой поверхностью автоматически принимает вид и окраску окружающей среды; обнаружить его присутствие с дальнего расстояния почти невозможно. Говорят, германцы для новейших цеппелинов до некоторой степени применяют этот принцип: поверхность цеппелинов покрыта блестящим слоем алюминия, отражающим небо и облака: заметить такой цеппелин при полете очень трудно, если его не выдаст жужжание мотора.
Как видим, чудесные свойства шапки-невидимки, еще недавно существовавшие только в волшебных сказках или в лучшем случае в фантастических романах, теперь используются человеком в действительной жизни. Правда, пока еще человек не добыл настоящей шапки-невидимки; он научился только подражать, и то весьма несовершенно, ее волшебным свойствам. Но раз выступив в поиски шапки-невидимки, технический гений человека едва ли успокоится раньше, чем дойдет по этому пути до конечной цели.
Древние математики часто облекали задачи в стихотворную форму подобно тому, как теперь поступают составители шарад. До нас дошло, например, несколько таких стихотворных задач индийского математика XII века Бхаскары [93]. Четыре поэтических задачи из его сочинений мы приведем здесь в стихотворном переводе, заимствуемом из недавно вышедшей интересной книжки В. И. Лебедева «Кто изобрел алгебру?»:
В современном учебнике та же задача была бы редактирована не столь поэтично:
«Пятая часть пчелиной стайки опустилась на цветок кадамба; третья часть той же стайки села на симендгу; утроенная разность обеих групп села на кутай, и тогда из всей стайки осталась всего одна пчела. Сколько пчел было в стайке?» Решить эту задачу в уме, как требует индусский математик, довольно трудно. Зато письменно, с помощью уравнения, она решается весьма легко.
Обозначив искомое число пчел через
Решив уравнение, узнаем, что всех пчел было 15. Действительно: на кадамбу сели 3 пчелы, на симендгу – 5, на кутай 3 × (5–3) = 6. Вместе с одинокой пчелкой, которая «не нашла себе места нигде», имеем 15 пчел:
5 + 3 + 6 + 1 =15.
Другая задача из того же индийского сочинения – геометрического характера. Ее содержание тоже навеяно природой:
Эта поэтическая задача решается чрезвычайно просто, если изобразить ее условие на чертеже (см. рис. 1). Пусть линия
По теореме Пифагора легко найти гипотенузу
Значит, высота тополя
3 + 5 = 8 футов.
Немного труднее другая геометрическая задача сборника – также переносящая нас в живописную природу Индии:
Геометрическая зависимость между упомянутыми в задаче величинами видна из рис. 2.
Обозначив искомую длину
составляем на основании теоремы Пифагора следующее уравнение:
(
По раскрытии скобок член
Итак, «озера вода здесь глубока» на 3¾ фута.
Приведем еще задачу – из жизни животных Индии:
В прозаической передаче (см. «Алгебру» Н. Маракуева) эта древняя задача читается так:
«Стая обезьян забавлялась; одна восьмая часть их в квадрате бегала в лесу, остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне, сколько было всех обезьян?»
Задача приводит к решению квадратного уравнения:
(
Оно дает два ответа: 48 и 16. Тот и другой правильны, и в сочинении индусского математика приводятся оба решения.
Кстати о решении квадратных уравнений. Первое печатное сочинение по алгебре – Луки Пачиоли [94], появившееся в 1494 году, – содержит стихотворные правила для решения квадратных уравнений. Так, уравнение вида
По этому образцу автор интересной книжки, упомянутой выше, В. И. Лебедев составил стихотворное правило для решения уравнений обычного у нас вида:
облекается у него в форму бойкого стихотворения:
Гораздо ранее Луки Пачиоли персидский математик Альхваризьми [96] составил стихотворное наставление к решению уравнений первой степени.
Наставление распадается на два правила: «Aljebr» (отсюда и слово алгебра) и «Almukabalah». Вот они в русском переводе:
В наших старинных русских учебниках математики – «Арифметике» Магницкого (1703 г.) и «Полном курсе чистой математики» Войтяховского (1820 г.) – также попадаются задачи в стихотворной форме. Приводим для примера задачи из последнего сборника:
Ответ получается простым путем и свидетельствует о завидной дешевизне жизни в доброе старое время: «нарядное фуро» стоит всего лишь 5½ копеек, а «чепец» (праздничный!) – 1¼ копейки.
В современных учебниках уже нет ни поэтических задач, ни стихотворных правил. Единственное стихотворение, какое можно найти теперь в некоторых учебниках геометрии – это французские стихи, облегчающие запоминание числа π: «Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages» [99]… и т. д. Число букв в словах этого стихотворения соответствует цифрам числа π, т. е 3,141 592 65…
Может быть, среди читателей найдутся стихотворцы, которые сочинят подобные же мнемонические стихи и на русском языке? Для желающих попытать свои силы приводим здесь число π с 25 десятичными знаками:
3,141 592 653 589 793 238 462 643 3.
Конечно, для практических вычислений достаточно запомнить π с 5 десятичными знаками; но легче запомнить четверостишие, чем одинокую строчку.
Ныне – Санкт-Петербург
На момент написания текста в 1924 году.
На момент написания текста в 1924 году.
По информации от пресс-службы мэра и Правительства Москвы от 5 мая 2025 года.
Если точнее, ему придется не перегнать, а отстать от Земли, т. е. двигаться по ее поверхности в сторону, обратную ее движению, так быстро, чтобы продлить для себя продолжительность суток.
Если пренебречь трением. При наличии значительного трения гиря может и не подняться.
Василий Яковлевич (Фридрих Георг Вильгельм) Струве (1793–1864) – российский немецкий астроном и геодезист, один из основоположников звездной астрономии, устроитель и первый директор Пулковской обсерватории. Произвел первое определение звездного параллакса (1837 г.). Автор классических трудов по практической астрономии, астрометрии, двойным звездам, звездной астрономии, геодезии. Основатель семейной династии астрономов.
Здесь и далее 1 географическая миля = 7 верст = 7469 м.
Световой год – внесистемная единица расстояния, в наши дни используемая преимущественно в научно-популярной литературе (в профессиональной литературе вместо нее обычно используют парсеки). 1 св. год = 9 460 730 472 580 800 м ≈ 9,46.1015 м.
По современным уточненным данным, объем Солнца составляет 1,40927.1027 м³, т. е. 1 301 018,805 объемов Земли.
В год написания этой статьи население земного шара составляло около 1,4 миллиарда человек.
По современным данным, температура солнечной короны достигает 1 500 000 K, а температура ядра – 13 500 000 K.
Иоганн Карл Фридрих Целльнер (Цёлльнер) (1834–1882) – немецкий астроном, доктор философии. Заложил основы современной астрофотометрии, разработал оборудование для спектроскопических измерений, описал оптическую иллюзию, названную его именем.
Здесь и далее 1 сажень = 3 аршина = 7 футов ≈ 213,36 см.
Карл Вильгельм фон Нeгели (1817–1891) – швейцарский и немецкий ботаник, систематик живой природы, автор научных трудов по цитологии, анатомии, физиологии.
Если быть точным, 1 золотник = 4,266 грамма.
Точное число – 18 446 744 073 709 551 615.
Пьер Микель (1850–1922) – французский исследователь, первооткрыватель термофильных бактерий.
Чарльз Бойс (Бойз) (1855–1944) – английский физик-экспериментатор, автор работ по оптике, механике, тепловым явлениям.
Т. е. капилляры.
Калория – внесистемная единица количества теплоты; в нашей стране продолжает применяться в промышленной области. В Международной системе единиц СИ, введенной в 1960 г., 1 калория точно равна 4,1868 Дж. Я. П. использует здесь и далее термины «малая калория», или «м. калория» (она соответствует современной калории) и «большая калория», или «б. калория» (она соответствует современной килокалории, т. е. 1000 калорий).
Килограммометр (кгм) – техническая единица работы, сила, поднимающая 1 кг на 1 м высоты. В Международной системе СИ 1 кгм = 9,8 Дж.
В наши дни этот раздел психологии носит название «практическая психология».
Личное уравнение (личная разность) – разность между точным значением местного времени и его значением, полученным астрономом по наблюдениям небесных светил.
В начале XX в. существовали только оптические микроскопы, в которые было невозможно разглядеть молекулы. Это стало возможно в середине ХХ века после изобретения электронного микроскопа. При помощи электромагнитного излучения невозможно получить изображение объекта, меньшего по размерам, чем длина волны этого излучения.
Джордано Бруно (1548–1600) – итальянский монах-доминиканец, философ-пантеист, выдающийся мыслитель эпохи Возрождения. Был казнен как «нераскаявшийся, упорный и непреклонный еретик»; научные воззрения в приговоре инквизиционного трибунала не упоминались.
Католическое духовенство в Риме еще и в настоящее время отказывается выдать документы, относящиеся к процессу Галилея – Я. П.
Текст написан в 1902 г., однако и в наши дни многие обстоятельства процесса Галилея остаются неизвестными.
Что касается изречения «А все‐таки она вертится!», это, скорее всего, поэтический вымысел, впервые озвученный в 1757 г. итальянским журналистом Джузеппе Баретти (1719–1789).
В 1992 г. папа римский Иоанн-Павел II в официальном заявлении признал, что решение инквизиции по делу Галилея было ошибкой.
Леон Фуко (1819–1868) – один из выдающихся физиков XIX столетия: ему принадлежит первое измерение скорости света в различных средах по особому им найденному способу, изобретение регулятора для электрических ламп, особого отражательного телескопа, получившего большое распространение, и мн. др.
[Полное имя Фуко – Жан Бернар Леон; к списку его достижений следует добавить исследование вихревых токов («токов Фуко») и изобретение гироскопа (примеч. ред.).]
Формула эта:
Читатели, знакомые с началами механики, легко могут проверить это. Продолжительность одного качания маятника выражается через π lg; подставив вместо l длину маятника – 224 фута, вместо
Анджело Секки (1818–1878) – итальянский священник и астроном, прозванный «отцом астрофизики»; первым в истории экспериментально доказал, что Солнце является звездой.
Камилл Фламмарион (1842–1925) – французский астроном и популяризатор науки; совершил несколько подъемов на воздушных шарах с целью изучения атмосферных явлений.
Жозеф Шомье (1849–1919) – французский политический деятель, реформатор среднего образования и системы мировых судов, активный сторонник отделения церкви от государства.
Маятник Фуко в здании парижского Пантеона существует по сей день. В санкт-петербургском Исаакиевском соборе в 1931–1986 гг. действовал маятник Фуко с длиной нити 98 м.
Я. П. имеет в виду GK Персея – первую новую звезду XX в., вспыхнувшую на земном небосводе 21 февраля 1901 г.
Ежегодно только в нашей Галактике вспыхивает около ста новых звезд, однако межзвездное поглощение света делает невозможным наблюдение подавляющего большинства этих объектов с Земли.
В наши дни установлено, что все новые звезды являются компонентами тесных двойных систем, состоящих из белого карлика и звезды-компаньона; в таких системах происходит непрерывное перетекание вещества. Вспышки, наблюдаемые с Земли как появление новой звезды, есть термоядерные взрывы на поверхности белого карлика при достижении им определенной критической массы.
Современное обозначение – SN 1572; иногда ее называют звездой Тихо Браге.
Тихо Браге (1546–1601) – выдающийся датский астроном, астролог и алхимик, реформатор практической астрономии.
Предположения, изложенные в последующих абзацах, в большинстве случаев оказались неверны.
Координаты ее следующие: звездный час = 0h 18m; расстояние от Северного полюса = 26°33′.
Иоганн Кеплер (1571–1630) – немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы.
Соответствие Вифлеемской звезды какому‐либо реальному космическому объекту до сих пор научно не установлено.
Очерк написан в преддверии нового 1903 г..
Я. П. использует в статье стихотворные отрывки из «Фауста» И. Гёте в переводе Н. А. Холодковского.
Плутон, долгое время считавшийся последней планетой Солнечной системы, был открыт только 18 февраля 1930 г..
В момент написания этой статьи физики пользовались понятием
Жан-Батист Ламарк (1744–1829) – французский естествоиспытатель, предшественник Ч. Дарвина; создал учение об эволюции живой природы, названное «ламаркизмом».
Альфред Рассел Уоллес (1823–1913) – английский натуралист; одновременно с Ч. Дарвином (и независимо от него) разработал теорию естественного отбора.
Чарльз Роберт Дарвин (1809–1882) – выдающийся английский натуралист, основоположник теории эволюции.
Герберт Спенсер (1820–1903) – английский философ и социолог, один из родоначальников позитивизма, основатель органической школы в социологии; развил механистическое учение о всеобщей эволюции.
Хризипп (Хрисипп) (281/278 до н. э. – 208/205 до н. э.) из Сол – древнегреческий философ, один из ранних стоиков.
Филет (ок. 320 – после 270 гг. до н. э.) из Кос – древнегреческий ученый и поэт.
Зенон Элейский (ок. 490 до н. э. – ок. 430 до н. э.) – древнегреческий философ, автор нескольких десятков апорий – внешне парадоксальных рассуждений о движении и множестве.
Текст опубликован в самом конце 1907 г.; возможно, расхождение в датах (см. следующий комментарий) объясняется тем, что очерк был напечатан с большим опозданием, или же с опозданием пришло известие о гибели немецкого математика.
Пауль Вольфскель (1856–1906) – немецкий врач и математик, наиболее известный как основатель названной его именем премии за доказательство теоремы Ферма.
Великая теорема Ферма – одна из самых популярных теорем математики, гласящая, что для любого натурального числа n>2 уравнение an + bn = cn не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c.
[Пьер де Фермa (1601–1665) – французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел; наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.]
Я. П. имеет в виду знаменитого французского математика, философа, физика и литератора Блеза Паскаля (1623–1662) и его отца, математика Этьена Паскаля (1588–1651).
Жиль Роберваль (наст. фам. Персонье) (1602–1675) – французский математик, физик и астроном, автор научных трудов в области механики, высшей алгебры и др.; изобрел весы, носящие его имя.
Диофант Александрийский (ок. 250 н. э.) – древнегреческий математик, иногда называемый «отцом алгебры»; автор трактата «Арифметика», посвященного главным образом исследованию неопределенных (диофантовых) уравнений.
Т. е. аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат – одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии.
Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий математик, автор научных трудов по алгебре и теории чисел; сторонник «арифметизации» математики, т. е. сведению ее к арифметике целых чисел.
Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский, немецкий и российский математик и механик; внес фундаментальный вклад в развитие математики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
Теорема Ферма была доказана только в 1994 г. английским и американским математиком, профессором Принстонского университета Эндрю Джоном Уайлсом (род. 1953) с коллегами; премия Вольфскеля была вручена ему в 1997 г. – за десять лет до истечения срока ее действия. Сумма премии на момент вручения составила 75 000 немецких марок.
Современное обозначение – C/1908 R1; была открыта в 1908 г. американским студентом, впоследствии профессором астрономии Дэниелом Уолтером Морхаузом (1876–1941).
Сергей Константинович Костинский (1867–1936) – русский и советский астроном, основатель отечественной астрофотографии и фотографической астрометрии.
Я. П. вспоминает оборону Порт-Артура – самое продолжительное сражение Русско-японской войны 1904–1905 гг.; русскими войсками командовал генерал Алексей Николаевич Куропаткин (1848–1925).
Махдистское восстание – восстание в Судане 1881–1899 гг. против турецко-египетского чиновничества, которое возглавил Мухаммад Ахмад (1844–1885), объявивший себя «Махди» (мессией).
Привычнее – Янцзы и Хуанхэ.
Я. П. имеет в виду весь Корейский полуостров.
Очерк написан в 1909 г.; территория современной Франции по площади превышает остров Мадагаскар.
Императорский (Великий) канал – судоходный канал в Китае, крупнейший по длине в мире; соединяет Шанхай и Тяньцзинь.
Английский линейный корабль «Дредноут» был спущен на воду в 1906 г. и породил целый подкласс боевых кораблей «дредноутного типа», названный в его честь.
Эта люстра, или лампада, сохранилась и в наши дни. Между прочим, о ней упоминает Марк Твен в своих «Простаках за границей».
Судя по всему, это не более чем легенда.
Джеймс Уатт (1737–1819) – шотландский инженер; изобрел универсальную паровую машину двойного действия, ввел первую единицу мощности – лошадиную силу; его работы положили начало промышленной революции.
Братья Жозеф-Мишель (1740–1810) и Жак-Этьенн (1745–1799) Монгольфье – изобретатели воздушного шара; история с юбкой, как уверяют, произошла со старшим братом.
Сэмюэль Браун (1776–1852) – английский морской офицер, инженер, пионер в области проектирования и производства промышленных железных цепей; разработал конструкцию подвесного моста.
Фрэнсис Бэкон, барон Веруламский и виконт Сент-Олбанский (1561–1626) – выдающийся английский философ, историк, политик.
Габриель Ламe (1795–1870) – французский математик, механик, физик и инженер, автор научных трудов по математической физике, теории упругости и др.
Для шестой и вообще для составных степеней нет надобности искать особого доказательства, так как составные степени приводятся к соответствующим простым.
Эрнст Эдуард Куммер (1810–1893) – немецкий математик, автор научных трудов по алгебре и теории чисел.
Феликс Христиан Клейн (Кляйн) (1849–1925) – немецкий математик; первым строго доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, внес значительный вклад в общую алгебру и в теорию эллиптических и автоморфных функций.
Эта история подробнее рассказана автором настоящей статьи в математической хрестоматии Е. Игнатьева «В царстве смекалки».
Артур Виферих (1884–1954) – немецкий математик, описавший простые числа, названные его именем.
Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) – немецкий математик, доказавший трансцендентность числа π и разрешивший тем самым классическую проблему «квадратуры круга».
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик, астроном и механик итальянского происхождения; наиболее известен в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.
Давид Гильберт (1862–1943) – выдающийся немецкий математик-универсал; его исследования оказали большое влияние на развитие многих разделов математики.
Фердинанд Маак (1861–1930) – немецкий акушер, оккультист, вошедший в историю под прозвищем Raumschach (
Попытки создания трехмерных шахмат предпринимались неоднократно – математиком и музыкантом Александром Вандермондом (1735–1796), затем шахматистом Лионелем Кизерицким (1806–1853), – но у всех этих вариантов был серьезнейший недостаток: невозможность поставить мат трехмерному королю. Версия доктора Маака грешила тем же; поэтому истинным изобретателем 3D-шахмат следует считать французского и американского математика армянского происхождения Ерванда Геворговича Когбетлянца (1888–1974), который решил проблему, введя в игру несколько новых фигур. Любопытно, что свои пространственные шахматы Когбетлянц разработал в Москве в 1912 г. Как знать, не послужила ли толчком к изобретению эта статья Я. П.?.
Вернер Шпальтегольц (1862–1940) – немецкий анатом, известный как разработчик методов просветления анатомических препаратов.
Идею снабжать аэропланы прозрачными крыльями предложили в 1913 г. французские авиаторы братья Моро (Жюль Элберт (1869–1915) и Андре (1886–1965)), но на практике она успеха не имела: аэропланы становились менее прочными – и все равно видимыми и с воздуха, и с земли.
Бхаскара (1114–1185) – крупнейший индийский математик и астроном, автор научного трактата «Сиддханта-широмани» («Венец учения») и учебника по технике вычислений; возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне.
Фра Лука Бартоломео де Пачоли (Пачиоли – устар. написание) (1445–1517) – итальянский математик, один из основоположников современных принципов бухгалтерии.
«Возьмите половину коэффициента
Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (конец VIII – первая четверть IX в.) – арабоязычный математик и астроном персидского происхождения, автор значимых книг по алгебре, арифметике, географии и др.
Фурo – узкое прямое платье.
Фигарo – короткая свободная женская кофта, надеваемая поверх платья.
Первые 31 знак числа π: Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages, Glorieux Archimede, artiste ingenieux toi, de qui Syracuse aime encore la gloire, soit ton nom conserve par de savants grimoires («Как я люблю заставлять мудрых людей выучить полезные числа. Славный Архимед, гениальный художник! Ты, чью славу Сиракузы все еще любят, пусть твое имя будет сохранено учеными гримуарами» (